NCERT Solutions for Class 12 Maths In Hindi Chapter 11 Three Dimensional Geometry

प्रश्रावली 11.1

1. यदि एक रेखा \[\mathbf{\text{x, y}}\] और \[\text{z -}\] अक्ष के साथ क्रमशः \[\mathbf{\text{9}{{\text{0}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{,13}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{,4}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}}\] के कोण बनाती है तो इसकी दिक् - कोसाइन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए रेखा की दिक्-कोसाइन $\text{l, m}$और $\text{n}$ है। 

$\text{a = 9}{{\text{0}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{, b = 13}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{, c = 4}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}$

अब

$\text{I = cos a = cos 9}{{\text{0}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{ = 0} \\ $

$\text{m = cos b = cos 13}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{ = - 1/}\sqrt{\text{2}} \\ $

$\text{n = cos c = cos 4}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{ = 1/}\sqrt{\text{2}} \\ $

 रेखा की दिक्- कोसाइन $\text{= 0, - 1/}\sqrt{\text{2}}\text{, 1/}\sqrt{\text{2}}$

2. एक रेखा की दिक् - कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों के साथ समान कोण बनाती है।

उत्तर:   मान लीजिए रेखा निर्देशांक्षों के साथ $\text{a}$ कोण बनाती है, तब 

उनका दिक्-कोसाइन :-

$\text{1 = cos a,  m = cos a,  n = cos a}$

हम जानते है कि ${{\text{I}}^{\text{2}}}\text{+ }{{\text{m}}^{\text{2}}}\text{ + }{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{ = 1}$

$\text{co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a + co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a + co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a = 1} \\ $

$\text{3 co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a = 1} \\ $

$\text{co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a = 1/3} \\ $

$\text{cos a =  }\!\!\pm\!\!\text{  1/}\sqrt{\text{3}} \\ $

रेखा की दिक्-कोसाइन $\text{= 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, 1/}\sqrt{\text{3}}$ या

$\text{- 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, - 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, - 1/}\sqrt{\text{3}}$

3. यदि एक रेखा के दिक् - अनुपात \[\mathbf{\text{- 18, 12, - 4,}}\]हैं तो इसकी दिक्कोसाइन क्या हैं।

उत्तर: दिया है, $a=-18, b=12, c=-4$

$\therefore \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$=\sqrt{(-18)^{2}+(12)^{2}+(-4)^{2}}$

$=\sqrt{324+144+16}$

$=\sqrt{484}=22$

माना यदि $a, b, c$ दिक्-अनुपात हो तो दिक्-कोज्याएँ इस प्रकार हैं

$\therefore \cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$=-\dfrac{18}{22}=-\dfrac{9}{11}$

$\cos \beta=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$=\dfrac{12}{22}=\dfrac{6}{11}$

$\cos \gamma=\dfrac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$=-\dfrac{4}{22}=-\dfrac{2}{11}$

अत: रेखा की दिक्-कोज्याएँ $=-\dfrac{9}{11}, \dfrac{6}{11}$ और $-\dfrac{2}{11}$ हैं।

4. दर्शाइए की बिंदु $\mathbf{\text{(2, 3, 4), (- 1, - 2, 1), (5, 8, 7)}}$ संरेख हैं।

उत्तर:   मान लीजिए $\text{A(2,3,4), B(-1,- 2,1)}$ और $\text{C(5,8,7)}$

$\text{A}$और $\text{B}$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्- अनुपात $\text{- 1 - 2, - 2 - 3, 1- 4}$ अर्थात $\text{- 3, - 5, - 3}$ हैं।

$\text{B}$और $\text{C}$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $\text{5 - ( - 1), 8 - ( - 2), 7 - 1}$ अर्थात $\text{6,10,6}$ हैं।

स्पष्ट है कि $\text{AB}$और $\text{BC}$के दिक्-अनुपात समानुपाती है। 

अतः $\text{AB}$ और $\text{BC}$ समांतर हैं। परंतु $\text{AB}$ और $\text{BC}$दोनों में $\text{B}$ उभयनिष्ठ है। अतः $\text{A, B}$ और $\text{C}$ संरेख बिंदु है।

5. एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक्- कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु $\mathbf{\text{(3, 5, - 4), ( - 1, 1, 2)}}$और $\mathbf{\text{(- 5,- 5,- 2)}}$ हैं।

उत्तर: मान लीजिए $\text{A(3, 5, - 4), B( - 1, 1, 2)}$और $\text{C(- 5,- 5,- 2)}$

$\text{AB}$ का दिक्- अनुपात \[\text{= }\left( \text{ - 1 - 3, 1 - 5, 2 - }\left( \text{- 4} \right) \right)\]

\[\text{= }\left( \text{- 4, - 4, 6} \right)\]

$\text{ }\!\!|\!\!\text{  AB  }\!\!|\!\!\text{  = }\sqrt{{{\text{(- 4)}}^{\text{2}}}\text{ + ( - 4}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ + (6}{{\text{)}}^{\text{2}}}}\text{ = }\sqrt{\text{68}}\text{ = 2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{AB}$ का दिक्-कोसाइन $\text{= - 4/2}\sqrt{\text{17}}\text{, - 4/2}\sqrt{\text{17}}\text{, 6/2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{= - 2 /}\sqrt{\text{17}}\text{, - 2/}\sqrt{\text{17}}\text{, 3/}\sqrt{\text{17}}$

$\text{BC}$ का दिक्- अनुपात \[\text{= }\left( \text{- 5 - }\left( \text{ - 1} \right)\text{, - 5 - 1, - 2 - 2} \right)\]

\[\text{= }\left( \text{- 4, - 6, - 4} \right)\]

$\text{ }\!\!|\!\!\text{  BC  }\!\!|\!\!\text{  = }\sqrt{{{\text{(- 4)}}^{\text{2}}}\text{ + (- 6}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ + ( - 4}{{\text{)}}^{\text{2}}}}\text{ = }\sqrt{\text{68}}\text{ = 2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{BC}$ का दिक्- कोसाइन $\text{= - 4/2}\sqrt{\text{17}}\text{, - 6/2}\sqrt{\text{17}}\text{, - 4/2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{= - 2/}\sqrt{\text{17}}\text{, - 3/}\sqrt{\text{17}}\text{, - 2/}\sqrt{\text{17}}$

$\text{AC}$ का दिक्- अनुपात \[\text{= }\left( \text{ - 5 - 3, - 5 - 5, - 2 - }\left( \text{ - 4} \right) \right)\]

\[\text{= }\left( \text{ - 8, - 10, 2} \right)\]

$\text{ }\!\!|\!\!\text{  AC  }\!\!|\!\!\text{  = }\sqrt{{{\text{( - 8)}}^{\text{2}}}\text{ + ( - 10}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ + }{{\text{2}}^{\text{2}}}}\text{ = }\sqrt{\text{168}}\text{ = 2}\sqrt{\text{42}}$

$\text{AC}$ का दिक्- कोसाइन $\text{= 8/2}\sqrt{\text{42}}\text{, 10/2}\sqrt{\text{4}}\text{2, - 2/2}\sqrt{\text{4}}\text{2}$

$\text{= 4/}\sqrt{\text{4}}\text{2, 5/}\sqrt{\text{42}},\,\,\text{- 1/}\sqrt{\text{42}}$

प्रश्रावली 11.2

1. दर्शाइए की दिक्- कोसाइन $\mathbf{{\text{12/13,  -  3/13,  -  4/13;  4/13, 12/13, 3/13; 3/13,  -  4/13, 12/13  }}}$ वाली तीन रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

उत्तर: पहली दो रेखाओं के लिए,

$l_{1}l_{2}+m_1m_2+n_1n_2$

$=\dfrac{12}{13} \times \dfrac{4}{13}+\dfrac{-3}{13} \times \dfrac{12}{13}+\dfrac{-4}{13} \times \dfrac{3}{13}$

$=\dfrac{48}{169}-\dfrac{36}{169}-\dfrac{12}{169}$

$=\dfrac{48-36-12}{169}$

= 0

इसलिए, रेखाएं लंबवत है।

(ii) दूसरी और तीसरी रेखाओं के लिए,

$l_{1}l_{2}+m_1m_2+n_1n_2$

$=\dfrac{4}{13} \times \dfrac{3}{13}+\dfrac{12}{13} \times \dfrac{-4}{13}+\dfrac{3}{13} \times \dfrac{12}{13}$

$=\dfrac{12}{169}-\dfrac{48}{169}+\dfrac{36}{169}$

$=\dfrac{12-48+36}{169}$

= 0

इसलिए, रेखाएं लंबवत है।

(iii) तीसरी और पहली रेखाओं के लिए,

$l_{1}l_{2}+m_1m_2+n_1n_2$

$=\dfrac{3}{13} \times \dfrac{12}{13}+\dfrac{-4}{13} \times \dfrac{-3}{13}+\dfrac{12}{13} \times \dfrac{4}{13}$

$=\dfrac{36}{169}+\dfrac{12}{169}-\dfrac{48}{169}$

$=\dfrac{36+12-48}{169}$

= 0

इसलिए, रेखाएं लंबवत हैं।

अतः, सभी रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

2. दर्शाइए कि बिंदुओं $\mathbf{{\text{(1,  -  1, 2), (3, 4,  -  2)}}}$ से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं $\mathbf{(0,3,2)}$ और $\mathbf{(3,5,6)}$ से जाने वाली रेखा पर लंब है।

उत्तर: मान लीजिए ${\text{A(1,  -  1, 2), B(3, 4,  -  2), C(0,3,2), D(3,5,6)}}$

${\text{AB}}$ का दिक्- अनुपात \[{\text{ =  }}\left( {{\text{3  -  1, 4  -  }}\left( {{\text{ -  1}}} \right){\text{,  -  2  -  2}}} \right)\]

\[{\text{ =  }}\left( {{\text{2, 5,  -  4}}} \right)\]

${\text{CD}}$ का दिक्- अनुपात \[{\text{ =  }}\left( {{\text{3  -  0, 5  -  3, 6  -  2}}} \right)\]

\[{\text{ =  }}\left( {{\text{3, 2, 4}}} \right)\]

$a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}$

$2\times 3 + 5 \times 2 + (-4) \times 4 = 6+10-16 = 0 $

अतः, रेखा ${\text{AB}}$ और ${\text{CD}}$ लंबवत है।

3. दर्शाइए कि बिंदुओं $\mathbf{(4,7,8),\,\,\,(2,3,4)}$से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं $\mathbf{{\text{( - 1, - 2,1), (1,2,5)}}}$से जाने वाली रेखा के समांतर है।

उत्तर: मान लीजिए ${\text{A(4,7,8), B(2,3,4), C( - 1, -  2,1), D(1,2,5)}}$

${\text{AB}}$  का दिक्-अनुपात ${\text{ =  (2  -  4, 3  -  7, 4  -  8)  =  ( -  2, -  4, -  4)}}$

$a_1  =   -  2, b_1  =   -  4, c_1  =   -  4$

${\text{CD}}$ का दिक्- अनुपात ${\text{ =  (1  -  ( - 1), 2  -  ( - 2), 5  -  1)}}$

$  {\text{ =  (2,4,4)}} \ \\$

$  {{\text{a}}_2}{\text{  =  2,}}{{\text{b}}_2}{\text{  =  4, }}{{\text{c}}_2}{\text{  =  4}} \ \\$

 $ {{\text{a}}_1}{\text{/}}{{\text{a}}_2}{\text{  =   -  2/2  =   -  1}} \ \\$

$  {{\text{b}}_1}{\text{/}}{{\text{b}}_2}{\text{  =   -  4/4  =   -  1}} \ \\$

$  {{\text{c}}_1}{\text{/}}{{\text{c}}_2}{\text{  =   -  4/4  =   -  1}} \ \\ $

अतः, ${{\text{a}}_1}{\text{/}}{{\text{a}}_2}{\text{  =  }}{{\text{b}}_1}{\text{/}}{{\text{b}}_2}{\text{  =  }}{{\text{c}}_1}{\text{/}}{{\text{c}}_2}$

रेखा ${\text{AB}}$  और ${\text{CD}}$ समांतर है।

4. बिंदु $\mathbf{(1,2,3)}$से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश $\mathbf{3 \hat{\imath} \ + \ 2 \hat{j} \ - \ 2 \hat{k}}$ के समांतर है।

उत्तर: मान लीजिए,

$  {a  \ =  \hat{\imath}  \ + \ 2\hat{j} \ + \  3\hat{k}} \ \\$

$  {b  =  3\hat{i} +  2\hat{j}  -  2\hat{k}} \ \\ $

इसलिए रेखा का सदिश समीकरण है 

$r  =  \hat{\imath}   +  2\hat{j}  +  3\hat{k}  +  \lambda \left( 3 \hat{\imath}   +  2 \hat{j}  -  2 \hat{k} \right)$

5. बिंदु जिसकी स्थिति सदिश $\mathbf{2 \ \hat{\imath}   -  \hat{j}  +  4\hat{k}}$से गुजरने व सदिश $\mathbf{\hat{i}  +  2\hat{j}  -  \hat{k}}$ की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a \ = \ 2\hat{\imath} \ - \ \hat{j} \ + \ 4\hat{k}$

$b \ = \ \hat{i} \ + \ 2\hat{j}  -  k$

 इसलिए, रेखा का सदिश समीकरण है

$r = 2 \hat{i} - \hat{j} \ + \ 4 \hat{k} \ + \ \lambda \left ( \hat{i} \ + \ 2 \hat{j} \ - \hat{k} \right )$

 अब, 

$x \hat{i} \ + \ y \hat{j} \ + z \hat{k} \ = \ \lambda \ + \ 2 \ \hat{\imath} \ + \ 2 \lambda \ - \ 1 \hat{j} \ + \ \left ( \ - \ \lambda \ + \ 4 \right ) \hat{k} $

$\lambda$ का विलोपन करने पर,

${\text{(x  -  2)/1  =  (y  +  1)/2  =  (z  -  4)/ - 1}}$

6. उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $\mathbf{{\text{( -  2, 4,  -  5)}}}$से जाती है और $\mathbf{(x  +  3)/3  =  (y  -  4)/5  =  (z  +  8)/6}$ के समांतर है।

उत्तर: बिंदु ${\text{( -  2, 4,  -  5)}}$ रेखा ${\text{(x  +  3)/3  =  (y  -  4)/5  =  (z  +  8)/6}}$ के समांतर है।

रेखा ${\text{(x  +  3)/3  =  (y  -  4)/5  =  (z  +  8)/6}}$का दिक्-अनुपात ${\text{(3,5,6)}}$है

रेखा जो बिंदु ${\text{( - 2,4, - 5)}}$ से जाती है और जिसका दिक्-अनुपात ${\text{(3,5,6)}}$ है, उसका कार्तीय समीकरण :

$  {\text{x  -  ( -  2)/3  =  (y  -  4)/5  =  z  -  ( -  5)/6}} \ \\$

$  {\text{(x  +  2)/3  =  (y  -  4)/5  =   (z  +  5)/6}} \ \\ $

7. एक रेखा का कार्तिक समीकरण $\mathbf{{\text{(x  -  5)/3  =  (y  +  4)/7  =  (z  -  6)/2}}}$ है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ${\text{(x  -  5)/3  =  (y  +  4)/7  =  (z  -  6)/2}}$

रेखा बिंदु ${\text{(5, - 4,6)}}$ से होकर जाएगा 

$a \ = \ 5 \hat{i} \ - \ 4 \hat{j} \ + \ 6 \hat{k} $

रेखा का दिक्- अनुपात \[{\text{ =  }}\left( {{\text{3,7,2}}} \right)\]

$  b \ = \ 3 \hat{i} \ + \ 7 \hat{j} \ + \ 2 \hat{k} \ \\$

$  r  =  a  +  \lambda b \ \\$

$  r   =  5\hat{\imath}   -  4\hat{j}  +  6\hat{k}  +  \lambda \left( 3\hat{\imath}    +  7\hat{j}  +  2\hat{k} \right) \ \\ $

8. मूल बिंदु और $\mathbf{{\text{(5,  - 2, 3)}}}$ से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए ${\text{a}}$और ${\text{b}}$स्थित सदिश बिन्दु \[\left( {{\text{0,0,0}}} \right)\] और ${\text{(5,  - 2, 3)}}$ का 

$a  =  0\hat{\imath} +  0\hat{j}  +  0\hat{k}$ तथा $b  =  5\hat{i}  -  2\hat{j}  +  3\hat{k}$

अब 

$ r  =  a  +  \lambda (b  -  a) \ \\$

$ r  =  0  +  \lambda \left( 5 \hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  3\hat{k} -  0 \right) \ \\$

$  r  =  \lambda \left( 5 \hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  3\hat{k} \right) \ \\$

$  r  =  x \hat{\imath}   +  y\hat{j}  +  z\hat{k}.......................(i) \ \\$

$  x\hat{i}  +  y\hat{j}  +  z\hat{k} =  \lambda \left( 5\hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  3\hat{k} \right) \ \\$

$  x\hat{i}  +  y\hat{j}  +  z\hat{k}  = 5\lambda \hat{\imath}  - 2 \lambda j   +  3\lambda \hat{k} \ \\ $

अब,

$  x  =  5\lambda , y  =   -  2\lambda , z  =  3\lambda \ \\$

$x/5  =  y/ -  2  =  z/3 \ \\ $

9. बिंदुओ \[\mathbf{\left( {{\text{3, - 2, - 5}}} \right){\text{,}}}\]और $\mathbf{{\text{(3,  -  2, 6)}}}$से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए ${\text{a}}$ और ${\text{b}}$ स्थित सदिश बिन्दु \[\left( {{\text{3, - 2, - 5}}} \right){\text{,}}\] और ${\text{(3,  -  2, 6)}}$ का 

$a  =  3\hat{\imath}   -  2\hat{j}  -  5\hat{k}$ तथा $b  =  3\hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  6\hat{k}$

अब,

$r  =  a  +  \lambda (b  -  a)\ \\$

$  r  =  3\hat{i}  -  2\hat{j}  -  5\hat{k}  +  \lambda \left[ {\left( 3\hat{i}  -  2\hat{j}  +  6\hat{k} \right){\text{  -  }} \left( 3\hat{i}  -  2\hat{j}  -  5\hat{k} \right)} \right] \ \\$

$  r  =  3\hat{i}  -  2\hat{j}  -  5\hat{k}  +  \lambda \left( 3\hat{i}  -  2\hat{j}  +  6\hat{k}  -  3\hat{\imath}   +  2\hat{j}  +  5\hat{k} \right) \ \\ $

$  r  =  3\hat{\imath}   -  2\hat{j}  -  5\hat{k}  +  \lambda \left( 11 \hat{k} \right) \ \\$

$  r  =  x\hat{i}  +  y\hat{j}  +  z\hat{k}...........................(i) \ \\ $

$x\hat{\imath}   +  y\hat{j}  +  z\hat{k}  =  3\hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  (11\lambda   -  5)\hat{k}$

अब,

$  {x  =  3, y  =   -  2, z  =  11 \lambda   -  5}\ \\$

$(x  -  3)/0  =  (y  +  2)/0  =  (z  +  5)/11\ \\ $

10. निम्नलिखित रेखा- युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

1. $\mathbf{r  =  2\hat{i}  -  5\hat{j}  +  \hat{k}  +  \lambda \left( 3\hat{i}  +  2\hat{j}  +  6\hat{k} \right)$ और $r  =  7\hat{i}  -  6\hat{k}  +  \mu \left( \hat{i}  +  2 \hat{j}  +  2\hat{k} \dfrac{{\delta y}}{{\delta x}} \right)}$

उत्तर: $\cos \theta=\dfrac{b_{1} \cdot b_{2}}{\left|b_{1}\right|\left|b_{2}\right|}$

$  {{b}_1}{ =  3\hat{\imath}   +  2\hat{j}  +  6\hat{k}} \ \\$

$  {{\text{b}}_2}{=  \hat{\imath}   +  2\hat{j}  +  2\hat{k}} \ \\$

$  {\text{| }}{{\text{b}}_1}{\text{ | =  }}\sqrt {{{{\text{3}}^2}} {\text{  +  }}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{6}}^{\text{2}}}}{\text{  =  }}\sqrt {{\text{9}} {\text{  +  4  +  36}}}=\sqrt {{\text{49}}} {\text{  =  7}} \ \\$

$  {\text{| }}{{\text{b}}_2}{\text{ |  =  }}\sqrt {{{{\text{1}}^2}} {\text{  +  }}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{2}}^{\text{2}}}}{\text{  =  }}\sqrt {{\text{1}} {\text{  +  4  +  4  =  }}}\sqrt {\text{9}} {\text{  =  3}} \ \\$

$b_1 \cdot b_2 \ = \ \left ( 3 \hat{i} \ + \ 2 \hat{j} + 6 \hat{k} \right ) \times \left ( \hat{i} \ + \ 2 \hat{j} \ + \ 2k \right ) \ \\$

$  {\text{ = }} 3  \times  1  +  2  \times  2  +  6  \times  2 \ \\$

$  {\text{ =  3  +  4  +  12  =  19}} \ \\$

$  {\text{cos}} \theta   =  19/7  \times  3  =  19/21 \ \\$

$  {\text{ }}\theta   =  co{{\text{s}}^{\text{ - 1}}}{\text{(19/21)}} \ \\ $

2. $\mathbf{r=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda(i-\hat{j}-2 \hat{k})}$ और $\mathbf{r=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})}$

उत्तर: $\cos \theta=\dfrac{b_{1} \cdot b_{2}}{\left|b_{1}\right|\left|b_{2}\right|}$

$\mathrm{b}_1=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{b}_2=3 \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}}$

$|\mathrm{b}_1|=\sqrt{{1^{2}}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$

$|\mathrm{~b}_2|=\sqrt{{3^{2}}+(-5)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{{9}+25+16}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$

$\mathrm{~b}_1 . \mathrm{b}_2=(\mathrm{i}-\hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}) \times(3 \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}})$

$=1 \times 3-1 \times(-5)-2 \times(-4)$

$=3+5+8=16$

$\cos \theta=\dfrac{16}{\sqrt{6} \times 5 \sqrt{2}}$

$=16 / 10 \sqrt{3}=8 / 5 \sqrt{3}$

$\theta=\cos ^{-1}(8 / 5 \sqrt{3})$

11. निम्नलिखित रेखा- युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए: 

(i) $(\mathrm{x}-2) / 2=(\mathrm{y}-1) / 5=(\mathrm{z}+3) /-3$ और $(\mathrm{x}+2) /-1=(\mathrm{y}-4) / 8=(z-5) / 4$

उत्तर: $(\mathrm{x}-2) / 2=(\mathrm{y}-1) / 5=(\mathrm{z}+3) /-3$

$(x+2) /-1=(y-4) / 8=(z-5) / 4$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात $=(2,5,-3)$ तथा $(-1,8,4)$

$\cos \theta=\mathrm{a}_1 \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 \mathrm{~b}_2+\mathrm{c}_1 \mathrm{c}_2 / \sqrt{{\mathrm{a}_1^{2}}+\mathrm{b}_1^{2}+\mathrm{c}_1^{2}} \sqrt{{\mathrm{a}_2^{2}}+\mathrm{b}_2^{2}+\mathrm{c}_2^{2}}$

$=2 \times(-1)+5 \times 8+(-3) \times 4 / \sqrt{2^{2}+5^{2}+(-3)^{2}} \sqrt{(-1)^{2}+8^{2}+4^{2}}$

$=26 / \sqrt{3} 8 \sqrt{81}=26 / 9 \sqrt{38}$

$\theta=\cos ^{-1}(26 / 9 \sqrt{38})$

(ii) $\mathbf{x / 2=y / 2=z / 1}$ और $\mathbf{(x-5) / 4=(y-2) / 1=(z-3) / 8}$

उत्तर: $\mathrm{x} / 2=\mathrm{y} / 2=\mathrm{z} / \mathrm{1}$

$(x-5) / 4=(y-2) / 1=(z-3) / 8$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात $=(2,2,1),(4,1,8)$

$\cos \theta=2 \times 4+2 \times 1+1 \times 8 / \sqrt{{2^{2}}+2^{2}+1^{2}} \sqrt{4^{2}+1^{2}+8^{2}}$

$=18 / \sqrt{9} \sqrt{81}=18 / 3 \times 9=2 / 3$

$\theta=\cos ^{-1}(2 / 3)$

12. $\mathbf{{\text{p}}}$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएं $\mathbf{{\text{(1  -  x)/3  =  (7y  -  14)/2p  =  (z  -  3)/2}}}$ और $\mathbf{{\text{(7  -  7x)/3p  =  (y  -  5)/1  =  (6  -  z)/5}}}$ परस्पर लंब हो।

उत्तर: ${\text{(1  -  x)/3  =  (7y  -  14)/2p  =  (z  -  3)/2}}$

$   \Rightarrow {\text{(x  -  1)/ - 3  =  (y  -  2)/2p/7  =  (z  -  3)/2}} \ \\$

 $ {\text{(7  -  7x)/3p  =  (y  -  5)/1  =  (6  -  z)/5}} \ \\$

$   \Rightarrow {\text{(x  -  1)/ -  3p/7  =  (y  -  5)/1  =  (z  -  6)/ -  5}}  \\ $

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात \[{\text{ =  ( - 3,2p/7,2),    ( -  3p/7,1, - 5)}}\]

अब,

$  {{\text{a}}_1}{{\text{a}}_2}{\text{  +  }}{{\text{b}}_1}{{\text{b}}_2}{\text{  +  }}{{\text{c}}_1}{{\text{c}}_2}{\text{  =  0}} \ \\$

$  {\text{( -  3)( -  3p/7)  +  (2p/7)(1)  +  2( -  5)  =  0}} \ \\$

$  {\text{9p/7  +  2p/7  -  10  =  0}} \ \\$

$  {\text{11p/7  =  10}} \ \\$

$  {\text{p  =  70/11}} \ \\ $

13. दिखाइए की रेखाएं $\mathbf{{\text{(x  -  5)/7  =  (y  +  2)/ -  5  =  z/1}}}$ और $\mathbf{{\text{x/1  =  y/2  =  z/3}}}$परस्पर लंब है।

उत्तर: ${\text{(x  -  5)/7  =  (y  +  2)/ -  5  =  z/1}}$

${\text{x/1  =  y/2  =  z/3}}$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात ${\text{ =  (7, - 5,1),(1,2,3)}}$

$  {{\text{a}}_1}{{\text{a}}_2}{\text{  +  }}{{\text{b}}_1}{{\text{b}}_2}{\text{  +  }}{{\text{c}}_1}{{\text{c}}_2}{\text{  =  0}} \ \\$

$  {\text{7(1)  +  ( -  5)(2)  +  1(3)  =  7  -  10  +  3  =  0}} \ \\ $

इसलिए दोनों रेखाएं अभिलम्ब है 

14. रेखाओं $\mathbf{\mathrm{r}=(\mathrm{i}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})}$ और $\mathbf{\mathrm{r}=2 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}+\mu(2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\mathrm{r}=(\mathrm{i}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$ और $\mathrm{r}=2 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}+\mu(2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})$

$\mathrm{r}=\mathrm{a}_{1}+\lambda \mathrm{b}_{1}$ तथा $\mathrm{r}=\mathrm{a}_{2}+\mu \mathrm{b}_{2}$

$a_{1}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, b_{1}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

$a_{2}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, b_{2}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$

अब,

$\begin{array}{l} \mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right| \\ =\hat{\mathrm{i}}(-2-1)-\hat{\mathrm{j}}(2-2)+\hat{\mathrm{k}}(1+2) \\ =-3 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{k}} \\ \left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|=\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \end{array}$

$\text { न्यूनतम दूरी }=\dfrac{\left|\left(b_{1} \times b_{2}\right) \times\left(a_{2}-a_{1}\right)\right|}{\left|b_{1} \times b_{2}\right|}$

$=|(-3 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{k}}) \times(\hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}})| / 3 \sqrt{2}$

$=|(-3) \times 1+0 \times(-3)+3 \times(-2)| / 3 \sqrt{2}$

$=9 / 3 \sqrt{2}=3 \times \sqrt{2} / \sqrt{2} \times \sqrt{2}$

$=3 \sqrt{2} / 2$

15. रेखाओं $\mathbf{{\text{(x  +  1)/7  =  (y  +  1)/  -  6  =  (z  +  1)/1}}}$और $\mathbf{{\text{(x  -  3)/1  =  (y  -  5)/ -  2  =  (z  -  7)/1}}}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

उत्तर: ${\text{(x  +  1)/7  =  (y  +  1)/  -  6  =  (z  +  1)/1}}$ और ${\text{(x  -  3)/1  =  (y  -  5)/ -  2  =  (z  -  7)/1}}$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात ${\text{ =  (7, - 6,1), ( - 1,  - 1,  -  1)}}$

$\mathrm{r}_{1}=-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}+\lambda(7 \hat{\mathrm{i}}-\hat{6} \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$

$\mathrm{r}_{2}=3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}}+\mu(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$

$\mathrm{r}_{1}=\mathrm{a}_{1}+\lambda \mathrm{b}_{1}, \mathrm{r}_{2}=\mathrm{a}_{2}+\mu \mathrm{b}_{2}$

$\mathrm{a}_{1}=-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}, \mathrm{b}_{1}=7 \hat{i}-6 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{a}_{2}=3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}}, \mathrm{b}_{2}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}=(3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}})-(-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})$

$=4 \hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathrm{j}}+8 \hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|$

$=\hat{i}(-6+2)-\hat{j}(7-1)+\hat{k}(-14+6)$

$=-4 \hat{i}-6 \hat{j}-8 \hat{k}$

$|b_1 \times b_2|=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}+(-8)^{2}}$

$=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}=2 \sqrt{29}$

$\text { न्यूनतम दूरी }=\dfrac{\left|\left(b_{1} \times b_{2}\right) \times\left(a_{2}-a_{1}\right)\right|}{\left|b_{1} \times b_{2}\right|}$

$=|(-4 \hat{i}-6 \hat{j}-8 \hat{k}) \times(4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k})| / 2 \sqrt{29}$

$=|(-4) 4+(-6) 6+(-8) 8| / 2 \sqrt{29}$

$=|-16-36-64| / 2 \sqrt{29}$

$=116 / 2 \sqrt{29}=58 / \sqrt{29}$

$=2 \sqrt{29}$

16. रेखाएं, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:

$\mathbf{{\text{r  =  }}\left( \hat{i}  +  2\hat{j}  +  3\hat{k} \right) +  \lambda \left( \hat{\imath}   -  3\hat{j}  +  2\hat{k} \right)$ और $r  =  4\hat{\imath}   +  5\hat{j}  +  6\hat{k}  +  \mu \left( {2\hat{\imath}   +  3\hat{j}  +  \hat{ k}} \right)}$

उत्तर: $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ and $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$

$\vec{a}_{1}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}_{1}=\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ 

$\vec{a}_{2}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}$, $\vec{b}_{2}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ 

$\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right|=-9 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k}$

$\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=3 \sqrt{19} \therefore\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right) \cdot\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right)=9$

$d=\left|\dfrac{\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right) \cdot\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|=\dfrac{9}{3 \sqrt{19}}=\dfrac{3}{\sqrt{19}}$

17. रेखाएं, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:

$\mathbf{r  =  (1  -  t)\hat{\imath}   +  (t  -  2)\hat{j}  +  (3  -  2t)\hat{k}}$ और $\mathbf{{\text{r}}  =  (s  +  1)\hat{\imath}   +  (2s  -  1)\hat{j}  -  (2s  +  1)\hat{k}}$   

उत्तर: ${\text{r}  =  (1  -  t)\hat{\imath}   +  (t  -  2)\hat{j}  +  (3  -  2t)\hat{k}}$ और ${\text{r}  =  (s  +  1)\hat{\imath}   +  (2s  -  1)\hat{j}  -  (2s  +  1)\hat{k}}$   

$r=a_{1}+t b_{1}, r=a_{2}+s b_{2}$

$a_{1}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}, b_{1}=-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

$a_{2}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, b_{2}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$

$a_{2}-a_{1}=(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) \mid$

$=\hat{j}-4 \hat{k}$

$\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right|$

$=(-2+4) \hat{i}-(2+2) \hat{j}+(-2-1) \hat{k}$

$=2 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$

$\left|b_{1} \times b_{2}\right|=\sqrt{{2^{2}}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}$

$=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$

$\text { न्यूनतम दूरी }=|(2 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}) \times(\hat{j}-4 \hat{k})| / \sqrt{2} 9$

$=|-4+12| / \sqrt{29}$

$=8 / \sqrt{29}$

प्रश्रावली 11.3

1. निम्नलिखित प्रश्रों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब की दिक कोसाइन और मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए।

1. $\mathbf{{\text{z  =  2}}}$

उत्तर: दिये गये समतल का समीकरन ${\text{z  =  2}}$ इसकी तुलना समतल के मानक समीकरन ${\text{lx  +  my  +  nz  =  p}}$ से करने पर, समतल की मूलबिन्दु से दूरी ${\text{p  =  2}}$ मात्रक तथा समतल के अभिलम्ब की दिक कोसाइन ${\text{l  =  0, m  =  0, n  =  1}}$

यहां ${\text{x  =  0}}$ तथा ${\text{y  =  0}}$ है। इसलिये ${\text{z  =  2}}$ की मूल बिन्दु से दूरी ${\text{ =  2}}$

2. $\mathbf{{\text{x  +  y  +  z  =  1}}}$ 

उत्तर: दिये गये समतल का समीकरन ${\text{x  +  y  +  z  =  1}}$

दोनों पक्षों को $\dfrac{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}{1} = \sqrt 3 $से भाग देने पर, 

${\text{(l/}}\sqrt {\text{3}} {\text{)x  +  (1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{)y  +  (1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{)z   =  1/}}\sqrt {\text{3}} $

इसकी तुलना समतल के मानक समीकरन ${\text{1x  +  my  +  nz  =  p}}$  से करने पर, समतल पर अभिलम्ब के दिक कोसाइन

${\text{I  =  1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{, m  =  1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{, n  =  1/}}\sqrt {\text{3}} $अर्थात ${\text{1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{, 1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{, 1/}}\sqrt {\text{3}} $ व 

मूलबिन्दु से दूरी ${\text{p  =  1/}}\sqrt {\text{3}} $

3. $\mathbf{{\text{2x  +  3y  -  z  =  5}}}$ 

उत्तर: दिये गये समतल का समीकरन ${\text{2x  +  3y  -  z  =  5}}$  समतल के अभिलम्ब के दिक अनुपात ${\text{2,3, - 1}}$हैं।

$\sqrt {4 + 9 + 1}  = \sqrt {14} $

समतल के अभिलम्ब के दिक कोसाइन $2/\sqrt {14} ,3/\sqrt {14} , - 1/\sqrt {14} $

पुन: ${\text{2x  +  3y  -  z  =  5}}$

दोनों पक्षों में $1/\sqrt {14} $ से गुना करने पर

${\text{(2/}}\sqrt {{\text{14}}} {\text{)x  +  (3/}}\sqrt {{\text{14}}} {\text{)y  -  (1/}}\sqrt {{\text{14}}} {\text{)z  =  5/}}\sqrt {{\text{14}}} $

अत: मूल बिन्दु से समतल की दूरी, ${\text{d  =  5/}}\sqrt {{\text{14}}} $

4. $\mathbf{{\text{5y  +  8  =  0}}}$

उत्तर: समतल का समीकरन,

${\text{5y  +  8  =  0}}$

या ${\text{0}}{\text{.x  +  5y  +  0}}{\text{.z  =   -  8}}$

समतल के अभिलम्ब के दिक अनुपात $ = 0,5,0$ या $0,1,0$

समतल के अभिलम्ब के दिक कोसाइन $ = 0,1,0$

${\text{0}}{\text{.x  +  5y  +  0}}{\text{.z  =   -  8/5}}$

$  {\text{ }}{\vec{ r}}\overrightarrow {{\text{. j}}} {\text{  =   -  8/5}} \ \\$

$  {\text{ }}{\vec{ r }}{\text{.}}\overrightarrow {{\text{  -  j}}} {\text{  =  8/5}} \ \\ $

मूलबिन्दु से दूरी $ = \,\,| - 8/5|\,\, = 8/5$

2. उस समतल का सदिश समीकरन ज्ञात कीजिए, जो मूल बिन्दु से $\mathbf{{\text{7 }}}$ मात्रक दूरी पर है, ओर सदिश $\mathbf{{3\hat{\imath}   +  5\hat{j}  -  6\hat{k}}}$पर अभिलम्ब है।

उत्तर: यहां $p=7$ मात्रक

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\jmath}-6 \hat{\mathrm{k}}$

$\hat{\mathrm{n}}=\overrightarrow{\mathrm{n}} /|\overrightarrow{\mathrm{n}}|=(3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\jmath}-6 \hat{\mathrm{k}}) /(\sqrt{9+25-36})$

$=(1 / \sqrt{70}) \cdot(3 \hat{i}+5 \hat{\jmath}-6 \hat{\mathrm{k}})=7$

तल का अभीश्त समीकरन $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot \hat{\mathrm{n}}=\mathrm{p}$ से $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}-6 \hat{\mathrm{k}}) / \sqrt{70}=7$

3. निम्नलिखित समतलों का कार्तीय समीकरन ज्ञात कीजिए:

1. $\mathbf{\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$

इसमें $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\mathrm{x} \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{y} \hat{\jmath}+z \hat{\mathrm{k}}$ रखने पर

$(x \hat{i}+y \hat{\jmath}+z \hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{\jmath}-\hat{k})=2$

या $\mathrm{x} .1+\mathrm{y} .1+\mathrm{z}(-1)=2$

अत: समतल का कार्तीय समीकरन

$x+y-z=2$

2. $\mathbf{\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}})=1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}})=1$

इसमें $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\mathrm{x} \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{y} \hat{\jmath}+z \hat{\mathrm{k}}$ रखने पर

$(\mathrm{x} \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{y} \hat{\jmath}+z \hat{\mathrm{k}}) \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\jmath}-4 \hat{\mathrm{k}})=1$

या $x .2+y \cdot 3+z(-4)=1$

अत: समतल का कार्तीय समीकरन

$2 x+3 y-4 z=1$

3. $\mathbf{\vec{r} \cdot[(s-2 t) \hat{i}+(3-t) \hat{j}+(2 s+t) \hat{k}]=15}$

उत्तर: दिया गया समीकरण 

$\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot[(\mathrm{s}-2 \mathrm{t}) \hat{i}+(3-\mathrm{t}) \hat{\mathrm{j}}+(2 \mathrm{~s}+\mathrm{t}) \hat{\mathrm{k}}]=15$

इसमें $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ रखने पर

$(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot[(s-2 t) \hat{i}+(3-t) \hat{j}+(2 s+t) \hat{k}]=15$

या $x \cdot(s-2 t)+y \cdot(3-t)+z \cdot(2 s+t)=15$

अत: समतल का कार्तीय समीकरन

$(s-2 t) x+(3-t) y+(2 s+t) z=15$

4. निम्नलिखित स्थितियों में, मूल बिन्दु से खींचे गये लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

1. $\mathbf{2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 z-12=0}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}-12=0$

दोनों पक्षों में $\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$ से भाग करने पर

$\dfrac{2}{\sqrt{29}} \mathrm{x}+\dfrac{3}{\sqrt{29}} \mathrm{y}+\dfrac{4}{\sqrt{29}} \mathrm{z}=\dfrac{12}{\sqrt{29}}$

यही समतल का अभिलम्ब रूप है।

अभिलम्ब के दिक कोसाइन $l=\dfrac{2}{\sqrt{29}}, \mathrm{~m}=\dfrac{3}{\sqrt{29}}, \mathrm{n}=\dfrac{4}{\sqrt{29}}$

समतल की मूल बिन्दु से दूरी $\mathrm{d}=\dfrac{12}{\sqrt{29}}$

मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$x=ld=\dfrac{12}{\sqrt{29}} \times \dfrac{2}{\sqrt{29}}=\dfrac{24}{29}$

$y=m d=\dfrac{12}{\sqrt{29}} \times \dfrac{3}{\sqrt{29}}=\dfrac{36}{29}$

$z=n d=\dfrac{12}{\sqrt{29}} \times \dfrac{4}{\sqrt{29}}=\dfrac{48}{29}$

अत: लम्ब के पाद के निर्देशान्क $=\left(\dfrac{24}{29}, \dfrac{36}{29}, \dfrac{48}{29}\right)$

2. $\mathbf{3 \mathrm{y}+4 z-6=0}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}-6=0$

दोनों पक्षों में $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=5$ से भाग करने पर

$\dfrac{3}{5} y+\dfrac{4}{5} z=\dfrac{6}{5}$

यही समतल का अभिलम्ब रूप है।

अभिलम्ब के दिक कोसाइन $\mathrm{l}=0, \mathrm{~m}=\dfrac{3}{5} \mathrm{n},=\dfrac{4}{5}$

समतल की मूल बिन्दु से दूरी $\mathrm{d}=\dfrac{6}{5}$

मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$x=l d=\dfrac{6}{5} \times 0=0$

$y=m d=\dfrac{6}{5} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{18}{25}$

$z=\text { nd }=\dfrac{6}{5} \times \dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}$

अत: लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$=\left(0, \dfrac{18}{25}, \dfrac{24}{25}\right)$

3. $\mathbf{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1$

दोनों पक्षों में $\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$ से भाग करने पर

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{x}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{y}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

यही समतल का अभिलम्ब रूप है।

अभिलम्ब के दिक कोसाइन $1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \mathrm{~m}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \mathrm{n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

समतल की मूल बिन्दु से दूरी $\mathrm{d}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$x=1 d=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$

$y=m d=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$

$z=n d=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$

अत: लम्ब के पाद के निर्देशान्क $=\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right)$

4. $\mathbf{5 y+8=0}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $5 \mathrm{y}+8=0$

अभिलम्ब के दिक कोसाइन $\mathrm{I}=0, \mathrm{~m}=1, \mathrm{n}=0$

समतल की मूल बिन्दु से दूरी $\mathrm{d}=-\dfrac{8}{5}$

मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$x=1 d=-\dfrac{8}{5} \times 0=0$

$y=m d=-\dfrac{8}{5} \times 1=-\dfrac{8}{5}$

$z=n d=-\dfrac{8}{5} \times 0=0$

अत: लम्ब के पाद के निर्देशान्क $=\left(0,-\dfrac{8}{5}, 0\right)$

5. निम्नलिखित प्रतिबन्धों के अन्तर्गत समतलों का सदिश एवम कार्तीय समीकरन ज्ञात कीजिए जो:

1. बिन्दु $(1,0,-2)$ से जाता हो और $\mathbf{\hat{i}+\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}}$ समतल पर अभिलम्ब है।

उत्तर: सदिश समीकरन :

सदिश रूप में समीकरन

$(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{n}=0$

यहां $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(1,0,-2)=\hat{i}-2 \hat{\mathrm{k}}$

तथा $\vec{n}=\hat{i}+\hat{\jmath}-\hat{k}$

समतल का समीकरन

$[\vec{r}-(\hat{i}-2 \hat{k})] \times(\hat{i}+\hat{\jmath}-\hat{k})=0$

कार्तीय समीकरन :

समतल का समीकरन जो $(\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{z} 1)$ से गुजरता है और लम्ब के दिकअनुपात $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ हैं।

$a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

यहां समतल बिन्दु $(1,0,-2)$ से गुजरता है और लम्ब के दिक-अनुपात $(1,1,-1)$ हैं।

अर्थात $x_{1}=1$, $y_{1}$=0,$z_{1}$=-2, a=1, b=1, c=-1

समतल का समीकरन

$1 .(\mathrm{x}-1)+1 \times(\mathrm{y}-0)+(-1)(z+2)=0$

या $x-1+y-z-2=0$

या $\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}=3$

2. बिन्दु $\mathbf{(1,4,6)}$ से जाता हो और $\mathbf{\hat{i}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}}$ समतल पर अभिलम्ब सदिश है।

उत्तर: सदिश समीकरन :

समतल बिन्दु $(1,4,6)$ से हो कर जाता है तथा लम्ब सदिश $\hat{i}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}$ समतल का समीकरन

$(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{n}=0$

या $[\overrightarrow{\mathrm{r}}-(\hat{i}+4 \hat{\mathrm{j}}+6 \hat{\mathrm{k}})] \times(\hat{i}+2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})=0$

कार्तीय समीकरन

यहां समतल बिन्दु $(1,4,6)$ से गुजरता है और लम्ब के दिक-अनुपात $(1,-2,1)$ हैं। अर्थात $x_1=1, y_1=4, z_1=6 a=1, b=-2, c=1$

समतल का समीकरन

$1 \cdot(x-1)-2 \times(y-4)+(z-6)=0$

या $x-2 y+z-1+2=0$

या $\mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}-1+2=0$

या $x-2 y+z+1=0$

6. उन समतलों का समीकरन ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिन्दुओं से गुजरता है।

1. $\mathbf{(1,1,-1),(6,4,-5),(-4,-2,3)}$

उत्तर: यदि $a, b, c$ समतल के लम्ब के दिक अनुपात हैं तो $(x_1, y_1, z_1)$ से गुज़रने वाले समतल का समीकरन 

$a(x-x_1)+b \times(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

बिन्दु $\mathrm{A}(1,1,-1)$ से गुज़रने वाले समतल का समीकरन $\mathrm{a} \cdot(\mathrm{x}-1)+\mathrm{b} .(\mathrm{y}-1)+\mathrm{c}(\mathrm{z}+1)=0$ बिन्दु $\mathrm{B}(6,4,-5)$ इस समीकरन पर स्तिथ हो, तब

$a.(6-1)+\mathrm{b} \cdot(4-1)+\mathrm{c}(-5+1)=0$

या $5 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}-4 \mathrm{c}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .(1)$

और बिन्दु $(-4,-2,3)$ इस समीकरन पर स्तिथ हो, तब

$a.(-4-1)+b \cdot(-2-1)+c(3+1)=0$

या $-5 a-3 b+4 c=0$

या $5 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}-4 \mathrm{c}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots .(2)$

नहां समीकरन (1) और (2) एक ही समीकरन हैं।

अत: $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ के अनन्त मूल हो सकते हैं जो इस समीकरन को सन्तुश्त करते हैं।

इसीलिये एक रेखा से गुज़रने वाले अनन्त समतल हो सकते हैं।

2. $\mathbf{(1,1,0),(1,2,1),(-2,2,-1)}$

उत्तर: यदि $a, b, c$ समतल के लम्ब के दिक अनुपात हैं तो $(x_1, y_1, z_1)$ से गुज़रने वाले समतल का समीकरन a. $(x-x_1)+b \cdot(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

बिन्दु $A(1,1,0)$ से गुज़रने वाले समतल का समीकरन

$\text { a. }(x-1)+b \cdot(y-1)+c(z+0)=0 \ldots$

बिन्दु $\mathrm{B}(1,2,1)$ इस समीकरन पर स्तिथ हो, तब

a.$(1-1)+b \times(2-1)+c(1+0)=0$

या $0 . a+b+c=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .(2)$

और बिन्दु $\mathrm{C}(-2,2,-1)$ इस समीकरन (1) में रखने पर,

a.$(-2-1)+b \cdot(2-1)+c(-1)=0$

या $-3 \mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ (3)

समीकरन $(1),(2)$ और $(3)$ मे $a, b, c$ को लुप्त करने से समीकरन

$\left(\begin{array}{llc} \mathrm{x}-1 & \mathrm{y}-1 & \mathrm{z} \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{array}\right)=0$

$\text { या }-2 \mathrm{x}+2-3 \mathrm{y}+3+3 \mathrm{z}=0$

या $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-3 \mathrm{z}=5$

7. समतल $\mathbf{{\text{2x  +  y  -  z  =  5}}}$द्वारा काते गये अन्त खन्दो को कीजिये।

उत्तर: समतल :${\text{2x  +  y  -  z  =  5}}$

इसे ${\text{5}}$ से भाग दीजिये : $\dfrac{{\text{x}}}{{\dfrac{{\text{5}}}{{\text{2}}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{5}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{z}}}{{{\text{ - 5}}}}{\text{  =  1}}$

अन्त खन्द ${\text{OX,OY,OZ}}$पर इस प्रकार है : $\dfrac{{\text{5}}}{{\text{2}}}{\text{, 5,  - 5}}$

8. उस समतल का समीकरन ज्ञात कीजिये जिसका $\mathbf{{\text{y - }}}$ अक्ष पर अन्त खन्द $\mathbf{{\text{3}}$ और जो तल ${\text{ZOX}}}$ के समान्तर है।

उत्तर: समतल के समांतर तल का समीकरन, ${\text{y  =  a}}$

अन्त खन्द 3 बना अर्थात ${\text{a  =  3}}$

तल का अभीश्त समीकरन ${\text{y  =  3}}$

9. उस समतल का समीकरन ज्ञात कीजिये जो समतलों $\mathbf{3 x-y+2 z-4=0}$ और $\mathbf{x+y+z-2=0}$ के प्रतिळेदन तथा बिन्दु $\mathbf{(2,2,1)}$ से होकर जाता है।

उत्तर: दिये गये समतल $3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}-4=0$ और $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-2=0$ के प्रतिछेदन से होकर जाने वाला समतल

$3 x-y+2 z-4=0+p(x+y+z-2)=0$

यह समीकरन बिन्दु $(2,2,1)$ से होकर जाता है।

$3 \times 2-2+2 \times 1-4+p(2+2+1-2)=0$

या $6-2+2-4+\mathrm{p} .3=0$

या $2+3 \mathrm{p}=0$ या $\mathrm{p}=-2 / 3$

$p$ का मान समीकरन (i) में रखने पर

$3 x-y+2 z-4+(-2 / 3)-(x+y+z-2)=0$

या $3 .(3 x-y+2 z-4)+(-2) \cdot(x+y+z-2)=0$

या $9 x-3 y+6 z-12-2 x-2 y-2 z+4=0$

या $7 x-5 y+4 z-8=0$

यही अभीश्त समतल का समीकरन है।

10. उस समतल का सदीश समीकरन ज्ञात कीजिये जो समतलों $\mathbf{\overrightarrow{\mathrm{r}}(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})=7, \quad \overrightarrow{\mathrm{r}}(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})=9}$ के प्रतिळेदन रेखा तथा बिन्दु $\mathbf{(2,1,3)}$ से होकर जाता है।

उत्तर: दिए गए समतलो $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})=7, \overrightarrow{\mathrm{r}} .(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})=9$ के प्रतिछेदन से होकर जाने वाला समतल

$\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})-7+\mathrm{p} \overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})-9=0 \ldots \ldots$

यह समीकरन बिन्दु $(2,1,3)$ अर्थार्त $2 \hat{i}+\hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}}$ से होकर जाता है

$(2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})[(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k})-7]+p[(2 \hat{i}+\hat{\jmath}+3 \hat{k})-(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{k})-9]=0$

या $4+2-9-7+p \cdot(4+5+9-9)=0$

$-10+9 p=0$ या $p=10 / 9$

$p$ का मान समीकरन (।) में रखने पर

$\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathfrak{w}}-3 \hat{\mathrm{k}})-7+(10 / 9)[\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})-9]=0$

या $9[\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})-7]+(10)[\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})-9]=0$

या $\overrightarrow{\mathrm{r}}[9 .(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})+(10) \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})]-63-90=0$

या $\overrightarrow{\mathrm{f}} \cdot[(18+20) \hat{i}+(18+50) \hat{\jmath}+(-27+30) \hat{k}]-153=0$

अभीश्त समतल का समीकरन

$\vec{r. }(38 \hat{i}+68 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})-153=0$

या $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(38 \hat{i}+68 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})=153$

11. तलो $\mathbf{x+y+z=1}$ और $\mathbf{2 x+3 y+4 z=5}$ के प्रतिब्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल $\mathbf{\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=0}$ पर लम्बवत तल का समीकरन ज्ञात कीजिये।

उत्तर: दिये गये समतलों $x+y+z=1,2 x+3 y+4 z=5$ के प्रतिछेदन से होकर जाने वाला समतल का समीकरन

$(x+y+z-1)+p(2 x+3 y+4 z-5)=0$

यह तल $x-y+z=0$ के लम्बवत है।

$(1+2 p) 1+(1+3 p)(-1)+(1+4 p)(1)=0 \quad \therefore[a_1 a_2+b_1 b_2+\operatorname{c_l}c_2=0]$

$1+2 p-1-3 p+1+4 p=0$

$1+3 p=0$

$p=-1 / 3$

अत: अभीश्त समतल का समीकरन $p$ का मान समीकरन (i) में रखने पर,

$\left(1-\dfrac{2}{3}\right) x+\left(1-\dfrac{3}{3}\right) y+\left(1-\dfrac{4}{3}\right) z-1+\dfrac{5}{3}=0$

$(1 / 3) x+0 . y-(1 / 3) z+(2 / 3)=0$

$x-z+2=0$

12. समतलों जिनके सदिश समीकरन $\mathbf{\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})=5}$ और $\mathbf{\overrightarrow{\mathrm{r}}(3 \hat{i}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{\mathrm{k}})=3}$ है, के बीच का कोन ज्ञात कीजिये।

उत्तर: दिए गए सदिश समीकरण है $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})=5$ और $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{\mathrm{k}})=3$

इनकी तुलना समतलों $\overrightarrow{\mathrm{r}} . \overrightarrow{\mathrm{n}}_1=\mathrm{d}_1$ और $\overrightarrow{\mathrm{r}} . \overrightarrow{\mathrm{n}}_2=\mathrm{d}_2$ से करने पर, $\overrightarrow{\mathrm{n}}_1=2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{n}}_2=3 \hat{i}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{\mathrm{k}}$

अत: दोनों समतलों के मध्य कोन,

$\operatorname{Cos} \phi=\left|\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_2}{|\overrightarrow{\mathrm{n}_1}| \overrightarrow{\mathrm{n}}_2|}\right|$

$\operatorname{Cos} \phi=\left|\dfrac{(2 \hat{i}+2 \hat{j})-3 \hat{k}) \times(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})}{(\mid 2 \hat{i}+2 \hat{j}\}-3 \hat{k}|| 3 \hat{i}-3 \hat{j}\}+5 \hat{k} \mid)}\right|$

$=\left|\dfrac{2.3+2 \times(-3)+(-3) \times 5}{\sqrt{4+4+9} \times \sqrt{9+9+25}}\right|$

$=\left|\dfrac{6-6-15}{\sqrt{17} \sqrt{43}}\right|=\left|\dfrac{-15}{\sqrt{17} \sqrt{43}}\right|$

$\phi=\cos ^{-1}\left|\dfrac{-15}{\sqrt{731}}\right|$

13: निस्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिये कि क्या दिये गये समतलों के युग्म समान्तर हैं अथवा लम्बवत और उस स्थिति मे, जब ये न तो समान्तर हैं और न ही लम्बवत तो उनके बीच का कोन ज्ञात कीजिये।

1. $\mathbf{7 x+5 y+6 z+30=0}$ और $\mathbf{3 x-y-10 z+4=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0$

और $a_2 \mathrm{x}+\mathrm{b}_2 \mathrm{y}+\mathrm{c}_2 \mathrm{z}+\mathrm{d}_2=0$

समानंतर होंगे यदि $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2=\mathrm{c}_1/ \mathrm{c}_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a_l} . \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 \mathrm{~b}_2+\mathrm{c_l} . \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$7 x+5 y+6 z+30=0$ तथा $3 x-y-10 z+4=0$ है

यहाँ $\mathrm{a}_1=7, \mathrm{~b}_1=5, \mathrm{c_l}=6$

तथा $\mathrm{a}_2=3, \mathrm{~b}_2=-1, \mathrm{c}_2=-10$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=7 / 3, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=5 /-1$ तथा $\mathrm{c_l} / \mathrm{c}_2=6 /-10$

$7 / 3 \neq 5 /-1 \neq 6 /-10$

अत: यह समान्तर नही है।

अब $a_1 . a_2+b_1 . b_2+c_1 . c_2=7 \times 3+5 \times(-1)+6 \times(-10)$

$=21-5-60 \neq 0$

अत: ये समतल लम्बवत भी नहीं है।

अब दोनों समतलो के बीच कोन $\varnothing$ हो, तो

$\cos \phi=\dfrac{7 \times 3+5 \times(-1)+6 \times(-10)}{\left.\sqrt{7^{2}+5^{2}+6^{2}}\right) \times\left(\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+(-10)^{2}}\right.} \mid$

$=\left|\dfrac{21-5-60}{\sqrt{49+25+36 \sqrt{9+1+100}}}\right|$

$=\left|\dfrac{44}{110}\right|=2 / 5$

$\cos \phi=2 / 5$

$\phi=\cos ^{-1}(2 / 5)$

2. $\mathbf{2 \mathrm{x}+\mathrm{y}+3 \mathrm{z}-2=0}$ और $\mathbf{\mathrm{x}-2 \mathrm{y}+5=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $a 1 x+b_1 y+c l z+d 1=0$

और $a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$

समानंतर होंगे यदि $a_1 / a_2=b_1 / b_2=\mathrm{c}_1 / c_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a}_1 \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 \mathrm{~b}_2+\mathrm{c_l} . \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$2 x+y+3 z-2=0$ और $x-2 y+5=0$

यहां $\mathrm{a}_1=2, \mathrm{~b}_1=1, \mathrm{c_l}=3$

तथा $a_2=1, b_2=-2, c_2=0$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=2 / 1, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=1 /-2$ तथा $\mathrm{c_l} / \mathrm{c}_2=3 / 0$

$2 / 1 \neq 1 /-2 \neq 3 / 0$

अत: यह समान्तर नही है।

अब $a_1 . a_2+b_1 . b_2+c_1 . c_2=2 \times 1+1 \times(-2)+3 \times 0=2-2=0$

अत: ये समतल लम्बवत है।

3. $\mathbf{2 x-2 y+4 z+5=0}$ और $\mathbf{3 x-3 y+6 z-1=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $\mathrm{a}_1 \mathrm{x}+\mathrm{b}_1 \mathrm{y}+\mathrm{c_lz}+\mathrm{d}_1=0$

और $a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$

समानंतर होंगे यदि $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2=\mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a_l} . \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 \mathrm{~b}_2+\mathrm{c_l} . \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$2 x-2 y+4 z+5=0$ और $3 x-3 y+6 z-1=0$

यहां $\mathrm{a}_1=2, \mathrm{~b}_1=-2, \mathrm{c_l}=4$

तथा $\mathrm{a}_2=3, \mathrm{~b}_2=-3, \mathrm{c}_2=6$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=2 / 3, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=-2 /-3, \mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2=4 / 6$

$2 / 3=-2 /-3=4 / 6$

अत: यह समान्तर है।

अब $a_1.a_2 +b_1.b_2 +c_l.c_2 =2 \times 3+(-2) \times(-3)+4 \times 6$

$=6-6+24 \neq 0$

अत: ये समतल लम्बवत नहीं है।

4. $\mathbf{2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 z-1=0}$ और $\mathbf{2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 z+3=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $\mathrm{a}_1 \mathrm{x}+\mathrm{b}_1 \mathrm{y}+\mathrm{c_lz}+\mathrm{d}_1=0$

और $a_2 \mathrm{x}+\mathrm{b}_2 \mathrm{y}+\mathrm{c}_2 \mathrm{z}+\mathrm{d}_2=0$

समानंतर होंगे यदि $\mathrm{a_l} / \mathrm{a}_2=\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2=\mathrm{c_l} / \mathrm{c}_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a_l} . \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 . \mathrm{b}_2+\mathrm{c_l} . \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$2 x-y+3 z-1=0$ और $2 x-y+3 z+3=0$

यहाँ $\mathrm{a}_1=2, \mathrm{~b}_1=-1, \mathrm{c_l}=3$

तथा $a_2=2, b_2=-1, c_2=3$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=2 / 2, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=-1 /-1, \mathrm{c_l} / \mathrm{c}_2=3 / 3$

$2 / 2=-1 /-1=3 / 3$

अत: यह समान्तर है।

अब $a_1 . a_2+b_1 . b_2+c_1 . c_2=2 \times 2+(-1) \times(-1)+3 \times 3=4+1+9=14 \neq 0$

अत: ये समतल लम्बवत नहीं है।

5. $\mathbf{4 x+8 y+z-8=0}$ और $\mathbf{y+z-4=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $a_1 x+b_1 y+c_l z+d_1=0$

और $a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$

समानंतर होंगे यदि $a_1 / a_2=b_1 / b_2=\mathrm{c}_1 / c_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a}_1 . \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 . \mathrm{b}_2+\mathrm{c}_1. \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$4 x+8 y+z-8=0$ और $y+z-4=0$

यहां $\mathrm{a}_1=4, \mathrm{~b}_1=8, \mathrm{c}_1=1$

तथा $\mathrm{a}_2=0, \mathrm{~b}_2=1, \mathrm{c}_2=1$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=4 / 0, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=8 / 1, \mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2=1 / 1$

$4 / 0 \neq 8 / 1 \neq 1 / 1$

अत: यह समान्तर नही है।

अब $a_l.a_2 + b_1.b_2 + c_1.c_2=4 \times 0+8 \times 1+1 \times 1=0+9=9 \neq 0$

अत: ये समतल लम्बवत भी नहीं है।

अब दोनों संतलों के बीच कोण हो, तो

$\cos \phi=\left|\dfrac{4 \times 0+8 \times 1+1 \times 1}{\left.\sqrt{4^{2}+8^{2}+1^{2}}\right) \times\left(\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}\right.}\right|$

$=\left|\dfrac{8+1}{\sqrt{16+64+1} \sqrt{2}}\right|$

$=\left|\dfrac{9}{9 \sqrt{2}}\right|=1 / \sqrt{2}$

$\cos \phi=1 / \sqrt{2}$

$\phi=45^{\circ}$

14. निम्नलिखित प्रश्रों में प्रत्येक दिये गये बिन्दु से दिये गये सन्गत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिये।

बिन्दु                                             समतल

1. $\mathbf{(0,0,0)}$                            $\mathbf{3 x-4 y+12 z=3}$

2. $\mathbf{\quad(3,-2,1)}$                       $\mathbf{2 x-y+2 z+3=0}$

3. $\mathbf{\quad(2,3,-5)}$                        $\mathbf{x+2 y-2 z=9}$

4. $\mathbf{\quad(-6,0,0)}$                       $\mathbf{2 x-3 y+6 z-2=0}$

1. बिन्दु $\mathbf{(0,0,0)}$ समतल $\mathbf{3 x-4 y+12 z=3}$

उत्तर: बिन्दु $(\mathrm{x_1}, \mathrm{y}_1, \mathrm{z}_1)$ की समतल $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c} \mathrm{z}+\mathrm{d}=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{\mid \mathrm{ax}_1+\mathrm{by}_1+\mathrm{cz}_1+\mathrm{d}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}}\right|$

बिन्दु $(0,0,0)$ की समतल $3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}+12 \mathrm{z}-3=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{3.0+(-4) \cdot 0+12.0-3}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+12^{2}}}\right|$

$=\left|\dfrac{-3}{\sqrt{9+16+144}}\right|=\left|\dfrac{-3}{13}\right|=\dfrac{3}{13}$

2. बिन्दु $\mathbf{(3,-2,1)}$ समतल $\mathbf{2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}+3=0}$

3. बिन्दु $\mathbf{(2,3,-5)}$ समतल $\mathbf{x+2 y-2 z=9}$

उत्तर: बिन्दु $(\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{z} 1)$ की समतल $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{\mid \mathrm{ax}_1+\mathrm{by}_1+\mathrm{cz}_1+\mathrm{d}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}}\right|$

बिन्दु $(2,3,-5)$ समतल $x+2 y-2 z=9$ से दूरी

$=\left|\dfrac{2+2.3-2 \cdot(-5)-9}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}\right|$

$=\left|\dfrac{2+6+10-9}{\sqrt{1+4+4}}\right|=\left|\dfrac{9}{\sqrt{9}}\right|=\dfrac{9}{3}=3$

4. बिन्दु $\mathbf{(-6,0,0)}$ समतल $\mathbf{2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+6 \mathrm{z}-2=0}$

उत्तर: बिन्दु $(\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{z} 1)$ की समतल $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{\mid \mathrm{ax}_1+\mathrm{by}_1+\mathrm{cz}_1+\mathrm{d}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}}\right|$

बिन्दु $(-6,0,0)$ समतल $2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+6 \mathrm{z}-2=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{2 \cdot(-6)+(-3) \cdot 0+6.0-2}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}}\right|$

$=\left|\dfrac{-12+0+0-2}{\sqrt{4+9+36}}\right|=\left|\dfrac{-14}{\sqrt{49}}\right|=\dfrac{14}{7}=2$

प्रश्रावली A11

1. दिखाएँ कि मूल से जुड़ने वाली रेखा बिंदु $\mathbf{(2,1,1)}$ के लंबवत है बिदुओं द्वारा निर्धारित रेखा $\mathbf{(3,5,-1),(4,3,-1)}$

उत्तर: $O A$ मूल, $O(0,0,0)$ और बिंदु, $A(2,1,1)$ को जोड़ने वाली रेखा हो।

इसके अलावा, $\mathrm{BC}$ अंक, $\mathrm{B}(3,5,-1)$ और $\mathrm{C}(4,3,1)$ को जोड़ने वाली रेखा हो।

$\mathrm{OA}$ की दिशा अनुपात 2,1, और 1 और $\mathrm{BC}$ हैं $(4-3)=1,(3-5)=-2,(-1+1)=0$

$\mathrm{OABC}$ के लंबवत है, यदि $\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{1} c_{2}=0$

$\therefore \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{1} \mathrm{c}_{2}=2 \times 1+1(-2)+1 \times 0=2-2=0$

इस प्रकार, $\mathrm{OA}, \mathrm{BC}$ से लंबवत है

2. यदि $\mathbf{11, \mathrm{~m} 1, \mathrm{n} 1}$ और $\mathbf{12, \mathrm{~m} 2, \mathrm{n} 2}$ दो परस्पर लंब रेखाओं के दिशा कोसाइन हैं, दिखाएँ कि इन दोनों के लिए लंबवत दिशा के कोसाइन हैं $\mathbf{\mathrm{m}_{1} \mathrm{n}_{2}-\mathrm{m}_{2} \mathrm{n}_{1}, \mathrm{n}_{1}, 1_{2}-\mathrm{n}_{2} 1_{1}, 1, \mathrm{~m}_{2}-1_{2} \mathrm{~m}_{1}}$

उत्तर: यह दिया जाता है कि $11, \mathrm{~m}_{1}, \mathrm{n} 1$ तथा $12, \mathrm{~m} 2, \mathrm{n} 2$ दो परस्पर लंब रेखाओं के दिशा कोसाइन हैं। इसलिए,

$(1)$

$(11)^{2}+(m 1)^{2}+(n 1)^{2}=1$

(2)

$(12)^{2}+(\mathrm{m} 2)^{2}+(\mathrm{n} 2)^{2}=1$.

(3)

दिशा के कोसाइन लाइन जो दिशा कोसाइन लाइन के साथ लम्बवत है $11, \mathrm{~m}_{1}, \mathrm{n} 1$ तथा $12, \mathrm{~m} 2, \mathrm{n} 2$

$111+m m 1+\operatorname{nn} 1=0$

$112+\operatorname{mm} 2+\operatorname{nn} 2=0$

$\Rightarrow(1 /(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1))=(\mathrm{m} /(\mathrm{n} 1 / 2-\mathrm{n} 211))=(\mathrm{n} /(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1))$

$\Rightarrow\left(\mathrm{I}^{2} /(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}\right)=\left(\mathrm{m}^{2} /(\mathrm{n} 1 \mid 2-\mathrm{n} 211)^{2}\right)=\left(\mathrm{n}^{2} /\left(11 \mathrm{~m} 2-(2 \mathrm{~m} 1)^{2}\right)\right.$

$\Rightarrow\left(1^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}\right) /\left((\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}+(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 111)^{2}+(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)^{2}\right) \ldots$

$1, \mathrm{~m}, \mathrm{n}$ रेखा कि दिशा कोसाइन है

$\therefore 1^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}=1$

यह जाना जाता है कि

$\left((11)^{2}+(\mathrm{m} 1)^{2}+(\mathrm{n} 1)^{2}\right)\left((12)^{2}+(\mathrm{m} 2)^{2}+(\mathrm{n} 2)^{2}\right)-(1112+\mathrm{m} 1 \mathrm{~m} 2+\mathrm{n} 1 \mathrm{n} 2)^{2}$

$=(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}+(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211)^{2}+(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)^{2}$

(1),(2) और (3) से, हम प्राप्त करते है

$\Rightarrow 1.1-0=(\mathrm{m} 1 \mathrm{~m} 2+\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}+(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211)^{2}+(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)^{2}$ $\Rightarrow(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}+(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211)^{2}+(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)^{2}=1$

समीकरण (5) और (6) से समीकरण (4) में रखने पर, हम प्राप्त करते है

$\Rightarrow\left(1^{2} /(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}\right)=\left(\mathrm{m}^{2} /(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211)^{2}\right)=\left(\mathrm{n}^{2} /(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)=1\right.$

$\Rightarrow 1=\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1, \mathrm{~m}=\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211, \mathrm{n}=11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1$

इस प्रकार, रेखा के दिशा कोसाइन है

$\operatorname{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1, \mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211, \mathrm{Ilm} 2-12 \mathrm{~m} 1$

3. उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें जिनकी दिशा अनुपात $\mathbf{a, b, c}$ और है $\mathbf{b-c}$,

$\mathbf{\mathrm{c}-\mathrm{a}, \mathrm{a}-\mathrm{b}}$

उत्तर: दिशा कोसाइन के साथ लाइनों के बीच कोण $Q$

$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ और $\mathrm{b}-\mathrm{c}$,

c-a, $a-b$ द्वारा दिया गया है,

$\operatorname{Cos} Q=\mid\left((a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)) /\left(\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right)+\left(\sqrt{(b-c)^{2}}+(c-a) \mid\right.\right.\right.$

$\Rightarrow \operatorname{Cos} Q=0$

$\Rightarrow Q=\cos ^{-1} 0$

$\Rightarrow Q=90^{\circ}$

इस प्रकार, लाइनों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

4. $\mathbf{x}$ - अक्ष के समानांतर एक लाइन के समीकरण का पता देखें और मूल के माध्यम से गुजर रहा है 

उत्तर: $x$ - अक्ष के समानांतर और मूल से गुजरने वाली लाइन $x$ - अक्ष ही है।

$\mathrm{x}$ - अक्ष पर $\mathrm{A}$ बिंदु होने दें. इसलिए, $\mathrm{A}$ के निर्देशांक $a, 0,0$ द्वारा दिए गए हैं,

जहां $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$

$\mathrm{OA}$ की दिशा अनुपात हैं $(\mathrm{a}-0)=\mathrm{a}, 0,0$

$\mathrm{OA}$ का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है,

$(\mathrm{x}-0) / \mathrm{a}=(\mathrm{y}-0), 0=(\mathrm{z}-0) / 0$

$\Rightarrow(\mathrm{x} / 1)=(\mathrm{y} / 0)=(\mathrm{z} / 0)=\mathrm{a}$

इस प्रकार, $x$ - अक्ष के समानांतर और मूल से गुजरने वाली रेखा क समीकरण है

$(\mathrm{x} / 1)=(\mathrm{y} / 0)=(\mathrm{z} / 0)$

5. यदि अंक A, B, C, D हो $\mathbf{(1,2,3),(4,5,7),(4,3,6)}$ और क्रमशः $\mathbf{(2,9,2)}$ के निर्देशांक $\mathbf{\mathrm{AB}}$ और $\mathbf{\mathrm{CD}}$ के बीच का कोण ज्ञात करें।

उत्तर: A, B, C, D के निर्देशांक है $(1,2,3),(4,5,7),(4,3,6)$ और क्रमशः $(2,9,2)$

$\mathrm{AB}$ की दिशा अनुपात हैं $(4-1)=3,(5-2)=3$, और $(7-3)=4$

$\mathrm{CD}$ की दिशा अनुपात हैं $(2-(-4))=6,(9-3)=6$, और $(2-(-6))=8$

यह देखा जा सकता है, $(\mathrm{a} 1 / \mathrm{a} 2)=(\mathrm{b} 1 / \mathrm{b} 2)=(\mathrm{c} 1 / \mathrm{c} 2)=(1 / 2)$

इसलिए, $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ के समानांतर है।

इस प्रकार, $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{CD}$ के बीच का कोण या तो $0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ है।

6.यदि रेखाएँ $\mathbf{(\mathrm{x}-1) /(-3)=(\mathrm{y}-2)(2 \mathrm{k})=(\mathrm{z}-3) / 2}$ और $\mathbf{(\mathrm{x}-1) / 3 \mathrm{k}=(\mathrm{y}-1) / 1=(\mathrm{z}-6) /(-5)}$ लंबवत हैं, $\mathbf{\mathrm{k}}$ का मान ज्ञात करें।

उत्तर: रेखाओं के अनुपात की दिशा, $(\mathrm{x}-1) /(-3)=(\mathrm{y}-2)(2 \mathrm{k})=(\mathrm{z}-3) / 2$ और $(\mathrm{x}-1) / 3 \mathrm{k}=(\mathrm{y}-1) / 1=(\mathrm{z}-6) /(-5)$ क्रमशः $3,2 \mathrm{k}, 2$ और $3 \mathrm{k}, 1,-5$ हैं।

यह ज्ञात है कि दिशा अनुपात के साथ दो लाइनें, $a_{1}, b_{1}, \mathrm{c}_{1}$ तथा $a_{2}, b_{2}, \mathrm{c}_{2}$, लंबवत हैं, अगर $\mathrm{aa}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{1} \mathrm{c}_{2}=0$

$\Rightarrow(-3)(3 k)+2 k \times 1+2(-5)=0$

$\Rightarrow-9 k+2 k-10=0$

$\Rightarrow 7 k=-10$

$\Rightarrow k=(-10 / 7)$

इसलिए, $k=(-10 / 7)$, के लिए दी गई्ं रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

7. विमान से $\mathbf{(1,2,3)}$ और लंबवत गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए r. $\mathbf{(1+2 j-5 k)+9=0}$

उत्तर: बिंदु $(1,2,3)$ की स्थिति वेक्टर है $\mathrm{r} 1=1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k}$

विमान को सामान्य की दिशा अनुपात, $\mathrm{r} .(1+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k})+9=0$ है $1,2,-5$

और सामान्य वेक्टर है $\mathrm{N}=\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k}$

किसी बिंदु और लंबित समतल से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसके द्वारा दिया गया है,

$1=\mathrm{r}+\lambda \mathrm{N}, \lambda \in \mathrm{R}$

$\Rightarrow 1=(1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k})+\lambda(\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k})$

8. $\mathbf{(a, b, c)}$ और समांतर समतल से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए $\mathbf{r \cdot(i+t+k)=2}$

उत्तर: बिंदु $(1,2,3)$ की स्थिति वेक्टर है $\mathrm{r} 1=1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k}$

विमान को सामान्य की दिशा अनुपात, $r .(1+2 j-5 k)+9=0$ हैं $1,2,-5$

और सामान्य वेक्टर है $\mathrm{N}=\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k}$

किसी बिंदु और लंबित समतल से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसके द्वारा दिया गया है,

$1=\mathrm{r}+\lambda \mathrm{N}, \lambda \in \mathrm{R}$

$\Rightarrow 1=(1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k})+\lambda(\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k})$

9. लाइनों के बीच सबसे कम दूरी का पता लगाएँ $\mathbf{r=6 i+2 j+2 k+\lambda(1-2 j+2 k)}$ तथा $\mathbf{r=-4 i-k+u(3 i-2 j-2 k)}$

उत्तर: दि गई रेखाएं है $\mathrm{r}=6 \mathrm{i}+2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k}+\lambda(1-2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k}) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ (1)

$\mathrm{r}=-4 \mathrm{i}-\mathrm{k}+u(3 \mathrm{i}-2 \mathrm{j}-2 \mathrm{k}) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

यह ज्ञात है कि दो लाइनों के बीच की सबसे छोटी दूरी, $r=a 1+\lambda b_1$ तथा $r=a 2+\lambda b_2$, द्वारा दिया गया है

$\mathrm{d}=\mid(\mathrm{b} 1 \times \mathrm{b} 2) \times(\mathrm{a} 2-\mathrm{a} 1) / / \mathrm{b} 1 \times \mathrm{b} 2 \| \ldots \ldots \ldots \ldots(3)$

की तुलना $\mathrm{r}=\mathrm{a} 1+\lambda \mathrm{b} 1, \mathrm{r}=\mathrm{a} 2+\lambda \mathrm{b} 2$ समीकरणों (1) और $(2)$ से करने पर, हम प्राप्त करते हैं $\mathrm{a} 1=6 i+2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k}$ $b_1=\mathrm{i}-2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k}$ $\mathrm{a} 2=-4 \mathrm{i}-\mathrm{k}$ $\mathrm{b} 2=3 \mathrm{i}-2 \mathrm{j}-2 \mathrm{k}$ $\Rightarrow \mathrm{a} 2-\mathrm{a} 1=(-4 \mathrm{i}-\mathrm{k})-(6 \mathrm{i}+2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k})=10 \mathrm{i}-2 \mathrm{j}-3 \mathrm{k}$ $\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{b}}_{1} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}_{2}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2\end{array}\right|=(4+4) \hat{\mathrm{i}}-(-2-6) \hat{\mathrm{j}}+(-2+6) \hat{\mathrm{k}}=8 \hat{\mathrm{i}}+8 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ $\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}_{1} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}_{2}\right|=\sqrt{(8)^{2}+(8)^{2}+(4)^{2}}=12$ $\left(\overrightarrow{\mathrm{b}}_{1} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}_{2}\right) \cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}_{2}-\overrightarrow{\mathrm{a}}_{1}\right)=(8 \hat{\mathrm{i}}+8 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}) \cdot(-10 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})=-80-16-12=-108$

समीकरण (1) में सभी मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं $\mathrm{d}=|-108 / 12|=9$

इसलिए, दी गई दो पंक्तियों के बीच की सबसे छोटी दूरी 9 इकाइयां है

10. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जहां रेखा $\mathbf{(5,1,6)}$ और के माध्यम से है $\mathbf{(3,4,1) \mathrm{YZ}}$ - समतल को पार करता है

उत्तर: यह ज्ञात है कि बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, $(x 1, y 1, z 1)$ और $(x 2, y 2, z 2)$ है, $(x-x 1)) /(x 2-x 1)=(y-y 1) /(y 2-y 1)=(z-z 1)(x 2-z 1)$

बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा, $(5,1,6)$ और $(3,4,1)$, द्वारा दी जाती है,

$(\mathrm{x}-5)(3-5)=(\mathrm{y}-1) /(4-1)=(\mathrm{z}-6) /(1-6)$

$\Rightarrow(\mathrm{x}-5)(-2)=(\mathrm{y}-1) / 3=(\mathrm{z}-6)(-5)=\mathrm{k}$

$\Rightarrow \mathrm{x}=5-2 \mathrm{k}, \mathrm{y}=3 \mathrm{k}+1, \mathrm{z}=6-5 \mathrm{k}$

रेखा का कोई भी बिंदु रूप का है $(5-2 \mathrm{k}, 3 \mathrm{k}+1,6-5 \mathrm{k})$

$\mathrm{YZ}$ - विमान का समीकरण $\mathrm{x}=0$ है

चूंकि लाइन $\mathrm{YZ}$ - विमान से होकर गुजरती है,

$5-2 k=0$

$\Rightarrow k=(5 / 2)$

$\Rightarrow 3 \mathrm{k}+1=3 \times(5 / 2)+1=(17 / 2)$

$\Rightarrow 6-5 \mathrm{k}=6-5 \times(5 / 2)=(-13 / 2)$

इसलिए, आवश्यक बिंदु है $(17 / 2),(-13 / 2)$

11. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जहां रेखा $\mathbf{(5,1,6)}$ और के माध्यम से है $\mathbf{(3,4,1) \mathrm{ZX}}$ - समतल को पार करता है।

उत्तर: यह ज्ञात है कि बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, $(x 1, y 1, z 1)$ और $(x 2, y 2, z 2)$ है, $(x-x 1)) /(x 2-x 1)=(y-y 1) /(y 2-y 1)=(z-z 1)(x 2-z 1)$

बिदुओं से गुजरने वाली रेखा, $(5,1,6)$ और $(3,4,1)$, द्वारा दी जाती है,

$(\mathrm{x}-5)(3-5)=(\mathrm{y}-1)(4-1)=(\mathrm{z}-6) /(1-6)$

$\Rightarrow(\mathrm{x}-5)(-2)=(\mathrm{y}-1) / 3=(z-6)(-5)=\mathrm{k}$

$\Rightarrow \mathrm{x}=5-2 \mathrm{k}, \mathrm{y}=3 \mathrm{k}+1, z=6-5 \mathrm{k}$

रेखा का कोई भी बिंदु रूप का है ( $5-2 \mathrm{k}, 3 \mathrm{k}+1,6-5 \mathrm{k})$

चूंकि लाइन $Z X$ - विमान से होकर गुजरती है,

$3 \mathrm{k}+1=0$

$\mathrm{k}=(-1 / 3)$

$\Rightarrow 5-2 \mathrm{k}=5-3(-1 / 3)=(17 / 3)$

$\Rightarrow 6-5 \mathrm{k}=6-5(-1 / 3)=(23 / 3)$

इसलिए, आवश्यक बिंदु है ( $(17 / 3), 0,(23 / 3))$

12. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जहां रेखा $\mathbf{(3,4,-5)}$ और $\mathbf{(2,-3,1)}$ के माध्ध्यम से विमान $\mathbf{2 x+y+z=7}$ को पार करता है।

उत्तर: यह ज्ञात है कि बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, $(x 1, y 1, z 1)$ और $(x 2, y 2, z 2)$ है, $(x-x 1)) /(x 2-x 1)=(y-y 1) /(y 2-y 1)=(z-z 1)(x 2-z 1)$

बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा, $(3,4,-5)$ और $(2,-3,1)$, द्वारा दी जाती है,

$\dfrac{x-3}{2-3}-\dfrac{y+4}{-3+4}-\dfrac{z+5}{1+5}$

$\Rightarrow \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+4}{1}=\dfrac{z+5}{6}=k$

$\Rightarrow x=3-k, y=k-4, z=6 k-5$

रेखा का कोई भी बिंदु रूप का है $x=3-k, y=k-4, z=6 k-5$,

यह बिंदु विमान पर स्थित है, $2 x+y+z=7$

$\therefore 2(3-k)+(k-4)+(6 k-5)=7$

$\Rightarrow 5 k-3=7$

$\Rightarrow k=2$

इसलिए, आवश्यक बिंदु के निर्देशांक हैं $(3-2,2-4,6 \times 2-5)=(1,-2,7)$

13. बिदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें $\mathbf{(-1,3,2)}$ और प्रत्येक विमान के लंबवत $\mathbf{x+2 y+3 z=5}$ और $\mathbf{3 x+3 y+z=01}$

उत्तर: बिंदु के माध्यम से गुजरने वाले विमान का समीकरण $(1,3,2)$ है

$\mathrm{a}(\mathrm{x}+1)+\mathrm{b}(\mathrm{y}-3)+\mathrm{c}(\mathrm{z}-2)=0 \ldots \ldots$

जहां, a,b,c विमान के लिए सामान्य की दिशा अनुपात हैं।

यह ज्ञात है कि दो विमान, $a 1 x+b_1 y+c 1 z+d 1=0$ और $a 2 x+b_2 y+c 2 z+d 2=0$

लंबवत हैं, यदि $\mathrm{ala} 2+\mathrm{b} 1 \mathrm{~b} 2+\mathrm{clc} 2=0$

विमान (1) विमान के लंबवत है, $x+2 y+3 z=5$,

$a .1+b .2+c .3=0$

$\Rightarrow \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}+3 \mathrm{c}=0$

इसके अलावा, विमान (1) विमान के लंबवत है, $3 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+\mathrm{z}=0$

$a \cdot 3+b .3+c .1=0$

$\Rightarrow 3 a+3 b+c=0$

समीकरणों (2) और (3) से, हम प्राप्त करते हैं

$(\mathrm{a} /(2 \times 1-3 \times 3))=(\mathrm{b} /(3 \times 3-1 \times 1))=(\mathrm{c} /(1 \times 3-2 \times 3))$

$\Rightarrow(\mathrm{a} /-7)=(\mathrm{b} / 8)=(\mathrm{c}-3)=\mathrm{k}$

$\Rightarrow \mathrm{a}=-7 \mathrm{k}, \mathrm{b}=8 \mathrm{k}, \mathrm{c}=-3 \mathrm{k}$

समीकरण (1) में $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ और $\mathrm{c}$ के मानों को प्रतिस्थापित करते हुए हम प्राप करते हैं

$-7 \mathrm{k}(\mathrm{x}+1)+8 \mathrm{k}(\mathrm{y}-3)-3 \mathrm{k}(\mathrm{z}-2)=0$

$\Rightarrow(-7 \mathrm{x}-7)+(8 \mathrm{y}-24)-3 z+6=0$

$\Rightarrow-7 \mathrm{x}+8 \mathrm{y}-3 z-25=0$

$\Rightarrow 7 \mathrm{x}-8 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}+25=0$

यह समतल का आवश्यक समीकरण है

14. यदि अंक $\mathbf{(1,1, p)}$ और $\mathbf{(-3,0,1)}$ समतल $\mathbf{r}$ से समतुल्य हों $\mathbf{r(3 i+4 j-12 k)+13=0}$, तो $\mathbf{p}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

बिंदु $(1,1, \mathrm{p})$ के माध्यम से स्थिति वेक्टर है $\mathrm{a} 1=\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{pk}$.

इसी प्रकार, बिंदु $(-3,0,1)$ के माध्यम से स्थिति वेक्टर है $a 2=-4 \mathrm{i}+\mathrm{k}$

दिए गए समतल का समीकरण है $\mathrm{r} .(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k})+13=0$,

यह ज्ञात है कि एक बिंदु के बीच की दूरी जिसकी स्थिति वेक्टर एक है और विमान है, $\mathrm{r}=\mathrm{r} \mathrm{N}=\mathrm{d}$ द्वारा दिया गया है, $\mathrm{D}=|\mathrm{a} \mathrm{N}-\mathrm{d}| /|\mathrm{N}|$

यहाँ, $\mathrm{N}=3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k}, \mathrm{d}=-13$

इसलिए, बिंदु $(1,1, p)$ और दिए गए विमान के बीच की दूरी है

$\mathrm{D} 1=|(\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{pk})-(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k})+13| /|3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k}|$

$\mathrm{D} 1=|3+4-12 \mathrm{p}+13| /\left(\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-12)^{2}}\right)$

$\mathrm{D} 1=|20-12 \mathrm{p}| / 13 \ldots \ldots \ldots$

इसी तरह, बिंदु $(-3,0,1)$ और दिए गए विमान के बीच की दूरी है

$\mathrm{D} 2=|(-3 \mathrm{i}+\mathrm{k}) \cdot(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k})+13||3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k}|$

$\Rightarrow \mathrm{D} 2=\mid+9-12+13 /\left(\sqrt{3^{2}+4^{2}-12^{2}}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{D} 2=(8 / 13)$

यह दिया जाता है कि आवश्यक विमान और बिदुओं $(1,1, \mathrm{p})$ और $(-3,0,1)$ के बीच की दूरी बराबर है।

$\therefore \mathrm{D}_{1}=\mathrm{D}_{2}$

$\Rightarrow \mid 20-12 \mathrm{p} / 13=(8 / 13)$

$\Rightarrow 12 \mathrm{p}=12 \text { और } 12 \mathrm{p}=28$

$\Rightarrow \mathrm{p}=1 \text { और } \mathrm{p}=(7 / 3)$

15. विमान $\mathbf{\mathrm{r} \cdot(\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k})=1}$ और $\mathbf{\mathrm{r} .(2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}-\mathrm{k})+4=0}$ के समांतर चौराहे की रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें और $\mathbf{\mathrm{x}}$ अक्ष के समानांतरा

उत्तर: दिए गए विमान हैं

$\text { or }(i+j+k)=1$

$\Rightarrow r(1+j+k)-1=0$

$\Rightarrow r-(2 i+3 j-k)+4=0$

इन विमानों के चौराहे की लाइन से गुजरने वाले किसी भी विमान का समीकरण है

${[\mathrm{r}(1+\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{k}})-1]+\lambda[(2 \mathrm{i}+3 \hat{j}-\mathrm{k})+4]-0}$

$\mathrm{r} \cdot[(2 \lambda+1) \mathrm{i}+(3 \lambda+1) \hat{\mathrm{i}}+(1-\lambda) \mathrm{k}]+(4 \lambda+1) 0$

इसकी दिशा अनुपात $(2 \lambda+1),(3 \lambda+1)$ और $(1-\lambda)$ हैं।

आवश्यक विमान $x$ - अक्ष के समानांतर है। इसलिए, इसका सामान्य $x$ - अक्ष के लंबवत है। $\mathrm{x}$ - अक्ष की दिशा अनुपात $1,0,0$ हैं।

$\text { 1. }(2 \lambda+1)+0(3 \lambda+1)+0(1-\lambda)=0$

$\Rightarrow 2 \lambda+1=0$

$\Rightarrow \lambda=(-1 / 2)$

समीकरण (1) में $\lambda=(-1 / 2)$ को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \mathrm{r} \cdot[(-1 / 2) \dot{j}+(3 / 2) \mathrm{k}]+(-3)=0$

$\Rightarrow \mathrm{r} .(\mathrm{j}-3 \mathrm{k})+6=0$

इसलिए, इसका चौराहे की रेखा से गुजरने समीकरण $y-3 z+6=0$ है यह आवश्यक विमान का समीकरण है।

16. यदि $\mathbf{O P}$ का मूल और निर्देशांक है $\mathbf{(1,2,-3)}$, तो $\mathbf{P}$ और लंबवत $\mathbf{O P}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बिंदुओं के निर्देशांक, $\mathrm{O}$ और $\mathrm{P}$, क्रमशः $(0,0,0)$ और $(1,2,-3)$ हैं।

इसलिए $O P$ की दिशा अनुपात हैं $(1-0)=1,(2-0)=2$ और $(-3-0)=-3$

यह ज्ञात है कि बिंदु $(\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{z} 1)$ से गुजरने वाले विमान का समीकरण है

$\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{x} 1)+\mathrm{b}(\mathrm{y}-\mathrm{y} 1)+\mathrm{c}(\mathrm{z}-\mathrm{z} 1)=0$ जहां, $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ और $\mathrm{c}$ सामान्य के दिशा अनुपात है। यहां, सामान्य की दिशा अनुपात $1,2,-3$ हैं और बिंदु $\mathrm{P}(1,2,-3)$ है।

इस प्रकार, आवश्यक विमान का समीकरण है

$1(x-1)+2(y-2)-3(z+3)=0$

$\Rightarrow x+2 y-3 z-14=0$

17. विमान के समीकरण का पता लगाए जिसमें विमानों के चौराहे की रेखा शामिल है $\mathbf{r(1+2 j+3 k)-4=0$, r. $(2 i+j-k)+5=0}$, और जो विमान के लंबवत $\mathbf{r \cdot(5 i+3 j-6 k)+8=0}$

उत्तर: दिए गए विमानों के समीकरण

दिए गए विमानों के समीकरण हैं

$r(i+2 j+3 k)-4=0$

$r(2 i+j-k)+5=0$

समीकरण (1) और समीकरण (2) में दिए गए विमान के लाइन चौराहे से गुजरने वाले विमान का समीकरण है

${[\mathrm{r} \cdot(1+2 \mathrm{j}+3$ $\mathrm{k})+4]+\lambda[\mathrm{r}-(2$ $\mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k})+5]=0}$

$\mathrm{r}[[(2 \lambda+1) \mathrm{i}+(\lambda+2 \mathrm{j}+(3-\lambda) \mathrm{k}]+(5 \lambda-4)=0$

समीकरण में विमान (3) विमान के लंबवत है,

$\mathrm{r}(5 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}+6 \mathrm{k})+8=0$

$\Rightarrow 5(2 \lambda+1)+3(\lambda+2)-6(3-\lambda)=0$

$\Rightarrow 19 \lambda-7=0$

$\Rightarrow \lambda=(7 / 19)$

समीकरण (3) में $\lambda=(7 / 19)$ को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \mathrm{r}[(33 / 19) \mathrm{i}+(45 / 19) \mathrm{j}+(50 / 19) \mathrm{k}](-41 / 19)=0$

$\Rightarrow \mathrm{r} \cdot(33 \mathrm{i}+45 \mathrm{j}+60 \mathrm{k})-41=0$

यह आवश्यक विमान का सदिश समीकरण है।

इस विमान के कार्टेशियन समीकरण को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है $\mathrm{r}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk}$ समीकरण (3)।

$(\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+z \mathrm{k}) \cdot(33 \mathrm{i}+45 \mathrm{j}+50 \mathrm{k})-41=0$

$\Rightarrow 33 \mathrm{x}+45 \mathrm{y}+50 \mathrm{z}-41=0$

18. बिंदु की दूरी $\mathbf{(-1,5,-10)}$ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु से ज्ञात करें $\mathbf{\mathrm{r}=2 \mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k}+\lambda(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}+2 \mathrm{k})}$ और विमान $\mathbf{r .(i-j+k)=5}$

उत्तर: दि गई रेखा का समीकरण है

$\mathrm{r}=2 \mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k}+\lambda(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}+2 \mathrm{k})$

दिए गए समतल का समीकरण

$r(i-j+k)=5$

समीकरण (1) से $\mathrm{r}$ के मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हुए हम प्राप्त करते हैं

${[2 \mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k}+\lambda(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}+2 \mathrm{k})]>(1-\mathrm{j}+\mathrm{k})=5}$

$\Rightarrow[(3 \lambda+2) \mathrm{i}+(4 \lambda-1) \mathrm{j}+(2 \lambda+2) \mathrm{k}] \cdot(\mathrm{i}-\mathrm{j}+\mathrm{k})=5$

$\Rightarrow(3 \lambda+2)-(4 \lambda-1 \mathrm{j}+(2 \lambda+2) \mathrm{k}] \cdot(\mathrm{i}-\mathrm{j}+\mathrm{k})=5$

$\Rightarrow(3 \lambda+2)-(4 \lambda-1)+(2 \lambda+2)=5$

$\Rightarrow \lambda=0$

समीकरण (1) में इस मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हम रेख्या का समीकरण प्राप्त करते हैं $\mathrm{r}=2 \mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k}$

इसका मतलब है कि रेखा और विमान के चौराहे के बिंदु की स्थिति वेक्टर है $r=2 i-j+2 k$

इससे पता चलता है कि दिए गए रेखा और समतल के चौराहे का बिंदु निर्देशांक द्वारा दिया गया है, $(2,1,2)$ बिन्दु $(1,-5,-10)$ है।

अंक $(2,1,2)$ और $(1,-5,-10)$ है के बीच की दूरी $\mathrm{d}$ है,

$\mathrm{d}=\sqrt{(-1-2)^{2}+(-5+1)^{2}+(-10-2)^{2}}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$

19. $\mathbf{(1,2,3)}$ और विमानों के समानांतर से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए $\mathbf{\mathrm{r}=(\mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k})=5}$ तथा $\mathbf{\mathrm{r} \cdot(3 \mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k})=6}$

उत्तर: बता दे कि आवश्यक रेखा वेक्टर बी के समानांतर है, $\mathrm{b}=b_1 \mathrm{i}+\mathrm{b} 2 \mathrm{j}+\mathrm{b} 3 \mathrm{k}$

बिंदु $(1,2,3)$ की स्थिति वेक्टर है $a=i+2 j+3 k$

$(1,2,3)$ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण और $b$ के द्वारा समानांतर दिया जाता है, $\mathrm{r}=\mathrm{a}+\lambda \mathrm{b}$

$\Rightarrow \mathrm{r} \cdot(1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k})+\lambda(b_1 \mathrm{i}+\mathrm{b} 2 \mathrm{j}+\mathrm{b} 3 \mathrm{k}) \ldots$

दिए गए विमानों के समीकरण हैं

$\mathrm{r} \cdot(\mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k})=5$

$\mathrm{r} \cdot(3 \mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k})=6$

समीकरण में रेखा $(1)$ और समीकरण में विमान (2) समानांतर हैं। इसलिए, समीकरण (2) के विमान के लिए सामान्य और दी गई रेखा लंबवत हैं.

$\Rightarrow(i-j+2 k) \cdot \lambda(b_1 i+b_2 j+b_3 k)=0$

$\Rightarrow \lambda(b_1-b_2+2 b_3)=0$

$\Rightarrow b_1-b_2+2 b_3=0$

उसी प्रकार, $(3 \mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k}) \lambda(\mathrm{b} 1 \mathrm{i}+\mathrm{b} 2 \mathrm{j}+\mathrm{b} 3 \mathrm{k})=0$ $\Rightarrow \lambda(3 \mathrm{~b} 1+\mathrm{b} 2+\mathrm{b} 3)=0$ $\Rightarrow 3 \mathrm{~b} 1+\mathrm{b} 2+\mathrm{b} 3=0$

समीकरणों (4) और (5) से, हम प्राप्त करते हैं

$(b_1 /(-1) \times 1-1 \times 2))=(b_2 /(2 \times 3-1 \times 1))=(b_3 /(1 \times 1-3(-1))$

$\Rightarrow(b_1 /(-3))=(b_2 / 5)=(b_3 / 4)$

इसलिए, बी की दिशा अनुपात $-3,5,4$ हैं।

$b=b_1i+b_2 j+b_3 k=-3 i+5 j+4 k$

समीकरण (1) में $b$ के मूल्य को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं $\mathrm{r}=(1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k})+\lambda(-3 \mathrm{i}+5 \mathrm{j}+4 \mathrm{k})$

यह आवश्यक रेखा का समीकरण है।

20. बिंदु $\mathbf{(1,2,4)}$ और दो रेखाओं के लंबवत गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए: $\mathbf{(\mathrm{x}-8) / 3=(\mathrm{y}+19) /(-16)=(\mathrm{z}-10) / 7}$ और $\mathbf{(\mathrm{x}-15) / 3=(\mathrm{y}-29) / 8=(\mathrm{z}-5) /(-5)}$

उत्तर: बता दें कि आवश्यक रेखा वेक्टर $b$ के समानांतर है, $b=b_1 i+b_2 j+b_3 k$ बिन्दु $(1,2,-4)$ की स्थिति वेक्टर है $a=i+2 j-4 k$

$(1,2,4)$ और वेक्टर $b$ के समानांतर से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

$\mathrm{r}=\mathrm{a}+\lambda \mathrm{b}$ $\Rightarrow \mathrm{r} .(\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-4 \mathrm{k})+\lambda(\mathrm{b} 1 \mathrm{i}+\mathrm{b} 2 \mathrm{j}+\mathrm{b} 3 \mathrm{k}) \ldots$ रेखाओं के समीकरण हैं $(\mathrm{x}-8) / 3=(\mathrm{y}+19) /(-16)=(\mathrm{z}-10) / 7$ $(\mathrm{x}-15) / 3=(\mathrm{y}-29) / 8=(\mathrm{z}-5) /(-5)$

रेखा (1) और (2) एक दूसरे के लम्बवत है

$3 \mathrm{~b} 1-16 \mathrm{~b} 2+7 \mathrm{~b} 3=0$

इसके अलावा, रेखा (1) और रेखा (3) एक-दूसरे के लंबवत हैं।

$3 \mathrm{~b} 1+8 \mathrm{~b} 2-5 \mathrm{~b} 3=0$

समीकरणों (4) और (5) से, हम प्राप करते हैं,

$(b_1 /((-16)(-5)-8 \times 7))=(b_2 /(7 \times 3+3(-5))=(b_3 /(3 \times 8-3(-16))$

$\Rightarrow(b_1 / 2)=(b_2 / 3)=(b_3 / 6)$

इसलिए $\mathrm{b}$ की दिशा अनुपात $2,3,6$ हैं।

$b=2 i+3 j+6 k$

प्रतिस्थापन $b=2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}+6 \mathrm{k}$ समीकरण $(1)$ में, हम प्रास करते हैं

$\mathrm{r}=(1+2 \mathrm{j}-4 \mathrm{k})+\lambda(2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}+6 \mathrm{k})$

यह आवश्यक रेखा का समीकरण है।

21. साबित करें कि यदि किसी विमान में $\mathbf{(a, b, c)}$ इंटर है और मूल से $\mathbf{p}$ इकाइयों की दूरी पर है, तो $\mathbf{\left(1 / a^{2}\right)+\left(1 / b^{2}\right)+\left(1 / c^{2}\right)=\left(1 / p^{2}\right)}$

उत्तर:

एक समतल का समीकरण $x, y$ और $z$ अक्षों के साथ क्रमशः $a, b, c$ को स्वीकार करता है, जिसके द्वारा दिया गया है

$(\mathrm{x} / \mathrm{a})+(\mathrm{y} / \mathrm{b})+(\mathrm{z} / \mathrm{c})=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots(1)$

मूल से विमान की दूरी $p$ द्वारा दिया जाता है,

$p=\left|\dfrac{\dfrac{0}{a}+\dfrac{0}{b}+\dfrac{0}{c}-1}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{b}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{c}\right)^{2}}}\right|$

$\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}}}$

$\Rightarrow p^{2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{p^{2}}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}$

22. दोनों विमानों के बीच की दूरी: $\mathbf{2 x+3 y+4 z=4,4 x+6 y+8 z=12}$

1. 2

2. 4

3. 8

4. $\mathbf{(2 / \sqrt{29})}$

उत्तर: विमानों के समीकरण हैं

$2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 z=4 \mathrm{n} \ldots \ldots \ldots \cdots \cdots$

$4 \mathrm{x}+6 \mathrm{y}+8 \mathrm{z}=12$

$\Rightarrow 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}=6$

यह देखा जा सकता है कि दिए गए विमान समानांतर हैं।

यह ज्ञात है कि दो समानांतर विमानों के बीच की दूरी, $a x+b y+c z=d_1$ और $a x+b y+c z=d_2$, द्वारा दी जाती है,

$D=\left|\dfrac{\mathrm{d}_{2}-\mathrm{d}_{1}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}}\right|$

$\mathrm{D}=\dfrac{6-4}{\sqrt{(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}}$

$\mathrm{D}=\dfrac{2}{\sqrt{29}}$

इस प्रकार, लाइनों के बीच की दूरी $\dfrac{2}{\sqrt{29}}$ इकाइयाँ हैं इसलिए,

सही उत्तर $(D)$ है।

23. समतल: $\mathbf{2 x-y+4 z=5,5 x-2.5 y+10 z=6}$

1. सीथा

2. समानांतर

3. एक दूसरे को काटना $y$-अक्ष

4. गुजरता $(0,0,(5 / 4))$

उत्तर: विमानों का समीकरण है

$2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+4 z=5$

$5 \mathrm{x}-2.5 \mathrm{y}+10 \mathrm{z}=6$

यह देखा जाता है,

$(\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2)=(2 / 5)$

$(\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2)=(2 / 5)$

$\mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2=(2 / 5)$

$\Rightarrow(\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2)=(\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2)=(\mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2)$

इसलिए, दिए गए विमान समानांतर हैं। इसलिए, सही उत्तर (B) है।

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