NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 - In Hindi

1. यदि E और F इस प्रकार की घटनाएं हैं  कि ${\text{P}}\left( {\text{E}} \right){\text{ = 0}}{\text{.6 ,P}}\left( {\text{F}} \right){\text{  = 0}}{\text{.3}}$ और ${\text{P }}\left( {{\text{E}} \cap {\text{F}}} \right){\text{  =  0}}{\text{.2,}}$ तो ${\text{P}}\left( {{\text{E|F}}} \right)$ और ${\text{P}}\left( {{\text{E|F}}} \right)$ ज्ञात किजिए।

उत्तर: दिया है ${\text{P}}\left( {\text{E}} \right){\text{ = 0}}{\text{.6 ,P}}\left( {\text{F}} \right){\text{  = 0}}{\text{.3}}$

और ${\text{P }}\left( {{\text{E}} \cap {\text{F}}} \right){\text{  =  0}}{\text{.2,}}$

$P(A\mid B) = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$ का प्रयोग करने पर 

$P\left( {\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{{P(E \cap F)}}{{P(F)}}$

$= \dfrac{{0.2}}{{0.3}} = \dfrac{2}{3}$

$P\left( {\dfrac{F}{E}} \right) = \dfrac{{P(E \cap F)}}{{P(E)}}$

$= \dfrac{{0.2}}{{0.6}} = \dfrac{1}{3}$ 

2. $P\left( {A|B} \right)$ ज्ञात किजिए। यदि $P\left( B \right) = 0.5$ और ${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cap {\text{B}}} \right) = 0.32$ 

उत्तर: दिया है $P\left( B \right) = 0.5$ और ${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cap {\text{B}}} \right) = 0.32$

$P(A\mid B) = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$ का प्रयोग करने पर 

$P\left( {\dfrac{A}{B}} \right)\; = \dfrac{{0.32}}{{0.5}} = \dfrac{{32}}{{50}} = \dfrac{{16}}{{25}}$

3. यदि ${\text{P}}\left( {\text{A}} \right){\text{  = 0}}{\text{.8 , P}}\left( {\text{B}} \right){\text{  =  0}}{\text{.5}}$ और ${\text{P}}\left( {{\text{B|A}}} \right){\text{  = 0}}{\text{.4}}$ ज्ञात किजिए 

(i). ${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cap {\text{ B}}} \right)$

उत्तर: $P(B\mid A) = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{{\text{P(A)}}}}$ का प्रयोग करने पर 

$0.4 = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{0.8}}$

$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8 = 0.32$ 

(ii). ${\text{P}}\left( {{\text{A|B}}} \right)$

उत्तर: $P(A\mid B) = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$ का प्रयोग करने पर 

${\text{ = }}\dfrac{{{\text{0}}{\text{.32}}}}{{{\text{ 0}}{\text{.5}}}}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{32}}}}{{{\text{50}}}}{\text{ =  0}}{\text{.64}}$

(iii). ${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cup {\text{ B}}} \right)$

उत्तर: 

${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cup {\text{ B}}} \right){\text{  =  P}}\left( {\text{A}} \right){\text{  + P}}\left( {\text{B}} \right){\text{ - P}}\left( {{\text{A }} \cap {\text{ B}}} \right)$

${\text{                 }} = 0.8 + 0.5-0.32$

${\text{                 }} = 0.98$ 

4. ${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cup {\text{ B}}} \right)$ ज्ञात किजिए यदि $\;{\text{2P}}\left( {\text{A}} \right){\text{  =  P}}\left( {\text{B}} \right) = \dfrac{5}{{13}}$  और $P\left( {A|B} \right) = \dfrac{2}{5}$

उत्तर: दिया है :  $\;{\text{2P}}\left( {\text{A}} \right){\text{  =  P}}\left( {\text{B}} \right) = \dfrac{5}{{13}}$  

$P\left( A \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{{13}} = \dfrac{5}{{26}}$

$P\left( B \right) = \dfrac{5}{{13}}$ 

हम जानते हैं $P(A\mid B) = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$ 

अतः ${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cap {\text{ B}}} \right){\text{  =  P}}\left( {{\text{A|B}}} \right){\text{.P}}\left( {\text{B}} \right)$ 

${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cap {\text{ B}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{{13}} =  \dfrac{2}{{13}}$ 

${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cup {\text{ B}}} \right){\text{  =  P}}\left( {\text{A}} \right){\text{  + P}}\left( {\text{B}} \right){\text{ -- P}}\left( {{\text{A }} \cap {\text{ B}}} \right)$

${\text{                 }} = \dfrac{5}{{26}} + \dfrac{5}{{13}}-{\text{  }}\dfrac{2}{{13}}$

${\text{                 }} = \dfrac{{5 + 10 - 4}}{{26}}{\text{  =  }}\dfrac{{11}}{{26}}$ 

5. यदि $P\left( A \right) = \dfrac{6}{{11}}{\text{  }},P\left( B \right) = \dfrac{5}{{11}}$  और $P\left( {A \cup B} \right) = \dfrac{7}{{11}}$ तो ज्ञात किजिए

(i). ${\text{P}}\left( {{\text{A }} \cap {\text{ B}}} \right)$

उत्तर:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$\dfrac{7}{{11}} = \dfrac{6}{{11}} + \dfrac{5}{{11}} - P(A \cap B)$

$P(A \cap B) = \dfrac{{11}}{{11}} - \dfrac{7}{{11}} = \dfrac{4}{{11}}$ 

(ii). ${\text{P}}\left( {{\text{A|B}}} \right)$

उत्तर: $P(A\mid B) = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$  का प्रयोग करने पर 

$=\dfrac{\dfrac{4}{11}}{\dfrac{5}{11}}=\dfrac{4}{5}$

(iii). ${\text{P}}\left( {{\text{B|A}}} \right)$

उत्तर:

${\text{P(B}}\mid A) = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}}$  का प्रयोग करने पर

$=\dfrac{\dfrac{4}{11}}{\dfrac{6}{11}}=\dfrac{2}{3}$

6.  एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है: 

i.e: तीसरी उछाल पर चित , F: पहली दोनों उछाल पर चित

उत्तर: 

सिक्के को तीन बार उछालने पर कुल प्रतिदर्श समिष्टि= ${2^{3}}$

= 8 है 

जो निम्न प्रकार है

$S = \left\{ {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} \right\}$ 

$H =$ तीसरी उछाल पर चित =$\left\{ {HHH,HTH,THH,TTH} \right\}$ 

= $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ 

$P\left( E \right)$  = घटना के घटित होने की संख्या / कुल संख्या

$F =$ पहलीउछाल पर चित  = $\left\{ {HHH,HHT} \right\}$ 

$E \cap F = \left\{ {HHH} \right\}$ 

$P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{1}{8},P\left( F \right) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ 

$P\left( {\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{{P(E \cap F)}}{{P(F)}}$ 

$= \dfrac{1}{8} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$

ii. E: न्यूनतम दो चित, F: अधिकतम एक चित

उत्तर: 

E: न्यूनतम दो चित: $\{ HHH,HTH,THH,HHH\}$

F: अधिकतम एक चित : 

$P\left( {E \cap F} \right)$= घटना के घटित होने की संख्या / कुल संख्या

$\left\{ {TTT,HTT,THT,HTT,HHT,HTH,THH} \right\}$ 

=$\dfrac{3}{8}$ 

$P\left( F \right) = \dfrac{7}{8}$ 

$P\left( {\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{{P(E \cap F)}}{{P(F)}}$

$= \dfrac{3}{8} \div \dfrac{7}{8} = \dfrac{3}{7}$

iii.E: अधिकतम दो पट, F: न्यूनतम दो पट

उत्तर:

E: अधिकतम दो पट = ${{HTT,THT,TTH,HHT,HTH,THH,HHH}}$ 

F: न्यूनतम दो पट = $\left\{ {THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT,TTT} \right\}$

$E \cap F = \left\{ {HTT,THT,TTH,THH,HTH,HHT} \right\}$ 

$P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{6}{8},P\left( F \right) = \dfrac{7}{8}$

$P\left( {\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{{P(E \cap F)}}{{P(F)}}$

$= \dfrac{6}{8} \div \dfrac{7}{8} = \dfrac{6}{7}$

7. दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है:

(i). E: एक सिक्के पर प्रकट होता है, F: एक सिक्के पर चित प्रकट होता है

उत्तर:

E: एक सिक्के पर पट प्रकट होता है = $\left\{ {TH,HT} \right\}$ 

F: एक सिक्के पर चित प्रकट होता है = $\left\{ {HT,TH} \right\}$ 

$E \cap F = \left\{ {TH,HT} \right\}$

दो सिक्कों को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि = ${2^2} = 4$

$P\left( {\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{{P(E \cap F)}}{{P(F)}}$

$P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

$P\left( E \right) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2},$

$P\left( F \right) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ 

$= \dfrac{1}{2} \div {\text{  }}\dfrac{1}{2} = 1$

(ii). E: कोई पट प्रकट नहीं होता है, F: कोई चित प्रकट नहीं होता है

उत्तर: 

E: कोई पट प्रकट नहीं होता है $= \left\{ {HH} \right\}$  

F: कोई चित प्रकट नहीं होता है $= \left\{ {TT} \right\}$ 

$P\left( E \right) = \dfrac{1}{4},P\left( F \right) = \dfrac{1}{4}$ 

$P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{{0}}{4} = 0$ 

$P\left( {\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{{P(E \cap F)}}{{P(F)}}$

$= \dfrac{{0}}{{114}} = 0$

8. एक पासे को तीन बार उछाला गया है:

E: तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना

F: पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 और 7 प्रकट होना

उत्तर: 

E: तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना

F: पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 और 7 प्रकट होना

$= \left( {1,1,4} \right)\left( {1,2,4} \right)\left( {1,3,4} \right) \ldots  \ldots  \ldots \left( {1,6,4} \right)$

$= \left( {2,1,4} \right)\left( {2,2,4} \right)\left( {2,3,4} \right) \ldots  \ldots ...\left( {2,6,4} \right)$ 

$= \left( {3,1,4} \right)\left( {3,2,4} \right)\left( {3,3,4} \right) \ldots  \ldots  \ldots \left( {3,6,4} \right)$

$= \left( {4,1,4} \right)\left( {4,2,4} \right)\left( {4,3,4} \right) \ldots  \ldots  \ldots \left( {4,6,4} \right)$

$= \left( {5,1,4} \right)\left( {5,2,4} \right)\left( {5,3,4} \right) \ldots  \ldots  \ldots \left( {5,6,4} \right)$

$= \left( {6,1,4} \right)\left( {6,2,4} \right)\left( {6,3,4} \right) \ldots  \ldots  \ldots \left( {6,6,4} \right)$ 

= $36$ परिणाम

तथा F= $\left\{ {\left( {6,5,1} \right)\left( {6,5,2} \right)\left( {6,5,3} \right)\left( {6,5,4} \right)\left( {6,5,5} \right)\left( {6,5,6} \right)} \right\} = 6$ परिणाम

[पासों को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि = $[{(6)^3} = {\text{ 216]}}$)]

$E \cap F = \left\{ {6,5,4} \right\}$

$P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{1}{{216}}$

$P\left( F \right) = \dfrac{6}{{216}}$ 

$P\left( {\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{{P(E \cap F)}}{{P(F)}}$

$= \dfrac{1}{{216}} \div \dfrac{6}{{216}} = \dfrac{1}{6}$ 

9. यदि एक पारिवारिक चित्र में $\left( m \right)$,पिता $\left( f \right)$ व् पुत्र $\left( s \right)$ याछिदा खड़े हैं

$E =$ पुत्र एक सिरे पर खड़ा है |

कुल तरीके  $= 3.2.1 = 6$ 

${\text{ =  }}\left\{ {\left( {{\text{s m f}}} \right){\text{,}}\left( {{\text{s f m}}} \right){\text{,}}\left( {{\text{ f m s}}} \right){\text{,}}\left( {{\text{ m f s}}} \right)} \right\}$ 

F =  पिता मध्य में खड़े हैं |

${\text{ = \{ (sfm),(mfs)\} }}$

${\text{E}} \cap {\text{F = \{ (sfm) , (mfs)\} }}$

${\text{P(E}} \cap {\text{F) = }}\dfrac{{\text{2}}}{{\text{6}}}{\text{ = }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{3}}}$

${\text{P(F)}} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

${\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{E}}}{{\text{F}}}} \right){\text{ = }}\dfrac{{{\text{P(E }} \cap {\text{F)}}}}{{{\text{P(F)}}}}$

$= \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{3} = 1$ 

10. एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया है:

a)  पासों पर प्राप्त सख्याओं का योग 9 होने कि सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हों कि काले पासे पर 7 प्राप्त हुआ है।

उत्तर:  माना A पासों पर प्राप्त संख्याओं का योगफल 9 से अधिक होने की घटना तथा B काले पासे पर प्रकट होने की घटना को निरुपित करता है

$A = \{ \left( {4,6} \right),\left( {5,5} \right),\left( {6,4} \right),\left( {5,6} \right),\left( {6,5} \right),\left( {6,6} \right)$ तथा

$B = \left\{ {\left( {5,1} \right),\left( {5,2} \right),\left( {5,3} \right),\left( {5,4} \right),\left( {5,5} \right),\left( {5,6} \right)} \right\}$

$A \cap B = \left\{ {\left( {5,6} \right),\left( {6,6} \right)} \right\}$ 

तथा 2 पासों को उछाल कर कुल परिणाम  $= 36$  

$P(A \cap B) =$ घटना घटने की संख्या / कुल प्रकार

$= \dfrac{2}{{36}}$

$P\left( B \right) = \dfrac{{6}}{{36}}$

$= \dfrac{1}{6}$ 

$P(A|B) = \dfrac{{{\text{P(A }} \cap B{\text{)}}}}{{{\text{P(B)}}}}$ 

$= \dfrac{2}{{36}} \div \dfrac{1}{6}.$

$= \dfrac{1}{3}$ 

(b). पासों पर प्राप्त सख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो की लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है |

उत्तर:

माना A घटना पासों पर प्राप्त संख्याओं का योगफल 8 होने तथा B घटना लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम घटित होने को निरुपित करता है 

$A = \left\{ {\left( {2,6} \right),\left( {3,5} \right),\left( {4,4} \right),\left( {5,3} \right),\left( {6,2} \right)} \right\}$

$B = \{ \left( {1,1} \right),\left( {1,2} \right),\left( {1,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {1,5} \right),\left( {1,6} \right),\left( {2,1} \right),\left( {2,2} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {2,5} \right),\left( {2,6} \right),\left( {3,1} \right),\left( {3,2} \right),\left( {3,3} \right),\left( {3,4} \right),\left( {3,5} \right),\left( {3,6} \right)$ 

कुल प्रकार = $18$ 

$A \cap B = \left\{ {\left( {2,6} \right),\left( {3,5} \right)} \right\}$

$P\left( {A \cap B} \right) = \dfrac{2}{{36}} = \dfrac{1}{{18}}$

$P\left( B \right) = \dfrac{{18}}{{36}} = \dfrac{1}{2}$ 

$P(A|B) = \dfrac{{{\text{P(A }} \cap B{\text{)}}}}{{{\text{P(B)}}}}$

$\dfrac{1}{{18}} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{9}$

11. एक न्याय्य पासे को उछाला गया है| घटनाओ $E = \left\{ {1,3,5} \right\},F = \left\{ {2,3} \right\}$ और $G = \left\{ {2,3,4,5} \right\}$ के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए|

(i). $P\left( {E/F} \right)$ और $P\left( {F/E} \right)$ 

उत्तर: एक पासे को उछालने पर $1,2,3,4,5$ या 6 प्रकट हो सकता है|

अर्थात प्रतिदर्श के 6 परिणाम है| 

$n\left( S \right) = 6$

$E = \left\{ {1,3,5} \right\},F = \left\{ {2,3} \right\},G = \left\{ {2,3,4,5} \right\}$

$P\left( E \right) = \dfrac{{3}}{6} = \dfrac{1}{2}$

$P\left( F \right) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

$P\left( G \right) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ 

$E \cap F = \left\{ 3 \right\}P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{1}{6}$

$P\left( {\dfrac{E}{F}} \right) = P\left( {E \cap F} \right)/P\left( F \right) = \dfrac{1}{6} \div \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}$

$P\left( {\dfrac{F}{E}} \right) = P\left( {E \cap F} \right)/P\left( E \right) = \dfrac{1}{6} \div \dfrac{1}{2}{\text{  }} = \dfrac{1}{3}$  

(ii). $P\left( {E/G} \right)$ और $P\left( {G/E} \right)$ 

उत्तर: 

$E \cap G = \left\{ {3,5} \right\}$

$P\left( {E \cap G} \right) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ 

$P\left( {\dfrac{E}{G}} \right) = P\left( {E \cap G} \right)/P\left( G \right) = \dfrac{1}{3} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}$

$P\left( {\dfrac{E}{G}} \right) = P\left( {E \cap G} \right)/P\left( E \right) = \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}$ 

(iii). $P\left( {\left( {E \cup F} \right)/G} \right)$ और $P\left( {\left( {E \cap F} \right)/G} \right)$ 

उत्तर: 

$E \cup F = \left\{ {1,2,3,5} \right\}$

$\left( {E \cup F} \right) \cap G = \left\{ {1,2,3,5} \right\} \cap \left\{ {2,3,4,5} \right\} = \left\{ {2,3,5} \right\}$

$E \cap F = \left\{ 3 \right\}$

$\left( {E \cap F} \right) \cap G = \left\{ 3 \right\} \cap \left\{ {2,3,4,5} \right\} = \left\{ 3 \right\}$

$P\left( {E \cup G} \right) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

$P\left( {\left( {E \cup F} \right) \cap G} \right) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ 

$P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{1}{6}$

$P\left( {\left( {E \cap F} \right) \cap G} \right) = \dfrac{1}{6}$

$P\left( {\left( {E \cup F} \right)/G} \right) = P\left( {\left( {E \cup F} \right) \cap G} \right)/P\left( G \right)$

$= \dfrac{1}{2} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}X\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4}$

$P\left( {\left( {E \cap F} \right)/G} \right) = P\left( {\left( {E \cap G} \right) \cap G} \right)/P\left( G \right)$

$= \dfrac{1}{6} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}X\dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{4}$ 

12. मान लें की जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना सम्संभाव्य है| यदि किसी परिवार में दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्र्तिबंध प्रायिकता क्या है , यदि यह दिया गया है की 

(i). सबसे छोटा बच्चा लड़की है

उत्तर: मान लीजिये की लड़कों को $B1,B2$ और लड़कियों को $G1,G2$ से व्यक्त करें तो प्रतिदर्श समष्टि = $\left\{ {\left( {B1,B2} \right),\left( {B1,G2} \right),\left( {G1,B2} \right),\left( {G1,G2} \right)} \right\}$ 

$E =$  दोनों बच्चे लड़कियां हैं = $\left\{ {G1,G2} \right\}$

$F =$ छोटा बच्चा लड़की है $= \left\{ {\left( {G1,G2} \right),\left( {B1,G2} \right)} \right\}$  

$G =$ न्यूनतम एक बच्चा लड़की है

$= \left\{ {\left( {G1,B2} \right),\left( {G1,G2} \right),\left( {B1,G2} \right)} \right\}$

$E \cap F = \left( {G1,G2} \right),P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{1}{4},P\left( F \right) = \dfrac{2}{4}$

$P\left( {E/F} \right) = P\left( {E \cap F} \right)/P\left( F \right) = \dfrac{1}{4} \div \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ 

(ii). न्यूनतम एक बच्चा लड़की है |

उत्तर:

$E \cap G = \left( {G1,G2} \right),P\left( {E \cap G} \right) = \dfrac{1}{4},P\left( G \right) = \dfrac{3}{4}$

$P\left( {E/G} \right) = P\left( {E \cap G} \right)/P\left( G \right) = \dfrac{1}{4} \div \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3}$ 

13. एक प्रशिक्षण के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रशन, 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रशन, 500 बहु विकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्नों का संग्रह है| यदि प्रश्नों के संग्रह से एक यद्रिच्छ्या चुना जाता है, तो एक आसान की बहु विकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?

उत्तर:

कुल प्रश्नों की संख्या = $300 + 200 + 500 + 400 = 1400$ 

माना आसान तथा बहुविकल्पीय प्रश्नों को क्रमशः इ तथा F से व्यक्त करें, तब

$n\left( E \right) = 300 + 500 = 800$

$n\left( F \right) = 500 + 400 = 900$ 

$E \cap F:$ ‘ आसान बहु विकल्पीय प्रश्न’ अर्थात $n\left( {E \cap F} \right) = 500$ 

या $P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{{500}}{{1400}}$ 

और $P\left( F \right) = \dfrac{{900}}{{1400}}$

अतः $P\left( {E/F} \right) = P\left( {E \cap F} \right)/P\left( F \right) = \left( {\dfrac{{500}}{{1400}}} \right) \div \left( {\dfrac{{900}}{{1400}}} \right)$ 

$= 5/9$

14. यदि दिया गया हैकी दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याए भिन्न भिन्न है| दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए|

उत्तर:

दो पासों को उछालने से प्रतिदर्श समष्टि, $S = 6X6 = 36$ 

मान लीजिये A = दो संख्याओं का योग 4 है|

$= \left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {2,2} \right),\left( {3,1} \right)} \right\}$ अर्थात $n\left( A \right) = 3$ 

दो पासों की उछाल में समान संख्या वाले परिणाम

$= \left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {2,2} \right),\left( {3,3} \right),\left( {4,4} \right),\left( {5,5} \right),\left( {6,6} \right)} \right\}$ 

B = जब संख्या भिन्न हो तो ऐसे परिणाम $36-6 = 30$ 

$A \cap B = \left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {3,1} \right)} \right\}$ अर्थात $n\left( {A \cap B} \right) = 2$ 

$P\left( {A \cap B} \right) = \dfrac{2}{{36}},P\left( B \right) = \dfrac{{30}}{{36}}$ 

अतः $P\left( {A/B} \right) = P\left( {A \cap B} \right)/P\left( B \right)$ 

$= \dfrac{2}{{36}} \div \dfrac{{30}}{{36}} = \dfrac{2}{{30}} = \dfrac{1}{{15}}$

15. एक पासे को फेंकने के परिक्षण पर विचार कीजिए| यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुनज है तो पासे को पुनः फेंके और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो एक सिक्के को

उछाले| घटना न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना दिया गया है तो घटना ‘सिक्के पर पट प्रकट होने’ की स्प्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए|

उत्तर:

यदि पासे और सिक्के को उछाला तो परिक्षण के प्रतिदर्श समष्टि, 

$S = \left\{ {\left( {3,1} \right),\left( {3,2} \right),\left( {3,3} \right),\left( {3,4} \right),\left( {3,5} \right),\left( {3,6} \right),\left( {6,1} \right),\left( {6,2} \right),\left( {6,3} \right),\left( {6,4} \right),\left( {6,5} \right),\left( {6,6} \right),\left( {1,H} \right),\left( {1,T} \right),\left( {2,H} \right),\left( {2,T} \right),\left( {4,H} \right),\left( {4,T} \right),\left( {5,H} \right),\left( {5,T} \right)} \right\}$

$n\left( S \right) = 20$ 

मान लीजिये E = सिक्का पर पट आने की घटना

$= \left\{ {\left( {1,T} \right),\left( {2,T} \right),\left( {4,T} \right),\left( {5,T} \right)} \right\}$

और F= कम से कम एक पासे पर 3 का प्रकट होना

$= \left\{ {\left( {3,1} \right),\left( {3,2} \right),\left( {3,3} \right),\left( {3,4} \right),\left( {3,5} \right),\left( {3,6} \right),\left( {6,3} \right)} \right\}$

अर्थात 

$n\left( F \right) = 7$

$E \cap F = {0}$ 

$P\left( F \right) = \dfrac{7}{{20}}$ और $P\left( {E \cap F} \right) = \dfrac{0}{{20}}$ 

अतः $P\left( {\dfrac{E}{F}} \right) = P\left( {E \cap F} \right)/P\left( F \right) = \dfrac{0}{{20}} \div \dfrac{7}{{20}} = 0$ 

16. यदि $P\left( A \right) = \dfrac{1}{2},P\left( B \right) = 0,P\left( {\dfrac{A}{B}} \right)$ है

1. 0 

2. $\dfrac{1}{2}$ 

3. परिभाषित नहीं

4. 1

उत्तर: $P\left( A \right) = \dfrac{1}{2}$  $P\left( B \right) = 0$ 

$P\left( {\dfrac{A}{B}} \right) = \dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P(B)}}$

$= \dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{0} = \infty $ 

= परिभाषित नहीं|

अतः विकल्प (C) सही है|

17. यदि अ और B दो घटनाए इस प्रकार हैं कि $P\left( {\dfrac{A}{B}} \right) = P\left( {\dfrac{B}{A}} \right) \ne 0$ 

तब

1. $A \subset B$

2. $A = B$ 

3. $A \cap B = {0}$ 

4. $P\left( A \right) = P\left( B \right)$

उत्तर: दिया है, $P\left( {\dfrac{A}{B}} \right) = P\left( {\dfrac{B}{A}} \right)$

$\dfrac{{{\text{P(A }} \cap B{\text{)}}}}{{{\text{P(B)}}}} = \dfrac{{{\text{P(A }} \cap B{\text{)}}}}{{{\text{P(A)}}}}$ 

या $P\left( A \right) = P\left( B \right)$

अतः विकल्प (D) सही है|

प्रश्नावली 13.2

1: यदि $P\left( A \right) = \dfrac{3}{5}$ $P\left( B \right) = \dfrac{{\text{1}}}{5}$ है A व् B स्वतंत्र घटनाए है तो $P\left( {A\Pi B} \right)$ ज्ञात कीजिए |

उत्तर: A व B स्वतन्त्र घटनाएं हैं इसीलिए :

$P\left( {A\Pi B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{3}{5}*\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{{25}}$

2. 52 पत्तों की एक गड्डी में से यछ्च्छ्या बिना प्रतिस्थापित किये दो पत्ते निकल गए| दोनों पत्तों के काले होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए|

उत्तर: ताश की गड्डी में 26 पत्ते होते हैं|

प्रायिकता 

$= \dfrac{{26C1}}{{52C1}}{\text{ * }}\dfrac{{25C1}}{{51C1}}$

$= \dfrac{{26}}{{52}}{\text{ * }}\dfrac{{25}}{{51}} = \dfrac{{50}}{{204}} = \dfrac{{25}}{{102}}$ 

3. संतरों के एक डब्बे का निरिक्षण उसमें से तीन संतरों को यद्दच्छया बिना प्रतिस्थापित किये हुए निकाल कर किया जाता है | यदि तीनों निकले गए संतरे अच्छे हैं; तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है अन्यथा अस्वीकृत किया जाता है| एक डिब्बा जिसमें 15 संतरें हैं जिनमें से 12 अच्छे हैं व् 3 खराब संतरें हैं, के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए|

उत्तर: माना पहली, दुसरी व तीसरी निकाल में अच्छा संतरा निकालने की घटनाएं क्रमशः A, B व C हैं|

तब अभीष्ट प्रायिकता = $P\left( {A\Pi B\Pi C} \right)$ 

$P\left( A \right) = \dfrac{{12}}{{15}} = \dfrac{{4}}{5}$

$P\left( {B|A} \right) = \dfrac{{11}}{{14}}$

$P\left( {C|A\Pi B} \right) = \dfrac{{10}}{{13}}$ 

$So,P\left( {A\Pi B\Pi C} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right).P\left( C \right)$

$= \dfrac{4}{5}{\text{ * }}\dfrac{{11}}{{14}}*\dfrac{{10}}{{13}} = \dfrac{{44}}{{91}}$

4. एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पांसे को उछाला गया। माना ‘A घटना सिक्के पर चित प्रकट होता है और B घटना पांसे पर संख्या 3 प्रकट होती है’ की निरुपित करते हैं| निरिक्षण कीजिए की घटनाए स्वतन्त्र हैं या नहीं|

उत्तर: $S = \left\{ {\left( {H,1} \right),\left( {H,2} \right),\left( {H,3} \right),\left( {H,4} \right),\left( {H,5} \right),\left( {H,6} \right),\left( {T,1} \right),\left( {T,2} \right),\left( {T,3} \right),\left( {T,4} \right),\left( {T,5} \right),\left( {T,6} \right)} \right\}$

$\left( {A\Pi B} \right) = \left\{ {\left( {H,3} \right)} \right\}$ 

तब $n\left( S \right) = 12,n\left( A \right) = 6,n\left( B \right) = 2$ 

तथा $n\left( {A\Pi B} \right) = 1$ 

$P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}} = \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{2}$

$P\left( B \right) = \dfrac{{n\left( B \right)}}{{n\left( S \right)}} = \dfrac{2}{{12}} = \dfrac{1}{6}$ 

तथा $P\left( {A\Pi B} \right) = \dfrac{{n\left( {A\Pi B} \right)}}{{n\left( S \right)}} = \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{1}{2}{\text{ * }}\dfrac{1}{6} = P\left( A \right).P\left( B \right)$ 

अतः घटनाएँ A & B स्वतन्त्र हैं|

5: एक पासे पर $1,2,3$ लाल रंग से और $4,5,6$ हरे रंग से लिखे गए हैं| इस पांसे को उछाला गया| माना A घटना ‘संख्या सम है’ और B घटना ‘संख्या लार रंग से लिखी गयी है’ को निरुपित करते हैं| क्या A व B स्वतन्त्र हैं?

उत्तर: $S = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}{\text{  }}n\left( S \right) = 6$

$A = \left\{ {2,4,6} \right\}{\text{  }}n\left( A \right) = 3$

$B = \left\{ {1,2,3} \right\}{\text{  }}n\left( B \right) = 3$

$\left( {A\Pi B} \right) = \left\{ 2 \right\}{\text{  }}n\left( {A\Pi B} \right) = 1$ 

$P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{{1}}{2}$ 

$P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( B \right)}}{{n\left( S \right)}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{{1}}{2}$

$P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{1}{2}{\text{ * }}\dfrac{1}{2}P\left( {A\Pi B} \right) = \dfrac{{n\left( {A\Pi B} \right)}}{{n\left( S \right)}} = \dfrac{1}{6}$

$Since,P\left( {A\Pi B} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)$

अतः A व B स्वतन्त्र नहीं हैं|

6. माना E तथा F इस प्रकार हैं कि $P\left( E \right) = \dfrac{{\text{3}}}{5},P\left( F \right) = \dfrac{3}{{10}}$ तथा $P\left( {E\Pi F} \right) = \dfrac{{\text{1}}}{5}$ है तब क्या E तथा F स्वतन्त्र हैं?

उत्तर: $P\left( E \right).P\left( F \right) = \dfrac{3}{5}{\text{ * }}\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{9}{{50}} \ne P\left( {E\Pi F} \right)$  

अतः E तथा F स्वतन्त्र नहीं हैं|

7. A और B ऐसी घटनाएं दी गई हैं जहाँ $P\left( A \right) = \dfrac{1}{2},P\left( {AUB} \right) = \dfrac{3}{5}$ तथा $P\left( B \right) = p$ तो p का मान ज्ञात कीजिए यदि 

A) घटनाए परस्पर अपवर्जी हैं,

उत्तर: चूँकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं।

$So,P\left( {A\Pi B} \right) = 0$

$P\left( {AUB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A\Pi B} \right)$ 

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{2} + p - 0 =  > p = \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{10}}$

B) घटनाए स्वतन्त्र हैं|

उत्तर: चूँकि घटनाएं स्वतंत्र हैं।

$So,P\left( {A\Pi B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{1}{2}.p$ 

$P\left( {AUB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A\Pi B} \right)$

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{2} + p - \dfrac{1}{2}.p$

$p = 2\left( {\dfrac{{\text{3}}}{5} - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{2}{{10}} = \dfrac{1}{5}$

8. माना A व B स्वतंत्र घटनाएं हैं तथा $P\left( A \right) = 0.3$ और $P\left( B \right) = 0.4$

तब ज्ञात कीजिए

A) $P\left( {A\Pi B} \right)$

उत्तर: $P\left( {A\Pi B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0.3{\text{ * }}0.4 = 0.12$ 

B) $P\left( {AUB} \right)$

उत्तर: 

$P\left( {AUB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A\Pi B} \right)$

$= 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58$ 

C) $P\left( {A|B} \right)$ 

उत्तर: $P\left( {A|B} \right) = \dfrac{{P\left( {A\Pi B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \dfrac{{0.12}}{{0.4}} = 0.3$

D) $P\left( {B|A} \right)$ 

उत्तर: $P\left( {B|A} \right) = \dfrac{{P\left( {A\Pi B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \dfrac{{0.12}}{{0.3}} = 0.4$ 

9: दी गई घटनाएं A और B ऐसी हैं, जहाँ $P\left( A \right) = \dfrac{1}{4},P\left( B \right) = \dfrac{1}{2}$ और $P\left( {A\Pi B} \right) = \dfrac{1}{8}$ तब $P(A -$नहीं और $B - $ नहीं) ज्ञात कीजिए| 

उत्तर: $P(A -$ और $B - $ नहीं)  

$P\left( {AUB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A\Pi B} \right)$

$= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$ 

$P\left( {AUB} \right)' = 1 - P\left( {AUB} \right) = 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$

10. माना A और B दो घटनाए हैं और $P\left( A \right) = \dfrac{1}{2}$ तथा $P\left( B \right) = \dfrac{7}{{12}}$ और  $P(A -$ और $B - $ नहीं) $= \dfrac{1}{4},$ क्या A और $B$ स्वतन्त्र घटनाएँ हैं?

उत्तर: $P(A -$ और $B - $ नहीं)  

$P\left( {A\Pi B} \right) = \dfrac{1}{4} - 1 + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{7}{{12}} = \dfrac{4}{{12}} = \dfrac{1}{3}$

तथा $P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{1}{2}{\text{ * }}\dfrac{7}{{12}} = \dfrac{7}{{24}} \ne P\left( {A\Pi B} \right)$ 

अतः घटनाएं A और $B$ स्वतन्त्र नहीं हैं|

11. A और B स्वतंत्र घटनाएं दी गई हैं जहाँ $P\left( A \right) = 0.3,P\left( B \right) = 0.6$ तो का मान ज्ञात कीजिए|

A) $P(A$और $B)$

उत्तर: $P(A$ और $B)$ 

$= P\left( {A\Pi B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0.3{\text{ * }}0.6 = 0.18$ 

B) $P(A$ और $B$- नहीं)

उत्तर: $P(A$ और $B$- नहीं) 

$= P\left( {A\Pi B'} \right) = P\left( A \right).P\left( {B'} \right) = P\left( A \right)\left[ {1 - P\left( B \right)} \right] = 0.3x\left[ {1 - 0.6} \right] = 0.3{\text{ * }}0.4 = 0.12$ 

C) $P(A$ या $B)$

उत्तर: $P(A$ या $B)$

$= P\left( {AUB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A\Pi B} \right)$

$= 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72$ 

D) $P(A$ और $B$ में से कोई भी नहीं) 

उत्तर: $P(A$ और $B$ में से कोई भी नहीं)  

12. एक पासे को तीन बार उछाला जाता है। कम सेकम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की पप्रायिकता ज्ञात कीलिए।

उत्तर: पहले उछाल में विषमसंख्या प्राप्त न होने की प्रायिकता $P\left( A \right) = \dfrac{{3}}{6} = \dfrac{1}{2}$ 

दुसरे उछाल में विषम संख्या प्राप्त न होने की प्रायिकता $P\left( B \right) = \dfrac{3}{6} = {\text{  }}\dfrac{1}{2}$ 

तीसरे उछाल में विषम संख्या प्राप्त न होने की प्रायिकता $P\left( C \right) = \dfrac{{3}}{6} = \dfrac{1}{2}$ 

$P\left( {A\Pi B\Pi C} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right).P\left( C \right) = \dfrac{1}{2}{\text{ * }}\dfrac{1}{2}{\text{ *}}\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता

$= 1 - P\left( {A\Pi B\Pi C} \right) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

1. दोनों गेंदें लाल हो|

2. प्रथम काली और दूसरी लालहो|

3. एक काली और दूसरी लाल हो|

13. दो गेंदे एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किये निकली जाती हैं| बॉक्स में 10 काले और 8 लाल गेंदे हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए|

उत्तर: माना $R =$ लाल गेंद निकलने की घटना, 

$B =$ काली गेंद नकलने की घटना|

A. $P\left( R \right) = \dfrac{8}{{10}} + 8 = {\text{  }}\dfrac{8}{{18}} = {\text{  }}\dfrac{4}{9}$

क्यूंकि गेंद पुनः वापस डाल दी जाती है|

इसिलए दुसरे निकालमें लाल गेंद निकलने की प्रायिकता 

$P\left( R \right) = \dfrac{4}{9}$

$So,P= P\left( R \right).P\left( R \right) = \dfrac{4}{9}{\text{ * }}\dfrac{4}{9} = \dfrac{{16}}{{81}}$ 

B. $P\left( B \right) = \dfrac{{10}}{{18}} = \dfrac{5}{9}$

$P\left( R \right) = \dfrac{4}{9}$

P (प्रथम काली और दूसरी लाल हो) $= \dfrac{5}{9}{\text{ *}}\dfrac{4}{9} = \dfrac{{20}}{{81}}$ 

C. P(एक काली और दूसरी लाल हो)= P (प्रथम काली और दूसरी लाल हो)+ P(प्रथम लाल और दूसरी काली है)

$= \dfrac{5}{9}{\text{ * }}\dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9}{\text{ * }}\dfrac{5}{9} = \dfrac{{40}}{{81}}$

14. एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकता क्रमशः और हैं|

यदि दोनों, स्वतन्त्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करतें हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए की 

• समस्या हल हो जाती है 

उत्तर: कम से कम एक के  द्वारा उत्तर होने की प्रायिकता

• उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है |

उत्तर:  केवल कोई एक उत्तर कर लेता है की प्रायिकता

15. ताश के 52 पत्तों की एक ठीक से फेटी गयी गड्डी से एक पत्ता यद्यच्छ्या निकाला जाता है| निम्न्लिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ इ और फ स्वतन्त्र हैं?

a) E : निकाला गया पत्ता हुकुम का है। 

F : निकाला गया पत्ता इक्का है।

उत्तर: $P\left( E \right) = \dfrac{{13}}{{52}} = \dfrac{1}{4}$

$P\left( F \right) = \dfrac{{4}}{{52}} = \dfrac{{1}}{{13}}$

$P\left( {E\Pi F} \right) = \dfrac{{\text{1}}}{{52}}$

$P\left( E \right).P\left( F \right) = \dfrac{1}{4}{\text{ * }}\dfrac{1}{{13}} = \dfrac{1}{{52}}$

$= P\left( {E\Pi F} \right)$ 

अतः E और F स्वतंत्र घटनाएं हैं|

b) E : निकाला गया पत्ता काले रंग का है। 

F : निकाला गया पत्ता एक बादशाह है।

उत्तर: 

$P\left( E \right) = \dfrac{{26}}{{52}} = \dfrac{1}{2}$

$P\left( F \right) = \dfrac{4}{{52}} = \dfrac{1}{{13}}$

$P\left( {E\Pi F} \right) = \dfrac{2}{{52}} = \dfrac{1}{{26}}{\text{  }}$

$P\left( E \right).P\left( F \right) = \dfrac{1}{2}{\text{  * }}\dfrac{1}{{13}}{\text{  }} = \dfrac{1}{{26}}{\text{  }} = P\left( {E\Pi F} \right)$ 

अतः E और F स्वतन्त्र घटनाएं हैं।

c) E : निकाला गया पत्ता एक बादिाह या एक बेगम है। 

F : निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है।

उत्तर:

$P\left( E \right) = \dfrac{8}{{52}} = \dfrac{2}{{13}}$

$P\left( F \right) = \dfrac{8}{{52}} = \dfrac{2}{{13}}$

$P\left( {E\Pi F} \right) = \dfrac{4}{{52}} = \dfrac{1}{{13}}$

$P\left( E \right).P\left( F \right) = \dfrac{2}{{13}}{\text{ *}}\dfrac{2}{{13}} = \dfrac{4}{{169}} \ne P\left( {E\Pi F} \right)$ 

अतः E और F स्वतन्त्र घटनाएं हैं।

16. एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिंदी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अख़बार पढ़ते हैं| एक छात्रा को य्द्याच्छ्या चुना जाता है|

1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए की वह न तो हिंदी और न ही अंग्रेज़ी का अख़बार पड़ती है|

2. यदि वह अंग्रेज़ी का अख़बार पड़ती है तो उसके अंग्रेजी का अख़बार भी पढने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए|

3. यदि वह अंग्रेज़ी का अख़बार पढ़ती है तो उसके हिंदी का अख़बार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए|

उत्तर: माना $H = $ हिंदी का अख़बार पढ़ने की घटना,

$E =$ अंग्रेज़ी का अख़बार पढ़ने की घटना

$P\left( H \right) = \dfrac{{60}}{{100}} = \dfrac{3}{5},P\left( E \right) = \dfrac{{40}}{{100}} = \dfrac{2}{5}$

$P\left( {H\Pi E} \right) = \dfrac{{20}}{{100}} = \dfrac{1}{5}$ 

(a). $P\left( {H'\Pi E'} \right) = P\left( {HUE} \right)' = 1 - P\left( {HUE} \right)$

$= 1 - \left[ {P\left( H \right) + P\left( E \right) - P\left( {H\Pi E} \right)} \right]$ 

$= 1 - \left[ {\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}} \right] = 1 - \dfrac{4}{5}{\text{  }} = \dfrac{1}{5}$

(b). $P\left( {E|H} \right) = \dfrac{{P\left( {E\Pi H} \right){\text{  }}}}{{P\left( H \right)}} = \dfrac{1}{5}\dfrac{3}{5}{\text{  }} = \dfrac{1}{3}$ 

(c). $P\left( {H|E} \right) = \dfrac{{P\left( {E\Pi H} \right)}}{{P\left( E \right)}} = \dfrac{1}{5}\dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{2}$

17. यदि पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित में से क्या है?

1. 0

2. $\dfrac{1}{3}$ 

3. $\dfrac{1}{{12}}$

4. $\dfrac{1}{{36}}$

उत्तर: 

$n\left( S \right) = 36$

$A = \left( {22} \right),n\left( A \right) = 1$

$P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}} = 1/36$ 

18. दो घटनाओं A B को परस्पर स्वतंत्र कहते हैं, यदि

1. A और B परस्पर अपवर्जी हैं।

2. $P\left( {A'B'} \right) = \left[ {1 - P\left( A \right)} \right]\left[ {1 - P\left( B \right)} \right]$

3. $P\left( A \right) = P\left( B \right)$

4. $P\left( A \right) + P\left( B \right) = 1$ 

उत्तर: $\left( b \right)P\left( {A'B'} \right) = \left[ {1 - P\left( A \right)} \right]\left[ {1 - P\left( B \right)} \right] = P\left( {A'} \right).P\left( {B'} \right)$ 

प्रश्नावली 13.3

1: एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदे हैं| यद्यच्छ्या एक गेंद निकली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है| पुनः निकले के रंग की 2 अतिरिक्त गेंदे कलश में रख दी जाती है| पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदे कलश में रख दी जाती है तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है| दूसरी गेंदे की लाल होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदे हैं।

$n\left( r \right) = 5,n\left( b \right) = 5,n\left( s \right) = 10$ 

मान लीजिये पहली बार में लाल गेंद निकाली जाती है

$P$ (लाल गेंद निकलना) 

$= \dfrac{{n\left( r \right)}}{{n\left( s \right)}}$

$= \dfrac{{5}}{{10}} = \dfrac{1}{2}$ 

अगर दो लाल गेंदे कलश में डाली गयी है तो,

$n\left( r \right) = 7,n\left( b \right) = 5,n\left( s \right) = 12$

P(लाल गेंद लनकालना) $= \dfrac{{n\left( r \right)}}{{n\left( s \right)}}$ 

$= \dfrac{7}{{12}}$ 

मान लीजिये पहली बार में काली गेंद निकाली जाती है

$n\left( r \right) = 5,n\left( b \right) = 5,n\left( s \right) = 10$

P(काली गेंद निकालना) $= \dfrac{{n\left( b \right)}}{{n\left( s \right)}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2}$

अगर दो काली गेंदे कलश में डाली गयी है तो ,

$n\left( r \right) = 5,n\left( b \right) = 7,n\left( s \right) = 12$

P(लाल गेंद लनकालना) $= \dfrac{{n\left( r \right)}}{{n\left( s \right)}} = \dfrac{5}{{12}}$ 

P(दूसरी गेंद का लाल होना)

$= \left( {\dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{{12}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{{12}}} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{7}{{12}} + \dfrac{5}{{12}}} \right)$

$= \dfrac{1}{2}$ 

2: एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदे हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदे हैं। दोनों थैलों में से एक को यदृच्छया चुना जाता है और उसमें एक गेंद निकाली जाती है जो की लाल है| इस बात की क्या प्रायिकता है की गेंद पहले थैले से निकाली गयी है?

उत्तर: मान लीजिये = पहले थैले को चुनना

       = दुसरे थैले को चुनना

मान लीजिये $E =$लाल गेंद निकालना

$P$ (पहले थैले से लाल गेंद निकालना)

= $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

 (दुसरे थैले से लाल गेंद निकालना)

$= \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$

अभीष्ट प्रायिकता =    

=$\dfrac{{\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}}}{{\left( {\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4}} \right)}}$

$=\dfrac{{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)}}{{\dfrac{1}{4}}} + \dfrac{1}{8}$

$= \dfrac{1}{4} \times \dfrac{8}{3}$

$= {\text{  }}\dfrac{2}{3}$ 

3: यह ज्ञात है लक एक  महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं की छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A – ग्रेड लिया। वषा के अंत में महाविद्यालय  के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया की उसे A- ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है की वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है?

उत्तर: मान लीजिये  छात्र छात्रावास में रहते हैं।

छात्र छात्रावास में नहीं रहते है

$E =$ छात्र जिन्हें A- ग्रेड मिला है

अब,

अभीष्ट प्रायिकता 

$= \dfrac{{\dfrac{3}{{10}} \times {\text{  }}\dfrac{3}{5}{\text{  }}}}{{\left( {\dfrac{3}{{10}} \times {\text{  }}\dfrac{3}{5}} \right) + \left( {\dfrac{2}{{10}} \times {\text{  }}\dfrac{2}{5}} \right)}}$

$= \dfrac{9}{9} + 4$

$= \dfrac{9}{{13}}$ 

4. एक बहुलवकल्पीय का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो का उत्तरजानता है या वह अनुमान लगाता है। मान ले कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता $\dfrac{3}{{\mathbf{4}}}$ है और अनुमान लगाने की प्रायिकता $\dfrac{{\mathbf{1}}}{{\mathbf{4}}}$  है। मान ले की छात्र के के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता $\dfrac{{\mathbf{1}}}{{\mathbf{4}}}$ है तो इस बात की क्या प्रायिकता है की कोई छात्र का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है की उसने सही उत्तर दिया है?

उत्तर: मान लीलिए E¹= विद्यार्थी का उत्तर जानता है

E²= विद्यार्थी का उत्तर नहीं जानता है

$E =$ उत्तर सही है

P(विद्यार्थी सही उत्तर जानता है)  

P(विद्यार्थ अनुमान लगाकर सही उत्तर बताता है)  

अभीष्ट प्रायिकता 

$= \dfrac{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}}{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}} + \dfrac{1}{{16}}$

$= 3 \times \dfrac{{16}}{4} \times 13$

$= \dfrac{{12}}{{13}}$ 

5. मान लीजिये E¹ = व्यक्ति का रोग है

E² = व्यक्ति स्वस्थ है 

E= जांच में यह बताया जाता है व्यक्ति को रोग है 

P (व्यक्ति को रोग है और जाँच में भी यह बताया जाता है की उसे रोग है)

$= 99\%  = \dfrac{{99}}{{100}}$

$= 0.99$ 

P(व्यक्ती को रोग नहीं है परन्तु जाँच में यह बताया जाता है की उसे रोग है)

$= 0.5\%  = \dfrac{{0.5}}{{100}}$

$= 0.005$ 

अभीष्ट प्रायिकता 

$= \dfrac{{\left( {0.001 \times 0.99} \right)}}{{0.001}} \times 0.99 + 0.999 \times 0.005$

$= \dfrac{{0.00099}}{{0.00099}} + 0.0004995$

$= \dfrac{{0.00099}}{{0.005985}} = 990/5985$

$= \dfrac{{110}}{{665}}$

$= \dfrac{{22}}{{133}}$ 

6. तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अभिनत सिक्का है| तीनों में से एक सिक्के को यदृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो क्या प्रायिकता है की वह दोनों चितत वाला सिक्का है?

उत्तर: मान लीलिए E¹= सिक्के के दोनों ओर चित है

E²= सिक्का अलिनय है 

E³= सिक्का अनलिनत है 

E= उछाले गए सिक्के पर लचत प्रकट होता है

अभीष्ट प्रायिकता 

$= \dfrac{{1 \times \dfrac{1}{3}{\text{  }}}}{{\left( {1 \times \dfrac{1}{3}} \right) + \left( {\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}} \right)}}$

$= \dfrac{4}{4} + 3 + 2$

$= \dfrac{4}{9}$ 

7. एक बिमा कंपनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटना की प्रायिकताएं क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 है। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर:  मान लीजिये 

स्कूटर चालक 

कार चालक 

ट्रक चालक

चालक $= 2000 + 4000 + 6000 = 12000$ 

$E =$ बीमाकृत चालक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है

$P$ (स्कूटर चालक दुर्घटनाग्रस्त होता है) 

$P$ (कार चालक दुर्घटनाग्रस्त होता है) 

$P$ (ट्रर चालक दुर्घटनाग्रस्त होता है) 

अभीष्ट प्रायिकता 

$\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{{100}}{\text{  }}\left( {\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{{100}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{{100}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} \times \dfrac{{15}}{{100}}} \right)$

$= \dfrac{1}{1} + 6 + 44$

$= \dfrac{1}{{52}}$ 

8. एक कारखाने में A और B दो मशीनें लगी है। पूर्ण विवरण से पता चलता है की कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% और मशीन B का 1% उत्पादन ख़राब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यदृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो, तो इस वस्तु के 'मशीन A' द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?

उत्तर: मान लीजिये 

मशीन A का उत्पादन

मशीन B का उत्पादन

$E =$ चुनी गयी मशीन ख़राब है 

P(मशीन A का ख़राब उत्पादन)

P(मशीन B का ख़राब उत्पादन) 

अभीष्ट प्रायिकता 

$= \dfrac{{1}}{{100}} \times \dfrac{2}{5}\left( {\dfrac{2}{{100}} \times \dfrac{3}{5}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{100}} \times \dfrac{2}{5}} \right)$

$= \dfrac{2}{6} + 2$

$= \dfrac{1}{4}$ 

9. दो दल एक निगम के निर्देशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में है| पहले तथा दुसरे दल के जितने की प्रायिकता क्रमशः 0.6 तथा 0.4 है। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रायिकता 0.3 है| इसके प्रायिकता ज्ञात कीजिए की नया उत्पादन दुसरे दल द्वारा प्रारंभ किया गया था|

उत्तर: मान लीजिये 

पहला दल जीता जाता है

दूसरा दल जीता जाता है

$E =$ नया उत्पादन प्रारंभ करना

$P$ ( नया उत्पादन प्रारंभ करना अगर पहला दल जीतता है)

$P$ ( नया उत्पादन प्रारंभ करना अगर दूसरा दल जीतता है)

अभीष्ट प्रायिकता 

$= \dfrac{3}{{10}} \times \dfrac{4}{{10}}{\text{  }}\left( {\dfrac{7}{{10}} \times \dfrac{6}{{10}}} \right) + \left( {\dfrac{3}{{10}} \times \dfrac{4}{{10}}} \right)$

$= \dfrac{{12}}{{42}} + 12$

$= \dfrac{{12}}{{54}}$

$= \dfrac{2}{9}$ 

10: मान लीजिये  की कोई लड़की एक पासा उछलती है | यदि उससे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वहएक सिक्के को तीन बार उछालती है और ‘ चितों ’ की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1, 2, 3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है लक उस पर 'चित' या 'पट' प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है, तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: मान लीजिये 

5 या 6 प्राप्त होना

1, 2, 3 या 4 प्राप्त होना

मान लीजिये 

E = एक चित प्राप्त होता है

P(जब सिक्के को 3 बार उछाला जाता है तो चित्त प्राप्त होता है) 

P(जब सिक्के को एक बार उछाला जाता है तो चित्त प्राप्त होता है) 

अभीष्ट प्रायिकता 

$=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}$

$\left( {\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}} \right) + \left( {\dfrac{3}{8} \times \dfrac{1}{3}} \right)$

$= \dfrac{8}{8} + 3$

$= \dfrac{8}{{11}}$ 

11.  एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C मशीनें ऑपरेटर है| प्रथम ऑपरेटर 

A 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमशः 5% और 7% ख़राब सामग्री उत्पादित करता है | कार्य पर A कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किये जाने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: मान लीजिये 

मशीन A द्वारा उत्पादित सामग्री

E²= मशीन B द्वारा उत्पादित सामग्री

मशीन C द्वारा उत्पादित सामग्री

$E =$चुनी गयी सामग्री खराब है

अभीष्ट प्रायिकता 

$= \dfrac{{\dfrac{1}{{100}} \times \dfrac{{50}}{{100}}}}{{\left( {\dfrac{1}{{100}} \times 50/100} \right) + \left( {\dfrac{5}{{100}} \times \dfrac{{30}}{{100}}} \right) + \left( {\dfrac{7}{{100}} \times \dfrac{{20}}{{100}}} \right)}}$

$= \dfrac{{50}}{{50}} + 150 + 140$

$= \dfrac{{50}}{{340}}$

$= \dfrac{5}{{34}}$ 

12.  52 ताशों की गड्डी  से एक पत्ता खो जाता है| शेष पत्तों से दो पत्ते निकले जाते हैं जो ईट के पत्ते हैं| खो गए पत्ते की ईट होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: मान लीजिये 

खो गए पत्ते ईट है

खो गए पत्ते ईट नहीं है

$E = $ शेष पत्तों में से निकाले गए दो पत्ते ईट हैं

अगर एक ईंट का पत्ता खो जाता है तो 12 ईंट के पत्ते बचते हैं 51 पत्तों में से|

12 ईंट के पत्तों में से पत्ते निकालना= 

2 12 ईंट के पत्ते निकालना 51 पत्तों में से $= {^{{\text{51}}}}{C_2}$ 

P(2 में से एक ईट का पत्ता खो जाता है) 

$= \dfrac{{\left( {\dfrac{{13 \times 12}}{{1 \times 2}}} \right)}}{{\left( {\dfrac{{51 \times 50}}{{1 \times 2}}} \right)}}$

$= \dfrac{{13 \times 12}}{{51 \times 50}}$ 

अव्भिष्ट प्रायिकता 

$\dfrac{{\left( {\dfrac{{12 \times 11}}{{51 \times 51}}} \right) \times \dfrac{1}{4}{\text{   }}}}{{\left( {\dfrac{{12 \times 11}}{{51 \times 50}}} \right) \times \dfrac{2}{4} + \left( {\dfrac{{13 \times 12}}{{51 \times 50}}} \right) \times \dfrac{3}{4}}}$

$= \dfrac{{12 \times 11}}{{12 \times 11}} + 13 \times 12 \times 3$

$= \dfrac{{132}}{{600}}$

$= \dfrac{{11}}{{50}}$ 

13. A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता $\dfrac{4}{5}$ है| एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है की चित पप्रदर्शित हुआ। वास्तविक में चित प्रकट होने की प्रायिकता है:

(a). $\dfrac{4}{5}$

(b). $\dfrac{1}{2}$

(c). $\dfrac{1}{5}$

(d). $\dfrac{2}{5}$ 

उत्तर: मान लीजिये 

सिक्के में चित प्रकट होगा

सिक्के में चित प्रकट होगा

$E = A$  बोलता है चित प्रकट हुआ

$P$ (चित आता है और A सच बोलता है)

$P$ (पट आता है और A सच नहीं बोलता है)

अभीष्ट प्रायिकता

$= \dfrac{{\dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{2}}}{{\left( {\dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{2}} \right)}}$ 

$= \dfrac{4}{4} + 1$

$= \dfrac{4}{5}$ 

$\dfrac{4}{5}$

14: यदि A और B ऐसी घटनाएं है की, A C B  तथा P(B)≠ 0 तो निम्न में से कौन ठीक है:

1. $P\left( {A|B} \right) = \dfrac{{P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}}$

2. $P\left( {A|B} \right) < P\left( A \right)$

3. $P\left( {A|B} \right) \leqslant P\left( A \right)$

4.  इनमें से कोई नहीं

उत्तर: 

$ACB,A \cap B = A$

$P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)$

$P\left( {\dfrac{A}{B}} \right) = \dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$

$= \dfrac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}$ 

$P\left( B \right) \leqslant 1$ 

$\therefore P\left( {\dfrac{A}{B}} \right) \geqslant P\left( A \right)$ (c)$P\left( {\dfrac{A}{B}} \right) \geqslant P\left( A \right)$

प्रश्नावली 13.4

1. बताइए कि निम्लिखित प्रायिकता बंटनों में कौन से एक याद्रच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए। 

i)

ii)

iii)

iv)

उत्तर:  

(i). यहाँ पर $P(X = 0) + {\text{ P(X}} = 1) = 0.4 + 0.4 + 0.3 = 1$

और सभी $P(X) \geqslant 0$

∴ यह प्रायिकता बंटन संभव है|

(ii). यहाँ पर ${\text{P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 2) + P(X = 4)}}$  

$= 0.1 + 0.5 + 0.2 - 0.1 + 0.3 = 1.0$

परन्तु ${\text{P(X - 3) =  - 0}}{\text{.1 < 0}}$ 

∴ यह प्रायिकता बंटन संभव है|

(iii). यहाँ पर ${\text{P(Y =  - 1) + P(Y = 0) + P(Y = 1)}}$

$= 0.6 + 0.1 + 0.2 = 0.9 \ne 1$

∴ यह प्रायिकता बंटन संभव नहीं है|

(iv). यहाँ पर  ${\text{P(Z = 3) + P(Z = 2) + P(Z = 1) + P(Z =  - 1)}}$ 

$= 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05 \ne 1.0541$

∴ यह प्रायिकता बंटन संभव नहीं है|

2. एक कलश में 5 लाल और 2 काली गेंद हैं। दो गेंद याद्रच्छया निकाली गई। मान लीजिए X काली गेंदों की संख्या को व्यक्त करता है। X के संभावित मान क्या है ? क्या याद्रच्छया चर है ?

उत्तर: हमारे पास लाल और काली गेंद है| जब दो गेंद याद्रच्छया निकली गए, तब निम्नलिखित सम्भावना बन सकती है|

परिणाम ${\text{X  = }}\left\{ {0,1,2} \right\}$

X परिसर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

इसिलए X एक याद्रच्छया चर है|

3. मान लीजिए X चितों की संख्या और पटों की संख्या में अंतर को व्यक्त करता है, जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। X के संभावित मूल्य क्या है ।

उत्तर:  यदि एक सिक्का 6 बार उछाला गया हो तो व् पटों की कुल संख्याओं $= {2^6} = 64$

इसीलिए X की संभावित मूल्य $= 0,2,4,6$ 

4. निम्लिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए:

(i). एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या का

उत्तर:  सिक्के की दो उछालों की प्रतिदर्श समिष्ट

$P(H) = \dfrac{1}{2},P(T) = \dfrac{1}{2}$ 

यदि,, प्राप्तः चीतों की संख्या को व्यक्त करता है तो एक याद्रच्छया वहार है तथा

${\text{P}}({\text{HH}}) = {\text{P}}({\text{HT}}) = {\text{P}}({\text{TH}}) = {\text{P}}({\text{TT}}) = \dfrac{1}{4}$

${\text{P}}({\text{X}} = 0) = {\text{P}}({\text{TT}}) = \dfrac{1}{4}$

${\text{P}}({\text{X}} = 1) = {\text{P}}({\text{HT}}) + {\text{P}}({\text{TH}}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$

${\text{P}}({\text{X}} = 2) = {\text{P}}({\text{HH}}) = \dfrac{1}{4}$ 

इस लिए प्रायिकता बंटन 

(ii). तीन सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का

उत्तर: ${\text{S = \{ H H H, T H H, H T H, H H T, T H T, T T H, T T T\} }}$

$[P(H) = \dfrac{1}{2}$ और $P(T) = \dfrac{1}{2}$

माना 𝑋 पटो की संख्या आना तब 𝑋 = 0,1,2,3

${\text{P(X =  }}0) = {\text{ P}}$(कोई पट नहीं) ${\text{P(HHH) }} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

${\text{P(X =  1}}) = {\text{ P}}$(एक पट, दो चित) = ${\text{P(HHT) + P(HTH) +  P(THH) = }}\dfrac{{\text{1}}}{2}\dfrac{{\text{1}}}{2}\dfrac{{\text{1}}}{2} + \dfrac{{\text{1}}}{2}\dfrac{{\text{1}}}{2}\dfrac{{\text{1}}}{2} + \dfrac{{\text{1}}}{2}\dfrac{{\text{1}}}{3}\dfrac{{\text{1}}}{2} = \dfrac{3}{8}$

$P(X = 3) = P(TTT) = \dfrac{1}{2}{\text{  }}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} = {\text{  }}\dfrac{1}{8}$ 

इसीलिए प्रायिकता बंटन

(iii). एक सिक्के की चार उछालों गया हो तो कुल उछाल $= {2^3} = 16$

$P(H) = \dfrac{1}{2}$ और $P(T) = \dfrac{1}{2}$ 

माना 𝑋 पटो की संख्या आना तब 𝑋 = 0,1,2,3

${\text{P(X =  }}0) = {\text{ P}}$ (कोई पट नहीं) ${\text{P(TTT) }} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{16}}$

P(X=1)=P (एक चित तीन पट)$= P(H T T T)+P(T H T T)+ P(TTHT) + P(TTHH) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} =\dfrac{4}{{16}} = \dfrac{1}{{14}}$ 

P(X=2)=P(दो चित दो पट) = $P(HHTT)$+ $P(HTHT)$+$P(THTH) + P(THHT) + P(TTHH) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{{16}} = \dfrac{3}{8}$ 

P(X=3)=P(दो चित दो पट)= $P(HHHT)+\dfrac{1}{{16}} P(HHHH)= \dfrac{1}{{16}}$ 

इसीलिए प्रायिकता बंटन 

5. एक पासा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए जहाँ

(i). 4 से बड़ी संख्या' को एक सफलता माना गया है।

उत्तर: पासे की एक उछाल की प्रतिदर्श समीष्ट = $= {\text{ S =  }}\left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}$

सफलता की प्रायिकता = P(सफलता)

$= \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ (क्यूंकि, 5,6 दो संख्या 4 से बड़ी है)

इसिलए P (असफलता)= $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow P(F) = \dfrac{2}{3}$ 

माना X सफलता की संख्या

तब दो उछालों में X =0,1,2

$P(X = 0) = P(FF) = P(F)P(F) = \dfrac{2}{3}\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$

$P(X = 1) = P(SF;FS) = P(SF) + P(FS) = P(S)P(F) + P(F)P(S)$ 

$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot  + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9}$

$P(X = 2) = P(SS) = P(S)P(S) = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9}$  

अतः प्रायिकता बंटन है

(ii). पासे पर संख्या 6 प्रकट होना ' को एक सफलता माना गया है ।

उत्तर:  माना न्यूनतम एक पासे पर संख्या 6 आना

$\Rightarrow A = \{ (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)$

सफलता की प्रायिकता $P(S) = \dfrac{{11}}{{36}}$ (क्यूंकि कुल संभव संख्याएँ)

$= 6 \times 6 = 36$

असफलता की प्रायिकता $P(F) = 1 - \dfrac{{11}}{{36}} = \dfrac{{25}}{{36}}$ 

माना X सफलता की संख्या 

इसिलए X=0,1

$P{X = 0 = P(F) = \dfrac{{25}}{{36}};P(X = 1) = P(S) = \dfrac{{11}}{{36}}}$ 

अतः प्रायिकता बंटन है

6. 30 बल्बों के एक ढेर से, जिसमे 6 बल्ब खराब हैं 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) याद्रच्छया बिना प्रतिस्थापना के निकाला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए ।

उत्तर:  कुल बल्ब = 30

ख़राब बल्ब = 6

सही बल्ब = 30-6=24

ख़राब बल्ब निकालने की प्रायिकता= $= \dfrac{6}{{30}} = \dfrac{1}{5}$ 

P(ख़राब)= $\dfrac{1}{5}$ P(सही)=$1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$

माना X एक ख़राब बल्ब का निकालना

तब X= 0,1,2,3,4

$P(X = 0) =$ P चारों बार कोई भी ख़राब नहीं $\dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5} = \dfrac{{256}}{{625}}$ 

$P(X = {\text{ 1}}) =$ P दो ख़राब, तीन सही $\dfrac{1}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{1}{5} = \dfrac{{256}}{{625}}$

$P(X = {\text{ 1}})= P$ तीन ख़राब , एक सही 

$\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{4}{5} + \dfrac{4}{5}\dfrac{4}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{5}$

$= \dfrac{{16 \times 6}}{{625}} = \dfrac{{96}}{{625}}$ 

$P(X = {\text{ 1}}) =$ P चार ख़राब $\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{625}}$ 

अतः प्रायिकता बंटन है 

7. एक सिक्का समसव्रय संतुलित नहीं है जिसमे चित प्रकट होना के सम्भावना पट प्रकट होना की सम्भावना की तीन गुना है । यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटो की संख्या का प्रायिकता बटन ज्ञात कीजिए|

उत्तर: क्यूंकि चित और पट की प्रय्कता का अनुपात 3: 1 है|

P(चित) = $P\left( H \right) = \dfrac{3}{4}$ P(पट) $={\text{P}}({\text{T}}) = 1 - {\text{P}}({\text{H}}) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ 

माना X पट आने की संख्या

$P(X = 0) =$ P कोई पट नहीं $P(HH) = \dfrac{3}{4}\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{{16}}$ 

$P(X = {\text{ 1}}) =$ P एक पट 

$= P(TH;HT) = \dfrac{{13}}{4} + \dfrac{3}{4}\dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{{16}}$ 

$P(X = {\text{ 2}}) =$ P दो पट $\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{{16}}$ 

अतः प्रायिकता बंटन है

8. एक याद्रछिक चरग का प्रायिकता  बंटन निचे दिया गया है|

ज्ञात कीजिए

उत्तर: $\sum P (X) = 1$

$0 + k + 2k + 2k + 3k + {k^2} + 2{k^2} + 7{k^2} + k = 1$

$\Rightarrow 10{k^2} + 9k - 1 = 0$ 

$\Rightarrow (10k - 1)(k + 1) = 0$

$\Rightarrow k = \dfrac{1}{{10}}, - 1$ 

क्योकि $P(X) \geqslant 0\quad \therefore k =  - 1$ संभव नहीं है 

अतः $k = \dfrac{1}{{10}}$

(i). ${\text{P(X < 3)}}$

उत्तर:  ${\text{P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)}}$

$= 0 + k + 2k = 3k$

$= 3 \times \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{3}{{10}}$ 

(ii). ${\text{P(X > 6)}}$

उत्तर: $P(X > 6) = P(X = 7)$

$= 7{k^2} + k = 7 \times {\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right)^2} + \dfrac{1}{{10}}$

$= \dfrac{7}{{100}} + \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{{17}}{{100}}$ 

(iii). $P(0 < X < 3)$

उत्तर:

$P(0 < X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2)$

$= k + 2k$

$= 3k$ 

$= 3 \times \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{3}{{10}}$

9. एक याद्रच्छिक चर ग् का प्रायिकता फलन च् (ग) निम्न प्रकार से है, जहाँ श कोई संख्या है।

P(x) = {k यदि x=0, 2k यदि x=1, 3k यदि x=2, 0 अन्यथा}

(a). k का मान ज्ञात कीजिए

उत्तर : किसी याद्रच्छिक चर ग् का प्रायिकता बंटन का कुल योग 1 की बराबर है|

अर्थात $\sum P(x) = 1$

अतः  ${\text{P(0) + P(1) + P(2) + P}}$ (अन्यथा) $= 1$

$k = \dfrac{1}{6}$

$k + 2k + 3k + 0 = 1:6k = 1$  

अभीष्ट प्रायिकता बंटन निम्नलिखित है |

(b). $P(X < 2),P(X \leqslant 2),P(X \geqslant 2)$ 

ज्ञात कीजिए|

1.  $(P(X < 2) = P(0) + P(1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

2.  $P(X \leqslant 2) = P(0) + P(1) + P(2) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$ 

3. $P(X \geqslant 2) = P(2) + P$ (अन्यथा)=$\dfrac{1}{2} + 0 = \dfrac{1}{2}$ 

10. एक नयाये सिक्के की तीन उछालों पर प्राप्त चितों की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए |

उत्तर: मान तीन सिक्के की उछाल पर चित आन एकी संख्या दर्शाती है 

तब ${\text{X =  }}0,1,2,3$

अब P(H)= एक सिक्के की उछाल पर चित आने की प्रायिकता = $\dfrac{1}{2}$

P(T)= चित न आने की प्रायिकता = $\dfrac{1}{2}$

$P(X = 0) = P(TTT) = P(T)P(T)P(T) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$ 

$P(X = 1) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$ 

$P(X = 2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$

$P(X = 3) = P(HHH) = P(H)P(H)P(H) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$ 

अतः प्रायिकता बंटन है |

इसिलए बंटन का माध्ये 

$\mu  = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} {p_i} = 0\left( {\dfrac{1}{8}} \right) + 1\left( {\dfrac{3}{8}} \right) + 2\left( {\dfrac{3}{8}} \right) + 3\left( {\dfrac{1}{8}} \right)$

$= \dfrac{3}{8} + \dfrac{6}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{{12}}{8} = 1.5$ 

11. एक नयाये सिक्के की तीन उछालों पर प्राप्त चितों की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए दो पासों को युग्मत उछाला गया ।यदि ग्ए छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है, तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए ।

उत्तर: स्पष्ट है की ${\text{X =  }}0,1,2,3$

$P(X = 0)$= किसी भी पासे पर 6 की प्रायिकता = $\dfrac{{25}}{{36}}$

केवल एक पासे पर 6 आने की $\left\{ {\left( {1.6} \right),\left( {2,6} \right),\left( {3,6} \right),\left( {4,6} \right),\left( {5,6} \right),\left( {6,1} \right),\left( {6,2} \right),\left( {6,3} \right),\left( {6,4} \right),\left( {6,5} \right)} \right\}$ 

$P(X = 1)$= एक 6 आने की प्रायिकता= $\dfrac{{10}}{{36}}$ 

$P(X = 2)$= $= {\text{ P(6}},6) = \dfrac{1}{{36}}$

अतः प्रायिकता बंटन है 

X की प्रत्याशा

$E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} {p_i} = 0.\dfrac{{25}}{{36}} + 1\dfrac{{10}}{{36}} + 2\dfrac{1}{{36}}$

$= \dfrac{{10 + 2}}{{36}} = \dfrac{1}{3}$ 

12. प्रथम छः ध न पूणाकों में से दो संख्याएँ यच्छयाद्रच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई ।मान लें X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए ।

उत्तर: स्पष्ट है X का मान 2,3,4,5,6 हो सकता है 

$P(X = 2)$ = प्रायिकता जब दोनों संख्याओं में बड़ी 2 संख्या है

$\Rightarrow P(X = 2) = P(1,2) + P(2,1) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{{30}}$ 

$P(X = 3)$ = प्रायिकता जब दोनों संख्याओं में बड़ी 3 संख्या है|

$P(1,2,3;3,2,1)) = \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{{30}}$ 

$P(X = 4)$= प्रायिकता जब दोनों संख्याओं में बड़ी 4 संख्या है|

$P(1,2,3,4;4,3,2,1)) = \dfrac{3}{6} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{{30}}$ 

$P(X = 5)$= प्रायिकता जब दोनों संख्याओं में बड़ी 5 संख्या है|

$P(1,2,3,4,5;5,4,3,2,1)) = \dfrac{4}{6} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{{30}}$ 

इस प्रकार $P(X = 6) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{5} = \dfrac{{10}}{{30}}$ 

अतः प्रायिकता बंटन है |

प्रत्याशा 

$E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} {p_i} = 2.\dfrac{2}{{30}} + 3\dfrac{4}{{30}} + 4\dfrac{6}{{30}} + 5\dfrac{8}{{30}} + 6\dfrac{{10}}{{30}}$

$= \dfrac{{4 + 12 + 24 + 40 + 60}}{{30}} = \dfrac{{140}}{{30}} = \dfrac{{14}}{3}$ 

13. मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को X से व्यक्त किया गया है। X का प्रसारण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दो पासों को फेंकने में कुल घटनाये= 6 × 6 = 36

जिन्हें $\left( {{x_i}:{y_i}} \right)$ के रूप में लिख सकते है

जहाँ $\left( {{x_i} = 1,2,3,4,5,6;{y_i} = 1,2,3,4,5,6} \right)$ 

याद्रच्छ्या चार X के मान अर्थात पासों पर प्राप्तः संख्याओं का योग 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

अब $P(X = 2) = P(\{ (1,1)\} ) = \dfrac{1}{{36}}$ 

$P(X = 3) = P(\{ (1,2),(2,1)\} ) = \dfrac{2}{{36}}$

$P(X = 4) = P(\{ (1,3),(2,2),(3,1)\} ) = \dfrac{3}{{36}}$ 

$P(X = 5) = P(\{ (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\} ) = \dfrac{4}{{36}}$ 

$P(X = 6) = P(\{ (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} ) = \dfrac{5}{{36}}$

$P(X = 7) = P(\{ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\} ) = \dfrac{6}{{36}}$

$P(X = 8) = P(\{ (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\} ) = \dfrac{5}{{36}}$ 

$P(X = 9) = P(\{ (3,6),(4,5),(5,4),(6,3))\} ) = \dfrac{4}{{36}}$

$P(X = 10) = P(\{ (4,6),(5,5),(6,4))\} ) = \dfrac{3}{{36}}$

$P(X = 11) = P(\{ (5,6),(6,5))\} ) = \dfrac{2}{{36}}$

$P(X = 12) = P(\{ (6,6))\} ) = \dfrac{1}{{36}}$ 

X का प्रायिकता बंटन है 

इसिलए मध्ये 

$\mu  = E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} {p_i} = 2 \cdot \dfrac{1}{{36}} + 3\dfrac{2}{{36}} + 4\dfrac{3}{{36}} + 5\dfrac{4}{{36}} + 6\dfrac{5}{{36}} + 7\dfrac{6}{{36}} + 8\dfrac{5}{{36}} + 9\dfrac{4}{{36}} + 10\dfrac{3}{{36}} + 11\dfrac{2}{{36}} + 12\dfrac{1}{{36}}$

$\dfrac{{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 36 + 30 + 22 + 12}}{{36}} = \dfrac{{252}}{{36}} = 7$ 

प्रंसारण

${\sigma ^2} = \sum {{{\left( {{x_i}} \right)}^2}} {p_i} - {\mu ^2}$ 

$= \left[ {4 \cdot \dfrac{1}{{36}} + 9\dfrac{2}{{36}} + 16\dfrac{3}{{36}} + 25\dfrac{4}{{36}} + 36\dfrac{5}{{36}} + 49\dfrac{6}{{36}} + 64\dfrac{5}{{36}} + } \right.\left. {81\dfrac{4}{{36}} + 100\dfrac{3}{{36}} + 121\dfrac{2}{{36}} + 144\dfrac{1}{{36}}} \right]$ 

$= \dfrac{1}{{36}}[4 + 18 + 48 + 100 + 180 + 294 + 320 + 324 + 300 + 242 + 144] - 49$

$= \dfrac{1}{{36}} \times 1974 - 49$ 

$= 54.833 - 49$

प्रंसारण 

${\sigma ^2} = 5.833$ 

$=2.413$

14. एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु 

14,17,15,14,21,17,19,20,16,18,20,17,16,19  और 20 वर्ष हैं। मध्ये भी एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है और चुने गए छात्र की आयु को लिखा गया । याद्रच्छिक चर का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए । का मध्ये, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए ।

उत्तर: 𝑋 का प्रायिकता बंटन है

मध्ये ${\sigma ^2}$

$E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} {p_i} = 14.\dfrac{2}{{15}} + 15\dfrac{1}{{15}} + 16\dfrac{2}{{15}} + 17\dfrac{3}{{15}} + 18\dfrac{1}{{15}} + 19\dfrac{2}{{15}} + 20\dfrac{3}{{15}} + 21\dfrac{1}{{15}}$ 

$= \dfrac{{28 + 15 + 32 + 51 + 18 + 38 + 60 + 21}}{{15}} = \dfrac{{263}}{{15}} = 17.53$ 

$E\left( {{X^2}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} {p_i} = {14^2} \cdot \dfrac{2}{{15}} + {15^2}\dfrac{1}{{15}} + {16^2}\dfrac{2}{{15}} + {17^2}\dfrac{3}{{15}} + {18^2}\dfrac{1}{{15}} + {19^2}\dfrac{2}{{15}} + {20^2}\dfrac{3}{{15}} + {21^2}\dfrac{1}{{15}}$ 

$= \dfrac{{392 + 225 + 512 + 867 + 324 + 722 + 1200 + 441}}{{15}} = \dfrac{{4683}}{{15}}$ 

प्रंसारण (X) या var (X) 

$= E{(X)^2} - \left( {E{{(X)}^2}} \right) = \dfrac{{4683}}{{15}} - {\left( {\dfrac{{263}}{{15}}} \right)^2}$

$= \dfrac{{70245 - 69169}}{{275}} = \dfrac{{1078}}{{375}} = 4.78$ 

मानक विचलन (S.D)= $\sqrt {\operatorname{var} (X)}  = \sqrt {4.78}  = 2.19$ 

15. एक बैठक में 70%  सदस्यो ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और 30% सदस्यो ने विरोध किया। एक सदस्य को याद्रच्छया चुना गया और, उस सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तो X=0 लिया गया जब कि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो तो X= 1 लिया गया था। E(X) और अंत (X) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 𝑋 का प्रायिकता बंटन है 

माध्ये $E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} {p_i} = 0.\dfrac{{30}}{{100}} + 1\dfrac{{70}}{{100}} = \dfrac{{70}}{{100}} = \dfrac{7}{{10}}$ 

$E\left( {{X^2}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} {p_i} = {0^2} \cdot \dfrac{{30}}{{100}} + {1^2}\dfrac{{70}}{{100}}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} {p_i} = 0.\dfrac{{30}}{{100}} + 1\dfrac{{70}}{{100}} = \dfrac{{70}}{{100}} = \dfrac{7}{{10}} = 0.7$ 

प्रंसारण (X) या var (X)

$(X)\operatorname{var} (X) = E{(X)^2} - \left( {E{{(X)}^2}} \right) = \dfrac{7}{{10}} - {\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)^2}$

$= \dfrac{7}{{10}} - \dfrac{{49}}{{100}}$

$= \dfrac{{70 - 49}}{{100}} = \dfrac{{21}}{{100}} = 0.21$ 

निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें

16. ऐसे पासे, जिसके तीन फलकों पर 1 अन्य तीन पर 2 और एक फलक पर 5 लिखा गया है, को उछालने पर प्राप्त संख्याओं का माध्य है

(A) 1

(B) 2

(C) 5

(D) $\dfrac{8}{3}$ 

उत्तर: 

विकल्प(b) सही है|

17. मान लीजिए ताश की एक गडडी से याद्रच्छया दो पत्ते निकाले जाते हैं। मान लीजिए (X) इक्कों की संख्या प्रकट करता है। तब E(X)का मान है:

(A). $\dfrac{{37}}{{221}}$

(B). $\dfrac{5}{{13}}$

(C).$\dfrac{1}{{13}}$

(D). $\dfrac{2}{{13}}$ 

उत्तर : 

विकल्प (d) सही है|

प्रश्नावली 13.5

1: एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। यदि " पासे पर सम संख्या प्राप्त होना " एक सफलता है तो निम्निखित की प्रायिकताएँ क्या होगी? 

(i) तथ्यतः 5 सफलताएँ?

(ii) न्यूनतम 5 सफलताएँ ?

(iii) अधिकतम 5 सफलताएँ ?

उत्तर : मान लीजिये इसकी प्रायिकता x है

(i). ${\text{P}}({\text{x}} = 5){ = ^n}{C_{\text{x}}}{p^{\text{x}}}{q^{n - {\text{x}}}}$

${ = ^6}{{\text{C}}_5}{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^5}{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^1}$

$= \dfrac{3}{32}$

(ii).   $P\left( {x \geqslant 5} \right) = 1--P(x < 4$

$= P(x = 5) + P(x = 6)$

${ = ^6}{C_5}{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^5}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)1{ + ^6}{C_6}{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^6}{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0}$ 

(iii). $P(x \leqslant 5) = 1 - P(x > 5)$

$= 1 - P(x = 6)$

$= 1{ - ^6}{C_6}{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^6}{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0}$

$= 6$ 

2: पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है। यदि " पासों पर प्राप्त अंको का द्विक होना " एक सफलता मानी जाती है, तो 2 सफलता ओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

उत्तर : मान लीजिये इसकी प्रायिकता x है

$n = 4$ 

संभावित नतीजे

$= (1,1),(2,2), \ldots  \ldots ,(6,6)$

$p = \dfrac{6}{{36}} = \dfrac{1}{6}$

$q = \dfrac{5}{6}$

$P(x = 2){ = ^4}{C_2}{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^2}$

$= \dfrac{{25}}{{216}}$ 

प्रश्न3: वस्तुओं के एक ढेर में 5 % त्रुटियुक्त वस्तुएँ है इसकी क्या प्रायिक ता है कि 10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ न हीं होंगी?

उत्तर :  मान लीजिये इसकी प्रायिकता x है 

$n = 10$

$p = 0.05$

$q = 0.95$ 

${\text{P}}({\text{x}} \leqslant 1) = {\text{P}}({\text{x}} = 0) + {\text{P}}({\text{x}} = 1)$

${ = ^{10}}{{\text{C}}_0}{(0.05)^0}{(0.95)^{10}}{ + ^{10}}{{\text{C}}_1}{(0.05)^1}{(0.95)^9}$ 

$= \left( {\dfrac{{19}}{{20}}} \right){\left( {\dfrac{{19}}{{20}}} \right)^9}$ 

4: 52 ताश के पत्तो की एक भलीभाँति फेंटी ग  ई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोतर प्रतिस्थापना सहित निकाले जाते है कि

(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हों ?

उत्तर :  सभी 5 पत्ते हुकुम के हो 

$= {\left( {\dfrac{{^{13}{{\text{C}}_1}}}{{^{52}{{\text{C}}_1}}}} \right)^5}$

${\text{P}}({\text{x}} = 5){ = ^5}{C_5}{\left( {{{\left( {\dfrac{{^{13}{{\text{C}}_1}}}{{^{{\text{52}}}{{\text{C}}_1}}}} \right)}^5}} \right)^5}{\left( {1 - {{\left( {\dfrac{{^{13}{{\text{C}}_1}}}{{^{{\text{52}}}{{\text{C}}_1}}}} \right)}^5}} \right)^0}n$

$= 1/1024$ 

(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हों ?

उत्तर :  $p = {\left( {{{\left( {^{13}{C_1}} \right)}^3}{{\left( {^{39}{C_1}} \right)}^2}} \right)^5}$ 

$P\left( {x = 3} \right) = {^5}{C_3}{\left[ {\dfrac{{\left[ {\left( {{{\left( {^{13}{C_1}} \right)}^{3}}{{\left( {{^{39}}{C_1}} \right)}^2}} \right)} \right]}}{{{{\left( {^{52}{C_1}} \right)}^5}}}} \right]^{\text{3}}}{\left[ {\dfrac{{\left[ {1 - \left( {{{\left( {^{13}{C_1}} \right)}^{3}}{{\left( {{^{39}}{C_1}} \right)}^2}} \right)} \right]}}{{{{\left( {^{52}{C_1}} \right)}^5}}}} \right]^2}$ 

$= 45/512$ 

(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो ?

उत्तर :  एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो 

$p = \dfrac{{\left( {{^{39}}{C_1}} \right)}}{{^{52}{C_1}}}$ 

$P\left( {x = 0} \right) = {^5}{C_0}\left[ {\dfrac{{{{\left( {^{39}{C_1}} \right)}^5}}}{{^{52}{C_1}}}} \right]{^0}{\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{{{{\left( {^{39}{C_1}}\right)}^5}}}{{^{52}{C_1}}}} \right)}^5}} \right]^5}$

$= \dfrac{{243}}{{1024}}$ 

5: किसी फैक्ट्री में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज़ होने की प्रायिकता $0.05$ है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि इस प्रकार क 5 बल्बों में से

(i) एक भी नहीं

(ii) एक से अधिक नहीं

(iii) एक से अधिक

(iv) काम से काम एक ,

150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज़ हो जाएँगे।

उत्तर : मान लीजिये इसकी प्रायिकता x है

$n = 5$

$p = 0.05$

$q = 0.95$

(i) एक भी नहीं

${\text{P}}({\text{x}} = 0){ = ^5}{{\text{C}}_0}{(0.05)^0}{(0.95)^5}$

$= {(0.95)^5}$ 

(ii) एक से अधिक नहीं 

${\text{P}}({\text{x}} \leqslant 1) = {\text{P}}({\text{x}} = 0) + {\text{P}}({\text{x}} = 1)$

${ = ^5}{C_0}{(0.05)^0}{(0.95)^5}{ + ^5}{C_1}{(0.05)^1}{(0.95)^4}$

$= {(0.95)^{4*}}1.2$

$= 1 - \left( {0.95} \right)4*1.2$ 

(iii) एक से अधिक

${\text{P}}({\text{x}} \geqslant 1) = 1 - {\text{P}}({\text{x}} < 1)$

$= 1 - {\text{P}}({\text{x}} = 0)$

$= 1{ - ^5}{{\text{C}}_0}{(0.05)^0}{(0.95)^5}$

$= 1 - {(0.95)^5}$

6: एक थैले में 10 गेंदे है जिनमे से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंको में से एक अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदे उत्तरोतर पुनः वापस रखते हुए निकली जाती है, तो इसकी क्या प्रायिकता है की उनमे से कि सी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा हो?

उत्तर: 0 के अलावा कोई भी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $ = \dfrac{9}{{10}}$ इसलिए चारो बार 0 न प्राप्त करने प्रायिकता = ${\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)^4}$ 

7: एक सत्य असत्य प्रकार के 20 प्रशनों वाली परीक्षा में मान ले कि एक विद्यार्ति एक न्याय्य सिक्के को उछाल कर प्रत्येक प्रशन का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित्त प्रकट हो तो वह प्रशन का उत्तर"सत्य" देता है और यदि पट प्रकट हो तो “असत्य " लिखता है। इस की प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि वह काम से काम 2 प्रशनों का सही उत्त र देता है।

उत्तर: चित (H)= सत्य

पट (T)= असत्य

$n = 20$

$p = \dfrac{1}{2}$

$q = \dfrac{1}{2}$ 

${\text{P}}({\text{x}} \geqslant 12){ = ^{20}}{{\text{C}}_{12}}{(\dfrac{1}{2})^{20}}{ + ^{20}}{{\text{C}}_{13}}{(\dfrac{1}{2})^{20}} +  \ldots ..{ + ^{20}}{{\text{C}}_{20}}{(\dfrac{1}{2})^{20}} = {\dfrac{1}{2}^{20}}\left( {^{20}{{\text{C}}_{12}}{ + ^{20}}{{\text{C}}_{13}} +  \ldots .{ + ^{20}}{{\text{C}}_{20}}} \right)$ 

$= {\dfrac{1}{2}^{20}}\left( {^{20}{{\text{C}}_{12}}{ + ^{20}}{{\text{C}}_{13}} +  \ldots .{ + ^{20}}{{\text{C}}_{20}}} \right)$ 

8: मान लीजिये कि X का बंटन$B(6,\dfrac{1}{2})$   द्विपद बंटन है। दर् कि अधिकतमप्रायिकता वाला परिणाम है। (संकेत: P(X)= 3 सभी P(${x_i}$)${x_i}$=0,1,2,3,4,5,6 में से अधिकतम है)

उत्तर: $n = 6$ 

$p = \dfrac{1}{2}$

$q = \dfrac{1}{2}$ 

$P\left( {x = 0} \right) = {^6}{C_0}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)6 = \dfrac{1}{{64}}$ 

$P\left( {x = 1} \right){\text{  }} = {^6}{C_1}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)6 = \dfrac{6}{{64}}$ 

$P\left( {x = 2} \right) = {^6}{C_2}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)6 = \dfrac{{15}}{{64}}$ 

$P\left( {x = 3} \right) = {^6}{C_3}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)6 = \dfrac{{20}}{{64}}$

$P\left( {x = 4} \right) = {^6}{C_4}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)6 = \dfrac{{15}}{{64}}$

$P\left( {x = 5} \right) = {^6}{C_5}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)6 = \dfrac{6}{{64}}$

$P\left( {x = 6} \right) = {^6}{C_6}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)6 = \dfrac{1}{{64}}$ 

जैसे की हम देख सकते है का मूल सबसे ज्यादा है इसिलए X= 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है|

9: एक बहु विकल्पीय परीक्षा में 5 प्रशन है जिनमे प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विध्यार्ती केवल अनुमान लगा कर चार या अधिक प्रशनों के सही उत्तर दे देगा ?

उत्तर: 

$n = 5$

$p = \dfrac{1}{3}$

$q = \dfrac{1}{3}$ 

$P\left( {x \geqslant 4} \right) = {^5}{C_4}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^4}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^1} + {^5}{C_5}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^5}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^0}$ 

$= \dfrac{1}{{35}}\left( {10 + 1} \right)$

$= \dfrac{{11}}{{243}}$ 

10: एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमे उसके प्रत्येक में जितने कि प्रायिकता $1 / 100$ हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह (a) न्यूनतम एक बार (b) तथ्यतः एक बार (c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीत लेगा।

उत्तर: मान लीजिये इसकी प्रायिकता X है 

$n = 50$

$p = \dfrac{1}{{100}}$

$q = \dfrac{{99}}{{100}}$  

(a) न्यूनतम एक बार जीतने की प्रायिकता

$P(x \geqslant 1) = 1 - P(x < 1)$

$= 1 - P(x = 0)$

$= 1{ - ^{50}}{C_0}{(0.01)^0}{(0.99)^{50}}$

$= 1 - {(\dfrac{{99}}{{100}})^{50}}$ 

(b) तथ्यतः एक बार इनाम जीतने की प्रायिकता

$P\left( {x = 1} \right) = {^{50}}{C_1}{\left( {0.01} \right)^1}{\left( {0.99} \right)^{49}}$

$= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{99}}{{100}}} \right)49$ 

(c) न्यूनतम दो बार जीतने की प्रायिकता

$P\left( {x \geqslant 2} \right) = 1--P(x < 2)$

$= 1 - [P(x = 0) + P(x = 1)]$

$= 1 - {[^{50}}{C_0}{(0.01)^0}{(0.99)^{50}}{ + ^{50}}{C_1}{(0.01)^1}{(0.99)^{49}}]$

$= 1 - \dfrac{{149}}{{100}}{\left( {\dfrac{{99}}{{100}}} \right)^{49}}$ 

11: एक पासे को 7 बार उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

उत्तर: मान लीजिये इसकी प्रायिकता x है

$n = 7$

$p = \dfrac{1}{6}$

$q = \dfrac{5}{6}$

$P\left( {x = 2} \right) = {^n}{C_x}p{^x}q{^{n - x}}$

$= {^7}{C_2}{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^5}$

$= \dfrac{7}{{12}}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^5}$

12: एक पासे को 6 बार उछालने पर अधिकतम 2 बार 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।

उत्तर: मान लीजिये इसकी प्रायिकता x है 

$n = {\text{ 6 }}$

$p = \dfrac{1}{6}$

$q = \dfrac{5}{6}$

$P\left( {x \leqslant 2} \right) = P\left( {x = 0} \right) + P\left( {x = 1} \right) + P\left( {x = 2} \right)$

$= {^6}{C_0}{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^0}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^6}{ + ^6}{C_1}{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^{1}}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^5} + {^6}{C_2}$

${\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^4}$

$= \dfrac{{35}}{{18}}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^4}$

13: यह ज्ञात है कि किसी विशेष प्रकार की निर्मित वस्तुओं की संख्या में $10 \%$ खराब है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस प्रकार की 12 वस्तुँ के यादरचीख प्रतिदर्श में से 9 खराब हों ?

उत्तर: मान लीये इसकी प्रायिकता x है

$n = {\text{ 12 }}$

$p = {\text{ 0}}{\text{.1 }}$

$q = {\text{ 0}}{\text{.9}}$ 

$P\left( {x = 9} \right){ = ^{12}}{C_9}{\left( {0.1} \right)^9}{\left( {0.9} \right)^3}$

$= \dfrac{{{{\left( {22*9} \right)}^3}}}{{{{10}^{11}}}}$ 

14: एक बॉक्स में 100 बल्ब हैं। जिसमे 10 त्रुटियुक्त हैं। 5 बल्ब के नमूने में से, किसी भी बल्ब के त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता है :

(A) ${10^{ - 1}}$ 

(B) ${\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^5}$ 

(C) ${\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)^5}$ 

(D)$\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)$ 

उत्तर: एक सही बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता = $\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)$

इसिलए 5 सही बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता = ${\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)^5} = (C)$

प्रश्न15: एक छात्र की तैराक न होने की प्रायिकता $1 / 5$ है। तब 5 छात्रों में से 4 छात्रों की तैराक होने की प्रायिकता है

(A)  $^5{C_4}{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^4}\dfrac{1}{5}$ 

(B) ${\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^4}\left( {\dfrac{1}{5}} \right)$ 

(C) $^5{C_1}\left( {\dfrac{1}{5}} \right){\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^4}$ 

(D) इनमे से कोई नहीं

उत्तर: 

$n = {\text{ 6 }}$

$p = \dfrac{4}{5}$

$q = \dfrac{1}{5}$ 

$P\left( {x = 4} \right){ = ^5}{C_4}{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^4}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^1}$

$= \left( A \right)$ 

प्रश्नावली 13.6

1. A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि $P\left( A \right) \ne 0.P\left( {\dfrac{B}{A}} \right)$  ज्ञात कीजिए यदि

(i). A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है

उत्तर:  $A \subset B \Rightarrow A \cap B = A$ 

(A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है)

(ii). $A \cap B = \phi$ 

उत्तर: $P\left( {\dfrac{B}{A}} \right) = \dfrac{{P(B \cap A)}}{{P(A)}} = \dfrac{{P(A)}}{{P(A)}} = 1$ 

$A \cap B = \phi$ अर्थात $P(A \cap B) = P(\phi ) = 0$ 

$\Rightarrow P(B \cap A) = \dfrac{{P(B \cap 1A)}}{{P(A)}} = \dfrac{0}{{P(A)}} = 0$ 

2. एक दंपति के दो बच्चे हैं

(i) दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हैं कि दोनों बच्चो में से कम से कम एक बच्चा लड़का है।

उत्तर: (i) मान लीजिए लड़का होने तथा लड़की होने की घटना क्रमशः A तथा B हो, और उन्हें B तथा G से

व्यक्त करें ,तब

घटना A = दोनों बच्चे लड़के हैं = {B,B}

B= दोनों बच्चों में से कम से कम एक लड़का है 

$= \{ BG,GB,BB\}$

$\therefore A \cap B = \{ BB\}$

$P(A \cap B) = \dfrac{1}{4}$  

तथा

$P\left( B \right) = \dfrac{3}{4}$ 

$\therefore {\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{A}}}{{\text{B}}}} \right) = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3}$ 

(ii) दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।

उत्तर: माना की  A = दोनों बच्चे लड़कियां हैं = [GG]

B = बड़ा बच्चा लड़की है = {GG,GB}

$P(A \cap B) = \dfrac{1}{4}$ तथा $P(B) = \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$ 

$\therefore {\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{A}}}{{\text{B}}}} \right) = \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \dfrac{1}{4} \div \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ 

3. कल्पना कीजिए कि 5%  पुरुषों और .25 % महिलाओं के बाल सफ़ेद हैं। एक सफ़ेद बालों वाले व्यक्ति को याहच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।

उत्तर: मान लीजिये पुरुषों की संख्या सामान है |

घटना  ${E_1} =$ पुरुष का होने, ${E_2} =$ महिला का होना  

A: सफेद बाल का होना

$\therefore P\left( {{E_1}} \right) = \dfrac{1}{{{2^\prime }}}P\left( {{E_2}} \right) = \dfrac{1}{2}$

$P\left( {\dfrac{A}{{{E_1}}}} \right) = 5\%  = 0.05$

$P\left( {\dfrac{A}{{{E_2}}}} \right) = 0.25\%  = 0.0025$ 

अतः बेज प्रमेय से ,

$P\left( {\dfrac{{\left( {{E_1}} \right)}}{A}} \right) = \dfrac{{P(E1)P(A/E1)}}{{P(E1)P\left( {\dfrac{A}{{{E_1}}}} \right) + P(E2)P\left( {\dfrac{A}{{{E_2}}}} \right)}}$

$= \dfrac{{\dfrac{1}{2} \times 0.05}}{{\dfrac{1}{2} \times 0.05 + \dfrac{1}{2} \times 0.0025}}$

$= \dfrac{{500}}{{500 + 25}} = \dfrac{{500}}{{525}} = \dfrac{{20}}{{21}}$ 

4. मान लीजिए कि $90\%$ लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में से याहच्छया चुने गए अधिक से अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?

उत्तर: व्यक्ति के दाहिने हाथ से काम करने की प्रायिकता (p) 

$= 90\%  = 0.9 = \dfrac{9}{{10}}$

$\therefore {\text{q}} = 1 - \dfrac{9}{{10}} = \dfrac{1}{{10}}{\text{ , n}} = 10$ 

P (अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करते हैं)

$= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)$

$= 1 - [P(7) + P(8) + P(9) + P(10)]$

$= 1 - \left[ {^{10}{C_7}{{\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right)}^3}{{\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)}^7}{ + ^{10}}{C_8}{{\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right)}^2}{{\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)}^8}{ + ^{10}}{C_9}\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right){{\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)}^9}{ + ^{10}}{C_{10}}} \right.\left. {{{\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)}^{10}}} \right]$ 

$= 1 - \sum\limits_{r = 7}^{10} {^{10}} {C_r}{(0.9)^r}{(0.1)^{10 - r}}$ 

5. एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिह्न ' X ' अंकित है और शेष 15 पर चिह्न ' Y '. अंकित है। कलश में से एक गेंद याहच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिह्न को नोट (लिख) करके उसे कलश में प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें निकाली जाती हों, तो अग्रलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए। ‘X ' चिह्न से अंकित गेंदों की संख्या का माध्य भी ज्ञात कीजिए।

(i) सभी पर चिह्न ' X ' अंकित हो।

उत्तर: कुल गेंदों की संख्या =25

मान लीजिए घटना A तथा B गेंद पर X और Y की स्थिति को दर्शाता है। यहाँ n=6, गेंदें जो कलश से निकाली गई।

$\therefore \quad P(A) = \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{2}{5}{\text{ , }}P(B) = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$ 

P (सभी पर चिन्ह X हो)$= {\text{P}}({\text{x}} = 6) = {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^6}$  

(ii) 2 से अधिक पर चिह्न ' Y ' नहीं अंकित हो।

उत्तर: घटना : 2 से अधिक गेंद पर Y अंकित न होना = {(6X, 0Y), (5X, 1Y), (4X, 2Y)}

∴ P(दो से अधिक गेंदों पर Y अंकित न होना) = P(6) + P(5) + P(4)

$= {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^6}{ + ^6}{C_5}\left( {\dfrac{3}{5}} \right){\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^5}{ + ^6}{C_4}{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2}{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^4}$

$= {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^4} \times \left[ {\dfrac{4}{{25}} + \dfrac{6}{1} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} + \dfrac{{6 \times 5}}{{1 \times 2}} \times \dfrac{9}{{25}}} \right]$

$= {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^4} \times \left[ {\dfrac{4}{{25}} + \dfrac{{36}}{{25}} + \dfrac{{135}}{{25}}} \right]$

$= {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^4} \times \dfrac{{175}}{{25}} = 7 \times {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^4}$ 

(iii) कम से कम 1 गेंद पर चिह्न ' Y ' अंकित हो।

उत्तर: घटना : कम-से-कम एक गेंद पर Y अंकित हो।

$= \left\{ {\left( {5X,Y} \right),\left( {4X,2Y} \right),\left( {3X,3Y} \right),\left( {2X,4Y} \right),\left( {1X,5Y} \right),\left( {0X,6Y} \right)} \right\}$ 

P(कम से कम एक गेंद पर Y लिखा हो)

$= P(5) + P(4) + P(3) + \{ P(2) + P(1) + P(0)\} $

$= 1 - P(6) = 1 - {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^6}$ 

(iv) ' X ' ‘Y ' चिह्नों से अंकित गेंदों की संख्या समान हों।

उत्तर: घटना : X तथा Y से अंकित गेंदों की संख्या समान हो।

${\text{P}}\{ (3{\text{X}},3{\text{Y}})\}$

${\text{P}}(3) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^3}{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^3}$

$= \dfrac{{6 \times 5 \times 4}}{{1 \times 2 \times 3}} \times \dfrac{{27}}{{125}} \times \dfrac{8}{{125}}$

$20 \times \dfrac{{27}}{{125}} \times \dfrac{8}{{125}} = \dfrac{{864}}{{3125}}.$

6. एक बाधा दौड़ में एक प्रतियोगी को 10 बाधाएँ पार करनी है इसकी प्रायिकता कि वह प्रत्येक बाधा को पार कर लेगा $\dfrac{5}{6}$ है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (नहीं पार कर पाएगा) ?

उत्तर: दिए गए कुल बाधाओं की संख्या = 10

मान लीजिए बाधा को पार करने की प्रायिकता $\left( p \right) = \dfrac{5}{{6}}$ 

अतः बाधा को पर करने की प्रायिकता $\left( q \right) = 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$ 

∴ P(दो से कम बाधाओं को पार न करना)

$= P\left( {10} \right) + P\left( 9 \right)$

$= {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^{10}}{ + ^{10}}{C_9}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^9}\left( {\dfrac{1}{6}} \right)$

$\left. { = {{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)}^{10}}{ + ^{10}}{C_1}{{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)}^9}\dfrac{1}{6}} \right)$

$= {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^9}\left[ {\dfrac{5}{6} + 10 \times \dfrac{1}{6}} \right] = {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^9} \times \dfrac{{15}}{6}$

$= \dfrac{5}{2} \times {\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^9} = \dfrac{{{5^{10}}}}{{2 \times {6^9}}}$  

7. एक पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।

उत्तर:  पासे की उछाल में पासे पर 6 आने की प्रायिकता = $\dfrac{1}{6}$ अर्थात p=$\dfrac{1}{6}$

पासे पर 6 न आने की प्रायिकता ${\text{ (q) }} = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$ 

P(पासे पर 5 उछाल पर 2 बार 6 और 3 बार 6 न आना) ${ = ^5}{C_2}{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^3}$ 

P(छटी बार में 6 आना)= 

${ = ^5}{C_2}{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2}{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)^3} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{{10 \times {5^3}}}{{{6^6}}}$

$= \dfrac{{1250}}{{46665}} = \dfrac{{625}}{{23328}}$ 

8. यदि एक लीप वर्ष को याहच्छया चुना गया हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे?

उत्तर:  एक लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं। इसमें 52 पूर्ण सप्ताह हैं और 2 दिन शेष रहते हैं। इन दोनों दिनों को

इस प्रकार लिखा जा सकता है-

(सोमवार, मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार), (बुधवार, बृहस्पतिवार),

(बृहस्पतिवार, शुक्रवार) ( शुक्रवार,

शनिवार), (शनिवार, रविवार), (रविवार, सोमवार)

इस प्रकार के कुल समूहों की संख्या =7

इनमें से मंगलवार दो बार आता है। यानी (सोमवार, मंगलवार),

(मंगलवार, बुधवार)

अत: लीप वर्ष में 53 मंगलवार आने की प्रायिकता $= \dfrac{2}{7}$ 

9.  एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छ: परीक्षणों में कम से कम 4 सफल होंगे।

उत्तर:  

मान लीजिए सफल होने की प्रायिकता $p$ है और असफल होने की प्रायिकता $a$ हो. तब ${\text{p = 2 q = 2(1 - p) = 2 - 2 p}}$ 

या

$3p = 2$ या$p = \dfrac{{{\text{ 2}}}}{3}$ और $q = \dfrac{1}{3}$ 

P(अगली 6 परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफलताएँ हैं) 

$= P(4) + P(5) + P(6)$

${ = ^6}{C_4}{q^2}{p^4}{ + ^6}{C_5}q{p^5} + {p^6}$

$= \dfrac{{6 \times 5}}{2} \times {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4} + \dfrac{6}{1}\left( {\dfrac{1}{3}} \right){\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^5} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^6}$

$= {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4} \times \left[ {\dfrac{{6 \times 5}}{2} \times \dfrac{1}{9} + \dfrac{6}{1} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{9}} \right]$

$= {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4} \times \left[ {\dfrac{{15}}{9} + \dfrac{{12}}{9} + \dfrac{4}{9}} \right] = \dfrac{{31}}{9}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4}$ 

10. एक व्यक्ति एक न्याय्य सिक्के को कितनी बार उछाले कि कम से कम एक चित की प्रायिकता $90\%$ से अधिक हो?

उत्तर:  मान लीजिए सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है। 

अतः एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता $(p) = \dfrac{1}{2}$ 

तथा एक सिक्के को उछालने पर चित न आने की प्रायिकता $({\text{q}}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ 

n  सिक्कों को उछालने पर कोई भी चित न आने की प्रायिकता $= {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n}$ 

तथा कम से कम एक चित आने की प्रायिकता = $= 1 - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n}$ 

दिया गया है :

$\quad 1 - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n} > 90\%$

$\therefore \quad 1 - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n} > 0.9$ 

या ${\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n} \leqslant 1 - 0.9 = 0.1$ $n \geqslant 4$

4. सिक्के लेने पर कम-से-कम एक चित आने की पप्रायिकता 90% होगी।

11. एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है, कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।

उत्तर:एक सिक्के को उछालने पर 6 आने की प्रायिकता $(p) = \dfrac{1}{6}$ 

और 6 न आने की प्रायिकता $({\text{q}}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

यदि पहली उछाल में 6 आने की प्रायिकता= $\dfrac{1}{6}$

यदि पहली उछाल में 6 न आए, परन्तु दूसरी उछाल में 6 आए, तो प्रायिकता $= \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{{36}}$ 

पहली दोनों उछालो में 6 न आएपरन्तु तीसरी उछाल में 6 आए, तो प्रायिकता 

$= \dfrac{5}{6} \times  = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{{25}}{{216}}$

पहली बार में 6 आने पर उसे 1 रुपया मिलता है। 

दूसरी बार में 6 आने पर $ - 1 + 1 = 0$ रुपया मिलता है। 

तीसरी बार में 6 आने पर -1-1+1=-1 रुपया मिलता है अर्थात 1 रुपया की हानि होती है |

∴ प्रायिकता बंटन इस प्रकार है-

प्रत्याशा

$= 1 \times \dfrac{1}{6} + 0 \times \dfrac{5}{{36}} + ( - 1) \times \dfrac{{25}}{{216}}$

$= \dfrac{1}{6} - \dfrac{{25}}{{216}} = \dfrac{{36 - 25}}{{216}} = \dfrac{{11}}{{216}}$  

∴ उसके द्वारा जीती गई राशी की प्रत्याशा = $\dfrac{{11}}{{216}}$

12. मान लीजिए हमारे पास  A, B, C और D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल. सफेद और काली लड़कियों का विवरण निम्न तरीके से है यादच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बॉक्स $A;$ बॉक्स $B,$ बॉक्स $C$ से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?

उत्तर:

दिए गए  4  बॉक्स में से एक बाक्स चुने जाने की प्रायिकता $= \dfrac{1}{4}$ 

अर्थात $P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = P\left( {{E_4}} \right) = \dfrac{1}{4}$ 

मान लीजिये 4 घटना लाल रंग की टुकड़ी निकालनी है, बॉक्स A में कुल 10 टुकडियां हैनं जिनमे 1 लाल है |

$\therefore \quad {\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{A}}}{{{{\text{E}}_1}}}} \right) = \dfrac{1}{{10}}$ 

इसी प्रकार $P\left( {\dfrac{A}{{{E_2}}}} \right) = \dfrac{6}{{{{10}^\prime }}}P\left( {\dfrac{A}{{{E_3}}}} \right) = \dfrac{8}{{10}}{\text{ , }}P\left( {\dfrac{A}{{{E_4}}}} \right) = 0$ 

∴ बेज प्रमेय से,

$P\left( {\dfrac{{\left( {{E_1}} \right)}}{A}} \right) = \dfrac{{P(E1)\left( {\dfrac{{PA}}{{E1}}} \right)}}{{P(E1)P\left( {\dfrac{A}{{E1}}} \right) + P\left( {{E_2}} \right)P\left( {\dfrac{A}{{{E_2}}}} \right) + P\left( {{E_3}} \right)P\left( {\dfrac{A}{{{E_3}}}} \right) + P\left( {{E_4}} \right)P\left( {\dfrac{A}{{{E_4}}}} \right)}}$

$= \dfrac{{\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{{10}}}}{{\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{6}{{10}} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{8}{{10}} + \dfrac{1}{4} \times 0}}$

 $= \dfrac{1}{{1 + 6 + 8}} = \dfrac{1}{{15}}$ 

• पुनः बेज प्रमेय से, $P\left( {\dfrac{{\left( {{E_2}} \right)}}{A}} \right)$

$= P\left( {\dfrac{{{E_2}}}{A}} \right) = \dfrac{{P\left( {{E_2}} \right)P\left( {A/{E_2}} \right)}}{{P(E1)P\left( {\dfrac{A}{{E1}}} \right) + P\left( {{E_2}} \right)P\left( {\dfrac{A}{{{E_2}}}} \right) + P\left( {{E_3}} \right)P\left( {\dfrac{A}{{{E_3}}}} \right) + P\left( {{E_4}} \right)P\left( {\dfrac{A}{{{E_4}}}} \right)}}$

$= \dfrac{{\dfrac{1}{4} \times \dfrac{6}{{10}}}}{{\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{6}{{10}} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{8}{{10}} + \dfrac{1}{4} \times 0}}$

$= \dfrac{6}{{1 + 6 + 8}} = \dfrac{6}{{15}} = \dfrac{2}{5}$  

• तथा बेज प्रमेय से, $P\left( {\dfrac{{\left( {{E_3}} \right)}}{A}} \right)$

$= P\left( {\dfrac{{{E_3}}}{A}} \right) = \dfrac{{P\left( {{E_3}} \right)P\left( {A/{E_3}} \right)}}{{P(E1){\text{P}}\left( {\dfrac{A}{{{E_1}}}} \right) + P\left( {{E_2}} \right)P\left( {\dfrac{A}{{{E_2}}}} \right) + P\left( {{E_3}} \right){\text{P}}\left( {\dfrac{A}{{{E_3}}}} \right) + P\left( {{E_4}} \right)P\left( {\dfrac{A}{{{E_4}}}} \right)}}$

$= \dfrac{{\dfrac{1}{4} \times \dfrac{8}{{10}}}}{{\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{6}{{10}} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{8}{{10}} + \dfrac{1}{4} \times 0}}$

$= \dfrac{8}{{1 + 6 + 8}} = \dfrac{8}{{15}}$ 

अत: लाल रंग की टुकड़ी बॉक्स A, बॉक्स B, बाक्स C से चुने जाने की प्रायिकता क्रमशः $\dfrac{1}{5},$ $\dfrac{2}{5}$ और $\dfrac{8}{{10}}$ है।

13. मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग $40\%$ है। यह मान लिया जाता है कि ध्यान ओर योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को $30\%$ कम कर देता है और दवा द्वारा खतरे को $25\%$  कम किया जा सकता है। किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है। यह दिया गया है कि उपरोक्त विकल्पों से किसी एक का चुनाव करने वाले रोगों से याहच्छया चुना गया रोग दिल के दौरे से ग्रसित हो जाता है। रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मान लीजिए घटना ${E_1},{E_2}$ तथा $E$ क्रमशः ध्यान व योग से लाभ की घटना, दवा द्वारा इलाज की घटना और दिल का दौरा पड़ने की घटनाएँ हों, तब 

$P\left( {{E_1}} \right) = \dfrac{1}{2},P\left( {{E_2}} \right) = \dfrac{1}{{{2^\prime }}}P(E) = 40\%  = 0.4$ 

दिया गया है कि ध्यान व योग से दिल का दौरा पड़ने का खतरा $30\%$ कम हो जाता है।

अर्थात् दिल का दौरा $70\%$ खतरा है।

या $\dfrac{E}{{E1}}$ = ध्यान व योग से दिल का दौरा पडता है।

$P\left( {\dfrac{{\left( E \right)}}{{E1}}} \right) = 0.40 \times 7.0 = 0.28$ 

तथा दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने का 25 % text  खतरा कम हो जाता है। 

अर्थात दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने से खतरा 75% है|

$\therefore \quad {\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{E}}}{{{{\text{E}}_2}}}} \right) = 0.4 \times 0.75 = 0.30$ 

इस प्रकार 

${\text{P}}\left( {{{\text{E}}_1}} \right) = \dfrac{1}{{{2^\prime }}}{\text{P}}\left( {{{\text{E}}_2}} \right) = \dfrac{1}{2}$

${\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{E}}}{{{{\text{E}}_1}}}} \right) = 0.28,{\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{E}}}{{{{\text{E}}_2}}}} \right) = 0.30$ 

अतः बेज प्रमेय से, 

${\text{ P}}\left( {\dfrac{{{{\text{E}}_1}}}{{\text{E}}}} \right) = \dfrac{{{\text{P}}({\text{E}}1){\text{P}}\left( {\dfrac{{({\text{E}}/)}}{{{\text{E}}1}}} \right)}}{{{\text{P}}({\text{E}}1){\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{E}}}{{{{\text{E}}_1}}}} \right) + {\text{P}}\left( {{{\text{E}}_2}} \right){\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{E}}}{{{{\text{E}}_{\text{2}}}}}} \right)}}$

$= \dfrac{{\dfrac{1}{2} \times 0.28}}{{\dfrac{1}{2} \times 0.28 + \dfrac{1}{2} \times 0.30}} = \dfrac{{28}}{{28 + 30}}$

$= \dfrac{{28}}{{58}} = \dfrac{{14}}{{29}}$ 

14. यदि 2 कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हो तो सारणिक का धनात्मक मान होने की क्या प्रायिकता हैं। (मान लीजिए की सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक की चुने जाने की प्रायिकता $\dfrac{1}{2}$ है।)

उत्तर:  चूँकि 2 कोटि के एक सारणिक में अवयवों की संख्या =4

$\therefore \quad$ सारणिकों द्वारा बनी संख्या $ = {2^4} = 16$ 

जिसके धनात्मक सारणिक केवल

इस प्रकार उपरोक्त सारणिक के प्रत्येक  अवयव को चुनने की प्रायिकता = $\dfrac{1}{2}$

अतः अभीष्ट प्रायिकता $= 3{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^4} = \dfrac{3}{{16}}$ 

15. एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय $A$ और $B$ हैं। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकता ज्ञात है:

${\text{P}}({\text{A}}$के असफल होने की) $ = 0.2$ 

${\text{P}}({\text{B}}$के अकेले असफल होने की) $ = 0.15$ 

${\text{P}}({\text{A}}$ और ${\text{B}}$ के असफल होने की $) = 0.15$ 

तो, निम्न प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

(i) $P(A$ असफल $B$ असफल हो चुकी हो)

(ii) ${\text{P}}({\text{A}}$ के अकेले असफल होने को )

उत्तर:   मान लीजिये घटना A औत B असफल होने की क्रमशः A’,B से व्यक्त किया गया है |

प्रश्नानुसार $P\left( {A'} \right) = 0.2$ 

$P(A$ असफल $B$ असफल होना)$= P\left( {A' \cap B'} \right) = 0.15$ 

$P(B$ के अकेले असफल असफल होना) = $= P\left( {B'} \right) - P\left( {A' \cap B'} \right) = 0.15$ 

या $P\left( {B'} \right) - 0.15 = 0.15$ 

$\therefore P\left( {B'} \right) = 0.15 + 0.15 = 0.30$ 

(i). $P\left( {\dfrac{{{A^\prime }}}{{{B^\prime }}}} \right) = \dfrac{{P\left( {{A^\prime } \cap {B^\prime }} \right)}}{{P\left( {{B^\prime }} \right)}}$

(ii). $= \dfrac{{0.15}}{{0.30}} = \dfrac{1}{2} = 0.5$ 

(iii). $P(A$ अकेले असफल असफल होता है) = $P(A$अकेले ही)

$= {\text{P}}\left( {{{\text{A}}^\prime }} \right) - {\text{P}}\left( {{{\text{A}}^\prime } \cap {{\text{B}}^\prime }} \right)$

$= 0.2 - 0.15 = 0.05$ 

16. थैला 1 में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें है तथा थैला $II$ में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को थैला 1 से थैला 2 में स्थानांतरित किया जाता है और तब एक गेंद थैला 2 से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद लाल रंग की है। स्थानांतरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उत्तर:    थैले 1 में 3 लाल और 4 काली गेंद हैं।

तथा थैले 2 में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं।

मान लीजिए घटना ${E_1}$  तथा ${E_2}$ थैले 1 से लाल गेंद और काली गेंद

निकालने की हों, तब 

$\therefore \quad {\text{P}}\left( {{{\text{E}}_1}} \right) = \dfrac{3}{7},{\text{P}}\left( {{{\text{E}}_2}} \right) = \dfrac{4}{7}$ 

घटना ${\mathbf{A}}:$ लाल रंग की गेंद निकालना

एक लाल गेंद थैले 1 से निकाल कर 2 में रख दी गई। इस प्रकार थैले 2 में 5 लाल और 5 काली गेंदें हो गई। $\therefore P\left( {\dfrac{A}{{E1}}} \right) = \dfrac{5}{{10}}$ 

एक काली गेंद थेले 1 से निकालकर थेला 2 में रख दी। इस प्रकार दूसरे थैले में 4 लाल और 6 काली गेंदे हैं।

$\therefore P\left( {\dfrac{A}{{{E_2}}}} \right) = \dfrac{4}{{10}}$

बेज प्रमेय से, 

${\text{P}}\left( {\dfrac{{{{\text{E}}_2}}}{{\text{E}}}} \right) = \dfrac{{{\text{P}}\left( {{{\text{E}}_2}} \right){\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{E}}}{{{{\text{E}}_2}}}} \right)}}{{{\text{P}}({\text{E}}1){\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{E}}}{{{\text{E}}1}}} \right) + {\text{P}}\left( {{{\text{E}}_2}} \right){\text{P}}\left( {{\text{E}}/{{\text{E}}_2}} \right)}}$

${ = \dfrac{{\dfrac{4}{7} \times \dfrac{4}{{10}}}}{{\dfrac{3}{7} \times \dfrac{5}{{10}} + \dfrac{4}{7} \times \dfrac{4}{{10}}}} = \dfrac{{16}}{{15 + 16}}}$ 

${ = \dfrac{{16}}{{31}}}$ 

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर का चुनाव कीजिए

17. यदि $A$ और $B$ दो ऐसी घटनाएँ है कि $P(A) \ne 0$ और $P\left( {\dfrac{{B}}{A}} \right) = 1,$ तब

(A) $A \subset B$ 

(B)$B \subset A$  

(C) ${\text{B}} = \phi$ 

(D) $A = \phi$ 

उत्तर: $P\left( {\dfrac{B}{A}} \right) = 1 \Rightarrow \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}} = 1$ 

जहाँ 

$A \subset B,A \cap B = P(A)$

$\therefore \quad P(A \cap B) = P(A)$ 

अतः विकल्प (A) सही है |

18. यदि ${\text{P}}\left( {\dfrac{{\text{A}}}{{\text{B}}}} \right) > {\text{P}}({\text{A}}),$ तब निम्न में से कौन सही है?

(A) $P(B\mid A) < P(B)$ 

(B) $P(A \cap B) < P(A) \cdot P(B)$ 

(C) $P(B\mid A) > PB)$ 

(D) $P(B\mid A) = P(B)$ 

उत्तर:   

$P(A/B) > P(A) \Rightarrow \dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} > P(A)$

$\therefore \quad P(A \cap B) > P(A).P(B)$ 

या 

$\dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}} > P(B)$

$\Rightarrow \quad P(B/A) > P(B)$ 

19. यदि $A$ और $B$ ऐसी दो घटनाएँ हैं कि ${\text{P}}({\text{A}}) + {\text{P}}({\text{B}}) - {\text{P}}({\text{A}}$  और ${\text{B}}) = {\text{P}}({\text{A}}),$  तब

(A) $P(B\mid A) = 1$ 

(B) $P(A\mid B) = 1$ 

(C) $P(B\mid A) = 0$ 

(D) $P(A\mid B) = 0$

उत्तर: 

${\text{P}}({\text{A}}) + {\text{P}}({\text{B}}) - {\text{P}}(A \cap B) ={\text{P}}({\text{A}})$

$\Rightarrow \quad {\text{P}}({\text{B}}) - P(A \cap B) = 0$ 

या ${\text{P(A }} \cap B) = P\left( B \right)$ 

या $\dfrac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = 1$ 

या ${\text{P}}\left( {\dfrac{A}{B}} \right) = 1$ 

अतः विकल्प (B) सही है |

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