NCERT Solutions for Class 12 Maths In Hindi Chapter 8 Application of Integrals

प्रश्नावली 8.1

1. वक्र \[{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}} = {\mathbf{x}}\] रेखाओ \[{\mathbf{x}} = {\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{x}} = {\mathbf{4}}\] एवं \[{\mathbf{x}}\] अक्ष से घिरे का प्रथम पाद में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : अभीष्ट क्षेत्रफल

$ = \int_{x = 1}^4 y dx = \int_1^4 {\sqrt x } dx$

$= \left[ {\frac{{{x^3}/2}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_1^4$

$= \frac{2}{3}\left[ {{{(4)}^{3/2}} - {{(1)}^{3/2}}} \right]$

$= \frac{2}{3}[8 - 1]$

$= \frac{{14}}{3}$ 

2. प्रथम चतुथाश में वक्र \[{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}} = {\mathbf{9x}},{\text{ }}{\mathbf{x}} = {\mathbf{2}},{\text{ }}{\mathbf{x}} = {\mathbf{4}}\] एवं \[{\mathbf{x}}\] अक्ष से घिरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : अभीष्ट क्षेत्रफल

$\int_2^4 y dx = \int_2^4 {\sqrt {9x} } dx \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{y^2} = 9x} \right]$

$= 3\int_2^4 {\sqrt x } dx = 3\left[ {\frac{{{x^{3/2}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_3^4$ 

$= 2\left[ {{4^{3/2}} - {2^{3/2}}} \right]$

$= 2[\sqrt {64}  - \sqrt 8 ]$

$= 2[8 - 2\sqrt 2 ]$

$= (16 - 4\sqrt 2 )$ 

3. प्रथम चतुथाश में \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}} = {\mathbf{4y}},{\text{ }}{\mathbf{y}} = {\mathbf{2}},{\text{ }}{\mathbf{y}} = {\mathbf{4}}\] वक्र एवं \[{\mathbf{y}}\] अक्ष से घिरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : दिया हुआ वक्र ${x^2} = 4y,y$ अक्ष के प्रति सममित है तथा हमें प्रथम चतुथाश के क्षेत्रफल ज्ञात करना
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल $ABCDA$

$= \int_2^4 x dy = \int_2^4 2 \sqrt y dy \ldots  \ldots  \ldots [\because x = 2\sqrt y ]$

$= 2\left[ {\frac{{{y^{3/2}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_3^4$

$= \frac{4}{3}\left[ {{{(4)}^{3/2}} - {{(2)}^{3/2}}} \right]$

$= \frac{4}{3}[\sqrt {64}  - \sqrt 8 ]$

$= \frac{4}{3}[8 - 2\sqrt 2 ]$

$= \frac{{32 - 8\sqrt 2 }}{3}$ 

4. दीघ्रशवृत्त् $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ से घिरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

उत्तर : दिया गया दीघ्रशवृत्त् का समीकरण $ = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$
दिया गए दीर्घवृत्त दोनों अक्ष के बारे में सममित है, इसमें समरूप $x$ और $y$ समाहित हैं

\[= \frac{{{y^2}}}{9} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}\]

$= y =  \pm \frac{3}{4}\left( {\sqrt {16 - {x^2}} } \right)$

दीर्घवृत्त द्वारा घिरा क्षेत्रफल $= 4$ (क्षेत्र का क्षेत्रफल) $ = 4$ (क्षेत्रफल $OAC$)
पहले चतुर्भुज में दीर्घवृत्त
माना $x = 4{\text{sin}}\theta ;dx = 4{\text{cos}}\theta d\theta $

अत: $x = 0,\theta  = 0$ ; जब $x = 4,\theta  = \frac{\pi }{2}$

अपेक्षित क्षेत्र 

$= 48\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \theta d\theta $

$= 24\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos 2\theta )} d\theta $

$= 24\left[ {\theta  + \frac{{\sin 2\theta }}{2}} \right]_0^{\frac{\pi }{2}}$

$= 12\pi$

5. दीघ्रशवृत्त् $\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ से घिरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

उत्तर : दिया गया दीघ्रशवृत्त् का समीकरण $ = \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$

$\because 9 > 4$

$\frac{{{y^2}}}{9} = 1 - \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{4 - {x^2}}}{4}$

$\Rightarrow \frac{y}{3} =  \pm \sqrt {\frac{{4 - {x^2}}}{4}} $

$\Rightarrow  \pm \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{4}$ 

$y =  \pm \frac{3}{2}\sqrt {4 - {x^2}}$

दिया गए दीर्घवृत्त दोनों अक्ष के बारे में सममित है, इसमें समरूप $x$ और $y$ समाहित हैं

दीर्घवृत्त द्वारा घिरा क्षेत्रफल $ = 4$ ( क्षेत्र काक्षेत्रफल) \[ = {\text{ }}4\](क्षेत्रफल $AOC$)

$= 4\int_0^2 {\frac{3}{2}} \sqrt {4 - {x^2}} dx$

$= 6\int_0^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx$

$= 6\left[ {\frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + \frac{4}{2}{{\sin }^{ - 1}}\frac{x}{2}} \right]_0^2$

$= 6\left[ {\left( {0 + 2{{\sin }^{ - 1}}(1)} \right) - \left( {0 + {{\sin }^{ - 1}}(0)} \right)} \right]$

$= 12{\sin ^{ - 1}}1$

$= 12 \times \frac{\pi }{2}$

$= 6\pi {\text{ }}$ 

6. प्रथम चतुथाश में व्रत ${x^2} + {y^2} = 4$ रेखा $x = 3\sqrt 3 y$ एवं $x$ अक्षा से द्वारा घिरे में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : (i) दिया गया व्रत का समीकरण ${x^2} + {y^2} = 4$ है जिसका केंद्र $\left( {0,0} \right)$ और त्रिज्या \[2\] के सामान

$y = \sqrt {4 - {x^2}} $

${x^2} + {y^2} = 4 \ldots  \ldots  \ldots (1)$

$x = \sqrt {3y}  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots (2)$ 

समी (2) से $x$ का मान समीकरण (1) में रखने पर

${(\sqrt 3 y)^2} + {y^2} = 4$

$\Rightarrow 4{y^2} = 4$

$\Rightarrow y =  \pm 1$

$x = \sqrt 3 $ 

(ii) सरल रेखा का समीकरण $x = 3\sqrt 3 y$ है जो बिंदु $\left( {0,0} \right),\left( {\sqrt 3 ,1} \right)$ से हो कर जाता

$y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}$

$\therefore $अभीष्ट क्षेत्रफल\[ = \] क्षेत्रफल \[0{\text{BL}}\]\[ + \] क्षेत्रफल\[LBA\]

$= \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int_0^{\sqrt 3 } x dx + \int_{\sqrt 3 }^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx$

$= \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right]_0^{\sqrt 3 } + \left[ {\frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + \frac{4}{2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right]_{\sqrt 3 }^2$

$= \frac{1}{{2\sqrt 3 }}(3 - 0) + \left[ {\left( {0 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + 2\left( {{{\sin }^{ - 1}}1 - {{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right)} \right]$

$= \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3}} \right)$

$= 2\left( {\frac{{3\pi  - 2\pi }}{6}} \right)$

$= \frac{\pi }{3}{\text{ }}$ 

7. छेदक रेखा $x = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$ द्वारा व्रत ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|

उत्तर : अभीष्ट क्षेत्रफल $ = 2$ (क्षेत्रफल $MAPM)$

क्योंकि व्रत $x$ अक्ष कि प्रति सममित है

$= 2\int_{a/\sqrt 2 }^a y dx = 2\int_{a/\sqrt 2 }^a {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } dx \ldots  \ldots  \ldots {x^2} + \left. {{y^2} = {a^2}} \right]$

$= 2\left| {\frac{x}{2}\sqrt {{a^2} - {x^2}}  + \frac{{{a^2}}}{2}{{\sin }^{ - 1}}\frac{x}{a}} \right|_{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}^a$

$= 0 + {a^2}{\sin ^{ - 1}}1 - \frac{a}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  - {a^2}{\sin ^{ - 1}}\frac{1}{{\sqrt 2 }}$

$= {a^2}\frac{\pi }{2} - \frac{a }{{\sqrt 2 }}\frac{a }{{\sqrt 2 }} - {a^2}\frac{\pi }{4}$

$= \frac{{{a^2}\pi }}{2} - \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{\pi {a^2}}}{4}$

$= \frac{{\pi {a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2}$

$= \frac{{{a^2}}}{2}\left( {\frac{\pi }{2} - 1} \right)$

8. यदि वक्र $x = {y^2}$ एवं रेखा \[\;x = 4\] से घिर्रे का क्षेत्रफल रेखा $x = a$ द्वारा दो बराबर भागो में विभाजित होता है तो $a$ मान ज्ञात कीजिए ।

उत्तर :  दिया गया व्रत है, 

$x = {y^2} \ldots  \ldots  \ldots {\text{ (1) }}$

$x = 4 \ldots  \ldots (2)$ 

एक रेखा एक परवलय जिसको शीर्ष है तथा एक रेखा है जो कि अक्ष कि सामन्तर है तथा इस से इकाई दूरी पर है । माना रेखा को दो बराबर भागो में विभाजित करती है । इस लिए कुल क्षेत्रफल

OPQP = 2OABO

$2\int_0^4 {\sqrt x } dx = 2.2\int_0^a {\sqrt x } dx \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {\because {y^2} = x \Rightarrow y = } \right.\sqrt x ],$

$x = a$

$\Rightarrow \left[ {\frac{{{x^3}/2}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_0^4 = 2\left[ {\frac{{{x^{3/2}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_0^a$

$\Rightarrow \frac{2}{3}{(4)^{3/2}} = \frac{4}{3}{(a)^{3/2}}$

$\Rightarrow \frac{8}{2} = {(a)^{3/2}}$

$\Rightarrow 4 = {(a)^{\frac{3}{2}}}$

$\Rightarrow a = {(4)^{2/3}}$

 
9. परवलये $y = {x^2}$ एवं \[{\text{y = |x|}}\] से घिरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

उत्तर : दिया गया परवलये,

$y = {x^2}y$ अक्ष क़े प्रति सममित है। 

परवलय  $y = {x^2};y = x$ क़े प्रतिच्छेद बिंदु क़े लिए। 

$y = {x^2}$ में $y = x$ रखने पर, 

$x = {x^2}$

$\Rightarrow x(x - 1) = 0$

$\Rightarrow x = 0,x = 1$ 

 क्योंकि y = |x|

therefore y = x

अत: अभीष्ट प्रतिच्छेद बिंदु \[{\text{( - 1,1),(0,0),(1,1)}}\,\]

इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2[$क्षेत्रफल $\vartriangle {\text{APO  -  }}$ क्षेत्रफल $\vartriangle {\text{OAP}}]$

$= 2\left[ {\int_0^1 x dy - \frac{1}{2}(1)(1)} \right]$

$= 2\left[ {\int_0^1 {\sqrt y } dy - \frac{1}{2}} \right]$ 

$= 2\left[ {\frac{{{y^{3/2}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_0^1 - 1$

$= \frac{4}{3}(1 - 0) - 1$

$= \frac{1}{3}$ 

10. वक्र ${x^2} = 4y$ एवं रेखा $x = 4y - 2$ से घ्रिरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : दिया गया वक्र, ${x^2} = 4y...(1)$

तथा दी गई रेखा $x = 4y - 2...(2)$

(1) और (2) को हल करने पर

${(4y - 2)^2} = 4y$

$\Rightarrow 16{y^2} - 16y + 4 - 4y = 0$

$\Rightarrow 16{y^2} - 20y + 4 = 0$

$\Rightarrow 4{y^2} - 5y + 1 = 0$

$\Rightarrow (y - 1)(4y - 1) = 0$

$\Rightarrow y = 1,\frac{1}{4}$ 

$y = 1,x = 4 - 2 = 2$

$y = \frac{1}{4},x = 1 - 2 = 2$ 

वक्र और रेखा क़े प्रतिच्छेद बिंदु  $P\left( { - 1,\frac{1}{4}} \right)$ और \[{\text{Q(2,1)}}\] है इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल

$ = \int_{ - 1}^2 {\left( {\frac{{x + 2}}{4} - \frac{1}{4}{x^2}} \right)} dx = \frac{1}{4}\int_{ - 1}^2 {\left( {x + 2 - {x^2}} \right)} dx$

$= \frac{1}{4}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + 2x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{ - 1}^2$

$= \frac{1}{4}\left[ {\left( {2 + 4 - \frac{8}{3}} \right) - \left( {\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}} \right)} \right]$

$= \frac{1}{4}\left[ {\left( {6 - \frac{8}{3}} \right) + 2 + \frac{5}{6}} \right)$

$= \frac{1}{4}\left[ {\frac{{10}}{3} + 2 - \frac{5}{6}} \right]$ 

$= \frac{1}{4}\left[ {\frac{{20 + 12 - 5}}{6}} \right]$

$= \frac{1}{4}\left( {\frac{{27}}{6}} \right)$

$= \frac{9}{8}$ 

11. वक्र ${y^2} = 4x$ एवं रेखा $x = 3$ से घिरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|

उत्तर : दिया गया वक्र ${y^2} = 4x$ एक परवलय समीकरण है। जिसको शीर्ष है $(0,0)$ और $OX$ इसका अक्ष है जिसके सापेक्ष परवलय तथा रेखा का समीकरण $x = 3$ है|

${y^2} = 4x....(1)$

$x = 3$

${y^2} = 4 \times 3$

${y^2} = 12$

$\Rightarrow y = \sqrt {12}$ 

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र \[O{\text{ }}P{\text{ }}Q\]क्षेत्रफल 

=2 $ \times OLQ$ क्षेत्रफल

केवल प्रथम चतुथाश में छायाकिंत क्षेत्र

$= 2\int_0^3 y dx = \int_0^3 {\sqrt {4x} } dx$

$= 4\int_0^3 {\sqrt x } dx = 4\left[ {\frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}}} \right]_0^3$

$= 4 \times \frac{2}{3}\left( {{3^3}/2 - 0} \right)$

$= \frac{8}{3} \times 3\sqrt 3$

$= 8\sqrt 3$ 

अभीष्ट क्षेत्रफल $3\sqrt 3$ वर्ग इकाई।

12. प्रथम चतुथाश में वक्र ${x^2} + {y^2} = 4$ एवं रेखाओ $x = 0,x = 2$ से घिरे में क्षेत्रफल है ।

A. $\pi $

B. $\frac{\pi }{2}$

C. $\frac{\pi }{3}$

D. $\frac{\pi }{4}$ 

उत्तर :  दिया गया घेरे का केंद्र में $(0,0)$ और $r = 2$

क्षेत्र $= \int_0^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx$

माना $x = 2\sin \theta  \Rightarrow dx = 2\cos \theta d\theta $ तब $x = 0,\theta  = 0$

$x = 2,\ theta= \frac{\pi }{2}$

क्षेत्र $= \int_0^{\pi /2} 4 {\cos ^2}\theta d\theta {\text{ }}$

\[\left. { = 4\int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{{1 + \cos \theta }}{2}} \right)} d\theta  = 2\left( {\theta  + \frac{{\sin \theta }}{2}} \right)} \right]_0^{\pi /2} = \pi \]

अत: \[(A)\] विकल्प सही है।

13. वक्र ${y^2} = 4x,y$ अक्ष एवं रेखा से घ्रि का क्षेत्रफल है।

A. $2$

B. $\frac{9}{4}$

C. $\frac{9}{3}$ 

उत्तर : ${y^2} = 4x$ परवलय है।

क्षेत्र $= \int_0^3 x dy{\text{ }}$

$= \int_0^3 {\frac{{{y^2}}}{4}} dy$

$\left. { = \frac{1}{4} \times \frac{{{y^3}}}{3}} \right]_0^3$

$= \frac{9}{4}$ 

अत: \[(B)\] विकल्प सही है।

प्रश्नावली 8.2

1. परवलय ${x^2} = 4x$ और वृत्त $4{x^2} + 4{y^2} = 9$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : वृत्त $= 4{x^2} + 4{y^2} = 9$

परवलय $= {x^2} = 4y$

$\therefore \quad 4(4y) + 4{y^2} = 9$

$4{y^2} + 16y = 9$

$4{y^2} + 16y - 9 = 0$

$y = ( - 16 \pm \sqrt 2 56 + 144)/2 \times 4$

$= ( - 16 \pm \sqrt {400} )/8\quad $

$= ( - 16 \pm 20)/8\quad $

$= 1/2, - 9/2$

$y > 0,y = 1/2$

${x^2} = 4 \times 1/2 = 2$

$x =  \pm \sqrt 2$ 

$= 2\left\{ {\int_0^{\sqrt 2 } V \left( {9 - 4{x^2}} \right)/4dx - \int_0^{\sqrt 2 } {{x^2}} /4dx} \right.$

$= 2\int_0 {\sqrt {{{(3/2)}^2} - {x^2}dx - 2/4\left[ {{x^3}/3} \right]_0^{\sqrt 2 }} } $

$= 2\left[ {x/2\sqrt {{{\left. {{{(3/2)}^2} - {x^2} + {{(3/2)}^2}/2{{\sin }^{ - 1}}(x/3/2)} \right]}_0} - 1/6\left[ {{{(\sqrt 2 )}^3} - 0} \right]} } \right.$

$= {\left[ {x\sqrt 9 /4 - {x^2} + 9/4{{\sin }^{ - 1}}(2x/3)} \right]_0} - 2\sqrt 2 /6$

$= \left[ {\sqrt 2 \sqrt 9 /4 - 2 + 9/4{{\sin }^{ - 1}}(2\sqrt 2 /3)} \right] - \{ 0 - 0\}  - 2\sqrt 2 /6 = \sqrt 2 /2 + 9/4{\sin ^{ - 1}}(2\sqrt 2 /3) - 2\sqrt 2 /6$

$= (\sqrt 2 /2 - \sqrt 2 /3) + 9/4{\sin ^{ - 1}}(2\sqrt 2 /3)$

$= \sqrt 2 /6 + 9/4{\sin ^{ - 1}}(2\sqrt 2 /3)$ 

2. वक्रों ${(x - 1)^2} + {y^2} = 1$ एवं ${x^2} + {y^2} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : वक्र 

$= {({\text{x}} - 1)^2} + {{\text{y}}^2} = 1$

${\text{y}} = \sqrt 1  - {({\text{x}} - 1)^2}$ 

वृत्त का केंद्र $= (1,0)$

त्रिज्या \[ = {\mathbf{1}}\]

वक्र $= {x^2} + {y^2} = 1$

$y = \sqrt 1  - {x^2}$

वृत्त का केंद्र \[ = \left( {{\mathbf{0}},{\mathbf{0}}} \right)\]

त्रिज्या \[ = {\mathbf{1}}\]

दोनों वक्र मिलेंगे  ${x^2} = {(x - 1)^2}$

${2x = 1}$

${x = 1/2}$ 

क्षेत्रफल 

$= 2\left[ {\int_0^1 {^2} {y_1}dx + \int_1^1 {{q_2}} {y_2}dx} \right]$

$= 2\left\{ {\int_0 {_0^{12}} \sqrt 1  - {{({\text{x}} - 1)}^2}{\text{dx}} + \int_1^1 {_1} {{\text{q}}_2}\sqrt 1  - {{\text{x}}^2}{\text{dx}}} \right\}$

$= 2\left[ {(x - 1)/2\sqrt 1  - {{(x - 1)}^2} + 1/2{{\sin }^{ - 1}}(x - 1)/1} \right]_0^{112}$

$+ 2\left[ {x/2\sqrt {1 - {x^2}}  + 1/2{{\sin }^{ - 1}}x} \right]_1^1{\sigma _2} = 2\left[ {(1/2 - 1)/2\sqrt 1  - 1/4 + 1/2{{\sin }^{ - 1}}( - 1/2)( - 1/2)0 - 1/2{{\sin }^{ - 1}}( - 1)} \right]$

$+ 2\left[ {0 + 1/2{{\sin }^{ - 1}}(1) - 1/4\sqrt 1  - 1/4 - 1/2{{\sin }^{ - 1}}1/2} \right]$

$= 2[ - 1/4 \cdot \sqrt 3 /2 - 1/2 \cdot \pi /6 + 0 + 1/2 \cdot \pi /2] + \pi /2 - 1/2 \cdot \sqrt 3 /2 - \pi /6$

$=  - \sqrt 3 /4 - \pi /6 + \pi /2 + \pi /2 - \sqrt 3 /4 - \pi /6$

$= (2\pi /3 - \sqrt 3 /2)$ 

3. वक्रों $y = {x^2} + 2,y = x,x = 0$ एवं $x = 3$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : वक्र $y = {x^2} + 2$ और रेखा $x = 3$ मिलता है $(3,11)$ पर।

क्षेत्रफल 

$= \int_0^3 {\left( {{x^2} + 2} \right)} dx - \int_0^3 x dx$

$= \left[ {{x^3}/3 + 2x} \right]_0^3 - \left[ {{x^2}/2} \right]_0^3$

$= \left[ {{3^3}/3 + 6 - 0} \right] - \left[ {{3^2}/2 - 0} \right]$

$= 9 + 6 - 9/2$

$= 21/2$ 

4. समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $( - 1,0),(1,3)$ एवं $(3,2)$ है।

उत्तर : मान लीजिए $A( - 1,0),B(1,3)$ और $C(3,2)$

$AB$ का समीकरण : $y - 0 = (3 - 0)/1 + 1(x + 1)$

$y = 3(x + 1)/2$

${\text{BC}}$ का समीकरण: ${\text{y}} - 3 = (2 - 3)/3 - 1({\text{x}} - 1)$

$y =  - x/2 + 1/2 + 3y$

$=  - x/2 + 7/2$ 

$AC$ का समीकरण : $y - 0 = (2 - 0)/3 + 1(x + 1)$

$y = x/2 + 1/2$

क्षेत्रफल 

$= \int_{ - 1}^1 3 /2(x + 1)dx + \int_1^3 {( - x/2 + 7/2)} dx - \int_{ - 1}^3 {(x/2 + 1/2)} dx$

$= 3/2\left[ {{x^2}/2 + x} \right]_{ - 1}^1 + \left[ { - {x^2}/4 + 7x/2} \right]_1^3 - \left[ {{x^2}/4 + x/2} \right]_{ - 1}^3$ 

\[ = {\mathbf{3}}{\text{ }}/{\text{ }}{\mathbf{2}}\left[ {{\mathbf{1}}{\text{ }}/{\text{ }}{\mathbf{2}} + {\mathbf{1}} - {\mathbf{1}}{\text{ }}/{\text{ }}{\mathbf{2}} - \left( { - {\mathbf{1}}} \right)} \right] + \left[ { - {\mathbf{9}}{\text{ }}/{\text{ }}{\mathbf{4}} + {\mathbf{21}}{\text{ }}/{\text{ }}{\mathbf{2}} + {\mathbf{1}}{\text{ }}/{\text{ }}{\mathbf{4}} - {\mathbf{7}}{\text{ }}/{\text{ }}{\mathbf{2}}} \right]\]

$ - [9/4 + 3/2 - 1/4 + 1/2]$

$= 3/2[2] + [7 - 2] - [2 + 2]$

$= 3 + 5 - 4$

$= 4$ 

5. समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के समीकरण $y = 2x + 1,y = 3x + 1$ एवं $x = 4$ हैं।

उत्तर : त्रिभुज के भुजाओं का समीकरण :\[{\mathbf{y}} = {\mathbf{2}}{\text{ }}{\mathbf{x}} + {\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{y}} = {\mathbf{3}}{\text{ }}{\mathbf{x}} + {\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{x}} = {\mathbf{4}}\]

त्रिभुज का शीर्ष : 

${\text{A}}(0,1),{\text{B}}(4,13),{\text{C}}(4,9)$

$= \int_0^4 {(3x + 1)} dx - \int_0^4 {(2x + 1)} dx$

$= \left[ {3{x^2}/2 + x} \right]_0^4 - \left[ {{x^2} + x} \right]_0^4$

$= 3 \times {4^2}/2 + 4 - 0 - \left[ {{4^2} + 4 - 0} \right]$

$= 24 + 4 - 20$

$= 8$ 

6. वृत्त ${x^2} + {y^2} = 4$ एवं रेखा $x + y = 2$ से घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल है:

(a) $2(\pi  - 2)$

(b) $\pi  - 2$

(c) $2\pi  - 1$

(d) $2(\pi  + 2)$

उत्तर : वृत्त $ = {x^2} + {y^2} = 4$, रेखा $ = x + y = 2$

$y = \sqrt 4  - {x^2}\quad y = 2 - x$

वृत्त और रेखा मिलते हैं ${\text{A}}(2,0)$ और ${\text{B}}(0,2)$ पर।

क्षेत्रफल 

$= \int_0^2 {\sqrt 4 }  - {x^2}dx - \int_0^2 {(2 - x)} dx$

$= \left[ {x/2\sqrt 4  + {x^2} + 4/2{{\sin }^{ - 1}}x/2} \right]_0^2 - \left[ {2x - {x^2}/2} \right]_0^2$

$= \left[ {2/2\sqrt 4  - 4 + 4/2{{\sin }^{ - 1}}(1) - 0 - 4/2{{\sin }^{ - 1}}(0)} \right] - [4 - 2]$

$= [2.\pi /2] - [4 - 2]$

$= (\pi  - 2)$ 

$(b)\pi  - 2$ उत्तर सही है |

प्रश्र 7. वक्रों ${{\text{y}}^2} = 4{\text{x}}$ एवं ${\text{y}} = 2{\text{x}}$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल:

(a) $2/3$

(b) $1/3$

(c) $1/4$

(d) $3/4$

उत्तर : वक्र ${y^2} = 4x,y = 2x$

दो वक्त मिलते हैं जहां ${(2x)^2} = 4x$

$4{x^2} - 4x = 0$

$4x(x - 1) = 0$

$x = 0,1$ 

जब,

$x = 0,y = 0$

तथा  \[{\mathbf{x}} = {\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{y}} = {\mathbf{2}}\]

क्षेत्रफल $= \int_0^1 {(2\sqrt x  - 2x)} {\text{dx}}$

$= \left[ {2{x^{3/2}}/3/2\quad  - {x^2}} \right]_0^1$

$= 4/3\quad {1^{3/2}} - {1^2} - 0$

$= 1/3$ 

\[\left( {\mathbf{b}} \right){\text{ }}{\mathbf{1}}{\text{ }}/{\text{ }}{\mathbf{3}}\] उत्तर सही है |

प्रश्नावली 8.3

1 . दिए हुए वक्रों एवं रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

(i) $y = {x^2},x = 1,x = 2$ एवं \[x{\text{ }} - \] अक्ष

उत्तर : प्रश्रानुसार परवलय $y = {x^2}$  का शीर्ष $(0,0)$ है और सममित रेखा $OY$ है।

$y = {x^2},x = 1,x = 2x - $ अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल

क्षेत्र \[{\mathbf{PQRS}}\] का क्षेत्रफल 

$= \int_1^2 y dx$

$= \int_1^2 {{x^2}} dx$

$= \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right] = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}{\text{ }}$ वर्ग इकाई

(ii) $y = {x^4},x = 1,x = 5$ एवं \[x{\text{ }} - \] अक्ष

उत्तर : दिया है : $y = {x^4}$ बिन्दु $(0,0)$ से होकर जाता है। इसकी सममित रेखा $OY$ है।

${\text{y}} = {x^4},{\text{x}} = 1,{\text{x}} = 5$ एवं ${\text{x}} - $ अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल {क्षेत्र} \[{\mathbf{P}}{\text{ }}{\mathbf{Q}}{\text{ }}{\mathbf{R}}{\text{ }}{\mathbf{S}}\] { का क्षेत्रफल } 

$= \int_1^5 y dx$

$= \int_1^5 {{x^4}} dx$ 

$ = \left[ {\frac{{{x^5}}}{5}} \right] = 625 - \frac{1}{5} = \frac{{3124}}{5}${ वर्ग इकाई }

2. बक़ों $y = x$ एवं $y = {x^2}$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

उत्तर : $y = x$ का मान $y = {x^2}$ में रखने पर

${x = {x^2}}$

${{x^2} - x = 0}$

${x(x - 1) = 0}$ 

$x = 0,1$

जब $x = 0$ तो $y = 0$ तथा जब $x = 1$ तो$y = 1$.

अतः $y = x$ एवं $y = {x^2}$  बिन्दु $(0,0)$ तथा $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

क्षेत्र का क्षेत्रफल $ = $ क्षेत्र $OCB$ का क्षेत्रफल

क्षेत्र \[{\mathbf{O}}{\text{ }}{\mathbf{A}}{\text{ }}{\mathbf{B}}\]  का क्षेत्रफल - क्षेत्र \[{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{A}}{\text{ }}{\mathbf{B}}{\text{ }}{\mathbf{C}}\] का क्षेत्रफल  

$= \int_0^1 x dx - \int_0^1 {{x^2}} dx$

अभीष्ट क्षेत्रफल 

$= \int_0^1 x dx - \int_0^1 {{x^2}} dx$

$= \left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right] - \left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right]$ 

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$= \frac{1}{6}$ 

3. प्रथम चतुर्थाश में सम्मिलित एवं, $y = 4{x^2},x = 0,y = 1$ तथा $y = 4$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : दिया है : $y = 4{x^2}$ एक परवलय जिसका शीर्ष $(0,0){\text{ }}$है। 

अब $y = 4{x^2},x = 0,y = 1$ तथा $y = 4$  से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल

क्षेत्र \[{\mathbf{P}}{\text{ }}{\mathbf{Q}}{\text{ }}{\mathbf{R}}{\text{ }}{\mathbf{S}}\] का क्षेत्रफल 

$= \int_1^4 x dy$

$= \int_1^4 {\sqrt {\frac{y}{4}} } dy$

$= \frac{1}{2}\int_1^4 {\sqrt y } dy$

$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\left[ {{y^{\frac{3}{2}}}} \right]$ 

$= \frac{1}{3} \times \left[ {{4^{\frac{3}{2}}} - 1} \right] = \frac{7}{3}$वर्ग इकाई

4. $y = |x + 3|$ का ग्राफ खींचिए एवं $\int_{ - 6}^0 | x + 3|dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 

$\int_{ - 6}^0 | {\text{x}} + 3|{\text{dx}} = $क्षेत्र ${\text{PQRS}}$ का क्षेत्रफल 

क्षेत्र ${\text{ABC}}$ का क्षेत्रफल $ + $ क्षेत्र ${\text{CDE }}$का क्षेत्रफल 

$= \frac{1}{2} \times (6 \times 3) + \frac{1}{2} \times (3 \times 3)$

$= 9 + \frac{9}{2} = \frac{{27}}{2}{ वर्ग इकाई। }$

5. $x = 0$ एवं $x = 2\pi $ तथा वक़$y = \sin (x)$, से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : $y = \sin (x)$ के ग्राफ निम्नानुसार प्राप्त होता है :

अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_0^\pi  y dx - \int_\pi ^{2\pi } y dx{\text{ }}$

$= \int_0^\pi  {\sin } (x)dx - \int_\pi ^{2\pi } {\sin } (x)dx\quad $

$= ( - ( - 1) + 1) + ( - ( - 1) + 1)$ 

$=4$ वर्ग इकाई

6. परवलय ${y^2} = 4{\text{ax}}$ एवं रेखा $y = mx$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : \[{\mathbf{y}} = {\mathbf{m}}{\text{ }}{\mathbf{x}}\] का मान समीकरण

(i) में रखने पर

${m^2}{x^2} = 4{\text{ax or x}} = \frac{{4a}}{{{m^2}}}{\text{ and x}} = 0$

इस प्रकार वक्र ${y^2} = 4ax$ और रेखा $y = mx$ बिन्दु $0(0,0)$ तथा ${\text{P}}\left( {\frac{{4a}}{{{m^2}}},\frac{{4a}}{{{m^2}}}} \right)$ पर प्रतिच्छेद करते

अत; 

${y^2} = 4ax$

$y = mx$ 

से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल

क्षेत्र $OCB$ का क्षेत्रफल 

क्षेत्र $ABCO$ का क्षेत्रफल $ - {\text{ }}OAB{\text{ }}$का क्षेत्रफल 

$= \int_0^{\frac{{4a}}{{{m^2}}}} {\sqrt {4ax} } dx - \int_0^{\frac{{4a}}{{{m^2}}}} m xdx$

$= \frac{{8{a^2}}}{{3{m^3}}}$ 

7. परवलय $4y = 3{x^2}$ एवं रेखा $2y = 3x + 12$  से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : \[{\mathbf{2}}{\text{ }}{\mathbf{y}} = {\mathbf{3}}{\text{ }}{\mathbf{x}} + {\mathbf{12}}\] का मान समीकरण (6) में रखने पर

$2(3x + 12) = 3{x^2}$

$3{x^2} - 6x - 24 = 0$ 

$(x - 4)(x + 2) = 0$

$x = 4,x =  - 2$ 

इस प्रकार परवलय और रेखा एक-दूसरे को $P( - 2,3)$ तथा $Q(4,12)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल $ = $ क्षेत्र $AOD$ का क्षेत्रफल

= समलम्ब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल - क्षेत्रफल $ABCDA$

$= \int_{ - 2}^4 y 1dx - \int_{ - 2}^4 y 2dx$

$= \frac{1}{2}\int_{ - 2}^4 {(3x + 12)} dx - \int_{ - 2}^4 {\frac{{3{x^2}}}{4}} dx$

$= \frac{1}{2}(24 + 48) - (6 - 24) - \frac{3}{4}\left( {\frac{{64}}{3} - \left( { - \frac{8}{3}} \right)} \right)$ 

$= 27$ वर्ग इकाई

8. दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ एवं रेखा $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1$ से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : दोनों समीकरणों से प्राप्त बिन्दु \[{\mathbf{4}}\left( {{\mathbf{3}},{\mathbf{0}}} \right),{\text{ }}{\mathbf{8}}\left( {{\mathbf{0}},{\mathbf{2}}} \right)\] एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_0^3 y 1dx$ (दीर्ष वृत्त के लिए) - $\int_0^3 y 2dx$ रेखा के लिए)

$= \frac{3}{2}\int_0^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx{\text{  -  }}\int_0^3 {\left( {1 - \frac{x}{3}} \right)} dx$

$= \frac{3}{2}(\pi ) - \frac{2}{3}\left( {\frac{9}{2}} \right)$

$= \frac{3}{2}\pi  - 3$ 

$= \frac{3}{2}(\pi  - 2)$ { वर्ग इकाई}

9. दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ एवं रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : दोनों समीकरण बिन्दु ${\text{A}}({\text{a}},0)$ तथा ${\text{B}}(0,\;{\text{b}})$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल $ = $ क्षेत्र $BAC$ का क्षेत्रफल $ = $ क्षेत्र $OACB$ का क्षेत्रफल - क्षेत्र $OAB$ का क्षेत्रफल

$= \frac{b}{a}\int_0^a {\sqrt {{a^2} - {b^2}} } dx - \int_0^a {\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)} dx$

$= \frac{b}{a}\left( {\frac{{{a^2}}}{2}{{\sin }^{ - 1}}(1) - 0} \right) - \frac{b}{a}\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)$

$= \frac{{ab\pi }}{4} - \frac{{ba}}{2}$

$= \frac{{ab}}{4}(\pi  - 2)$ 

10. परवलय ${x^2} = y$  रेखा $y = x + 2$ और \[x{\text{ }} - \] अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : समीकरण (i) तथा (ii)

${x^2} = x + 2{x^2} - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, - 1$ 

जब $x = 2\quad y = 4$

और जब $x =  - 1\quad y = 1$

अत: बिन्दु $(2,4),( - 1,1)$प्रतिच्छेदन बिन्दु हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_{ - 1}^2 y 1dx - \int_{ - 1}^2 y 2dx$

$= \int_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} + 2 - x} \right)} dx$

$= \frac{3}{2} + 6 - 3 = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई

11. समाकलन विधि का उपयोग करते हुए बक़ $|x| + |y| = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : समाकलन:

$x + y = 1$

$x - y = 1$ 

$- x + y = 1$

$- x - y = 1$ 

इनसे घिरे क्षेत्र का अभ्यस्त क्षेत्रफल =

$= 4\int_0^1 y dx$

क्योंकि आकृति \[{\mathbf{x}}{\text{ }} - \]अक्ष तथा \[{\mathbf{y}} - \] अक्ष के लिए सममित है

$\quad  = 4\int_0^1 {(1 - x)} dx$

$= 4\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)$

$= 4 \times \frac{{1/2}}{{}}$ 

$= 2{\text{ }}$ वर्ग इकाई

12. वक्रों $\left\{ {(x,y):{x^2} < y,y = |x|} \right\}$ तथा से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : दिया है : वक्र एक परवलय है जिसका शीर्ष $(0,0)$ है तथा सममित अक्ष $OY$ है।

समीकरण $y = |x|$ दो रेखाओं को निरूपित करता है।

जब $x > 0$ तो $y = x$ तथा जब$x < 0,y =  - x$.

अर्थात् $y = x,{x^2} = y$ को $(0,0),(1,1)$ पर प्रति

और $y =  - x,{x^2} = y\quad $को $(0,0),( - 1,1)$

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल \[ = {\mathbf{2}}{\text{ }}{\mathbf{X}}\] क्षेत्र ${\text{OPQ}}$ का क्षेत्रफल $ = 2 \times [{\text{QLO}}$का क्षेत्रफल - क्षेत्र

$= 2\left[ {\int_0^1 y 1dx - \int_0^1 y 2dx} \right]$

$= 2\left[ {\int_0^1 x dx - \int_0^1 {{x^2}} dx} \right]$

$= 2\left\{ {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right]_0^1 - \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^1} \right\}$

$= 2 \times \frac{1}{6}$

$= \frac{1}{3}{\text{  }}$ 

वर्ग इकाई

13. समाकलन विधि का उपयोग करते हुए, एक ऐसे त्रिभुज $ABC$ क्र क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक $A(2,0),B(4,5)$ एवं $C(6,3)$ हैं।

उत्तर : दिया है : रेखा $AB$ का समीकरण

$y - 0$

$= \frac{{5 - 0}}{{4 - 2}}(x - 2)$

$= \frac{5}{2}(x - 2)$ 

अर्थात् इसी प्रकार रेखा $BC$ का समीकरण है

$y - 5 = \frac{{3 - 5}}{{6 - 4}}(x - 4)$

$y =  - x + 9$ 

तथा रेखा $CA$ का समीकरण है

$y - 5 = \frac{{0 - 3}}{{2 - 6}}(x - 6)$

$4y = 3x - 6$ 

अभीष्ट क्षेत्रफल $ = ABC$ द्वारा घेरा गया क्षेत्र का क्षेत्रफल $ = {\text{APB}}$ क्षेत्र का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज ${\text{BPQC}}$ का क्षेत्रफल - क्षेत्र ${\text{AQC}}$ का क्षेत्रफल

$= \frac{5}{2}\int_2^4 {(x - 2)} dx + \int_4^6 {( - x - 9)} dx - \frac{3}{4}\int_2^6 {(x - 2)} dx$

\[\left. { = \frac{5}{2}{\text{ }}\left[ {\frac{{{{(x - 2)}^2}}}{2}} \right]_2^4 + \left[ {\frac{{{{(x - 9)}^2}}}{2}} \right]_4^6 - \frac{3}{4}\left[ {\frac{{{{(x - 2)}^2}}}{2}} \right]} \right]_2^6\]
$ = 5 + 8 - 6 = 7$ { वर्ग इकाई। }

14. समांकलन विधि का उपयोग करते हुए, रेखाओं $2x + y = 4,3x - 2y = 6$ एवं $x - 3y + 5 = 0$से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : दिए गए समीकरण हैं :

${{\mathbf{2}}{\text{ }}{\mathbf{x}} + {\mathbf{y}} = {\mathbf{4}}{\text{ }}}$ 

${{\mathbf{3}}{\text{ }}{\mathbf{x}} - {\mathbf{2}}{\text{ }}{\mathbf{y}} = {\mathbf{6}}}$

${{\mathbf{x}} - {\mathbf{3}},{\mathbf{y}} = {\mathbf{5}}}$

समीकरण (i) को \[{\mathbf{2}}\] से गुणा करके (ii) में जोड़ने पर

$7x = 14$ या \[{\mathbf{x}} = {\mathbf{2}}\]

अब समीकरण (i) में$x = 2$;

$4 + y = 4$ या \[{\mathbf{y}} = {\mathbf{0}}\]

अत: बिन्दु $C$ निर्देशांक$ = (2,0)$.

समीकरण (iii) को \[{\mathbf{2}}\] से गुणा करके समीकरण (i) में से घटाने पर $7y = 14$ या $y = 2$

पुनः समीकरण (i) से $2x + 2 = 4$ या $x = 1$

अतः बिन्दु $A$ के निर्देशांक $= (1,2)$

समीकरण (iii) को \[{\mathbf{3}}\] से गुणा करके समीकरण (i) में घटाने पर,

$7y = 21$

$\Rightarrow y = 3$ 

अब समीकरण (ii) से $3x - 6 = 6$ या $x = 4$

अतः बिन्दु $B$ के निर्देशांक $(4,3)$ हैं।

त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल = समलम्ब चतुर्भुज \[{\mathbf{A}}{\text{ }}{\mathbf{L}}{\text{ }}{\mathbf{M}}{\text{ }}{\mathbf{B}}\] का क्षेत्रफल ${\text{ALC}}$ का क्षेत्रफल $ - {\text{BCM}}$ का क्षेत्रफल

$= \int_1^4 {\frac{{(x + 3)}}{3}} dx - \int_1^2 {(4 - 2x)} dx - \int_2^4 {\frac{{3x - 6}}{2}} dx$

$= \frac{1}{3}\left[ {\frac{{{{(x)}^2}}}{2} + 5x} \right]_1^4 - \left[ {4x - {x^2}} \right]_1^2 - \frac{1}{2}\left[ {\frac{{3{x^2}}}{2} - 6x} \right]_2^4$

$= \frac{1}{3}\left[ {28 - \frac{{11}}{2}} \right] - [4 - 3] - \frac{1}{2}(0 + 6)$

$= \frac{1}{3} \times 45/2 - 1 - 3$ 

$= 15/2 - 4 = 7/2\quad ${ वर्ग इकाई। }

15. क्षेत्र $\left\{ {(x,y):{x^2} < 4x,4{x^2} + 4{y^2} < 9} \right\}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : समीकरण (i) तथा (ii) को हल करने पर. $A\left( {\frac{1}{2},\sqrt 2 } \right)$और ${\text{B}}\left( {\frac{1}{2}, - \sqrt 2 } \right)$ पर होते हैं। दोनों ही वक्र ${\text{x}} -$ अक्ष के सापेक्ष सममित हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित भाग का क्षेत्रफल

$= 2\left( {\int_0^{\frac{1}{2}} 2 \sqrt x dx + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt {\frac{9}{4}} }  - {x^2}{\text{dx}}} \right)$

$= 2\left[ {\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{1}{3}}}} \right]_0^{\frac{1}{2}} - 2\left[ {\frac{x}{2}\sqrt {\frac{9}{4} - {x^2}}  + \frac{9}{4}\frac{1}{2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)} \right]$

$= \frac{{2\sqrt 2 }}{3} + \frac{9}{4}{\sin ^{ - 1}}(1) - \left( {\frac{1}{2}\sqrt 2  + \frac{9}{4}{{\sin }^{ - 1}}\frac{1}{3}} \right)$

$= \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{9}{4}\frac{\pi }{2} - \frac{9}{2}{\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{3}} \right)$

$= \frac{{9\pi }}{8} - \frac{9}{4}{\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{3}} \right) + \frac{1}{{3\sqrt 2 }}$ 

16 से 19 तक के प्रश्रों में सही उत्तर का चयन कीजिए-

16. $y = {x^3},x - $ अक्ष एवं कोटियों $x =  - 2,x = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

(A) $ - 9$

(B) $ - \frac{{ - 15}}{4}$

(C) $\frac{{15}}{4}$

(D) $\frac{{17}}{4}$

उत्तर : दिया गया वक्र $y = {x^ \wedge }3$

${\text{dy}}/{\text{dx}} = 3{{\text{x}}^ \wedge }2 = $ घनात्मक है।

दिया गया वक्र वद्धमान है,

$dy/dx = 0,x = 0$

\[{\mathbf{X}} - \] अक्ष पर स्पर्श रेखा है,

$f( - x) =  - f(x),{( - x)^ \wedge }3 =  - {x^ \wedge }3$

$y = {x^ \wedge }3$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $ = AQOA$ का क्षेत्रफल $ + BPO$ का क्षेत्रफल

$= \int {{x^ \wedge }} 3dx + \int {{x^ \wedge }} 3dx$

$= \left[ {0 - {{( - 2)}^ \wedge }4/4} \right] + [1/4 - 0]$

$= 16/4 + 1/4$

$= 17/4$ 

(D) $17/4$ उत्तर सही है |

17, बक़ \[y = x\left| x \right|,{\text{ }}x{\text{ }} - \] अक्ष एवं कोटियों $x =  - 1$ तथा $x = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

(A) \[0\]

(B) $\frac{1}{3}$

(C) $\frac{2}{3}$

(D) $\frac{4}{3}$

उत्तर : जब $x > 0,|x| = x$

दिया गया वक्र का समीकरण है : 

$y = {x^ \wedge }2$

$y =  + {x^ \wedge }2$ 

जब $x < 0,|x| =  - x$

दिया गया वक्र का समीकरण है : $y =  - {x^ \wedge }2$

\[{\mathbf{x}} - \]अक्ष से घिरा क्षेत्रफल $ = POA$ का क्षेत्रफल $ + BQO$ का क्षेत्रफल

$= \int  -  {x^ \wedge }2dx + \int {{x^ \wedge }} 2dx$

$= 2\int {{x^ \wedge }} 2dx$

$= 2\left[ {{x^ \wedge }3/3} \right]$

$= 2/3$ 

(C) $2/3$ उत्तर सही है |

18. क्षेत्र ${y^2} >  = 6x$और वृत्त ${x^2} + {y^2} = 16$ में सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

(A) $\frac{4}{3}(4\pi  - \sqrt 3 )$

(B) $\frac{4}{3}(4\pi  + \sqrt 3 )$

(C) $\frac{4}{3}(8\pi  - \sqrt 3 )$

(D) $\frac{4}{3}(4\pi  + \sqrt 3 )$

उत्तर : वक्र का समीकरण है:

${x^ \wedge }2 + {y^ \wedge }2 = 16{y^ \wedge }2 = 6x$

समीकरण (i) में ${y^ \wedge }2 = 6x$ रखने पर

${x^ \wedge }2 + 6x = 16$

${x^ \wedge }2 + 6x - 16 = 0$

$(x + 8)(x - 2) = 0$

$x =  - 8,2$ 

परवलय तथा वृत्त के अंदर का क्षेत्रफल $ = POQAP$ का क्षेत्रफल

$x \ne  - 8$

$x = 2$ 

$ = 2({\text{POM}}$का क्षेत्रफल $ + {\text{PMA}}$का क्षेत्रफल)

$= 2\left[ {\int {\sqrt 6 } xdx + \int {\left( {\sqrt {16}  - {x^ \wedge }2} \right)} dx} \right]$

$= 2\left[ {\sqrt 6  \cdot 2/3\left[ {{x^ \wedge }3/2} \right] + \left[ {x/2\sqrt {\left. {\left( {16 - {x^ \wedge }2} \right) + 16/2{{\sin }^ \wedge } - 1x/4} \right]} } \right.} \right.$

$= 4\sqrt {3/3 + 16\pi /3}$ 

अब वृत्त ${x^ \wedge }2 + {y^ \wedge }2 = 16$  का क्षेत्रफल

$= 4\int {\sqrt {\left( {16 - {x^ \wedge }2} \right)} } dx$

$= 4[x\sqrt {\left. {\left( {16 - {x^ \wedge }2} \right)/2 + 8{{\sin }^ \wedge } - 1x/4} \right]}$ 

$= 16\pi $

अभीष्ट क्षेत्रफल 

$= 16\pi  - (4\sqrt 3 /3 + 16\pi /3)$

$= 4/3(8\pi  - 3)$ 

(C) $4/3(8\pi  - 3)$ उत्तर सही है |

19. \[y{\text{ }} - \] अक्ष, $y = \cos (x)$ एवं $y = \sin (x);0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi }{2}$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है -

(A) $2(\sqrt 2  - 1)$

(B) $\sqrt 2  - 1$

(C) $\sqrt 2  + 1$

(D) $\sqrt 2 $

उत्तर : \[{\mathbf{y}}\] का मान रखने पर, $\sin x = \cos x$

या $\tan x = 1$

या $x = \pi /4$

$\sin \pi /4 = \cos \pi /4 = 1/\sqrt 2 $

\[{\mathbf{y}} - \] अक्ष पर, $y = \cos x$ तथा $y = \sin x = OPBO$ का क्षेत्रफल 

$= {\text{PAO}}$  का क्षेत्रफल $ + {\text{APBA}}$ का क्षेत्रफल 

$= \int x 1dy + \int x 2dy$

जहाँ $\times 1$ वक्र $y = \sin x$ या $x = {\sin ^ \wedge } - 1y$

और $\times 2$ वक्र $y = \cos x$ या $x = {\cos ^ \wedge } - 1y$

$= \int {{{\sin }^ \wedge }}  - 1ydy + \int {{{\cos }^ \wedge }}  - 1ydy$

$= (1/\sqrt 2 *\pi /4 + 1/\sqrt 2  - 1) + (0 - 1/\sqrt 2 *\pi /4 + 1/\sqrt 2 )$

$= 2*1/\sqrt 2  - 1$

$= \sqrt 2  - 1$ 

(B) $\sqrt 2  - 1$ उत्तर सही है |

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