NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Triangles In Hindi pdf download
Download the Class 9 Maths NCERT Solutions in Hindi medium and English medium as well offered by the leading e-learning platform Vedantu. If you are a student of Class 9, you have reached the right platform. The NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi provided by us are designed in a simple, straightforward language, which are easy to memorise.
You will also be able to download the PDF file for NCERT Solutions for Class 9 Maths in English and Hindi from our website at absolutely free of cost. Students can download NCERT Solutions for Class 9 Science created by the best Teachers at Vedantu for Free.
NCERT, which stands for The National Council of Educational Research and Training, is responsible for designing and publishing textbooks for all the classes and subjects. NCERT textbooks covered all the topics and are applicable to the Central Board of Secondary Education (CBSE) and various state boards.
We, at Vedantu, offer free NCERT Solutions in English medium and Hindi medium for all the classes as well. Created by subject matter experts, these NCERT Solutions in Hindi are very helpful to the students of all classes.
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Triangles In Hindi


NCERT Solution for Class 9 Mathematics Chapter 7- เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค
เคชเฅเคฐเคถเฅเคจเคพเคตเคฒเฅ 7.1
1. เคเคคเฅเคฐเฅเคญเฅเค \[\mathbf{ABCD}\] เคฎเฅเค, \[\mathbf{AC}\text{ }=\text{ }\mathbf{AD}\] เคนเฅ เคเคฐ \[\mathbf{AB}\] เคเฅเคฃ \[\mathbf{A}\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ \[\mathbf{\Delta ABC}\cong \mathbf{\Delta ABD}\] เคนเฅเฅค
\[\mathbf{BC}\] เคเคฐ \[\mathbf{BD}\] เคเฅ เคฌเคพเคฐเฅ เคฎเฅเค เคเคช เคเฅเคฏเคพ เคเคน เคธเคเคคเฅ เคนเฅเค?

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta ACB\text{ , }\Delta ABD\] เคฎเฅเค
\[AC\text{ }=\text{ }AD\]
\[\angle CAB\text{ }=\angle DAB\text{ }(\angle CAD\] เคเฅ \[AB\] เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐ เคฐเคนเคพ เคนเฅ)
\[AB\text{ }=\text{ }AB\] (เคธเคพเคเคพ เคญเฅเคเคพ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[SAS\] เคธเฅเคตเคฏเคเคธเคฟเคฆเฅเคงเคฟ เคเฅ เค เคจเฅเคธเคพเคฐ:
\[\Delta ACB\cong \Delta ABD\] เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅเค
2. \[\mathbf{ABCD}\] เคเค เคเคคเฅเคฐเฅเคญเฅเค เคนเฅ, เคเคฟเคธเคฎเฅเค \[\mathbf{AD}\text{ }=\text{ }\mathbf{BC}\] เคเคฐ \[\angle \mathbf{DAB}\text{ }=\angle \mathbf{CBA}\] เคนเฅเฅค เคธเคฟเคฆเฅเคง เคเฅเคเคฟเค เคเคฟ

$ \Delta ABD\cong \Delta BAC $
$ BD = AC $
$\angle ABD =\angle BAC $
เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta ABD\] เคเคฐ \[\Delta BAC\] เคฎเฅเค
\[AD\text{ }=\text{ }BC\]
\[AB\text{ }=\text{ }AB\] (เคธเคพเคเคพ เคญเฅเคเคพ)
\[\angle BAD\text{ }=\angle ABC\]
เคเคธเคฒเคฟเค \[SAS\] เคจเคฟเคฏเคฎ เคเฅ เค เคจเฅเคธเคพเคฐ, \[\Delta ABD\] เคธเคฎเคพเคจเฅเคชเคพเคคเฅ \[\Delta BAC\] เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅเคเฅค
เคเฅเคเคเคฟ \[\Delta ABD\cong \Delta BAC\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[BD\text{ }=\text{ }AC\]
(เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเคเฅเค เคเฅ เคคเฅเคธเคฐเฅ เคธเคเคเคค เคญเฅเคเคพเคเค)
เคธเคฐเฅเคตเคพเคเคเคธเคฎ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเคเฅเค เคเฅ เคนเคฐ เคธเคเคเคค เคเฅเคฃ เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเคเฅค
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle BAD\text{ }=\angle ABC\] เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅเคเฅค
3. เคเค เคฐเฅเคเคพเคเคเคก \[\mathbf{AB}\] เคชเคฐ \[\mathbf{AD}\] เคเคฐ \[\mathbf{BC}\] เคฆเฅ เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคฒเคเคฌ เคฐเฅเคเคพเคเคเคก เคนเฅเคเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ เคฐเฅเคเคพเคเคเคก \[\mathbf{CD}\], เคฐเฅเคเคพเคเคเคก \[\mathbf{AB}\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta BOC\] เคเคฐ \[\Delta AOD\] เคฎเฅเค
\[BC\text{ }=\text{ }AD\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ)
\[\angle CBO\text{ }=\angle DAO\] (เคธเคฎเคเฅเคฃ)
\[\angle BOC\text{ }=\angle AOD\] (เคธเคฎเฅเคฎเฅเค เคเฅเคฃ)
เคเคธเคฒเคฟเค \[ASA\] เคจเคฟเคฏเคฎ เคเฅ เค เคจเฅเคธเคพเคฐ,
\[\Delta BOC\cong \Delta AOD\]
เคฏเคพ\[,\text{ }BO\text{ }=\text{ }AO\]
เคเคฐ เคฏเคน เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅเค เคเคฟ \[AB\] เคเคพ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเค \[CD\] เคนเฅเฅค
4. \[\mathbf{l}\] เคเคฐ \[\mathbf{m}\] เคฆเฅ เคธเคฎเคพเคเคคเคฐ เคฐเฅเคเคพเคเค เคนเฅ เคเคฟเคจเฅเคนเฅเค เคธเคฎเคพเคเคคเคฐ เคฐเฅเคเคพเคเค \[\mathbf{p}\] เคเคฐ \[\mathbf{q}\] เคเคพ เคเค เค เคจเฅเคฏ เคฏเฅเคเฅเคฎ เคชเฅเคฐเคคเคฟเคเฅเคเฅเคฆเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ ฮABC โ ฮCDA เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta ABC\] เคเคฐ \[\Delta CDA\] เคฎเฅเค
\[AB\text{ }=\text{ }CD\] (\[l~\] เคเคฐ \[m\] เคธเคฎเคพเคเคคเคฐ เคนเฅเค)
\[AD\text{ }=\text{ }BC\text{ }(AB\] เคเคฐ \[CD\] เคธเคฎเคพเคเคคเคฐ เคนเฅเค)
\[\angle ABC\text{ }=\angle DCm\] (เคคเคฟเคฐเฅเคฏเค เคฐเฅเคเคพ \[BC\] เคเฅ เคเค เคนเฅ เคเคฐ เคเฅ เคเฅเคฃ)
\[\angle DCm\text{ }=\angle ADC\]
\[\angle ABC\text{ } = \angle ADC\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[SAS\] เคจเคฟเคฏเคฎ เคเฅ เค เคจเฅเคธเคพเคฐ \[\Delta ABC\cong \Delta CDA\]
5. เคฐเฅเคเคพ \[\mathbf{l}\] เคเฅเคฃ \[\mathbf{A}\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเฅ เคนเฅ เคเคฐ \[\mathbf{B}\] เคฐเฅเคเคพ \[\mathbf{l}\] เคชเคฐ เคธเฅเคฅเคฟเคค เคเฅเค เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคนเฅเฅค \[\mathbf{BP}\] เคเคฐ \[\mathbf{BQ}\] เคเฅเคฃ \[\mathbf{A}\] เคเฅ เคญเฅเคเคพเคเค เคชเคฐ \[\mathbf{B}\] เคธเฅ เคกเคพเคฒเฅ เคเค เคฒเคฎเฅเคฌ เคนเฅเคเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ

\[\mathbf{\Delta APB}\cong \mathbf{\Delta AQB}\]
\[\mathbf{BP}\text{ }=\text{ }\mathbf{BQ}\] เคนเฅ, เค เคฐเฅเคฅเคพเคค เคฌเคฟเคเคฆเฅ \[B\] เคเฅเคฃ เคเฅ เคญเฅเคเคพเคเค เคธเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคฐเคธเฅเคฅ เคนเฅเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta APB\] เคเคฐ \[\Delta AQB\] เคฎเฅเค
\[AB\text{ }=\text{ }AB\] (เคธเคพเคเคพ เคญเฅเคเคพ)
\[\angle PAB\text{ }=\angle QAB\] \[(\angle QAP\] เคเฅ \[AB\] เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅ)
\[\angle AQB\text{ }=\angle APB\] (เคธเคฎเคเฅเคฃ)
เคเคธเคฒเคฟเค\[,\text{ }ASA\] เคจเคฟเคฏเคฎ เคเฅ เค เคจเฅเคธเคพเคฐ, \[\Delta APB\cong \Delta AQB\]
เคเคฐ \[BQ\text{ }=\text{ }BP\]
6. เคฆเฅ เคเค เคเคเฅเคคเคฟ เคฎเฅเค, \[\mathbf{AC}\text{ }=\text{ }\mathbf{AE},\text{ }\mathbf{AB}\text{ }=\text{ }\mathbf{AD}\] เคเคฐ \[\angle \mathbf{BAD}\text{ }=\angle \mathbf{EAC}\] เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ \[\mathbf{BC}\text{ }=\text{ }\mathbf{DE}\] เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta ABC\] เคเคฐ \[\Delta ADE\] เคฎเฅเค
\[AB=AD\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ)
\[AC\text{ }=\text{ }AE\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ)
เคเฅเคเคเคฟ \[\angle BAD\text{ }=\angle EAC\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle BAD\text{ }+\angle DAC\text{ }=\angle EAC\text{ }+\angle DAC\]
เคฏเคพ, \[\angle BAC\text{ }=\angle DAE\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[SAS\] เคจเคฟเคฏเคฎ เคเฅ เค เคจเฅเคธเคพเคฐ \[\Delta ABC\cong \Delta ADE\]
เคฏเคพ, \[BC\text{ }=\text{ }DE\] เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅเค
7. \[\mathbf{AB}\] เคเค เคฐเฅเคเคพเคเคเคก เคนเฅ เคเคฐ \[\mathbf{P}\] เคเคธเคเคพ เคฎเคงเฅเคฏ เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคนเฅเฅค \[\mathbf{D}\] เคเคฐ \[\mathbf{E}\] เคฐเฅเคเคพเคเคเคก \[\mathbf{AB}\] เคเฅ เคเค เคนเฅ เคเคฐ เคธเฅเคฅเคฟเคค เคฆเฅ เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคเคธ เคชเฅเคฐเคเคพเคฐ เคนเฅเค เคเคฟ \[\angle \mathbf{BAD}\text{ }=\angle \mathbf{ABE}\] เคเคฐ \[\angle \mathbf{EPA}\text{ }=\angle \mathbf{DPB}\] เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ

\[\mathbf{\Delta DAP}\cong \mathbf{\Delta EBP}\]
\[\mathbf{AD}\text{ }=\text{ }\mathbf{BE}\]
เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta DAP\] เคเคฐ \[\Delta EBP\] เคฎเฅเค
\[\angle BAD\text{ }=\angle ABE\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ)
\[\angle EPA\text{ }=\angle DPB\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle EPA\text{ }+\angle EPD=\angle DPB\text{ }+\angle EPD\]
เคฏเคพ, \[\angle DPA\text{ }=\angle EPB\]
\[AP\text{ }=\text{ }PB\] (\[AB\] เคเคพ เคฎเคงเฅเคฏเคฌเคฟเคเคฆเฅ \[P\] เคนเฅ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[ASA\] เคจเคฟเคฏเคฎ เคเฅ เค เคจเฅเคธเคพเคฐ, \[\Delta DAP\cong \Delta EBP\]
เคฏเคพ\[,\text{ }AD\text{ }=\text{ }BE\]
8. เคเค เคธเคฎเคเฅเคฃ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค \[\mathbf{ABC}\] เคฎเฅเค, เคเคฟเคธเคฎเฅเค เคเฅเคฃ \[\mathbf{C}\] เคธเคฎเคเฅเคฃ เคนเฅ, \[\mathbf{M}\] เคเคฐเฅเคฃ \[\mathbf{AB}\] เคเคพ เคฎเคงเฅเคฏ เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคนเฅเฅค \[\mathbf{C}\] เคเฅ \[\mathbf{M}\] เคธเฅ เคฎเคฟเคฒเคพเคเคฐ D เคคเค เคเคธ เคชเฅเคฐเคเคพเคฐ เคฌเฅเคพเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ เคเคฟ \[\mathbf{DM}\text{ }=\text{ }\mathbf{CM}\] เคนเฅเฅค เคฌเคฟเคเคฆเฅ \[\mathbf{D}\] เคเฅ เคฌเคฟเคเคฆเฅ \[\mathbf{B}\] เคธเฅ เคฎเคฟเคฒเคพ เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคพเคคเคพ เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ

\[\mathbf{\Delta AMC}\cong \mathbf{\Delta BMD}\]
\[\angle \mathbf{DBC}\] เคเค เคธเคฎเคเฅเคฃ เคนเฅเฅค
\[\mathbf{\Delta DBC}\cong \mathbf{\Delta ACB}\]
\[\mathbf{CM}=\frac{1}{2}\mathbf{AB}\]
เคเคคเฅเคคเคฐ: \[~\Delta AMC\] เคเคฐ \[\Delta BMD\] เคฎเฅเค
\[BM\text{ }=\text{ }AM\] (\[M\] เคฎเคงเฅเคฏ เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคนเฅ)
\[DM\text{ }=\text{ }CM\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ)
\[\angle DMB\text{ }=\angle AMC\] (เคธเคฎเฅเคฎเฅเค เคเฅเคฃ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta AMC\cong \Delta BMD\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[DB\text{ }=\text{ }AC\]
\[\angle DBA\text{ }=\angle BAC\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[DB||AC\] (เคเคเคพเคเคคเคฐ เคเฅเคฃ เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคนเฅเค)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle BDC\text{ }=\angle ACB\text{ }=\]เคธเคฎเคเฅเคฃ
(เคคเคฟเคฐเฅเคฏเค เคฐเฅเคเคพ เคเฅ เคเค เคนเฅ เคเคฐ เคเฅ เค เคเคค:เคเฅเคฃ เคชเฅเคฐเค เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเคเฅค)
\[\Delta DBC\] เคเคฐ \[\Delta ACB\] เคฎเฅเค
\[DB\text{ }=\text{ }AC\] (เคชเคนเคฒเฅ เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅ เคเฅเคเคพ เคนเฅ)
\[BC\text{ }=\text{ }BC\] (เคธเคพเคเคพ เคญเฅเคเคพ)
โ \[BDC\text{ }=\angle ACB\] (เคชเคนเคฒเฅ เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅ เคเฅเคเคพ เคนเฅ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta DBC\cong \Delta ACB\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[AB\text{ }=\text{ }DC\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[AM\text{ }=\text{ }BM\text{ }=\text{ }CM\text{ }=\text{ }DM\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[CM=\frac{1}{2}AB\]
เคชเฅเคฐเคถเฅเคจเคพเคตเคฒเฅ 7.2
1. เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค ABC เคฎเฅเค เคเคฟเคธเคฎเฅเค AB = AC เคนเฅ, โ B เคเคฐ โ C เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเค เคชเคฐเคธเฅเคชเคฐ เคฌเคฟเคเคฆเฅ O เคชเคฐ เคชเฅเคฐเคคเคฟเคเฅเคเฅเคฆเคฟเคค เคเคฐเคคเฅ เคนเฅเคเฅค A เคเคฐ O เคเฅ เคเฅเฅเคฟเคเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ
\[\mathbf{OB}\text{ }=\text{ }\mathbf{OC}\]
\[\mathbf{AO}\] เคเฅเคฃ \[\mathbf{A}\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta OBC\] เคฎเฅเค

\[\angle OBC\text{ }=\angle OCA\] (เคฏเฅ เคเฅเคฃ \[B\] เคเคฐ \[C\] เคเฅ เคเคงเฅ เคนเฅเค)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[OB\text{ }=\text{ }OC\] (เคธเคฎเคพเคจ เคเฅเคฃเฅเค เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคตเคพเคฒเฅ เคญเฅเคเคพเคเค)
\[\Delta AOB\] เคเคฐ \[\Delta AOC\] เคฎเฅเค
\[AB\text{ }=\text{ }AC\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ)
\[OB\text{ }=\text{ }OC\] (เคชเคนเคฒเฅ เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅ เคเฅเคเคพ เคนเฅ)
\[\angle ABO\text{ }=\angle ACO\] (เคฏเฅ เคเฅเคฃ \[B\] เคเคฐ \[C\] เคเฅ เคเคงเฅ เคนเฅเค)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta AOB\cong \Delta AOC\] (\[SAS\] เคจเคฟเคฏเคฎ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle BAO\text{ }=\angle CAO\]
เคเคธเคเคพ เคฎเคคเคฒเคฌ เคนเฅ \[\angle A\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค
2. \[\mathbf{\Delta ABC}\] เคฎเฅเค \[\mathbf{AD}\] เคญเฅเคเคพ \[\mathbf{BC}\] เคเคพ เคฒเคฎเฅเคฌ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเค เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ \[\mathbf{\Delta ABC}\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅ, เคเคฟเคธเคฎเฅเค \[\mathbf{AB}\text{ }=\text{ }\mathbf{AC}\] เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta ABD\] เคฎเฅเค \[\Delta ACD\] เคฎเฅเค
\[AD\text{ }=\text{ }AD\] (เคธเคพเคเคพ เคญเฅเคเคพ)
\[BD\text{ }=\text{ }CD\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ)
\[\angle ADB\text{ }=\angle ADC\] (เคธเคฎเคเฅเคฃ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta ABD\cong \Delta ACD\]
เคเคธเคฒเคฟเค\[,\text{ }AB\text{ }=\text{ }AC\]
เคฏเคน เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅเค เคเคฟ \[\Delta ABC\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅเฅค
3. \[\mathbf{ABC}\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅ, เคเคฟเคธเคฎเฅเค เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคญเฅเคเคพเคเค AC เคเคฐ AB เคชเคฐ เคเฅเคฐเคฎเคถ: เคถเฅเคฐเฅเคทเคฒเคฎเฅเคฌ \[\mathbf{BE}\] เคเคฐ \[\mathbf{CF}\] เคเฅเคเคเฅ เคเค เคนเฅเคเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ เคฏเฅ เคถเฅเคฐเฅเคทเคฒเคฎเฅเคฌ เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคนเฅเคเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta ABE\] เคเคฐ \[\Delta ACF\] เคฎเฅเค
\[AB\text{ }=\text{ }AC\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅ)
\[\angle BAE\text{ }=\angle CAF\] (เคธเคพเคเคพ เคเฅเคฃ)
\[\angle CFA\text{ }=\angle BEA\] (เคธเคฎเคเฅเคฃ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta ABE\cong \Delta ACF\text{ }(ASA\] เคจเคฟเคฏเคฎ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[BE\text{ }=\text{ }CF\]
4. \[\mathbf{ABC}\] เคเค เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅ เคเคฟเคธเคฎเฅเค \[\mathbf{AC}\] เคเคฐ \[~\mathbf{AB}\] เคชเคฐ เคเฅเคเคเฅ เคเค เคถเฅเคฐเฅเคทเคฒเคฎเฅเคฌ \[\mathbf{BE}\] เคเคฐ \[\mathbf{CF}\] เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคนเฅเคเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ
\[\mathbf{\Delta ABE}\cong \mathbf{\Delta ACF}\]
\[\mathbf{AB}\text{ }=\text{ }\mathbf{AC}\], เค เคฐเฅเคฅเคพเคค \[\mathbf{\Delta ABC}\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: เคฆเคฟเคฏเคพ เคนเฅ ABC เคเค เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅ เคเคฟเคธเคฎเฅ เคถเฅเคฐเฅเคทเคฒเคฎเฅเคฌ \[\mathbf{BE}\] เคเคฐ \[\mathbf{CF}\] เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ
\[\Delta ABE\] เคเคฐ \[\Delta ACF\] เคฎเฅเค
\[BE=CF\]
\[\angle AEB=\angle AFC\](\[{{90}^{0}}\] เคชเฅเคฐเคคเฅเคฏเฅเค)
\[\angle A=\angle A\](เคเคญเคฏเคจเคฟเคทเฅเค )
ASA เคธเคฐเฅเคตเคพเคเคเคธเคฎ เคจเคฟเคฏเคฎ เคเฅ เคเคชเคฏเฅเค เคธเฅ,
\[\Delta ABE\cong \Delta ACF\]
\[\left( ii \right)AB=AC(CPCT\] เคธเฅ,)
เคเคธเฅเคฒเคฟเค \[,ABC\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅเฅค
5. \[\text{ }\mathbf{ABC}\] เคเคฐ \[\mathbf{DBC}\] เคธเคฎเคพเคจ เคเคงเคพเคฐ \[\mathbf{BC}\] เคชเคฐ เคธเฅเคฅเคฟเคค เคฆเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅเคเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ \[\angle \mathbf{ABD}\text{ }=\angle \mathbf{ACD}\] เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\angle ABC\text{ }=\angle ACB\]
\[\angle DBC\text{ }=\angle DCB\]
เคเคธเคฒเคฟเค\[,\angle ABC\text{ }+\angle DBC\text{ }=\angle ACB\text{ }+\angle DCB\]
เคฏเคพ, \[\angle ABD\text{ }=\angle ACD\]
6. \[\mathbf{ABC}\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅ, เคเคฟเคธเคฎเฅเค \[\mathbf{AB}\text{ }=\text{ }\mathbf{AC}\] เคนเฅเฅค เคญเฅเคเคพ \[\mathbf{BA}\] เคฌเคฟเคเคฆเฅ \[\mathbf{D}\] เคคเค เคเคธ เคชเฅเคฐเคเคพเคฐ เคฌเฅเคพเค เคเค เคนเฅ เคเคฟ \[\mathbf{AD}\text{ }=\text{ }\mathbf{AB}\] เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ \[\angle \mathbf{BCD}\] เคเค เคธเคฎเคเฅเคฃ เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta ADC\] เคเคฐ \[\Delta ABC\] เคฎเฅเค
$AD\text{ }=\text{ }AB$
$ AB\text{ }=\text{ }AC $
$\angle ACB\text{ }=\angle ABC $
$\therefore AC\text{ }=\text{ }AD $
$\angle ACD\text{ }=\angle ADC $
\[\Delta ABC\] เคฎเฅเค, \[\angle ACB\text{ }+\angle ABC\text{ }+\angle CAB\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]
เคฏเคพ, \[\angle CAB\text{ }=\text{ }180{}^\circ -2\angle ACB\text{ }............\left( 1 \right)\]
เคเคธเฅ เคคเคฐเคน, \[\Delta ADC\] เคฎเฅเค
\[\angle DAC\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }2\angle ACD...............\left( 2 \right)\]
เคเฅเคเคเคฟ \[BD\] เคเค เคธเคฐเคฒ เคฐเฅเคเคพ เคนเฅ, เคเคธเคฒเคฟเค \[\angle CAB\text{ }+\angle DAC=180{}^\circ \]
เคเคธเคฒเคฟเค, เคธเคฎเฅเคเคฐเคฃ \[(1)\]เคเคฐ \[(2)\]เคเฅ เคเฅเฅเคจเฅ เคชเคฐ,
\[180{}^\circ \text{ }=\text{ }360{}^\circ \text{ }-\text{ }2\angle ACB\text{ }-\text{ }2\angle ACD\]โ
เคฏเคพ\[,\text{ }180{}^\circ \text{ }=\text{ }360{}^\circ \text{ }-\text{ }2(\angle ACB\text{ }+\angle ACD)\]
เคฏเคพ, \[2(\angle ACB\text{ }+\angle ACD)\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]
เคฏเคพ, \[\angle ACB\text{ }+\angle ACD\text{ }=\angle BCD\text{ }=\text{ }90{}^\circ \]
7. \[\mathbf{ABC}\] เคเค เคธเคฎเคเฅเคฃ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅ, เคเคฟเคธเคฎเฅเค \[\angle \mathbf{A}\text{ }=\text{ }\mathbf{90}{}^\circ \]เคเคฐ AB = AC เคนเฅเฅค \[\angle \mathbf{B}\] เคเคฐ \[\angle \mathbf{C}\] เคเฅเคเคพเคค เคเฅเคเคฟเคเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ: เคฏเคฆเคฟ \[AB\text{ }=\text{ }AC\] เคเคจ เคญเฅเคเคพเคเค เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคเฅ เคเฅเคฃ เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคนเฅเคเคเฅเฅค เคเคช เคเคพเคจเคคเฅ เคนเฅเค เคเคฟ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคเฅ เคคเฅเคจเฅเค เคเฅเคฃเฅเค เคเคพ เคฏเฅเค 180ยฐ เคนเฅเคคเคพ เคนเฅเฅค
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle A\text{ }+\angle B\text{ }+\angle C\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]
เคฏเคพ, \[90{}^\circ \text{ }+\angle B\text{ }+\angle C\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]
เคฏเคพ, \[\angle B\text{ }+\angle C\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }90{}^\circ \text{ }=\text{ }90{}^\circ \]
เคเฅเคเคเคฟ AB = AC
เคฏเคพ, \[\angle B\text{ }=\angle C\text{ }=\text{ }45{}^\circ \]
8. เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ เคเคฟเคธเฅ เคธเคฎเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคเคพ เคชเฅเคฐเคคเฅเคฏเฅเค เคเฅเคฃ \[\mathbf{60}{}^\circ \]เคนเฅเคคเคพ เคนเฅเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ: เคนเคฎ เคเคพเคจเคคเฅ เคนเฅเค เคเคฟ เคเคฟเคธเฅ เคญเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคฎเฅเค เคธเคฎเคพเคจ เคญเฅเคเคพเคเค เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคตเคพเคฒเฅ เคเฅเคฃ เคธเคฎเคพเคจ เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเคเฅค เคเคธเคฒเคฟเค เคธเคฎเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคเฅ เคนเคฐ เคญเฅเคเคพ เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคเฅ เคเฅเคฃ เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคนเฅเคเคเฅเฅค เคเคธเคฒเคฟเค เคนเคฐ เคเฅเคฃ เคเคพ เคฎเคพเคจ \[180{}^\circ \]เคเคพ \[\frac{1}{3}\]เคญเคพเค เคนเฅเคเคพ, เคฏเคพเคจเคฟ \[60{}^\circ \] เคนเฅเคเคพเฅค
เคชเฅเคฐเคถเฅเคจเคพเคตเคฒเฅ 7.3
1. \[\text{ }\mathbf{\Delta ABD}\] เคเคฐ \[\mathbf{\Delta ACD}\] เคเค เคนเฅ เคเคงเคพเคฐ เคชเคฐ เคฌเคจเฅ เคฆเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคเคธ เคชเฅเคฐเคเคพเคฐ เคนเฅเค เคเคฟ เคเคฐ เคญเฅเคเคพ เคเฅ เคเค เคนเฅ เคเคฐ เคธเฅเคฅเคฟเคค เคนเฅเคเฅค เคฏเคฆเคฟ AD เคฌเฅเคพเคจเฅ เคชเคฐ BC เคเฅ P เคชเคฐ เคชเฅเคฐเคคเคฟเคเฅเคเฅเคฆ เคเคฐเฅ, เคคเฅ เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ

ฮABD โ ฮACD
ฮABP โ ฮACP
\[AP\] เคเฅเคฃ \[A\] เคเคฐ เคเฅเคฃ \[D\] เคฆเฅเคจเฅเค เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค
\[AP\] เคฐเฅเคเคพเคเคเคก \[BC\] เคเคพ เคฒเคฎเฅเคฌ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเค เคนเฅเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta ABD\] เคเคฐ \[\Delta ACD\] เคฎเฅเค
$AB\text{ }=\text{ }AC $
$ BD\text{ }=\text{ }CD $
$ AD\text{ }=\text{ }AD $
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta ABD\cong \Delta ACD\] \[(SSS\] เคจเคฟเคฏเคฎ)
\[\Delta ABP\] เคเคฐ \[\Delta ACP\] เคฎเฅเค
$ AB\text{ }=\text{ }AC $
$ AP\text{ }=\text{ }AP $
\[\angle ABP\text{ }=\angle ACP\] (เคธเคฎเคพเคจ เคญเฅเคเคพเคเค เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคเฅ เคเฅเคฃ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta ABP\cong \Delta CP\] (\[SAS\] เคจเคฟเคฏเคฎ)
เคเฅเคเคเคฟ \[\Delta ABP\cong \Delta ACP\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle BAP\text{ }=\angle CAP\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle BAC\] เคเฅ \[AP\] เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค
เคเคธเฅ เคคเคฐเคน, \[\Delta BDP\] เคเคฐ \[\Delta CDP\] เคธเคฐเฅเคตเคพเคเคเคธเคฎ เคธเคฟเคฆเฅเคง เคเคฟเคฏเคพ เคเคพ เคธเคเคคเคพ เคนเฅ เคเคฐ เคซเคฟเคฐ เคฏเคน เคญเฅ เคธเคฟเคฆเฅเคง เคเคฟเคฏเคพ เคเคพ เคธเคเคคเคพ เคนเฅ เคเคฟ \[\angle BDC\] เคเฅ \[AP\] เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค
2. \[\mathbf{AD}\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค \[\mathbf{ABC}\] เคเคพ เคเค เคถเฅเคฐเฅเคทเคฒเคฎเฅเคฌ เคนเฅ, เคเคฟเคธเคฎเฅเค \[\mathbf{AB}\text{ }=\text{ }\mathbf{AC}\] เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ

\[\mathbf{AD}\] เคฐเฅเคเคพเคเคเคก \[\mathbf{BC}\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค
\[\mathbf{AD}\] เคเฅเคฃ \[\mathbf{A}\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\mathbf{AD}\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค \[\mathbf{ABC}\] เคเคพ เคเค เคถเฅเคฐเฅเคทเคฒเคฎเฅเคฌ เคนเฅ,เคเคฟเคธเคฎเฅ AB=AC เคนเฅเฅค
\[\Delta ABD\]เคเคฐ \[\Delta ACD\] เคฎเฅ ,
\[AB=AC\] (เคฆเคฟเคฏเคพ เคนเฅ )
\[AD=AD\] (เคเคญเคฏเคจเคฟเคทเฅเค เคญเฅเคเคพ)
\[\angle ABD=\angle ACD\]
SAS เคธเคฐเฅเคตเคพเคเคเคธเคฎ เคจเคฟเคฏเคฎ เคธเฅ,
\[\therefore \Delta BDP โ \Delta CDP\]
เค เคคเค \[BD=CD..........(i)\text{ }(CPCT\] เคจเคฟเคฏเคฎ เคธเฅ )
\[\angle BAD=\angle CAD..........(ii)\]
เคธเคฎเฅเคเคฐเคฃ (i) เคธเฅ เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅเค เคเคฟ \[AD\] เคฐเฅเคเคพเคเคฃเฅเคก \[BC\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅคเคเคฐ เคธเคฎเฅเคเคฐเคฃ (ii) เคธเฅ เคฏเคน เคธเคฟเคฆเฅเคง เคนเฅเค เคเคฟ \[AD\] เคเฅเคฃ \[A\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค
3. เคเค เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค \[\mathbf{ABC}\] เคเฅ เคฆเฅ เคญเฅเคเคพเคเค \[\mathbf{AB}\] เคเคฐ \[\mathbf{BC}\] เคคเคฅเคพ เคฎเคพเคงเฅเคฏเคฟเคเคพ \[\mathbf{AM}\] เคเฅเคฐเคฎเคถ: เคเค เคฆเฅเคธเคฐเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคเฅ เคญเฅเคเคพเคเค \[\mathbf{PQ}\] เคเคฐ \[\mathbf{QR}\] เคคเคฅเคพ เคฎเคพเคงเฅเคฏเคฟเคเคพ \[\mathbf{PN}\] เคเฅ เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคนเฅเคเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ
(image will be uploaded soon)
\[\mathbf{\Delta ABM}\cong \mathbf{\Delta PQN}\]
\[\mathbf{\Delta ABC}\cong \mathbf{\Delta PQR}\]
เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta ABM\] เคเคฐ \[\Delta PQN\] เคฎเฅเค
$AB\text{ }=\text{ }PQ $
$AM\text{ }=\text{ }PN $
\[BM\text{ }=\text{ }QN\] (เคฎเคพเคงเฅเคฏเคฟเคเคพ เคเคงเคพเคฐ เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเฅ เคนเฅเฅค)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta ABM\cong \Delta PQN\]
\[\Delta ABC\] เคเคฐ \[\Delta PQR\] เคฎเฅเค
$ AB\text{ }=\text{ }PQ $
$ BC\text{ }=\text{ }QR $
\[AC\text{ }=\text{ }PR\] (เคธเคฎเคพเคจ เคฎเคพเคงเฅเคฏเคฟเคเคพ เคเคพ เคฎเคคเคฒเคฌ เคนเฅ เคเคฟ เคคเฅเคธเคฐเฅ เคญเฅเคเคพ เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคนเฅเคเฅ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta ABC\cong \Delta PQR\]
4. \[\mathbf{BE}\] เคเคฐ \[\mathbf{CF}\] เคเค เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค \[\mathbf{ABC}\] เคเฅ เคฆเฅ เคฌเคฐเคพเคฌเคฐ เคถเฅเคฐเฅเคทเคฒเคฎเฅเคฌ เคนเฅเคเฅค RHS เคธเคฐเฅเคตเคพเคเคเคธเคฎเคคเคพ เคจเคฟเคฏเคฎ เคเคพ เคชเฅเคฐเคฏเฅเค เคเคฐเคเฅ เคธเคฟเคฆเฅเคง เคเฅเคเคฟเค เคเคฟ \[\mathbf{\Delta ABC}\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\Delta AEB\] เคเคฐ \[\Delta AFC\] เคฎเฅเค
\[BE\text{ }=\text{ }CE\] (เคฒเคฎเฅเคฌ)
\[AB\text{ }=\text{ }BC\] (เคเคฐเฅเคฃ)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\Delta AEB\cong \Delta AFC\]
5. \[\mathbf{ABC}\] เคเค เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคฌเคพเคนเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคนเฅ เคเคฟเคธเคฎเฅเค \[\mathbf{AB}\text{ }=\text{ }\mathbf{AC}\] เคนเฅเฅค \[\mathbf{AP}\bot \mathbf{BC}\] เคเฅเคเค เคเคฐ เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ \[\angle \mathbf{B}\text{ }=\angle \mathbf{C}\] เคนเฅเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ:

\[AD\bot BC\] เคเฅเคเคเคจเฅ เคชเคฐ,
\[\Delta APC\] เคเคฐ \[\Delta APB\] เคฎเฅ,
$ AC\text{ }=\text{ }AB $
$ AP\text{ }=\text{ }AP $
$ \angle APC\text{ }=\angle APB $
เคเคธเคฒเคฟเค\[,\text{ }\Delta APC\cong \Delta APB\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle ACP\text{ }=\angle ABC\]
เคชเฅเคฐเคถเฅเคจเคตเคพเคฒเฅ 7.4
1. เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ เคเค เคธเคฎเคเฅเคฃ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคฎเฅเค เคเคฐเฅเคฃ เคธเคฌเคธเฅ เคฒเคฎเฅเคฌเฅ เคญเฅเคเคพ เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ: เคเคฟเคธเฅ เคญเฅ เคธเคฎเคเฅเคฃ เคฎเฅเค เคเคฐเฅเคฃ เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคตเคพเคฒเคพ เคเฅเคฃ \[90{}^\circ \] เคนเฅเคคเคพ เคนเฅ, เคเคฌเคเคฟ เค เคจเฅเคฏ เคเฅเคฃ เคนเคฎเฅเคถเคพ \[90{}^\circ \] เคธเฅ เคเคฎ เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเค เคเฅเคฏเฅเคเคเคฟ เคเคจเคเคพ เคฏเฅเค \[90{}^\circ \] เคนเฅเคคเคพ เคนเฅเฅค เคนเคฎ เคเคพเคจเคคเฅ เคนเฅเค เคเคฟ เคเคฟเคธเฅ เคญเฅ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคฎเฅเค เคธเคฌเคธเฅ เคฌเฅเฅ เคเฅเคฃ เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคตเคพเคฒเฅ เคญเฅเคเคพ เคธเคฌเคธเฅ เคฒเคฎเฅเคฌเฅ เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเฅค เคเคธเคฒเคฟเค เคธเคฎเคเฅเคฃ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคฎเฅเค เคเคฐเฅเคฃ เคนเฅ เคธเคฌเคธเฅ เคฒเคฎเฅเคฌเฅ เคญเฅเคเคพ เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเฅค
2. เคฆเฅ เคเค เคเคเฅเคคเคฟ เคฎเฅเค, \[\mathbf{\Delta ABC}\] เคเฅ เคญเฅเคเคพเคเค \[\mathbf{AB}\] เคเคฐ \[\mathbf{AC}\] เคเฅ เคเฅเคฐเคฎเคถ: เคฌเคฟเคเคฆเฅเคเค \[\mathbf{P}\] เคเคฐ \[\mathbf{Q}\] เคคเค เคฌเฅเคพเคฏเคพ เคเคฏเคพ เคนเฅเฅค เคธเคพเคฅ เคนเฅ, \[\angle \mathbf{PBC}\text{ }<\angle \mathbf{QCB}\] เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ \[\mathbf{AC}\text{ }>\text{ }\mathbf{AB}\] เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[\angle ABC\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\angle PBC\]
\[\angle ACB\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\angle QCB\]
เคเฅเคเคเคฟ \[\angle PBC\text{ }<\angle OCB\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle ABC\text{ }>\angle ACB\]
เคนเคฎ เคเคพเคจเคคเฅ เคนเฅเค เคเฅเคเฅ เคเฅเคฃ เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคตเคพเคฒเฅ เคญเฅเคเคพ เคเฅ เคคเฅเคฒเคจเคพ เคฎเฅเค เคฌเฅเฅ เคเฅเคฃ เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคตเคพเคฒเฅ เคญเฅเคเคพ เคฒเคฎเฅเคฌเฅ เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเฅค เคเคธเคฒเคฟเค, \[AC\text{ }>\text{ }AB\]
3. เคฆเฅ เคเค เคเคเฅเคคเคฟ เคฎเฅเค \[\angle \mathbf{B}\text{ }<\angle \mathbf{A}\] เคเคฐ \[\angle \mathbf{C}\text{ }<\angle \mathbf{D}\] เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ \[\mathbf{AD}\text{ }<\text{ }\mathbf{BC}\] เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[AO\text{ }<\text{ }BO\] (เคเฅเคเฅ เคเฅเคฃ เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคตเคพเคฒเฅ เคญเฅเคเคพ)
\[DO\text{ }<\text{ }CO\] (เคเฅเคเฅ เคเฅเคฃ เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคตเคพเคฒเฅ เคญเฅเคเคพ เคเฅเคเฅ เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเฅค)
เคเคธเคฒเคฟเค, \[AO\text{ }+\text{ }DO\text{ }<\text{ }BO\text{ }+\text{ }CO\]
เคฏเคพ, \[AD\text{ }<\text{ }BC\]
4. \[\text{ }\mathbf{AB}\] เคเคฐ \[\mathbf{CD}\] เคเฅเคฐเคฎเคถ: เคเค เคเคคเฅเคฐเฅเคญเฅเค \[\mathbf{ABCD}\] เคเฅ เคธเคฌเคธเฅ เคเฅเคเฅ เคเคฐ เคธเคฌเคธเฅ เคฌเฅเฅ เคญเฅเคเคพเคเค เคนเฅเฅค เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ \[\angle \mathbf{A}\text{ }>\angle \mathbf{C}\] เคเคฐ \[\angle \mathbf{B}\text{ }>\angle \mathbf{D}\] เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ: \[BD\] เคเคฐ \[AC\] เคฆเฅ เคเคฐเฅเคฃ เคเฅเคเคเคฟเคเฅค
\[\Delta ABD\] เคฎเฅเค, \[AB\text{ }<\text{ }AD\text{ }<\text{ }BD\]
เคเคธเคฒเคฟเค\[,\angle ADB\text{ }<\angle ABD\text{ }............\left( 1 \right)\]
(เคเฅเคเฅ เคญเฅเคเคพ เคเฅ เคธเคพเคฎเคจเฅ เคเคพ เคเฅเคฃ เคเฅเคเคพ เคนเฅเคคเคพ เคนเฅ)
\[\Delta BCD\] เคฎเฅเค, \[BC\text{ }<\text{ }DC\text{ }<\text{ }BD\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle BDC<\angle CBD\text{ }...............\left( 2 \right)\]
เคธเคฎเฅเคเคฐเคฃ \[(1)\]เคเคฐ \[(2)\]เคเฅ เคเฅเฅเคจเฅ เคชเคฐ,
\[\angle ADB\text{ }+\angle BDC\text{ }<\angle ABD\text{ }+\angle CBD\]
เคฏเคพ, \[\angle ADC\text{ }<\angle ABC\]
เคเคธเฅ เคคเคฐเคน\[,\text{ }\Delta ABC\] เคฎเฅเค
\[\angle BAC\text{ }>\angle ACD\text{ }...............\left( 3 \right)\]
\[\Delta ADC\] เคฎเฅเค
\[\angle DAC\text{ }>\angle DCA\text{ }............\left( 4 \right)\]
เคธเคฎเฅเคเคฐเคฃ \[(3)\]เคเคฐ \[(4)\]เคเฅ เคเฅเฅเคจเฅ เคชเคฐ,
\[\angle BAC\text{ }+\angle DAC\text{ }>\angle ACB\text{ }+\angle DCA\]
เคฏเคพ, \[\angle BAD\text{ }>\angle BCD\]
5. เคฆเฅ เคเค เคเคเฅเคคเคฟ เคฎเฅเค\[,\text{ }\mathbf{PR}\text{ }>\text{ }\mathbf{PQ}\] เคนเฅ เคเคฐ \[\mathbf{PS}\] เคเฅเคฃ \[\mathbf{QPR}\] เคเฅ เคธเคฎเคฆเฅเคตเคฟเคญเคพเคเคฟเคค เคเคฐเคคเคพ เคนเฅเฅค เคธเคฟเคฆเฅเคง เคเฅเคเคฟเค เคเคฟ \[\angle \mathbf{PSR}\text{ }>\angle \mathbf{PSQ}\] เคนเฅเฅค

เคเคคเฅเคคเคฐ:
เคธเคฌเคธเฅ เคชเคนเคฒเฅ เคเคจ เคเฅเคฃเฅเค เคเฅ เคจเคฟเคฎเฅเคจเคฒเคฟเคเคฟเคค เคจเคพเคฎ เคฐเค เคฒเฅเคคเฅ เคนเฅเค:
$ \angle PQR\text{ }=\text{ }1 $
$ \angle PRQ\text{ }=\text{ }2 $
$\angle QPR\text{ }=\text{ }3 $
$\angle QPS\text{ }=\text{ }4 $
$\angle RPS\text{ }=\text{ }5 $
$\angle PSQ\text{ }=\text{ }6 $
$\angle PSR\text{ }=\text{ }7 $
เคเฅเคเคเคฟ \[PR\text{ }>\text{ }PQ\]
เคเคธเคฒเคฟเค, \[\angle 1\text{ }>\angle 2\]
\[\Delta PQS\] เคฎเฅเค
\[\angle 1\text{ }+\angle 4\text{ }+\angle 6\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]
\[\Delta PRS\] เคฎเฅเค
\[\angle 2\text{ }+\angle 5\text{ }+\angle 7\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]
เคฆเฅเคจเฅเค เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคฎเฅเค
$ \angle 4\text{ }=\angle 5 $
$ \angle 1\text{ }>\angle 2 $
เคเคธเคฒเคฟเค เคเฅเคฃเฅเค เคเคพ เคฏเฅเค \[180{}^\circ \]เคเคฐเคจเฅ เคเฅ เคฒเคฟเค เคจเคฟเคฎเฅเคจเคฒเคฟเคเคฟเคค เคนเคฎเฅเคถเคพ เคธเคคเฅเคฏ เคนเฅเคเคพ:
\[\angle 6\text{ }<\angle 7\]
6. เคฆเคฐเฅเคถเคพเคเค เคเคฟ เคเค เคฐเฅเคเคพ เคชเคฐ เคเค เคฆเคฟเค เคนเฅเค เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคธเฅ, เคเฅ เคเคธ เคฐเฅเคเคพ เคชเคฐ เคธเฅเคฅเคฟเคค เคจเคนเฅเค เคนเฅ, เคเคฟเคคเคจเฅ เคฐเฅเคเคพเคเคเคก เคเฅเคเคเฅ เคเคพ เคธเคเคคเฅ เคนเฅเค เคเคจเคฎเฅเค เคฒเคฎเฅเคฌ เคฐเฅเคเคพเคเคเคก เคธเคฌเคธเฅ เคเฅเคเคพ เคนเฅเคคเคพ เคนเฅเฅค
เคเคคเฅเคคเคฐ:

เคเค เคฐเฅเคเคพ เคเฅเคเคเคฟเคเฅค เคเคธ เคชเคฐ เคเคฟเคธเฅ เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคธเฅ เคเค เคฒเคฎเฅเคฌ เคกเคพเคฒเคฟเคเฅค เคเคธเคเฅ เคฌเคพเคฆ เคเคธเฅ เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคธเฅ เคฐเฅเคเคพ เคเฅ เคเคฟเคธเฅ เคญเฅ เค เคจเฅเคฏ เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคชเคฐ เคฏเคฆเคฟ เคฐเฅเคเคพ เคเฅเคเคเฅ เคเคพเค เคคเฅ เคเค เคธเคฎเคเฅเคฃ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคฌเคจเคคเคพ เคนเฅเฅค เคเคธเฅ เคฎเฅเค เคฌเคพเคนเคฐเฅ เคฌเคฟเคเคฆเฅ เคธเฅ เคเฅเคเคเฅ เคเค เคฆเฅเคธเคฐเฅ เคฐเฅเคเคพ เคเคธ เคคเฅเคฐเคฟเคญเฅเค เคเคพ เคเคฐเฅเคฃ เคนเฅเคเฅเฅค เคเคฐเฅเคฃ เคนเคฎเฅเคถเคพ เคฒเคฎเฅเคฌ เคธเฅ เคฒเคฎเฅเคฌเฅ เคนเฅเคคเฅ เคนเฅเฅค
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Triangles In Hindi
Chapter-wise NCERT Solutions are provided everywhere on the internet with an aim to help the students to gain a comprehensive understanding. Class 9 Maths Chapter 7 solution Hindi medium is created by our in-house experts keeping the understanding ability of all types of candidates in mind. NCERT textbooks and solutions are built to give a strong foundation to every concept. These NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 in Hindi ensure a smooth understanding of all the concepts including the advanced concepts covered in the textbook.
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 in Hindi medium PDF download are easily available on our official website (vedantu.com). Upon visiting the website, you have to register on the website with your phone number and email address. Then you will be able to download all the study materials of your preference in a click. You can also download the Class 9 Maths Triangles solution Hindi medium from Vedantu app as well by following the similar procedures, but you have to download the app from Google play store before doing that.
NCERT Solutions in Hindi medium have been created keeping those students in mind who are studying in a Hindi medium school. These NCERT Solutions for Class 9 Maths Triangles in Hindi medium pdf download have innumerable benefits as these are created in simple and easy-to-understand language. The best feature of these solutions is a free download option. Students of Class 9 can download these solutions at any time as per their convenience for self-study purpose.
These solutions are nothing but a compilation of all the answers to the questions of the textbook exercises. The answers/solutions are given in a stepwise format and very well researched by the subject matter experts who have relevant experience in this field. Relevant diagrams, graphs, illustrations are provided along with the answers wherever required. In nutshell, NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi come really handy in exam preparation and quick revision as well prior to the final examinations.














