NCERT Solutions for Class 12 Maths In Hindi Chapter 1 Relations and Functions

प्रश्नावली :- 1.1

1. निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य , सममित तथा संक्रामक है:

(i) समुच्चय $A=\{1,2,3, \ldots ., 13,14\}$ में संबंध $R$, इस प्रकार परिभाषित है कि $R=\{(x, y): 3 x-y=0\}$

उत्तर:

$A-\{1,2,3, \ldots, 13,14\}$

$R=\{(x, y): 3 x-y=0$

$\therefore R=\{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)\}$

$R$ सममित नहीं है क्योंकि $(1,1),(2,2), \ldots(14,14) \notin R$.

तथा , $R$ सममित नहीं है क्योंकि $(1,3) \in R$, लेकिन

$(3,1) \notin R \cdot[3(3)-1 \neq 0]$

तथा, $R$ संक्रामक नहीं है क्योंकि $(1,3),(3,9) \in R$, लेकिन

$(1,9) \notin R \cdot[3(1)-9 \neq 0]$

अतः, $R$ न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ में $R=\{(x, y): y=x+5$ तथा $x<4\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$.

उत्तर: $R=\{(x, y): y=x+5 \quad x<4\}=\{(1,6),(2,7),(3,8)\}$

क्योंकि $(1,1) \notin R \ldots R$ स्वतुल्य नहीं है।

तथा $(1,6) \in R$ लेकिन $(1,6) \notin R \ldots R$ सममित नहीं है।

किसी भी युग्म के लिए संबंध $R$ में,$(x, y) \in R$ तथा $(y, z) \in R$ के लिए

$(x, z) \in R$ नहीं है।

$\therefore R$ संक्रामक नहीं है।

अतः, $R$ न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

(iii) समुच्वय $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ में $R=\{(x, y): y$ भाज्य है $x$ से, द्वारा परिभाषित संबंध $R$.

उत्तर: $A=\{1,2,3,4,5,6\}$

$R=\left\{(x, y): y\right.$ भाज्य है $_{x}$ से $\mid$

हम जानते हैं कि प्रत्येक संख्या स्वयं से भाज्य होती है, इसलिए $(x, x) \in \mathrm{R}$

$\therefore R$ स्वतुल्य है।

अब,$(2,4) \in R \quad$ [ क्योंकि भाज्य है 2 से $]$

लेकिन $(4,2) \notin R$.

[ क्योंकि 2 भाज्य नहीं है 4 से ]

$\therefore R$ सममित नहीं है ।

माना $,(x, y),(y, z) \in R$, इसलिए $y$ भाज्य है $_{x}$ से और $z$ भाज्य है $y$ से । $\therefore z$ भाज्य है $_{x}$ से ,

$\Rightarrow(x, z) \in R, \quad \therefore R$ संक्रामक है।

अतः, $R$ स्वतुल्य और संक्रामक हैं लेकिन सममित नहीं है।

(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ में $R=\{(x, y): x-y$ एक पूर्णांक है । द्वारा परिभाषित संबंध $R$.

उत्तर: $R=\{(x, y): x-y$ एक पूर्णांक है।

यहाँ, प्रत्येक $x \in Z$ के लिए,$(x, x) \in R$ क्योंकि $x-x=0$ एक पूर्णांक है।

$\therefore R$ स्वतुल्य है।

माना संख्याएँ $x, y \in z$, यदि $(x, y) \in R$, तब $x-y$ एक पूर्णांक है। $\Rightarrow-(x-y)$ भी एक पूर्णांक है।

$\Rightarrow(y-x)$ भी एक पूर्णांक है।

$\therefore(y, x) \in R$, इसलिए $R$ सममित है।

अब, माना $(x, y)$ और $(y, z) \in R$, जहाँ $x, y, z \in z$

$\Rightarrow(x-y)$ और $(y-z)$ पूर्णांक हैं।

$\Rightarrow x-z=(x-y)+(y-z)$ पूर्णांक है।

$\therefore(x, z) \in R$, इसलिए $R$ संक्रामक है।

अतः, $R$ स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R$

(a) $R=\{(x, y): x$ तथा $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं

उत्तर: $R=\{(x, y): x$ तथा $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं। $\Rightarrow(x, x) \in R$ [ क्योंकि ${ }_{x}$ और ${ }_{x}$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं। ]

$\therefore R$ स्वतुल्य है। यदि $(x, y) \in R$, तब $_{x}$ और $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं। $\Rightarrow y$ और ${ }_{x}$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।

$\Rightarrow(y, x) \in R$

$\therefore R$ सममित है।

अब, माना $(x, y),(y, z) \in R$

$\Rightarrow x$ और $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं तथा $y$ और $z$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।

$\Rightarrow x$ और $z$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।

$\Rightarrow(x, z) \in R$

$\therefore R$ संक्रामक है।

अतः , स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(b) $R=\{(x, y): x$ तथा $y$ एक ही मोहल्ले में रहते हैं $\}$

उत्तर: $R=\{(x, y): x$ तथा $y$ एक ही मोहल्ले में रहते हैं $\}$

यहाँ, $(x, x) \in R$ क्योंकि ${ }_{x}$ और $_{x}$ एक ही मोहल्ले में रहते है।

$\therefore R$ स्वतुल्य है।

यदि $(x, y) \in R$, तब $_{x}$ और $y$ एक ही मोहल्ले में रहते हैं।

$\Rightarrow y$ और ${ }_{x}$ एक ही मोहल्ले में रहते हैं।

$\Rightarrow(y, x) \in R$

$\therefore R$ सममित है ।

अब, माना $(x, y) \in R$ तथा $(y, z) \in R$.

$\Rightarrow x$ और $y$ एक ही मोहल्ले में रहते हैं तथा $y$ और $z$ एक ही मोहल्ले में रहते हैं।

$\Rightarrow x$ और $z$ एक ही मोहल्ले में रहते हैं।

$\Rightarrow(x, z) \in R$ 

अतः, $R$ स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(c) $R=\{(x, y): x, y$ से ठीक - ठीक 7 सेमी लंबा है $\}$

उत्तर: $R=\{(x, y): x, y$ से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है। यहाँ, $(x, x) \notin R$ क्योंकि कोई भी स्वयं से ही लंबा नहीं हो सकता है।

$\therefore R$ स्वतुल्य नहीं है।

अब, माना $(x, y) \in R . \Rightarrow x, y$ से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है। इसलिए, $y, x$ से छोटा है अर्थात लंबा नहीं है। : $(y, x) \notin R$

इसीप्रकार यदि $x, y$ से ठीक 7 सेमी लंबा है तो $y, x$ से 7 सेमी छोटा है अर्थात लंबा नहीं है।

$\therefore R$ सममित नहीं है।

अब, माना $(x, y)$ और $(y, z) \in R$.

$\Rightarrow x, y$ से ठीक 7 सेमी लंबा है तथा $y, z$ से ठीक 7 सेमी लंबा है।

$\Rightarrow x, z$ से 14 सेमी लंबा है।

$\therefore(x, z) \notin R$

$\therefore R$ संक्रामक नहीं है।

अतः, $R$ न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

(d) $R=\{(x, y): x, y$ की पत्नी है $\}$

उत्तर: $R=\{(x, y): x, y$ की पत्नी है \}

अब,$(x, x) \notin R$, क्योंकि कोई भी स्वयं की ही पत्नी नहीं हो सकती है।

$\therefore R$ स्वतुल्य नहीं है।

अब, माना $(x, y) \in R \Rightarrow x, y$ की पत्नी है।

तो $y, x$ की पत्नी नहीं है बल्कि उसका पति है।

$\therefore \quad(y, x) \notin R$

$\therefore R$ सममित नहीं है।

माना $(x, y)$ और $(y, z) \in R$

$\Rightarrow x, y$ की पत्नी है तथा $y, z$ की पत्नी है। परन्तु यह संभव नहीं है।

इसलिए $x, z$ की पत्नी नहीं है। $\therefore(x, z) \notin R$

$\therefore R$ संक्रामक नहीं है।

अतः, $R$ न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

(e) $R=\{(x, y): x, y$ के पिता हैं $\}$

उत्तर: $R=\{(x, y): x, y$ के पिता हैं $\}$

$(x, x) \notin R$, क्योंकि कोई इन्सान खुद का ही पिता नहीं हो सकता है।

$\therefore R$ स्वतुल्य नहीं है।

अब, माना $(x, y) \in R_{1}$

$\Rightarrow x, y$ का पिता है।

$\Rightarrow y, x$ का पिता नहीं हो सकता है बल्कि $y, x$ का पुत्र या पुत्री है।

$\therefore(y, x) \notin R$, इसलिए $R$ सममित नहीं है।

अब, माना $(x, y) \in R$ और $(y, z) \notin R$.

$\Rightarrow x, y$ का पिता है तथा $y, z$ का पिता है।

$\Rightarrow x, z$ का पिता नहीं है बल्कि $x, z$ का दादा है।

$\therefore(x, z) \notin R$, इसलिए संक्रामक नहीं है।

अतः, $R$ न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

2.सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में $R=\left\{(a, b): a \leq b^{2}\right\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

उत्तर: $R=\left\{(a, b): a \leq b^{2}\right\}$

यहाँ, $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \notin R$, क्योंकि $\frac{1}{2}>\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$

$\therefore \mathrm{R}$ स्वतुल्य नहीं है।

अब, $(1,4) \in R$ क्योंकि $1<4^{2}$ लेकिन $, 4,1^{2}$ से छोटा नहीं है।

$\therefore(4,1) \notin \mathrm{R}$. इसलिए $\mathrm{R}$ सममित नहीं है।

यहाँ $,(3,2),(2,1.5) \in \mathrm{R} \quad$ [ क्योंकि $3<2^{2}=4$ तथा $2<(1.5)^{2} ;=2.25$ ]

लेकिन, $3>(1.5)^{2}=2.25$

$\therefore(3,1.5) \notin \mathrm{R}$, इसलिए $\mathrm{R}$ संक्रामक नहीं है।

अत: $\mathrm{R}$ न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

3.जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय $\{1,2,3,4,5,6\}$ में $R=\{(a, b): b=a+1\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$ स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।

उत्तर: माना $\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5,6\}$.

प्रशनानुसार, संबंध $R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$ इसलिए $(a, a) \notin \mathrm{R}$, जहाँ $\mathrm{a} \in \mathrm{A}$.

क्योंकि, $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) \notin R$

$\therefore \mathrm{R}$ स्वतुल्य नहीं है।

यहाँ $(1,2) \in R$, लेकिन $(2,1) \notin R$, इसलिए $R$ सममित नहीं है।

अब, $(1,2),(2,3) \in R$ लेकिन, $(1,3) \notin R$, इसलिए $R$ संक्रामक नहीं है। अतः, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

4.सिद्ध कीजिए कि $R$ में $R=\{(a, b): a \leq b\}$, द्वारा परिभाषित संबंध $R$ स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

उत्तर: $\mathrm{R}=\{(a, b): a \leq b\}$

यहाँ $(a, a) \in R \quad$ [ क्योंकि $a=a]$

$\therefore R$ स्वतुल्य है।

अब, $(2,4) \in \mathrm{R}$ ( क्योंकि $2<4)$ लेकिन,$(4,2) \notin \mathrm{R}$ क्योंकि $4>2$.

$\therefore \mathrm{R}$ सममित नहीं है।

अब, माना $(a, b),(b, c) \in R$, तब , $a \leq b$ और $b \leq c$

$\Rightarrow \mathrm{a} \leq \mathrm{c} \Rightarrow(\mathrm{a}, \mathrm{c}) \in \mathrm{R}$, इसलिए $\mathrm{R}$ संक्रामक है।

अतः, $R$ स्वतुल्य तथा संक्रामक है कितु सममित नहीं है।

5. जाँच कीजिए कि क्या $R$ में $R=\left\{(a, b): a \leq b^{3}\right\}$ द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है ?

उत्तर: $R=\left\{(a, b): a \leq b^{3}\right\}$

प्रशनानुसार,$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \notin \mathrm{R}$, क्योंकि $\cdot \frac{1}{2}>\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

$\therefore \mathrm{R}$ स्वतुल्य नहीं है।

अब,$(1,2) \in R$ ( क्योंकि $1<2^{3}=8$ ) लेकिन,$(2,1) \notin R\left(\right.$ as $2^{3}>1$ )

$\therefore \mathrm{R}$ सममित नहीं है।

यहाँ,$\left(3, \frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2}, \frac{6}{5}\right) \in R$ क्योंकि $3 \leq\left(\frac{3}{2}\right)^{3}$ और $\left(\frac{3}{2}\right) \leq\left(\frac{6}{5}\right)^{3}$ लेकिन $\left(3, \frac{6}{5}\right) \notin$

$\mathrm{R}$ क्योंकि ${ }^{3}>\left(\frac{6}{5}\right)^{3}$

$\therefore R$ संक्रामक नहीं है।

अतः, $R$ न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

6. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3\}$ में $\mathrm{R}=\{(1,2),(2,1)\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।

उत्तर: माना $A=\{1,2,3\}$.

संबंध $R=\{(1,2),(2,1)\}$.

यहाँ $(1,1),(2,2),(3,3) \notin \mathrm{R}$.

$\therefore \mathrm{R}$ स्वतुल्य नहीं है।

अब, क्योंकि $(1,2) \in R$ और $(2,1) \in R$, इसलिए सममित है।

तथा, $(1,2)$ और $(2,1) \in R$, लेकिन,$(1,1) \notin R$

$\therefore R$ संक्रामक नहीं है।

अतः, $R$ सममित है लेकिन न स्वतुल्य हैं और न ही संक्रामक है।

7. सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय $A$ में $\mathrm{R}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): \mathrm{x}$ तथा $y$ में पेजों की संख्या समान है $\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है।

उत्तर: $A$ पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों का समुच्चय है।

$R=\{(x, y): x$ तथा $y$ में पेजों की संख्या समान है

यहाँ, $R$ स्वतुल्य है, अर्थात $(x, x) \in R$ क्योंकि $x$ और $x$ में पेजों की

संख्या समान है।

माना $(x, y) \in R \Rightarrow x$ और $y$ में पेजों की संख्या समान है।

$\Rightarrow y$ और $x$ में पेजों की संख्या समान है।

$\Rightarrow(y, x) \in R$, इसलिए $R$ सममित है।

अब, माना $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$.

$\Rightarrow x$ और $y$ में पेजों की संख्या समान है तथा $y$ और $z$ में पेजों की संख्या समान है।

$\Rightarrow x$ और $z$ में पेजों की संख्या समान है।

$\Rightarrow(x, z) \in \mathrm{R}$, इसलिए $R$ संक्रामक है।

अतः, $R$ एक तुल्यता संबंध है

8. सिद्ध कीजिए कि $A=\{1,2,3,4,5\}$ में सम है $\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि $\{1,3,5\}$ के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय $\{2,4\}$ के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं परंतु $\{1,3,5\}$ का कोई भी अवयव $\{2,4\}$ के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।

उत्तर: यहाँ $A=\{1,2,3,4,5\}$ और संबंध $R=\{(a, b):|a-b|$ सम है ।

प्रश्र के अनुसार, सभी $a \in A$ के लिए $|a-a|=0$ ( जो की सम है ).

$\therefore \mathrm{R}$ स्वतुल्य है।

माना $(a, b) \in R \Rightarrow|a-b|$ सम है।

$\Rightarrow|-(a-b)|=|b-a|$ भी सम है। $\Rightarrow(b, a) \in R$, इसलिए $R$ सममित है।

अब, माना $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$.

$\Rightarrow|a-b|$ सम है और $|b-c|$ सम है। $\Rightarrow(a-b)$ सम है और $(b-c)$ सम है।

$\Rightarrow(a-c)=(a-b)+(b-c)$ सम है।

[ क्योंकि दो सम संख्याओं का योग सम होता है। ]

$\Rightarrow|\mathrm{a}-\mathrm{b}|$ सम है $\Rightarrow(\mathrm{a}, \mathrm{c}) \in \mathrm{R}$, इसलिए $R$ संक्रामक है।

अतः, एक तुल्यता संबंध है।

समुच्चय $\{1,2,3\}$ के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि इसके सभी अवयव विषम हैं। विषम संख्याओं का अंतर सदैव सम होता है। इसी प्रकार, समुच्चय $\{2,4)$ के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि इसके सभी अवयव सम हैं। सम संख्याओं का अंतर सदैव सम होता है। समुच्चय $\{1,3,5\}$ का कोई भी अवयव समुच्चय $(2,4)$ के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है, क्योंकि समुच्चय $\{1,3,5\}$ के सभी अवयव विषम है तथा समुच्चय $\{2,4\}$ के सभी अवयव सम है। सम और विषम संख्याओं का अंतर सदैव विषम होता है।

$[$ जैसे $1-2,1-4,3-2,3-4,5-2$ और $5-4$ सभी विषम है। ]

9. सिद्ध किजिए कि समुच्चय $A=\{x \in Z: 0 \leq x \leq 12\}$, में दिए गए निम्नलिखित संबंधों $R$ में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:

            (i) $R=\{(a, b):|a-b|$ का एक गुणज है \}

उत्तर $A=\{x \in Z: 0 \leq x \leq 12\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$

$\mathrm{R}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}):|\mathrm{a}-\mathrm{b}|, 4$ का एक गुणज है ।

अवयव $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$ क्योंकि $|a-a|=0,4$ का एक गुणज है। $\therefore \mathrm{R}$ स्वतुल्य है ।

अब, माना $(a, b) \in R \Rightarrow|a-b|, 4$ का एक गुणज है।

$\Rightarrow|-(a-b)|=|b-a|, 4$ का एक गुणज है। $\Rightarrow(b, a) \in R$ $\therefore \mathrm{R}$ सममित है।

माना $(a, b)$ और $(b, c) \in R$.

$\Rightarrow|a-b|, 4$ का एक गुणज है और $|b-c|, 4$ का एक गुणज है।

$\Rightarrow(a-b), 4$ का एक गुणज है और $(b-c), 4$ का एक गुणज है।

$\Rightarrow(a-c)=(a-b)+(b-c), 4$ का एक गुणज है।

$\Rightarrow|a-c|, 4$ का एक गुणज है। $\Rightarrow(a, c) \in R$

$\therefore R$ संक्रामक है।

अतः, $R$ एक तुल्यता संबंध है।

1 से संबंधित अवयव इस प्रकार हैं: $1,5,9\}$ क्योंकि

$|1-1|=0$ जो कि 4 का एक गुणज है।

$|5-1|=4$ जो कि 4 का एक गुणज है।

$|9-1|=8$ जो कि 4 का एक गुणज है।

(ii) $R=\{(a, b): a=b\}$, प्रत्येक दशा में 1 संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $R=\{(a, b): a=b\}$

किसी अवयव $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$, क्योंकि $a=a$.

$\therefore \mathrm{R}$ स्वतुल्य है।

अब, माना $(a, b) \in R \Rightarrow a=b \Rightarrow b=a \Rightarrow(b, a) \in R$

$\therefore \mathrm{R}$ सममित है।

माना $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \Rightarrow a=b$ और $b=c \Rightarrow a=c$

$\Rightarrow(a, c) \in R$

$\therefore \mathrm{R}$ संक्रामक है।

अतः, $R$ एक तुल्यता संबंध है।

1 से संबंधित समुच्चय $A$ का अवयव $\{11$ है क्योंकि $1=1$.

10. ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

(i) सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।

उत्तर: माना $\mathrm{A}=\{5,6,7\}$.

तथा संबंध $R=\{(5,6),(6,5)\}$.

संबंध $R$ स्वतुल्य नहीं है क्योंकि $(5,5),(6,6),(7,7) \notin R$.

अब, क्योंकि $(5,6) \in \mathrm{R}$ और $(6,5) \in \mathrm{R}$, इसलिए $R$ सममित है।

$\Rightarrow(5,6),(6,5) \in \mathrm{R}$, लेकिन $(5,5) \notin \mathrm{R}$

$\therefore \mathrm{R}$ संक्रामक नहीं है।

अतः, संबंध $R$ सममित है परंतु न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक है।

(ii) संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।

उत्तर: माना संबंध $R$ समुच्चय $R$ में परिभाषित है तथा $R=\{(a, b): a<b\}$ किसी अवयव $a \in R$ के लिए, $(a, a) \notin R$, क्योंकि $a$ स्वयं से छोटा नहीं हो सकता है। $\therefore \mathrm{R}$ स्वतुल्य नहीं है।

अब, $(1,2) \in R$ ( क्योंकि $1<2$ ) लेकिन, संख्या 2 , संख्या 1 से छोटी नहीं है। $\therefore(2,1) \notin R$, इसलिए $R$ सममित नहीं है।

माना $(a, b)$ और $(b, c) \in R$.

$\Rightarrow \mathrm{a}<\mathrm{b}$ और $\mathrm{b}<\mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{a}<\mathrm{c} \Rightarrow(\mathrm{a}, \mathrm{c}) \in \mathrm{R}$

$\therefore \mathrm{R}$ संक्रामक है।

अतः, संबंध $R$ संक्रामक है परंतु न तो स्वतुल्य है और न ही सममित है।

(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।

उत्तर: माना $A=\{4,6,8\}$

माना समुच्चय $A$ पर परिभाषित संबंध $R$ निम्नलिखित प्रकार से है।

$\mathrm{R}=\{(4,4),(6,6),(8,8),(4,6),(6,4),(6,8),(8,6)\}$

संबंध $R$ स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक अवयव $a \in A$ के लिए. $(a, a) \in R$ अर्थात

$(4,4),(6,6),(8,8) \in R$

संबंध $R$ सममित है, क्योंकि $(a, b) \in R \Rightarrow(b, a) \in R$, सभी $a, b \in R$ के लिए।

संबंध $R$ संक्रामक नहीं है, क्योंकि $(4,6),(6,8) \in R$, लेकिन $(4,8) \notin R$.

अतः, संबंध $R$ स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है।

(v) सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।

(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।

उत्तर: माना संबंध $R$ समुच्चय $R$ में परिभाषित है।

$R=\left\{(a, b): a^{3} \geq b^{3}\right\}$

इसलिए $(a, a) \in R$

[ क्योंकि $a^{3}=a^{3}$ ]

$\therefore \mathrm{R}$ स्वतुल्य है।

यहाँ,$(2,1) \in \mathrm{R}$

[ क्योंकि $2^{3} \geq 1^{3}$ ]

लेकिन , $(1,2) \notin \mathrm{R}$

[ क्योंकि $1^{3}<2^{3}$ ]

$R$ सममित नहीं है।

अब, माना $(a, b)$ और $(b, c) \in R$.

$\Rightarrow \mathrm{a}^{3} \geq \mathrm{b}^{3}$ और $\quad \mathrm{b}^{3} \geq c^{3} \quad \Rightarrow \mathrm{a}^{3} \geq c^{3} \quad \Rightarrow \quad(\mathrm{a}, \mathrm{c}) \in \mathrm{R}$

$\therefore R$ संक्रामक है।

अतः, संबंध $R$ स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

(v) सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।

उत्तर: माना $A=\{-5,-6\}$.

माना, संबंध $R$ समुच्चय $A$ पर निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।

$R=\{(-5,-6),(-6,-5),(-5,-5)\}$

संबंध $R$ स्वतुल्य नहीं है क्योंकि $(-6,-6) \notin R$.

संबंध $R$ सममित है क्योंकि $(-5,-6) \in R$ और $(-6,-5) \in R$.

तथा, यदि $(-5,-6)$ और $(-6,-5) \in R$, तब $(-5,-5) \in R$

इसलिए, संबंध $R$ संक्रामक है।

अतः, संबंध $R$ सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतुल्य नहीं है।

11.सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, $R=\{(P, Q)$ :

बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है $\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $P \neq(0,0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय $P$ से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।

उत्तर: $R=\{(P, Q):$ बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है यहाँ, $(P, P) \in R$ क्योंकि बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है।

$\therefore R$ स्वतुल्य है।

माना , $(P, Q) \in R$.

$\Rightarrow$ बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है।

$\Rightarrow$ बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है।

$\Rightarrow(\mathrm{Q}, \mathrm{P}) \in \mathrm{R}$, इसलिए $R$ सममित है।

अब, माना $(P, Q)$ और $(Q, S) \in R$.

$\Rightarrow$ बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है तथा बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $s$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है।

$\Rightarrow$ बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $s$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है।

$\Rightarrow(\mathrm{P}, \mathrm{S}) \in \mathrm{R}$, इसलिए $R$ संक्रामक है।

इसलिए संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है।

बिंदु $P \neq(0,0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं के समुच्चय में वे बिंदु आते हैं जो मूल बिंदु से उतनी ही दुरी पर हैं जितना

बिंदु $P$ मूल बिंदु से दूर है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि यदि $O(0,0)$ मूल बिंदु है और $O P=k$ है, तो $P$ से संबंधित सभी बिंदु मूल बिंदु से $k$ दूरी पर होंगे।

अतः, बिंदु $P \neq(0,0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय $P$ से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है।

12. सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय $A$ में, $R=\left\{\left(T_{1}, T_{2}\right): T_{1}, T_{2}\right.$ के समरूप है $\}$ द्वारा परिभाषित संबंध एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं $3,4,5$ वाले समकोण त्रिभुज $T_{1}$, भुजाओं $5,12,13$ वाले समकोण त्रिभुज $T_{2}$ तथा भुजाओं $6,8,10$ वाले समकोण त्रिभुज $T_{3}$, पर विचार कीजिए। $T_{1}, T_{2}$ और $T_{3}$ में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं ?

उत्तर: $R=\left\{\left(T_{1}, T_{2}\right): T_{1}, T_{2}\right.$ के समरूप है \}

$R$ स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है।

अब, यदि $\left(T_{1}, T_{2}\right) \in R$, तब $T_{1}, T_{2}$ के समरूप है। $\Rightarrow T_{2,} T_{1}$ के समरूप है।

$\Rightarrow\left(T_{2}, T_{1}\right) \in R$ इसलिए $R$ सममित है।

माना $\left(T_{1}, T_{2}\right)$ और $\left(T_{2}, T_{3}\right) \in R \Rightarrow T_{1}, T_{2}$ के समरूप है और $T_{2}, T_{3}$ के समरूप है। $\Rightarrow \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{3}$ के समरूप है।

$\Rightarrow\left(T_{1}, T_{3}\right) \in \mathrm{R}$, इसलिए $R$ संक्रामक है। इस प्रकार , $R$ एक तुल्यता संबंध है। अब हम देखते हैं कि $\left(\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\right)$

क्योंकि त्रिभुजों $T_{1}$ और $T_{3}$ की संगत भुजाएँ समानुपाती हैं, इसलिए त्रिभुज $T_{1}, T_{3}$ के समरूप है।

अतः, त्रिभुज $T_{1}$ त्रिभुज $T_{3}$, से संबंधित है।

13. सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय $A$ में, $R=\left\{\left(P_{1}, P_{2}\right): P_{1}\right.$ तथा $P_{2}$ की भुजाओं की संख्या समान है $\}$ प्रकार से परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। 3,4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय $A$ के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $R=\left\{\left(P_{1}, P_{2}\right): P_{1}\right.$ तथा $P_{2}$ की भुजाओं की संख्या समान है

$R$ स्वतुल्य है, क्योंकि $\left(P_{1}, P_{1}\right) \in R$

माना $\left(P_{1}, P_{2}\right) \in R=P_{1}$ और $P_{2}$ की भुजाओं की संख्या समान है।

$\Rightarrow P_{2}$ और $P_{1}$ की भुजाओं की संख्या समान है। $\Rightarrow\left(P_{2}, P_{1}\right) \in R$

$\therefore R$ सममित है।

अब, माना $\left(P_{1}, P_{2}\right)$ और $\left(P_{2}, P_{3}\right) \in R$.

$\Rightarrow P_{1}$ और $P_{2}$ की भुजाओं की संख्या समान है तथा $P_{2}$ और $P_{3}$ की भुजाओं की संख्या समान है।

$\Rightarrow P_{1}$ और $P_{3}$ की भुजाओं की संख्या समान है। $\Rightarrow\left(P_{1}, P_{3}\right) \in R$

$\therefore R$ संक्रामक है।

अतः, $R$ एक तुल्यता संबंध है।

इसलिए, 3,4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय $A$ में वे सभी बहुभुज होंगे जिनकी भुजाएँ 3 हैं।

अतः, 3,4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय $A$ में वे सभी बहुभुज त्रिभुज होंगे।

14. मान लीजिए कि $X Y$ - तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय $L$ है और $L$ में $R=\left\{\left(L_{1}, L_{2}\right): L_{1}\right.$ समान्तर है $L_{2}$ के $\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$ है। सिद्ध कीजिए कि एक तुल्यता संबंध है। रेखा $y=2 x+4$ से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $R=\left(L_{1}, L_{2}\right): L_{1}$ समांतर $\left.L_{2}\right\}$

$R$ स्वतुल्य है क्योंकि कोई भी रेखा $L_{1}$ स्वयं के समांतर होती है। इसलिए $\left(L_{1}, L_{1}\right) \in R$

माना $\left(L_{1}, L_{2}\right) \in R, \Rightarrow L_{1}$ समातर है $L_{2}$ के $\Rightarrow L_{2}$ समांतर $L_{1}$ के

$\Rightarrow\left(L_{2}, L_{1}\right) \in R$, इसलिए $R$ सममित है।

अब, माना $\left(L_{1}, L_{2}\right)$ और $\left(L_{2}, L_{3}\right)$ समांतर है $L_{2}$ के तथा $L_{2}$ समांतर है $L_{3}$ के।

$\Rightarrow L_{1}$ समांतर है $L_{3}$ के। इसलिए $R$ संक्रामक है।

अतः, $R$ एक तुल्यता संबंध है ।

रेखा $y=2 x+4$ से संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय, रेखा $y=2 x+4$ के समांतर सभी रेखाओं का समुच्चय होगा।

रेखा $y=2 x+4$ की प्रवणता $m=2$

हम जानते हैं कि समांतर रेखाओं की प्रवणता समान होती है। दी गई रेखा के समांतर कोई रेखा $y=2 x+c$ के रूप में होगी, जहाँ $c \in R$.

अतः, दी गई रेखा से संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय $y=2 x+c$ है, जहाँ $\quad c \in R$. है।

15. मान लीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3,4\}$ में,

$\mathrm{R}-\{(1,2),(2,2),(1,1),(4,4),(1,3),(3,3),(3,2)\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$ है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए।

(A) $R$ स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है।

(B) $R$ स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

(C) $R$ सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतुल्य नहीं है।

(D) $R$ एक तुल्यता संबंध है।

उत्तर: $\mathbf{R}=\{(1,2),(2,2),(1,1),(4,4),(1,3),(3,3),(3,2)\}$, यहाँ $(a, a) \in R$, सभी अवयवों $a \in\{1,2,3,4\}$ के लिए।

$\therefore R$ स्वतुल्य है।

यहाँ $(1,2) \in R$ लेकिन $(2,1) \notin R$, इसलिए $R$ सममित नहीं है।

अब, यहाँ $(a, b)$ और $(b, c) \in R \quad \Rightarrow(a, c) \in R$ सभी अवयवों $a, b, c \in\{1,2,3,4\}$,

इसलिए $R$ संक्रामक है।

अतः, $R$ स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

अतः, विकल्प $(\mathbf{B})$ सही है।

16. मान लीजिए कि समुच्चय $N$ द्वारा प्रदत् सबंध $R$ है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए:

(A) $\quad(2,4) \in R$

(B) $\quad(3,8) \in R$

(C) $(6,8) \in R$

(D) $(8,7) \in R$

उत्तर: $R=\{(a, b): a=b-2, b>6\}$

यहाँ, क्योंकि $b>6$, इसलिए $(2,4) \notin R$ तथा $3 \neq 8-2, \quad \therefore(3,8) \notin R$ और $8 \neq 7-2, \quad \therefore(8,7) \notin \mathrm{R}$

अब $(6,8)$ के लिए, $8>6$ और $6=8-2 . \therefore(6,8) \in R$ अतः, विकल्प (C) सही है।

प्रश्नावली-1.2

1. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R_{4} \rightarrow R_{4}$ एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ $R$, सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्पय है । यदि प्रांत $R$, को $N$ से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $R$, ही रहे, तो भी क्या यह परीणाम सत्य होगा ?

उत्तर: $f(x)=\frac{1}{x}$

एकेकी के लिए :

मनना है $x, y \in R$

$f(x)=f(y)$

$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$

अतः $x=y$ होने के कारण $f$ एकेकी फलन है। आच्छादक के लिए:

मनना है,$y \in R_{\text {, }}$

$x=\frac{1}{y} \in R$

$f(x)=\frac{1}{\left(\frac{1}{y}\right)}=y$

अतः $f$ आच्छादक है।

$f(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परीभाषित फलन $f: R \rightarrow R$, एकैकी तथा आच्छादक है। $g(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परीभाषित कोई फलन $g: N \rightarrow R$, है।

$g\left(x_{1}\right)=g\left(x_{2}\right)$

$\frac{1}{x_{1}}=\frac{1}{x_{2}}$

$x_{1}=x_{2}$

अतः $g$ एकेकी फलन है परंतु आच्छादक नहीं है ।

$f(-1)=f(1)$

2. निम्नलिखित फलनों की एकेक (injective) तथा आच्छादी ( surjective) गुणों की जाँच कीजिए :

(i) $f(x)=x^{2}$ द्वारा प्रदत्त $f: N \rightarrow N$ फलन है

उत्तर: $f(x)=x^{2}$ द्वारा प्रदत्त $f: N \rightarrow N$ फलन है

माना है, $x, y \in N$

$f(x)=f(y) n$

$x^{2}=y^{2}$

$x=y \Rightarrow f \quad$ एकेकी है।

जब $2 \in N, f(x)=x^{2}=2 \Rightarrow f$ आच्छादक है। अतः फलन $f$ एकैक है परंतु आच्छादि नहीं है।

(ii) $f(x)=x^{2}$ द्वारा प्रदत्त $f: z \rightarrow Z$ फलन है

उत्तर: $f(x)=x^{2}$ द्वारा प्रदत्त $f: Z \rightarrow Z$ फलन है माना है $-1,1 \in Z$

परंतु $-1 \neq 1$ इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।

माना है $-2 \in Z$,

$f(x)=-2 \Rightarrow x^{2}=-2 \Rightarrow f$ आच्छादक नहीं है।

अतः फलन $f$ न तो एकेकी है और न ही आच्छादक है।

(iii) $f(x)=x^{2}$ द्वारा प्रदत्त $f: R \rightarrow R$ फलन है 

उत्तर: $f(x)=x^{2}$ द्वारा प्रदत्त $f: R \rightarrow R$ फलन है

माना है $-1,1 \in R$

$f(-1)=f(1)$

परंतु $-1 \neq 1$ इसलिए $f$ एकेकी नहीं है।

माना है $-2 \in R$

$f(x)=-2 \Rightarrow x^{2}=-2 \Rightarrow f$ आच्छादक नहीं है।

अतः फलन $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(iv) $f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त $f: N \rightarrow N$ फलन है

उत्तर: $f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त $f: N \rightarrow N$ फलन है

माना है, $x, y \in N$

$f(x)=f(y)$ $x^{3}=y^{3}$ $x=y \Rightarrow f$ एकेकी है।

जब $2 \in N, f(x)=2$

$x^{3}=2 \Rightarrow f$ आच्छादक नहीं है।

अतः फलन $f$ एकेक है परंतु आच्छादि नहीं है ।

(v) $f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त $f: Z \rightarrow z$ फलन है

उत्तर: $f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त $f: Z \rightarrow Z$ फलन है

माना है,

$x, y \in Z$

$f(x)=f(y)$

$x^{3}=y^{3}$

$x=y \Rightarrow f$ एकेकी है।

जब $2 \in Z, f(x)=2$

$x^{3}=2 \Rightarrow f$ आच्छादक नहीं है।

अतः फलन $f$ एकेक है परंतु आच्छादि नहीं है।

3. सिद्ध कीजीए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन $f: R \rightarrow R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x], x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।

उत्तर: दिया है $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन $f: R \rightarrow R$,

$f(1.2)=[1.2]=1$ और $f(1.9)=[1.9]=1$

इसलिए $f(1.2)=f(1.9)$

परंतु $1.2 \neq 1.9$

अतः $f$ एकेकी फलन है।

अब $0.7 \in R$ पर $R$ में $x$ का कोई ऐसा मान नहीं है कि $f(x)=0.7$ इसलिए महत्तम पूर्णांक फलन न एकैकी है और आच्छादक है।

4. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=|x|$ द्वरा प्रदत्त मापांक फलन $f: R \rightarrow R$, न तो एकेकी है और न आच्छादक है, जहाँ $|x|$ बराबर $x$, यदि $x$ धन या शून्य है तथा $|x|$ बराबर $-x$, यदि $x$ ॠण है।

उत्तर: $f(x)=|x|={c}x, { if } x \geq 0$

$-x, { if } x \leq 0$

जब $f(-1)=|-1|=1$ और $f(1)=|1|=1$

$f(1)=f(-1)$ परंतु $1 \neq-1$ इसलिए एकेकी फलन नहीं है।

$f(x)=|x|$ सदा धनात्मक है। जब $-1 \in R$ के लिए तब $f(x)=|x|=-1$ अतः मापांक फलन न तो एकैकी है और आच्छादक नहीं है।

5. सिद्ध कीजिए कि $f: R \rightarrow R$,$f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, \text { if } x>0 \\0, \text { if } x=0 \\-1, \text { if } x<0\end{array}\right.$द्वारा प्रदत्त चिह्न फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है। 

उत्तर:

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, \text { if } x>0 \\0, \text { if } x=0 \\-1, \text { if}x<0\end{array}\right.$माना $1,2 \in R$ के लिए $f(1)=f(2)=1$ परंतु $1 \neq 2$

$\Rightarrow f$ एकेकी फलन है ।

दिया गया है कि , $f(x)=1,0$ या $-1$

इसलिए $-2 \in R$ के लिए $x$ का कोई भी मान ऐसा नहीं है ताकि $f(x)=-2$ हो। अतः चिह्न फलन न तो एकेकी है और न ही आच्छादक है।

6. मान लीजिये कि $\mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{4,5,6,7\}$ तथा $f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\} A$ से $B$ तक फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f$ एकेकी है।

उत्तर: दिया गया है कि, $A=\{1,2,3\}$ और $B=\{4,5,6,7\}$

फलन $f: A \rightarrow B$ इस प्रकार परीभाषित है कि , $f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}$

अतः $f(1)=4, f(2)=5, f(3)=6$ इसलिए फलन $f$ एकैकी है।

7. निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective ) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

उत्तर:

i. माना है कि, $x_{1}, x_{2} \in R$

$f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$

$3-4 x_{1}=3-4 x_{2}$

$-4 x_{1}=-4 x_{2}$

$x_{1}=-x_{2}$

$\Rightarrow f$ एकेकी फलन है ।

$\frac{3-y}{4}$ अस्तिव $R$ में है,

$f\left(\frac{3-y}{4}\right)=3-4\left(\frac{3-y}{4}\right)=y$

$\Rightarrow f$ आच्छादक है।

अतः $f$ एकेकी तथा आच्छादक है।

ii. माना है कि $, x_{1}, x_{2} \in R$

$f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$

$1+x_{1}{ }^{2}=1+x_{2}{ }^{2}$

$x_{1}{ }^{2}=x_{2}{ }^{2}$

$x_{1}=\pm x_{2}$

इस प्रकार $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ है पर यह अवश्यक नहीं है कि, $x\{1\}=x\{2\}$ भी हो सकता है।

$f(1)=f(-1)=2$

$\Rightarrow f$ एकेकी फलन नहीं है।

$f(x)=1+x^{2}$ सदैव धनात्मक होगा,

$f(x)=-2$ क्यूंकि $R$ में अवयव $-2$ के लिए $x$ का कोई वास्तविक

मान नहीं है।

$\Rightarrow f$ आच्छादक नहीं है।

अतः $f$ फलन न तो एकेकी है न ही आच्छादक है।

8. मान लीजिये कि $A$ तथा $B$ दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि , $f: A \times B \rightarrow B \times A$, इस प्रकार कि $f(a, b)=(b, a)$ एक एकैकी आच्छादि (bijective) फलन है।

उत्तर: दिया गया है कि $, f: A \times B \rightarrow B \times A$,

$f(a, b)=f(b, a)$ माना

$\left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right) \in A \times B$ $f\left(a_{1}, b_{1}\right)=f\left(a_{2}, b_{2}\right)$ $\left(b_{1}, a_{1}\right)=\left(b_{2}, a_{2}\right)$ $b_{1}=b_{2}$ $a_{1}=a_{2}$ $\left(a_{1}, b_{1}\right)=\left(a_{2}, b_{2}\right)$

$\Rightarrow f$ एकेकी फलन है।

अब,$(b, a) \in B \times A$ कोई अवयव है।

तब, $f(a, b)=(b, a)$

$\Rightarrow f$ आच्छादक है।

अतः $f$ एकैकी और आच्छादक है।

9. मान लीजिये कि समस्त $n \in N$ के लिए,

$f(n)=\left\{\frac{n+1}{2}\right.$, यदि $n$ विषम है

$f(n)\left\{\frac{n}{2}\right.$, यदि $n$ सम है

उत्तर: दिया गया है कि, $f(n)=\left\{\frac{n+1}{2}\right.$, यदि $n$ विषम है

$f(n)\left\{\frac{n}{2}\right.$, यदि $n$ सम है

$f(1)=\frac{1+1}{2}=1$ और $f(2)=\frac{2}{2}=1$

$f(1)=f(2)$, परंतु $1 \neq 2$

$\Rightarrow f$ एकेकी फलन नहीं है ।

माना $n$, सहप्रांत $N$ में कोई प्राकृत संख्या है। स्थिति $1: n$ विषम संख्या है।

$n=2 r+1, r \in N$

$4 r+1 \in N, f(4 r+1)=\frac{4 r+1+1}{2}=2 r+1$

स्थिति $2: n$ सम संख्या है।

$n=2 r, r \in N$

$4 r \in N, f(4 r)=\frac{4 r}{2}=2 r$

$\Rightarrow f \quad$ आच्छादक है।

10. प्रशमान लीजिए कि $A=R-\{3\}$ तथा $B=R-\{1\}$ हैं। $f(x)=\left(\frac{x-2}{x-3}\right)$ द्वारा परीभाषित फलन $f: A \rightarrow B$ पर विचार कीजिए । क्या $f$ एकैकी तथा आच्छादिक है ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

उत्तर: $A=R-\{3\}, B=R-\{1\}$ और $f(x)=\left(\frac{x-2}{x-3}\right)$ द्वारा परीभाषित फलन

$f: A \rightarrow B$

माना है कि $, x, y \in A$

$f(x)=f(y)$

$\frac{x-2}{x-3}=\frac{y-2}{y-3}$

$(x-2)(y-3)=(y-2)(x-3)$

$x y-3 x-2 y+6=x y-2 x-3 y+6$

$-3 x-2 y=-2 x-3 y$

$x=y$

$\Rightarrow f \quad$ एकेकी फलन है।

माना $y \in B=R-\{1\}$

फलन $f$ आच्छादक होगा यदि $x \in A$ के लिए , $f(x)=y$

इसलिए $f(x)=y$

$\frac{x-2}{x-3}=y$

$x-2=x y-3 y$

$x(1-y)=-3 y+2$

$x=\frac{2-3 y}{1-y} \in A$

$y \in B, \frac{2-3 y}{1-y} \in A$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि,

$f\left(\frac{2-3y}{1-y}\right)=\frac{\left(\frac{2-3y}{1-y}\right)-2}{\left(\frac{2-3 y}{1-y}\right)-3}=\frac{2-3 y-2+2 y}{2-3 y-3+3 y}=\frac{-y}{-1}=y$

$\Rightarrow f$ आच्छादक है ।

अतः फलन $f$ एकेकी और आच्छादक भी है।

11. मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R, f(x)=x^{4}$ द्वारा परीभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए ।

(A) $f$ एकेकी आच्छादक है

(B) $f$ बहुएक आच्छादक है

(C) $f$ एकेकी है किंतु आच्छादक नहीं है

(D) $f$ न तो एकैकी है और न आच्छादक है

उत्तर: $\quad f: R \rightarrow R, f(x)=x^{4}$

माना $x, y \in R$

$f(x)=f(y)$

$x^{4}=y^{4} \Rightarrow x=\pm y$

इसलिए हमें $f(x)=f(y)$ से हमें $x=y$ प्राप्त नहीं होता है ।

इसी कारण से $f$ एकेकी फलन नहीं है ।

माना सहप्रांत $R$ में 2 कोई अवयव है। $R$ में $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है कि

$f(x)=2$

$\Rightarrow f$ आच्छादक नहीं है।

अतः $f$ फलन नहीं ही एकेकी और आच्छादक है।

(D) सही विकल्प है।

12. मान लीजिये कि $f(x)=3 x$ द्वारा परीभाषित फलन $f: R \rightarrow R$ है । सही उत्तर चुनिए:

(A) $f$ एकैकी आच्छादक है

(B) $f$ बहुएक आच्छादक है

(C) $f$ एकेकी है परंतु आच्छादक नहीं है

(D) $f$ न तो एकेकी है और न आच्छादक है

उत्तर: $f: R \rightarrow R$ दिया है,

$f(x)=3 x$

माना $x, y \in R$

$f(x)=f(y)$

$3 x=3 y \Rightarrow x=y$

$\Rightarrow f$ एकेकी फलन है

$\frac{y}{3}$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि,

$f\left(\frac{y}{3}\right)=3\left(\frac{y}{3}\right)=y$

$\Rightarrow f$ आच्छादक है।

अत: $f$ फलन एकेकी और आच्छादक है।

( A) सही विकल्प है

प्रश्नावली-1.3

1. मान लिजीये $f:\{1,3,4\}\{1,2,5\}$ और $g:\{1,2,5\} \rightarrow\{1,3 ; 0, f=\{(1,2),(3,5),(4,1)\}$ और$g=\{(1,3),(2,3),(5,1)\}$ द्वारा दिया जाए। gof खोजें।

उत्तर:$\operatorname{gof}(1)=g[f(1)]=g(2)=3 ; f(1)=2 ; g(2)=3\}$

$g \circ f(3)=g[f(3)]=g(5)=1$  $\{f(3)=5  g(5)=1\}$

$\operatorname{gof}(4)=g[f(4)]=g(1)=3  \{f(4)=1$  $g(1)=3$

2. मान लिजीये $f, g$ और $h R$ से $R$ तक के कार्य हैं। दिखाइए कि

उत्तर: LHS $=[(f+g)oh](x)$ 

$=(f+g)[h(x)]$ 

$=f[h(x)]+g[h(x)]$ 

$=(foh)(x) \cdot(goh)(x)$ 

$=(f o h)(x)+(g o h)(x)$ 

$=\{(foh)(x)+(goh)(x)\}$ $=R H S$

$=\{($fog$) \cdot(\mathrm{g}o\mathrm{~h})\}(\mathrm{x})$ $=\mathrm{RHS} \mathrm{}$

3. gof और $f \circ g$ खोजें अगर दिया जाये

(i) $f(x)=|x| \& g(x)=|5 x-2|$

(ii) $\quad f(x)=8 x^{3} \& g(x)=x^{\frac{1}{3}}$

उत्तर: (i) $f(x)=|x| \& g(x)=|5 x-2|$,

(ii) $f(x)=8 x^{3} \& g(x)=x^{\frac{1}{3}}$

$\therefore$ gof $(x)=g(f(x))=g(|x|)=|5| x-2 \mid b$

$\therefore$gof$(x)=g(f(x))=g\left(8x^{3}\right)=\left(8x^{3}\right)^{\frac{1}{3}}$

$\operatorname{fog}(x)=f(g(x))=f(|5 x-2|)=\|5 x-2\|$

$\operatorname{fog}(x)=f(g(x))=f\left(x^{\frac{1}{3}}\right)=8\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}$

4. अगर $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{(4 x+3)}{(6 x-4)} \mathrm{x} \neq \frac{2}{3}$, दिखाइए कि fo $f(x)=x$, सारे $x \neq \frac{2}{3}$ के लिए। $f$ का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है $f(x)=\frac{(4 x+3)}{(6 x-4)^{\prime}} x \neq \frac{2}{3}$

$\text { fof }(x)=f(f(x))=f\left(\frac{(4 x+3)}{(6 x-4)}\right)=\frac{4\left\{\frac{(4 x+3)}{(6x-4)}\right\}+3}{6\left\{\frac{16x+12+18x-12}{(6x+3)}\right\}-4}=\frac{34 x}{24 x+18-24 x+16}=x$

$\therefore f o f(x)=x$, सारे $x \neq \frac{2}{3}$

$f o f=I_{x}$ इसलिए दिया गया कार्य उल्टा है और $f$ का व्युत्क्रम $f$ है।

5. कारण बताएं कि क्या निम्नलिखित कार्य उल्टे हैं

(i) $f:\{1,2,3,4\} \rightarrow\{10\}$, जहां $f=\{(1,10),(2,10),(3,10),(4,10)\}$

उत्तर:

$f:\{1,2,3,4\} \rightarrow\{10\}$, जहां $f=\{(1,10),(2,10),(3,10),(4,10)\}$

$f$ के दिए गए फंकशन से हम देख सकते हैं कि $f$ एक कई-एक फंकशन है

$f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=10$

$\therefore f$ एक-एक फ़ंकशन नहीं है।

इसलिए फ़ंवशन का व्युत्क्रम नहीं होता है ।

(ii) $g:\{5,6,7,8\} \rightarrow\{1,2,3,4\}$, जहां$g=\{(5,4),(6,3),(7,4),(8,2)\}$

उत्तर:$g:\{5,6,7,8\} \rightarrow\{1,2,3,4\}$, जहां $g=\{(5,4),(6,3),(7,4),(8,2)\}$

$g$ के दिए गए फंकशन से हम देख सकते हैं कि $f$ एक कई-एक फंकशन है।

$g(5)=g(7)=4$

$\therefore g$ एक-एक फ़ंकशन नहीं है।

इसलिए फ़ंकशन का व्युत्क्रम नहीं होता है।

(iii) $h:\{2,3,4,5\} \rightarrow\{7,9,11,13\}$, जहां

$h=\{(2,7),(3,9),(4,11),(5,13)\}$

उत्तर:$h:\{2,3,4,5\} \rightarrow\{7,9,11,13\}$, जहां $h=\{(2,7),(3,9),(4,11),(5,13)\}$

यह देखा गया है कि सेट : $\{2,3,4,5\}$ के सभी अलग-अलग तत्व $h$ के तहत अलग हैं। इसलिए फंकशन वन-वन है

इसके अलावा, $h$ सेट $\{7,9,11,13\}$ के तहत प्रत्येक अलग तत्व $y$ के लिए है, सेट $\{2,3,4,5\}$ के तहत एक तत्व मौजूद है।

इसीलिए $h(x)=y$, चूँकि $h$ एक वन-फंकशन और ऑन फंवशन है, यह उलटा है।

6. दिखाइए कि $f:[-1,1] \rightarrow R$, जहाँ दिया गया है कि $f(x)=\frac{x}{x+2}$ एक-एक के लिए।

उत्तर:$f(x)=f(y) \Rightarrow \frac{x}{x+2}=\frac{y}{y+2}$

$\Rightarrow x y+2 x=x y+2 y$

$\Rightarrow 2 x=2 y$

$\Rightarrow x=y$

इसलिए, $f$ एक-एक फ़ंकशन है।

यह स्पष्ट है कि $f:[-1,1] \rightarrow f$ की रेंज एक फंकशन पर है।

$\therefore f:[-1,1] \rightarrow f$ की श्रेणी एक-एक और एक है, इसलिए $f$ का विलोम मौजूद है

$g$ : रेंज $f \rightarrow:[-1,1] f$ का विलोम है

मान लीजिए कि $y$ श्रेणी $f$ का एक मनमाना तत्व है

$y=f(x) \quad \ldots \ldots x \in[-1,1]$

$y=\frac{x}{x+2} \quad \Rightarrow x y+2 y=x$

$\Rightarrow x(1-y)=2 y$

$\Rightarrow x=\frac{2 y}{1-y} y \neq 1$

$g(y)=\frac{2 y}{1-y} \quad \text { and } \quad f^{-1}=g$

$\therefore f^{-1}=\frac{2 y}{1-v^{\prime}} y \neq 1$

7. $f(x)=4 x+3, f: R \rightarrow R$. दिखाइए कि $f$ उलटा है और व्युत्क्रम ज्ञात करें।

उत्तर: $f(x)=f(y) \quad \Rightarrow 4 x+3=4 y+3 \quad \Rightarrow 4 x=4 y \quad \Rightarrow x=y$ इसलिए एक-एक फ़ंकशन है।

$y=4 x+3 \quad \Rightarrow y-3=4 x \quad \Rightarrow x=\frac{y-3}{4}$

$f(x)=f\left(\frac{y-3}{4}\right)=4\left(\frac{y-3}{4}\right)+3=y$

इसलिए और आऊंतू है।

$g(x)=\frac{y-3}{4}$

$\operatorname{gof}(x)=g(4 x+3)=\frac{(4 x+3)-3}{4}=\frac{4 x}{4}=x$

$f \circ g(x)=f\left(\frac{y-3}{4}\right)=4\left(\frac{y-3}{4}\right)+3=y-3+3=y$

$\therefore g \circ f=f o g=I_{R}$

इसलिए $f$ उलटा है और $f$ का व्युक्क्रम है $f^{-1}(y)=g(y)=\frac{y-3}{4}$

8. $R_{+} \rightarrow[4, \infty)$ जहाँ $f(x)=x^{2}+4$. दिखाना है कि $f$ उलटा है जैसा कि उलटा है $f^{-1}(\mathrm{y})=\sqrt{y-4}$, जहाँ $R_{+}$सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समूह है। 

उत्तर:$f(x)=f(y) \quad \Rightarrow x^{2}+4=y^{2}+4 \quad \Rightarrow x^{2}=y^{2}$

$\Rightarrow x=y \quad \Rightarrow y=x^{2}+4 \quad \Rightarrow y-4=x^{2}$

$\Rightarrow x=\sqrt{y-4} \quad \Rightarrow f(x)=f(\sqrt{y-4})$

$\Rightarrow(\sqrt{y-4})^{2}+4 \quad \Rightarrow y-4+4=y$

इसलिए $f$ एक-एक और आऊंतू है।

$g o f(x)=g\left(x^{2}+4\right)=\sqrt{x^{2}+4-4}=x$

$f \circ g(x)=f(\sqrt{y-4})=(\sqrt{y-4})^{2}+4=y-4+4=y$

$\therefore \quad g o f=f o g=I_{R}$

इसलिए $f$ उलटा है और $f$ का व्युत्क्रम है $f^{-1}(y)=g(y)=\sqrt{y-4}$

9. $R_{+} \rightarrow[5, \infty)$ जहाँ $f(x)=9 x^{2}+6 x+5$. दिखाना है कि $f$ उलटा है जैसा कि उलटा है $f^{-1}(\mathrm{y})=\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ 

उत्तर:$y=9 x^{2}+6 x+5 \quad \Rightarrow y=(3 x+1)^{2}-1-5$

$\Rightarrow y=(3 x+1)^{2}-6 \quad \Rightarrow y+6=(3 x+1)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{y+6}=3 x+1$

$\Rightarrow x=\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$

$g=f^{-1}$

$f(x)=f\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)=\left(3\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)+1\right)^{2}-6$

$=(\sqrt{y+6})^{2}-6$

$=y+6-6=y$

इसलिए $f$ उलटा है और $f$ का व्युत्क्रम है $f^{-1}(y)=g(y)=\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$

10. मान लीजिए कि $f: x \rightarrow y$ एक दृश्यमान घाव है। सिद्ध है कि एफ उलटा इतना अनूठा है।

उत्तर: $f: X \rightarrow Y$

मान लीजिए कि फ़ंक्शन के दो व्युक्रम $g_1$ \& $g_2$ हैं।

$\operatorname{fog} 1(y)=\operatorname{fog} 2(y)$ $\Rightarrow f(g 1(y))=f(g 2(y))$ $\Rightarrow g 1(y)=g 2(y)$ $\Rightarrow g 1=g 2$ $\Rightarrow$ इसलिए $f$ का एक अनूठा विलोम है

11. $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{a, b, c\}$ दिया गया है $f(1)=a, f(2)=b$ और

$f(3)=c \cdot f^{-1}$ ढूंढो और दिखाओ $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$

$\Rightarrow f:\{1,2,3\} \rightarrow\{a, b, c\} \& f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$

उत्तर: $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{a, b, c\}$

$\begin{array}{l}f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c \\g:\{a, b, c\} \rightarrow\{1,2,3\} \\g(a)=1, g(b)=2, g(c)=3\end{array}$

अब,

$\begin{array}{l}\left(g o f^{\prime}\right)(1)=g(f(1))=g(a)=1 \\(\text { gof })(2)=g(f(2))=g(b)=2\\\left(\text { gof }^{\prime}\right)(3)=g(f(3))=g(c)=3\end{array}$

प्रश्नावली – 1.4

1. निर्धारित करें कि क्या प्रत्येक की परिभाषा है या नहीं * नीचे दिया गया एक बाइनरी देता है ऑपरेशन। इस घटना में कि * कोई बाइनरी ऑपरेशन नहीं है, इसके लिए औचित्य दें।

(i) $\quad Z+$ पर, * द्वारा परिभाषित करें ${ }_{\mathrm{a}}^{*} \mathrm{~b}=\mathrm{a}-\mathrm{b}$

(ii) $Z+$ पर, ${ }^{*}$ द्वारा परिभाषित करें $\mathrm{a}^{*} \mathrm{~b}=\mathrm{ab}$

iii) $R+$ पर, * से द्वारा परिभाषित करें ${ }_{\mathrm{a}}^{*} \mathrm{~b}=\mathrm{ab} 2$.

iv) $Z+$ पर, ${ }^{*}$ द्वारा परिभाषित करें $\mathrm{a}^{*} \mathrm{~b}=\mid \mathrm{ab}$

v) $Z+$ पर, $^{*}$ द्वारा परिभाषित करें $\mathrm{a}^{*} \mathbf{b}=\mathrm{a}$ 

उत्तर:

i. $Z+$ पर, $^{*}$ द्वारा परिभाषित करें $a^{*} b=a-b$

यहाँ $(1,2)$ के तहत * के रूप में की छवि के रूप में एक बाइनरी ऑपरेशन नहीं है $1^{*} 2=1-2$

$=-1 \notin Z+.$

ii. $Z+$ पर, $^{*}$ द्वारा परिभाषित करें $a^{*} b=a b$

यह देखा जाता है की प्रत्येक $a, b \in Z+$ के लिए, एक अद्वितीय तत्व है $a b, Z+.$

इसका मतलब है की प्रतेक जोड़ी को एक अद्वितीय तत्व में ले जाता है $a * b=a b, Z+.$

इसिलए, * एक बाइनरी ऑपरेशन है ।

iii. $R+$ पर, * से द्वारा परिभाषित करें $\mathrm{a}^{*} \mathrm{~b}=\mathrm{ab} 2$

iv. $\quad Z+$ पर, $^{*}$ द्वारा परिभाषित करें $a * b=|a b|$

v. $Z+$ पर, $^{*}$ द्वारा परिभाषित करें $\mathbf{a}^{*} \mathbf{b}=\mathbf{a}$

2 . नीचे परिभाषित प्रत्येक ऑपरेशन के लिए, यह निधारित करें कि क्या * द्विआधारी है, कम्यूटेटिव है या साहचर्य।

i. $\quad Z$ पर, परिभाषित करें $a^{*} b=a-b$

ii. $Q$ पर, परिभाषित करें $a^{*} b=a b+1$,

iii. $Q$ पर, परिभाषित करें $a^{*} b=\left(\frac{a b}{2}\right)$

iv. $Z$ पर, परिभाषित करें $a^{*} b=2^{\infty}$,

v. $\quad Z$ +पर, परिभाषित करें $a^{*} b=a^{b}$ (vi)

vi. $R-\{-1\}$ पर, परिभाषित करें $a^{*} b=\left(\frac{a}{(b+1)}\right)$

 उत्तर:

i. $Z$ पर, ${ }^{*}$ द्वारा परिभाषित किया गया है $a^{*} b=a-b$

इसका अवलोकन किआ जा सकता है $1^{*} 2=1-2=1$ तथा $2^{*} 1=2-1=1$. $\therefore 1 * 2 \neq *_{1}$, कहाँ पे $1,2 \in Z$

इसीलिए, ऑपरेशन * सराहनीय नहीं है। हमारे पास भी है

$\begin{array}{l}\left(1^{*} 2\right)^{*} 3=(1-2)^{*} 3=-1^{5} 3=-1-3=-4 \\1^{\prime}\left(2^{s} 3\right)=1^{*}(2-3)=1^{*}-1=1-(-1)=2\end{array}$

$\therefore\left(1^{\circ} 2\right)^{3} 3 \neq 1^{s}\left(2^{b} 3\right)$ कहाँ पे $1,2,3 \in Z$

इसिलए, ऑपरेशन*सहयोगी नहीं है।

ii. $Q$ पर, ${ }^{*}$ द्वारा परिभाषित किया गया है $a^{*} b=a b+1$ यह जाना जाता है की

$\begin{array}{l}a b=b a m n, E ; a, b \in Q \\\Rightarrow a b+1=b a+1 m n, E ; a, b \in Q \\\Rightarrow a^{s} b=a^{8} b m n, E ; a, b \in Q\end{array}$

इसीलिए, ऑपरेशन * सराहनीय है। यह देखा जा सकता है की

$\begin{array}{l}(1 * 2)^{8} 3=(1 \times 2+1) * 3=3 * 3=3 \times 3+1=10 \\1^{1}(2 * 3)=1 *(2 \times 3+1)=1 * 7=1 \times 7+1=8\end{array}$

$\therefore\left(1^{\circ} 2\right)^{*} 3 \neq 1^{3}(2 * 3)$ कहाँ पे $1,2,3 \in Q$

इसिलए, ऑपरेशन*सहयोगी नहीं है।

iii. $Q$ पर, $*$ द्वारा परिभाषित किया गया है $a^{*} b=\left(\frac{a b}{2}\right)$

$Q$ पर, ${ }^{*}$ द्वारा परिभाषित किया गया है $a^{\mathrm{b}} b=\left(\frac{a b}{2}\right)$ यह जाना जाता है कि:

$a b=b a \& m n$ और $E ; a, b \in Q$

$\Rightarrow\left(\frac{a b}{2}\right)=\left(\frac{b a}{2}\right) \& m n$ के लिए $E ; a, b \in Q$

$a^{*} b=b^{*} a \& m n$ के लिए $E ; a, b \in Q$

इसीलिए, ऑपरेशन * सराहनीय है।

सभी के लिए, $a, b, c \in$ क्यू, हमारे पास है:

$\begin{array}{l}\left(a^{\mathrm{s}} b\right)^{3} c=\left(\frac{a b}{2}\right)^{d} c=\frac{\left(\frac{a b}{2}\right) c}{(2)}=\left(\frac{a b c}{4}\right) \\a^{\mathrm{b}}\left(b^{5} c\right)=a^{3}\left(\frac{b c}{2}\right)=\frac{\left(\frac{b c}{2}\right)}{2}=\left(\frac{a b c}{4}\right) \\\therefore\left(a^{\mathrm{a}}b\right)^{4}C=a^{\mathrm{a}}\left(b^{\mathrm{d}} c\right)\end{array}$

इसिलए ऑपरेशन सहचर्य है।

iv. $Z$ पर, ${ }^{*}$ द्वारा परिभाषित किया गया है $a^{*} b=2^{\circ}$,

यह जानता है की:

$a b=b a \& m n$ के लिए $E ; a, b \in Z+$

$\Rightarrow 2 a b=2 b a \& m n$ के लिए $E ; a, b \in Z+$

$\Rightarrow a^{*} b=b^{*} \& m n$ के लिए $E ; a, b \in Z+$

इसलिए, ऑपरेशन * सराहनीय है.

यह देखा जा सकता है कि:

$\begin{array}{l}(1 * 2)^{*} 3=2^{(1-2)} * 3=4^{*} 3=2^{4 \times 3}=2^{12} \\1 *(2 * 3)=1^{*} 2^{2 n}=1 * 2^{6}=1^{*} 64=2^{64}\end{array}$

$\therefore\left(1^{*} 2\right)^{*} 3 \neq 1^{*}\left(2^{*} 3\right)$; कहाँ पे $1,2,3 \in Z+$

इसिलए, ऑपरेशन*सहयोगी नहीं है।

यह देखा जा सकता है कि:

$1^{*} 2=1^{2}=1,2^{*} 1=2$

$\therefore 1 * 2 \neq 2 * 1 ;$ कहाँ पे $1,2,3 \in Z+$

v. $\quad Z+$ पर, $*$ द्वारा परिभाषित किया गया है $a^{*} b=a^{b}$ यह देखा जा सकता है कि:

$\begin{array}{l}(2 * 3)^{*} 4=2^{3} * 4=8^{*} 4=8^{4}=\left(2^{3}\right)^{4}=2^{12} \\2 *\left(3^{*} 4\right)=2^{*} 3^{4}=2 * 81=2^{81}\end{array}$

$\therefore(2 * 3) * 4 \neq 2 *\left(3^{*} 4\right)$; कहाँ पे $2,3,4 \in Z+$

इसिलए, ऑपरेशन*सहयोगी नहीं है।

vi. $R-\{-1\}$ पर, $*$ द्वारा परिभाषित किया गया है $a^{*} b=\left(\frac{a}{(b+1)}\right)$

इसका अवलोकन किया जा सकता है $1^{*} 2=\left(\frac{1}{2}+1\right)=$

$\left(\frac{1}{3}\right)$ तथा $2^{*} 1=\left(\frac{2}{1}+1\right)=\left(\frac{2}{2}\right)=1$

$\therefore 1 * 2 \neq 2 * 1$; कहाँ पे $1,2 \in R-\{-1\}$

इसलिए, ऑपरेशन * सराहनीय नहीं है.।

यह भी देखा जा सकता है की

$\begin{array}{l}\left(1^{2}\right)^{a}3=\left(\frac{1}{3}\right)^{d} 3=\frac{\left(\frac{1}{3}\right)}{(3+1)}=\left(\frac{1}{12}\right) \\1^{2}\left(2^{d}3\right)=1^{a}\left(\left(\frac{2}{3}\right)+1\right)=1^{8}\left(\frac{2}{4}\right)=1^{s}\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{\frac{1}{2}}+1\right)=\left(\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)=\frac{2}{3}\end{array}$

$\therefore\left(1^{*} 2\right)^{*} 3 \neq 1^{*}(2 * 3) ;$ कहाँ पे $1,2,3 \in R-\{-1\}$

इसिलए, ऑपरेशन*सहयोगी नहीं है।

प्रश्न $3 .$ सेट पर बाइनरी ऑपरेशन $\wedge$ पर विचार करें $\{1,2,3,4,5\}$ द्वारा परिभाषितन्यूनतम $\{\mathrm{a}, \mathrm{b}\}$. ऑपरेशन की कारवाई तालिका लिखें $\wedge$

उत्तर: सेट पर बाइनरी ऑपरेशन $1\{1,2,3,4,5\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है $a \vee b=$

न्यूनतम $\{a, b\}$

$\& m n$ के लिए $E ; a, b \in\{1,2,3,4,5\}$.

इस प्रकार, दिए गए ऑपरेशन के लिए ऑपरशन तालिका $y$ के रूप में दी जा सकती है:

4 . सेट पर एक बाइनरी ऑपरेशन * पर विचार करें $\{1,2,3,4,5\}$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया पहाड़ा.

i) गणना करना $\left(2^{*} 3\right)^{*} 4$ तथा $2^{*}\left(3^{*} 4\right)$

ii) * सराहनीय हिया?

iii) गणना करना $\left(2^{*} 3\right)^{*}\left(4^{*} 5\right)$

(संकेतः निम्न तालिका का उपयोग करें)

*	1	2	3	4	5
1	1	1	1	1	1
2	1	2	1	2	1
3	1	1	2	1	1
4	1	2	1	4	1
5	1	2	1	4	1

उत्तर: $\mathrm{i}$

$\begin{array}{l}(2 * 3)^{*} 4=1^{3} 4=1 \\2 *\left(3^{*} 4\right)=2^{*} 1=1\end{array}$

ii. हर $a, b \in\{1,2,3,4,5\}$ के लिए, हमारे पास है $a^{\circ} b=b^{\circ} a$. इसलिए, ऑपरेशन * सराहनीय है।

iii. $(2 * 3)=1$ तथा $\left(4^{*} 5\right)=1$.

$\therefore\left(2^{d} 3\right)^{\delta}\left(4^{8} 5\right)=1^{s} 1=1$

प्रश्न 5. बता दें "' सेट बायनरी ऑपरेशन $\{1,2,3,4,5\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है $a^{*} b=H . C . F$. की $a$ और $b$ क्या ऑपरेशन वही * ' है जो ऑपरेशन ऊपर परिभाषित किया गया है? आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

उत्तर: सेट पर बाइनरी ऑपरेशन "binary $\{1,2,34,5\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है $a^{*} b=H . C . F$ की $a$ और $b$.

ऑपरेशन ${ }^{* 1}$ के लिए ऑपरेशन तालिका इस प्रकार दी जा सकती है:

*	1	2	3	4	5
1	1	1	1	1	1
2	1	2	1	2	1
3	1	1	2	1	1
4	1	2	1	4	1
5	1	2	1	4	1

हम मानत है कि आपरशन * और *' के लिए आपरशन टबल समान है। इस प्रकार, ऑपरेशन *' ऑपरेशन * के समान है।

6. चलो * द्वारा दिए गए $\mathrm{N}$ पर बाइनरी ऑपरेशन हो $\mathrm{a}^{*} \mathrm{~b}=L . C . M \cdot a$ का और $\mathrm{b}$. खोज

i. $\quad 5 * 7,20 * 16$

ii. $*$ सराहनीय है?

iii. * सहचर्य है।

iv. $\mathrm{N}$ में * की पहचान का पता लगाएं

v. ऑपरेशन के लिए के $\mathrm{N}$ कौन से तत्व उलटे हैं *?

उत्तर: एन पर बाइनरी ऑपरेशन $*$ को ${ }^{\mathrm{s}} \mathrm{b}=\mathrm{L} . \mathrm{C} . \mathrm{M}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। ए और बी की।

i. $\begin{array}{l}5^{\mathrm{d}} 7=\text { L.C.M } .5,7=35 \\20^{\mathrm{d}} 16=L . C . M 20,16=80\end{array}$

ii. यह जान जाता है की: L.C.M $a, b=$ L.C.M $b, a \& m n$ के लिए $E ; a, b \in N$.$\therefore a^{*} b=b^{*} a$

इस प्रकार ऑपरेशन * सराहनीय है.

iii. $a, b, c \in N$ के लिए, हमारे पास:

$\left(a^{3} b\right)^{3} c=(\text { L. } C \cdot M a, b)^{3} c=\operatorname{LCM} a, b, c$ $a^{3}\left(b^{3} c\right)=a^{3}(\mathrm{LCM} b, c)=$ L.C.M $a, b, c \therefore\left(a^{3} b\right)^{s} c=a^{3}\left(b^{3} C\right)$ इस प्रकार ऑपरेशन सहचर्य है।

iv. यह जाना जाता है कि:

L.C.M a और $b$ के $=1=L . C . M b$ और $a$ की यह मामला तभी संभव है जब $a$ और $b$, के बराबर हों।

इस प्रकार, 1 ऑपरेशन के संबंध में $\mathrm{N}$ का एकमात्र उलटा तत्व है *

7. सेट पर * परिभाषित है $\{1,2,3,4,5\}$ द्वारा $a^{*} b=$ L.C.M. of a और $b$ एक बाइनरी है ऑपरेशन? आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

उत्तर: ऑपरेशन $*$ सेट $A=\{1,2,3,4,5\}$ पर के रूप में परिभाषित किया गया है $a^{3} b=$ L.C.M.a और $b$ की।

फिर, दिए गए ऑपरेशन के लिए ऑपरेशन टेबल $*$ के रूप में दिया जा सकता है:

*	1	2	3	4	5
1	1	1	1	1	1
2	1	2	1	2	1
3	1	1	3	1	1
4	1	2	1	4	1
5	1	1	1	1	5

इसे प्राप्त तालिका से देखा जा सकता है कि:

$\begin{array}{l}3 * 2=2 * 3=6 \notin \mathrm{A}, 5^{\mathrm{b}} 2=2 * 5=10 \notin \mathrm{A}, 3^{b} 4=4 * 3=12 \notin \mathrm{A} \\3^{*} 5=5^{\circ} 3=15 \notin \mathrm{A}, 4^{*} 5=5 * 4=20 \notin \mathrm{A}\end{array}$

इसलिए, दिए गए ऑपरेशन * एक बाइनरी ऑपरेशन नहीं है।

प्रश्न 8. बता दें कि @ एन द्वारा परिभाषित बाइनरी ऑपरेशन है $\mathrm{a}^{*} \mathrm{~b}=\mathrm{H} . \mathrm{CF}$. की $_{a}$ और $\mathrm{b} \mathrm{l}$* सराहनीय है? * साहचर्य है? क्या इस बाइनरी के लिए पहचान मौजूद है $\mathrm{N}$ पर ऑपरेशन?

उत्तर: बाइनरी ऑपरेशन ${ }^{*} \mathrm{~N}$ पर परिभाषित किया गया है: $a^{3} b=H . C . F \cdot a$ और $b$ के यह जाना जाता है कि:

H.C.F. $a, b=$ H.C.F. of $b$ तथा $a \& m n$ के लिए $E ; a, b \in N$.

$\therefore a^{3} b=b^{\mathrm{b}} a^{\circ}$ इस प्रकार ऑपरेशन * सराहनीय है।

हमारे पास है।

$\left(a^{\mathrm{s}} b\right)^{\mathrm{a}} c=\left(\right.$ H.C.F. of $a$ तथा $b$ ) $^{\hat{3}} c=H . C . F \cdot a, b, c$

$a^{3}\left(b^{b} c\right)=a^{\prime}(H \cdot C \cdot F$ of $b$ तथा $C)=$ H.C.F. $a, b, C$

$\therefore\left(a^{\mathrm{a}}b\right)^{\mathrm{d}}c=a^{*}\left(b^{\mathrm{s}} C\right)$

इस प्रकार, आपरशन * साहचय है।

अब, एक तत्व $e \in \mathrm{N}$ ऑपरेशन के लिए पहचान होगी ${ }^{*} i f a^{\mathrm{b}} e=a=\mathrm{e}^{\mathrm{b}} a \forall a \in \mathrm{N}$

लेकिन यह रिश्ता किसी के लिए भी सही नहीं है $a \in \mathrm{N}$. इस प्रकार, ऑपरेशन ${ }^{\mathrm{s}} \mathrm{N}$ में कोई पहचान नहीं है।

प्रश्र 9. इस प्रकार से परिमेय संख्याओं के $Q$ पर सेट पर * एक बाइनरी ऑपरेशन हो:

i. $\quad a^{*} b=a-b$

ii. $\quad a^{*} b=a_2+b_2$

iii. $\quad a^{*} b=a+a b$

iv. $\quad a^{*} b=(a-b)$,

v. $a^{*} b=\left(\frac{a b}{4}\right)$

vi. $a^{*} b=a b 2$ खोजे कि कोन से बाइनरी आपरेशन कम्यूटोटेव हैं ओर कोन से सहयोगी हैं।

 उत्तर:

i. $Q$ पर, ऑपरेशन * के रूप में परिभाषित किया गया है $a^{\mathrm{s}} b=a-b$. यह देखा जा सकता है कि:

$\frac{1}{2} * \frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6} \text {तथा}\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2-3}{6}=\frac{-1}{6}$

$\therefore \frac{1}{2} * \frac{1}{3} \neq \frac{1}{3} * \frac{1}{2}$ कहाँ पे $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in \mathbf{Q}$

इस प्रकार, आपरेशन * सराहनीय नहीं है। यह भी देखा जा सकता है कि:

$\begin{array}{l}\left(\frac{1}{2} * \frac{1}{3}\right) * \frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) * \frac{1}{4}=\frac{1}{6} * \frac{1}{4}=\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=\frac{2-3}{12}=\frac{-1}{12} \\ \frac{1}{2} *\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2} *\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2} * \frac{1}{12}=\frac{1}{2}-\frac{1}{12}=\frac{6-1}{12}=\frac{5}{12} \\ \therefore\left(\frac{1}{2} * \frac{1}{3}\right) * \frac{1}{4} \neq \frac{1}{2} *\left(\frac{1}{3} * \frac{1}{4}\right) ; \text { where } \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \in \mathbf{Q}\end{array}$

इस प्रकर, आपरशन * सहयागा नही है.

ii. $Q$ पर, ऑपरेशन * के रूप में परिभाषित किया गया है $\$ a^{3} b=a^{2}+b^{2}$. $a, b \in \mathrm{Q}$, हमारे पास है:

$\begin{array}{l}a^{\circ} b=a^{2}+b^{2}=b^{2}+a^{2}=b^{*} a \\\therefore a^{\circ} b=b^{\prime} a\end{array}$

इस प्रकार, आपरेशन * सराहनीय है।

इसका अवलोकन किया जा सकता है:

$\left(1^{*} 2\right)^{3} 3=(12+22)^{8} 3=(1+4)^{8} 3=5^{3} 3=52+32=25+9=34$

$\left(1^{*} 2\right)^{3} 3=(12+22)^{\circ} 3=(1+4)^{\circ} 3=5^{*} 3=52+32=25+9=34$

$1^{\prime}\left(2^{3} 3\right)=1^{*}(22+32)=1^{*}(4+9)=1^{\prime} 13=12+132=1+169=1701^{\prime}(2 * 3)=$

$1^{*}(22+32)=1^{*}(4+9)=1^{4} 13=12+132=1+169=170$

$\therefore\left(1^{*} 2\right)^{*} 3 \neq 1^{*}(2 * 3)$, कहाँ पे $1,2,3 \in Q$

इस प्रकार, ऑपरेशन $^{*}$ सहयोगी नहीं है।

iii. $Q$ पर, ऑपरेशन * के रूप में परिभाषित किया गया है $a^{*} b=a+a b$. यह देखा जा सकता है कि:

$\begin{array}{l}1^{*} 2=1+1 \times 2=1+2=3 \\2^{\prime} 1=2+2 \times 1=2+2=4\end{array}$

$\Rightarrow 1^{\circ} 2$ के बराबर नहीं है $2^{s} 1$.

इस प्रकार, ऑपरेशन * सराहनीय नहीं है। यह भी देखा जा सकता है कि:

$\begin{array}{l}\left(1^{*} 2\right)^{*} 3=(1+1 \times 2)^{*} 3=3 * 3=3+3 \times 3=3+9=12 \\1^{\prime *}(2 * 3)=1^{*}(2+2 \times 3)=1^{*} 8=1+1 \times 8=9\end{array}$

इस प्रकार, ऑपरेशन * सहयोगी नहीं है।

iv. $Q$ पर, ऑपरेशन * द्वारा परिभाषित किया गया है $a^{\mathrm{s}} b=(a-b)^{2} \cdot a, b \in \mathrm{Q}$, हमारे पास है:

$a^{2} b=(a-b)^{2}$ $b^{\prime} a=(b-a)^{2}=[-(a-b)]^{2}=(a-b)^{2}$ $\therefore a^{\prime} b=b^{\prime} a$ इस प्रकार, ऑपरेशन * सराहनीय है।

यह देखा जा सकता है कि:

$(1 * 2) * 3=(1-2)^{2}=3=(-1)^{2} * 3=1 * 3=(1-3)^{2}=(-2)^{2}=4$ $I^{\prime \prime}(2 * 3)=1 *(2-3)^{2}=1^{*}(-1)^{2}=1^{*} \mid=(1-1)^{2}=0$ $\therefore(1 * 2)^{*} 3 \neq 1^{*}(2 * 3) ;$ wherel $, 2,3 \in \mathbf{Q}$ इस प्रकार, ऑपरेशन * सहयोगी नहीं है।

v. $\mathrm{Q}$ पर, आपरशन $*$ के रूप में परिभाषित किया गया है $a+b=\frac{a b}{4}$ $a_{i} b \in Q$. हमारे पास है:

$\begin{array}{l}a^{*} b=\frac{a b}{4}=\frac{b a}{4}=b^{*} a \\

\therefore a^{3} b=b^{3} a\end{array}$

इस प्रकार, ऑपरेशन * सराहनीय है।

$\begin{array}{l}\left(a^{*} b\right)^{*} c=\frac{a b}{4} \cdot c=\frac{\frac{a b}{4} \cdot c}{4}=\frac{a b c}{16} \\a^{*}\left(b^{*} c\right)=a \cdot \frac{b c}{4}=\frac{a \cdot \frac{b c}{4}}{4}=\frac{a b c}{16} \\\therefore\left(a^{\prime} b\right)^{*} c=a^{b}\left(b^{*} c\right)\end{array}$

इस प्रकार, ऑपरेशन * साहचर्य है।

vi. $Q$ पर, ऑपरेशन $*$ के रूप में परिभाषित किया गया है $a^{\prime} b=a b^{2}$ यह देखा जा सकता है कि:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}*\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{18} \\\frac{1}{3} * \frac{1}{2}=\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12} \\\therefore \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \neq \frac{1}{3} * \frac{1}{2} ; \text { where } \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in \mathbf{Q}\end{array}$

इस प्रकार, ऑपरेशन * सराहनीय नहीं है। यह भी देखा जा सकता है कि:

$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\left(\frac{1}{3}\right)\right)^{*}\left(\frac{1}{4}\right)=\left(\left(\frac{1}{2}\right) \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right)^{3}\left(\frac{1}{4}\right)=$

$\left(\frac{1}{18}\right)^{6}\left(\frac{1}{4}\right)=\left(\frac{1}{18}\right) \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\left(\frac{1}{18 \times 16}\right)$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{*}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{4}\right)\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{*}\left(\left(\frac{1}{3}\right) \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\left(\frac{1}{48}\right)=$

$\left(\frac{1}{2}\right) \cdot\left(\frac{1}{48}\right)^{2}=\left(\frac{1}{\left(2 \times(48)^{2}\right)}\right)$

$\Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right) *\left(\frac{1}{3}\right) *\left(\frac{1}{4}\right)$ के बराबर नहीं है $\left(\frac{1}{2}\right) *\left(\frac{1}{3}\right) \cdot\left(\frac{1}{4}\right)$ कहाँ पे

$\left(\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{3}\right),\left(\frac{1}{4}\right), Q$ है

इस प्रकार, ऑपरेशन * सहयोगी नहीं है।

इसलिए, (ii), (iv), (v) में परिभाषित संचालन कम्यूटेटिव हैं और (v) में परिभाषित ऑपरेशन सहयोगी है।

प्रश्र 10. जानें कि ऊपर दिए गए ऑपरेशनों में से किसकी पहचान है।

उत्तर: एक तत्व $e \in Q$ ऑपरेशन के लिए पहचान तत्व होगा * यदि $a^{3} e=a=e^{s} a, \forall a \in Q$. हम दे रहें हैं

$a^{\mathrm{s}} b=a b 4 a b 4$

$\Rightarrow a^{6} e=a \Rightarrow a e 4=a \Rightarrow e=4$ इसी तरह, इसके लिए जाँच की जा सकती $e^{*} a=a$ हमें मिला $e=4$. इस प्रकारe $=4$. पहचान है।

प्रश्र 11. $\mathrm{A}=\mathrm{N} \times \mathrm{N}$ और * द्वारा परिभाषित $\mathrm{A}$ पर बाइनरी ऑपरेशन होने दें$(\mathrm{a},\mathrm{b})^{*}(\mathrm{c},\mathrm{d})=(\mathrm{a}+\mathrm{c}, \mathrm{b}+\mathrm{d})$दिखाएँ कि @ सराहनीय और साहचर्य है. * पर के लिए पहचान तत्व का पता लगाएं A, यदि कोई हो।

उत्तर: $A=N \times N$.

${ }^{\circ} \mathrm{A}$ पर एक बाइनरी ऑपरेशन है और इसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:

$(a, b)^{*}(c, d)=\left(a+c_{r} b+d\right)$

चलो $(a, b),(c, d) \in \mathrm{A}$

फिर $(a, b),(c, d) \in \mathrm{A}$

हमारे पास है,

$\begin{array}{l}(a, b)^{8}(c, d)=(a+c, b+d) \\(c, d) a{a}(a, b)=(c+a, d+b)=\left(a+c_{1} b+d\right) \\ \therefore(a, b)^{b}(c, d)=(c, d) "(a, b)\end{array}$

इसिलए, ऑपरेशन * सहचर्य है ।

एक तत्व $e=\left(e_{1}, e_{2}\right) \in \mathrm{A}$ ऑपरेशन के लिए एक पहचान तत्व होगा*यदि

$a^{\prime} e=a=e^{\circ} a \forall a=\left(a_{1}, a_{2}\right) \in \mathrm{A}$, i.e., $\left(a_{1}+e_{1}, a_{2}+e_{2}\right)=\left(a_{1}, a_{2}\right)=\left(e_{1}+a_{1}, e_{2}+a_{2}\right)$, जो $A$ में किसी भी तत्व के लिए सही नहीं है।

इसलिए, ऑपरेशन * के पास कोई पहचान तत्व नहीं है।

प्रश्र 12. बताएं कि निम्नलिखित कथन सही हैं या गलत। दोनों ओर मिलान ।

i. एक सेट $N$ पर एक मनमाना बाइनरी ऑपरेशन * के लिए, $a^{*} a=a \forall a \in N$

ii. यदि ${ }^{*} \mathrm{~N}$ पर एक कम्यूटेटिव बाइनरी ऑपरेशन है, तो $a^{*}\left(\mathrm{~b}^{*} \mathrm{c}\right)=\left(c^{*} b\right)^{*} a$ 

उत्तर:

i. $\quad a^{*} b=a+b a, b \in N$

फिर, विशेष रूप से, $b=a=3$ के लिए, हमारे पास:

$3^{*} 3=3+3=6 \neq 3$

इसलिए, कथन (i) गलत है.

$\begin{array}{l}\text { R.H.S. }=\left(c^{*} b\right)^{*} a \\=\left(b^{*} c\right)^{*} a \\=a^{\circ}\left(b^{\circ} c\right) \\=\text { L.H.S. }\end{array}$

ii. $\quad \therefore a^{*}\left(b^{\circ} c\right)=\left(c^{\circ} b\right)^{*} a$

इसालिए, कथन (ii) सत्य है.

प्रश्न 13. के रूप में परिभाषित एन पर एक बाइनरी ऑपरेशन * पर विचार करें $a^{*} b=a^{3}+b^{3}$. चुनना सही उत्तर।

a) दोनों साहचर्य और कम्यूटेटिव है?

b) * कम्यूटेटिव है लेकिन सहेयोगी नहीं है?

c) " साहचर्य है लेकिन कम्यूटेटिव नहीं है?

d) क्या * न तो कम्यूटेटिव हैं और न ही सहयोगी?

उत्तर: $N$ पर, ऑपरेशन $*$ के रूप में परिभाषित किया गया है $a^{*} b=a^{3}+b^{3}$

$a, b, \in \mathrm{N}$, हमारे पास है :

इसलिए, ऑपरेशन * सराहनीय है।

इसका अवलोकन किया जा सकता है:

$\begin{array}{l}(1 * 2)^{*} 3=\left(1^{3}+2^{3}\right)^{3} 3=9 * 3=9^{3}+3^{3}=729+27=756 \\ 1^{*}\left(2^{*} 3\right)=1^{*}\left(2^{3}+3^{3}\right)=1 \cdot(8+27)=1 \times 35=1^{3}+35^{3}=1+(35)^{3}=1+42875=42876\end{array}$

$\therefore(1 * 2) * 3 \neq 1^{*}(2 * 3)$ कहाँ पे $1,2,3 \in N$

इसलिए, ऑपरेशन * सहयोगी नहीं है.

इसलिए, ऑपरेशन * सराहनीय है, लेकिन साहचर्य नहीं है। इस प्रकार, सही उत्तर $B$ है।

प्रश्नावली – A1

1. मान लीजिए कि $\mathrm{f}(\mathrm{x})=10 \mathrm{x}+7$ द्वारा परिभाषित फलन है। एक ऐसा फलन $\mathrm{g}: \mathrm{R}->\mathrm{R}$ ज्जात कीजिए जिसके

लिए fog $=$ gof $=4$ हो।

उत्तर: दिया गया फलन $f(x)=10 x+7$ द्वारा परिभाषित है मान लीजिये

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{y})$

$10 \mathrm{x}+7=10 \mathrm{y}+7$

$\mathrm{x}=\mathrm{y}$

मतलब $\mathrm{f}$ एकाकी फलन है

अब मानिये की एक $y \in R$ है जहाँ जो कि इस प्रकार है

$f(x)=y$

$10 x+7=y$

$x=\dfrac{y-7}{10}$

द्वारा परिभाषित है

$\operatorname{gof}(x)=g(f(x)=g(10 x+7)=x$

$\operatorname{fog}(x)=f(g(x))=f\left(\dfrac{y-7}{10}\right)=10\left(\dfrac{y-7}{10}\right)+7=y$

अतः

gof $=\mathrm{I}_{\mathrm{R}}$ fog $=\mathrm{I}_{\mathrm{R}}$

अतः $\mathrm{f}$ अभीष्ट फलन है

2. मान लीजिए कि f: $\mathrm{W}>\mathrm{W}, \mathrm{f}(\mathrm{n})=\mathrm{n}+1$ यदि ${ }_{n}$ विषम है तथा $\mathrm{f}(\mathrm{n})=\mathrm{n}+1$ यदि $n$ सम है, द्वारा परिभाषित है। सिद्ध

कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।यहाँ $\mathrm{w}$, समस्त पूर्णांकों का समुच्चय है।

उत्तर: $f(n)=\{n-1$, यदि $n$ दिषम है $n+1$, यदि $n$ सम है $\}$ द्वारा परिभाषित है

मान लीजिये $\mathrm{f}(\mathrm{m})=\mathrm{f}(\mathrm{n})$

जब $\mathrm{n}$ विषम और $\mathrm{m}$ सम हो तो

$n-1=m+1$

$n-m=2$

जो की सम्बह्व नहीं है नहीं है

इसी तरह यदि ${ }_{n}$ सम तथा $m$ विषम हो तो ऐसा ही पाइनाम प्राप्त होगा। 0 अब यदि दोनों विषम हपो तो

$m+1=n+1$

$m=n$

और यदि दोनों विषम हो तो

$n-1=m-1$

$n=m$

अतः $\mathrm{f}$ एकाकी है

अतः स्पष्ट है की सहप्रांत $\mathrm{w}$ में स्तिथ हर विषम संख्या $2 \mathrm{r}+1$ प्रांत $\mathrm{w}$ में स्तिथ सैम संख्या $2 \mathrm{r}$ का प्रतिबिम्ब है

औ सहप्रांत $\mathrm{w}$ में स्तिथ हर सम संख्या $2 \mathrm{r}$ प्रांत $\mathrm{w}$ में सतीथ विषम संख्या $2 \mathrm{r}+1$ का प्रतिबिम्ब है।

मतलब आच्छादक फलन है।

मान लीजिये $\mathrm{g}: \mathrm{W}-\mathrm{W}$

$\mathrm{g}(\mathrm{m})=\{m-1$, यदि $n$ दिषम है $m+1$, यदि $n$ सम है $\}$

द्वारा परिभाषित है

जब $n$ सम हो तो

$\operatorname{gof}(n)=g(f(n))=g(n+1)=n+1-1=n$

जब $n$ विषम हो तो

$f \circ g(n)=f(g(n))=g(n-1)=n-1+1=n$

अतः प्रतिलोमिया फलन है।

तथा $f$ का प्रतिलोम $f$ स्वयं है।

3. यदि $f: R \rightarrow R$ जहाँ द्वारा परिभाषित है तो $f(f(x)$ ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया फलन

$f(x)=x^{2}-3 x+2$ द्वारा परिभाषित है अतः

$f(f(x))=f\left(x^{2}-3 x+2\right)$

$=\left(x^{2}-3 x+2\right)^{2}-3\left(x^{2}-3 x+2\right)+2$

$=x^{4}+9 x^{2}-6 x^{3}-12 x+4 x^{2}-3 x^{2}+9 x-6+2$

$=x^{4}-6 x^{3}+10 x^{2}-3 x$

4. कीजिए कि $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow\{x \in \mathrm{R}:-1<\mathrm{x}<1\}$ जहाँ; $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\dfrac{x}{1+|x|}, \mathrm{x} \in R$ द्वारा परिभाषित फलन एकेकी तथा आच्छादक है।

उत्तर: हल दिया गया फलन $f: R \rightarrow\{X \in R,-1<x<1\}$ $f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$ द्वारा परिभाषित है। मान लीजिये

$f(x)=f(y) \quad x, y \in R$

$\Rightarrow>\dfrac{x}{1+|x|}=\dfrac{y}{1+|y|}$

अब, यदि $x$ - धनात्मक तथा $y$ ऋणात्मक हो, तो

$\dfrac{x}{1+x}=\dfrac{y}{1+y}$

$\Rightarrow x+x y=y+x y$

$\Rightarrow x=y$

चूँकि $x$ धनात्मक तथा $y$ ऋणात्मक है

$x>y=>x=y>0$

लेकिन $2 x y$ ऋणात्मक है

$2 x y \neq x-y$

अतः $x$ - धनात्मक तथा $y$ - ऋणात्मक को छोड़ा जा सकता है। इसी प्रकार, $x$ ॠणात्मक तथा $y$ धनात्मक को भी छोड़ा जा सकता है।

अब, जब $x$ तथा $y$ दोनों धनात्मक हों, तो

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{y})$

$\dfrac{x}{1+|x|}=\frac{y}{1+|y|}$

$\dfrac{x}{1+x}=\frac{y}{1+y}$

$x=y$

$x$ तथा $y$ दोनों ऋणात्मक हों, तो

$f(x)=f(y)$

$\dfrac{x}{1+|x|}=\dfrac{y}{1+|y|}$

$\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{y}{1-y}$

$x=y$

अतः $f(x)$ एकैकी फलन है।

अब, मान लीजिए $y \in R$ इस प्रकार है कि

$-1<y<1$

यदि $y$ ऋणात्मक हो, तो $R$ में एक अवयव $x=\dfrac{y}{1+y}$ इस प्रकार विद्यमान होगा कि

$f(x)=f\left(\dfrac{y}{1+y}\right)=\dfrac{\dfrac{y}{1+y}}{1+\frac{|y|}{|1+y|}}=\dfrac{\dfrac{y}{1+y}}{1+\dfrac{-y}{1+y}}=y$

यदि, $y$ धनात्मक हो, तो $R$ में एक अवयव $^{x=\dfrac{y}{1-y}}$ इस प्रकार विद्यमान होगा कि

$f(x)=f\left(\dfrac{y}{1-y}\right)=\dfrac{\dfrac{y}{1-y}}{1+\dfrac{|y|}{|1-y|}}=\dfrac{\frac{y}{1-y}}{1+\dfrac{y}{1-y}}=y$ फलन $f$ आच्छादक फलन है।

5. सिद्ध (कीजिए कि $f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: R->R$ है। 

उत्तर: दिया गया फलन

$f(x)=x^{3}$ द्वारा परिभाषित है

मान लीजिये

$f(x)=f(y)$

$x^{3}=y^{3}$

मतलब $x=y$ जोकि हमेशा सत्य नहीं है

और अगर $x \neq y$

$x^{3} \neq y^{3}$

$f(x) \neq f(y)$

अतः एकाकी फलन है

6. णदो फलनों $f: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{Z}$ तथा $\mathrm{g}: \mathrm{Z} \rightarrow \mathrm{Z}$ के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि, gof एवैफक है परंतु $g$ एवैफक नहीं है।

उत्तर: मान लीजिये $f:->N$

$f(x)=x$ द्वारा परिभाषित है

तथा $g: Z->Z$ )

$g(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित है

झूँकि $g(-1)=|-1|=1$ $g(1)=1$ $g(-1)=g(1), 1 \neq-1$

अतः एकाकि फलन नहीं है

अब मान लिजिए gof $: \mathrm{N}->\mathrm{N}$

$\operatorname{gof}(x)=g(f(x))=g(x)=|x|$

द्वारा परिभाषित फलन है

मान लीजिये $x, y \in N$ इस प्रकार है की

$\operatorname{gof}(x)=\operatorname{gof}(y) \Rightarrow|x|=|y|$

चूँकि $x, y$ दोनों धनात्मक हैं

$|x|=|y|$

$x=y$

अतः एकाकी फलन नहीं है।

7. $7.2$ फलनों $f: \mathrm{N}->\mathrm{N}$ तथा $\mathrm{g}: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}$ छके उदाहरण दीजिए, जो इस प्रकार हों कि, gof आिच्छादक है कतु $f$ आच्छादन नहीं है।

उत्तर: मान लीजिये $f: N->N$,

$f(x)=x+1$ द्वारा परिभाषित फलन है।

तथा $g: N->N$,

$g(x)=\{x-1$, यदि $x>11$, यदि $x=1\}$

द्वारा परिभाषित फलन है ।

अब सहप्रांत का 1 लिजिए और मान लीजिये की

$f(x)=1 \Rightarrow x+1=1$

$x=0$

जो की प्राकृतिक संख्या नहीं है। मतलब $f$ आच्छादक फलन नहीं है।

अब मान लीजिये

gof $: N->N$

$\operatorname{gof}(x)=g(f(x))=g(x+1)=x+1-1=x$

अतः स्पष्ट है की प्रत्येक $y \in n$ के लिए $x=y \in N$ इस प्रकार है की $\operatorname{gof}(x)=y$ मतलब $g o f$ आच्छादक फलन है।

8. एक अरिक्त समुच्चय $x$ दिया हुआ है। $P(X)$ जो कि ${x}$ के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए।

निम्नलिखित तरह से $P(X)$ में एक संबंध् $R$ परिभाषित कीजिए । $P(X)$ में उपसमुच्चयों $A, B$ के लिए, $a R b$ यदि और

केवल यदि $A \subset B$ है। क्या $R, P(X)$ में एक तुल्यता संबंध् है। अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।

उत्तर: हल दिया है, समुच्चय $P(X)$, जोकि $x$ के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है तथा $P(X)$ में एक

संबंध $R$ इस प्रकार परिभाषित है कि $P(X)$ में उपसमुच्वयों $A, B$ के लिए, $A R B$ यदि और केवल यदि $A \subseteq B$ है।

चूँकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। अतः प्रत्येक $A \in P(X)$ के लिए $A R B$ प्राप्त होता है। अतः $R$ स्वतुल्य संबंध है। अब, मान लीजिए $A=\{1,2\}$ तथा $B=\{1,2,3\}$ है, तब $B, A$ से संबंधित नहीं होगा। अत: $R$ सममित समुच्चय नहीं है।

पुन: मान लीजिए $A R B$ तथा $B R C$ है।

तब, $A \subseteq B, B \subseteq C$

$\Rightarrow A \subseteq C$

अत: $A R C$ प्राप्त होता है। अतः $R$ संक्रमक संबंध है। इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है क्योंकि $R$ सममित संबंध नहीं है।

9. किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय $X$ के लिए एक द्विआथरी संक्रिया *, $\mathrm{P}(\mathrm{X}) \times \mathrm{P}(\mathrm{X}) \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{X})$ पर विचार कीजिए, जो द्वारा परिभाषित है, जहाँ $P(X)$ समुच्वय $X$ का घात समुच्चय है। सिद्ध कीजिए कि इस संक्रिया का तसमक अवयव $X$ है तथा संक्रिया * के लिए $P(X)$ में केवल $X$ व्युत्क्रमणीय अवयव है। 

उत्तर: समुच्चय $P(X)$ पर द्विआघारी संक्रिया,

$A^{*} B=A \cap B, \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है। चूँकि हम जानते हैं की

$A^{b} X=A \cap B=A=X \cap A=X^{b} A$

$A^{b} X=X^{b} A, \text { FOR ALL } A \in P(X)$

अत: $P(X) P(X)$ में द्विआधारी संक्रिया, $A^{3} B=A \cap B$ के लिए $X$ तस्समक अवयव है। अब अवयव $A \in P(X)$ प्रतिलोमी होगा, यदि $P(X)$ में एक अवयव $B \in \mathrm{P}(\mathrm{X})$ इस प्रकार विद्यमान हो कि

$A^{*} B=B^{*} A$

अर्थात $A \cap B=B \cap A$

जो कि तभी संभव है जबकि $A=B=X$ हो। अत: $P(X)$ में संक्रिया $A^{\delta} B=A \cap B$ के सापेक्ष केतल एक अतयत प्रतिलोमीय है।

10. णसमुच्चय $\{1,2,3,4, \ldots \ldots N\}$ से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समुच्चय $\{1,2,3 \ldots \ldots \ldots, \mathrm{n}\}$ से सवयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या के कुल क्रमचयों की संख्या

$1,2,3,4,5, \ldots \mathrm{n}$ के बराबर होगी। 

अर्थात ${ }_{n}{ }^{n} P=\mathrm{n} !$

11. मान लीजिए कि $S=\{a, b, c\}$ तथा $T=\{1,2,3\}$ है। $s$ से $T$ तक के निम्नलिखित फलनों $\mathrm{F}$ के लिए $F^{-1}$ ज्ञात

कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है:

i. $\quad F=\{(a, 3),(b, 2),(c, 1)\}$

ii. $\quad F=\{(a, 2),(b, 1),(c, 1)\}$

उत्तर: हल दिए गए समुच्चय $S=\{a, b, c\}$ तथा $T=\{1,2,3\}$ है।

i. $\quad F: S->T$

$F=\{(a, 3),(b, 2),(c, 2)\} \quad$ द्वारा परिभाषित फलन है।

$\Rightarrow F(a)=3, F(b)=2, F(c)=1$

अतः

$F^{-1}: T \rightarrow S$

$F^{-1}=\{(a, 3),(2, b),(1, c)$ होगा|

ii. $\quad F: S->T$

$F=\{(a, 2),(b, 1),(c, 1)\}$ द्वारा परिभाषित फलन है।

$F(a)=2, F(b)=1, F(c)=1$

चूँकि $F(b)=F(c)=1$

$F$ एकैकी फलन नहीं है। अतः $F$ प्रतिलोमीय फलन नहीं है।

अत: $F^{-1}$ विद्यमान नहीं है।

12. $a^{*} b=|a-b| a, b \in$ Raob $=a \forall a, b \in R$ द्वारा परुभाषित द्विअधिकारी सक्रियाओं *, $R \times R \rightarrow R$ तथा $O: R \times R \rightarrow R$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए की * क्रम्विनिमेय है परन्तु साहचर्य नहीं है, $O$ साहचर्य है परन्तु क्रम्विनिमेय नहीं है। पुनः सिद्ध कीजिए की सभी $a, b, c \in R$ के लिए $a^{*}(b o c)=\left(a^{*} b\right) o\left(a^{*} c\right)$ है। यदि ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि संक्रिया * संक्रिया ० पर वितरित होती है।, क्या ० संक्रिया * पर वितरित होती है| अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

उत्तर: द्विआधारी संक्रियाएँ $^{*} R \times R:->R$

तथा $0: R \times R->R$ क्रमश: $a^{3} b=|a-b| \quad a, b \in R$

तथा $\mathrm{aob}=\mathrm{a} \quad \forall \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}$ द्वारा परिभाषित है।

चूँकि प्रत्येक $a, b \in R$ के लिए,

$a^{8} b=|a-b|=|b-a|=b^{b} a^{8} b=b^{s} a a, b \in R$

द्विआधारी संक्रिया $a^{b} \mathrm{~b}=\mathrm{a}-\mathrm{b} \mid$ एक द्विआधारी क्रमविनिमय संक्रिया है।

तथा

$(1 \mathrm{a} 2)^{\mathrm{s}} 3 \neq 1^{3}\left(2^{\mathrm{d}} 3\right)$

द्विआधारी संक्रिया $a^{b} b=a-b \mid$, द्विआधारी साहचर्य नहीं है। अब, $102=1$ तथा $201=2$

अतः $102 \neq 201$, जहाँ $1,2 \in R$

अत: द्विआधारी संक्रिया $\mathrm{aob}=\mathrm{a}$, द्विआधारी क्रमविनिमय नहीं है। पुनः मान लीजिए $a, b, c \in R$, तब

$(a o b) o c=a o c=a$

तब

$a o(b o c)=a o b=a$

$(\text { aob }) O c=a o(b o c) \quad \forall a, b, c \in R$

अत: द्विआधारी संक्रिया $a o b=a$, एक द्विआधारी साहचर्य संक्रिया है। अब, मान लीजिए $a, b, c \in R$, तब

$a^{*}(b o c)=\left(a^{*} b\right)=|a-b|$

तथा $a^{*}(b o c)=\left(a^{*} b\right) o\left(a^{*} c\right)$

अत: द्विआधारी संक्रिया *, द्विआधारी संक्रिया ० पर वितरित हो जाती है।

पुनः $l o(2 * 3)=1 o(|2-3|)=101=1$ तथा

$(102)^{*}(103)=1^{*}|=| 1-1 \mid=0$ $10\left(2^{4} 3\right) \neq(102) *(103)$ अतः: द्विआधारी संक्रिया ०, द्विआधारी संक्रिया * पर वितरित नहीं होती है।

13. किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय $\mathrm{x}$ के लिए मान लीजिए कि 

$^{*}: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ जहाँ।

$A^{\prime} B=(A-B)^{\circ}(B-A), \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय $\phi$, संक्रिया * का तत्समक है तथा $P(X)$ के समस्त अवयव । व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि $A^{-1}=A$.

उत्तर: समुच्वय $P(X)$ पर संक्रिया *, 

$A^{3} B=(A-B)^{\circ}(B-A), \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है। मान लीजिये

$A \in P(X)$

तब,

$A^{*} \Phi=(A-\Phi) \cup(\Phi-A)=A=A$

तथा

$\Phi^{*} A=(A-A) \cup(A-\Phi)==A$

$A^{*} \Phi=\Phi^{*} A A \in P(X)$

अत: द्विआधारी संक्रिया $A^{3} B=(A-B)(B-A)$ के लिए $\Phi$ एक तस्समक अवयव है। अब

एक अवयव $A \in P(X)$ प्रतिलोमीय होगा यदि और केवल यदि $P(X)$ में एक अवयव $B \in P(X)$

इस

प्रकार हो कि $A^{\prime} B=B^{\bar{b}} A=\Phi$ क्योंकि $\Phi$ तत्समक अवयव है। अब,

$A^{\mathfrak{j}} A=(A-A) \cup(A-A)=\Phi \cup \Phi=\Phi$

$A^{\delta} A=\Phi, \quad \forall A \in P(X)$

अत: $P(X)$ के सभी अवयव $A$ प्रतिलोमीय है तथा $A^{-1}=A$ है।

14. ण्निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ में एक द्विआथरी संक्रिया $*$ परिभाषित कीजिए$a^{*} b=\{a+b$, यदि $a+b<6 a+b-6$, यदि $a+b \geq 6$

सि कीजिए कि शून्य (0) इस संक्रिया का तस्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयवं $b, a \neq 0$ व्युत्क्रमणीय है, इस

प्रकार कि "6-a", "a" का प्रतिलोम है।

उत्तर: मान लीजिए $X=\{0,1,2,34,5\}$ तथा $x$ पर द्विआधारी संक्रिया, 

$a^{*} b=\{a+b$, यदि $a+b<6 a+b-6$, यदि $a+b \geq 6$

एक अवयव $x \in X$ तस्समक होगा।

यदि $a^{3} e=e^{b} a=a a \in X$

अब, हम जानते हैं कि

$a^{*} 0=a+0=a$

तथा $0^{*} a=0+a=a$ अत: द्विआधारी संक्रिया * के लिए ' 0 ' तत्समक अवयव है। एक अवयव $a \in X$ प्रतिलोमी होगा, यदि $X$ में एक अवयव $b \in X$ इस प्रकार विद्यमान हो कि

$a^{*} b=b^{*} a=0$

अर्थात $\{a+b=b+a=0$ यदि $a+b<6 a+b-6=b+a-6$ यदि $a+b \geq 6\}$

अर्थात ${a=-b \text { or } b=6-a}$

क्यूंकि $a, b \in X$, तो $a=-b$ नहीं हो सकता

तब, $b=6-a$

अतः $b=6-a, a$ का प्रतिलोम है।

15. मान लीजिए कि $\mathrm{A}=\{-1,0,1,2\}, \mathrm{B}=\{-4,-2,0,2\}$ और $f, \mathrm{~g}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ क्रमशः तथा द्वारा परिभाषित पफलन हैं। क्या $f, g$ समान हैं ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए। 

उत्तर: दिया है $A=\{-1,0,1,2\}$

तथा $B=\{-1,0,1,2\}$

अब, $f, g: A->B f(x)=x^{2}-x, x \in A$

तथा $g(x)=2\left|x-\dfrac{1}{2}\right|-1, x \in A$

द्वारा परिभाषित फलन है।

चूँकि $f(-1)=(-1)(-1)-(-1)=1+1=2$

तथा $g(-1)=2|-1-12|-1=2 *(3 / 2)-1=3-1=2$

$\Rightarrow f(-1)=g(-1)$

पुनः

$f(0)=(0)-0=0$

$g(0)=2(1 / 2)-1=0$

$\Rightarrow f(0)=g(0)$

पुनः

$f(1)=(1) 2-1=0$

$g(1)=2\left|1-\dfrac{1}{2}\right|-1=2 *\left(\dfrac{1}{2}\right)-1=0$

$\Rightarrow g(1)=f(1)$

पुनः

$f(2)=(2) 2-2=02$

$g(2)=2\left|2-\dfrac{1}{2}\right|-1=2 *\left(\dfrac{3}{2}\right)-1=2$

$\Rightarrow g(2)=f(2)$

$\Rightarrow f(a)=g(a) a \in A$

अतः $f$ तथा $g$ समान हैं।

16. यदि $\mathrm{A}=\{1,2,3\}$ हो तो ऐसे संबंध् जिनमें अवयव $(1,2)$ तथा $(1,3)$ हों और जो स्वतुल्यतथा सममित हैं कतु संक्रामक नहीं है, की संख्या है;

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

उत्तर: (A) चूँकि संबंध $R$ स्वतुल्य है।

पुनः चूँकि संबंध $R$ सममित है। अतः $(1,2),(2,1) \in R$ तथा $(1,3),(3,1) \in \mathrm{R}$

लेकिन संबंध $R$ संक्रमक नहीं है। अतः $(3,1),(1,2) \in R$ लेकिन $(3,2) \in R$

अब यदि हम $(3,2)$ तथा $(2,3)$ में से कोई भी अवयव $R$ में लेते हैं। तो $R$ संक्रमक हो जाता है। अतः अभीष्ट संबंधों की संख्या एक है।

17. यदि $A=\{1,2,3\}$ हो तो अवयव $(1,2)$ वाले तुल्यता संबंधें की संख्या है।

A. 1

B. 2

c. 3

D. 4

उत्तर: (B) दिया गया है कि $\mathrm{A}=\{1,2,3\}$

एक तुल्यता संबंध, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक होता है।

(1, 2) को समाहित करने वाला सबसे छोटा संबंध

$R_{1}=\{(1,1),(2,2),(33),(1,2),(2,1)\}$

है जिसमें केवल चार अवयव $(2,3),(3,2),(3,3)$ तथा $(3,1)$ नहीं हैं।

अब, यदि $(2,3) \in R 1$ हो, तो सममित संबंध के लिए $(3,2) \in R 1$ भी होगा। पुनः संक्रमक संबंध के

लिए $(1,3)$ तथा $(3,1)$ भी $\mathrm{R} 1$ में होंगे।

अतः $\mathrm{R} 1$ से बड़ा संबंध केवल सार्वत्रिक संबंध होगा।

अतः $(1,2)$ को समाहित करने वाले तुल्यता संबंधों की संख्या केवल दो है।

18. मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$, है तब निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित चिह्न फलन $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x>0 0, & x=0 -1, & x<0\end{array}\right.$ तथा $\mathbf{g}: \mathbf{R}->\mathbf{R} \operatorname{g}(\mathbf{x})=[\mathbf{x}]$, द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन है, जहाँ $[x], x$ से कम याग के बराबर पूर्णांक है, तो क्या fog तथा gof अंतराल $(0,1)$ में संपाती हैं ?

उत्तर: $f: R \rightarrow R$

$f(x)=$

$1,  x>0$

$0,  x=0$

$-1,  x<0$

$g: R->R, \quad g(x)=[x]$ द्वारा परिभाषित है

अब, मान लीजिए $x \in\{0,1\}$ तो

$[x]=\{1$ यदि $x=10$ यदि $x<1$

$f \operatorname{fog}(x)=f(g(x))=f([x])==\{1$, यदि $x=10$, यदि $0<x<1$

तथा $g \circ f(x)=g(f(x))=g(1)=1$

जब $x \in(0,1)$

$fog(x)=f(g(x))=f(0)=0$

तथा $\operatorname{gof}(x)=g(f(x))=g(-1)=1$

लेकिन $fog(1) \neq \operatorname{gof}(1)$

अतः gof तथा $fog(0,1]$ में संपाती नहीं हैं।

19. मुच्चय $\{a, b\}$ में द्विआधरी संक्रियाओं की संख्या है;।

A. 10

B. 16

C. 20

D. 8

उत्तर: (B) समुच्वय $(a, b)$ में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या $=2^{4}=16$ होगी।