NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 - In Hindi

प्रश्नावली 3.1

प्रश्र 1: आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&5&{19}&{ - 7} \\   {35}&{ - 2}&{\frac{5}{2}}&{12} \\   {\sqrt 3 }&1&{ - 5}&{17}  \end{array}} \right]}$ के लिए ज्ञात कीजिए:

1. आव्यूह की कोटि

उत्तर: आव्यूह की कोटि = पंक्तियों की संख्या = स्तंभों की संख्या 

$ = 3 \times 4$ 

2. अवयवों की संख्या 

उत्तर:  अवयवोंकी संख्या$ = 3 \times 4 = 12$

3. अवयव \[\mathbf{{{\text{a}}_{{\text{13}}}}{\text{, }}{{\text{a}}_{{\text{21}}}}{\text{, }}{{\text{a}}_{{\text{33}}}}{\text{, }}{{\text{a}}_{{\text{24}}}}{\text{, }}{{\text{a}}_{{\text{23}}}}}\] 

उत्तर: अवयव ${a_{13}} = 19,\quad {a_{21}} = 35,{a_{33}} =  - 5,{a_{24}} = 12,{a_{23}} = \frac{5}{2}$ 

प्रश्न 2: यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं ? यदि 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी ?

उत्तर: आव्यूह में कुल अवयव$ = 24$ 

आव्यूह की संभव कोटियाँ $ = 1 \times 24,2 \times 12,3 \times 8,4 \times 6,6 \times 4,8 \times 3,12 \times 2,24 \times 1$ 

यदि इसमें $13$ अवयव हों तो कोटियाँ $:1 \times 13,13 \times 1$ हो सकती हैं|

प्रश्न 3: यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं ? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा ?

उत्तर: आव्यूह में कुल अवयव$ = 18$

आव्यूह की संभव कोटियाँ$ = 1 \times 18,2 \times 9,3 \times 6,6 \times 3,9 \times 2,18 \times 1$ यदि इसमें $13$ अवयव हों तो कोटियाँ \[:1 \times 5,5 \times 1\] हो सकती हैं|

प्रश्न 4:एक \[2 \times 2\]  आव्यूह $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]$ की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं

1. $\mathbf{{a_{ij}} = \frac{{{{(i + j)}^2}}}{2}}$ 

उत्तर:

 ${a_{ij}} = \frac{{{{(i + j)}^2}}}{2} $  

${a_{11}} = \frac{{{{(1 + 1)}^2}}}{2} = 2 $  

${a_{12}} = \frac{{{{(1 + 2)}^2}}}{2} = \frac{9}{2} $  

${a_{21}} = \frac{{{{(2 + 1)}^2}}}{2} = \frac{9}{2} $  

${a_{22}} = \frac{{{{(2 + 2)}^2}}}{2} = 8 $

आव्यूह $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&{\frac{9}{2}} \\   {\frac{9}{2}}&8  \end{array}} \right]$ 

2. $\mathbf{{a_{ij}} = \frac{i}{j}}$ 

उत्तर:

 ${a_{ij}} = \frac{i}{j} $  

${a_{11}} = \frac{1}{1} = 1 $  

${a_{12}} = \frac{1}{2} = 2 $  

${a_{21}} = \frac{2}{1} = 2 $  

${a_{22}} = \frac{2}{2} = 2 $ 

3. $\mathbf{{a_{ij}} = \frac{{{{(i + 2j)}^2}}}{2}}$ 

उत्तर:

 ${a_{ij}} = \frac{{{{(i + 2j)}^2}}}{2} $  

${a_{11}} = \frac{{{{(1 + 2)}^2}}}{2} = \frac{9}{2} $  

${a_{12}} = \frac{{{{(1 + 4)}^2}}}{2} = \frac{{25}}{2} $  

${a_{21}} = \frac{{{{(2 + 2)}^2}}}{2} = 8 $  

${a_{22}} = \frac{{{{(2 + 4)}^2}}}{2} = 18 $

आव्यूह $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{9}{2}}&{\frac{{25}}{2}} \\   8&{18}  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 5: एक $3 \times 4$ आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं :

1. $\mathbf{{a_{ij}} = \frac{1}{2}| - 3i + j|}$ 

उत्तर:

 ${a_{ij}} = \frac{1}{2}| - 3i + j| $  

${a_{11}} = \frac{1}{2}| - 3 + 1| = 1 $  

${a_{12}} = \frac{1}{2}| - 3 + 2| = \frac{1}{2} $  

${a_{13}} = \frac{1}{2}| - 3 + 3| = 0 $  

${a_{14}} = \frac{1}{2}| - 3 + 4| = \frac{1}{2} $ 

${a_{21}} = \frac{1}{2}| - 6 + 1| = \frac{5}{2} $  

${a_{22}} = \frac{1}{2}| - 6 + 2| = 2 $

${a_{23}} = \frac{1}{2}| - 6 + 3| = \frac{3}{2} $

${a_{24}} = \frac{1}{2}| - 6 + 4| = 1 $

${a_{31}} = \frac{1}{2}| - 9 + 1| = 4 $

${a_{32}} = \frac{1}{2}| - 9 + 2| = \frac{7}{2}$

${a_{33}} = \frac{1}{2}| - 9 + 3| = 3 $  

${a_{33}} = \frac{1}{2}| - 9 + 4| = \frac{5}{2}$

आव्यूह $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{\frac{1}{2}}&0&{\frac{1}{2}} \\   {\frac{5}{2}}&2&{\frac{3}{2}}&1 \\   4&{\frac{7}{2}}&3&{\frac{5}{2}}  \end{array}} \right]$ 

2. \[\mathbf{{{\text{a}}_{{\text{i j}}}}{\text{ = 2 i - j}}}\] 

उत्तर:

 ${a_{ij}} = 2i - j $  

${a_{11}} = 2 - 1 = 1 $  

${a_{12}} = 2 - 2 = 0 $  

${a_{13}} = 2 - 3 =  - 1 $  

${a_{14}} = 2 - 4 =  - 2 $  

${a_{21}} = 4 - 1 = 3 $  

${a_{22}} = 4 - 2 = 2 $  

${a_{23}} = 4 - 3 = 1 $  

${a_{24}} = 4 - 4 = 0 $

${a_{31}} = 6 - 1 = 5 $  

${a_{32}} = 6 - 2 = 4 $  

${a_{33}} = 6 - 3 = 3 $  

${a_{34}} = 6 - 4 = 2 $

आव्यूह $= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&{-1}&{ -2} \\   3&2&1&0 \\   5&4&3&2  \end{array}} \right]$

प्रश्न 6: निम्नलिखित समीकरण से \[x,y{\text{ }}\] तथा $z$ के मान ज्ञात कीजिए : 

1. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&3 \\   x&5   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&z \\   1&5   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&3 \\   x&5  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&z \\   1&5   \end{array}} \right]$ 

अगर दो आव्यूह समान है तो उनके संगत अवयव भी समान होता है, 

\[y = 4,z = 3,x = 1\] 

2. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y}&2 \\   {5 + z}&{xy}   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  6&2 \\   5&8   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y}&2 \\   {5 + z}&{xy}   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  6&2 \\   5&8   \end{array}} \right]$

अगर दो आव्यूह समान हैं तो उनके संगत अवयव भी समान होता है, 

\[x + y = 6,5 + z = 5,xy = 8\] 

अतः \[x = 2,y = 4,z = 0\] या \[x = 4,y = 2,z = 0\] 

3. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + z} \\   {x + z} \\   {y + z}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  9 \\   5 \\    7  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + z} \\   {x + z} \\   {y + z}   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  9 \\   5 \\   7   \end{array}} \right]$ 

अगर दो आव्यूह समान हैं तो उनके संगत अवयव भी समान होता है, 

\[x + y + z = 9,x + z = 5,y + z = 7\] 

अतः \[x = 2,y = 4,z = 3\] 

प्रश्न 7: समीकरण $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {a - b}&{2a + c} \\   {2a - b}&{3c + d}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5 \\   0&{13}   \end{array}} \right]}$ से a,b,c तथा d के मान ज्ञात कीजिए|

उत्तर: दिया है कि $,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a - b}&{2a + c} \\   {2a - b}&{3c + d}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5 \\   0&{13}  \end{array}} \right]$ 

$a - b =  - 1 \ldots  \ldots {\text{ (i) }} $  

$2a + c = 5 \ldots  \ldots {\text{ (ii) }} $  

$2a - b = 0 \ldots  \ldots {\text{ (iii) }} $  

$3c + d = 13 \ldots  \ldots {\text{ (iv) }} $

समीकरण (i) और (iii) को हल करने पर, 

$a = 1,b = 2$ 

समीकरण (ii) से $c = 3$ और (iv) से $d = 4$ 

प्रश्न 8: $\mathbf{{\text{A}} = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}}$ एक वर्ग आव्यूह है यदि 

1. $m < n$ 

2. $m > n$ 

3. $m = n$ 

4. इनमें से कोई नहीं

उत्तर: सही विकल्प (C) है क्यूंकि, एक वर्ग आव्यूह में स्तंभों की पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।

प्रश्न 9:  $\mathbf{x}$ तथा $\mathbf{y}$ के प्रदत्त किन मानों केलिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं ?

$\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 7}&5 \\   {y + 1}&{2 - 3x}   \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{y - 2} \\   8&4  \end{array}} \right]}$ 

1. $\mathbf{x = \frac{{ - 1}}{3},y = 7}$ 

2. ज्ञात करना संभव नहीं है 

3. $\mathbf{y = 7,x = \frac{{ - 2}}{3}}$ 

4. $\mathbf{x = \frac{{ - 1}}{3},y = \frac{{ - 2}}{3}}$ 

उत्तर: सही विकल्प (B) है, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x + 7}&5 \\   {y + 1}&{2 - 3x}   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{y - 2} \\   8&4   \end{array}} \right]$ 

अगर दो आव्यूह समान हैं तो उनके संगत अवयव भी समान होता है, 

$3x + 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 7}}{3} $  

$y - 2 = 5 \Rightarrow y = 7 $  

$y + 1 = 8 \Rightarrow y = 7 $ 

$2 - 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{{ - 2}}{3}$ इन परिणामों के अनुसार $x$ के दो मान है इसीलिए असंभव है |

प्रश्न 10: $\mathbf{3 \times 3}$ कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है ?

उत्तर: सही विकल्प (D) है क्यूंकि,

$3 \times 3$ कोटि के आव्यूह में अवयव कि कुल संख्या $ = 9$ 

यदि प्रत्येक प्रविष्ट 0 या 1 है, तो प्रत्येक अवयव के लिए क्रमचय

\[ = 2,\] अतः अवयवों केलिए कुल क्रमचय $ = {2^9} = 512$ 

प्रश्नावली 3.2

प्रश्न 1: मान लीजिए की $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   3&2  \end{array}} \right],B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3 \\   { - 2}&5  \end{array}} \right],C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&5 \\   3&4   \end{array}} \right]}$ तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

1. \[\mathbf{A + B}\] 

उत्तर: $A + B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {(2 + 1)}&{(4 + 3)} \\   {(3 - 2)}&{(2 + 5)}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&7 \\   1&7   \end{array}} \right]$ 

2. \[\mathbf{A - B}\] 

उत्तर: $A - B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {(2 - 1)}&{(4 - 3)} \\   {(3 + 2)}&{(2 - 5)}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&1 \\   5&{ - 3}   \end{array}} \right]$ 

3. \[\mathbf{3A - C}\] 

उत्तर: $3A = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   3&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {2 \times 3}&{4 \times 3} \\   {3 \times 3}&{2 \times 3}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{12} \\   9&6   \end{array}} \right]$ 

$  \therefore 3\;{\text{A}} - {\text{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{12} \\   9&6  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&5 \\   3&4   \end{array}} \right] $  $= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(6 + 2)}&{(12 - 5)} \\   {(9 - 3)}&{(6 - 4)}  \end{array}} \right] $  $   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  8&7 \\   6&2  \end{array}} \right] $

4. \[\mathbf{AB}\] 

उत्तर: 

$  {\text{AB}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   3&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3 \\   { - 2}&5  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {(2 \times 1 - 4 \times 2)}&{(2 \times 3 + 4 \times 5)} \\   {(3 \times 1 - 2 \times 2)}&{(3 \times 3 + 2 \times 5)}   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 - 8)}&{(6 + 20)} \\   {(3 - 4)}&{(9 + 10)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 6}&{26} \\   { - 1}&{19}  \end{array}} \right] $   

5. \[\mathbf{BA}\] 

उत्तर: $BA = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3 \\   { - 2}&5  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   3&2  \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 \times 2 + 3 \times 3)}&{(1 \times 4 + 3 \times 2)} \\   {( - 2 \times 2 + 5 \times 3)}&{( - 2 \times 4 + 5 \times 2)}  \end{array}} \right] $  $   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 + 9)}&{(4 + 6)} \\   {( - 4 + 15)}&{( - 8 + 10)} \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {11}&{10} \\   {11}&2  \end{array}} \right] $

प्रश्र 2: निम्नलिखित को परिकलित कीजिए:

1. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   { - b}&a   \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  a&b \\   b&a   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   { - b}&a  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   b&a  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(a + a)}&{(b + b)} \\   {( - b + b)}&{(a + a)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2a}&{2b} \\   0&{2a}   \end{array}} \right] $  

$   = 2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  a&b \\   0&a   \end{array}} \right] $

2. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{a^2} + {b^2}}&{{b^2} + {c^2}} \\   {{a^2} + {c^2}}&{{a^2} + {b^2}}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}   {2ab}&{2bc} \\   { - 2ac}&{ - 2ab}   \end{array}} \right]}$

उत्तर: 

 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{a^2} + {b^2}}&{{b^2} + {c^2}} \\   {{a^2} + {c^2}}&{{a^2} + {b^2}}   \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2ab}&{2bc} \\   { - 2ac}&{ - 2ab} \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}&{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \\   {\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}&{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2ab}&{2bc} \\   { - 2ac}&{ - 2ab}  \end{array}} \right] $

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)}&{\left( {{b^2} + 2bc + {c^2}} \right)} \\   {\left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)}&{\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)}  \end{array}} \right]$

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{{({\mathbf{a}} + {\mathbf{b}})}^2}}&{{{({\mathbf{b}} + {\mathbf{c}})}^2}} \\   {{{({\mathbf{a}} - {\mathbf{c}})}^2}}&{{{({\mathbf{a}} - {\mathbf{b}})}^2}}   \end{array}} \right]$

3. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&4&{ - 6} \\   8&5&{16} \\   2&8&5  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {12}&7&6 \\   8&0&5 \\  3&2&4   \end{array}} \right]}$

उत्तर: 

 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&4&{ - 6} \\   8&5&{16} \\   2&8&5  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {12}&7&6 \\   8&0&5 \\   3&2&4   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {( - 1 + 12)}&{(4 + 7)}&{( - 6 + 6)} \\   {(8 + 8)}&{(5 + 0)}&{(16 + 5)} \\   {(2 + 3)}&{(8 + 2)}&{(5 + 4)}   \end{array}} \right] $  

$  = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {11}&{11}&0 \\   {16}&5&{21} \\   5&{10}&9  \end{array}} \right] $ 

4. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\cos }^2}x}&{{{\sin }^2}x} \\   {{{\sin }^2}x}&{{{\cos }^2}x}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}x}&{{{\cos }^2}x} \\   {{{\cos }^2}x}&{{{\sin }^2}x}  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\cos }^2}x}&{{{\sin }^2}x} \\   {{{\sin }^2}x}&{{{\cos }^2}x}   \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}x}&{{{\cos }^2}x} \\   {{{\cos }^2}x}&{{{\sin }^2}x}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)}&{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \\   {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}&{\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)}   \end{array}} \right]$

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   1&1   \end{array}} \right]$ (चूंकि $,\left. {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x = 1} \right)$ 

प्रश्न 3: निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए: 

1. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   { - b}&a   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&{ - b} \\   b&a   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&b \\   { - b}&a   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  a&{ - b} \\   b&a   \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(a \times a + b \times b)}&{( - a \times b + b \times a)} \\   {( - b \times a + a \times b)}&{(b \times b + a \times a)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{a^2} + {b^2}}&0 \\   0&{{a^2} + {b^2}}  \end{array}} \right] $  

$  = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] $  

$   = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\mid  $

2. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1 \\   2 \\   3   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&4   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:   

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1 \\   2 \\   3   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&4   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 \times 2}&{1 \times 3}&{1 \times 4} \\   {2 \times 2}&{2 \times 3}&{2 \times 4} \\   {3 \times 2}&{3 \times 3}&{3 \times 4}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&3&4 \\   4&6&8 \\   6&9&{12}  \end{array}} \right] $  

3. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 2} \\   2&3   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   2&3&1   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 2} \\   2&3  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   2&3&1  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 \times 1 - 2 \times 2)}&{(1 \times 2 - 2 \times 3)}&{(1 \times 3 - 2 \times 1)} \\   {(2 \times 1 + 3 \times 2)}&{(2 \times 2 + 3 \times 3)}&{(2 \times 3 + 3 \times 1)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 - 4)}&{(2 - 6)}&{(3 - 2)} \\   {(2 + 6)}&{(4 + 9)}&{(6 + 3)}   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 3}&{ - 4}&1 \\   8&{13}&9   \end{array}} \right] $  

4. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&4 \\   3&4&5 \\   4&5&6  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 3}&5 \\   0&2&4 \\   3&0&5  \end{array}} \right]}$

उत्तर:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&4 \\   3&4&5 \\   4&5&6  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 3}&5 \\   0&2&4 \\   3&0&5  \end{array}} \right]$

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 \times 1 + 3 \times 0 + 4 \times 3)}&{( - 2 \times 3 + 3 \times 2 + 4 \times 0)}&{(2 \times 5 + 3 \times 4 + 4 \times 5)} \\   {(3 \times 1 + 4 \times 0 + 5 \times 3)}&{( - 3 \times 3 + 4 \times 2 + 5 \times 0)}&{(3 \times 5 + 4 \times 4 + 5 \times 5)} \\   {(4 \times 1 + 5 \times 6 \times 3)}&{( - 4 \times 3 + 5 \times 2 + 6 \times 0)}&{(4 \times 5 + 5 \times 4 + 6 \times 5)}  \end{array}} \right] $ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 + 0 + 12)}&{( - 6 + 6 + 0)}&{(10 + 12 + 20)} \\   {(3 + 0 + 15)}&{( - 9 + 8 + 0)}&{(15 + 16 + 25)} \\   {(4 + 0 + 18)}&{( - 12 + 10 + 0)}&{(20 + 20 + 30)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {14}&0&{42} \\   {18}&{ - 1}&{56} \\   {22}&{ - 2}&{70}  \end{array}} \right] $

5. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&1 \\   3&2 \\   { - 1}&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&1 \\   { - 1}&2&1  \end{array}} \right]}$

उत्तर:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&1 \\   3&2 \\   { - 1}&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&1 \\   { - 1}&2&1  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 \times 1 - 1 \times 1)}&{(2 \times 0 + 1 \times 2)}&{(2 \times 1 + 1 \times 1)} \\   {(3 \times 1 - 2 \times 1)}&{(3 \times 0 + 2 \times 2)}&{(3 \times 1 + 2 \times 1)} \\   {( - 1 \times 1 - 1 \times 1)}&{( - 1 \times 0 + 1 \times 2)}&{( - 1 \times 1 + 1 \times 1)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(2 - 1)}&{(0 + 2)}&{(2 + 1)} \\   {(3 - 2)}&{(0 + 4)}&{(3 + 2)} \\   {( - 1 - 1)}&{(0 + 2)}&{( - 1 + 1)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   1&4&5 \\   { - 2}&{ - 2}&0  \end{array}} \right] $

6. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&3 \\   { - 1}&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   1&0 \\   3&1  \end{array}} \right]}$

उत्तर: 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&3 \\   { - 1}&0&2   \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   1&0 \\   3&1   \end{array}} \right] $  

$  = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(3 \times 2 - 1 \times 1 + 3 \times 3)}&{( - 3 \times 3 - 1 \times 0 + 3 \times 1)} \\   {( - 1 \times 2 + 0 \times 1 + 2 \times 3)}&{(1 \times 3 + 0 \times 0 + 2 \times 1)}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(6 - 1 + 9)}&{( - 9 - 0 + 3)} \\   {( - 2 + 0 + 6)}&{(3 + 0 + 2)}   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {14}&{ - 6} \\   4&5  \end{array}} \right] $

प्रश्न4: यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&{ - 3} \\   5&0&2 \\   1&{ - 1}&1  \end{array}} \right],\quad B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&2 \\   4&2&5 \\   2&0&3   \end{array}} \right]$ तथा $C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&2 \\   0&3&2 \\   1&{ - 2}&3  \end{array}} \right]$ तो \[\left( {A + B} \right)\] तथा \[\left( {B{\text{ }} - {\text{ }}C} \right)\] परिकलित कीजिए| साथ ही सत्यापित कीजिए कि \[A + \left( {B - C} \right) = {\text{ }}\left( {A + B} \right) - C.\] 

उत्तर:  

$  A + B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&{ - 3} \\   5&0&2 \\   1&{ - 1}&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&2 \\   4&2&5 \\   2&0&3  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 + 3)}&{(2 - 1)}&{( - 3 + 2)} \\   {(5 + 4)}&{(0 + 2)}&{(2 + 5)} \\   {(1 + 2)}&{( - 1 + 0)}&{(1 + 3)}  \end{array}} \right] $

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&{ - 1} \\   9&2&7 \\   3&{ - 1}&4   \end{array}} \right] $  

$  B - C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&2 \\   4&2&5 \\   2&0&3  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&2 \\   0&3&2 \\   1&{ - 2}&3   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 2}&0 \\   4&{ - 1}&3 \\   1&2&0  \end{array}} \right] $ 

इसीलिए $A + (B - C) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&{ - 3} \\   5&0&2 \\   1&{ - 1}&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 2}&0 \\   4&{ - 1}&3 \\   1&2&0  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {(1 - 1)}&{(2 - 2)}&{( - 3 + 0)} \\   {(5 + 4)}&{(0 - 1)}&{(2 + 3)} \\   {(1 + 1)}&{( - 1 + 2)}&{(1 + 0)}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&0&{ - 3} \\   9&{ - 1}&5 \\   2&1&1  \end{array}} \right]$ 

और 

$(A + B) - C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&{ - 1} \\   9&2&7 \\   3&{ - 1}&4  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&1&2 \\   0&3&2 \\   1&{ - 2}&3  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&0&{ - 3} \\   9&{ - 1}&5 \\   2&1&1   \end{array}} \right] $

स्पष्टतया \[A{\text{ }} + {\text{ }}\left( {B - C} \right){\text{ }} = {\text{ }}\left( {A + B} \right){\text{ }}--{\text{ }}C\] 

प्रश्न 5: यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{2}{3}}&1&{\frac{5}{3}} \\   {\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}&{\frac{4}{3}} \\   {\frac{7}{3}}&2&{\frac{2}{3}}  \end{array}} \right]$ तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\frac{2}{5}}&{\frac{3}{5}}&1 \\   {\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}&{\frac{4}{5}} \\   {\frac{7}{5}}&{\frac{6}{5}}&{\frac{2}{5}}  \end{array}} \right]$, तो \[3A - 5B\] परिकलित कीजिए|

उत्तर:  

$3A = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\frac{2}{3}}&1&{\frac{5}{3}} \\   {\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}&{\frac{4}{3}} \\   {\frac{7}{3}}&2&{\frac{2}{3}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&5 \\   1&2&4 \\   7&6&2  \end{array}} \right]$ 

और 

$   = 5\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{2}{5}}&{\frac{3}{5}}&1 \\   {\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}&{\frac{4}{5}} \\   {\frac{7}{5}}&{\frac{6}{5}}&{\frac{2}{5}}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&5 \\   1&2&4 \\   7&6&2   \end{array}} \right]$

इसीलिए $3A - 5B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&5 \\   1&2&4 \\   7&6&2  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3&5 \\   1&2&4 \\   7&6&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right]$ 

प्रश्र 6: सरल कीजिए $\cos \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \Theta }&{\sin \theta } \\   { - \sin \theta }&{\cos \Theta }  \end{array}} \right] + \sin \Theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \theta }&{ - \cos \theta } \\   {\cos \Theta }&{\sin \theta }   \end{array}} \right]$ 

उत्तर:  

$\cos \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \Theta }&{\sin \theta } \\   { - \sin \theta }&{\cos \Theta }  \end{array}} \right] + \sin \Theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \theta }&{ - \cos \theta } \\   {\cos \Theta }&{\sin \theta }  \end{array}} \right]$

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\cos }^2}\Theta }&{\sin \theta \cos \Theta } \\   { - \sin \theta \cos \Theta }&{{{\cos }^2}\theta }   \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}\Theta }&{ - \sin \theta \cos \Theta } \\   {\sin \theta \cos \Theta }&{{{\sin }^2}\theta }   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}&0 \\   0&{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}  \end{array}} \right] $  

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]$ (चूंकि$,\left. {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x = 1} \right)$ 

$ = 1$  (2 कोटि का तत्समक आव्यूह)

प्रश्न 7: $\mathbf{{\text{X}}}$ तथा ${\text{Y}}$ ज्ञात कीजिये यदि

1. $\mathbf{X + Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&2 \\   1&4   \end{array}} \right]}$ तथा $\mathbf{X - Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&0 \\   0&3  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  

$  X + Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  7&0 \\   2&5   \end{array}} \right].......(i) $  

$  X - Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&0 \\   0&3   \end{array}} \right].......(ii) $   

$  {\text{(i) }} + {\text{ (ii) }} \Rightarrow 2{\text{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10}&0 \\   2&8  \end{array}} \right] $  

$  \Rightarrow {\text{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&0 \\   1&4  \end{array}} \right]{\text{ }} $  

$  {\text{(i) - (ii) }} \Rightarrow 2{\text{Y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&0 \\   2&2  \end{array}} \right] $  

$   \Rightarrow Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&0 \\   1&1  \end{array}} \right] $  

2. $\mathbf{2X + 3Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   4&0   \end{array}} \right]$ तथा $3X + 2Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 2} \\   { - 1}&5  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  

$  2X + 3Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   4&0  \end{array}} \right]...........(i) $

$  3X + 2Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 2} \\   { - 1}&5  \end{array}} \right].......(ii) $

$  {\text{ (i) }} \times 3 \Rightarrow 6X + 9Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&9 \\   {12}&0  \end{array}} \right] $  

$  (ii) \times 2 \to 6X + 4Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 4} \\   { - 2}&{10}  \end{array}} \right] $

${\text{ (i) - (ii) }} \to 5Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&9 \\   {12}&0  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 4} \\   { - 2}&{10}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{13} \\   {14}&{ - 10}  \end{array}} \right]$ 

$\Rightarrow Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{2}{5}}&{\frac{{13}}{5}} \\   {\frac{{14}}{5}}&{ - 2}  \end{array}} \right] $  

$  {\text{(i) }} \times 2 \Rightarrow 4X + 6Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&9 \\   {12}&0  \end{array}} \right] $

$  {\text{ (ii) }} \times 3 \Rightarrow 9X + 6Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 6} \\   { - 3}&{15}  \end{array}} \right]{\text{ }} $  

$  {\text{(i) - (ii) }} \Rightarrow 5X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 6} \\   { - 3}&{15}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&6 \\   8&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 12} \\   { - 11}&{15}  \end{array}} \right] $

$  \Rightarrow X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{2}{5}}&{ - \frac{{12}}{5}} \\   { - \frac{{11}}{5}}&3  \end{array}} \right] $

 प्रश्न 8: x तथा Y ज्ञात कीजिए यदि $\mathbf{Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&2 \\   1&4  \end{array}} \right]$ तथा $2X + Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  हमें पता है कि $Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&2 \\   1&4  \end{array}} \right]$  

तथा $2X + Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&2  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए $2X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&2  \end{array}} \right] - Y$ 

$\to 2X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&2  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&2 \\   1&4   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 2}&{ - 2} \\   { - 4}&{ - 2}   \end{array}} \right] =  - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   2&1  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow X =  - 1\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   2&1  \end{array}} \right]$

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 1}  \end{array}} \right] $

प्रश्न 9: $x$ तथा $Y$ज्ञात कीजिए यदि $\mathbf{2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&x \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&0 \\   1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&6 \\   1&8  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  हमें दिया गया है कि:

$2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&x  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&0 \\   1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&6 \\   1&8  \end{array}} \right]$ 

इसे परिकलित करने पर हम पाएंगे कि:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&6 \\   0&{2x}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  y&0 \\   1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&6 \\   1&8  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2 + y}&6 \\   1&{2x + 2}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&6 \\   1&8  \end{array}} \right] $

दोनों तरफ के आव्यूहों की तुलना करने पर हम पाएँगे कि:

\[2 + y = 5{\text{ }}\] तथा\[2x + 2 = 8\] 

\[{\text{ }} \Rightarrow y = 5 - 2 = {\text{ }}3\] तथा \[x = {\text{ }}\frac{{8 - 2{\text{ }}}}{2}{\text{ }} = {\text{ }}3\] 

प्रश्न 10. प्रदत्त समीकरण को $x,y,z$ तथा $t$ के लिए हल कीजिए यदि

$\mathbf{2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&z \\   y&t  \end{array}} \right] + 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&2  \end{array}} \right] = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&5 \\   4&6  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  हमें दिया गया है कि:

$2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&z \\   y&t  \end{array}} \right] + 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&2  \end{array}} \right] = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&5 \\   4&6  \end{array}} \right]$ 

परिकलन करने पर हम पाएंगे की :

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {2x}&{2z} \\   {2y}&{2t}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 3} \\   0&6  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  9&{15} \\   {12}&{18}  \end{array}} \right] $  

$\to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2x + 3}&{2z - 3} \\   {2y}&{2t + 6}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  9&{15} \\   {12}&{18} \end{array}} \right] $

दोनों तरफ की आव्यूह क इतुलना करने पर हम यह चार समीकरण पाएंगे:

$\begin{array}{*{20}{l}}  {2x + 3 = 9\quad  \Rightarrow x = \frac{{9 - 3}}{2} = 3} \\   {2z - 3 = 15\quad  \Rightarrow \quad z = \frac{{15 + 3}}{2} = 9} \\   {2y = 12\quad  \Rightarrow \quad y = \frac{{12}}{2} = 6} \\   {2t + 6 = 18\quad  \Rightarrow \quad t = \frac{{18 - 6}}{6} = 6}  \end{array}$ 

प्रश्न 11. यदि $\mathbf{x\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2 \\   3  \end{array}} \right] + y\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1} \\   1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10} \\   5  \end{array}} \right]}$ है तो $x$ तथा $Y$के मान ज्ञात कीजिए। 

उत्तर:  दिया है ${\text{x}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2 \\   3  \end{array}} \right] + {\text{y}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1} \\   1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10} \\   5  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2x} \\   {3x}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - y} \\   y  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10} \\   5  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2x - y} \\   {3x - y}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10} \\   5  \end{array}} \right]$ 

संगत अव्यवों की तुलना करने पर

$  2x - y = 10........(1) $  

$  3x - y = 5..........(2) $  

$  (1) + (2) $  

$  5x = 15,x = 3 $  

$x$ का मान समीकरण (1) में रखने पर

$2 \times 3 - y = 10,y = 6 - 10 =  - 4$ 

प्रश्न 12. यदि $\mathbf{3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  x&y \\   z&w  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  x&6 \\   { - 1}&{2w}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{x + y} \\   {z + w}&3  \end{array}} \right]}$ हैं तो $x,y,z$ तथा $w$ के मानों को ज्ञात कीजिए|

उत्तर:  दिया है

 $  3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&y \\   z&w  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  x&6 \\   { - 1}&{2w}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{x + y} \\   {z + w}&3  \end{array}} \right] $  

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x}&{3y} \\   {3z}&{3w}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + 4}&{6 + x + y} \\   { - 1 + z + w}&{2w + 3}  \end{array}} \right] $

 संगत अव्यवों की तुलना करने पर 

$3x = x + 4 $  

$\Rightarrow 2x = 4 $  

$\Rightarrow x = 2 $  

$3y = 6 + x + y $

$\Rightarrow 2y = 6 + x = 6 + 2 $  

$\Rightarrow y = 4$

$3w = 2w + 3 $  

$w = 3 $  

$3z =  - 1 + z + w $  

$\Rightarrow 2z =  - 1 + w =  - 1 + 3 $  

 z = 1 $

प्रश्न 13. $\mathbf{{\text{F}}({\text{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos x}&{ - \sin x}&0 \\   {\sin x}&{\cos x}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]}$ है तो सिद्ध कीजिए कि $\mathbf{{\text{F}}({\text{x}}) \cdot {\text{F}}({\text{y}}) = {\text{F}}({\text{x}} + {\text{y}})}$ 

उत्तर:  दिया है ${\text{F}}({\text{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos x}&{ - \sin x}&0 \\   {\sin x}&{\cos x}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$

${\text{F}}({\text{y}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos y}&{ - \sin y}&0 \\   {\sin y}&{\cos y}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $  

${\text{F}}({\text{x}}) \cdot {\text{F}}({\text{y}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos x}&{ - \sin x}&0 \\   {\sin x}&{\cos x}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos y}&{ - \sin y}&0 \\   {\sin y}&{\cos y}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos x\cos y - \sin x\sin y + 0}&{ - \cos x\sin y - \sin x\cos y + 0}&0 \\   {\sin x\cos y + \cos x\sin y + 0}&{ - \sin x\sin y + \cos x\cos y + 0}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos (x + y)}&{ - \sin (x + y)}&0 \\   {\sin (x + y)}&{\cos (x + y)}&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$ 

\[ = {\text{ }}F\left( {x{\text{ }} + {\text{ }}y} \right){\text{ }} = \] दायाँ पक्ष

 प्रश्न 14. दर्शाइए कि 

1. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1} \\   6&7  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   3&4  \end{array}} \right] \ne \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&1 \\   3&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1} \\   6&7  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दायाँ पक्ष

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   3&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1} \\   6&7  \end{array}} \right] $  

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10 + 6}&{ - 2 + 7} \\   {15 + 24}&{ - 3 + 28}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {16}&5 \\   {39}&{25}  \end{array}} \right] $

बायाँ पक्ष 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1} \\   6&7  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   3&4  \end{array}} \right] $  

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10 - 3}&{5 - 4} \\   {12 + 21}&{6 + 28}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&1 \\   {33}&{34}  \end{array}} \right] $

बाँयां पक्ष $ \ne $ दांयाँ पक्ष 

2. $ \mathbf{= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\   1&1&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right]}$ $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\    1&1&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right] \ne \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\   1&1&0  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  बाँयां पक्ष

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\   1&1&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 + 0 + 6}&{1 - 2 + 9}&{0 + 2 + 12} \\   {0 + 0 + 0}&{0 - 1 + 0}&{0 + 1 + 0} \\   { - 1 + 0 + 0}&{1 - 1 + 0}&{0 + 1 + 0}   \end{array}} \right]$  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&8&{14} \\   0&{ - 1}&1 \\   { - 1}&0&1  \end{array}} \right] $ 

दांयाँ पक्ष $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1&0 \\   0&{ - 1}&1 \\   2&3&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   0&1&0 \\   1&1&0  \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 + 0 + 0}&{ - 2 + 1 + 0}&{ - 3 + 0 + 0} \\   {0 + 0 + 1}&{0 - 1 + 1}&{0 + 0 + 0} \\   {2 + 0 + 4}&{4 + 3 + 4}&{6 + 0 + 0}  \end{array}} \right]$  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 1}&{ - 3} \\   1&0&0 \\   6&{11}&6  \end{array}} \right] $

प्रश्न 15. $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]}$ है तो \[\mathbf{{A^2}{\text{ }} - {\text{ }}5A{\text{ }} + {\text{ }}6I{\text{ }}}\] का माना ज्ञात कीजिए

उत्तर:  दिया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]$ 

${A^2} = A \cdot A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {4 + 0 + 1}&{0 + 0 + 1}&{2 + 0 + 0} \\   {4 + 2 + 3}&{0 + 1 - 3}&{2 + 3 + 0} \\   {2 - 2 + 0}&{0 - 1 + 0}&{1 - 3 + 0}   \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1}&2 \\   9&{ - 2}&5 \\   0&{ - 1}&{ - 2}  \end{array}} \right] $  

$  {A^2} - 5A + 6I = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1}&2 \\   9&{ - 2}&5 \\   0&{ - 1}&{ - 2}  \end{array}} \right] - 5\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&1 \\   2&1&3 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right] + 6\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&{ - 1}&2 \\   9&{ - 2}&5 \\   0&{ - 1}&{ - 2}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10}&0&1 \\   {10}&5&3 \\   5&{ - 5}&0  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  6&0&0 \\   0&6&0 \\   0&0&6  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&{ - 3} \\   { - 1}&{ - 1}&{ - 10} \\   { - 5}&4&4  \end{array}} \right] $

प्रश्न 16. $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right]}$ है तो सिद्ध कीजिए कि \[\mathbf{{A^3}{\text{ }} - {\text{ }}6{A^2}{\text{ }} + {\text{ 7A  + }}2I = 0}\] 

उत्तर:  दिया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right]$ 

${A^2} = A \cdot A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right]$ 

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 + 0 + 4}&{0 + 0 + 0}&{2 + 0 + 6} \\   {0 + 0 + 2}&{0 + 4 + 0}&{0 + 2 + 3} \\   {2 + 0 + 6}&{0 + 0 + 0}&{4 + 0 + 9}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&0&8 \\   2&4&5 \\   8&0&{13}  \end{array}} \right] $  

$  {A^3} = {A^2} \cdot A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&0&8 \\   2&4&5 \\   8&0&{13}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {5 + 0 + 16}&{0 + 0 + 0}&{10 + 0 + 24} \\   {2 + 0 + 10}&{0 + 8 + 0}&{4 + 4 + 15} \\   {8 + 0 + 26}&{0 + 0 + 0}&{16 + 0 + 39}  \end{array}} \right] $

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {21}&0&{34} \\   {12}&8&{23} \\   {34}&0&{55}  \end{array}} \right]$ 

${A^3} - 6{A^2} + 7A + 2I = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {21}&0&{34} \\   {12}&8&{23} \\   {34}&0&{55}  \end{array}} \right] - 6\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&0&8 \\   2&4&5 \\   8&0&{13}  \end{array}} \right] + 7\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&3  \end{array}} \right] + 2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]$ 

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {21}&0&{34} \\   {12}&8&{23} \\   {34}&0&{55}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {30}&0&{48} \\   {12}&{24}&{30} \\   {48}&0&{73}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&0&{14} \\   0&{14}&7 \\   {14}&0&{21}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&0&0 \\   0&2&0 \\   0&0&2  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right] = 0 $  

${A^3} - 6{A^2} + 7A + 2I = 0 $ 

प्रश्न 17. यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right]}$ तथा $\mathbf{I = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]}$ एवं \[\mathbf{{A^2}{\text{ }} = {\text{ KA}} - {\text{ }}2I}\] हो तो $K$ ज्ञात कीजिए

उत्तर:  दिया है ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right],{\text{I}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]$

$  {A^2} = A,A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right] $  

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {9 - 8}&{ - 6 + 4} \\   {12 - 8}&{ - 8 + 4}  \end{array}} \right] $ 

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{ - 2} \\   4&{ - 4}  \end{array}} \right] $  

$KA - 2I = K\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 2} \\   4&{ - 2}  \end{array}} \right] - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {3k}&{ - 2k} \\   {4k}&{ - 2k}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&0 \\   0&2  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3k + 2}&{ - 2k} \\   {4k}&{ - 2k + 2}  \end{array}} \right] $

प्रशन से,

${A^2} = KA - 2I $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{ - 2} \\   4&{ - 4}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3k - 2}&{ - 2k} \\   {4k}&{ - 2k - 2}  \end{array}} \right] $  

$3k - 2 = 1 $  

$\Rightarrow 3k = 3 $  

$k = 1 $

प्रश्न 18. $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&0  \end{array}} \right]}$ तथा $I$ कोटि $2$ का एक तत्समक आव्यूह है |तो सिद्ध कीजिए कि

$I + A = (I - A)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$

उत्तर:  दिया है

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&0  \end{array}} \right],I = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] $  

$I + A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&0  \end{array}} \right] $

$ - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&1  \end{array}} \right]$ 

$(I - A)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right] = \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] - } \right.{\text{ }}\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&0  \end{array}} \right]} \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$ 

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{\tan \frac{\alpha }{2}} \\   { - \tan \frac{\alpha }{2}}&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{\tan \frac{\alpha }{2}} \\   { - \tan \frac{\alpha }{2}}&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}&{\frac{{ - 2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}} \\   {\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}&{\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}  \end{array}} \right] $

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}&{\frac{{ - \tan \frac{\alpha }{2} - {{\tan }^3}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}} \\   {\frac{{\tan \frac{\alpha }{2} + {{\tan }^3}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}&{\frac{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - \tan \frac{\alpha }{2}} \\   {\tan \frac{\alpha }{2}}&1  \end{array}} \right]$ 

अतः $I + A = (I - A)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 19. किसी व्यापार संघ के पास 30,000 रुपयों का कोष है जिसे दो भित्र-भित्र प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर $5\% $ वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर $7\% $ वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30,000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटें जिससे व्यापार संघ को प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज

1.  Rs 1800 हो। 

2.  Rs 2000 हो।

उत्तर:  माना की एक भाग $x$ है इसलिए दूसरा भाग $(30000 - x)$ 

आव्यूह ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{(30000 - {\text{x}})}  \end{array}} \right]$ 

व्याज दर $5\%  = 0.05$  तथा $7\%  = 0.07$ है

${\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {0.05} \\   {0.07}  \end{array}} \right]$ 

1. कुल ब्याज \[ = {\text{ }}1800{\text{ }} = {\text{ }}A.{\text{ }}B\] 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{(30000 - x)}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {0.05} \\   {0.07}  \end{array}} \right] = [1800] $  

$[0.05x + (3000 - x)0.07] = [1800] $  

$0.05x - 0.07x + 2100 = 1800 - 0.02x $  

$=  - 300 $  

$x = 15000 $

पहला भाग \[ = {\text{ }}15000{\text{ }}\] 

दूसरा भाग\[ = {\text{ }}30000{\text{ }} - {\text{ }}15000{\text{ }} = {\text{ }}15000\] 

2. कुल ब्याज\[ = {\text{ }}2000{\text{ }} = {\text{ }}A.{\text{ }}B\] 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{(30000 - x)}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {0.05} \\   {0.07}  \end{array}} \right] = [2000] $  

$[0.05x + (3000 - x)0.07] = [2000] $  

$0.05x - 0.07x + 2100 = 2000 $

\[ - 0.02x = {\text{ }} - 100\] 

\[{\text{x  =  }}5000\] 

पहला भाग \[ = {\text{ }}5000\] 

दूसरा भाग\[ = {\text{ }}30000{\text{ }} - {\text{ }}5000{\text{ }} = {\text{ }}25000\] 

प्रश्न 20. किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विजान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमश: Rs 80, Rs 60 तथा Rs 40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी।

मान लीजिए कि $\mathbf{{\text{X}},{\text{Y}},{\text{Z}},{\text{W}}}$ तथा ${\text{P}}$ क्रमशः $\mathbf{2 \times n,3 \times k,2 \times p,n \times 3}$ तथा $p \times k$ कोटियों के आव्यूह हैं। नीचे दिए प्रश्न संख्या 21 तथा 22 में सही उत्तर चुनिए।

उत्तर:  रसायन विज्ञान की पुस्तकों की संख्या $ = 10$ दर्जन $ = 120$ 

भौतिकी विज्ञान की पुस्तकों की संख्या $ = 8$ दर्जन $ = 96$ 

अर्थशास्त्न की पुस्तकों की संख्या $ = 10$ दर्जन $ = 120$ 

आव्यूह ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {120}&{96}&{120}  \end{array}} \right]$ 

रसायन विज्ञान, भीतिकी विज्ञान तथा अथेशास्त्न की प्रत्येक का विक्रय मूल्य क्रमशः \[Rs80,{\text{ }}Rs60,\] तथा \[Rs40\]है 

${\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {80} \\   {60} \\   {40}  \end{array}} \right]$ 

प्राप्त राशि

$= {\text{ A}}{\text{. }}B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {120}&{96}&{120} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {80} \\   {60} \\   {40}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {120 \times 80}&{96 \times 60}&{120 \times 60}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {9600}&{5760}&{4800}  \end{array}} \right] = [20160] $

प्राप्त राशि \[ = {\text{ }}20160{\text{ }}Rs{\text{ }}\] 

प्रश्न 21. \[\mathbf{{\text{P Y + W Y}}}\] के परिभाषित होने के लिए \[n,k,\] तथा $p$ पर क्या प्रतिबन्ध होगा |

1. \[\mathbf{K = 3,{\text{ }}p{\text{ }} = {\text{ }}}\] 

2. k स्वेच्छ है,

3. pस्वेच्छ है,

4. k = 2,p = n,p = 2,k = 3,3

उत्तर: ${\text{X}},{\text{Y}},{\text{Z}},{\text{W}}$ तथा ${\text{P}}$ क्रमशः \[2 \times n,3 \times k,2 \times p,n \times 3\] तथा $p \times k$ कोटियों के आव्यूह हैं।

$P$ की कोटि $ = p \times k$ 

$Y$ की कोटि $ = 3 \times k$ 

$PY$ तभी संभव है जब $k = 3$ 

 $PY$ की कोटि $ = p \times k = p \times 3$ 

$w$ की कोटि $ = n \times 3$ 

$Y$ की कोटि $ = 3 \times k = 3 \times 3$ 

$WY$ की कोटि $ = n \times 3$ 

$PY$ तथा $WY$ को तभी जोड़ सकते हैं जब दोनों की कोटि समान

$  p \times 3 = n \times 3 $  

$  p = n $

अतः $k = 3$ तथा $p = n$ होना चाहिए

इसलिए विकल्प $(A)$ सही है

प्रश्र 22. \[\mathbf{{\mathbf{n}} = {\mathbf{p}},}\] तो आव्यूह $\mathbf{7X - 5{\text{Z}}}$ की कोटि है।

1. $\mathbf{{\text{p}} \times 2}$ 

2. $\mathbf{2 \times {\text{n}}}$

3. $\mathbf{{\text{ n}} \times 3}$

4. $\mathbf{{\text{p}} \times {\text{n}}}$

उत्तर: दिया है

${\text{X}},{\text{Y}},{\text{Z}},{\text{W}}$ तथा ${\text{P}}$ क्रमशः $2 \times n,3 \times k,2 \times p,n \times 3$ तथा $p \times k$ कोटियों के आव्यूह हैं।

${\text{X}}$ की कोटि $ = 2 \times n$ 

$Z$ की कोटि $ = 2 \times p$ 

$7X - 5{\text{Z}}$ तभी हो सकता है जब दोनों की कोटि समान हो

अतः $7X - 5{\text{Z}}$ की कोटि $2 \times n = 2 \times p$ होगी

इसलिए विकल्प (B) सही है।

प्रश्नावली 3.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित आव्यूहों मे से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए :

1. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5 \\   {\frac{1}{2}} \\   { - 1}  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: मान लीजिये कि, $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5 \\   {\frac{1}{2}} \\   { - 1}  \end{array}} \right]$ इसिलए ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  5&{\frac{1}{2}}&{ - 1}  \end{array}} \right]$ 

2. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: मान लीजिये कि, $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right]$ इसिलए ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2 \\   { - 1}&3  \end{array}} \right]$ 

3. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&6 \\   {\sqrt 3 }&5&6 \\   2&3&{ - 1}  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: मान लीजिये कि, $C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&6 \\   {\sqrt 3 }&5&6 \\   2&3&{ - 1}  \end{array}} \right]$ इसिलए $C' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&6 \\   {\sqrt 3 }&5&6 \\   2&3&{ - 1}  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 2. यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&3 \\   5&7&9 \\   { - 2}&1&1  \end{array}} \right]$ तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&{ - 5} \\   1&2&0 \\   1&3&1  \end{array}} \right]$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि:

1. \[\mathbf{\left( {A{\text{ }} + {\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }} + {\text{ }}B\prime {\text{ }}}\] 

उत्तर: दिया गया है, \[A{\text{ }} = 23{\text{ }}579 - 2112\] 

दिया गया है , $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&3 \\   5&7&9 \\   { - 2}&1&1  \end{array}} \right]$तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&{ - 5} \\   1&2&0 \\   1&3&1  \end{array}} \right]$

इसिलए \[,{\text{ }}\left( {A + B} \right){\text{ }}\] $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&3 \\   5&7&9 \\   { - 2}&1&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&{ - 5} \\   1&2&0 \\   1&3&1  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 - 4}&{2 + 1}&{3 - 5} \\   {5 + 1}&{7 + 2}&{9 + 0} \\   { - 2 + 1}&{1 + 3}&{1 + 1}  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 5}&3&{ - 2} \\   6&9&9 \\   { - 1}&4&2  \end{array}} \right]$ 

अब ${(A + B)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 5}&6&{ - 1} \\   3&9&4 \\   { - 2}&9&2  \end{array}} \right] \ldots .....(i)$ 

फिर ${A^\prime } = 5 - 2\quad 27\quad 1\quad 39\quad 1$  फिर ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&{ - 2} \\   2&7&1 \\   3&9&1  \end{array}} \right]$ तथा ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&1 \\   1&2&3 \\   { - 5}&0&1  \end{array}} \right]$ 

इसिलए ${A^\prime } + {B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&{ - 2} \\   2&7&1 \\   3&9&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&1 \\   1&2&3 \\   { - 5}&0&1  \end{array}} \right] = $ 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 - 4}&{5 + 1}&{ - 2 + 1} \\   {2 + 1}&{7 + 2}&{1 + 3} \\   {3 - 5}&{9 + 0}&{1 + 1}  \end{array}} \right] $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 5}&6&{ - 1} \\   3&9&4 \\   { - 2}&9&2  \end{array}} \right]$

समीकरण (i) और (ii) से प्रमाणित होता है कि,

${(A + B)^\prime } = {A^\prime } + {B^\prime }$ 

2. \[\mathbf{\left( {A{\text{ }}--{\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }}--{\text{ }}B\prime }\] 

अब, $(A - B) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&3 \\   5&7&9 \\   { - 2}&1&1  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&{ - 5} \\   1&2&0 \\   1&3&1  \end{array}} \right] = $ 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 + 4}&{2 - 1}&{3 + 5} \\   {5 - 1}&{7 - 2}&{9 - 0} \\   { - 2 - 1}&{1 - 3}&{1 - 1}  \end{array}} \right] $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1&8 \\   4&5&9 \\   { - 3}&{ - 2}&0  \end{array}} \right]$

इसिलए ${(A - B)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4&{ - 3} \\   1&5&{ - 2} \\   8&9&0  \end{array}} \right]$ 

हमें ज्ञात है कि ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&{ - 2} \\   2&7&1 \\   3&9&1  \end{array}} \right]$ तथा ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&1 \\   1&2&3 \\   { - 5}&0&1  \end{array}} \right]$ 

फिर ${A^\prime } - {B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&5&{ - 2} \\   2&7&1 \\   3&9&1  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1&1 \\   1&2&3 \\   { - 5}&0&1  \end{array}} \right]$ 

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 + 4}&{5 - 1}&{ - 2 - 1} \\   {2 - 1}&{7 - 2}&{1 - 3} \\   {3 + 5}&{9 - 0}&{1 - 1}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4&{ - 3} \\   1&5&{ - 2} \\   8&9&0  \end{array}} \right].....................(iv) $

समीकरण (iii) और (iv) से प्रमाणित होता है कि, 

प्रश्न 3. यदि $\mathbf{{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4 \\   { - 1}&2 \\   0&1  \end{array}} \right]}$ तथा $\mathbf{B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   1&2&3  \end{array}} \right]}$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि:

1. \[\mathbf{\left( {A{\text{ }} + {\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }} + {\text{ }}B\prime {\text{ }}}\]

 उत्तर: दिया गया है  ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4 \\   { - 1}&2 \\   0&1   \end{array}} \right]$ तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   1&2&3  \end{array}} \right]$ 

इसिलए $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&0 \\   4&2&1  \end{array}} \right]$ और ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1 \\   2&2 \\   1&3  \end{array}} \right]$ क्यूंकि  

अब $({\text{A}} + {\text{B}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&0 \\   4&2&1 \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   1&2&3  \end{array}} \right] $

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - 1}&{ - 1 + 2}&{0 + 1} \\   {4 + 1}&{2 + 2}&{1 + 3}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1&1 \\   5&4&4  \end{array}} \right] $ 

इसिलए ${({\text{A}} + {\text{B}})^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&4 \\   1&4  \end{array}} \right] \ldots ....(i)$ 

फिर \[{A^\prime } + {B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4 \\   { - 1}&2 \\   0&1  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1 \\   2&2 \\   1&3  \end{array}} \right]\]

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - 1}&{4 + 1} \\   { - 1 + 2}&{2 + 2} \\   {0 + 1}&{1 + 3}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&4 \\   1&4  \end{array}} \right]..............(ii)$ 

समीकरण (i) और (ii) से प्रमाणित होता है कि,  

$\left( {A{\text{ }} + {\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }} + {\text{ }}B\prime$

2.  $\mathbf{\left( {A{\text{ }} - {\text{ }}B} \right)\prime {\text{ }} = {\text{ }}A\prime {\text{ }} - {\text{ }}B\prime}$

उत्तर: हमें ज्ञात है कि ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&0 \\   4&2&1  \end{array}} \right]$ और ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1 \\   2&2 \\   1&3  \end{array}} \right]$ 

अब 

$({\text{A}} - {\text{B}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&0 \\   4&2&1  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   1&2&3  \end{array}} \right]$  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 + 1}&{ - 1 - 2}&{0 - 1} \\   {4 - 1}&{2 - 2}&{1 - 3}  \end{array}} \right]$

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 3}&{ - 1} \\   3&0&{ - 2}   \end{array}} \right]$ 

इसिलए ${(A - B)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&3 \\   { - 3}&0 \\   { - 1}&{ - 2}  \end{array}} \right]...................(iii)$  

फिर 

\[{A^\prime } - {B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&4 \\   { - 1}&2 \\   0&1  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&1 \\   2&2 \\   1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 + 1}&{4 - 1} \\   { - 1 - 2}&{2 - 2} \\   {0 - 1}&{1 - 3}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&3 \\   { - 3}&0 \\   { - 1}&{ - 2}   \end{array}} \right].......................(iv)\] 

समीकरण (iii) और (iv) से प्रमाणित होता है कि,

${(A - B)^\prime } = {A^\prime } - {B^\prime }$ 

प्रश्न 4. यदि $\mathbf{{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&3 \\   1&2  \end{array}} \right]}$ तथा $\mathbf{B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0 \\   1&2  \end{array}} \right]}$ हैं तो ज्ञात कीजिए|

उत्तर: दिया गया है${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&3 \\   1&2  \end{array}} \right]$  तथा $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0 \\   1&2  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1 \\   3&2   \end{array}} \right]$ [क्यूंकि ]

अब $(A + 2B) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1 \\   3&2  \end{array}} \right] + 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0 \\   1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1 \\   3&2  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&0 \\   2&4  \end{array}} \right]$

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2 - 2}&{1 + 0} \\   {3 + 2}&{2 + 4}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&1 \\   5&6  \end{array}} \right] $   

इसिलए ${(A + 2B)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&5 \\   1&6  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 5. A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापेत कीजिए कि ${(AB)^\prime } = {B^\prime }{A^\prime },$  जहाँ

1. $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1 \\   { - 4} \\   3  \end{array}} \right],B = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 1}&2&1  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर: दिया गया है , ${\text{ (i) A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1 \\   { - 4} \\   3  \end{array}} \right],{\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 1}&2&1  \end{array}} \right]$ 

इसिलए ${\text{AB}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1 \\   { - 4} \\   3   \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - 1}&2&1  \end{array}} \right]$ 

$  = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 \times ( - 1)}&{1 \times 2}&{1 \times 1} \\   { - 4 \times ( - 1)}&{ - 4 \times 2}&{ - 4 \times 1} \\   {3 \times ( - 1)}&{3 \times 2}&{3 \times 1}  \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&2&1 \\   4&{ - 8}&{ - 4} \\   { - 3}&6&3  \end{array}} \right] $

अब ${({\text{AB}})^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&4&{ - 3} \\   2&{ - 8}&6 \\   1&{ - 4}&3  \end{array}} \right] \ldots .....(i)$ 

इसिलए ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{ - 4}&3  \end{array}} \right]$  तथा ${B^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1} \\   2 \\   1  \end{array}} \right]$ 

अब ${B^\prime }{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1} \\   2 \\   1  \end{array}} \right]X\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{ - 4}&3  \end{array}} \right] = $ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1 \times 1}&{ - 1 \times ( - 4)}&{ - 1 \times 3} \\   {2 \times 1}&{2 \times ( - 4)}&{2 \times 3} \\   {1 \times 1}&{1 \times ( - 4)}&{1 \times 3}  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&4&{ - 3} \\   2&{ - 8}&6 \\   1&{ - 4}&3  \end{array}} \right]..........(ii)$ 

समीकरण (i) और (ii) से प्रमाणित होता है कि,

${(AB)^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }$ 

2. $\mathbf{{\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   1 \\   2   \end{array}} \right],{\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5&7  \end{array}} \right]}$ 

दिया गया है, ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   1 \\   2   \end{array}} \right],{\text{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5&7   \end{array}} \right]$

इसिलए $AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   1 \\   2  \end{array}} \right]X\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {0 \times 1}&{0 \times 5}&{0 \times 7} \\   {1 \times 1}&{1 \times 5}&{1 \times 7} \\   {2 \times 1}&{2 \times 5}&{2 \times 7}   \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&0&0 \\   1&5&7 \\   2&{10}&{14}  \end{array}} \right]$ 

अब, ${({\text{AB}})^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&2 \\   0&5&{10} \\   0&7&{14}  \end{array}} \right]..................(iii)$ 

इसिलए ${{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1&2  \end{array}} \right.$ तथा ${{\text{B}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1 \\   5 \\   7 \end{array}} \right]$ 

अब, 

$  {B^\prime }{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1 \\   5 \\   7   \end{array}} \right]X\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 \times 0}&{1 \times 1}&{1 \times 2} \\   {5 \times 0}&{5 \times 1}&{5 \times 2} \\   {7 \times 0}&{7 \times 1}&{7 \times 2}   \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&2 \\   0&5&{10} \\   0&7&{14}  \end{array}} \right]....................(iv) $

समीकरण (iii) और (iv) से प्रमाणित होता है कि,

${({\text{AB}})^\prime } = {{\text{B}}^\prime }{{\text{A}}^\prime }$ 

प्रश्न 6. 

1. यदि $\mathbf{{\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right]}$ हो तो सत्यापित कीजिए कि: 

उत्तर: दिया गया है ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right]$ इसिलए ${\text{A'}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right]$ 

अब, ${A^\prime }A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right]$ $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }&{\cos \alpha \sin \alpha  - \sin \alpha \cos \alpha } \\   {\sin \alpha \cos \alpha  - \cos \alpha \sin \alpha }&{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1   \end{array}} \right] = I$ [क्यूंकि ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$]

इसीलिए प्रमाणित होता है कि,  

2. यदि $\mathbf{{\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{\cos \alpha } \\   { - \cos \alpha }&{\sin \alpha }  \end{array}} \right]}$ हो तो सत्यापित कीजिए कि:

उत्तर: दिया गया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{\cos \alpha } \\   { - \cos \alpha }&{\sin \alpha }  \end{array}} \right]$ इसीलए $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{ - \cos \alpha } \\   {\cos \alpha }&{\sin \alpha }   \end{array}} \right]$ 

अब ${A^\prime }A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{ - \cos \alpha } \\   {\cos \alpha }&{\sin \alpha }   \end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \alpha }&{\cos \alpha } \\   { - \cos \alpha }&{\sin \alpha }   \end{array}} \right]$ $ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }&{\sin \alpha \cos \alpha  - \cos \alpha \sin \alpha } \\   {\cos \alpha \sin \alpha  - \sin \alpha \cos \alpha }&{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = I$ [क्यूंकि ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$]

इसीलए प्रमाणित होता है की  

प्रश्न 7. 

1. सिद्ध कीजिए की आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&5 \\   { - 1}&2&1 \\   5&1&3  \end{array}} \right]}$ एक सममित आव्यूह हैं|

उत्तर: दिया गया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&5 \\   { - 1}&2&1 \\   5&1&3  \end{array}} \right]$ इसीलिए \[A' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&5 \\   { - 1}&2&1 \\   5&1&3  \end{array}} \right]\]

चूँकि  इसीलए प्रमाणित होता है की आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1}&5 \\   { - 1}&2&1 \\   5&1&3  \end{array}} \right]$ एक सममित आव्यूह हैं|

2. सिद्ध कीजिए की आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&{ - 1} \\   { - 1}&0&1 \\   1&{ - 1}&0   \end{array}} \right]}$ एक विषम सममित आव्यूह हैं|

उत्तर:  दिया गया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&{ - 1} \\   { - 1}&0&1 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]$ इसीलिए, ${A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 1}&1 \\   1&0&{ - 1} \\   { - 1}&1&0  \end{array}} \right] =  - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&{ - 1} \\   { - 1}&0&1 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]$ 

चूँकि  इसीलिए प्रमाणित होता है की आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1&{ - 1} \\   { - 1}&0&1 \\   1&{ - 1}&0  \end{array}} \right]$ एक विषम आव्यूह हैं|

प्रश्न 8. आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5 \\   6&7  \end{array}} \right]}$ के लिए सत्यापित कीजिए कि 

1.  एक सममित आव्यूह हैं|

उत्तर:  दिया गया है, $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5 \\   6&7  \end{array}} \right]$ इसीलिए ${{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&6 \\   5&7  \end{array}} \right]$ 

अब, $\left( {A + {A^\prime }} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5 \\   6&7  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&6 \\   5&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 + 1}&{5 + 6} \\   {6 + 5}&{7 + 7}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{11} \\   {11}&{14}   \end{array}} \right]$ 

फिर ${\left( {A + {A^\prime }} \right)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{11} \\   {11}&{14}   \end{array}} \right]$ 

चूँकि  इसीलिए प्रमाणित होता है की आव्यूह  एक सममित आव्यूह हैं| 

2.  एक विषम आव्यूह हैं|

उत्तर:  अब, $\left( {A - {A^\prime }} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&5 \\   6&7   \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&6 \\   5&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 - 1}&{5 - 6} \\   {6 - 5}&{7 - 7}   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 1} \\   1&0   \end{array}} \right]$ 

फिर, ${\left( {{\text{A}} - {{\text{A}}^\prime }} \right)^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&1 \\   { - 1}&0  \end{array}} \right] =  - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 1} \\   1&0   \end{array}} \right]$ 

इसीलिए प्रमाणित हॉट अहै की आव्यूह  एक विषम सममित आव्यूह हैं|

प्रश्न 9. यदि $\mathbf{{\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right]$ तो $\frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right)$ तथा $\frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)}$ ज्ञात कीजिए|

उत्तर:  दिया गया है ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right]$

इसीलिए ${{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - a}&{ - b} \\   a&0&{ - c} \\   b&c&0  \end{array}} \right] =  - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right] =  - {\text{A}}$ 

अब $\frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0 \end{array}} \right]} \right) $

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right]$ 

फिर ${\text{,}}\frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2a}&{2b} \\   { - 2a}&0&{2c} \\   { - 2b}&{ - 2c}&0  \end{array}} \right]$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&a&b \\   { - a}&0&c \\   { - b}&{ - c}&0  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 10. निम्नलिखित आव्यूहों एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए :

1. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&5 \\   1&{ - 1}   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  मान लीजिये कि,${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&5 \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right],{{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   5&{ - 1}  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए, ${\text{A}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) + \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$  

माना, ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right)$ तथा ${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$

अब, ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&5 \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   5&{ - 1}  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 + 3}&{5 + 1} \\   {1 + 5}&{ - 1 - 1}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&6 \\   6&{ - 2} \end{array}} \right] \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 + 3}&{5 + 1} \\   {1 + 5}&{ - 1 - 1}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&6 \\   6&{ - 2}  \end{array}} \right]$  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3 \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] $  

तथा ${P^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3 \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] = P$, इसीलिए आव्यूह $P$ एक सममित आव्यूह हैं|

फिर

${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&5 \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   5&{ - 1}  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - 3}&{5 - 1} \\   {1 - 5}&{ - 1 + 1}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&4 \\   { - 4}&0 \end{array}} \right] $  

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&2 \\   { - 2}&0  \end{array}} \right] $

तथा ${Q^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 2} \\   2&0  \end{array}} \right] =  - Q$  इसीलिए आव्यूह $Q$ एक विषम सममित आव्यूह हैं|

इसीलिए $A = P + Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3 \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 2} \\   { - 2}&0  \end{array}} \right]$ 

2. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  मान लीजिये कि, ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right],{{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए, ${\text{A}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) + \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$ 

माना, ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right)$  तथा${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$ 

अब, $P = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right] + } \right.\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]$ 

तथा ${P^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right] = P$ , इसीलिए आव्यूह $P$ एक सममित आव्यूह हैं|

फिर $Q = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right] - } \right.\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right]} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right]$ 

तथा ${Q^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right] =  - Q{\text{, }}$ इसीलिए आव्यूह एक विषम सममित आव्यूह हैं

इसीलिए ${\text{A}} = {\text{P}} + {\text{Q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 2}&2 \\   { - 2}&3&{ - 1} \\   2&{ - 1}&3  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0&0 \\   0&0&0 \\   0&0&0  \end{array}} \right]$ 

3. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 2}&1 \\   { - 4}&{ - 5}&2   \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  मान लीजिये कि, $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 2}&1 \\   { - 4}&{ - 5}&2  \end{array}} \right],{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 2}&{ - 4} \\   3&{ - 2}&{ - 5} \\   { - 1}&1&2   \end{array}} \right]$ 

इसीलिए, ${\text{A}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) + \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$ 

माना ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right)$ तथा ${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$

अब ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 2}&1 \\   { - 4}&{ - 5}&2  \end{array}} \right]} \right] + } \right.{\text{ }}\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 2}&{ - 4} \\   3&{ - 2}&{ - 5} \\   { - 1}&1&2  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&1&{ - 5} \\   1&{ - 4}&{ - 4} \\   { - 5}&{ - 4}&4  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{\frac{1}{2}}&{ - \frac{5}{2}} \\   {\frac{1}{2}}&{ - 2}&{ - 2} \\   { - \frac{5}{2}}&{ - 2}&2  \end{array}} \right]$ 

तथा ${P^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{\frac{1}{2}}&{ - \frac{5}{2}} \\   {\frac{1}{2}}&{ - 2}&{ - 2} \\   { - \frac{5}{2}}&{ - 2}&2   \end{array}} \right] = P$ इसीलिए आव्यूह एक सममित आव्यूह हैं |

फिर,

 ${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&3&{ - 1} \\   { - 2}&{ - 2}&1 \\   { - 4}&{ - 5}&2  \end{array}} \right]} \right] - \left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 2}&{ - 4} \\   3&{ - 2}&{ - 5} \\   { - 1}&1&2  \end{array}} \right]} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&5&3 \\   { - 5}&0&6 \\   { - 3}&{ - 6}&0  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{\frac{5}{2}}&{\frac{3}{2}} \\   { - \frac{5}{2}}&0&3 \\   { - \frac{3}{2}}&{ - 3}&0  \end{array}} \right] $   

तथा ${Q^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - \frac{5}{2}}&{ - \frac{3}{2}} \\   {\frac{5}{2}}&0&{ - 3} \\   {\frac{3}{2}}&3&0  \end{array}} \right] =  - Q$  इसीलिए आव्यूह $Q$ एक विषम सममित आव्यूह हैं|

इसीलिए $A = P + Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{\frac{1}{2}}&{ - \frac{5}{2}} \\   {\frac{1}{2}}&{ - 2}&{ - 2} \\   { - \frac{5}{2}}&{ - 2}&2  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{\frac{5}{2}}&{\frac{3}{2}} \\   { - \frac{5}{2}}&0&3 \\   { - \frac{3}{2}}&{ - 3}&0  \end{array}} \right]$ 

4. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&5 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  मान लीजिये कि, $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&5 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right],{A^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   5&2  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए, ${\text{A}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) + \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$ 

माना ${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right)$ तथा ${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right)$

अब,

${\text{P}} = \frac{1}{2}\left( {A + {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&5 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   5&2  \end{array}} \right]} \right) $  

$   = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 1}&{5 - 1} \\   { - 1 + 5}&{2 + 2}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&4 \\   4&4 \end{array}} \right] $  

$   = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   2&2  \end{array}} \right] $

तथा ${{\text{P}}^r} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   2&2  \end{array}} \right] = {\text{P}}$  इसीलिए आव्यूह ${\text{P}}$ एक सममित आव्यूह हैं|

फिर 

${\text{Q}} = \frac{1}{2}\left( {A - {A^\prime }} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&5 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   5&2  \end{array}} \right]} \right) $  

$= \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 - 1}&{5 + 1} \\   { - 1 - 5}&{2 - 2}  \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&6 \\   { - 6}&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&3 \\   { - 3}&0  \end{array}} \right] $

तथा ${{\text{Q}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 3} \\   3&0  \end{array}} \right] =  - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 3} \\   3&0   \end{array}} \right] =  - {\text{Q}}$  इसीलिए आव्यूह ${\text{Q}}$ एक विषम सममित आव्यूह हैं|

इसीलिए $A = P + Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   2&2  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&3 \\   { - 3}&0  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 11. यदि $A$ तथा $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो \[AB - BA\] एक 

1. विषम सममित आव्यूह हैं

2. सममित आव्यूह हैं

3. शून्य आव्यूह हैं

4. तत्समक आव्यूह हैं

उत्तर:    [चूँकि ]

  [चूँकि ]

\[ = {\text{ }}BA{\text{ }} - {\text{ }}AB{\text{ }}\] [दिया गया है: ]

\[ = {\text{ }} - {\text{ }}\left( {AB{\text{ }}--{\text{ }}BA} \right)\] 

चूँकि  

इसीलिए आव्यूह \[\left( {AB - BA} \right)\] एक विषम सममित आव्यूह हैं|

अतः, विकल्प (A) सही हैं।

प्रश्न 12. यदि ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]{\text{ }}$तो ${\text{A}} + {{\text{A}}^\prime } = 1, यदि\[\alpha \] का मान है 

1. $\mathbf{\frac{\pi }{6}}$ 

2. $\mathbf{\frac{\pi }{3}}$ 

3. $\mathbf{\pi }$ 

4. $\mathbf{\frac{{3\pi }}{2}}$ 

उत्तर:  दिया गया है ${\text{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$, इसीलिए ${\text{A'}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right]$ 

अब, ${\text{A}} + {{\text{A}}^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{ - \sin \alpha } \\   {\sin \alpha }&{\cos \alpha }  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\   { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }   \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2\cos \alpha }&0 \\   0&{2\cos \alpha }  \end{array}} \right]$ 

चूँकि  इसीलिए $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2\cos \alpha }&0 \\   0&{2\cos \alpha }  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]$ 

क्योंकि क्रमित युग्म समान है, इसीलिए संगत घटक भी समान होंगे| 

इसीलिए $2\cos \alpha  = 1 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha  = \cos \frac{\pi }{3} \Rightarrow \alpha  = \frac{\pi }{3}$ 

अतः, विकल्प(B) सही हैं

प्रश्नावली 3.4 

प्रश्न संख्या 1 से 17 तक के आव्यूहों व्युत्क्रम,यदि उनका अस्तित्व है, तो प्रारंभिक -रुपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 1. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right]$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   2&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&5  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]A\quad  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_{2 \to }}{R_2} - 2{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   {\frac{{ - 2}}{5}}&{\frac{1}{5}}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_{2 \to }}\frac{1}{5}{R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{3}{5}}&{\frac{1}{5}} \\   {\frac{{ - 2}}{5}}&{\frac{1}{5}}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} + {R_2}} \right] $ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{3}{5}}&{\frac{1}{5}} \\   {\frac{{ - 2}}{5}}&{\frac{1}{5}}   \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 2. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   1&1  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   1&1  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&{ - 1}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right]$

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]$

प्रश्न 3. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   2&7  \end{array}} \right]}$

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   2&7  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   2&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A$ 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_2} \to {R_2} - 2{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_1} \to {R_1} - 2{R_2}} \right]\quad$

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]$

प्रश्न 4. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   5&7  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   5&7  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   5&7 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 2}&1 \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_2} - 2{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2 \\   0&{ - 1}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1} \\   { - 5}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} = {R_2} - {R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 1} \\   5&{ - 2}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} \to  - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&3 \\   5&{ - 2}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - 2{R_2}} \right] $

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&3 \\   5&{ - 2}  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 5. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   7&4  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   7&4  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   7&4  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 3}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_2} \to {R_2} - 3{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   1&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 1} \\   { - 3}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   1&1  \end{array}} \right]A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 1} \\   { - 7}&2  \end{array}} \right]{A_1} \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right] $ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 1} \\   { - 7}&2  \end{array}} \right]$

प्रश्न 6. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&3  \end{array}} \right]}$

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&3 \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&5 \\   1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right]$  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {\left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right]} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 5} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - 2{R_2}} \right] $  

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 5} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 7. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&1 \\   5&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&1 \\   5&2  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&1 \\   5&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&1 \\   5&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   { - 1}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {\left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right]} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   2&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 1} \\   { - 1}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 1} \\   { - 5}&3  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} \to {R_2} - 2{R_1}} \right]$

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 1} \\   { - 5}&3  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 8. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&5 \\   3&4  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&5 \\   3&4  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&5 \\   3&4  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   3&4  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 3}&4  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_2} \to {R_2} - 3{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 5} \\   { - 3}&4  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  4&{ - 5} \\   { - 3}&4  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न 9. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{10} \\   2&7  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{10} \\   2&7  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{10} \\   2&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   2&7  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 2}&3  \end{array}} \right]{A_1} \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} \to {R_2} - 2{R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&{ - 10} \\   { - 2}&3  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - 3{R_2}} \right] $  

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&{ - 10} \\   { - 2}&3  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न10. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1} \\   { - 4}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1} \\   { - 4}&2  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

प्रयुक्त ${R_1} \to {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 4}&2 \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1 \\   1&0  \end{array}} \right]A$ 

प्रयुक्त ${R_1} \to ( - 1) \times {R_1}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  4&{ - 2} \\   3&{ - 1}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{ - 1} \\   1&0  \end{array}} \right]A$

प्रयुक्त \[{R_2} \to {R_2} - 3{R_1}\] 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 1} \\   4&3  \end{array}} \right]A$

प्रयुक्त ${R_2} \to \frac{1}{2} \times {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&{ - 1} \\   2&{\frac{3}{2}}  \end{array}} \right]A$ 

प्रयुक्त ${R_1} \to {R_2} + {R_2}$

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{\frac{1}{2}} \\   2&{\frac{3}{2}}  \end{array}} \right]A$ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{\frac{1}{2}} \\   2&{\frac{3}{2}}  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न11. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&{ - 6} \\   1&{ - 2}  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&{ - 6} \\   1&{ - 2}  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&{ - 6} \\   1&{ - 2}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 4} \\   1&{ - 2}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} - {R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 4} \\   0&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_2} \to {R_2} - {R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}  { - 1}&3 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_1} \to {R_1} + 2{R_2}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&3 \\   {\frac{{ - 1}}{2}}&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_1} = \frac{1}{2}{R_1}} \right] $ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&3 \\   {\frac{{ - 1}}{2}}&1  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न12. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  6&{ - 3} \\   { - 2}&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&0 \\   { - 2}&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&3 \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} + 3{R_2}} \right] $

चूँकि पहली पक्ति में दोनों अवयव शून्य है ।

$\therefore {\text{A}}$ का व्युक्क्रम ${A^{ - 1}}$ अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न13. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3} \\   { - 1}&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   { - 1}&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&1 \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} + {R_2}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 1} \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1 \\   1&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_2} = {R_2} + {R_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   1&2  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{R_1} \to {R_1} + {R_2}} \right] $

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&3 \\   1&2  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न14. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   4&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   4&2  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   4&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&1 \\   0&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..{R_2} \to {R_2} - 2{R_1} $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0 \\   4&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&{\frac{{ - 1}}{2}} \\   0&1  \end{array}} \right]A$

चूकि पहली पक्ति में दोनों अवयव शून्य है ।

$\therefore {\text{A}}$ का व्युत्क्रम ${A^{ - 1}}$ अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न15. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3}&3 \\   2&2&3 \\   3&{ - 2}&2  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3}&3 \\   2&2&3 \\   3&{ - 2}&2  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&{ - 3}&3 \\   2&2&3 \\   3&{ - 2}&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]{\text{A}} $  

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  2&0&3 \\   2&5&3 \\   3&0&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&1&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .{C_2} \to {C_2} + {C_3} $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&3 \\   1&5&3 \\   { - 1}&0&2  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0&0 \\   0&1&1 \\   1&1&1  \end{array}} \right]{\text{ A}}........................{\text{ }}\left[ {{C_1} \to {C_3} - } \right.\left. {{C_1}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&0 \\   1&5&0 \\   { - 1}&0&5  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 1}&0&3 \\   {\frac{{ - 1}}{5}}&1&0 \\   {\frac{4}{5}}&1&{ - 2}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{C_1} \to {C_1} - } \right.\left. {\frac{1}{5}{C_2}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&0 \\   0&5&0 \\   { - 1}&0&5  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{ - 2}}{5}}&0&3 \\   {\frac{{ - 1}}{5}}&1&0 \\   {\frac{2}{5}}&1&{ - 2}  \end{array}} \right] \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{C_1} \to } \right.\left. {{C_1} - \frac{1}{5}{C_3}} \right] $

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{ - 2}}{5}}&0&{\frac{3}{5}} \\   {\frac{{ - 1}}{5}}&{\frac{1}{5}}&0 \\   {\frac{2}{5}}&{\frac{1}{5}}&{\frac{{ - 2}}{5}} \end{array}} \right] \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{C_2} \to } \right.\left. {\frac{1}{5}{C_2},{C_3} \to \frac{1}{5}{C_3}} \right]$ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{ - 2}}{5}}&0&{\frac{3}{5}} \\   {\frac{{ - 1}}{5}}&{\frac{1}{5}}&0 \\  {\frac{2}{5}}&{\frac{1}{5}}&{\frac{{ - 2}}{5}} \end{array}} \right]$ 

प्रश्न16. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   { - 3}&0&{ - 5} \\   2&5&0  \end{array}} \right]}$ 

उत्तर:  दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   { - 3}&0&{ - 5} \\   2&5&0  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर, 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   { - 3}&0&{ - 5} \\   2&5&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]A$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   0&9&{ - 11} \\   0&{ - 1}&4  \end{array}} \right] =  $  

$  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&0 \\   3&1&0 \\   { - 2}&0&1 \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[{{R_2} \to {R_2} + 3{R_1}{R_3} \to } \right.\left. {{R_3} - 2{R_1}} \right] $

$   \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&3&{ - 2} \\   0&1&{21} \\   0&{ - 1}&4  \end{array}} \right] =  $  

 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&0 \\   { - 13}&1&8 \\   { - 2}&0&1 \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{R_1} \to {R_1} - 3{R_2},{R_3} \to } \right.\left. {{R_3} + {R_2}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0&{ - 65} \\   1&1&{21} \\   0&0&1  \end{array}} \right] =  $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {40}&{ - 3}&{ - 24} \\   { - 13}&1&8 \\   { - \frac{{15}}{{25}}}&{\frac{1}{{25}}}&{\frac{9}{{25}}}  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{R_3} \to \frac{1}{{25}} \times {R_3}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] =  $  

$\left[ {\begin{array}{*{20}{r}}  1&{ - \frac{2}{5}}&{ - \frac{3}{5}} \\   { - \frac{2}{5}}&{\frac{4}{{25}}}&{\frac{{11}}{{25}}} \\   { -\frac{3}{5}}&{\frac{1}{{25}}}&{\frac{9}{{25}}}  \end{array}} \right]{\text{ }}A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ...\left[ {{R_1} \to {R_1} + } \right.\left. {65{R_3},{R_2} \to {R_2} - 21{R_3}} \right] $

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - \frac{2}{5}}&{ - \frac{3}{5}} \\   { - \frac{2}{5}}&{\frac{4}{{25}}}&{\frac{{11}}{{15}}} \\   { - \frac{3}{5}}&{\frac{1}{{25}}}&{\frac{9}{{25}}}  \end{array}} \right] =  $  

$- \frac{1}{{25}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 25}&{10}&{15} \\   {10}&{ - 4}&{ - 11} \\   {15}&{ - 1}&{ - 9}  \end{array}} \right] \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ...\left[ {\because A{A^{ - 1}} = I} \right] $

प्रश्न17. $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&{ - 1} \\   5&1&0 \\   0&1&3  \end{array}} \right]}$

उत्तर:  दिया गया आव्यूह$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&{ - 1} \\   5&1&0 \\   0&1&3  \end{array}} \right]$ 

आव्यूह$A$ को $A = IA$ के रूप में लिखने पर,

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&0&{ - 1} \\   5&1&0 \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]{\text{ A }} \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .{R_1} \Leftrightarrow {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  5&1&0 \\   2&0&{ - 1} \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1&0 \\   1&0&0 \\   0&0&1 \end{array}} \right]{\text{ A}}...............{\text{ }}{R_1} - 2{R_2} \Rightarrow {R_1}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&1&2 \\   2&0&{ - 1} \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1&0 \\   1&0&0 \\   0&0&1 \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .{R_2} - 2{R_2} \Rightarrow {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&2 \\   0&2&5 \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1&0 \\   { - 5}&2&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..{R_2} \Leftrightarrow {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&2 \\   0&1&2 \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 2}&1&0 \\   { - 5}&2&{ - 1} \\ 0&0&1   \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .{R_2} - {R_3} \Rightarrow {R_2}$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&2 \\   0&1&3  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&1 \\   { - 5}&2&{ - 1} \\ 0&0&1   \end{array}} \right]A \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..{R_1} - {R_2} = {R_1}$ 

$\therefore {A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 1}&1 \\   { - 15}&6&{ - 5} \\   5&{ - 2}&2  \end{array}} \right]$ 

प्रश्न18. आव्यूहों ${\text{A}}$  तथा ${\text{B}}$ एक दूसरे के व्युत्रम होंगे केवल यदि

1. AB = BA  

2. AB = BA = 0  

3. AB = 0,BA = 1  

4. AB = BA = 1 

उत्तर:  \[D.{\text{ }}A{\text{ }}B = B{\text{ }}A = 1\] 

${\text{AB}} = {\text{BA}} = 1,$ केवल इस स्थिति में ही आव्यूह ${\text{A}}$ और आव्यूह ${\text{B}}$ एक दूसरे के व्युत्क्रम होंगे ।

अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्नावली A3

प्रश्न 1  मान लीजिए कि $\mathbf{A = \left( {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1 \\   0&0  \end{array}} \right)}$ हो तो दिखाइए की सभी $\mathbf{n \in N}$ के लिए $\mathbf{{(aI + bA)^n} = {a^n}I + n{a^{n - 1}}bA}$ जहाँ$I$  एक कोटि$2$ का तत्समक आव्यूह है |

उत्तर: यहाँ $P(n):{(aI + bA)^n} = {a^n}I + n{a^{n - 1}}bA$ 

इसीलिए $P(1):{(aI + bA)^1} = aI + bA$

अतः परिणाम\[n = 1\]  के लिए सत्य है |

माना परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है|

इसीलिए $P(k):{(aI + bA)^k} = {a^k}I + n{a^{k - 1}}bA$ 

अब हमें सिद्ध करना है परिणाम $n = k + 1$  के लिए भी सत्य है|

अर्थात:

 $P(k + 1):{(aI + bA)^{k + 1}} = {a^{k + 1}} + (k + 1){a^k}kA $  

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {(aI + bA)^k}(aI + bA) $  

 =$ \left( {{a^k}I + n{a^{k - 1}}bA} \right)(aI + bA) \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \cdots [(aI + \left. {bA{)^{k + 1}} = {a^k}l + n{a^{k - 1}}bA} \right] $  

$= {a^{k + 1}}{I^2} + {a^k}IbA + n{a^k}IbA + n{a^{k - 1}}{b^2}{A^2} $ 

$= {a^{k + 1}} + (k + 1){a^k}bA\quad  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{A^2} = A \cdot A = } \right.\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1 \\   0&0  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&1 \\   0&0  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0 \\   0&0  \end{array}} \right] = 0} \right] $  

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = R.H.S $ 

अतः परिणाम $n = k + 1$ के लिए भी सत्य है|

गणितीय आगमन के सिद्धात प्रामाणित होता है कि ${(aI + bA)^n} = {a^n}I + n{a^{n - 1}}bA$ समस्त प्राकृत संख्याओ $n$ के लिए सत्य है।

प्रश्न 2 यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&1 \\   1&1&1 \\   1&1&1  \end{array}} \right]}$ तो सिद्ध कीजिए कि  \[\mathbf{{A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}  \end{array}} \right],n \in N\mid }\] 

उत्तर: दिया जाता है $P(n) = {A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}  \end{array}} \right],n \in N$ 

अतः $P(n) = {A^1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^0}}&{{3^0}}&{{3^0}} \\   {{3^0}}&{{3^0}}&{{3^0}} \\   {{3^0}}&{{3^0}}&{{3^0}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&1 \\   1&1&1 \\   1&1&1  \end{array}} \right] = A$ 

अतः परिणाम \[n = 1\]के लिए भी सत्य है|

माना परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है|

इसीलिए $P(k) = {A^k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}  \end{array}} \right]$ 

सिद्ध करना है परिणाम $n = k + 1$ के लिए भी सत्य है|

अर्थात: $P(k + 1) = {A^{k + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \\   {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \\   {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}}  \end{array}} \right]$ 

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {A^{k + !}} = {A^k}A $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}}}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&1&1 \\   1&1&1 \\   1&1&1  \end{array}} \right]$

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}} \\   {{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}&{{3^{k - 1}} + {3^{k - 1}} + {3^{k - 1}}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}} \\   {{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}} \\   {{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}}&{{{3.3}^{k - 1}}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \\   {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \\   {{3^k}}&{{3^k}}&{{3^k}} \end{array}} \right] = R \cdot H \cdot S $  

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {\text{ R}}{\text{.H}}{\text{.S }} $

अतः परिणाम $n = k + 1$ के लिए भी सत्य है |

गणितीय आगमन के सिद्धात प्रामाणित होता है कि 

${A^n}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}} \\   {{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}&{{3^{n - 1}}}  \end{array}} \right],$ समस्त प्राकृत संख्याओ $n$ के लिए सत्य है ।

प्रश्न 3 यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 4} \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right]}$  तो सिद्ध कीजिए कि$\mathbf{{A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2n}&{ - 4n} \\   n&{1 - 2n}  \end{array}} \right]}$  जहाँ $n$ एक पूर्णांक है |

उत्तर:  $P(n) = {A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2n}&{ - 4n} \\   n&{1 - 2n}  \end{array}} \right]$ 

इसीलिए $P(1) = {A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2(1)}&{ - 4(1)} \\   1&{1 - 2(1)}   \end{array}} \right]$ 

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  3&{ - 4} \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right] = A$ 

अतः परिणाम \[n = 1\] के लिए सत्य है |

माना परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है |

इसीलिए $ \Rightarrow P(k) = {A^k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2k}&{ - 4k} \\   k&{1 - 2k}  \end{array}} \right]$ 

अब हमें सिद्ध करना है परिणाम के लिए भी सत्य है।

अर्थात

$\Rightarrow P(k + 1) = {A^{k + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2(k + 1)}&{ - 4(k + 1)} \\   {k + 1}&{1 - 2(k + 1)}  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {A^{k + 1}} = {A^k}A $

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2k}&{ - 4k} \\   k&{1 - 2k}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&{ - 4} \\   1&{ - 1}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {3 + 6k - 4k}&{ - 4 - 8k + 4k} \\   {3k + 1 - 2k}&{ - 4k - 1 + 2k}  \end{array}} \right]$

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + (2k + 2)}&{ - 4k - 4} \\   {k + 1}&{1 - (2k + 2)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2(k + 1)}&{ - 4(2k + 2)} \\   {k + 1}&{1 - 2(k + 1)}  \end{array}} \right] = {\text{ R}}{\text{.H}}{\text{.S }} $  

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {\text{ R}}{\text{.H}}{\text{.S }} $

अतः परिणाम $n = k + 1$ केलिए भी सत्य है |

गणितीय आगमन के सिद्धात प्रामाणित होता है कि 

${A^n}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 + 2n}&{ - 4n} \\   n&{1 - 2n}  \end{array}} \right]$ 

 समस्त प्राकृत संख्याऔ $n$  के लिए सत्य है । 

प्रश्न 4 यदि $A$  तथा $B$ सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि $AB - BA$ एक विषम सममित आव्यूह है।

उत्तर:

${(AB - BA)^\prime } = {(AB)^\prime } - {(BA)^\prime } $  

$= {B^\prime }{A^\prime } - {A^\prime }{B^\prime } \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$= BA - AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {.{A^\prime } = A,{B^\prime } = B} \right] $  

$=  - (AB - BA) $  

$\Rightarrow (AB - BA) $  

$=  - (AB - BA) $

इसीलिए आव्यूह \[(AB - BA)\] एक विषम सममित है |

प्रश्न 5 सिद्ध कीजिए कि आव्यूह ${B^\prime }AB$ सममित अथवा विषम सममित है यदि $A$ सममित अथवा विषम सममित है।

उत्तर: यदि $A$ सममित आव्यूह है।

 अत : ${A^\prime } = A$ 

यहां

 ${\left( {{B^\prime }AB} \right)^\prime } = {(AB)^\prime }{\left( {{B^\prime }} \right)^\prime } \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$= {B^\prime }{A^\prime }B \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{{(B)}^\prime } = B} \right] $  

$= {B^\prime }AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$= {B^\prime }AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{A^\prime } = A} \right] $  

$\Rightarrow {\left( {{B^\prime }AB} \right)^\prime } = {B^\prime }AB$

इसीलिए आव्यूह \[B'AB\] एक सममित आव्यूह है |

यदि \[A\] विषम सममित आव्यूह है |

अतः ${A^\prime } =  - A$
यहाँ 

${\left( {{B^\prime }AB} \right)^\prime } = {(AB)^\prime }{\left( {{B^\prime }} \right)^\prime } \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ...\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$= {(AB)^\prime }B \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left[ {{{(B)}^\prime } = B} \right] $  

$= {B^\prime }AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ...\left[ {{{(AB)}^\prime } = {B^\prime }{A^\prime }} \right] $  

$=  - {B^\prime }AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..\left[ {{A^\prime } =  - A} \right] $  

$\Rightarrow {\left( {{B^\prime }AB} \right)^\prime } =  - {B^\prime }AB$  

इसिलए आव्यूह \[B'AB\] विषम सममित आव्यूह है |

प्रश्न  6 $x,y$ तथा $z$ के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right]}$  समीकरण $A{A^\prime } = I$ को संतुष्ट करता है।

उत्तर: यहाँ ${A^\prime }A = I$ 

$\Rightarrow {\left[ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right]} \right]^\prime } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{2y}&z \\   x&y&{ - z} \\   x&{ - y}&z  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {0 + 4{y^2} + {z^2}}&{0 + 2{y^2} - {z^2}}&{0 - 2{y^2} + {z^2}} \\   {0 + 2{y^2} - {z^2}}&{{x^2} + {y^2} + {z^2}}&{{x^2} - {y^2} - {z^2}} \\   {0 - 2{y^2} + {z^2}}&{{x^2} - {y^2} - {z^2}}&{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&0 \\   0&1&0 \\   0&0&1  \end{array}} \right] $

यदि दो आव्यूह सामान है तो उनके सगत अवयव भी सामान होते है, 

अत: $4{y^2} + {z^2} = 1$ 

$\Rightarrow x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }} $  

$2{y^2} - {z^2} = 0 $  

$\Rightarrow y =  \pm \frac{1}{{\sqrt 6 }} $  

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 $  

$\Rightarrow z =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

प्रश्न  7 $x$  के किस मान के लिए $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&0 \\   2&0&1 \\   1&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   2 \\   x  \end{array}} \right] = O}$ है|

उत्तर: यहाँ $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&1  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&0 \\   2&0&1 \\   1&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   2 \\   x  \end{array}} \right] = 0$ 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {1 + 4 + 1}&{2 + 0 + 0}&{0 + 2 + 2}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   2 \\   x  \end{array}} \right] = 0 $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  6&2&4  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0 \\   2 \\   x  \end{array}} \right] = 0 $

$\Rightarrow [6(0) + 2(2) + 4(x)] = 0 $  

$\Rightarrow [0 + 4 + 4x] = [0] $  

$\Rightarrow 4 + 4x = 0 $  

$\Rightarrow x =  - 1$

प्रश्न  8 यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]}$  तो सिद्ध कीजिए कि$\mathbf{{A^2} - 5A + 7I = {\text{0}}}$ है|

उत्तर:  दिया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]$ 

$\Rightarrow {\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = {A^2} - 5A + 7I $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array}} \right] - 5\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  3&1 \\   { - 1}&2  \end{array} + 7\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right]} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {9 - 1}&{3 + 2} \\   { - 3 - 2}&{ - 1 + 4}  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {15}&5 \\   { - 5}&{10}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  7&0 \\   0&7  \end{array}} \right] $

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  8&5 \\   { - 5}&3  \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {15}&5 \\   { - 5}&{10}  \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  7&0 \\   0&7  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {8 - 15 + 7}&{5 - 5 + 0} \\   { - 5 + 5 + 0}&{3 - 10 + 7}  \end{array}} \right] $

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  0&0 \\   0&0  \end{array}} \right] $  

$= {\text{ R}}{\text{.H}}{\text{.S }} $ 

प्रश्न  9 यदि $\mathbf{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{ - 5}&{ - 1}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x \\   4 \\   1  \end{array}} \right] = 0}$  है तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए|

उत्तर: दिया है $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x&{ - 5}&{ - 1}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0&2 \\   0&2&1 \\   2&0&2  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x \\   4 \\   1  \end{array}} \right] = 0$ 

$ \Rightarrow [x + 0 - 2\quad 0 - 10 + 2x - 5 - 3]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  x \\   4 \\   1 \end{array}} \right] = 0$ 

$\Rightarrow [x(x - 2) - 40 + 2x - 8] = 0 $  

$\Rightarrow \left[ {{x^2} - 2x - 40 + 2x - 8} \right] = [0] $  

$\Rightarrow \left[ {{x^2} - 48} \right] = [0]$ 

$\Rightarrow {x^2} = 48 $

$\Rightarrow x \pm 4\sqrt 3$ 

प्रश्न 10 एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ \[x,y\] तथा $z$ का उत्पादन करता है जिन का वह दो बाजारो में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है:

बाजार उत्पादन

$\mathbf{{\text{1}}} $  

${\text{II}} $ $\mathbf{\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}}$ 

1. यदि $x,y$ तथा $z$ की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः $Rs.2.50,{\text{Rs}}1.50$ तथा \[{\mathbf{Rs}}{\text{ }}{\mathbf{1}}.{\mathbf{00}}\] है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए ।

उत्तर:  यदि $x,y$ तथा $z$ की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः \[Rs{\text{ }}2.50,{\text{ }}Rs{\text{ }}1.50\] तथा \[Rs{\text{ }}1.00\] है तो

बाज़ार ${\text{1}} $

${\text{II}}$ $\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}$ 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{\text{ Rs }}}&{2.50} \\   {{\text{ Rs }}}&{1.50} \\   {Rs}&{1.00}  \end{array}} \right]$ 

प्रत्येक बाज़ार में कुल आय 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{\text{ Rs }}2.50} \\   {{\text{ Rs }}1.50} \\   {{\text{ Rs }}1.00}  \end{array}} \right]$ 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {Rs25000 + Rs3000 + Rs18000} \\   {Rs15000 + Rs30000 + Rs8000}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {Rs46000} \\   {Rs53000}  \end{array}} \right]$ 

अत: बाजार I में कुल आय $Rs46000$ और बाजार ${\text{II}}$  में कुल आय Rs53000 है|

2. यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (cost ) क्रमशः \[\mathbf{{\mathbf{Rs2}}.{\mathbf{00}},{\text{ }}{\mathbf{Rs}}{\text{ }}{\mathbf{1}}.{\mathbf{00}}}\] तथा पैसे 50 है तो कुल लाभ (Gross profit) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (cost ) क्रमशः \[{\mathbf{Rs2}}.{\mathbf{00}},{\text{ }}{\mathbf{Rs}}{\text{ }}{\mathbf{1}}.{\mathbf{00}}\] तथा पैसे 50 है तो 

लागत वस्तुएं 

बाजार ${\text{I}}$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}} \right]$ 

बाजार ${\text{II}}$

प्रत्येक बाज़ार मेंकुल आय 

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {10,000}&{2,000}&{18,000} \\   {6,000}&{20,000}&{8,000}  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{\text{ Rs }}}&{2.50} \\   {{\text{ Rs }}}&{1.00} \\   {Rs}&{0.50}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {Rs20000 + Rs2000 + Rs9000} \\   {Rs12000 + Rs20000 + Rs4000}  \end{array}} \right] $  

$= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{\text{ Rs }}31000} \\   {Rs36000}  \end{array}} \right] $

बाजार ${\text{I}}$ में कुल आय \[Rs46000\] और बाजार ${\text{I}}$ में कुल लागत \[Rs31000\] है।

बाजार ${\text{II}}$ में कुल आय ${\text{Rs}}53000$ और बाजार ${\text{II}}$ में कुल लागत \[Rs36000\] है।

अत: कुल लाभ बाजार ${\text{I}} = $ आय- लागत

$ \Rightarrow \operatorname{Rs} 46000 - \operatorname{Rs} 31000$ 

\[ = Rs15000\] 

अत: कुल लाभ बाजार ${\text{II}} = $ आय- लागत

$\Rightarrow \operatorname{Rs} 53000 - Rs36000 $  

$= \operatorname{Rs} 17000 $ 

प्रश्न 11 आव्यूह $X$ ज्ञात कीजिए यदि $\mathbf{X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&2&3 \\   4&5&6  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&{ - 8}&{ - 9} \\   2&4&6  \end{array}} \right]}$ है|

उत्तर: माना, $X = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  a&b \\   c&d  \end{array}} \right]$  

इस प्रकार $X = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   4&5&6  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&{ - 8}&{ - 9} \\   2&4&6  \end{array}} \right]$ 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  a&b \\   c&d  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&2&3 \\   4&5&6  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&{ - 8}&{ - 9} \\   2&4&6  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a + 4b}&{2a + 5b}&{3a + 6b} \\   {c + 4d}&{2c + 5d}&{3c + 6d}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  { - 7}&{ - 8}&{ - 9} \\   2&4&6  \end{array}} \right] $

यदि दो आव्यूह सामान है तो उनके सगत अवयव भी सामान होते है. 

इस प्रकार

$\begin{array}{*{20}{c}}  {a + 4c =  - 7}&{2a + 5c =  - 8}&{3a + 6c =  - 9} \\   {b + 4d = 2}&{2b + 5d = 4}&{3b + 6d = 6}  \end{array}$ 

हल करने पर

$a + 4c =  - 7 \Rightarrow  $  

$a =  - 7 - 4c $  

$2a + 5c =  - 8 $  

$\Rightarrow  - 14 - 8c + 5c =  - 8$ 

$\Rightarrow  - 3c = 6 $  

$\Rightarrow c =  - 2 $  

$\therefore a =  - 7 - 4( - 2) =  - 7 + 8 = 1 $  

$\Rightarrow a = 1$ 

हल करने पर 

$b + 4d = 2 $  

$\Rightarrow b = 2 - 4d $  

$2b + 5d = 4 $  

$\Rightarrow 4 - 8d + 5d = 4 $  

$\Rightarrow  - 3d = 0 $  

$\Rightarrow d = 0 $  

$\therefore b = 2 - 4(0) = 2 $  

$\Rightarrow b = 2$ 

अतः $a = 1,b =  - 2,c = 2d = 0$ 

$\therefore X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&{ - 2} \\   2&0  \end{array}} \right]$

प्रश्न 12 यदि $A$ तथा $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = BA$ है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि $A{B^{\prime \prime }} = {B^{\prime \prime }}A$ होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त $n \in N$ के लिए $\mathbf{{(AB)^{\prime \prime }} = {A^{\prime \prime }}{B^{\prime \prime }}}$ होगा।

निम्लिखित प्रश्रों में सही उत्तर चुनिए:

उतर: यहाँ $P(n) = A{B^{\prime \prime }} = {B^n}A$ 

इसीलिए \[{\text{P(1) = A B = B A}}\] 

अतः परिणाम \[n = 1\] के लिए सत्य है |

माना परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है |

इसीलिए  $P(k) = A{B^k} = {B^k}A$ 

अब हमें सिद्ध करना है परिणाम$n = k + 1$ के लिए सत्य है |

अर्थात $P(k + 1) = A{B^{k + 1}} = {B^{k + 1}}A$ 

${\text{ L}}{\text{.H}}{\text{.S }} = A{B^{k + 1}} $  

$= A{B^k}B \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {A{B^k} = {B^k}A} \right] $  $ = {B^k}BA \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..[AB = BA] $  

$= {B^{k + 1}}A = R.H.S $

अतः परिणाम $n = k + 1$  के लिए सत्य है |

गणितीय आगमन के सिद्धात प्रामाणित होता है कि, $A{B^n} = {B^n}A$ समस्त प्राकृत संख्याओ कि लिए सत्य है ।

${(AB)^n} = {A^n}{B^n}$ 

यहां $P(n) = {(AB)^n} = {A^n}{B^n}$ 

इसीलिए $P(1) = {(AB)^1} = {A^1}{B^1}$ 

अतः परिणाम \[n = 1\] के लिए सत्य है |

माना परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है |

इसीलिए  $P(k) = {(AB)^k} = {A^k}{B^k}$ 

अब हमें सिद्ध करना है परिणाम $n = k + 1$  के लिए भी सत्य है ।

अर्थात $P(k + 1) = {(AB)^{k + 1}} = {A^{k + 1}}{B^{k + 1}}$ 

${\text{L}}{\text{. }}H.S = {(AB)^{k + 1}} $  

$= {(AB)^k}AB \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .\left[ {{{(AB)}^k} = {A^k}{B^k}} \right] $  

$= {A^k}A{B^k}B \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots .[AB = BA] $  

$= {A^{k + 1}}{B^{k + 1}} = R.H.S $

अतः परिणाम $n = k + 1$  के लिए सत्य है |

गणितीय आगमन के सिद्धात प्रामाणित होता है कि$,{(AB)^n} = {A^n}{B^n}$ समस्त प्राकृत संख्याओ कि लिए सत्य है ।

प्रश्न 13 यदि $\mathbf{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  \alpha &\beta  \\   \gamma &{ - \alpha } \end{array}} \right]}$  इस प्रकार है कि ${A^2} = I$ तो 

1. $\mathbf{I + {\alpha ^2} + \beta \gamma  = 0}$ 

2. $\mathbf{I - {\alpha ^2} + \beta \gamma  = 0}$ 

3. $\mathbf{I - {\alpha ^2} - \beta \gamma  = 0}$ 

4. $\mathbf{I + {\alpha ^2} - \beta \gamma  = 0}$

उत्तर: उत्तर 13 विकल्प (C) सही है 

दिया गया है ${A^2} = I$ 

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  \alpha &\beta  \\   \gamma &{ - \alpha }  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  \alpha &\beta  \\   \gamma &{ - \alpha }  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  1&0 \\   0&1  \end{array}} \right] $  

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{\alpha ^2} + \beta \gamma }&{\alpha \beta  - \beta \gamma } \\   {\alpha \gamma  - \alpha \gamma }&{\beta \gamma  + {\alpha ^2}}  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}  1&0 \\   0&1   \end{array}} \right] $

अतः ${\alpha ^2} + \beta \gamma  = 1$ 

प्रश्न 14 यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो : 

1.  एक विकर्ण आव्यूह है

2.  एक शून्ये आव्यूह है

3.  एक वर्ग आव्यूह है

4.  इनमें से कोई नहीं

उत्तर: विकल्प (B) सही है।

एक शून्ये आव्यूह एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है।

प्रश्न 15 यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि ${A^2} = A$ तो $\left( {I + {A^3}} \right) - 7A$ बराबर है:

1. A 

2. I - A 

3. I

4. 3A 

उत्तर:  विकल्प (C) सही है। 

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