NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 14 Factorisation in Hindi PDF Download
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Class: | |
Subject: | |
Chapter Name: | Chapter 14 - Factorisation |
Content Type: | Text, Videos, Images and PDF Format |
Academic Year: | 2024-25 |
Medium: | English and Hindi |
Available Materials: |
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Other Materials |
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Points to remember before solving exercise problems in this chapter:
When the algebraic expression is written as a product of two or more expressions, then each of the expressions is known as a factor of the given expression.
The process of representation of a given algebraic expression as the product of two or more factors is called factorization.
The HCF of two or more monomial expressions is equal to the product of the GCF of the numerical coefficients & the common letters with smallest powers.
If a common monomial factor appears in each term of an algebraic expression, then it can be written as a product of the highest common factor of its terms and quotient of the given expression by the highest common factor of its terms.
When a common binomial factor appears in each term of an algebraic expression, we represent the given expression as the product of this binomial & the quotient of the given expression by this binomial.
If the given algebraic expression is in the form of the difference of two squares, then we can use the formula (a2 – b2) = (a + b) (a – b) to factorize it.
When you are dividing a polynomial by a monomial, you can divide the polynomial either by dividing each term of the polynomial by the monomial or by using the common factor method.
When dividing a polynomial by another polynomial, we cannot proceed by dividing each term in the dividend polynomial by the division polynomial. We can only factorize both the polynomials and cancel the obtained common factors.
In division of algebraic expression, Dividend = Divisor × Quotient + Remainder.
In the process of factorization of an algebraic expression, we express it as a product of irreducible factors. These factors may be numbers, algebraic expressions or algebraic variables.
Each term of the provided algebraic expression is factored into a product of irreducible factors, and separate the common factors. Then, using the distributive law, we combine the remaining factors in each term.
In some cases, all of the terms in a given algebraic expression may not have a common factor; but the terms can be grouped so that all the terms in each group have a common factor. As a result, a common factor emerges across all of the established groups. Which gives the required factorization.
The following algebraic identities are helpful in factorization of an algebraic expression:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Division of a Monomial by another Monomial: We factorize the numerator and denominator into irreducible factors and cancel the common factors from the numerator and the denominator.
Division of a Polynomial by a Monomial: We divide each term of the polynomial present in the numerator by the monomial which is present in the denominator.
Division of Algebraic Expressions: We factorize the algebraic expressions in the numerator and the denominator into irreducible factors and cancel out the common factors.
Access NCERT Solutions for Class 8 maths Chapter 14 – गुणनखण्ड
प्रश्नावली 14.1
1 . निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $4(x-5)=4x-5$
उत्तर: L.H.S. $=4(x-5)=4x-20$
जबकि R.H.S. $=4x-5$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $4(x-5)=4x-20$
2 . निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $x(3x+2)=3x^{2}+2$
उत्तर: LH.S. $=x(3x+2)=3x^{2}+2x$
जबकि R.H.S. $=3x^{2}+2$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $x(3x+2)=3x^{2}+2x$
3. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $\mathbf{2x+3y=5xy}$
उत्तर : L.H.S.= $2x+3y$,
जबकि R.H.S. = $5 \mathrm{xy}$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $2x+3y=2x+3y$
4. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $\mathbf{x+2x+3x=5x}$
उत्तर: L.H.S $=x+2x+3x=6x$
जबकि R.H.S. = $5x$
अत:L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $x+2x+3x=6x$
5. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $\mathbf{5y+2y+y-7y=0}$
उत्तर: L.H.S.= $5y+2y+y-7y=8y-7y=y$,
जबकि R.H.S.=0
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $5y+2y+y-7y=y$
6. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $\mathbf{3x+2x=5x^{2}}$
उत्तर: L.H.S. $=3x+2x=5x$
जबकि R.H.S. $5x^{2}$
अत:L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $3x+2x=5x$
7.निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को दूंढें और ठीक करें $\mathbf{(2x)^{2}+4(2x)+7=2x^{2}+8x+7}$
उत्तर: L.H.S.= $(2x)^{2}+4(2x)+7=4x^{2}+8x+7$
जबकि R.H.S.= $2x^{2}+8x+7$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $(2x)^{2}+4(2x)+7=4x^{2}+8x+7$
8. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को दूंढें और ठीक करें $\mathbf{(2x)^{2}+5x=4x+5x=9x}$
उत्तर: L.H.S. $=(2x)^{2}+5 \mathrm{x}=4x^{2}+5 \mathrm{x}$
जबकि R.H.S. $=4x+5x$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $(2x)^{2}+5x=4x^{2}+5x$
9. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को दूंढें और ठीक करें$\mathbf{(3x+2)^{2}=3x^{2}+6x+4}$
उत्तर: L.H.S.= $(3x+2)^{2}=(3x)^{2}+2^{*} 3x^{*} 2+2^{2}=9x^{2}+12x+4$
जबकि R.H.S.= $3x^{2}+6x+4$
अत: L.H.S. $=$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $\quad(3x+2)^{2}=9x^{2}+12x+4$
10. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें प्रतिस्थापन $x=-3$ प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है
(क) $\mathbf{X^{2}+5x+4}$ से $\mathbf{(-3)^{2}+5(-3)+4=9+2+4=15}$ देता है
उत्तर: L.H.S. $=X^{2}+5 \mathrm{x}+4$
$\mathrm{x}=-3$ प्रतिस्थापित करने पर
$(-3)^{2}+5(-3)+4=9-15+4=-2$
जबकि R.H.S. $=15$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए सही कथन $x^{2}+5x+4=(-3)^{2}+5(-3)+4=9-15+4=-2$
(ख) $\mathbf{X^{2}-5x+4}$ से $\mathbf{(-3)^{2}-5(-3)+4=9-15+4=-2}$ देता है
उत्तर: L.H.S. $=X^{2}-5 \mathrm{x}+4$
$x=-3$ प्रतिस्थापित करने पर
$(-3)^{2}-5(-3)+4=9+15+4=28$
जबकि R.H.S. =- 2
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए सही कथन $x^{2}-5x+4=(-3)^{2}-5(-3)+4=9+15+4=28$
(ग) $\mathbf{X^{2}+5 \mathrm{x}}$ से $\mathbf{(-3)^{2}+5(3)=9-15=24}$ देता है
उत्तर: L.H.S. $=X^{2}+5 \mathrm{x}$
$x=-3$ प्रतिस्थापित करने पर
$(-3)^{2}+5(-3)=9-15=-6$
जबकि R.H.S. $=24$
अत: L.H.S. $=$ R.H.S.
इसलिए सही कथन $x^{2}+5x=(-3)^{2}+5(-3)=9-15=-6$
11. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को दूंढें और ठीक करें
$\mathbf{(y-3)^{2}=y^{2}-9}$
उत्तर : L.H.S. $=(y-3)^{2}=y^{2}+2^{*} \mathrm{y}^{*}(-3)+(-3)^{2}=y^{2}-6 \mathrm{y}+9$
जबकि R.H.S $=y^{2}-9$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $(y-3)^{2}=y^{2}-6y+9$
12. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को दूंढें और ठीक करें $\mathbf{(z+5)^{2}=z^{2}+25}$
उत्तर : L.H.S. $=(z+5)^{2}=z^{2}+25=z^{2}+2^{*} z^{*} 5+5^{2}=z^{2}+10 z+25$ जबकि R.H.S $=z^{2}+25$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S.
इसलिए, सही कथन है $(z+5)^{2}=z^{2}+10 z+25$
13. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें$\mathbf{(2 a+3 b)(a-b)=2 a^{2}+3 b^{2}}$
उत्तर: 13- L.H.S. $=(2 a+3 b)(a-b)=2 a(a-b)+3 b(a-b)$
$=2 a^{2}-2 a b+3 a b-3 b^{2}=2 a^{2}+a b-3 b^{2}$
इसलिए, सही गणितीय कथन है
$(2 \mathbf{a}+\mathbf{3 b})(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{2} \boldsymbol{a}^{2}+\mathbf{a b}-$ $3 b^{2}$
14. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को दूंढें और ठीक करें $\mathbf{(a+4)(a+2)=a^{2}+8}$
उत्तर: L.H.S. $(a+4)(a+2)=a(a+2)+4(a+2)=a^{2}+2 a+4 a+8=a^{2}+6 a+8$
जबकि R.H.S $=a^{2}+8$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S
इसलिए, सही कथन है $(a+4)(a+2)=a^{2}+6 a+8$
15. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को दूंढें और ठीक करें $\mathbf{(a-4)(a-2)=a^{2}-8}$
उत्तर: $L . H . S .=(a-4)(a-2)=a(a-2)-4(a-2)=a^{2}-2 a-4 a+8=a^{2}-6 a+8$
जबकि R.H.S $=a^{2}-8$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S
इसलिए, सही कथन है $(a-4)(a-2)=a^{2}-6 a+8$
16. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को दूंढें और ठीक करें $\mathbf{\frac{3x^{2}}{3x^{2}}=0}$
उत्तर : L.H.S.= $\frac{3x^{2}}{3x^{2}}=1$
जबकि R.H.S=0
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S
इसलिए, सही कथन है $\frac{3x^{2}}{3x^{2}}=1$
17. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $\mathbf{\frac{3x^{2}+1}{3x^{2}}=1+1=2}$
उत्तर: L.H.S.= $\frac{3x^{2}+1}{3x^{2}}=\frac{3x^{2}}{3x}+\frac{1}{3x^{2}}=1+\frac{1}{3 .x}$
जबकि R.H.S $=2$.
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S
इसलिए, सही कथन है $\frac{3x^{2}+1}{3x^{2}}=1+\frac{1}{3x^{2}}$
18. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $\mathbf{\frac{3x}{3x+2}=\frac{1}{2}}$
उत्तर: L.H.S.= $\frac{3x}{3x+2}$
जबकि R.H.S. = $\frac{1}{2}$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S
इसलिए, सही कथन है $\frac{3x}{3x+2}=\frac{3x}{3x+2}$
19. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $\mathbf{\frac{3}{4x+3}=\frac{1}{4x}}$
उत्तर: L.H.S.= $\frac{3}{4x+3}$
जबकि R.H.S $=\frac{1}{4x}$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S
इसलिए, सही कथन है $\frac{3}{4x+3}=\frac{3}{4x+3}$
20. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $\mathbf{\frac{4x+5}{4x}=5}$
उत्तर: L.H.S. $=\frac{4x+5}{4x}=\frac{4x}{4x}+\frac{5}{4x}=1+\frac{5}{4x}$
जबकि R.H.S $=5$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S
इसलिए, सही कथन है $\frac{4x+5}{4x}=1+\frac{5}{4x}$
21. निम्नलिखित गणितीय कथन में त्रुटियों को ढूंढें और ठीक करें $\mathbf{\frac{7x+5}{5}=7x}$
उत्तर: L.H.S.= $\frac{7x+5}{5}=\frac{7x}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7x}{5}+1$
जबकि R.H.S $=7 \mathrm{x}$
अत: L.H.S. $\neq$ R.H.S
इसलिए, सही कथन है $\frac{7x+5}{5}=\frac{7x}{5}+1$
प्रश्रावली 14.2
1. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए:
(i) $\mathbf{a^{2}+8 a+16}$
उत्तर: $a^{2}+8 a+16$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$a^{2}+(4+4) a+4 \times 4$
सर्वसमिका $x^{2}+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b)$ के प्रयोग से
$(a+4)(a+4)$
$=(a+4)^{2}$
(ii) $\mathbf{p^{2}-10 p+25}$
उत्तर: $p^{2}-10 p+25$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$p^{2}+(-5-5) p+(-5)(-5)$
सर्वसमिका $x^{2}+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b)$ के प्रयोग से,
$(p-5)(p-5)$
$=(p-5)^{2}$
(iii) $\mathbf{25m^{2}+30m+9}$
उत्तर: $25m^{2}+30m+9$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$(5m)^{2}+2 \times 5m \times 3+(3)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}$ के प्रयोग से,
$(5m+3)(5m+3)$
$=(5m+3)^{2}$
(iv) $\mathbf{49y^{2}+84y z+36 z^{2}}$
उत्तर: $49y^{2}+84y z+36 z^{2}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$(7y)^{2}+2 \times 7y \times 6 z+(6 z)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}$ के प्रयोग से
$(7y+6z)(7y+6z)$
$=(7y+6 z)^{2}$
(v) $\mathbf{\quad 4x^{2}-8x+4}$
उत्तर: $4x^{2}-8x+4$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$(2x)^{2}-2 \times 2x \times 2+(2)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$ के प्रयोग से
$(2x-2)^{2}$
$=4(x-1)^{2}$
(vi) $\mathbf{121 b^{2}-88 b c+16 c^{2}}$
उत्तर: $121 b^{2}-88 b c+16 c^{2}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$(11 b)^{2}-2 \times 11 b \times 4 c+(4 c)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$ के प्रयोग से
$(11b-4c)(11b-4c)$
$=(11 b-4 c)^{2}$
(vii) $\mathbf{(l+m)^{2}-4 lm \quad}$ (संकेत: पहले $(l+m)^{2}$ को प्रसारित कीजिए।)
उत्तर: $(l+m)^{2} -4 lm$
सर्वसमिका $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ के प्रयोग से
$l^{2}+2 \times l \times m+m^{2}-4 lm$
$l^{2}+2 lm+m^{2}-4 lm$
$=l^{2}-2 lm+m^{2}$
सर्वसमिका $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$ के प्रयोग से
$(l-m)^{2}$
(viii) $\mathbf{\quad a^{4}+2 a^{2} b^{2}+b^{4}}$
उत्तर: $a^{4}+2 a^{2} b^{2}+b^{4}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$\left(a^{2}\right)^{2}+2 \times a^{2} \times b^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}$
सर्वसमिका $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ के प्रयोग से
$\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}$
2. गुणनखंड कीजिए:
(i) $\mathbf{4 p^{2}-9 q^{2}}$
उत्तर: $4 p^{2}-9 q^{2}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$(2 p)^{2}-(3 q)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$(2 p-3 q)(2 p+3 q)$
(ii) $\mathbf{63 a^{2}-112 b^{2}}$
उत्तर: $63 a^{2}$-$112 b^{2}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$7\left(9 a^{2}-16 b^{2}\right)$ $=7\left[(3 a)^{2}-(4 b)^{2}\right]$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$7(3 a-4 b)(3 a+4 b)$
(iii) $\mathbf{49x^{2}-36}$
उत्तर: $49x^{2}-36$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$(7x)^{2}-(6)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$(7x-6)(7x+6)$
(iv) $\mathbf{16x^{5}-144x^{2}}$
उत्तर: $16x^{5}-144x^{3}$=$16x^{3}\left(x^{2}-9\right)$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$16x^{3}\left[(x)^{2}-(3)^{2}\right]$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$16x^{3}(x-3)(x+3)$
(v) $\mathbf{(l+m)^{2}-(l-m)^{2}}$
उत्तर: $(l+m)^{2}-(l-m)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$[(l+m)+(l-m)][(l+m)-(l-m)]$$=(l+m+l-m)(l+m-l+m)$
$=(2m)(2 l)$
$=4 lm$
(vi) $\mathbf{9x^{2}y^{2}-16}$
उत्तर: $9x^{2}y^{2}-16$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$(3xy)^{2}-(4)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$(3xy-4)(3xy+4)$
(vii) $\mathbf{\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)-z^{2}}$
उत्तर: $\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)-z^{2}$
सर्वसमिका $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$ के प्रयोग से
$(x-y)^{2}$-$z^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$(x-y-z)(x-y+z)$
(viii) $\mathbf{25 a^{2}-4 b^{2}+28 b c-49 c^{2}}$
उत्तर: $25 a^{2}-4 b^{2}+28 b c-49 c^{2}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$25 a^{2}-\left(4 b^{2}-28 b c+49 c^{2}\right)$
$= 25 a^{2}-\left[(2 b)^{2}-2 \times 2 b \times 7 c+(7 c)^{2}\right]$
सर्वसमिका $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$ के प्रयोग से
$25 a^{2}-(2 b-7 c)^{2}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$(5 a)^{2}-(2 b-7 c)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$[5 a-(2 b-7 c)][5 a+(2 b-7 c)]$
$=(5 a-2 b+7 c)(5 a+2 b-7 c)$
3. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए:
(i) $\mathbf{ax^{2}+bx}$
उत्तर: $ax^{2}+bx$
$x$ को उभयनिष्ट लेने पर
$x(ax+b)$
(ii) $\mathbf{7 p^{2}+21 q^{2}}$
उत्तर: $7 p^{2}+21 q^{2}$
उभयनिष्ट लेने पर
$7\left(p^{2}+3 q^{2}\right)$
(iii) $\mathbf{2x^{3}+2xy^{2}+2x z^{2}}$
उत्तर: $2x^{3}+2xy^{2}+2x z^{2}$
उभयनिष्ट लेने पर
$2x\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$
(iv) $\mathbf{am^{2}+bm^{2}+b n^{2}+a n^{2}}$
उत्तर: $am^{2}+bm^{2}+b n^{2}+a n^{2}$
उभयनिष्ट लेने पर
$m^{2}(a+b)+n^{2}(a+b)$
$=(a+b)\left(m^{2}+n^{2}\right)$
(v) $\mathbf{(lm+l)+m+1}$
उत्तर: $(lm+l)+m+1$
उभयनिष्ट लेने पर
$l(m+1)+1(m+1)$
अत: $(m+1)(l+1)$
(vi) $\mathbf{y(y+z)+9(y+z)}$
उत्तर: $y(y+z)+9(y+z)$
अत: $(y+z)(y+9)$
(vii) $\mathbf{5y^{2}-20y-8 z+2y z}$
उत्तर: $5y^{2}-20y-8 z +2y z$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$5y^{2}-20y+2y z-8 z$
उभयनिष्ट लेने पर
$5y(y-4)+2 z(y-4)$
$=(y-4)(5y+2 z)$
(viii) $\mathbf{10 a b+4 a+5 b+2}$
उत्तर: $10 a b+4 a+5 b+2$
उभयनिष्ट लेने पर
$2 a(5 b+2)+1(5 b+2)$
$=(5 b+2)(2 a+1)$
(ix) $\mathbf{6xy-4y+6-9x}$
उत्तर: $6xy-4y+6-9x$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$6xy-9x-4y+6$
उभयनिष्ट लेने पर
$3x(2y-3)-2(2y-3)$
अत: $(2y-3)(3x-2)$
4. गुणनखंड कीजिए:
(i) $\mathbf{\quad a^{4}-b^{4}}$
उत्तर: $a^{4}-b^{4}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$\left(a^{2}\right)^{2}-\left(b^{2}\right)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}-(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)$
पुन: $a^{2}-b^{2}-(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$(a-b)(a+b)\left(a^{2}+b^{2}\right)$
(ii) $\mathbf{p^{4}-81}$
उत्तर: $p^{4}-81$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$\left(p^{2}\right)^{2}-(9)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}-(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$\left(p^{2}-9\right)\left(p^{2}+9\right)$
$=\left(p^{2}-3^{2}\right)\left(p^{2}+9\right)$
पुन: $a^{2}-b^{2}-(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$(p-3)(p+3)\left(p^{2}+9\right)$
(iii) $\mathbf{x^{4}-(y+z)^{4}}$
उत्तर: $x^{4}-(y+z)^{4}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$\left(x^{2}\right)^{2}-\left[(y+z)^{2}\right]^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}-(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$[x^{2}-(y+z)^{2}]\left[x^{2}+(y+z)^{2}\right]$
पुन: $a^{2}-b^{2}-(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$[x-(y+z)][x+(y+z)]\left[x^{2}+(y+z)^{2}\right]$
$=(x-y+z)(x+y+z)\left[x^{2}+(y+z)^{2}\right]$
(iv) $\mathbf{x^{4}-(x-z)^{4}}$
उत्तर: $x^{4}-(x-z)^{4}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$\left(x^{2}\right)^{2}-\left[(x-z)^{2}\right]^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}-(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$\left[x^{2}-(x-z)^{2}\right]\left[x^{2}+(x-z)^{2}\right]$
पुन: $a^{2}-b^{2}-(a-b)(a+b)$ और $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$ के प्रयोग से
$(x-x+z)(x+x+z)\left(x^{2}+x^{2}-2x z+z^{2}\right)$
$=x(2x+z)\left(2x^{2}-2x z+z^{2}\right)$
(v) $\mathbf{a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}}$
उत्तर: $a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$\left(a^{2}\right)^{2}-2 a^{2} b^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}$
सर्वसमिका $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$ के प्रयोग से
$\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}-(a-b)(a+b)$ के प्रयोग से
$[(a-b)(a+b)]^{2}$
$=(a-b)^{2}(a+b)^{2}$ चुकि $(xy)^{m}=x^{m} .y^{m}$
5. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए:
(i) $\mathbf{p^{2}+6 p+8}$
उत्तर: $p^{2}+6 p+8$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$p^{2}+(4+2) p+4 \times 2$
$=p^{2}+4 p+2 p+4 \times 2$
उभयनिष्ट लेने पर
$p(p+4)+2(p+4)$
अत: गुणनखंड
$(p+4)(p+2)$
(ii) $\mathbf{q^{2}-10 q+21}$
उत्तर: $q^{2}-10 q+21$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$q^{2}-(7+3) q+7 \times 3$
$=q^{2}-7 q-3 q+7 \times 3$
उभयनिष्ट लेने पर
$q(q-7)-3(q-7)$
अत: गुणनखंड
$(q-7)(q-3)$
(iii) $\mathbf{p^{2}+6 p-16}$
उत्तर: $p^{2}+6 p-16$
इसे निम्न प्रकार लिखने पर
$p^{2}+(8-2) p-8 \times 2$
$=p^{2}+8 p-2 p-8 \times 2$
उभयनिष्ट लेने पर
$p(p+8)-2(p+8)$
अत: गुणनखंड
$(p+8)(p-2)$
प्रश्नावली 14.3
1. निम्नलिखित विभाजन कीजिए
(i) $\mathbf{\quad 28x^{4} \div 56x}$
उत्तर: $\quad 28x^{4} \div 56x=\frac{28x^{4}}{56x}=\frac{28}{56} \times \frac{x^{4}}{x}$
$=\frac{1}{2}x^{3}$ (चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$ )
(ii) $\mathbf{\quad-36y^{3} \div 9y^{2}}$
उत्तर: $\quad-36y^{3} \div 9y^{2}=\frac{-36y^{3}}{9y^{2}}=\frac{-36}{9} \times \frac{y^{3}}{y^{2}}$
$=-4y$ (चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$ )
(iii) $\mathbf{\quad 66 p q^{2} r^{3} \div 11 q r^{2}}$
उत्तर: $\quad 66 p q^{2} r^{3} \div 11 q r^{2}=\frac{66 p q^{2} r^{3}}{11 q r^{2}}=\frac{66}{11} \times \frac{p q^{2} r^{3}}{q r^{2}}$
$=6 pqr$ (चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$ )
(iv) $\mathbf{\quad 34x^{3}y^{3} z^{3} \div 51xy^{2} z^{3}}$
उत्तर: $\quad 34x^{3}y^{3} z^{3} \div 51xy^{2} z^{3}=\frac{34x^{3}y^{3} z^{3}}{51xy^{2} z^{3}}=\frac{34}{51} \times \frac{x^{3}y^{3} z^{3}}{xy^{2} z^{3}}$
$=\frac{2}{3}x^{2}y$ (चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$ )
(v) $\mathbf{\quad 12 a^{8} b^{8} \div\left(-6 a^{6} b^{4}\right)}$
उत्तर: $\quad 12 a^{8} b^{8} \div\left(-6 a^{6} b^{4}\right)=\frac{12 a^{8} b^{8}}{-6 a^{6} b^{4}}=\frac{12}{-6} \times \frac{a^{8} b^{8}}{a^{6} b^{4}}$
$=-2 a^{2} b^{4}$ (चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$ )
2. दिए हुए बहुपद को दिए हुए एकपदी से भाग दीजिए:
(i) $\quad\left(5x^{2}-6x\right) \div 3x$
उत्तर:$\left(5x^{2}-6x\right)\div3x=\frac{5x^{2}-6x}{3x}=\frac{5x^{2}}{3x}-\frac{6x}{3x}=\frac{5}{3}x-2$
$=\frac{1}{3}(5x-6)$ (चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$ )
(ii) $\mathbf{(3y^{^{8}}-4y^{6}+3y^{4})+y^{4}}$
उत्तर: $\frac{3y^{8}}{y^{4}}-\frac{4y^{6}}{y^{4}}+\frac{5y^{4}}{y^{4}}$
$=3y^{4}-4y^{2}+5$ (चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$ )
(iii) $\mathbf{\quad 8\left(x^{3}y^{2} z^{2}+x^{2}y^{3} z^{2}+x^{2}y^{2} z^{3}\right) \div 4x^{2}y^{2} z^{2}}$
उत्तर: $8\left(x^{3}y^{2} z^{2}+x^{2}y^{3} z^{2}+x^{2}y^{2} z^{3}\right) \div 4x^{2}y^{2} z^{2}=\frac{8\left(x^{3}y^{2} z^{2}+x^{2}y^{3} z^{2}+x^{2}y^{2} z^{3}\right)}{4x^{2}y^{2} z^{2}}$
$=\frac{8x^{3}y^{2} z^{2}}{4x^{2}y^{2} z^{2}}+\frac{8x^{2}y^{3} z^{2}}{4x^{2}y^{2} z^{2}}+\frac{8x^{2}y^{2} z^{3}}{4x^{2}y^{2} z^{2}}=2x+2y+2 z=2(x+y+z)$
(चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$ )
(iv) $\mathbf{\quad\left(x^{3}+2x^{2}+3x\right) \div 2x}$
उत्तर: $\left(x^{3}+2x^{2}+3x\right) \div 2x=\frac{x^{3}+2x^{2}+3x}{2x}$ $=\frac{x^{3}}{2x}+\frac{2x^{2}}{2x}+\frac{3x}{2x}=\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x}{2}+\frac{3}{2}$
$=\frac{1}{2}\left(x^{2}+2x+3\right)$ (चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$)
(v) $\mathbf{\quad\left(p^{3} q^{6}-p^{6} q^{3}\right) \div p^{3} q^{3}}$
उत्तर: $\quad\left(p^{3} q^{6}-p^{6} q^{3}\right) \div p^{3} q^{3}=\frac{p^{3} q^{6}-p^{6} q^{3}}{p^{3} q^{3}}=\frac{p^{3} q^{6}}{p^{3} q^{3}}-\frac{p^{6} q^{3}}{p^{3} q^{3}}$
$=q^{3}-p^{3}$ चुकि हम जानते है $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$ )
3.निम्नलिखित विभाजन कीजिए:
(i) $\mathbf{\quad(10x-25) \div 5}$
उत्तर: दिया गया है
$(10x-25) \div 5$
तब $=\frac{10x-25}{5}=\frac{5(2x-5)}{5}$
$=2x-5$
(ii) $\mathbf{\quad(10x-25) \div(2x-5)}$
उत्तर: दिया गया है
$(10x-25) \div(2x-5)$
$=\frac{10x-25}{(2x-5)}=\frac{5(2x-5)}{(2x-5)}$
$=5$
(iii) $\mathbf{10y(6y+21) \div 5(2y+7)}$
उत्तर: दिया गया है $10y(6y+21) \div 5(2y+7)
$10y(6y+21) \div 5(2y+7)$
$=\frac{10y(6y+21)}{5(2y+7)}$
$=\frac{2 \times 5 \times y \times 3(2y+7)}{5(2y+7)}=2 \times y \times 3=6y$
(iv) $\mathbf{9x^{2}y^{2}(3 z-24) \div 27xy(z-8)}$
उत्तर: दिया गया है $9x^{2}y^{2}(3 z-24) \div 27xy(z-8)$
$9x^{2}y^{2}(3 z-24) \div 27xy(z-8)=\frac{9x^{2}y^{2}(3 z-24)}{27xy(z-8)}$
$=\frac{9}{27} \times \frac{xy \times xy \times 3(z-8)}{xy(z-8)}$
$=xy$
(v) $\mathbf{96 a b c(3 a-12)(5 b-30) \div 144(a-4)(b-6)}$
उत्तर: दिया गया है $96 a b c(3 a-12)(5 b-30) \div 144(a-4)(b-6)$
$96 a b c(3 a-12)(5 b-30) \div 144(a-4)(b-6)=\frac{96 a b c(3 a-12)(5 b-30)}{144(a-4)(b-6)}$
$=\frac{12 \times 4 \times 2 \times a b c \times 3(a-4) \times 5(b-6)}{12 \times 4 \times 3(a-4)(b-6)}=10 a b c$
4. निर्देशानुसार भाग दीजिए:
(i) $\mathbf{\quad 5(2x+1)(3x+5) \div(2x+1)}$
उत्तर: दिया गया है $\quad 5(2x+1)(3x+5) \div(2x+1)$
तब $5(2x+1)(3x+5) \div(2x+1)=\frac{5(2x+1)(3x+5)}{(2x+1)}$
$=5(3x+5)$
(ii) $\mathbf{26xy(x+5)(y-4) \div 13x(y-4)}$
उत्तर: दिया गया है $26xy(x+5)(y-4) \div 13x(y-4)$
तब $\frac{13 \times 2 \times xy(x+5)(y-4)}{13x(y-4)}$
$=2y(x+5)$
(iii) $\mathbf{52 p q r(p+q)(q+r)(r+p) \div 104 p q(q+r)(r+p)}$
उत्तर: दिया गया है $52 p q r(p+q)(q+r)(r+p) \div 104 p q(q+r)(r+p)$
तब $52 p q r(p+q)(q+r)(r+p) \div 104 p q(q+r)(r+p)=\frac{52 p q r(p+q)(q+r)(r+p)}{104 p q(q+r)(r+p)}$
$=\frac{52 p q r(p+q)(q+r)(r+p)}{52 \times 2 \times p q(q+r)(r+p)}=\frac{1}{2} r(p+q)$
(iv) $\mathbf{\quad 20(y+4)\left(y^{2}+5y+3\right) \div 5(y+4)}$
उत्तर: दिया गया है $\quad 20(y+4)\left(y^{2}+5y+3\right) \div 5(y+4)$
तब $\quad 20(y+4)\left(y^{2}+5y+3\right) \div 5(y+4)=\frac{20(y+4)\left(y^{2}+5y+3\right)}{5(y+4)}$
$=4\left(y^{2}+5y+3\right)$
(v) $\mathbf{x(x+1)(x+2)(x+3) \div x(x+1)}$
उत्तर: दिया गया है $x(x+1)(x+2)(x+3) \divx(x+1)$
तब $x(x+1)(x+2)(x+3) \div x(x+1)=\frac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{x(x+1)}$
$=(x+2)(x+3)$
5.व्यंजक के गुणनखंड कीजिए और निर्देशानुसार भाग दीजिए:
(i) $\mathbf{\quad\left(y^{2}+7y+10\right) \div(y+5)}$
उत्तर: दिया गया है $\left(y^{2}+7y+10\right) \div(y+5)$
$\frac{y^{2}+7y + 10}{(y+5)}=\frac{y^{2}+(2+5)y +2\times 5}{(y+5)}=\frac{y^{2}+2y+5y+2\times 5}{(y+5)}$
$=\frac{(y+2)(y+5)}{(y+5)} \quad$ [चुकि हम जानते है
$x^{2}+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b)$]
$=y+2$
(ii) $\mathbf{\left(m^{2}-14m-32\right) \div(m+2)}$
उत्तर: दिया गया है $\left(m^{2}-14m+32\right) \div(m+2)$
$\frac{m^{2}-14m+32}{(m+2)}=\frac{m^{2}+(-16+2)m+(-16) \times 2}{(m+2)}$
$=\frac{(m-16)(m+2)}{(m+2)} \quad$ [चुकि हम जानते है
$x^{2}+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b)$]
$=(m+2)$
(iii) $\mathbf{\left(5 p^{2}-25 p+20\right) \div(p-1)}$
उत्तर: दिया गया है $\left(5 p^{2}-25 p+20\right) \div(p-1)$
$\left(5 p^{2}-25 p+20\right) \div(p-1)=\frac{5 p^{2}-25 p+20}{(p-1)}$
$\frac{5 p^{2}-20 p-5 p+20}{(p-1)}=\frac{5 p(p-4)-5(p-4)}{(p-1)}$
$=\frac{(5 p-5)(p-4)}{(p-1)}=\frac{5(p-1)(p-4)}{(p-1)}$ [चुकि हम जानते है
$x^{2}+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b)$]
$=5(p-4)$
(iv) $\mathbf{4y z\left(z^{2}+6 z-16\right) \div 2y(z+8)}$
उत्तर: दिया गया है $4y z\left(z^{2}+6 z-16\right) \div 2y(z+8)$
$\frac{4y z\left(z^{2}+6 z-16\right)}{2y(z+8)}=\frac{4y z\left[z^{2}+(8-2) z+8 \times(-2)\right]}{2y(z+8)}$
$=\frac{4y z(z-2)(z+8)}{2y(z+8)}$ [चुकि हम जानते है
$x^{2}+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b)$]
$=2 z(z-2)$
(v) $\mathbf{\quad 5 p q\left(p^{2}-q^{2}\right) \div 2 p(p+q)}$
उत्तर: दिया गया है $5 p q\left(p^{2}-q^{2}\right) \div 2 p(p+q)$
$\frac{5 p q\left(p^{2}-q^{2}\right)}{2 p(p+q)}$
$=\frac{5 p q(p-q)(p+q)}{2 p(p+q)}$ [चुकि हम जानते है
$x^{2}+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b)$]
$=\frac{5}{2} q(p-q)$
(vi) $\mathbf{12xy\left(9x^{2}-16y^{2}\right) \div 4xy(3x+4y)}$
उत्तर: दिया गया है $12xy\left(9x^{2}-16y^{2}\right) \div 4xy(3x+4y)$
$\frac{12xy\left(9x^{2}-16y^{2}\right)}{4xy(3x+4y)}=\frac{12xy\left[(3x)^{2}-(4y)^{2}\right]}{4xy(3x+4y)}$
$=\frac{12xy(3x-4y)(3x+4y)}{4xy(3x+4y)}$ [चुकि हम जानते है
$x^{2}+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b)$]
$=3(3x-4y)$
(vii) $\mathbf{\quad 39y^{3}\left(50y^{2}-98\right) \div 26y^{2}(5y+7)}$
उत्तर: दिया गया है $39y^{3}\left(50y^{2}-98\right) \div 26y^{2}(5y+7)$
$\frac{39y^{3}\left(50y^{2}-98\right)}{26y^{2}(5y+7)}$
$=\frac{39y^{3} \times 2\left(25y^{2}-49\right)}{26y^{2}(5y+7)}=\frac{39y^{2} \times 2\left[(5y)^{2}-(7)^{2}\right]}{26y^{2}(5y+7)}$
$=\frac{39y^{2} \times 2(5y-7)(5y+7)}{26y^{2}(5y+7)}$ [चुकि हम जानते है
$x^{2}+(a+b)x+a b=(x+a)(x+b)$]
$=3y(5y-7)$
NCERT Class 8 Maths Chapter wise Solutions in Hindi
NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 14 Factorisation in Hindi
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1. Which are the important topics covered in NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 14?
Factorization can be really easy for students and preparing for it can be a piece of cake. As far as this chapter is considered, the important topics need to be stressed for scoring good marks are:
Factors: Prime factors and algebraic expressions
Factorization: Common factors, regrouping, using identities
Division of algebraic identities: monomials and polynomials
(x+a) (x+b) form of factorization
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