NCERT Solutions for Class 8 Maths In Hindi Chapter 11 Mensuration

प्रश्नावली 11.1

1. जैसा की संलग्न आकृति में दर्शाया गया है. एक आयताकार और एक वर्गाकार खेत के माप दिए हुए हैं। यदि इनके परिमाप समान है, तो किस खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा?

उत्तर: आकृति से

 वर्गाकार खेत की भुजा = $60m$

आयताकार खेत की लम्बाई = $80m$

प्रश्नानुसार

वर्गाकार खेत का परिमाप = आयताकार खेत का परिमाप

तब  4 $\times$ भुजा = 2 (लम्बाई+चौड़ाई)

 $4\times60$ = 2(80+चौड़ाई)

240 = 160+2$\times$चौड़ाई

240-160 = 2$\times$चौड़ाई

80=2$\times$चौड़ाई

40 = चौड़ाई

तब वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल = (भुजा)$^{2}$ = (60)$^{2}$ = $3600m^{2}$

तथा आयताकार खेत का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई = 80 $\times$ 40 =$3200m^{2}$

इस प्रकार  वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा।

2. श्रीमती कौशिक के पास चित्र में दर्शाए गए मापों वाला एक वर्गाकार प्लाट है। वह प्लॉट के बीच में एक घर बनाना चाहती हैं। घर के चारों ओर एक बगीचा विकसित किया गया है| 55रु प्रति वर्ग मीटर की दर से इस बगीचे को विकसित करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चित्र से 

वर्गाकार प्लाट की भुजा = 25m 

तब प्लाट का क्षेत्रफल =भुजा $^{2}$ = $(25)^{2}$ $= 625m^{2}$

दिया गया 

घर की लंबाई= 20m 

घर की चौड़ाई =15 m

तब घर का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई  $= 20\times 15$ =  $300m^{2}$

घर के चारो ओर के बगीचे का क्षेत्रफल = प्लाट का क्षेत्रफल - घर का क्षेत्रफल $= 625-300$= $325 m^{2}$

चुकि 1 वर्ग मीटर बगीचे को विकसित करने का व्यय = $55$ 

तब 325 वर्ग मीटर बगीचे को विकसित करने का व्यय = $55\times 325 = 17875$ 

अतः, बगीचे को विकसित करने का कुल व्यय = $17875$ रु

3. जैसा कि आरेख में दर्शाया गया है. एक बगीचे का आधार मध्य में आयताकार है और किनारों पर अर्धवृत्त के रूप में है। इस बगीचे का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (आयत की लंबाई 20 - (3.5+3.5) मीटर है।)

उत्तर:  बगीचे की  लंबाई $= 20 m$ 

किनारों पर अर्धवृत्त का व्यास $= 7m$

तब अर्धवृत्त की त्रिज्या $= \frac{7}{2}$ $= 3.5m$

दोनों अर्धवृत्तों का परिमाप $= 2 \times \pi r=2 \times \frac{22}{7} \times 3.5=22 m$

चित्रानुसार

आयताकार भाग की लंबाई $= 20-(3.5+3.5)$ 

$= 20-7=13 m$

तथा आयताकार भाग की चौड़ाई $= 7 m$

तब  बगीचे का परिमाप =दोनों अर्धवृत्तों का परिमाप + आयताकार भाग की लंबाई 

$= 22+13+13=48 m$

दोनों अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{1}{2} \pi r^{2}$

$= 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$

$= 38.5 m ^{2}$

तब आयताकार भाग का क्षेत्रफल $= l \times b$ $= 13 \times 7$ $= 91 m ^{2}$

अत: इस बगीचे का कुल क्षेत्रफल=दोनों अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल + आयताकार भाग का क्षेत्रफल

$= 91+38.5$

$= 129.5 m ^{2}$

4.  फर्श बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक टाइल का आकार समांतर चतुर्भुज का है जिसका आधार $24 cm$ और संगत ऊँचाई $10 cm$ है। 1080 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के एक फर्श को ढकने के लिए ऐसी कितनी टाइलों की आवश्यकता है? (फर्श के कोनो को भरने के लिए आवश्यकतानुसार आप टाइलों को किसी भी रूप में तोड़ सकते हैं।)

उत्तर: फर्श का क्षेत्रफल = 1080 वर्ग मीटर 

 आधार $= 24 cm =0.24 m$

 ऊँचाई $= 10 cm =0.10 m$

तब टाइल का क्षेत्रफल $= $ आधार $\times$ ऊँचाई 

$= 0.24 \times 0.10=0.024 m ^{2}$

आवश्यक टाइलों की संख्या$= \frac{1080}{0.024}$

$= 45000$ 

5. एक चींटी किसी फर्श पर बिखरे हुए विभित्र आकारों के भोज्य पदार्थ के टुकड़ों के चारों ओर घूम रही है। भोज्य पदार्थ के किस टुकड़े के लिए चींटी को लंबा चक्कर लगाना पड़ेगा? स्मरण रखिए, वृत्त की परिधि सूत्र $c=2 \pi r$, जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है, की सहायता से प्राप्त की जा सकती है।

(a)

उत्तर:   व्यास=$2.8$

तब त्रिज्या =$\frac{2.8}{2}$$= 1.4 cm$

अर्धवृत्त का परिमाप $= \pi r=\frac{22}{7} \times 1.4$

$= 4.4 cm$

अत: चीटी द्वारा चली गई कुल दूरी = अर्धवृत्त का परिमाप + व्यास 

$= 4.4+2.8$

$= 7.2 cm$

(b)

उत्तर: व्यास=$2.8$

तब त्रिज्या =$\frac{2.8}{2}$$= 1.4 cm$

अर्धवृत्त का परिमाप $= \pi r=\frac{22}{7} \times 1.4$

$= 4.4 cm$

अत: चीटी द्वारा चली गई कुल दूरी = अर्धवृत्त का परिमाप + अन्य भागो का परिमाप 

$= 1.5+1.5+4.4+2.8$

$= 10.2 cm$

(c)

उत्तर: व्यास=$2.8$

तब त्रिज्या =$\frac{2.8}{2}$$= 1.4 cm$

अर्धवृत्त का परिमाप $= \pi r=\frac{22}{7} \times 1.4$

$= 4.4 cm$

अत: चीटी द्वारा चली गई कुल दूरी = अर्धवृत्त का परिमाप + अन्य भागो का परिमाप   

$= 2+2+4.4$

$= 8.4 cm$

(b) भोज्य पदार्थ के किस टुकड़े के लिए चींटी को लंबा चक्कर लगाना पड़ेगा |

प्रश्रावली 11.2

1. एक मेज के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकर समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ $1 m$ और $1.2 m$ यही तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी $0.8 m$ है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना पहली समांतर भुजा की लंबाई =$a=1 m$

 दूसरी समांतर भुजा की लंबाई =$b=1.2 m$ 

दिया गया $a=1 m$ , $b=1.2 m$  

तथा ऊँचाई $(h)=0.8 m$

तब इसका क्षेत्रफल 

$= \frac{1}{2}(a+b) \times h$

मान रखने पर

$\frac{1}{2} \times(1+1.2) \times 0.8=\frac{1}{2} \times 2.2 \times 0.8=0.88 m ^{2}$ 

अतः, मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल =$0.88 m ^{2}$ 

2. एक समलंब का क्षेत्रफल $34 cm ^{2}$ है और इसकी ऊँचाई $4 cm$ है। समांतर भुजाओं में से एक की लंबाई $10 cm$ है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समलंब का क्षेत्रफल= $34 cm ^{2}$

माना पहली समांतर भुजा की लंबाई =$a$

दूसरी समांतर भुजा की लंबाई $= b$.

दिया गया $a=10 cm$ 

तथा  ऊँचाई $(h)=4 cm$

समलंब का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(a+b) \times h$

$34=\frac{1}{2}(10+b) \times 4$ 

या $34=20+2 b$

या $34-20=2 b$

या $14=2 b$

या $7=b$

अतः, दूसरी समांतर भुजा की लंबाई =$7 cm$ 

3. एक समलंब के आकार के खेत $ABCD$ की बाड़ की लंबाई $120 m$ है। यदि $BC =48 m , CD =17 m$ और $AD$ $= 40 m$ है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा $AB$ समांतर भुजाओं $AD$ तथा $BC$ पर लंब है।

उत्तर: खेत का परिमाप=$120m$

तथा $BC =48 m , CD =17 m$ और $AD$ $= 40 m$

तब खेत का परिमाप =AB+BC+CD+DA

$120$= $AB+48+17+40$

या $120-105$= $AB$

या $15$= $AB$

तब  खेत का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times( BC + AD ) \times AB$

$= \frac{1}{2} \times( 48 + 40 ) \times 15$

$= \frac{1}{2} \times(88 ) \times 15$

$= 660m^{2}$

अतः, खेत $ABCD$ का क्षेत्रफल= $660 m ^{2}$ 

4. एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण $24 m$ है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गए लंब $8 m$ एवं $13 m$ हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना चतुर्भुजाकार खेत $ABCD$ है

चित्रानुसार प्रथम ऊंचाई  $= 13 m$

द्वितीय ऊंचाई$= 8 m$ 

तथा विकर्ण(आधार)$= 24 m$

तब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \triangle ABC$ का क्षेत्रफल $+\triangle ADC$ का क्षेत्रफल

$= \frac{1}{2}\times$आधार$\times$(प्रथम ऊंचाई + द्वितीय ऊंचाई)

$= \frac{1}{2}\times24\times(13+8)$

$= \frac{1}{2}\times24\times21$

$= 252$

अतः, चतुर्भुजाकार खेत का क्षेत्रफल =$252 m ^{2}$ 

5. किसी समचतुर्भुज के विकर्ण $7.5 cm$ एवं $12 cm$ है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रथम विकर्ण $= 7.5 cm$ 

तथा द्वितीय विकर्ण $= 12 cm$

तब  समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times$प्रथम विकर्ण $\times$द्वितीय विकर्ण

$= \frac{1}{2} \times 7.5 \times 12$

$= 45$

अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =$45 cm ^{2}$ 

6. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल गेट कीजिए जिसकी भुजा $6 cm$ और शीर्षलंब $4 cm$ है। यदि एक विकर्ण की लंबाई $8 cm$ है तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समचतुर्भुज का आधार$= 6 cm$

शीर्षलंब =$4 cm$ 

प्रथम विकर्ण की लंबाई =$8 cm$ चुकि एक समचतुर्भुज, एक समांतर चतुर्भुज होता है।

तब समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= $ आधार$\times$ शीर्षलंब $= 6 \times 4=24 cm ^{2}$ 

हम जानते है समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\times$प्रथम विकर्ण $\times$द्वितीय विकर्ण    

$24=\frac{1}{2} \times 8$ $\times$द्वितीय विकर्ण  

द्वितीय विकर्ण $= \frac{24}{4}=6$ 

अतः, द्वितीय विकर्ण की लंबाई= $6 cm$ 

7. किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकर्ण $45 cm$ एवं $30 cm$ लंबाई के हैं। 4 रूपये प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रथम विकर्ण की लंबाई$= 45 cm$ 

द्वितीय विकर्ण की लंबाई$= 30 cm$

तब एक टाइल का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\times$प्रथम विकर्ण $\times$द्वितीय विकर्ण $= \frac{1}{2} \times 45 \times 30$

$= 675 cm ^{2}$

इस प्रकार 3000 टाइलों का क्षेत्रफल =$675\times3000$$= 2025000cm ^{2}$

अत: पॉलिश करने का व्यय$= \frac{2025000}{10000}$

$= 202.50 m ^{2}$           ; चुकि $1 m ^{2}=10000 cm ^{2}$

दिया गया $1m^{2}$ पर पॉलिश करने का व्यय=रु$4$

तब 202.50 $m^{2}$ पर पॉलिश करने का व्यय=$4\times202.50$$= 810$रु 

8. मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर हैं और लंबाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल $10500 m ^{2}$ है और दो समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत $100 m$ दूरी है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दो समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी $= 100 m$

खेत का क्षेत्रफल $= 10500 m ^{2}$

माना सड़क के साथ वाली भुजा की लंबाई =$x$  

तब नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई $= 2 x$ 

समलंब खेत का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\times$(पहली भुजा+दूसरी भुजा) $\times$लम्बवत दूरी

$10500=\frac{1}{2}(x+2 x) \times 100$

$10500=3 x \times 50$

$x=\frac{10500}{50 \times 3}$

$x=70$ 

अत: नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई $= 2 x=2 \times 70=140 m$

9.एक उपर उठे चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज आकार का है|जैसा की आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चित्रानुसार अष्टभुज के  भुजा की लंबाई =$5 m$ 

हमने अष्टभुज को तीन भागों में विभाजित किया। 

जिसमे से दो समलंब चतुर्भुज और एक आयत है|

समलंब जिनकी समांतर भुजाएँ= $11 m$ और $5 m$ 

तथा लंबवत दूरी =$4 m$ 

आयत  जिसकी लंबाई =$11 m$

और चौड़ाई =$5 m$ 

तब  दो समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{1}{2}\times$समान्तर भुजाओ का योग$\times$लम्बवत दूरी  

$= 2 \times \frac{1}{2}(11+5) \times 4$$= 64 m ^{2}$ 

तथा  आयत का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई $= 11 \times 5$

$= 55 m ^{2}$

अत: अष्टभुज पृष्ठ का क्षेत्रफल =दो समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल+आयत का क्षेत्रफल

$= 64+55=119 m ^{2}$

10 : एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया।

दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल गेट कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं?

उत्तर:  ज्योति के आरेख से

तब पंचभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार लिख सकते है|

पंचभुज का क्षेत्रफल $= $ समलंब $ABCP$ का क्षेत्रफल + समलंब $AEDP$ का क्षेत्रफल 

$= \frac{1}{2}\times$समान्तर भुजाओ का योग $\times$लम्बवत दूरी+$\frac{1}{2}\times$समान्तर भुजाओ का योग $\times$लम्बवत दूरी

चित्रानुसार मान रखने पर

$= \frac{1}{2}(30+15) \times CP +\frac{1}{2}(15+30) \times DP$ $= \frac{1}{2}(30+15)( CP + DP )$ 

$= \frac{1}{2} \times 45 \times CD$     ;$\quad$चुकि $CD=CP+PD=15$ 

$= \frac{1}{2} \times 45 \times 15$

$= 337.5 m ^{2}$

कविता के आरेख से

चित्रानुसार $AM =30-15=15 m$

तब पंचभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार लिख सकते है|

पंचभुज का क्षेत्रफल $= \triangle ABE$ का क्षेत्रफल $+$ वर्ग $BCDE$ का क्षेत्रफल$= \frac{1}{2}\times$आधार $\times$ऊंचाई +भुजा$\times$भुजा 

$= \frac{1}{2} \times 15 \times 15+15 \times 15$

$= 112.5+225.0$

$= 337.5 m ^{2}$

11. संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंतः विमाएँ क्रमशः $24 cm \times 28 cm$ एवं $16 cm \times 20 cm$ हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना चित्रानुसार चार आकृति I,II,III और IV है

आकृति I का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\times$समान्तर भुजाओ का योग $\times$लम्बवत दूरी

$= \frac{1}{2}(28+40)\times4$

$= \frac{1}{2} \times 48 \times4$

$= 96cm ^{2}$

चित्रानुसार I और II समान है|

अत:आकृतिI का क्षेत्रफल =आकृति II का क्षेत्रफल$= 96cm ^{2}$

इसी प्रकार आकृति III का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(20+16)\times4$

$= \frac{1}{2} \times 40\times4$

$= 80cm ^{2}$

चित्रानुसार IIIऔर IVसमान है

इसलिए, आकृति (IV) का क्षेत्रफल $= 80 cm ^{2}$

प्रश्नावली 11.3

1: दो घनाभाकार डिब्बे हैं जैसा कि संलग्र आकृति में दर्शाया गया है| डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है? 

उत्तर: इसके लिए हम इनके क्षेत्रफल ज्ञात करते है

(a)  पहले  डिब्बे की लंबाई$(l)=60cm$

पहले  डिब्बे की चौड़ाई$(b)=40cm$

पहले डिब्बे की ऊँचाई$(h)=50cm$

पहले डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(l b+b h+h l)$

$= 2(60 \times 40+40 \times 50+50 \times 60)$

$= 2(2400+2000+3000)$

$= 2 \times 7400$

$= 14800 cm ^{2}$

(b) दूसरे  डिब्बे की लंबाई $(l)=50cm$

दूसरे डिब्बे की चौड़ाई $(D=50 cm$

दूसरे  डिब्बे की ऊँचाई $(h)=50 cm$

दूसरे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(l b+b h+h l)$

$= 2(50 \times 50+50 \times 50+50 \times 50)$

$= 2(2500+2500+2500)$

$= 2 \times 7500$

$= 15000 cm ^{2}$

यहाँ पहले डिब्बे का क्षेत्रफल कम है| अत: इसे  बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है।

2. $80 cm \times 48 cm \times 24$ माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढकना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढकने के लिए $96 cm$ चौड़ाई वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है?

उत्तर:  सूटकेस की लंबाई $(l)=80 cm$

सूटकेस की चौड़ाई $(b)=48 cm$

सूटकेस की ऊँचाई $(h)=24 cm$

तिरपाल की चौड़ाई= $96 cm$ 

तब सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(l b+b h+h l)$

$= 2(80 \times 48+48 \times 24+24 \times 80)$

$= 2(3840+1152+1920)$

$= 2 \times 6912$

$= 13824 cm ^{2}$

सूटकेस को ढकने के लिए आवश्यक तिरपाल सूटकेस के क्षेत्रफल के समान होगा

तब तिरपाल का क्षेत्रफल = सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 

$l \times b=13824$

$l \times b=13824$

$l \times 96=13824$

$l=\frac{13824}{96}$

$= 144 cm$

अत:100 सूटकेसों को ढकने के लिए आवश्यक तिरपाल  $= 144 \times 100=14400 cm =144 m$

3. एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $600 cm ^{2}$ है।

उत्तर:   घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 600 cm ^{2}$ 

हम जानते है घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल= $6 l^{2}$ 

अत: $6 l^{2}=600$ 

$l^{2}=100$

वर्गमूल लेने पर

$l=10 cm$   

अतः, घन की भुजा =$10 cm$

4. रुखसार ने $1 m \times 2 m \times 1.5 m$ माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।

उत्तर: इस  पेटी की लंबाई $(l)=2 m$

पेटी की चौड़ाई $(b)=1 m$

पेटी की ऊँचाई $(h)=1.5 m$

तब इस पेटी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= l b+2(b h+h l)$

$= 2 \times 1+2(1 \times 1.5+1.5 \times 2)$

$= 2+2(1.5+3.0)$

$= 2+9.0=11 m ^{2}$

अतः पेंट के लिए आवश्यक  पृष्ठीय क्षेत्रफल = $11 m ^{2}$  

5. डैनियल एक ऐसे घनाभाकर कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $15 m , 10 m$ एवं $7 m$ हैं। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से $100 m ^{2}$ क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी?

उत्तर: कमरे की लंबाई $(l)=15 m$

कमरे की चौड़ाई $(b)=10 m$

कमरे की ऊँचाई $(h)=7 m$

पेंट के लिए आवश्यक  पृष्ठीय क्षेत्रफल $= l b+2(b h+h l)$

$= 15 \times 10+2(10 \times 7+7 \times 15)$

$= 150+2(70+105)$

$= 150+350$

$= 500 m ^{2}$

दिया गया प्रत्येक कैन की से पेंट किया गया क्षेत्रफल=$100 m ^{2}$ 

तब आवश्यक कैनों की संख्या $= \frac{500}{100}=5$ 

अतः कमरे में पेंट करने के लिए उसे 5 कैनों की आवश्यकता है|

6. वर्णन कीजिए कि दाईं तरफ की गई आकृतियाँ किस प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भित्न हैं? किस डिब्बे का पार्श्व  पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?  

उत्तर: पहला चित्र बेलन का है

बेलनाकार डिब्बे का व्यास $= 7 cm$ 

बेलनाकार डिब्बे की ऊँचाई $(h)=7 cm$

तब बेलनाकार डिब्बे की त्रिज्या $(r)=\frac{7}{2} cm$

बेलनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h$

$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times 7$ $= 154 cm ^{2}$

और  घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल =4$\times$ भुजा $^{2}$

$= 4 \times(7)^{2}$ $= 196 cm ^{2}$

अतः स्पष्ट है की दोनों के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल में से  घनाकार डिब्बे का पार्श्व  पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।

7. $7 m$ त्रिज्या और $3 m$ ऊँचाई वाला एक बंद बेलनाकार टैंक किसी धातु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए

उत्तर:  टैंक की त्रिज्या $(r)=7 m$

टैंक की ऊँचाई $(h)=3 m$ 

तब इस  टैंक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r(h+r)$

$= 2 \times \frac{22}{7} \times 7(3+7)$

$= 440 m ^{2}$

अतः वांछित धातु की चादर की मात्रा = $440 m ^{2}$ 

8. एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4224 cm ^{2}$ है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर $33 cm$ चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर:  बेलन का वक्र पृष्ठीय $= 4224 cm ^{2}$                         

 बेलन की ऊँचाई $= 33 cm$

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h$

$2 \times \frac{22}{7} \times r \times 33=4224$

$r=\frac{4224 \times 7}{2 \times 22 \times 33}$

$r=\frac{224}{11} cm$ 

इसे आयताकार चादर में बदलने पर

इसकी चौड़ाई$= 33 cm$

आयताकार चादर की लंबाई =वृत की परिधि

$l=2 \pi r$

$l=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{224}{11}$$= 128 cm$

तब आयताकार चादर का परिमाप $= 2(l+b)$

$= 2(128+33)=2 \times 161=322$

अतः, आयताकार चादर का परिमाप= $322 cm$ 

9. किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घुमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास $84 cm$ और लंबाई $1 m$ है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(Image Will Be Updated Soon)

उत्तर: रोलर का व्यास $= 84 cm$ 

सड़क रोलर की लंबाई $(h)=1 m =100 cm$

सड़क रोलर की त्रिज्या $(r)=\frac{d}{2}=\frac{84}{2}=42 cm$

इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h$

$= 2 \frac{22}{7} \times 42 \times 100=26400 cm ^{2}$

तब  रोलर द्वारा 750 चक्कर लगाने में पूरा किया गया  कुल क्षेत्रफल $= 26400 \times 750$,

$= 1,9800000 cm ^{2}$ $= 1980 m ^{2}$ चुकि  $1 m ^{2}=10,000 cm ^{2}$

अतः इस सड़क का कुल क्षेत्रफल =$1980 m ^{2}$ 

10. एक कंपनी अपने दूध पाउडर को ऐसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास $14 cm$ और ऊँचाई 20 $cm$ है। कंपनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है (जैसा कि आकृति में दर्शया गया है)। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से $2 cm$ की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?

उत्तर:  बेलनाकार बर्तन का व्यास $= 14 cm$

बर्तन की ऊँचाई $= 20 cm$ 

तब बर्तन की त्रिज्या $(r)=\frac{14}{2}=7 cm$

तब इस लेबल की ऊँचाई $(h)=20-2-2=16 cm$

इसका पार्श्व  पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h$

$= 2\times \frac{22}{7} \times 7 \times 16=704$

अतः लेबल का क्षेत्रफल =$704 cm ^{2}$

प्रश्रावली 11.4

1. आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है, निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयतन:

(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।

उत्तर:  इसके लिए टैंक का आयतन ज्ञात करेंगे| 

(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।

उत्तर: इसके लिए टैंक का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे| 

(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।

उत्तर: इसके लिए छोटे टैंक का आयतन ज्ञात करेंगे|

2. बेलन $A$ का व्यास $7 cm$ और ऊँचाई $14 cm$ है। बेलन $B$ का व्यास $14 cm$ और ऊँचाई $7 cm$ है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है। दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है। 

उत्तर: हम जानते है की जिसकी त्रिज्या ज्यादा होगी उसका आयतन भी ज्यादा ही होगा|अत: बेलन $B$ का आयतन अधिक है|

बेलन $A$ के लिए

बेलन $A$ का व्यास $= 7 cm$ 

तब बेलन $A$ की त्रिज्या $= \frac{7}{2} cm$

बेलन $A$ की ऊँचाई $= 14 cm$  

अत: बेलन $A$ का आयतन $= \pi r^{2} h=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 14=539 cm ^{3}$

बेलन $B$ के लिए 

बेलन $B$ का व्यास $= 14 cm$ 

तब बेलन $B$ की त्रिज्या $= \frac{14}{2}=7 cm$

बेलन $B$ की ऊँचाई $= 7 cm$

अत: बेलन $A$ का आयतन $= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7=1078 cm ^{3}$

अत: स्पष्ट है|

दोनों  ऊपर से खुले हुए है 

बेलन $A$ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r(2 h+r)

$= \frac{22}{7} \times \frac{7}{2}\left(2 \times 14+\frac{7}{2}\right)$

$= 11 \times \frac{63}{2}$

$= 346.5 cm ^{2}$

बेलन $B$ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 7(2 \times 7+7)$

$= 22 \times(14+7)=22 \times 21$ $= 462 cm ^{2}$

हाँ, स्पष्ट है अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।

3. एक ऐसे घनाभ की ऊंचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल $180 cm ^{2}$ और जिसका आयतन $900 cm ^{3}$ है?

उत्तर: घनाभ के आधार का क्षेत्रफल= $180 cm ^{2}$ 

घनाभ का आयतन $= 900 cm ^{3}$

घनाभ के आधार का क्षेत्रफल= $(l \times b)=180 cm ^{2}$ 

तब घनाभ का आयतन $= l \times b \times h=900$

$180 \times h=900$

$\frac{900}{180}=h$

$h=5$

अतः घनाभ की ऊँचाई= $5 m$

4. एक घनाभ की विमाएँ $60 cm \times 54 cm \times 30 cm$ हैं। इस घनाभ के अंदर $6 cm$ भुजा वाले कितने छोटे घन रखे जा सकते हैं।

उत्तर: घनाभ की लंबाई $(l)=60 cm$

घनाभ की चौड़ाई $(b)=54 cm$ 

घनाभ की ऊँचाई $(h)=30 cm$

तब घनाभ का आयतन $= l \times b \times h=60 \times 54 \times 30 =97200cm ^{3}$

तथा घन का आयतन =(भुजा)$^{3}$= $6 \times 6 \times 6=216 cm ^{3}$

रखे जाने वाले छोटे घनों की संख्या $= \frac{60 \times 54 \times 30}{6 \times 6 \times 6}=450$

5. एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन $1.54 m ^{3}$ और जिसके आधार का व्यास $140 cm$ है?

उत्तर: बेलन का आयतन $= 1.54 m ^{3}$ 

बेलन के आधार का व्यास $= 140 cm$

तब  त्रिज्या $(r)=\frac{140}{2}=70 cm$ 

तब बेलन का आयतन $= \pi r^{2} h =1.54$

$\frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times h=1.54$

$\frac{1.54 \times 7}{22 \times 0.7 \times 0.7}=h$

$= 1$ 

अतः बेलन की ऊँचाई= $1 m$ 

6. एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या $1.5 m$ और लंबाई $7 m$ है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।

उत्तर:  टैंक की त्रिज्या $(r)=1.5 m$ 

टैंक की ऊँचाई $(h)=7 m$

बेलनाकार टैंक का आयतन $= \pi r^{2} h$

$= \frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \times 7$

$= 49.5 cm ^{3}$

$= 49500$ लीटर  ;चुकि $1cm^{3}=1000$ लीटर 

अतः, टैंक में भरे दूध की मात्रा =$49500$ लीटर

7. यदि किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तो

(i) इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी?

उत्तर: माना, घन की भुजा  $= l$

तब पुराने घन का  पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 l^{2}$.....(i)

यदि घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए तो भुजा =$2\times$$l$

तब नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6(2 l)^{2}=6 \times 4 l^{2}=4 \times 6 l^{2}$.....(ii)

समीकरण (i) व (ii) से

नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल=$4 \times$ पुराने घन का  पृष्ठीय क्षेत्रफल

अतः इस स्थिति में घन का  पृष्ठीय क्षेत्रफल चार गुना हो जाएगा।

(ii) इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी?

उत्तर:  माना, घन की भुजा  $= l$

तब पुराने घन का आयतन $= l^{3}$.....(i)

यदि घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए तो भुजा =$2\times$$l$ 

तब नए घन का आयतन $= (2 l)^{3}=8 l^{3}$.....(ii)

समीकरण (i) व (ii) से

नए घन का आयतन=$8 \times$पुराने घन का आयतन 

अतः इस स्थिति में घन का आयतन 8 गुना हो जाएगा।

8. एक कुंड के अंदर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन $108 m ^{3}$ है, तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?

उत्तर:  कुंड का आयतन $= 108 m ^{3}$

कुंड के अंदर पानी गिरने की दर $= 60$ लीटर / मिनट

$= \frac{60}{1000}$ मीटर $^{3}$ /  मिनट [चुकि  ; $1 l=\frac{1}{1000} m ^{3}$] 

$= \frac{60 \times 60}{1000}$ मीटर $^{3}$ /  घंटे

$= 3.6$ मीटर $^{3}$ /  घंटे

कुंड में $3.6$ मीटर $^{3}$ पानी भरने में लगा समय $= 1$ घंटा

इसलिए कुंड में $1$मीटर  $^{3}$ पानी भरने में लगा समय $= \frac{1}{3.6}$ घंटे

अत: कुंड में $108 m ^{3}$ पानी भरने में लगा समय $= \frac{108}{ 3.60}$ घंटे $= 30$ घंटे

अतः कुंड को भरने में लगा समय=$30$ घंटे

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