NCERT Solutions for Class 8 Maths In Hindi Chapter 3 Understanding Quadrilaterals

प्रश्नावली 3.1.

1. यहां पर कुछ आकृतियां दी गई है।

प्रत्येक का वर्गीकरण निम्नलिखित आधार पर कीजिए।

(a) साधारण वक्र

उत्तर: (a) साधारण वक्र है-

(b) साधारण बंद वक्र

उत्तर: (b) साधारण बंद वक्र है-

(c) बहुभुज

उत्तर: (c) बहुभुज है-

(d) उत्तल बहुभुज

उत्तर:(d) उत्तल बहुभुज  है-

(e) अवतल बहुभुज

उत्तर: (e) अवतल बहुभुज है-

2. निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण है?

(a) एक उत्तल चतुर्भुज

उत्तर:

$\mathrm{n}$ - भुजाओं के बहुभुज में विकर्णों की संख्या $=\left[\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}-\mathrm{n}\right]$

एक उत्तल चतुर्भुज में भुजाओं की संख्या $(n)=4$ विकर्णों की संख्या $=\frac{n(n-1)}{2}-n$

$=\frac{4(4-1)}{2}-4=\frac{4 \times 3}{2}-4$

$=\frac{12}{2}-4=6-4=2$

(b) एक समषड्भुज 

उत्तर: एक समषड्भुज में भिजाओं की संख्या $(n)=6$

विकर्णों की संख्या $=\left[\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}-\mathrm{n}\right]$

$=\left[\frac{6(6-1)}{2}-6\right]=\frac{6 \times 5}{2}-6$

$=15-6=9$

(c) एक त्रिभुज

उत्तर: एक त्रिभुज में भुजाओं की संख्या $(n)=3$

विकर्णों की संख्या $=\left[\frac{n(n-1)}{2}-n\right]$

$=\frac{3(3-1)}{2}-3=\frac{3 \times 2}{2}-3$

$=3-3=0$

3. उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल क्या है? यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो क्या ये गुण लागू होगा ? (एक चतुर्भुज बनाइए जो उत्तल ना हो और प्रयास कीजिए ।)

उत्तर:

माना उपर्युक्त दो आकृतियों है

पहली आकृति से जिसमे माना $A B C D$ एक चतुर्भुज है

चतुर्भुज के चारो कोणों का योग $=\angle A+\angle B+\angle C+\angle D$

(चुकि $\angle \mathrm{A}=\angle 1+\angle 6 \ldots$.....)

तथा इसी प्रकार सारे मान रखने पर

$=\angle 1+\angle 6+\angle 5+\angle 3+\angle 4+\angle 2$

$=(\angle 1+\angle 2+\angle 3)+(\angle 4+\angle 5+\angle 6)$

$=180^{\circ}+180^{\circ}$ (चुकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है) $=360^{\circ}$

इस प्रकार उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल $=360^{\circ}$

दूसरी आकृति से जो उत्तल चतुर्भुज नही है $\mathrm{ABC}$ में $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ} \ldots . .$ (i)

$\mathrm{BCD}$ में $\angle 4+\angle 5+\angle 6=180^{\circ} \ldots \ldots$. (ii)

समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर

$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle 5+\angle 6=180^{\circ}+180^{\circ}=360^{\circ}$

यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो कोणों का योग वही रहता है।

4. तालिका की जांच कीजिए (प्रत्येक आकृति को त्रिभुजों में बांटिए और कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए।)

एक बहुभुज के कोणों के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं, जिसकी भुजाओं की संख्या निम्नलिखित हो।

(a) 7

उत्तर: चुकि बहुभुज के कोणों का योग=(n-2) $180^{\circ}$

जब $n=7 ;(7-2) \times 180^{\circ}$

$=5 \times 180^{\circ}=900^{\circ}$

(b) 8

उत्तर: चुकि बहुभुज के कोणों का योग $=(\mathrm{n}-2) \times 180^{\circ}$

जब $n=8 ;(8-2) \times 180^{\circ}$

$=6 \times 180^{\circ}=1080^{\circ}$

(c) 10

उत्तर: चुकि बहुभुज के कोणों का योग $=(\mathrm{n}-2) \times 180^{\circ}$

जब $\mathrm{n}=10$; (10-2)\times $180^{\circ}$

$=8 \times 180^{\circ}=1440^{\circ}$

(d) $n$

उत्तर: चुकि बहुभुज के कोणों का योग $=(\mathrm{n}-2) \times 180^{\circ}$

जब $\mathrm{n} ;(\mathrm{n}-2) \times 180^{\circ}$

5. एक सम बहुभुज क्या है? 

उत्तर:  समभुज एक ऐसा  बहुभुज है जिसमें सभी भुजाएं तथा सभी कोण समान होते है।

एक सम बहु भुज का नाम बताइए जिसमें 

(i) 3 भुजाएं 

उत्तर:  त्रिभुज

(ii) 4 भुजाएं

उत्तर: चतुर्भुज

(iii) 6 भुजाएं

उत्तर:  षड्भुज

6. निम्नलिखित आकृतियों में x (कोण ज्ञात कीजिए)

(a)

उत्तर: 130+120+50+x=360

अत: 300+x=360

x = 360-300

x = 60

(b)

उत्तर: $60^{\circ}+70^{\circ}+90^{\circ}+\mathrm{x}=360$

अत: $220^{\circ}+\mathrm{x}=360^{\circ}$

$x=360^{\circ}-220^{\circ}$

$x=140^{\circ}$

(c)

उत्तर: आतंरिक कोण $180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$

$180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$

बहुभुज में 5 भुजाएं है, इसलिए बहुभुज के कोणों का योग=540° अत: पांचो अन्त कोणों का योग

$120^{\circ}+110^{\circ}+30^{\circ}+x+x=540^{\circ}$

$260^{\circ}+2 x=540^{\circ}$

$2 x=280^{\circ}$

$x=140$

(d)

उत्तर: बहुभुज में 5 भुजाएं है, इसलिए बहुभुज के कोणों का योग $=540^{\circ}$ अत: $x+x+x+x+x=540^{\circ}$

$5 x=540^{\circ}$

$x=108^{\circ}$

7. (a) x +y +z ज्ञात कीजिए।

उत्तर:  रैखिक युग्म के कोणों का योग

$90^{\circ}+x=180^{\circ}$

$x=180^{\circ}-90^{\circ}$

$x=90^{\circ}$

इसी प्रकार $30^{\circ}+Z=180^{\circ}$

$\mathrm{Z}=180^{\circ}-30^{\circ}$

$Z=150^{\circ}$

$y$ का मान बाह्य कोण के गुणधर्म से

$y=90^{\circ}+30^{\circ}$

$y=120^{\circ}$

$\text { अत: } x+y+z=90^{\circ}+120^{\circ}+150^{\circ}$

$=360^{\circ}$

(b) x+ y +w+ z ज्ञात कीजिए?

उत्तर: चतुर्भुज के चारो कोण का  योग

$60^{\circ}+80^{\circ}+120^{\circ}+n=360^{\circ}$

$260^{\circ}+n=360^{\circ}$

$n=360^{\circ}-260^{\circ}$

$n=100^{\circ}$

अब

रैखिक युग्म के कोणों का योग

$120^{\circ}+\mathrm{x}=180^{\circ}$

$\mathrm{x}=180^{\circ}-120^{\circ}$

$\mathrm{x}=60^{\circ}$

इसी प्रकार

$100^{\circ}+\mathrm{W}=180^{\circ}$

$\mathrm{W}=180^{\circ}-100^{\circ}$

$\mathrm{W}=80^{\circ}$

तथा

$60^{\circ}+\mathrm{Z}=180^{\circ}$

$\mathrm{Z}=180^{\circ}-60^{\circ}$

$\mathrm{Z}=120^{\circ}$

तथा

$80^{\circ}+y=180^{\circ}$

$y=180^{\circ}-80^{\circ}$

$y=100^{\circ}$

$x+y+w+z=60^{\circ}+100^{\circ}+120^{\circ}+80^{\circ}=360^{\circ}$

प्रश्नावली 3.2

1. निम्नलिखितो आकृतिओं में x का मान ज्ञात कीजिए:

(a)

उत्तर: 

(a) चुकीं बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग $=360^{\circ}$

$125+125^{\circ}+x=360^{\circ}$

$\mathrm{x}=360^{\circ}-250^{\circ}$

$\mathrm{x}=110^{\circ}$

(b)

उत्तर: चुकीं बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग $=360^{\circ}$ $60^{\circ}+90^{\circ}+70^{\circ}+x+90^{\circ}=360^{\circ}$ $x=50^{\circ}$

2. एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाहु कोण का माप ज्ञात कीजिए: 

उत्तर: हम जानते है कि बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग $=360^{\circ}$

जब भुजाओ की संख्या 9 हो

तब प्रत्येक बाह्य कोण का माप $=\frac{360}{9}=40^{\circ}$

(ii) 15 भुजाएँ

उत्तर: हम जानते है की बहुभुज के सभी बाहरी कोणों का योग $=360^{\circ}$

जब भुजाओ की संख्या 15 हो

तब प्रत्येक बाह्य कोण का माप $=\frac{360}{15}=24^{\circ}$

3. सम बहुभुज कितनी भुजाएँ होंगी यदि एक बाह्य कोण का माप $24^{\circ}$ हो ?

उत्तर: हम जानते है की बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग $=360^{\circ}$

प्रत्येक बाह्य कोण का माप= 24°

अत: भुजाओ की संख्या $=\frac{360}{24}=15^{\circ}$

4. एक सम बहुभुज की भुंजाएँ की संख्या ज्ञात कीजिए। यदि इसका प्रत्येक अंतः कोण $165^{\circ}$ का हो?

उत्तर: प्रत्येक अंत: कोण का माप $=165^{\circ}$

बहुभुज के बाह्य कोण का योग $=360^{\circ}$

बाह्य कोण $=180^{\circ}-165^{\circ}=15^{\circ}$

अत:भुजाओ की संख्या $=\frac{360}{15}=24^{\circ}$

5. (a) क्या ऐसा सम बहुभुज संभव है जिसके प्रत्येक बाह्य कोण का माप 22° हो?

उत्तर: (a) ऐसा सम बहुभुज संभव नहीं है |क्योकि 22° ,360° को पूर्ण विभाजित नही करता है|

(b) क्या यह किसी सम बहुभुज का अंत:कोण हो सकता है? क्यों?

उत्तर:(b) ऐसा सम बहुभुज संभव नहीं है क्योकि 

अंत: कोण = 22°

तब बाह्य कोण = 180°-22° = 158° जो 360° को  पूर्ण विभाजित नही करता है|

6. (a) किसी सम बहुभुज में कम से कम कितने अंश का अंत:कोण संभव है ? क्यों ?

उत्तर:  समबाहु जो की एक सम  बहुभुज है मे अंत: कोण  60° होता है|अत: सम बहुभुज में कम से कम 60°  का अंत:कोण संभव है |

(b) किसी सम बहुभुज में अधिक से अधिक कितने अंश का बाहु कोण संभव है ?

उत्तर:  सम बहुभुज में अधिक का बाह्य कोण है =180°- 60° = 120°| 

प्रश्नावली 3.3

1. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किए गए गुण द्वारा पूरा कीजिए:

(i) AD =

उत्तर:  AD = BC  (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाए समान लम्बाई की होती है)

(ii) ∠ DCB =

उत्तर: ∠DCB =∠ DAB ( समान्तर चतुर्भुज  सम्मुख कोण समान होते है)

(iii) OC =

उत्तर: OC = OA  ( समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)

(iv) m ∠DAB+m ∠CDA =

उत्तर: m∠DAB + m∠CDA = 180°  (आसन्न कोण संपूरक होते  हैं)

2. निम्न समांतर चतुर्भुज में अज्ञात x,y,z के मानों को ज्ञात कीजिए:

(i)

उत्तर: x + 100°  = 180°  (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है|)

x = 80° 

तथा  Z = x = 80°  ( समान्तर चतुर्भुज  सम्मुख कोण समान होते है)

तथा  y = 100° ( समान्तर चतुर्भुज  सम्मुख कोण समान होते है)

(ii)

उत्तर:  50 + y = 180°  (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है|)

y = 130°

तथा   x = y = 130°  ( समान्तर चतुर्भुज  सम्मुख कोण समान होते है)

और  z= x = 130° (संगत कोण समान होते है)

(iii)

उत्तर:  x = 90° (शीर्षाभिमुख कोण समान होते है )

तथा  y+90°+30°=180°  (त्रिभुज के तीनो अंत:कोणों का योग )

y= 180°-120°

y= 60°

और z = y = 60° (एकांतर कोण) 

(iv)

उत्तर:  z = 80° (संगत कोण समान होते है)

तथा  y = 80° ( समान्तर चतुर्भुज  सम्मुख कोण समान होते है) 

और  x +80°  = 180° 

x=100°

(v)

उत्तर: y = 112° ( समान्तर चतुर्भुज  सम्मुख कोण समान होते है)

तथा   x + 112° + 40° = 180° (त्रिभुज के तीनो अंत:कोणों का योग )

x = 180°-152°

x = 28°

और  z = x = 28° (एकांतर कोण समान होते है)

3. क्या एक चतुर्भुज ABCD समंतर चतुर्भुज हो सकता है यदि 

(i) ∠D +∠B = 180°?

उत्तर:  ∠D +∠B = 180° यह संभव है परन्तु ऐसा नहीं हो सकता है।

(ii) AB = DC = 8cm, AD = 4cm और BC 4.4cm? 

उत्तर: 

AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm and BC = 4.4 cm

नहीं, क्योकि समान्तर चतुर्भुज की आमने सामने की भुजाए समान होती है|

(iii) ∠A = 70° और∠C = 65°?

उत्तर:  नहीं, क्योकि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख  कोण बराबर होते है|

4. एक चतुर्भुज की कच्ची आकृति खीचिए जो समांतर चतुर्भुज न ही परंतु जिसके दो सम्मुख कोणों के माप बराबर हों।

उत्तर:

ऐसा चतुर्भुज पतंग की हो सकती है|

5. किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3: 2 है। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना अनुपात = x  

तब भुजाए 2x,3x

2x+3x=180°  (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है|)

5x=180°

x=36°

तब भुजाए 2x=108°

3x=72°

6. किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोनो के माप बराबर हैं। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों भुजाए = x

x+x=180°  (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है|)

2x=180°

x=90°

अत: समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप = 90° 

7.  आकृति HOPE एक समांतर चतुर्भुज है। x,y और z कोणों की माप ज्ञात कीजिए। ज्ञात करने में प्रयोग किए गए गुणों को बनाइए।

उत्तर : y = 40° (एकांतर कोण समान होते है)  

तथा  त्रिभुज HPO में

z +40° = 70°   (त्रिभुज के बाह्य कोण का मान अंत: कोणों के योग के बराबर होता है)

z = 30°

त्रिभुज HEP में

x + 30° + 40° = 180° (त्रिभुज के तीनो कोणों का योग)

या x + 70° = 180°

या x = 110°

8. निम्न आकृतियाँ GUNS और RUNS समांतर चतुर्भुज हैं। x तथा y ज्ञात कीजिए (लंबाई cm में है)

(i)

उत्तर: GU = SN   ( समान्तर चतुर्भुज  सम्मुख कोण समान होते है)

या 3y - 1 = 26

या 3y=26+1

या y=9cm

उसी प्रकार GS = NU 

या 3x = 18

या x = 6cm

अत: x = 6cm,y=9cm

(ii)

उत्तर: y +7= 20 ( समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित  करते हैं)

या  y = 13cm

तथा  x + y = 16

या  x + 13=16

या x = 3cm

अत: x =3cm,y=13cm

9. दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं, x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समांतर चतुर्भुज RISK

∠K + ∠ISK = 180°  (आसन्न कोण का योग 180°) 

या 120 + ∠ISK = 180°

या ∠ISK = 60°

समांतर चतुर्भुज  CLUE

∠ULC =∠ CEU =70° ( समान्तर चतुर्भुज  सम्मुख कोण समान होते है)

तब त्रिभुज ESO 

x + 60° + 70° = 180°

या x = 50°

10. बताइए कैसे यह आकृति एक समलंब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समांतर हैं ?

उत्तर: ∠ M + ∠ L = 100° +80° =180° 

जो यहा दर्शाता है की आसन्न कोण का योग 180° होता है 

अथार्त NM || LK 

इससे स्पष्ट होता है की चतुर्भुज KLMN एक समलम्ब चतुर्भुज है।

11. आकृति  में m∠C ज्ञात कीजिए जदि AB IIDC है

उत्तर: दिया गया है  AB || DC

अत: <B +< C = 180° 

या 120° +m<C  = 180° 

या m<C = 60°

12. आकृति  में  ∠P तथा  ∠S की माप ज्ञात कीजिए यदि SP||RQ है। (यदि आप m∠R, ज्ञात करने हैं, तो क्या m∠P को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है?)

उत्तर:  ∠P +∠Q= 180°  (आसन्न कोण का योग 180°) 

या ∠P+130° = 180° 

या ∠P =50°

∠S +∠R= 180°  (आसन्न कोण का योग 180°) 

या ∠S +90°= 180°

या ∠S = 90°

हाँ,m∠P को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है|

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 3 Understanding Quadrilaterals in Hindi

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