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# NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 - In Hindi

Last updated date: 09th Sep 2024
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## NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 Linear Inequalities in Hindi PDF Download

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Competitive Exams after 12th Science

## Access NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 – रैखिक असमिकाएँ

प्रश्नावली 6.1

1. हल कीजिए : $24 x < 100$, जब

(i) $x$  एक प्राकृतिक संख्या है |

उत्तर : यह देखते हुए कि $24 x < 100$

$X < \dfrac{100}{{24}}$

$X < \dfrac{25}{6}$

$x$  एक प्राकृतिक संख्या है |

हमें पता है कि $\dfrac{{25}}{6}$ से केवल $1,2,3,4$  प्राकृतिक संख्याएँ कम है |

इस प्रकार  दी गयी असमानता के समाधान  1,2,3,4 हैं क्यूंकि $x$ एक प्राकृतिक संख्या है |

इसलिए, इस मामले में समाधान सेट   1,2,3,4 है |

(ii) $x$ एक पूर्णांक है |

उत्तर : $-3-2,-1,0,1,2,3,4$ पूर्णांक $\frac{25}{6}$ से कम है।

इसी तरह, जब $x$ एक पूर्णांक होता है तो दी गई असमानता के समाधान $-3,-2,-1,0,1,2,3,4$ है। इसलिए, इस मामले में, समाधान सेट $\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$ है।

2. हल कीजिए : $-12 x > 30$, जब

(i) $x$ एक प्राकृतिक संख्या है

उत्तर : यह देखते हुए कि $-12 x > 30$

$=\quad X < \frac{30}{12}$

$=\quad X < \frac{5}{2}$

$=X < -\frac{5}{2}$

$=x < -2.5$

हमे पता है कि   $\dfrac{5}{2}$ से कोई भी प्राकृतिक संख्या कम  नहीं है |

इसी प्रकार , जब  $x$  एक प्राकृतिक संख्या है , तो दी गई असमानता  का कोई

का कोई समाधान नहीं है |

(ii) $x$ एक पूर्णांक है |

उत्तर  : पूर्णांक $-\frac{5}{2}, \ldots \ldots \ldots \ldots,-5,-4,-3$ से कम है।

इसी तरह, जब एक पूर्णांक होता है, तो दी गई असमानता के समाधान $\ldots \ldots \ldots \ldots,-5, \quad-4,-3$ हैं इसलिए इस झरने में, समाधान सेट $\{-\infty,-3\}$ है।

3. हल कीजिए : $5 x-3 < 7$, जब

(i) $x$ एक पुर्णांक है।

उत्तर : यह देखते हुए कि  $5x-3 < 7$

$5x < 7+3$

$\quad 5x < 10$

$x < \frac{10}{5}$

$x < 2$

$-5 < -4,-3,-2,-1,0,1$ ये सभी $\ldots \ldots-5,-4,-5$, पूर्णांक 2 से कम हैं। इसी तरह जब $x$ एक पूर्णांक होता है, तो दी गई असमानता के स $\quad-5,-4,-3,-2,-1,0,1$ है।

(ii) $x$ एक वास्तविक संख्या होती है ।

उत्तर : जब $x$ एक वास्तविक संख्या होती है, तो दी गई असमानता के समाधान $x < 2$ द्वारा दिए जाते हैं, अर्थात सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जो 2 से कम होती हैं।

इस प्रकार, दी गई असमानता का समाधान $x(-\infty, 1]$ है।

4. हल कीजिए : $3 x+8 > 2$, जब

(i) $x$ एक पूर्णांक है

उत्तर : यह देखते हुए : $3 x+8 > 2$,

$3 x > -6$

$x > -\frac{6}{3}$

$x > -2$

$-2$ से अधिक पूर्णांक $-1,0,1,2,3,4 \ldots \ldots$ हैं।

इस प्रकार, जब $x$ एक पूर्णांक होता है तो, दी गई असमानता के समाधान $-1,0,1,2,3,4 \ldots \ldots$ हैं

इसलिए इस मामले में समाधान सेट $(-1, \infty]$ है।

(ii) $x$ एक वास्तविक संख्या होती है

उत्तर : जब $x$ एक वास्तविक संख्या है तो 2 से अधिक जितनी भी वास्तविक संख्याएँ हैं वो सभी दी गई असमानता के समाधान हैं। इस प्रकार, इस मामले में समाधान सेट $[-1, \infty)$ है

निम्नलिखित प्रश्न $5$ से $16$ तक वास्तविक संख्या $x$ के लिए हल कीजिए ,

5. $4 x+3 < 5 x+7$

उत्तर : यह देखते हुए : $4 x+3 < 5 x+7$

$3-7 < 5 x-4 x$ $-4 < x$

इस प्रकार , $-4$ से अधिक जितनी भी वास्तविक संख्याएँ $x$ है वो दी गई असमानता

के समाधान हैं ।

इसलिए $(-4, \infty]$ दी गई असमानता का समाधान है ।

6. $3 x-7 > 5 x-1$

उत्तर : यह देखते हुए : $3 x-7 > 5 x-1$

$-7+1 > 5 x-3 x$

$-6 > 2 x$

$-3 > x$

इस प्रकार , $-3$ से कम जितनी भी वास्तविक संख्याएँ $x$ है वो दी गई असमानता के समाधान हैं ।

इसलिए $[-\infty,-3)$ दी गई असमानता का समाधान है ।

7. $3(x-1) \leq 2(x-3)$

उत्तर: यह देखते हुए : $3(x-1) \leq 2(x-3)$

$3 x-3 \leq 2 x-6$

$3 x-2 x \leq-6+3$

$x \leq-3$

$-3$ से कम या बराबर जितनी सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ हैं, दी गई असमानता के समाधान हैं ।

इसलिए, दी गई असमानता का समाधान सेट $[-3,-\infty]$ हैं ।

8. $3(2-x) \geq 2(1-x)$

उत्तर : यह देखते हुए : $3(2-x) \geq 2(1-x)$

$6-3 x \geq 2-2 x$

$6-2 \geq 3 x-2 x$

$4 > x$

इस तरह, 4 से कम या बराबर जितनी सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ हैं, दी गई असमानता के समाधान हैं । इसलिए, दी गई असमानता का समाधान सेट $(-\infty, 4]$ हैं 1

9. $x+\left(\frac{x}{2}\right)+\left(\frac{x}{3}\right) < 11$

उत्तर: यह देखते हुए : $x+\left(\frac{x}{2}\right)+\left(\frac{x}{3}\right) < 11$

$x\left(\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\right) < 11$

$x\left(\frac{6+3+2}{6}\right) < 11$

$\frac{x 11}{6} < 11$

$x < \frac{11^{*} 6}{11}$

$x < 6$

इस तरह , 6 से कम जितनी सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ हैं, दी गई असमानता के समाधान हैं । इसलिए, दी गई असमानता का समाधान सेट $(-\infty, 6]$ हैं ।

10. $\frac{x}{3} > \frac{x}{2}+1$

उत्तर : यह देखते हुए : $\frac{x}{3} > \frac{x}{2}+1$

$\frac{x}{3}-\frac{x}{2} > 1$

$\frac{2 x-3 x}{6} > 1$

$-\frac{x}{6} > 1$

$-x > 6$

$x < -6$

इस तरह , $-6$ से कम या जितनी सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ हैं , दी गई असमानता के समाधान हैं । इसलिए, दी गई असमानता का समाधान सेट $(-\infty,-6]$ हैं 1

11. $\frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}$

उत्तर: यह देखते हुए : $\frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}$

$\frac{3 x-6}{5} \leq \frac{10-5 x}{3}$

$3(3 x-6) \leq 5(10-5 x)$

$9 x-18 \leq 50-25 x$

$34 x \leq 68$

$x \leq \frac{68}{34}$

$x \leq 2$

इस तरह, 2 से कम या बराबर जितनी सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ हैं, दी गई असमानता के समाधान हैं । इसलिए, दी गई असमानता का समाधान सेट $[-\infty, 2]$ हैं ।

12. $\quad 1 / 2(3 x / 5+4) \geq 1 / 3(x-6)$

उत्तर: $\frac{1}{2}\left(\frac{3 x}{5}\right)+4 \geq \frac{1}{3}(x-6)$

$\frac{3 x}{10}+2 \geq \frac{x}{3}-2$

$\frac{3 x}{10}-\frac{x}{3} \geq-2-2$

$\frac{(9 x-10 x)}{30} \geq-4$

$-x \geq-4 \times 30$

$-x \geq-120$

$x \leq 120$

$\quad x \in(-\infty, 120]$

13. $2(2 x+3)-10 < 6(x-2)$

उत्तर : $2(2 x+3)-10 < 6(x-2)$

$4 x+6-10 < 6 x-12$

$4 x-4 < 6 x-12$

$4 x-6 x < -12+4$

$-2 x < -8$

$x < \frac{-8}{-2}$

$x > 4$

$x \in(4, \infty]$

14. $37-(3 x+5) \geq 9 x-8(x-3)$

उत्तर : $37-(3 x+5) \geq 9 x-8(x-3)$

$37-3 x-5 \geq 9 x-8 x+24$

$32-3 x \geq x+24$

$-3 x-x \geq 24-32$

$-4 x \geq-8$

$4 x \leq 8$

$x \leq 2$

$\quad x \in(-\infty, 2]$

15. $\frac{x}{4} < \frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}$

उत्तर : $\frac{x}{4} < \frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}$

$\frac{x}{4} < \frac{\{5(5 x-2)-3(7 x-3)\}}{15}$

$\frac{x}{4} < \frac{(25 x-10-21 x+9)}{15}$

$\frac{x}{4} < \frac{(4 x-1)}{15}$

$15 x < 4(4 x-1)$

$15 x < 16 x-4$

$15 x-16 x < -4$

$-x < -4$

$x > 4$

$x \in(4, \infty)$

16. $(2 x-1) / 3 > _{-}(3 x-2) / 4-(2-x) / 5$

उत्तर: $\frac{(2 x-1)}{3} \geq \frac{(3 x-2)}{4}-\frac{(2-x)}{5}$

$\frac{(2 x-1)}{3} \geq \frac{(15 x-10-8+4 x)}{20}$

$\frac{(2 x-1)}{3} \geq \frac{(19 x-18)}{20}$

$20(2 x-1) \geq 3(19 x-18)$

$40 x-20 \geq 57 x-54$

$40 x-57 x \geq-54+20$

$-17 x \geq-34$

$17 x \leq 34$

$\quad x \leq 2$

$\quad x \in(-\infty, 2]$

17 से 20 तक की असमिकाओं का हाल ज्ञात कीजिए तथा उन्हे संख्या रेखा पर आलेखित कीजिए

17. $3 x-2 < 2 x+1$

उत्तर : $3 x-2 < 2 x+1$

$3 x-2 x < 1+2$

$x < 3$

18. $5x-3 \geq 3 x-5$

उत्तर: $5 x-3 \geq 3 x-5$

$5 x-3 x \geq -5+3$

$2 x \geq -2$

$x \geq -\frac{2}{2}$

$x \geq -1$

19. $3(1-x) < 2(x+4)$

उत्तर : $3(1-x) < 2(x+4)$

$3-3 x < 2 x+8$

$-3 x-2 x < 8-3$

$-5 x < 5$

$-x < \frac{5}{5}$

$-x < 1$

$x < -1$

20. $\frac{x}{2} \geq \frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}$

उ्तर : $\frac{x}{2} \geq \frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}$

$\frac{x}{2} \geq \frac{\{5(5 x-2)-3(7 x-3)\}}{15}$

$\frac{x}{2} \geq \frac{(25 x-10-21 x+9)}{15}$

$\frac{x}{2} \geq \frac{(4 x-1)}{15}$

$15 x \geq 8 x-2$

$15 x-8 x \geq-2$

$7 x \geq-2$

$x \geq-\frac{2}{7}$

21. रवि ने पहली दो एकक परीक्षा में 70 ओर 75 अंक प्राप्त किए हैं । वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए, जिसे वह तीसरी एकक परीक्षा में पाकर 60 अंक का न्यूनतम औसत प्राप्त कर सके $\mathrm{I}$

उत्तर : मान लीजिए कि रवि परीक्षा में $x$ अंक प्राप्त करता है । प्रश्नानुशार

$(70+75 x) \geq 60$

$70+75+x \geq 60 \times 3$

$145+x \geq 60 \times 3$

$145+x \geq 180$

$x \geq 180-145$

$x \geq 35$

22. किसी पाठ्यक्रम में ग्रैड 'A' पाने के लिए एक व्यक्ति को सभी पाँच परीक्षाओं ( प्रत्येक 100 में से ) में 90 अंक या अधीक अंक का औसत प्राप्त करना चाहिए । यदि सुनीता के प्रथम चार परीक्षाओं के प्राप्तांक $87,92,94$ और 95 हों तो वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए जिसे पाँचवी परीक्षा में प्राप्त करके सुनीता उस पाठ्यक्रम में ग्रैड ' $\mathrm{A}^{\prime}$ पाएगी ।

उत्तर : मान लीजिए कि सुनीता परीक्षा में $x$ अंक प्राप्त करती है । प्रश्नानुशार

$\frac{(87+92+94+95+x)}{5} \geq 90$

$368+x \geq 90 \times 5$

$x \geq 450-368$

$x \geq 82$

23. 10 से कम कर्मागत विषम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनके योगफल 11 से अर्धीक हो ।

उत्तर : मान लीजिए कि दो कर्मागत विषम संख्याओं में छोटी विषम संख्या $x$ है । इस प्रकार दूसरी विषम संख्या $x+2$ है । प्रश्नानुशार

$x < 10$ (i)

और $\quad x+(x+2) > 11$

$2 x+2 > 11$

$2 x > 11-2$

$x > \frac{9}{2} \quad \ldots \ldots \ldots(i i)$

(i) और (ii) से निष्कर्ष यह है कि

$\frac{9}{2} < x < 10$

सभी असंभव अभीष्ट जोड़े $(5,7),(7,9)$

24. कर्मागत सम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए, जिनमे से प्रत्येक 5 से बड़े हों , तथा उनका योगफल 23 से कम हो ।

उत्तर: मान लीजिए कि दो कर्मागत सम संख्याओं से छोटी विषम संख्या $x$ है । इस प्रकार दूसरी विषम संख्या $x+2$ है । प्रश्नानुशार

$x > 5$ $(i)$

और

$x+(x+2) < 23$

$2 x+2 < 23$

$\quad 2 x < 23-2$

$x < \frac{21}{2} \quad \ldots \cdots \cdots(i i)$

(i) और (ii) से निष्कर्ष यह है कि

$5 < x < \frac{21}{2}$

सभी असंभव अभीष्ट जोड़े $(6,8)(8,10)(10,12)$

25. त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी भुजा की तीन गुनी है तथा त्रिभुज की तीसरी भुजा सबसे बड़ी भुजा से 2 सेमी कम है तीसरी भुजा की न्यूनतम लंबाई ज्ञात कीजिए जबकि त्रिभुज का परिमाप न्यूनतम 61 सेमी है ।

उत्तर: मान लीजिए सबसे छोटी भुजा $x$ सेमी है ।

सबसे बड़ी भुजा $=3 x$ सेमी

तीसरी भुजा $=(3 x-2)$ सेमी

प्रश्नानुशार

$x+3 x+(3 x-2) \geq 61$

$x+3 x+3 x-2 \geq 61$

$7 x \geq 61+2$

$x \geq \frac{63}{7}$

$x \geq 9$

x=9  सेमी

26. एक व्यक्ति 91 सेमी लंबे बोर्ड में से तीन लंबाइयाँ काटना चाहता है । दूसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई से 3 सेमी अधिक और तीसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई की दूनी है । सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाइयाँ क्या है यदि तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम 5 सेमी अधिक लंबा हो ?

उत्तर: मान लीजिए सबसे छोटी लंबाई $x$ सेमी है ।

दूसरी लंबाई $=(x+3)$ सेमी

तीसरी लंबाई $=\left(2 x\right)$ सेमी

$x+2 x+x+3 \leq 91$

$4 x \leq 91-3$

$x \leq \frac{88}{4}$

$x\leq 22$

और

$x \geq(x+3)+5$

$2 x-x \geq 5$

$x \geq 8 \quad \ldots \ldots \ldots(ii)$

(i) और (ii) से निष्कर्ष यह है कि

$8 \leq x \leq 22$

प्रश्नावली 6.2

निम्नलिखित असमिकाओं को आलेखन - विधि से द्विविमीय तल में निरूपित कीजिए ।

1. $x+y < 52$

उत्तर: छायांकित भाग ही दी गई असमिका का निरूपित है ।

2. $2 x+y \geq 6$

उत्तर :अगर हम समीकरण $2 x+y=6$ को निरूपित करें तो यह रेखा हमारे द्विमालीय तल का दो भागों में बांटी है ।

और हम अब मूल बिन्दु को असमिका में डालें तो

$2 x+y \geq 62$

$=(0)+0 \geq 6$

$=0 \geq 6$

इसका मतलब यह है कि यह बिन्दु इस क्षेत्र में नहीं है । छायांकित भाग ही दी गयी असमिका का निरूपित है ।

3. $3 x+4 y \leq 12$

उत्तर : अगर हम समीकरण $3 x+4 y=12$ को निरूपित करें तो यह रेखा हमारे द्विमालीय तल का दो भागों में बांटी है ।

और हम अब मूल बिन्दु को असमिका में डालें तो

$3 x+4 y \leq 12$

$3(0)+4(0) \leq 12$

$0 \leq 12$

इसका मतलब यह है कि यह बिन्दु इस क्षेत्र में ही है । छायांकित भाग ही दी गयी असमिका का निरूपित है ।

4. $y+8 \geq 2 x$

उत्तर: अगर हम समीकरण $y+8=2 x$ को निरूपित करें तो यह रेखा हमारे द्विमालीय तल का दो भागों में बांटी है ।

और हम अब मूल बिन्दु $(0,0)$ को असमिका में डालें तो

$y+8 \geq 2 x$

$=0+8 \geq 2(0)$

$=8 \geq 0$

इसका मतलब यह है कि यह बिन्दु इस क्षेत्र में ही है । छायांकित भाग ही दी गयी असमिका का निरूपित है ।

5. $x-y \leq 2$

उत्तर : अगर हम समीकरण $x-y=2$ को निरूपित करें तो यह रेखा हमारे द्विमालीय तल का दो भागों में बांटी है ।

और हम अब मूल बिन्दु को असमिका में डालें तो

$x-y \leq 2$

$=0-0 \leq 2$

$=0 \leq 2$

इसका मतलब यह है कि यह बिन्दु इस क्षेत्र में ही है । छायांकित भाग ही दी गयी असमिका का निरूपित है ।

6. $2 x-3 y > 6$

उत्तर: अगर हम समीकरण $2 x-3 y=6$ को निरूपित करें तो यह रेखा हमारे द्विमालीय तल का दो भागों में बांटी है ।

और हम अब मूल बिन्दु को असमिका में डालें तो

$2 x-3 y \geq 6$

$=2(0)-3(0) \geq 6$

$=0 \geq 6$

इसका मतलब यह है कि यह बिन्दु इस क्षेत्र में नहीं है । छायांकित भाग ही दी गयी असमिका का निरूपित है ।

7. $-3 x+2 y \geq-6$

उत्तर: अगर हम समीकरण $-3 x+2 y=-6$ को निरूपित करें तो यह रेखा हमारे द्विमालीय तल का दो भागों में बांटी है ।

और हम अब मूल बिन्दु को असमिका में डालें तो

$-3(x)+2(y) \geq-6$

$=-3(0)+2(0) \geq-6$

$=0 \geq-6$

इसका मतलब यह है कि यह बिन्दु इस क्षेत्र में है । छायांकित भाग ही दी गयी असमिका का निरूपित है ।

8. $3 y-5 x < 30$

उत्तर: अगर हम समीकरण $3 y-5 x=30$ को निरूपित करें तो यह रेखा हमारे द्विमालीय तल का दो भागों में बांटी है ।

और हम अब मूल बिन्दु को असमिका में डालें तो

$3 y-5 x < 30$

$=3(0)-5(0) < 30$

$=0 < 30$

इसका मतलब यह है कि यह बिन्दु इस क्षेत्र में है । छायांकित भाग ही दी गयी असमिका का निरूपित है ।

9. $y < -2$

उत्तर: अगर हम समीकरण $y=-2$ को निरूपित करें तो यह रेखा हमारे द्विमालीय तल का दो भागों में बांटी है ।

और हम अब मूल बिन्दु को असमिका में डालें तो

$y \leq-2$

$=0 \leq-2$

इसका मतलब यह है कि यह बिन्दु इस क्षेत्र नहीं में है । छायांकित भाग ही दी गयी असमिका का निरूपित है ।

10. $\quad x > -3$

उत्तर: अगर हम समीकरण $x=-3$ को निरूपित करें तो यह रेखा हमारे द्विमालीय तल का दो भागों में बांटी है ।

और हम अब मूल बिन्दु को असमिका में डालें तो

$x \geq-3$

$=0 \geq-3$

इसका मतलब यह है कि यह बिन्दु इस क्षेत्र ही में है । छायांकित भाग ही दी गयी असमिका का निरूपित है ।

Exercise 6.3

विषमताओं की निम्न प्रणाली को रेखांकन द्वारा हल करें :

1. $x \geq 3, y \geq 2$

उत्तर :

$x \geq 3 \text {...... }(i)$

$y \geq 2 \ldots \ldots .(i i)$

लाइनों का ग्राफ , $x=3$ और $y=2$ ऊपर के चित्र में खींचा गया है । असमानता (i) रेखा के दाईं ओर स्थित क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $x=3$

(पंक्ति $x=3$ सहित), और असमानता (ii) रेखा के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व

करती है, $y=2$ (पंक्ति $y=2$ सहित) ।

इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को सामान्य

छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें संबंधित पंक्तियों पर बिन्दु निम्रानुसार होते हैं।

2. $3 x+2 y \leq 12, x \geq 1, y \geq 2$

उत्तर : $3 x+2 y \leq 12 \quad \ldots \ldots .(i)$

$x \geq 1 \quad \ldots \ldots . .(i i)$

$y \geq 2 \quad \ldots \ldots .(i i)$

रेखाओं के रेखांकन, $3 x+2 y=12, x=1$, और $y=2$, ऊपर के चित्र में खींचे गए हैं । असमानता (i) रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $3 x+2 y=12$ (पंक्ति $3 x+2 y=12$ सहित) ।असमानता (ii) लाइन के दाईं ओर क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $x=1$ (लाइन $x=1$ सहित)

इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमे संबंधित पंक्तियों पर बिन्दु निम्रानुशार है

3. $2 x+y \geq 6,3 x+4 y < 12$

उत्तर :  $2 x+y \geq 6 \quad \ldots \ldots .(i)$

$3 x+4 y < 12 \ldots \ldots .(i i)$

लाइनों का ग्राफ, $2 x+y=6$ और $3 x+4 y=12$ ऊपर दिए गए चित्र में खींचा गया है ।

असमानता ( $i)$ लाइन के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, (पंक्ति $2 x+y=6$ सहित ) और असमानता (ii) रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $3 x+4 y=12$ (लाइन $3 x+4 y=12$ सहित) ।

इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमे संबंधित पंक्तियों पर बिन्दु निम्नानुशार है ।

4. $x+y \geq 4,2 x-y > 0$

उत्तर :

$x+y \geq 4 \ldots \ldots . .(i)$

$2 x-y > 0 \ldots \ldots . .(i i)$

लाइनों का ग्राफ, $x+y=4$ और $2 x-y=0$ ऊपर दिए गए चित्र में खींचा गया है । असमानता $(i)$ लाइन के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है $x+y=4 \quad$ (लाइन $x+y=4$

सहित) ।

यह देखा गया कि $(1,0)$ असमानता को संतुष्ट करता है $2 x-y > 0 \cdot[2(1)-0=2 > 0]$

इसलिए, असमानता (ii) लाइन के अनुरूप आधे विमान का प्रतिनिधित्व करती है, $2 x-y=0$ जिसमे बिन्दु $(1,0)$ होता है ।

इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को लाइन पर अंक सहित सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है और लाइन पर बिन्दुओं को छोड़कर निम्रानुशार है ।

5. $2 x-y > 1 < x-2 y < -1$

उत्तर :

$2 x-y > 1 \ldots \ldots . .(i)$

$x-2 y < -1 \ldots \ldots . .$

लाइनों का ग्राफ, $2 x-y=1$ और $x-2 y=-1$ ऊपर दिए गए चित्र में खींचा गया है । असमानता $(i)$ रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $2 x-y=1$ (रेखा को छोड़कर $2 x-y=1$ ) और असमानता (ii) रेखा के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $x-2 y=-1$ (रेखा को छोड़कर $x-2 y=-1$ )

इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दश्शाया जाता है, जो संबंधित पंक्तियों पर दिए गए बिंदुओं को निम्र प्रकार से शामिल करता है।

6. $x+y \leq 6, x+y \geq 4$

उत्तर :

$x+y \leq 6 \ldots \ldots \ldots .(i)$

$x+y \geq 4 \ldots \ldots \ldots .(i i)$

लाइनों का ग्राफ, $x+y=6$ और $x+y=4$ ऊपर दिए गए चित्र में खींचा गया है । असमानता (i) रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $x+y=6$ (रेखा

$x+y=6$ सहित) और असमानता (ii) रेखा के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $x+y=4$ (रेखा $x+y=4$ सहित) ।

इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमे संबंधित पंक्तियों पर बिन्दु निम्रानुशार है ।

7. $2 x+y \geq 8, x+2 y \geq 10$

उत्तर:

$2 x+y \geq 8 \ldots \ldots \ldots . .(i)$

$x+2 y \geq 10 \ldots \ldots \ldots . .(i i)$

लाइनों का ग्राफ, $2 x+y=8$ और $x+2 y=10$ ऊपर दिए गए चित्र में खींचा गया है 1

असमानता $(i)$ लाइन के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $2 x+y=8$ और असमानता (ii) क्षेत्र के बीच का प्रतिनिधित्व करती है $x+2 y=10$.

इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दश्शाया जाता है, जिसमे संबंधित पंक्तियों पर बिन्दु निम्रानुशार है ।

8. $x+y \leq 9, y > x, x \geq 0$

उत्तर :

$x+y \leq 9 \ldots \ldots . .(i)$

$y > x \ldots \ldots \ldots(i i)$

$x \geq 0 \ldots \ldots . .$

लाइनों का ग्राफ, $x+y=9$ और $y=x$ ऊपर दिए गए चित्र में खींचा गया है । असमानता (i) रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $x+y=9$ (रेखा $x+y=9$ सहित)

यह देखा गया है $(0,1)$ कि असमानता को संतुष्ट करता है, $y=x[1 > 0]$

इसलिए, असमानता (ii) लाइन के बराबर आधे विमान का प्रतिनिधित्व करती है, $y=x$ जिसमे बिन्दु $(0,1)$ होता है ।

असमानता (iii) रेखा के दाहिने हाथ की ओर क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है, $x=0$

इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को लाइनों पर अंकित सहित सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाता है, $x+y=9$ और $x=0$ और लाइन $y=x$ पर बिंदुओं को छोड़कर ।

9. $5 x+4 y \leq 20, x \geq 1, y \geq 2$

उत्तर :

$5 x+4 y \leq 20 \ldots \ldots \ldots(i)$

$x \geq 1 \ldots \ldots \ldots . .(i i)$

$y \geq 2 \ldots \ldots \ldots . .(i i i) रेखाओं का ग्राफ,$5 x+4 y=20, x=1$और$y=2$ऊपर दिए गए चित्र में खींचा गया है | असमानता$(i)$रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$5 x+4 y=20$(पंक्ति$5 x+4 y=20$सहित) |असमानता (ii) रेखा के दाईं ओर स्थित क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$x=1$(रेखा सहित)$y=2$. इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दश्शाया जाता है, जिसमे संबंधित पंक्तियों पर बिन्दु निम्नानुशार है । 10.$\quad 3 x+4 y \leq 60, x+3 y \leq 30, x \geq 0, y \geq 0$उत्तर :$3 x+4 y \leq 60x+3 y \leq 30  \ldots \ldots \ldots(i)$रेखाओं का ग्राफ,$3 x+4 y=60$और$x+3 y=30$,ऊपर दिए गए चित्र में हैं । असमानता$(i)$रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$3 x+4 y=60$(रेखा$3 x+4 y=60$सहित), और असमानता (ii) रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$x+3 y=30$(रेखा$x+3 y=30$सहित).$x \geq 0$और$y \geq 0$के बाद से, पहले चतुष्कोण में सामान्य छायांकित क्षेत्र में प्रत्येक बिन्दु संबंधित रेखा पर स्थित बिंदुओं और कुल्हाड़ियों में रैखिक ineq कि दी गई प्रणाली के समाधान का प्रतिनिधित्व करता है । 11.$2 x+y \geq 4, x+y \leq 3,2 x-3 y \leq 6$उत्तर :$2 x+y \geq 4  \ldots(i)x+y \leq 3  \ldots(i i)2 x-3 y \leq 6  \ldots(i i i)$लाइनों का ग्राफ,$2 x+y=4, x+y=3$और$2 x-3 y=6$ऊपर दिए गए चित्र में खींचे गए हैं। असमानता$(i)$लाइन के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$2 x+y=4$(लाइन$2 x+y=4$सहित)। असमानता (ii) रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$x+y=3$(लाइन$x+y=3$सहित)। असमानता (iii) लाइन के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$2 x-3 y=6$(रेखा$2 x-3 y=6$सहित) इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें संबंधित पंक्तियों पर बिंदु निम्रानुसार हैं। 12.$x-2 y \leq 3,3 x+4 y \geq 12, x \geq 0, y \geq 1$उत्तर :$x-2 y \leq 3  \ldots(i)3 x+4 y \geq 12  \ldots(i i)y \geq 1  \ldots(\text { iii })$रेखाओं का ग्राफ,$x-2 y=3,3 x+4 y \geq 12$और$y=1$ऊपर दिए गए चित्र में खींचे गए हैं। असमानता$(i)$रेखा के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$x-2 y=3$(पंक्ति$x-2 y=3$सहित) 1 असमानता$(i i)$रेखा के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$3 x+4 y \geq 12$(पंक्ति$3 x+4 y \geq 12$सहित में$y=1$). असमानता,$x, 0, y$- अक्ष के दाई ओर ($y$-अक्ष सहित) क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है। इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें संबंधित रेखाओं पर बिंदु और$y$- अक्ष निम्रानुसार हैं। 13.$4 x+3 y \leq 60, y \geq 2 x, x \geq 3, x, y \geq 0$उत्तर :$4 x+3 y \leq 60  \ldots(i) y \geq 2 x  \ldots(i i) x \geq 3  \ldots (iii) $रेखाओं का ग्राफ,$4 x+3 y=60, y=2 x$और$x=3$, ऊपर दिए गए चित्र में खींचा गया है। असमानता$(i)$रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$4 x+3 y=60$(पंक्ति$4 x+3 y=60$सहित) असमानता (ii) लाइन के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$y=2 x$(लाइन$y=2 x$सहित) असमानता$x=3 \quad$). इसलिए, रैखिक असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान को सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें संबंधित पंक्तियों पर बिंदु निम्रानुसार हैं। 14.$3 x+2 y \leq 150, x+4 y \leq 80, x \leq 15, y \geq 0, x \geq 0$उत्तर :$3 x+2 y \leq 150 \quad \ldots \ldots(i)x+4 y \leq 80 \quad \ldots \ldots(i i)x \leq 15 \quad \ldots \ldots(i i i)$रेखाओं का ग्राफ,$3 x+2 y=150, x+4 y=80$और$x=15$, ऊपर दिए गए चित्र में खींचे गए हैं । असमानता$(i)$लाइन के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$3 x+2 y=150$(लाइन$3 x+2 y=150$सहित)। असमानता$(i i)$रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$x+4 y=80$(पंक्ति$x+4 y=80$सहित$x=15$). जबसे$x \geq 0$and$y \geq 0$, पहले चरण में सामान्य छायांकित क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु संबंधित रेखाओं और अक्षों पर बिंदुओं सहित रेखीय असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान का प्रतिनिधित्व करता है। 15.$x+2 y \leq 10, x+y \geq 1, x-y \leq 0, x \geq 0, y \geq 0$उत्तर :$x+2 y \leq 10  \ldots(i)x+y \geq 1  \ldots(i i)x-y \leq 0  \ldots(\text { iii })$रेखाओं का ग्राफ,$x+2 y=10, x+y \geq 1$और$x-y=0$, ऊपर दिए गए चित्र में खींचे गए हैं। असमानता (i) रेखा के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है,$x+2 y=10$(पंक्ति$x+2 y=10$सहित)। असमानता (ii) लाइन के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है,$x+y=1$(लाइन$x+y=1$सहित)। जबसे$x \geq 0$and$y \geq 0$, पहले चरण में सामान्य छायांकित क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु संबंधित रेखाओं और अक्षों पर बिंदुओं सहित रेखीय असमानताओं की दी गई प्रणाली के समाधान का प्रतिनिधित्व करता है। प्रश्रावली 6.4 प्रश्न 1 से 6 तक की असमिकाओं को हल कीजिए : 1.$2 \leq 3 x-4 \leq 5$उत्तर:$2 \leq 3 x-4 \leq 52+4 \leq 3 x \leq 5+46 \leq 3 x \leq 9$दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर$=2 \leq x \leq 3$दी हुई असमिका का हल$=[2,3]$2.$6 \leq-3(2 x-4) < 12$उत्तर :$6 \leq-3(2 x-4) < 126 < -3(2 x-4) < 126 \geq-6(x-2) > 12-6$से भाग देने पर$-1 \geq x-2 > -2-1+2 \geq x > -2+21 \geq x > 0$या$\quad 0 < x \leq 1$दी हुई असमिका का हल$=[0,1]$3.$\quad-3 \leq 4-\frac{7 x}{2} \leq 18$उत्तर : दी गई असमिका$-3 \leq 4-\frac{7 x}{2} \leq 18$2 से गुणा करने पर$2\left(-3 \leq 4-\frac{7 x}{2} \leq 18\right)-6 \leq 8-7 x \leq 36$8 घटाने पर$-14 \leq-7 x \leq 28-7$से भाग देने पर$2 \geq x \geq-4 \quad$या$\quad-4 \leq x \leq 2$दी हुई असमिका का हल$=[-4,2]$4.$-15 < \frac{3(x-2)}{2} \leq 0$उत्तर: दी गई असमिका$-15 < \frac{3(x-2)}{2} \leq 0$दी गई असमिका को 5 से गुणा करने पर$3\left[-15 < \frac{3(x-2)}{2} \leq 0\right]-75 < 3 x-6 \leq 0$या$-75+6 < 3 x \leq 6$3 से भाग देने पर$\frac{-69}{3} < x \leq 2$या$-23 < x \leq 2$दी हुई असमिका का हल$=[-23,2]$5.$-12 < 4-\frac{3 x}{-5} \leq 2$उत्तर :$-12 < 4-\frac{3 x}{-5} \leq 2-12 < 4+\frac{3 x}{5} \leq 2$4 घटाने पर$-16 < \frac{3 x}{5} \leq-2\frac{5}{3}$से गुणा करने प$\frac{5}{3}\left(-16 < \frac{3 x}{5} \leq-2\right)-\frac{80}{3} < x \leq \frac{-13}{3}$दी हुई असमिका का हल$=\left[-\frac{80}{3}, \frac{-10}{3}\right]$6.$7 \leq \frac{(3 x+11)}{2} \leq 11$उत्तर:$7 \leq \frac{(3 x+11)}{2} \leq 11$दी गई असमिका को 2 से गुणा करने पर$\quad 2\left[7 \leq \frac{(3 x+11)}{2} \leq 11\right]=14 \leq 3 x+11 \leq 22$11 घटाने पर$=3 \leq 3 x \leq 11=3 \leq 3 x \leq 11$3 से भाग देने पर$=\frac{3 \leq 3 x \leq 11}{3}$दी हुई असमिका का हल$=\left[1, \frac{11}{3}\right]$7.$5 x+1 > -24,5 x-1 < 24$उत्तर: (i)$5 x+1 > -245 x > -25x > -\frac{25}{5}x > -5 5 x-1 < 245 x < 24+15 x < 25x < \frac{25}{5}x < 5$(Image will be uploaded soon) दी गई असमिकाओं का हल$[-5,5]$इसका संख्यों रेखा पर निरूपित इस प्रकार है ; 8.$2(x-1) < x+5,3(x+2) > 2-x$उत्तर :$\quad 2(x-1) < x+5,3(x+2) > 2-x$दी हुई असमिका$2(x-1) < x+5$या$3(x+2) > 2-x=2 x-2 < x+53 x+6 > 2-x=x < 7$या$3 x+x > 2-6=4 x > -4 \quad या  x > -\frac{4}{4}=x > -1$दी गई असमिकाओं का हल$[-1,7]$इसका संख्यों रेखा पर निरूपित इस प्रकार है ; -$2 x$को दाएँ ओर लाने तथा 6 को बाएँ ओर लाने पर$=2 x-x > 11-6=x > 5$(Image will be uploaded soon) दी गई असमिकाओं का हल$[5, \infty]$इसका संख्यों रेखा पर निरूपित इस प्रकार है ; - 9.$3\,\,x\,\,-\,\,7\,\, > \,\,2\,\,(\,\,x\,\,-\,\,6\,\,)\,\,\,,\,\,\,\,6\,\,-\,\,x\,\, > \,\,11\,\,-\,\,2x$उत्तर :$3 x-7 > 2(x-6), 6-x > 11-2 x=3 x-7 > 2(x-6) \quad 6-x > 11-2 x$या$3 x-7 > 2 x-122 x$को बाई और तथा को दऐ और लातऐ हुए ।$=3 x-2 x > -12+7=x > -52 x$को दऐ और लाने पर$=6+2 x-x > 11=6+x > 11=x > 11-6=x > 5$(Image will be uploaded soon) दी हुई असमिका का हल$[5, \infty]$इसका संख्यो रेखा पर निरूपित इस प्रकार है :- 10.$5(2 x-7)-3(2 x+3) \leq 0, \quad 2 x+19 \leq 6 x+47$उत्तर :$=5(2 x-7)-3(2 x+3) \leq 0=10 x-35-6 x-9 \leq 0=4 x-44 \leq 0=4 x \leq 44=x \leq \frac{44}{4}=x \leq 11$या,$2 x+19 \leq 6 x+472 x-6 x \leq 6 x+4-4 x \leq 28x \leq-\frac{28}{4}x \leq-7$(Image will be uploaded soon) दी गई असमिकाओं का हल$[-7,11]$इसका संख्यों रेखा पर निरूपित इस प्रकार है ; - 11. एक विलयन को$68^{\circ}$फ और$77^{\circ}$फ के मध्य रखना है । सेल्सियस पैमाने पर विलयन के तापमान का परिसर ज्ञात कीजिए, जहाँ सेल्सियस फारेनहाइट परिवर्तन फ$=\frac{9}{5}$सी$+32$है । उत्तर :$\quad$फ$=\frac{9}{5}$सी$+32$और$68^{\circ} < $फ$ < 77^{\circ}=68^{\circ} < \frac{9}{5}$सी$+32 < 77^{\circ}$32 घटाने पर$=68^{\circ}-32^{\circ} < \frac{9}{5} \text { सी } < 77^{\circ}-32^{\circ}=36^{\circ} < \frac{9}{5} \quad \text { सी } < 45^{\circ}\frac{5}{9}$से गुणा करने पर$=\frac{5}{9}\left(\frac{36^{\circ}}{1} < \frac{9}{5} \quad \text { सी } < \frac{45^{\circ}}{1}\right)=20^{\circ} < $सी$ < 25^{\circ}$सी का परिसर अंतराल$\left(20^{\circ}, 25^{\circ}\right)$12.$8 \%$बोरिक एसिड के विलयन में$2 \%$बोरिक ऐसिड का विलयन मिलाकर तनु ( कपसनजम ) किया जाता है । परिणामी मिश्रण में बोरिक ऐसिड$4 \%$से अधिक तथा$6 \%$से कम होना चाहिए । यदि हमारे पास विलय न की मात्रा$2 \%$लीटर हो तो ज्ञात कीजिए कि$2 \%$विलयन के कितने लीटर इसमें मिलने होंगे ? उत्तर : माना$2 \%$बोरिक का$x$लीटर विलयन मिलाया जाता है । कुल मिश्रण की संख्या$=640+x$(i) यदि मिश्रण में$4 \%$से अधिक का विलयन है तो$x$का$2 \%+640$का$8 \% > (640+x)$का$4 \%=\frac{2}{100} \times x+\frac{8}{100} \times 640 > \frac{4}{100} \times(640+x)=2 x+5120 > 2560+4 x=2 x-4 x > 2560-5120=-2 x > -2560=x < 1280$(ii) यदि मिश्रण में$6 \%$बोरिक मिश्रण ऐसिड विलयन से कम है तो$x$का$2 \%+640$का$8 \% > (640+x)$का$6 \%=\frac{2}{100} \times x+\frac{8}{100} \times 640 < \frac{6}{100} \times(640+x)=2 x+5120 < 3480+6 x=2 x-6 x < 3480-5120=-4 x < -1280=-x < -320=x > 320$इस प्रकार$2 \%$ऐसिड विल्यनों की मात्रा 320 लीटर से अधिक और 1280 लीटर से कम होनी चाहिए । 13.$45 \%$अम्ल के 1125 लीटर विलयन में कितना पानी मिलाया जाए कि पारिणामी मिश्रण में अम्ल$25 \%$से अधिक परंतु$30 \%$से कम हो जाए ? उत्तर: मान लीजिए ऐसिड विलयन में$x$लीटर पानी मिलाया जाए , तो मिश्रण की कुल मात्रा$=(1125+x)$लीटर (i)$\frac{25}{100} \times(1125+x) < \frac{45}{100} \times 1125$20 से गुणा करने पर$=20\left\{\frac{25}{100} \times(1125+x)\right\} < 20\left\{\frac{45}{100} \times 1125\right\}=5(1125+x) < 9(1125)=5625+5 x < 10125=5 x < 10125-5625=x < \frac{4500}{5}=x < 900\text { (ii) }(1125+x) \text { का } 30 \% > 1125 \text { का } 45 \%=\frac{30}{100} \times(1125+x) > \frac{45}{100} \times 1125\frac{20}{3}$से गुणा करने पर$=\frac{20}{3}\left[\frac{30}{100} \times(1125+x)\right] > \frac{20}{3}\left[\frac{45}{100} \times 1125\right]=2(1125+x) > 3 \times 1125=2250+2 x > 3375=2 x > 3375-2250=x > \frac{1125}{2}=x > 562.5=562.5 < x < 900$14. एक व्यक्ति के बौद्धिक लब्धि (IQ) मापन का सूत्र निम्रलिखित है :$I Q=\frac{M}{C A} \times 100$जहां मानसिक आयु और कालानुन्मी आयु है । यदि 12 वर्ष की आयु के बच्चों के समूह की$I Q$, असमिका$80 \leq I Q \leq 140$द्वारा व्यक्त हो तो, उस समूह के बच्चों कि मानसिक आयु का परिसर ज्ञात कीजिए । उत्तर:$I Q=\frac{M}{C A} \times 100$दिया है$=80 \leq I Q \leq 140=80 \leq \frac{M}{C A} \leq 140$परंतु$CA=12$वर्ष$=80 \leq \frac{M}{{12}} \times 100 \leq 140\frac{3}{4}$गुणा करने पर$=48 \leq M \times 5 \leq 84$5 गुणा करने पर$=9.6 \leq M \leq 16.8$अतः मानसिक आयु कम से कम$9.6$वर्ष है और अधिक से अधिक$16.8\$ वर्ष है।

## NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 –Linear Inequalities

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