NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 - In Hindi

अभ्यास 2.1

प्रश्न 1: निम्नलिखित व्यंजकों में कौन कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।

1. \[4{{x}^{2}}-3x+7\]

2. \[{{y}^{2}}+\surd 2\]

3. \[3\surd t+t\surd 2\]

4. \[y+\dfrac{2}{y}\]

5. \[{{x}^{10}}+{{y}^{3}}+{{t}^{50}}\]

उत्तर:

\[~\left( e \right)\] में तीन चर हैं, 

\[\left( a \right)\text{ }\left( b \right)\]एक चर में बहुपद हैं,

 \[\left( c \right)\text{ }\left( d \right)\]में चर का प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं।

प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक में \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\] का गुणांक लिखिए:

1. \[2+{{x}^{2}}+x\]

2. \[2-{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\]

3. \[\dfrac{\pi }{2}{{x}^{2}}+x\]

4. \[\surd 2x-1\]

उत्तर:

 \[\left( a \right)\text{ }1,\text{ }\left( b \right)\text{ }-1,\text{ }\left( c \right)\dfrac{~\pi }{2},\text{ }\left( d \right)\text{ }0\]

प्रश्न 3: \[35\] घात के द्विपद का और \[\mathbf{100}\]घात के एकपदी का एक एक उदाहरण दीजिए।

उत्तर:

 \[{{x}^{35}}+x~{{x}^{100}}\]

प्रश्न 4: निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए।

1. \[\mathbf{5{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+7x}\]

2. \[\mathbf{4-{{y}^{2}}}\]

3. \[\mathbf{5t-\surd 7}\]

4. \[\mathbf{3}\]

उत्तर: 

\[\left( a \right)\text{ }3,\left( b \right)\text{ }2,\text{ }\left( c \right)\text{ }1,\text{ }\left( d \right)\text{ }0\]

प्रश्न 5: बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं।

1. \[\mathbf{{{x}^{2}}+x}\]

2. \[\mathbf{x-{{x}^{3}}}\]

3. \[\mathbf{y+{{y}^{2}}+4}\]

4. \[\mathbf{1+x}\]

5. \[\mathbf{3t}\]

6. \[\mathbf{{{r}^{2}}}\]

7. \[\mathbf{7{{x}^{3}}}\]

उत्तर:

1. द्विघाती

2. त्रिघाती

3. द्विघाती

4. रैखिक

5. रैखिक

6. द्विघाती

7. त्रिघाती

अभ्यास 2.2

प्रश्न1:निम्न लिखितपर बहुपद \[\mathbf{5x}-\mathbf{4}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{3}~\]के मान ज्ञात कीजिए:

1. x=0

उत्तर: 

बहुपद में मान रखने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   5\times 0-4\times {{0}^{2}}+3  \\   \begin{align}  & =0-0+3 \\  & =3 \\  \end{align}  \\ \end{array}\] 

2. x=-1

उत्तर: 

बहुपद में मान रखने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   5\times \left( -1 \right)-4\times {{\left( -1 \right)}^{2}}+3  \\   \begin{align}  & =-5-4+3 \\  & =-6 \\  \end{align}  \\ \end{array}\] 

3.  x=2

उत्तर: 

बहुपद में मान रखने पर,

\[\begin{array}{*{35}{l}}   5\times 2-4\times {{2}^{2}}+3  \\   \begin{align}  & =10-16+3 \\  & =-3 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक बहुपद के लिए \[\mathbf{p}\left( \mathbf{0} \right),\text{ }\mathbf{p}\left( \mathbf{1} \right),\]और \[\mathbf{p}\left( \mathbf{2} \right)\]ज्ञात कीजिए:

1. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{y} \right)={{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{y}+\mathbf{1}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   p\left( 0 \right)={{0}^{2}}-0+1=1  \\   p\left( 1 \right)={{1}^{2}}-1+1=1  \\   p\left( 2 \right)={{2}^{2}}-2+1=4-2+1=3  \\ \end{array}\] 

2. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{t} \right)=\mathbf{2}+\mathbf{t}+\mathbf{2}{{\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}}-{{\mathbf{t}}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   p\left( 0 \right)=2+0+2\times {{0}^{2}}-{{0}^{3}}=2  \\   p\left( 1 \right)=2+1+2\times 1-1=4  \\   p\left( 2 \right)=2+2+2\times {{2}^{2}}-{{2}^{3}}  \\   =4+8-8=4  \\ \end{array}\] 

3. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)={{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: 

\[\begin{align}  & p(0)={{0}^{3}} \\  & p(1)={{1}^{3}}=1 \\   & p(2)={{2}^{3}}=8\text{ }\!\!\grave{\ }\!\!\text{ } \\  \end{align}\] 

4. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\left( \mathbf{x}-\mathbf{1} \right)\left( \mathbf{x}+\mathbf{1} \right)\]

उत्तर:

 \[\begin{array}{*{35}{l}}   p\left( 0 \right)=\left( 0-1 \right)\left( 0+1 \right)=-1\times 1=-1  \\   p\left( 1 \right)=\left( 1-1 \right)\left( 1+1 \right)=0  \\   p\left( 2 \right)=\left( 2-1 \right)\left( 2+1 \right)=3  \\ \end{array}\]

प्रश्न 3: सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं:

1. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{3x}+\mathbf{1}:~\mathbf{x}=\dfrac{-\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\]

उत्तर:

 \[3x+1=\dfrac{-3}{3}+1=-1+1=0\]

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

2. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{5x}-\mathbf{\pi }:~\mathbf{x}=\dfrac{\mathbf{4}}{\mathbf{5}}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   5x-\pi =5\times \dfrac{4}{5}-\pi   \\   =5-\pi \ne 0  \\ \end{array}\]

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक नहीं है।

3. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)={{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{1}:~\mathbf{x}=\mathbf{1},-\mathbf{1}\]

उत्तर:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{2}}={{1}^{2}}-1=0  \\   {{x}^{2}}={{\left( -1 \right)}^{2}}-1=0  \\ \end{array}\]

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

4. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\left( \mathbf{x}+\mathbf{1} \right)\left( \mathbf{x}-\mathbf{2} \right):~\mathbf{x}=-\mathbf{1},\mathbf{2}\]

उत्तर:

 \[\begin{array}{*{35}{l}}   p\left( -1 \right)=\left( -1+1 \right)\left( -1-2 \right)=0  \\   p\left( 2 \right)=\left( 2+1 \right)\left( 2-2 \right)=0  \\ \end{array}\]

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

5. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)={{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}},~\mathbf{x}=\mathbf{0}\]

उत्तर: 

\[{{0}^{2}}=0\]

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

6. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{lx}+\mathbf{m}:~\mathbf{x}=-\dfrac{\mathbf{m}}{\mathbf{l}}\]

उत्तर:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   ~lx+m=l\times \left( -\dfrac{m}{l} \right)+m  \\   =-m+m=0  \\ \end{array}\]

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

7. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{3}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{1}:~\mathbf{x}=\dfrac{-\mathbf{1}}{\surd \mathbf{3}},~\dfrac{\mathbf{2}}{\surd \mathbf{3}}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   p\left( \dfrac{-1}{\surd 3} \right)=3\times {{\left( \dfrac{-1}{\surd 3} \right)}^{2}}-1  \\   =3\times \dfrac{1}{3}-1=1-1=0  \\ \end{array}\]

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक है।

\[p\left( \dfrac{2}{{{\left( \surd 3 \right)}^{2}}} \right)=3\times {{\left( \dfrac{2}{\surd 3} \right)}^{2}}-1\]

\[=3\times \dfrac{4}{3}-1=4-1=3\]

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक नहीं है।

8. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{2x}+\mathbf{1}:~\mathbf{x}=\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\]

उत्तर:

\[2\times \dfrac{1}{2}+1=1+1=2\]

शून्यक मान रखने पर बहुपद का मान शून्य नहीं होता है, इसलिए यह संगत बहुपद का शून्यक नहीं है।

प्रश्न 4: निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए:

1. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{x}+\mathbf{5}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   x+5=0  \\   x=-5  \\ \end{array}\] 

2. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{x}-\mathbf{5}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   x-5=0  \\   x=5  \\ \end{array}\] 

3. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{2x}+\mathbf{5}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   2x+5=0  \\   2x=-5  \\   x=\dfrac{-5}{2}  \\ \end{array}\] 

4. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{3x}-\mathbf{2}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   3x-2=0  \\   3x=2  \\   x=\dfrac{2}{3}  \\ \end{array}\] 

5. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{3x}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   3x=0  \\   x=0  \\ \end{array}\] 

6. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{cx}+\mathbf{dp}:~\mathbf{c}\ne \mathbf{0c},\text{ }\mathbf{d}\] वास्तविक संख्याएँ हैं।

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   cx+d=0  \\   cx=-d  \\   x=\dfrac{-d}{c}  \\ \end{array}\]

अभ्यास 2.3

प्रश्न1: \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+\mathbf{3}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{3x}+\mathbf{1}~\]को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए:

1. \[\mathbf{x}+\mathbf{1}\]

उत्तर: 

\[f(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1\]

माना \[x+1=0\]

\[x=-1\]के लिए ,

\[\begin{align}  & f(-1)={{(-1)}^{3}}+3{{(-1)}^{2}}+3(-1)+1 \\   & =-1+3-3+1 \\   & =0 \\  \end{align}\]

अतः शेषफल\[=0\]

2. \[\mathbf{x-\dfrac{1}{2}}\]

उत्तर:

\[f(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1\]

माना \[x-\dfrac{1}{2}=0\]

\[x=\dfrac{1}{2}\]के लिए ,

\[\begin{align}  & f(\dfrac{1}{2})={{(\dfrac{1}{2})}^{3}}+3{{(\dfrac{1}{2})}^{2}}+3(\dfrac{1}{2})+1 \\   & =\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{27}{8} \\  \end{align}\]

अतः शेषफल \[=\dfrac{27}{8}\]

3. \[\mathbf{x}\]

उत्तर: 

\[f(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1\]

माना 

\[x=0\]

\[x=0\]के लिए ,

\[f(0)={{(0)}^{3}}+3{{(0)}^{2}}+3(0)+1\]

अतः शेषफल=1

4. \[\mathbf{x}+\mathbf{\pi }\]

उत्तर: 

\[f(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1\]

माना \[x+\pi =0\]

\[x=-\pi \] के लिए ,

\[f(-\pi )={{(-)}^{3}}+3{{(-\pi )}^{2}}+3(-\pi )+1\]

अतः शेषफल \[={{(-\pi )}^{3}}+3{{(\pi )}^{2}}-3\pi +1\]

5. \[\mathbf{5}+\mathbf{2x}\]

उत्तर:

\[f(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1\]

माना \[5+2x=0\]

\[x=\dfrac{-5}{2}\]के लिए ,

\[\begin{align}   & f(\dfrac{-5}{2})={{(\dfrac{-5}{2})}^{3}}+3{{(\dfrac{-5}{2})}^{2}}+3(\dfrac{-5}{2})+1 \\  & =\dfrac{(-125+150-60+8)}{8} \\  & =\dfrac{-27}{8} \\  \end{align}\]

अतः शेषफल \[=\dfrac{-27}{8}\]

प्रश्न2: \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{a}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{6x}-\mathbf{a}\] को \[\mathbf{x}-\mathbf{a}~\] से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \[f(x)={{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{a}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{6x}-\mathbf{a}~\]

माना \[x-a=0\]

\[x=a\] के लिए ,

\[f(a)={{a}^{3}}-a{{(a)}^{2}}+6(a)-a\]

\[=-5a\]

अतः शेषफल \[=-5a\]

प्रश्न 3: जाँच कीजिए कि \[\mathbf{7}+\mathbf{3x},~\mathbf{3}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+\mathbf{7x}~\]का एक गुणनखंड है या नहीं।

उत्तर: 

\[f(x)=3{{x}^{3}}+7x\]

माना \[7+3x=0\]

\[x=\dfrac{-7}{3}\] के लिए ,

\[\begin{align}  & f(\dfrac{-7}{3})=3{{\left( \dfrac{-7}{3} \right)}^{3}}+7\left( \dfrac{-7}{3} \right) \\  & =\dfrac{-343}{9}-\dfrac{49}{3} \\  & =\dfrac{-343-147}{9} \\  & =\dfrac{-490}{9} \\  & \dfrac{-490}{9}\ne 0 \\  \end{align}\]

अतः \[7+3x\]बहुपद का एक गुणनखंड नही है।

अभ्यास 2.4

प्रश्न 1: बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड \[\mathbf{x}+\mathbf{1}\]है।

1. \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{x}+\mathbf{1}\]

उत्तर: 

\[x+1=0\]

या\[,~x=-1\]

बहुपद में इस मान को रखने पर:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( -1 \right)}^{3}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-1+1  \\   \begin{align}  & =-1+1-1+1 \\   & =0 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

हाँ, \[x+1~\]इस बहुपद का गुणनखंड है।

2. \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}+{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{x}+\mathbf{1}\]

उत्तर: 

\[,~x=-1\]

बहुपद में इस मान को रखने पर:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( -1 \right)}^{4}}+{{\left( -1 \right)}^{3}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-1+1  \\   \begin{align}  & =1-1+1-1+1 \\  & =1 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

नहीं, \[x+1~\]इस बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

3. \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}+\mathbf{3}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+\mathbf{3}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{x}+\mathbf{1}\]

उत्तर:

 \[~x=-1\]

बहुपद में इस मान को रखने पर:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   ~{{\left( -1 \right)}^{4}}+3{{\left( -1 \right)}^{3}}+3{{\left( -1 \right)}^{2}}-1  \\   \begin{align}  & =1-3+3-1+1 \\  & =1 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

नहीं, \[x+1~\]इस बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

4. \[p(x){{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}-{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\left( \mathbf{2}+\surd \mathbf{2} \right)\mathbf{x}+\surd \mathbf{2}\]

उत्तर: 

\[,~x=-1\]

बहुपद में इस मान को रखने पर:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( -1 \right)}^{3}}-{{\left( -1 \right)}^{2}}-\left( 2+\surd 2 \right)\left( -1 \right)+\surd 2  \\   =-1+1+2+\surd 2+\surd 2  \\   =2+2\surd 2  \\ \end{array}\]

नहीं, \[x+1\]इस बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

प्रश्न 2: गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में \[\mathbf{g}\left( \mathbf{x} \right),\text{ }\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)\]का एक गुणनखंड है या नहीं:

1. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{2}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{2x}-\mathbf{1},~\mathbf{g}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{x}+\mathbf{1}\]

उत्तर: 

\[x+1=0\]

या, \[x=-1\]

बहुपद में मान रखने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   2{{\left( -1 \right)}^{3}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-2\left( -1 \right)-1  \\   \begin{align}  & =-2+1+2-1 \\   & =0 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

\[x+1\]गुणनखंड है।

2. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)={{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+\mathbf{3}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{3x}+\mathbf{1},~\mathbf{g}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{x}+\mathbf{2}\]

उत्तर: 

\[x+2=0\]

या , \[x=-2\]

बहुपद में मान रखने पर।

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( -2 \right)}^{3}}+3{{\left( -2 \right)}^{2}}+3\left( -2 \right)+1  \\   =-8+6-6+1=9  \\ \end{array}\]

\[x=-2\] गुणनखंड नहीं है।

3. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)={{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{4}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{x}+\mathbf{6},~\mathbf{g}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{x}-\mathbf{3}\]

उत्तर: 

\[x-3=0\]

या \[x=3\]

बहुपद में मान रखने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{3}^{3}}-4\times {{3}^{2}}+3+6  \\   \begin{align}  & =27-36+3+6=36-36 \\  & =0 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

\[x=3\] गुणनखंड है।

प्रश्न 3: \[\mathbf{k}\] का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में \[(\mathbf{x}\text{ }-\mathbf{1}),\text{ }\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)\]का एक गुणनखंड है।

1. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)={{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{x}+\mathbf{k}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   x-1=0  \\   x=1  \\   12+1+k=0  \\   2+k=0  \\   k=-2  \\ \end{array}\] 

2. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{2}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{kx}+\surd \mathbf{2}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   x-1=0  \\   x=1  \\ \end{array}\] 

बहुपद मे मान रखने पर,

\[\begin{align}  & \mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=0 \\  & 2{{(1)}^{2}}+k(1)+\sqrt{2}=0 \\  & 2+k+\sqrt{2}=0 \\  & k=-\sqrt{2}-2 \\  \end{align}\]

3. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{k}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\sqrt{2}\mathbf{x}+\mathbf{1}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   x-1=0  \\   x=1  \\ \end{array}\] 

बहुपद मे मान रखने पर,

\[\begin{align}  & \mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=0 \\   & k{{(1)}^{2}}+\sqrt{2}(1)+1=0 \\   & k=-\sqrt{2}-1 \\  \end{align}\]

4. \[\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{k}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{3x}+\mathbf{k}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   x-1=0  \\   x=1  \\ \end{array}\]

बहुपद मे मान रखने पर,

\[\begin{align}  & k{{(1)}^{2}}-3(1)+k=0 \\  & k-3+k=0 \\   & 2k=3 \\   & k=\dfrac{3}{2} \\  \end{align}\]

प्रश्न 4: गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

1. \[\mathbf{12}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{7x}+\mathbf{1}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   12{{x}^{2}}-7x+1  \\   =12{{x}^{2}}-4x-3x+1  \\   =4x\left( 3x-1 \right)-1\left( 3x-1 \right)  \\   =\left( 4x-1 \right)\left( 3x-1 \right)  \\  \end{array}\] 

2. \[\mathbf{2}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{7x}+\mathbf{3}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   2{{x}^{2}}+7x+3  \\   =2{{x}^{2}}+6x+x+3  \\ \end{array}\]

\[=2x\left( x+3 \right)+1\left( x+3 \right)\]

\[=\left( 2x+1 \right)\left( x+3 \right)\] 

3. \[\mathbf{6}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{5x}-\mathbf{6}\]

उत्तर:

 \[\begin{array}{*{35}{l}}   6{{x}^{2}}+5x-6  \\   =6{{x}^{2}}+9x-4x-6  \\   =3x\left( 2x+3 \right)-2\left( 2x+3 \right)  \\   =\left( 3x-2 \right)\left( 2x+3 \right)  \\ \end{array}\] 

4. \[\mathbf{3}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{x}-\mathbf{4}\]

उत्तर: 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   3{{x}^{2}}-x-4  \\   =3{{x}^{2}}+3x-4x-4  \\   =3x\left( x+1 \right)-4\left( x+1 \right)  \\   =\left( 3x-4 \right)\left( x+1 \right)  \\ \end{array}\]

प्रश्न 5: गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

1. \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{2}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{x}+\mathbf{2}\]

उत्तर: 

यहाँ पर चर राशि \[=2\]

\[2\]के गुणनखंड हैं \[1\] और \[2\]

यदि \[f\left( 1 \right)\text{ }=\text{ }0\]है तो (\[x-1)\]दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा

\[\begin{array}{*{35}{l}}   f\left( 1 \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2  \\   ={{\left( 1 \right)}^{3}}-2{{\left( 1 \right)}^{2}}-1+2  \\   \begin{align}  & =-1-2-1+2 \\  & =0 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

इसलिए दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है \[x-1\]

अतः बहुपद का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2  \\   ={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+x-2x+2  \\   ={{x}^{2}}\left( x-1 \right)-x\left( x-1 \right)-2\left( x-1 \right)  \\   =\left( x-1 \right)\left( x2-x-2 \right)  \\ \end{array}\]

अब \[{{x}^{2}}-x-2~\]का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{2}}-2x+x-2  \\   =x\left( x-2 \right)+1\left( x-2 \right)  \\   =\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)  \\ \end{array}\]

इसलिए:

\[{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\] 

2. \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{3}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{9x}-\mathbf{5}\]

उत्तर: 

यहाँ पर चर राशि \[=5\]

\[5\] के गुणनखंड हैं \[1\] और \[5\]

यदि \[f\left( 1 \right)\text{ }=\text{ }0\] है तो \[(x-1)\]दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा

\[\begin{array}{*{35}{l}}   f\left( 1 \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x-5  \\   ={{1}^{3}}-3{{\left( 1 \right)}^{2}}-9\times 1-5  \\   \begin{align}  & =1-3-9-5 \\   & =-16\ne 0 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

यानि \[(x-1)\]दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

अब यदि \[f\left( 5 \right)\text{ }=\text{ }0\]है तो \[(x-5)\]दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा

\[\begin{array}{*{35}{l}}   f\left( 5 \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x-5  \\   ={{\left( 5 \right)}^{3}}-3{{\left( 5 \right)}^{2}}-9\left( 5 \right)-5  \\   \begin{align}  & =125-75-45-5 \\  & =0 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

इसलिए दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड है \[x-5\]

अब बहुपद का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{3}}-3x2-9x-5  \\   ={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-10x+x-5  \\   ={{x}^{2}}\left( x-5 \right)+2x\left( x-5 \right)+1\left( x-5 \right)  \\   =\left( x-5 \right)\left( x2+2x+1 \right)  \\ \end{array}\]

अब \[{{x}^{2}}-2x+1~\]का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{2}}+2x+1={{x}^{2}}+x+x+1  \\   =x\left( x+1 \right)+1\left( x+1 \right)  \\   =\left( x+1 \right)\left( x+1 \right)  \\ \end{array}\]

इसलिए:

\[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x-5=\left( x+1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-5 \right)\]

3. \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+\mathbf{13}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{32x}+\mathbf{20}\]

उत्तर: 

यहाँ पर चर राशि \[=20\]

\[5\] के गुणनखंड हैं \[1,\text{ }2\]और \[5\]

यदि \[f\left( 1 \right)\text{ }=\text{ }0\]है तो \[(x-1)\]दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा

\[\begin{array}{*{35}{l}}   f\left( 1 \right)={{x}^{3}}+13{{x}^{2}}+32x+20  \\   \begin{align}  & =1+13+32+20 \\  & =66 \\  & \ne 0 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

अब, यदि \[f\left( -1 \right)\text{ }=\text{ }0\]है तो \[(x+1)\]दिये गये बहुपद का एक गुणनखंड होगा

\[\begin{array}{*{35}{l}}   f\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{3}}+13{{\left( -1 \right)}^{2}}+32\left( -1 \right)+20  \\   \begin{align}  & =-1+13-32+20 \\   & =33-33 \\   & =0 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

इसलिए दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड \[(x+1)\]है।

अब बहुपद का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{3}}+13{{x}^{2}}+32x+20  \\   ={{x}^{3}}+13{{x}^{2}}+12x+20x+20  \\   ={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+12{{x}^{2}}+12x+20x+20  \\   ={{x}^{2}}\left( x+1 \right)+12x\left( x+1 \right)+20\left( x+1 \right)  \\   =\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+12x+20 \right)  \\  \end{array}\]

अब \[{{x}^{2}}+12x+20~\]का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{2}}+12x+20={{x}^{2}}+10x+2x+20  \\   =x\left( x+10 \right)+2\left( x+10 \right)  \\   =\left( x+2 \right)\left( x+10 \right)  \\ \end{array}\]

इसलिए:

\[{{x}^{3}}+13{{x}^{2}}+32x+20=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+10 \right)\] 

4. \[\mathbf{2}{{\mathbf{y}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{2y}-\mathbf{1}\]

उत्तर: यहाँ पर चर राशि \[=\text{ }-1\]

\[\begin{array}{*{35}{l}}   f\left( -1 \right)=2{{\left( -1 \right)}^{3}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-2\left( -1 \right)-1  \\   \begin{align}  & =-2+1+2-1 \\   & =0 \\ \end{align}  \\  \end{array}\]

इसलिए दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड \[(y+1)\]है।

अब गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   2{{y}^{3}}+{{y}^{2}}-2y-1  \\   =2{{y}^{3}}+{{y}^{2}}-y-y-1  \\   =2{{y}^{3}}+2{{y}^{2}}-{{y}^{2}}-y-y-1  \\   =2{{y}^{2}}\left( y+1 \right)-y\left( y+1 \right)-1\left( y+1 \right)  \\   =\left( y+1 \right)\left( 2{{y}^{2}}-y-1 \right)  \\  \end{array}\]

अब का गुणनखंड इस तरह निकाला जा सकता है:

\[2{{y}^{2}}-y-1=2{{y}^{2}}-2y+y-1\]

\[\begin{array}{*{35}{l}}   =2y\left( y-1 \right)+1\left( y-1 \right)  \\   =\left( y-1 \right)\left( 2y+1 \right)  \\  \end{array}\]

इसलिए:

\[2{{y}^{3}}+{{y}^{2}}-2y-1=\left( y+1 \right)\left( y-1 \right)\left( 2y+1 \right)\]

अभ्यास 2.5

प्रश्न 1: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:

1. \[\left( \mathbf{x}+\mathbf{4} \right)\left( \mathbf{x}+\mathbf{10} \right)\]

उत्तर: हम जानते हैं, \[\left( x+a \right)\left( x+b \right)={{x}^{2}}+\left( a+b \right)x+ab\]

यहाँ पर, \[a\text{ }=\text{ }4\]और \[b\text{ }=\text{ }10\]

इसलिए, \[\left( x+4 \right)\left( x+10 \right)={{x}^{2}}+\left( 4+10 \right)x+4\times 10\]

\[={{x}^{2}}+14x+40\] 

2. \[\left( \mathbf{x}+\mathbf{8} \right)\left( \mathbf{x}-\mathbf{10} \right)\]

उत्तर: यहाँ पर, \[a\text{ }=\text{ }8\]और \[b\text{ }=\text{ }\text{ }10\]

सर्वसमिका \[\left( x+a \right)\left( x+b \right)={{x}^{2}}+\left( a+b \right)x+ab~\] का इस्तेमाल करने पर दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{2}}+\left( 8+\left( 10 \right) \right)x+8\times \left( 10 \right)  \\   ={{x}^{2}}+\left( 810 \right)x80  \\   ={{x}^{2}}+2x80  \\ \end{array}\] 

3. \[\left( \mathbf{3x}+\mathbf{4} \right)\left( \mathbf{3x}-\mathbf{5} \right)\]

उत्तर: यहाँ पर, \[x\text{ }=\text{ }3x,\text{ }a\text{ }=\text{ }4\]और \[b\text{ }=\text{ }-\text{ }5\]

सर्वसमिका \[\left( x+a \right)\left( x+b \right)={{x}^{2}}+\left( a+b \right)x+ab~\] का प्रयोग करने पर दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( 3x \right)}^{2}}+\left( 4+\left( -5 \right) \right)\times 3x+\left( 4\left( -5 \right) \right)  \\   =9{{x}^{2}}+\left( 45 \right)\times 3x+\left( -20 \right)  \\   =9{{x}^{2}}+\left( -1 \right)\times 3x20  \\   =9{{x}^{2}}3x20  \\ \end{array}\] 

4. \[\left( {{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{32} \right)\left( {{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{32} \right)\]

उत्तर: यहाँ पर \[a={{y}^{2}}~\] and \[b=32\]

सर्वसमिका \[\left( a+b \right)\left( a-b \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}~\] का प्रयोग करने पर दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है।

\[\begin{align}  & \left( {{y}^{2}}+32 \right)\left( {{y}^{2}}-32 \right) \\   & ={{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 32 \right)}^{2}} \\   & ={{y}^{4}}-94 \\ \end{align}\] 

5. \[\left( \mathbf{3}-\mathbf{2x} \right)\left( \mathbf{3}+\mathbf{2x} \right)\]

उत्तर: 

इस प्रश्न के लिए भी पिछले प्रश्न वाली सर्वसमिका का प्रयोग होगा

\[\begin{array}{*{35}{l}}   \left( 3-2x \right)\left( 3+2x \right)  \\   \begin{align}  & ={{3}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}} \\   & =9-4{{x}^{2}} \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

प्रश्न 2: सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए:

1. 103 × 107

उत्तर: 

सर्वसमिका \[\left( x+a \right)\left( x+b \right)={{x}^{2}}+\left( a+b \right)x+ab\] का प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   \left( 100+3 \right)\left( 100+7 \right)  \\   ={{100}^{2}}+\left( 3+7 \right)100+3\times 7  \\   \begin{align}  & =10000+1000+21 \\   & =11021 \\  \end{align}  \\  \end{array}\] 

2. \[\text{ }\mathbf{95}\text{ }\times \text{ }\mathbf{96}\]

उत्तर: 

सर्वसमिका \[\left( x-a \right)\left( x-b \right)={{x}^{2}}-\left( a+b \right)x+ab\] का प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   (100-5\left( 100-4 \right)  \\   ={{100}^{2}}-\left( 5+4 \right)100+5\times 4  \\   \begin{align}   & =10000-900+20 \\   & =9120 \\ \end{align}  \\  \end{array}\] 

3. \[\text{ }\mathbf{104}\text{ }\times \text{ }\mathbf{96}\]

उत्तर: 

सर्वसमिका \[\left( x+a \right)\left( x-a \right)={{x}^{2}}-{{a}^{2}}~\] का प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   \left( 100+4 \right)\left( 100-4 \right)={{100}^{2}}-{{4}^{2}}=10000-16  \\   =9984  \\ \end{array}\]

प्रश्न 3: उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:

1. \[\mathbf{9}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{6xy}+{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: 

सर्वसमिका (\[{{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}~\] का प्रयोग करने पर:

\[9{{x}^{2}}+6xy+{{y}^{2}}={{\left( 3x+y \right)}^{2}}\] 

2. \[\mathbf{4}{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{4y}+\mathbf{14}\]

उत्तर: सर्वसमिका \[{{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}~\] का प्रयोग करने पर:

\[4{{y}^{2}}-4y+1={{\left( 2y-1 \right)}^{2}}\] 

3. \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\dfrac{{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}}{\mathbf{100}}\]

उत्तर: सर्वसमिका \[\left( a+b \right)\left( a-b \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}~\] का प्रयोग करने पर:

\[{{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{100}=\left( x+\dfrac{y}{100} \right)\left( x-\dfrac{y}{100} \right)\]

प्रश्न 4: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार लिखिए:

1. \[{{\left( \mathbf{x}+\mathbf{2y}+\mathbf{4x} \right)}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: मान लीजिए, \[a\text{ }=\text{ }x,\text{ }b\text{ }=\text{ }2y\]और \[c\text{ }=\text{ }4z\]

हम जानते हैं\[,~{{\left( a+b+c \right)}^{2}}\]

\[={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ac\]

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

\[{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+16{{z}^{2}}+4xy+16yz+8xz\] 

2. \[{{\left( \mathbf{2x}-\mathbf{y}+\mathbf{z} \right)}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: दिया गया है, \[{{\left( 2yy+z \right)}^{2}}\]

\[={{\left[ 2x+\left( -y \right)+z \right]}^{2}}\]

मान लीजिए, \[a=2x,~b=-y~\] और \[c=z\]

हम जानते हैं \[{{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ac\]

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( 2x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+2(2x\left( -y \right)+2\left( -y \right)z+2\left( 2xz \right)  \\   =4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( -2xy \right)+2\left( -yz \right)+4xz  \\   =4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4xy2yz+4xz  \\  \end{array}\] 

3. \[{{\left( -\mathbf{2x}+\mathbf{3y}+\mathbf{2z} \right)}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: मान लीजिए, \[a=-2x,~b=3y~,~c=2z\]

हम जानते हैं \[{{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ac\]

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है

\[{{\left( -2x \right)}^{2}}+{{\left( 3y \right)}^{2}}+{{\left( 2z \right)}^{2}}+2\left( -2x\times 3y \right)+2\left( 3y\times 2z \right)+2\left( -2x\times 2z \right)\]\[=4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}+2\left( -6xy \right)+2\left( 6yz \right)+2\left( -4xz \right)\]

\[=4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}12xy+12yz8xz\] 

4. \[{{\left( \mathbf{3a}-\mathbf{7b}-\mathbf{c} \right)}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: मान लीजिए, \[a=3a,~b=-7b~,~c=-c\]

हम जानते हैं \[{{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ac\]

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है

\[{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( -7b \right)}^{2}}+{{\left( -c \right)}^{2}}+2\left( 3a \right)\left( -7b \right)+2\left( -7b \right)\left( -c \right)+2\left( 3a \right)\left( -c \right)\]\[=9{{a}^{2}}+49{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-42ab+14bc-6ac\]

5. \[{{\left( -\mathbf{2x}+\mathbf{5y}-\mathbf{3z} \right)}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: मान लीजिए, \[a=-2x,b=5y~,~c=-3z\]

हम जानते हैं \[{{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ac\],

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( -2x \right)}^{2}}+{{\left( 5y \right)}^{2}}+{{\left( -3z \right)}^{2}}+2\left( -2x \right)\times \left( 5y \right)+2\left( 5y \right)\times \left( -3z \right)+2\left( -2x \right)\times \left( -3z \right)  \\   =4{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}+9{{z}^{2}}+2\left( -10xy \right)+2\left( -15yz \right)+2\left( 6xz \right)  \\   =4a{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}+9{{z}^{2}}-20xy30yz+12xz  \\  \end{array}\] 

6. \[{{\left( \dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{a}-\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{b}+\mathbf{1} \right)}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: मान लीजिए, \[x\text{ }=\text{ }\dfrac{1}{4}a,\text{ }y\text{ }=\text{ }\dfrac{-1}{2}b\text{ ,}c\text{ }=\text{ }1\]

हम जानते हैं, \[{{\left( x+y+z \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy+2yz+2xz\]

इसलिए दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है।

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( \dfrac{1}{4}a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{-1}{2}b \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+2\left( \dfrac{1}{4}a \right)\times \left( \dfrac{-1}{2}b \right)+  \\   2\left( -\dfrac{1}{2}b\times 1 \right)+2\left( \dfrac{1}{4}a\times 1 \right)  \\   =\dfrac{1}{16}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{4}{{b}^{2}}+1-\dfrac{1}{4}ab-b+\dfrac{1}{2}a  \\ \end{array}\]

प्रश्न 5: गुणनखंडन कीजिए

1. \[\mathbf{4}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{9}{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{16}{{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{12xy}-\mathbf{24yz}-\mathbf{16xz}\]

उत्तर: दिया गया है, \[4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}+16{{z}^{2}}+12xy-24yz16xz\]

\[={{\left( 2x \right)}^{2}}+{{\left( 3y \right)}^{2}}+{{\left( -4z \right)}^{2}}+2\left( 2x \right)\times \left( 3y \right)+2\left( 3y \right)\times \left( -4z \right)+2\left( 2x \right)\times \left( -4z \right)+2\left( 2x \right)\times \left( 3y \right)+2\left( 3y \right)\times \left( -4z \right)\]

यदि \[a\text{ }=\text{ }2x,\text{ }b\text{ }=\text{ }3y\]और \[c\text{ }=\text{ }-\text{ }4z\]

तो सर्वसमिका \[{{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ac\], का प्रयोग करने पर;

\[\begin{array}{*{35}{l}}   4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}+16{{z}^{2}}+12xy-24yz16xz  \\   =\left( 2x+3y4z \right)\left( 2x+3y4z \right)  \\   ={{\left( 2x+3y4z \right)}^{2}}  \\  \end{array}\] 

2. \[\mathbf{2}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{8}{{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{2}\surd \mathbf{2xy}+\mathbf{4}\surd \mathbf{2yz}-\mathbf{8yz}\]

उत्तर: दिया गया है, \[2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8{{z}^{2}}-2\surd 2xy+4\surd 2yz8xz\]

इस बहुपद को इस तरह से भी लिखा जा सकता है:

\[{{\left( -\surd 2x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 2\surd 2z \right)}^{2}}+2\left( -\surd 2x \right)\times \left( z \right)+2\left( y \right)\times \left( 2\surd 2z \right)+2\left( \surd 2x \right)\times \left( 2\surd 2z \right)\]यदि, \[a=-\surd 2x,b=y~\] और \[c=2\surd 2z~\]हो तो

सर्वसमिका \[{{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ac~\]प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8{{z}^{2}}-2\surd 2xy+4\surd 2yz8xz  \\   =\left( -\surd 2x+y+2\surd 2z \right)\left( -\surd 2x+y+2\surd 2z \right)  \\   ={{\left( -\surd 2x+y+2\surd 2z \right)}^{2}}  \\  \end{array}\]

प्रश्न 6: निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए

1. \[\mathbf{{{(2x+1)}^{3}}\text{ }\!\!\grave{\ }\!\!\text{ }}\]

उत्तर: मान लीजिए, \[a\text{ }=\text{ }2x\]और \[b\text{ }=\text{ }1\]

सर्वसमिका \[{{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left( a+b \right)\] का प्रयोग करने पर

दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   ={{\left( 2x \right)}^{3}}+{{1}^{3}}+3\times \left( 2x \right)\times 1\left( 2x+1 \right)  \\   =8{{x}^{3}}+1+12{{x}^{2}}+6x  \\   =8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+1  \\  \end{array}\] 

2. \[\mathbf{{{(2a-3b)}^{3}}}\]

उत्तर: मान लीजिए, \[x\text{ }=\text{ }2a\]और \[y\text{ }=\text{ }3b\]

सर्वसमिका \[{{\left( xy \right)}^{3}}={{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3y{{x}^{2}}+3x{{y}^{2}}~\]का प्रयोग करने पर

दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( 2a \right)}^{3}}-{{\left( 3b \right)}^{3}}-3\left( 3b \right){{\left( 2a \right)}^{2}}+3\left( 2a \right){{\left( 3b \right)}^{2}}  \\    =8{{a}^{3}}-27{{b}^{3}}-\left( 9b \right)\times 4{{a}^{2}}+\left( 6a \right)\times 9{{b}^{2}}  \\   =8{{a}^{3}}-27{{b}^{3}}-36{{a}^{2}}b+54a{{b}^{2}}  \\ \end{array}\]

3. \[{{\left( \dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{x}+\mathbf{1} \right)}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: मान लीजिए\[,~a=\dfrac{3}{2}x~~\]और \[b=1\]

सर्वसमिका \[{{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left( a+b \right)~\]का प्रयोग करने पर

दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( \dfrac{3}{2}x \right)}^{3}}+{{1}^{3}}+3\times \left( \dfrac{3}{2}x \right)\times 1\left( \dfrac{3}{2}x+1 \right)  \\   =\dfrac{27}{8}{{x}^{3}}+1+\dfrac{9}{2}x\left( \dfrac{3}{2}x+1 \right)  \\  \end{array}\]

\[\begin{array}{*{35}{l}}   =\dfrac{27}{8}{{x}^{3}}+1+\dfrac{27}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{9}{2}x  \\  =\dfrac{27}{38}x+\dfrac{27}{24}x+\dfrac{9}{2}x+1  \\  \end{array}\] 

4. \[{{\left( \mathbf{x}-\dfrac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{y} \right)}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: मान लीजिए \[a=x~\] और \[b=\dfrac{2}{3}y\]

सर्वसमिका \[{{\left( x-y \right)}^{3}}={{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}~\]का प्रयोग करने पर

दिए गए बहुपद को इस तरह लिखा जा सकता है:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{3}}-{{\left( \dfrac{2}{3}y \right)}^{3}}-3{{x}^{2}}\left( \dfrac{2}{3}y \right)+3x{{\left( \dfrac{2}{3}y \right)}^{2}}  \\   ={{x}^{3}}-\dfrac{8}{27}{{y}^{3}}-2{{x}^{2}}y+\left( 3x \right)\times \dfrac{4}{9}{{y}^{2}}  \\   ={{x}^{3}}-\dfrac{8{{y}^{3}}}{27}-2{{x}^{2}}y+\dfrac{4x{{y}^{2}}}{3}  \\  \end{array}\]

प्रश्न 7: उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

1. \[\text{ }\mathbf{9}{{\mathbf{9}}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: \[{{99}^{3}}={{\left( 1001 \right)}^{3}}\]

मान लीजिए, \[x=100~\]और \[y=1\]

सर्वसमिका \[{{\left( xy \right)}^{3}}={{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}~\]का प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( 100-1 \right)}^{3}}  \\   ={{100}^{3}}-{{1}^{3}}-3\times \left( {{100}^{2}} \right)\times 1+3\times 100\times {{1}^{2}}  \\  \end{array}\]

\[\begin{array}{*{35}{l}}   =10000001-30000+300  \\   =1000000+300130000=970299  \\  \end{array}\] 

2. \[\text{ }\mathbf{10}{{\mathbf{2}}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: \[{{102}^{3}}={{\left( 100+2 \right)}^{3}}\]

मान लीजिए, \[a=100~\] और \[b=2\]

सर्वसमिका \[{{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left( a+b \right)~\]का प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{100}^{3}}+{{2}^{3}}+3\times 100\times 2\left( 100+2 \right)  \\   =1000000+8+600\times 102  \\   \begin{align}  & =1000000+8+61200=1000008+61200=1061208=1000000+8+61200 \\   & =1061208 \\   \end{align}  \\  \end{array}\] 

3. \[\text{ }\mathbf{99}{{\mathbf{8}}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: \[~{{998}^{3}}={{\left( 10002 \right)}^{3}}\]

मान लीजिए, \[a=1000~\] और \[b=2\]

सर्वसमिका \[{{\left( ab \right)}^{3}}={{a}^{3}}-{{b}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}~\]का प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{1000}^{3}}-{{2}^{3}}-3\times {{1000}^{2}}~\times 2+3\times 1000\times {{2}^{2}}  \\   \begin{align}  & =100000000086000000+12000 \\   & =994011992 \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

प्रश्न 8: निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए:

1. \[\text{ }8{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+12{{a}^{2}}b+6a{{b}^{2}}\text{ }\!\!\grave{\ }\!\!\text{ }\]

उत्तर: दिया गया है: \[8{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+12{{a}^{2}}b+6a{{b}^{2}}\]

\[={{\left( 2a \right)}^{3}}+{{b}^{3}}+3{{\left( 2a \right)}^{2}}b+3\left( 2a{{b}^{2}} \right)\]

मान लीजिए \[x=2a~\]और \[y=b\]

सर्वसमिका \[{{\left( x+y \right)}^{3}}={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}~\]का प्रयोग करने पर

\[{{\left( 2a+b \right)}^{3}}=\left( 2a+b \right)\left( 2a+b \right)\left( 2a+b \right)\] 

2. \[\mathbf{8}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{3}}}-{{\mathbf{b}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{12}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{b}+\mathbf{6a}{{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: दिया गया है: \[8{{a}^{3}}-{{b}^{3}}-12{{a}^{2}}b+6a{{b}^{2}}\]

\[={{\left( 2a \right)}^{3}}-{{b}^{3}}-3{{\left( 2a \right)}^{2}}b+3\left( 2a \right){{b}^{2}}\]

मान लीजिए \[x=2a\] और \[y=b\]

सर्वसमिका \[{{\left( xy \right)}^{3}}={{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}~\]का प्रयोग करने पर

\[{{\left( 2ab \right)}^{3}}=\left( 2ab \right)\left( 2a-b \right)\left( 2ab \right)\] 

3. \[\mathbf{27}-\mathbf{125}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{135a}+\mathbf{225}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: दिया गया है \[27125{{a}^{3}}-135a+225{{a}^{2}}\]

\[={{3}^{3}}-{{\left( 5a \right)}^{3}}-3\times {{3}^{2}}~\times 5a+3\times {{\left( 5a \right)}^{2~}}\times 3\]

मान लीजिए\[,~x=3~\]और \[y=5a\]

सर्वसमिका (\[{{(xy)}^{3}}={{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2~}}\]का प्रयोग करने पर

\[{{\left( 35a \right)}^{3}}=\left( 35a \right)\left( 35a \right)\left( 35a \right)\] 

4. \[\mathbf{64}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{27}{{\mathbf{b}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{144}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{b}+\mathbf{108a}{{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}\]

उत्तर: दिया गया है\[:~64{{a}^{3}}-27{{b}^{3}}-144{{a}^{2}}b+108a{{b}^{2}}\]

\[={{\left( 4a \right)}^{3}}-{{\left( 3b \right)}^{3}}-3\times \left( 4a \right)2b+3\times a\times {{\left( 3b \right)}^{2}}\]

मान लीजिए, \[x=4a~\]और \[y=3b\]

सर्वसमिका \[{{\left( xy \right)}^{3}}={{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}\]का प्रयोग करने पर

\[{{\left( 4a3b \right)}^{3}}=\left( 4a3b \right)\left( 4a3b \right)\left( 4a3b \right)~\] 

5. \[\mathbf{27}{{\mathbf{p}}^{\mathbf{3}}}-\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{216}}-\dfrac{\mathbf{9}}{\mathbf{2}}{{\mathbf{p}}^{\mathbf{2}}}+\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{p}\]

उत्तर: दिया गया है, \[27{{p}^{3}}-\dfrac{1}{216}-\dfrac{9}{2}{{p}^{2}}+\dfrac{1}{4}p\]

\[={{\left( 3p \right)}^{3}}-{{\left( \dfrac{1}{6} \right)}^{3}}-3{{\left( 3p \right)}^{2}}\times \dfrac{1}{6}+3\times 3p\times \left( \dfrac{1}{6} \right)2\]

सर्वसमिका \[{{\left( x-y \right)}^{3}}={{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}~\]का प्रयोग करने पर

\[{{\left( 3p-\dfrac{1}{6} \right)}^{3}}=\left( 3p-\dfrac{1}{6} \right)\left( 3p-\dfrac{1}{6} \right)\left( 3p-\dfrac{1}{6} \right)\]

प्रश्न 9: सत्यापित कीजिए:

1. \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{y}}^{\mathbf{3}}}=\left( \mathbf{x}+\mathbf{y} \right)\left( {{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{xy}+{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}} \right)\]

उत्तर: \[\left( x+y \right)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})\]

\[\begin{align}  & ={{x}^{3}}-{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}+y{{x}^{2}}-x{{y}^{2}}+{{y}^{3}} \\  & ={{x}^{3}}+{{y}^{3}} \\   & =\text{ }LHS \\  \end{align}\] 

सिद्ध हुआ

2. \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}-{{\mathbf{y}}^{\mathbf{3}}}=\left( \mathbf{x}-\mathbf{y} \right)\left( {{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{xy}+{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}} \right)\]

उत्तर: \[RHS~=\left( x-y \right)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}})\]

\[\begin{align}  & ={{x}^{3}}+{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}-y{{x}^{2}}-x{{y}^{2}}-{{y}^{3}} \\  & =x3-y3 \\   & =\text{ }LHS \\   \end{align}\] 

सिद्ध हुआ

प्रश्न 10: निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए:

1. \[\mathbf{27{{y}^{3}}+125{{z}^{3}}}\]

उत्तर: दिया गया है: \[27{{y}^{3}}+125{{z}^{3}}\]

\[={{\left( 3y \right)}^{3}}+{{\left( 5z \right)}^{3}}\]

सर्वसमिका \[{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)\] का प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   27{{y}^{3}}+125{{z}^{3}}  \\   =\left( 3y+5z \right)\left[ {{\left( 3y \right)}^{2}}-3y\times 5z+{{\left( 5z \right)}^{2}} \right]  \\   =\left( 3y+5z \right)\left( 9{{y}^{2}}-15yz+25{{z}^{2}} \right)  \\  \end{array}\] 

2. \[\mathbf{64}{{\mathbf{m}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{343}{{\mathbf{n}}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: दिया गया है\[;~64{{m}^{3}}-343{{n}^{3}}\]

\[\begin{array}{*{35}{l}}   =\left( 4m7n \right)\left[ {{\left( 4m \right)}^{2}}+4m\times 7n+{{\left( 7n \right)}^{2}} \right]  \\    =\left( 4m7n \right)\left( 16{{m}^{2}}+28mn+49{{n}^{2}} \right)  \\  \end{array}\]

प्रश्न 11: गुणनखंडन कीजिए: \[\mathbf{27}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{y}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{z}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{9xyz}\]

उत्तर: दिया गया है; \[27{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-9xyz\]

\[={{\left( 3x \right)}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3\times 3xyz\]

सर्वसमिका \[{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xyyzxz \right)~\]का प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   \left( 3x+y+z \right)\left[ {{\left( 3x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3xyyz3xz \right]  \\   =\left( 3x+y+z \right)\left( 9{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3xyyz3xz \right)  \\  \end{array}\]

प्रश्न 12: सत्यापित कीजिए: 

\[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{y}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{z}}^{\mathbf{3}}}-\mathbf{3xyz}=\dfrac{1}{2}\left( \mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z} \right)\left[ {{\left( \mathbf{x}-\mathbf{y} \right)}^{\mathbf{2}}}+{{\left( \mathbf{y}-\mathbf{z} \right)}^{\mathbf{2}}}+{{\left( \mathbf{z}-\mathbf{x} \right)}^{\mathbf{2}}} \right]\]

उत्तर: \[RHS~=\dfrac{1}{2}\left( x+y+z \right)\left[ {{\left( xy \right)}^{2}}+{{\left( yz \right)}^{2}}+{{\left( zx \right)}^{2}} \right]\]

सर्वसमिका \[{{\left( ab \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab~\]का प्रयोग करने पर

\[\begin{array}{*{35}{l}}   \dfrac{1}{2}\left( x+y+z \right)\left[ \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy \right)+\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2yz \right)+\left( {{z}^{2}}+{{x}^{2}}-2xz \right) \right]  \\   =\dfrac{1}{2}\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2yz+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}-2xz \right)  \\   =\dfrac{1}{2}\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2xy2yz2xz \right)  \\   =\dfrac{1}{2}\left( x+y+z \right).2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xyyzxz \right)  \\   =\left( x+y+z \right)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xyyzxz  \\   \begin{align}  & ={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz~ \\   & =\text{ }LHS \\  \end{align}  \\ \end{array}\]

प्रश्न 13: यदि \[\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}=\mathbf{0}~\]हो, तो दिखाइए कि \[{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{y}}^{\mathbf{3}}}+{{\mathbf{z}}^{\mathbf{3}}}=\mathbf{3xyz}~\]है।

उत्तर: हम जानते हैं, \[{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz\]

\[=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xyyzxz \right)\] 

\[\left( x+y+z \right)=0~\]रखने पर

\[\left( 0 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}xyyzxz \right)\]

या, \[{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=0\]

या, \[{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3xyz~\] सिद्ध हुआ

प्रश्न 14: वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:

1. \[\text{ }{{\left( -\mathbf{12} \right)}^{\mathbf{3}}}~+\text{ }{{\mathbf{7}}^{\mathbf{3}}}~+\text{ }{{\mathbf{5}}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: दिया गया है \[{{\left( -12 \right)}^{3}}+{{7}^{3}}+{{5}^{3}}\]

मान लीजिए, \[-12=x,7=y~\] और \[5=z\]

अब, \[x+y+z=12+7+5=0\]

हम जानते है कि यदि \[\left( x+y+z \right)=0\]

तो, \[{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3xyz\]

इसलिए,

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( -12 \right)}^{3}}+{{7}^{3}}+{{5}^{3}}=3\times \left( -12 \right)\times 7\times 5  \\   \begin{align}  & =3\times \left( -420 \right) \\   & =-1260 \\  \end{align}  \\  \end{array}\]

2. \[\text{ }\mathbf{2}{{\mathbf{8}}^{\mathbf{3}}}~+\text{ }{{\left( -\mathbf{15} \right)}^{\mathbf{3}}}~+\text{ }{{\left( -\mathbf{13} \right)}^{\mathbf{3}}}\]

उत्तर: दिया गया है; \[{{28}^{3}}+{{\left( -15 \right)}^{3}}+{{\left( -13 \right)}^{3}}\]

मान लीजिए, \[28=x,\left( -15 \right)=y~\] और \[\left( -13 \right)=z\]

अब, \[x+y+z=281513=0\]

या \[,~x+y+z=0\]

हम जानते हैं कि यदि \[\left( x+y+z \right)=0\]

तो, \[{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3xyz\]

इसलिए, 

\[\begin{array}{*{35}{l}}   {{28}^{3}}+{{\left( -15 \right)}^{3}}+{{\left( -13 \right)}^{3}}  \\   \begin{align}  & =3\times 28\times \left( -15 \right)\left( -13 \right) \\   & =84\times 195 \\   & =16380 \\  \end{align}  \\  \end{array}\]

प्रश्न 15: नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए:

1. क्षेत्रफल: \[\mathbf{25}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{35a}+\mathbf{12}\]

उत्तर: दिया गया है, \[25{{a}^{2}}-35a+12\]

बीच वाले पद को तोड़ने पर:

\[25{{a}^{2}}-15a20a+12\]

\[\begin{array}{*{35}{l}}   =5a\left( 5a3 \right)4\left( 5a3 \right)  \\   =\left( 5a3 \right)\left( 5a4 \right)  \\  \end{array}\]

इसलिए संभावित लंबाई \[=5a3\]

संभावित चौड़ाई \[=5a4\]

2. क्षेत्रफल: \[\mathbf{35}{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{13y}-\mathbf{12}\]

उत्तर: दिया गया है, \[35{{y}^{2}}+13y12\]

बीच वाले पद को तोड़ने पर:

\[\begin{array}{*{35}{l}}   =35{{y}^{2}}+28y15y12  \\   =7y\left( 5y+4 \right)3\left( 5y+4 \right)  \\   =\left( 5y+4 \right)\left( 7y3 \right)  \\ \end{array}\]

इसलिए संभावित लंबाई \[=5y+4\]

संभावित चौड़ाई \[=7y3\]

प्रश्न 16: घनाभों, जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं:

1. आयतन: \[\mathbf{3}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}-\mathbf{12x}\]

उत्तर: दिया गया है\[,~3{{x}^{2}}-12x\]

\[=3x\left( x4 \right)\]

हम जानते हैं कि आयतन \[=\] लंबाई \[\times \]चौड़ाई \[\times \] ऊँचाई

इसलिए संभावित लंबाई \[=3\]

संभावित चौड़ाई \[=x\]

संभावित ऊँचाई \[=\left( x4 \right)\]

2. आयतन\[:~\mathbf{12k}{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{6ky}-\mathbf{20k}\]

उत्तर: दिया गया है, \[12k{{y}^{2}}+8ky20k\]

\[\begin{align}  & \begin{array}{*{35}{l}}   =4k\left( 3{{y}^{2}}+2y5 \right)  \\   =4k\left( 3{{y}^{2}}-3y+5y5 \right)  \\   =4k\left[ 3y\left( y1 \right)+5\left( y1 \right) \right]  \\  \end{array} \\   & =4k\left( y1 \right)\left( 3y+5 \right) \\ \end{align}\]

हम जानते हैं कि आयतन \[=\] लंबाई \[\times \] चौड़ाई \[\times \] ऊँचाई

इसलिए, संभावित लंबाई \[=4k\]

संभावित चौड़ाई \[=\left( y1 \right)\]

संभावित ऊँचाई \[=\left( 3y+5 \right)\]

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