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NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 - In Hindi

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NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 Statistics in Hindi PDF Download

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NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 Statistics in Hindi

प्रश्नावली 15.1

प्रश्न 1 एवं 2 मे दिए गए आंकड़ों के लिए मध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए। 

1.  ${\mathbf{\text{4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17}}}$

उत्तर: 

डेटा के माध्य है $\bar{x}\dfrac{{{\text{4 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 + 13 + 17}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{80}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  10}}$

माध्य से संबंधित अवलोकनों का विचलन ${{\bar{ x} , }}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}  =   - 6,  - 3,  - 2,  - 1, 0, 2, 3, 7}}$

विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|{\text{  =  6, 3, 2, 1, 0, 2, 3, 7}}$

औसत माध्य के बारे मे आवश्यक विचलन 

${{MD(\bar{ x})  =  }}\dfrac{{(\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|} )}}{8}\; = \;\dfrac{{{\text{6 + 3 + 2 + 1 + 0 + 2 + 3 + 7}}}}{{\text{8}}}\; = \;\dfrac{{{\text{24}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  3}}$


2. ${\mathbf{\text{38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44}}}$

उत्तर: 

माध्य ${{\bar{ x}  =  }}\dfrac{{{\text{38 + 70 + 48 + 40 + 42 + 55 + 63 + 46 + 54 + 44}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{500}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  50}}$

माध्य से संबंधित अवलोकनों का विचलन ${{\bar{ x }, }}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}  =   - 12, 20,  - 2,  - 10,  - 8, 5, 13,  - 4, 4,  - 6}}$

विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|{\text{  =  12, 20, 2, 10, 8, 5, 13, 4, 4, 6}}$

औसत माध्य के बारे मे आवश्यक विचलन 

${{MD(\bar {x})  =  }}\dfrac{{(\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{10} {\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|} )}}{{10}}\; = \;\dfrac{{{\text{12 + 20 + 2 + 10 + 8 + 5 + 13 + 4 + 4 + 6}}}}{{10}}\; = \;\dfrac{{84}}{{10}}{\text{  =  8}}{\text{.4}}$


प्रश्न 3 एवं 4 के आंकड़ों के लिए माध्ययिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए। 

3. ${\mathbf{\text{13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17}}}$

उत्तर: 

यहा टिप्पणियों की संख्या $12$ है जो कि सम है 

आरोही क्रम मे व्यवस्था कर के हम प्राप्त करते है 

${\text{10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18}}$

$\begin{align} {\text{M  =  }}\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{\text{12}}}}{{\text{2}}}} \right)}^{{\text{th}}}}{\text{obsservation  + }}{{\left( {\dfrac{{{\text{12}}}}{{\text{2}}}{\text{ + 1}}} \right)}^{^{{\text{th}}}}}{\text{observation }}}}{{\text{2}}} \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{\left( {{{\text{6}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation  + }}{{\text{7}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation }}} \right)}}{{\text{2}}} \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{13 + 14}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{27}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  13}}{\text{.5}} \hfill \\ \end{align} $

माध्य से संबंधित अवलोकनों का विचलन ${{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M,  - 3}}{\text{.5,  - 2}}{\text{.5,  - 2}}{\text{.5,  - 1}}{\text{.5,  - 0}}{\text{.5,  - 0}}{\text{.5, 0}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 4}}{\text{.5}}$

विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  3}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 0}}{\text{.5, 0}}{\text{.5, 0}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 4}}{\text{.5}}$

माध्य के बारे मे आवश्यक माध्य विचलन ${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.  =   }}\left( {\dfrac{{\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{10}}} {\text{|}} {{xi - \bar {x}|}}}}{{{\text{12}}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{{\text{3}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 0}}{\text{.5 + 0}}{\text{.5 + 0}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 3}}{\text{.5 + 3}}{\text{.5 + 4}}{\text{.5}}}}{{{\text{12}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{28}}}}{{{\text{12}}}}{\text{  =  2}}{\text{.33}}$


4. ${\mathbf{\text{36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49}}}$

उत्तर: 

यहा टिप्पणियों की संख्या ${\text{10}}$ है जो की सम है 

आरोही क्रम मे व्यवस्था करते हुए हम प्राप्त करते है 

${\text{36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72}}$

$\begin{align} {\text{M  =  }}\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{\text{10}}}}{{\text{2}}}} \right)}^{{\text{th}}}}{\text{observation  + }}{{\left( {\dfrac{{{\text{10}}}}{{\text{2}}}{\text{ + 1}}} \right)}^{{\text{th}}}}{\text{observation}}}}{{\text{2}}}{\text{ observation}} \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{{{\text{5}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation  + }}{{\text{6}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation }}}}{{\text{2}}} \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{46 + 49}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{95}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  47}}{\text{.5}} \hfill \\ \end{align} $

माधायिका से संबंधित प्रेक्षणों का विचलन अर्थात ${{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M  =   - 11}}{\text{.5,  - 5}}{\text{.5,  - 2}}{\text{.5,  - 1}}{\text{.5,  - 1}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 5}}{\text{.5, 12}}{\text{.5, 24}}{\text{.5}}$

विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{ : 11}}{\text{.5, 5}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 5}}{\text{.5, 12}}{\text{.5, 24}}{\text{.5}}$

इस प्रकार माधायिका के बारे मे आवश्यक माध्य ${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.    = }}\left( {\dfrac{{\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{10}}} {\text{|}} {\text{xi - M|}}}}{{{\text{10}}}}} \right)$

${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{11}}{\text{.5 + 5}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 3}}{\text{.5 + 5}}{\text{.5 + 12}}{\text{.5 + 24}}{\text{.5}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{70}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  7}}$


प्रश्न 5 एवं 6 के आंकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 

5. 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

10 

15 

20 

25 

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

5

उत्तर: 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{\text{x}}{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

35 

63 

10 

40 

16

15 

63 

90 

6

20 

60 

18

25 

125 

11 

55


25 

350 


158

$\begin{align} {\text{N  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  25 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  350}} \hfill \\ {{\bar{ x}  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{25}}}} \times {\text{350  =  14}} \hfill \\ {{M}}{{.D \times (\bar {x})  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{25}}}} \times {\text{158  =  6}}{\text{.32}} \hfill \\  \end{align} $


6. 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

10 

30 

50 

70 

90

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

24 

28 

16 

उत्तर: 

${{\mathbf{\text{x}}_{\text{i}}}}$

${{\mathbf{\text{f}}_{\text{i}}}}$

${\mathbf{\text{x}}{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

10 

40 

40 

160

30 

24 

720 

20 

480

50 

28 

1400 

0

70 

16 

1120 

20 

320

90 

720 

40 

320


80 

4000


1280

$\begin{align} {\text{N  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  80 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  4000}} \hfill \\ {{\bar {x}  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{80}} \times 400{\text{0  =  50}} \hfill \\ {{M}}{{.D \times (\bar {x})  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{80}} \times 1280{\text{  =  16}} \hfill \\ \end{align} $


प्रश्न 7 एवं 8 के आंकड़ों के लिए माधायिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 

7. 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

10 

12 

15

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

उत्तर: दिए गए अवलोकन पहले सेही बढ़ते क्रम मे है। दिए गए डेटा की संचयी आवर्तियों के अनुरोप कॉलम जोड़कर हम निम्र तालिका प्राप्त करते है 

${{\mathbf{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

c.f.

14 

16 

10 

18 

12 

20 

15 

26 

यहा N = $26$ जोकि सम है। 

माधायिका $13$ वी और $14$ वी टिप्पणियों का माध्य है। 

ये दोनों अवलों कण संचयी आवर्ती $14$ मे निहित है, जिसके लिए संबंधित अवलोकन $7$ है 

माध्ययिक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{1}}{{\text{3}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation  + 1}}{{\text{4}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation }}}}{{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{7 + 7}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  7}}$

मध्य से विचलन के पूर्ण मान $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|$

$\mathbf{\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}\mid {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}\mid} $

16 

10 

48

$\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{6}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  26 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{6}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  84}}$

${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.(M)  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{6}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{26}}}} \times {\text{84  =  3}}{\text{.23}}$


8. 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

15 

21 

27 

30 

35

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

उत्तर: दिए गए अवलोकन पहले से ही बढ़ते क्रम मे है। दिए गए डेटा की संचयी आवर्तियों के अनुरूप कॉलम जोड़ने पर हम निम्नलिखित तालिका प्राप्त करते है। 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

c.f.

15 

21 

27 

14 

30 

21 

35 

29 

यहा N = $29$ जो विषम है 

माध्ययिक ${\text{ =  (}}\dfrac{{{\text{29 + 1}}}}{{\text{2}}}{{\text{)}}^{{\text{th}}}}{\text{observation  =  1}}{{\text{5}}^{{\text{th}}}}{\text{observation}}$

यह अवलोकन संचयी आवर्ती $21$ मे निहित है जिसके लिए संबंधित अवलोकन $30$ है। 

माध्य = $30$

माध्य से विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|$

$\mathbf{\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|}$

15 

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}\mid {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}\mid}$

45 

45 

18 

40

$\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^5 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  29 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^5 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  148}}$

${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.(M)  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^5 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{29}}}} \times 148{\text{  =  5}}{\text{.1}}$


प्रश्न 9 एवं 10 के आंकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 

9. 

आए प्रतिदिन 

0-100 

100-200 

200-300 

300-400 

400-500 

500-600 

600-700 

700-800

व्यक्तियों की संख्या 

10 

3

उत्तर: निम्न तालिका बनाई गई है 

आय प्रतिदिन 

व्यक्तियों की संख्या 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

0-100 

50 

200 

308 

1232 

100-200 

150 

1200 

208 

1664 

200-300 

250 

2250 

108 

972 

300-400 

10 

350 

3500 

80 

400-500 

450 

3150 

92 

644 

500-600 

550 

2750 

192 

960 

600-700 

650 

2600 

292 

1168 

700-800 

750 

2250 

392 

1176 


50 


17900 


7896

$\begin{align} {\text{N  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}}{{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  50 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  17900}} \hfill \\ {{\bar x  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}} \times {\text{17900  =  358}} \hfill \\ {\text{M}}{\text{.D}}{{.(\bar x)  = }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar x}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}} \times {\text{7896  =  157}}{\text{.92}} \hfill \\  \end{align} $


10. 

आय प्रतिदिन 

95-105 

105-115 

115-125 

125-135 

135-145 

145-155

लड़कों की संख्या 

13 

26 

30 

12 

10

उत्तर: निम्न तालिख बनाई गई है 


उचाई 

लड़कों की संख्या 

${{\text{x}}_{\text{i}}}$

${{\text{x}}_{\text{i}}}$${{\text{f}}_{\text{i}}}$

${\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}$

${{\text{f}}_{\text{i}}}{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}$

95-105 

100 

900 

25.3 

227.7 

105-115 

13 

110 

1430 

15.3 

198.9 

115-125 

26 

120 

3120 

5.3 

137.8 

125-135 

30 

130 

3900 

4.7 

141 

135-145 

12 

140 

1680 

14.7 

176.4 

145-155 

10 

150 

1500 

24.7 

247

$\begin{align} {\text{N  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^6 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  100 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^6 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  12530}} \hfill \\ {{\bar {x}  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^6 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}} \times 12530{\text{  =  125}}{\text{.3}} \hfill \\ {\text{M}}{\text{.D}}{{.(\bar{x})  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^6 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}} \times 1128.8{\text{  =  11}}{\text{.28}} \hfill \\ \end{align} $


11. निम्नलिखित आंकड़ों के लिए माधायिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:

अंक 

0-10 

10-20 

20-30 

30-40 

40-50 

50-60

लड़कियों की संख्या 

13 

26 

30 

12 

10

उत्तर: निम्न तालिका बनाई गई है 

अंक 

संख्या $\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

c.f.

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

0-10 

22.85 

137.1 

10-20 

14 

15 

12.85 

102.8 

20-30 

14 

28 

25 

2.85 

39.9 

30-40 

16 

44 

35 

7.15 

114.4 

40-50 

48 

45 

17.15 

68.6 

50-60 

50 

55 

27.15 

54.3 


50 




517.1

वेवग्रकों अंतरालया ${\text{20 - 30}}$ मे ${\left( {\dfrac{{\text{N}}}{{\text{2}}}} \right)^{{\text{th}}}}$ या ${\text{25}}$ वा आइटम है। 

इसलिए ${\text{20 - 30}}$ माधायिका वर्ग है। 

यह ज्ञात है कि 

माधायिका ${\text{ =  l + }}\dfrac{{\dfrac{{\text{N}}}{{\text{2}}}{\text{ - C}}}}{{\text{f}}} \times {\text{h}}$

यहा ${\text{l  =  20, C  =  14, f  =  14, h  =  10, N  =  50}}$

माध्ययिक ${\text{ =  20 + }}\dfrac{{{\text{25 - 14}}}}{{{\text{14}}}} \times {\text{10  =  20 + }}\dfrac{{{\text{110}}}}{{{\text{14}}}}{\text{  =  20 + 7}}{\text{.85  =  27}}{\text{.85}}$

इस प्रकार माध्य विचलन के बारे मे माधायिका 

${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.(M)  =  }}\dfrac{{\text{I}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{6}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}} \times {\text{517}}{\text{.1  =  10}}{\text{.34}}$

द्वारा दी गई है। 


12. नीचे दिए गए $100$ व्यक्तियों की आयु के बंटन की माधायिका आयु के सापेक्ष माध्य विचलन को गणना कीजिए: 

आयु (वर्ष मे )

16-20 

21-25 

26-30 

31-35 

36-40 

41-45 

46-50 

51-55

संख्या 

12 

14 

26 

12 

16 

9

[संकेत प्रत्येक वर्ग की निम्र सीमा मे से $0.5$ घटाकरव उसकी उच्च सीमा मे $0.5$ जोड़कर दिए गए आंकड़ों को सतत बारंबारता बंटन मे बदलिए। 

उत्तर: दिया गया डेटा निरंतर नहीं है। इसलिए इसे निम्र आवर्ती से $0.5$ घटाकर और प्रत्येक वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा मे $0.5$ जोड़कर निरंतर आवर्ती वितरण मे परिवर्तित किया जाना है। तालिका निर्मानुसार बनाई गई है। 

आयु 

संख्या $\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

c.f.

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{\text{|}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \tilde x|}}}$

15.5-20.5 

18 

20 

100 

20.5-25.5 

11 

23 

15 

90 

25.5-30.5 

12 

23 

28 

10 

120 

30.5-35.5 

14 

37 

33 

70 

35.5-40.5  

26 

63 

38 

40.5-45.5 

17 

75 

43 

60 

45.5-50.5 

16 

91 

48 

10 

160 

50.5-55.5 

100 

53 

15 

135 


100 




735

वेवरगका अंतरालया ${\text{35}}{\text{.5 - 40}}{\text{.5}}$ मे ${\text{50}}$ वा आइटम है। 

इसलिए ${\text{35}}{\text{.5 - 40}}{\text{.5}}$ माधायिका वर्ग है। 

यह ज्ञात है की 

माधायिका ${\text{ =  l + }}\dfrac{{\dfrac{{\text{N}}}{{\text{2}}}{\text{ - c}}}}{{\text{f}}} \times {\text{h}}$

यहा ${\text{l  =  35}}{\text{.5, C  =  37, f  =  26, h  =  5, N  =  100}}$

माधायिका ${\text{ =  35}}{\text{.5 + }}\dfrac{{{\text{50 - 37}}}}{{{\text{26}}}} \times {\text{5  =  35}}{\text{.5 + }}\dfrac{{{\text{13}} \times {\text{5}}}}{{{\text{26}}}}{\text{  =  65}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5  =  38}}$

इस प्रकार माध्य विचलन के बारे मे माध्ययिक 

${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.(M)  =  }}\dfrac{{\text{I}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}} \times {\text{735  =  7}}{\text{.35}}$

द्वारा दी गई है। 


प्रश्नावली 15.2

प्रश्न 1 से 5 तक के आंकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए: 

1. $\mathbf{{\text{6,}}\;{\text{7,10, 12, 13, 4, 8, 12}}}$

उत्तर: हमलोग जानते है की 

माध्य ${{\bar {X}  =  }}\dfrac{{{\text{6 + 7 + 10 + 12 + 13 + 4 + 8 + 12}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{72}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  9}}$

${{\text{X}}_{\text{i}}}$

${{\text{X}}_{\text{i}}}{\text{ - }}\overline {\text{X}} $

${{\text{(}}{{\text{X}}_{\text{i}}}{\text{ - }}\overline {\text{X}} )^2}$

6

-3

9

7

-2

4

10

1

1

12

3

9

13

4

16

4

-5

25

8

-1

1

12

3

9

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - }}\overline {\text{X}} } \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{74}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  9}}{\text{.25}}$


2. प्रथम ${\text{n}}$ प्रकरत संखयाए 

उत्तर: प्रथम ${\text{n}}$ प्रकरत संखयाए : ${{1, 2, 3, 4 \ldots }}..{\text{,n}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1 + 2 + 3 + }}......{\text{ + n}}}}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{n(n + 1)}}}}{{{\text{2n}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{(n + 1)}}}}{{\text{2}}}$

जानते है की प्रथम ${\text{n}}$ प्राकर्त संख्याओ का योग $\dfrac{{{\text{n(n + 1)}}}}{{\text{2}}}$ होता है। 

 प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - }}\overline {\text{x}} } \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]$

$\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  }}{{\text{1}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{3}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{4}}^{\text{2}}}{{ +  \ldots  \ldots  + }}{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{n(n + 1)(2n + 1)}}}}{{\text{6}}}$

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - }}\overline {\text{x}} } \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]$

$\begin{align}  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}{{ \times n \times }}\dfrac{{{\text{n(n + 1)(2n + 1)}}}}{{\text{6}}}{\text{ - }}\dfrac{{{{\text{n}}^{\text{2}}}{{{\text{(n + 1)}}}^{\text{2}}}}}{{\text{4}}} \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{12}}}}\left[ {{\text{2(n + 1)(2n + 1) - 3(n + 1}}{{\text{)}}^{\text{2}}}} \right] \hfill \\ \end{align} $

${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{n + 1}}}}{{{\text{12}}}}{\text{[2(2n + 1) - 3(n + 1)]}}$

$\begin{align}  {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{n + 1}}}}{{{\text{12}}}}{\text{[4n + 2 - 3n - 3]}} \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{(n + 1)(n - 1)}}}}{{{\text{12}}}} \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{ - 1}}}}{{{\text{12}}}} \hfill \\ \end{align} $


3. तीन के प्रथम ${\text{10}}$ गुणज 

उत्तर: तीन के प्रथम ${\text{10}}$ गुणज ${\text{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}}$

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}\; = \;\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 15}}}}{{\text{3}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}}$

-4 

16 

-3 

-2 

12 

-1 

15 

18 

21 

24 

27 

16 

30 

25 

योग 

85

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {\left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)} }}{{\text{n}}} \times {\text{h}}$

${\text{ =  15 + }}\dfrac{{\text{5}}}{{{\text{10}}}}{{ \times 3  =  15 + 1}}{\text{.5  =  16}}{\text{.5}}$

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{9}}}{{{\text{100}}}}{{[10 \times 85 - 25]  =  74}}{\text{.25}}$


4. 

${{\text{x}}_{\text{i}}}$

6

10

14

18

24

28

30

${{\text{f}}_{\text{i}}}$

2

4

7

12

8

4

3

उत्तर: 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar x}}}$

$\mathbf{{{\text{(}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar x)}}^2}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{(}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar x)}}^2}}$

12 

-13 

169 

338 

10 

40 

-9 

81 

324 

14 

98 

-5 

25 

175 

18 

12 

216 

-1 

12 

24 

192 

25 

200 

28 

112 

81 

324 

30 

90 

11 

121 

363 

योग 

40 

760 



1736 

माध्य ${{\bar {X}  =  }}\dfrac{{{\text{760}}}}{{{\text{40}}}}{\text{  =  19}}$

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {\text{f}} {\text{i}}{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}}}} \right)}^{\text{2}}}}}{{\text{N}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1736}}}}{{{\text{40}}}}{\text{  =  43}}{\text{.4}}$


5. 

${{\text{x}}_{\text{i}}}$

92

93

97

98

102

104

109

${{\text{f}}_{\text{i}}}$

3

2

3

2

6

3

3

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = $98$ है 

इसलिए ${{\text{y}}_{\text{i}}}\;{\text{ = }}\;{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 98}}$

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{\text{f}}{{\text{y}}_{\text{i}}}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}^2$

${\text{f}}{{\text{y}}_{\text{i}}}^2$

92 

-6 

-18 

36 

108 

93 

-5 

-10 

25 

50 

97 

-1 

-3 

98 

102 

24 

16 

96 

104 

18 

36 

108 

109 

11 

33 

121 

363 

योग 

22 


44 


728 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  98 + }}\dfrac{{{\text{44}}}}{{{\text{22}}}}{\text{  =  98 + 2  =  100}}$

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\;}}{{\text{N}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{2}}{{\text{2}}^{\text{2}}}}}{{[22 \times 728 - 44}} \times {\text{44]}}$

${\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{22}}}}{\text{[728 - 88]  =  }}\dfrac{{{\text{640}}}}{{{\text{22}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{320}}}}{{{\text{11}}}}{\text{  =  29}}{\text{.09}}$


6. लघु विधि द्वारा माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

60

61

62

63

64

65

66

67

68

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

2

1

12

29

25

12

10

4

5

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = ${\text{64}}$ है 

इसलिए ${{\text{y}}_{{i}}}\;{\text{ = }}\;{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 64}}$

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{y}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}^2}$

$\mathbf{{\text{f}}{\text{.(}}{{\text{y}}_{\text{i}}}^2)}$

60 

-4 

-8 

16 

32 

61 

-3 

-3 

62 

12 

-2 

-24 

48 

63 

29 

-1 

-29 

29 

64 

25 

65 

12 

12 

12 

66 

10 

20 

40 

67 

12 

36 

68 

20 

16 

80 

योग 

100 


16 

286 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  64 + 0  =  64}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\;}}{{\text{N}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{10}}{{\text{0}}^{\text{2}}}}}{{[100}} \times {\text{286 - 0]  =  }}\dfrac{{{\text{286}}}}{{{\text{100}}}}{\text{  =  2}}{\text{.86}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{2}}{\text{.86}}} {\text{  =  1}}{\text{.69}}$


प्रश्न 7 व 8 मे दिए गए बारंबारता बंटन के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए। 

7. 

वर्ग 

0-30 

30-60 

60-90 

90-120

120-150 

150-180 

120-110  

बारंबारता 

10 

2

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = ${\text{105}}$ है 

वर्ग अंतराल ${\text{ =  h  =  30}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 15}}}}{{\text{h}}}$

वर्ग 

${{\text{x}}_{\text{i}}}$

${{\text{f}}_{\text{i}}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}$

${{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{y}}_{\text{i}}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}^2$

${\text{f}}{\text{.(}}{{\text{y}}_{\text{i}}}^2)$

0-30 

15 

-3 

-6 

18 

30-60 

45 

-2 

-6 

12 

60-90 

75 

-1 

-5 

90-120 

105 

10 

120-150 

135 

150-180 

165 

10 

20 

180-210 

195 

18 

योग 


30 



76 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  105 + }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{30}}}}{{ \times 30  =  107}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{{30 \times 30}}}}{{{\text{30 \times 30}}}}{{[30 \times 76 - 2 \times 2]  =  2280 - 4  =  2276}}$


8. 

वर्ग 

0-10 

10-20 

20-30 

30-40 

40-50 

बारंबारता 

15 

16 

6

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = ${\text{25}}$ है 

वर्ग अंतराल ${\text{ =  h  =  10}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 25}}}}{{\text{h}}}$

वर्ग 

${{\text{x}}_{\text{i}}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}$

${{\text{f}}_{\text{i}}}$

${{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{y}}_{\text{i}}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}^2$

${\text{f}}{\text{.(}}{{\text{y}}_{\text{i}}}^2)$

0-10 

-2 

-10 

20 

10-20 

15 

-1 

-8 

20-30 

25 

15 

30-40 

35 

16 

16 

16 

40-50 

45 

12 

24 

योग  


50 


10 


68 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  25 + }}\dfrac{{{\text{10}}}}{{{\text{50}}}}{{ \times 10  =  27}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{{10 \times 10}}}}{{{\text{50x50}}}}{\text{[50}} \times {\text{68 - 100]  =  }}\dfrac{{{\text{50}}}}{{{\text{25}}}}{\text{[68 - 2]  =  132}}$


9. लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए: 

उचाई (सेमी मे)

70-75 

75-80 

80-85 

85-90 

90-95 

95-100 

100-105 

105-110 

110-115 

बच्चों की संख्या 

15 

3

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = $92.5$ है 

वर्ग अंतराल ${\text{ =  h  =  5}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 92}}{\text{.5}}}}{{\text{h}}}$

वर्ग 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{y}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}^2}$

$\mathbf{{\text{f}}{\text{.(}}{{\text{y}}_{\text{i}}}{)^2}}$

70-75 

72.5 

-4 

-12 

16 

48 

75-80 

77.5 

-3 

-12 

36 

80-85 

82.5 

-2 

-14 

28 

85-90 

87.5 

-1 

-7 

90-95 

92.5 

15 

95-100 

97.5 

100-105 

102.5 

12 

24 

105-110 

107.5 

18 

54 

110-115 

112.5 

12 

16 

48 

योग 


60 



254 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{{{\Sigma fi}}\left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  92}}{\text{.5 + }}\dfrac{{\text{6}}}{{{\text{60}}}}{{ \times 5  =  92}}{\text{.5 + 0}}{\text{.5  =  93}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{25}}}}{{{\text{3600}}}}{\text{[60}} \times {\text{254 - 3]  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{12}}}}{\text{[1270 - 3]  =  }}\dfrac{{{\text{1267}}}}{{{\text{12}}}}{\text{  =  105}}{\text{.58}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{105}}{\text{.58}}} {\text{  =  10}}{\text{.28}}$


10. एक डिजाइन मे बनाए गए व्रतों के व्यास (मिमी मे) नीचे दिए गए है: 

वर्ग 

33-36 

37-40 

41-44 

45-48 

49-52 

बारबारता 

15 

17 

21 

22 

25 

व्रतों के व्यासो का मानक विचलन व माध्य व्यास ज्ञात कीजिए: 

उत्तर: दिए गए असतत आंकड़ों को सतत बारंबारता बंटन मे बदलने के लिए वर्ग अंतराल इस प्रकार है ${\text{32}}{\text{.5 - 36}}{\text{.5 , 36}}{\text{.5 - 40}}{\text{.5 , 40}}{\text{.5 - 44}}{\text{.5 , 44}}{\text{.5 - 48}}{\text{.5 , 48}}{\text{.5 - 52}}{\text{.5}}$

माना की कल्पित माध्य A = ${\text{42}}{\text{.5}}$

वर्ग अंतराल ${\text{h  =  4}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 42}}{\text{.5}}}}{{\text{4}}}$

वर्ग 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{y}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}^2}$

$\mathbf{{\text{f}}{\text{.(}}{{\text{y}}_{\text{i}}}{)^2}}$

32.5-36.5  

34.5 

15 

-2 

-30 

60 

36.5-40.5 

38.4 

17 

-1 

-17 

17 

40.5-44.5 

42.5 

21 

44.5-48.5 

42.5 

22 

22 

22 

48.5-52.5 

50.5 

25 

50 

100 

योग 


100 


25 



माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  42}}{\text{.5 + }}\dfrac{{{\text{25}}}}{{{\text{100}}}}{{ \times 4  =  42}}{\text{.5 + 1  =  43}}{\text{.5}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{16}}}}{{{\text{10000}}}}{\text{[100}} \times {\text{199 - 25]  =  }}\dfrac{{{\text{16x25}}}}{{{{100 \times 100}}}}{{[4 \times 99 - 25]  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{25}}}}{\text{(796 - 25)  =  30}}{\text{.84}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{30}}{\text{.84}}} {\text{  =  5}}{\text{.56}}$


प्रश्नावली 15.3

1. निम्नलिखित आंकड़ों से बताइए कि A या B मे से किस मे अधिक बिखराव है: 

अंक 

10-20 

20-30 

30-40 

40-50 

50-60 

60-70 

70-80 

समूह A

17 

32 

33 

40 

10 

समूह B

10 

20 

30 

25 

43 

15 

उत्तर: दिए गए असतत आंकड़ों को सतत बारंबारता बंटन मे बदलने के लिए वर्ग अंतराल इस प्रकार है। 

माना की कल्पित माध्य A = ${\text{45}}$

वर्ग अंतराल ${\text{ =  h  =  10}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 45}}}}{{\text{h}}}$

वर्ग 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{ }}}$

समूह A के लिए 

समूह B के लिए 

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{ }}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}{{\text{f}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}}$

10-20

15

-3

9

-27

81

10

-30

90

20-30

25

-2

17

-34

68

20

-40

80

30-40

35

-1

32

-32

32

30

-30

30

40-50

45

0

33

0

0

25

0

0

50-60

55

1

40

40

40

43

43

43

60-70

65

2

10

20

20

15

30

60

70-80

75

3

9

27

27

7

21

63

योग 



150

-6

342

150

-6

366

समूह A के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  45 + }}\dfrac{{{\text{ - 6}}}}{{{\text{150}}}}{{ \times 10  =  45 + }}\dfrac{{{\text{ - 2}}}}{{\text{5}}}{\text{  =  44}}{\text{.6}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{100}}}}{{{\text{22500}}}}{{[150}} \times {\text{342 - 36]  =  }}\dfrac{{{\text{36}}}}{{{\text{225}}}}{{[25 \times 57 - 1]  =  }}\dfrac{{\text{4}}}{{{\text{25}}}}{\text{(1425 - 1)  =  227}}{\text{.84}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{227}}{\text{.84}}} {\text{  =  15}}{\text{.09}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar{ x}}}}}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{15}}{\text{.09}}}}{{{\text{44}}{\text{.6}}}}{{ \times 100  =  33}}{\text{.83}}$

समूह B के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  45 + }}\dfrac{{{\text{ - 6}}}}{{{\text{150}}}}{{ \times 10  =  45 + }}\dfrac{{{\text{ - 2}}}}{{\text{5}}}{\text{  =  44}}{\text{.6}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{100}}}}{{{\text{22500}}}}{\text{[150}} \times {\text{366 - 36]  =  }}\dfrac{{{\text{36}}}}{{{\text{225}}}}{\text{[25 \times 61 - 1]  =  }}\dfrac{{\text{4}}}{{{\text{25}}}}{\text{(1525 - 1)  =  243}}{\text{.84}}$

मानक विचरण ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{243}}{\text{.84}}} {\text{  =  15}}{\text{.62}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{15}}{\text{.62}}}}{{{\text{44}}{\text{.6}}}}{{ \times 100  =  35}}{\text{.02}}$

समूह B विचरण गुणांक समूह A से ज्यादा है इसलिए समूह B मे अंकों का बिखराव अधिक होगा। 


2. शेयरों X और Y के नीचे दिए गए मूल्यों से बताइए की किस के मूल्यों मे अधिक स्थिरता है ?

X

35 

54 

52 

53 

56 

58 

52 

50 

51 

49 

Y

108 

107 

106 

105 

106 

107 

104 

103 

104 

101 

उत्तर: माना की शेयर X के आंकड़ों मे कल्पित माध्य ${\text{52}}$ है 

माना की शेयर Y के आंकड़ों मे कल्पित माध्य ${\text{105}}$ है 

शेयर X के लिए 

शेयर Y के लिए 

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}\;{\text{ = }}\;{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 52}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}^2}$

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}\;{\text{ = }}\;{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 52}}}$

$\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}^2}$

35 

-17 

289 

108 

54 

107 

52 

105 

53 

105 

56 

16 

106 

58 

36 

107 

52 

104 

-1 

50 

-2 

103 

-2 

51 

-1 

104 

-1 

49 

-3 

101 

-4 

16 

योग 

-10 

360 


40 

शेयर X के लिए

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{{{\Sigma }}\left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{n}}}{\text{  =  52 + }}\dfrac{{{\text{ - 10}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  52 - 1  =  51}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}}{{[10 \times 360}} \times {\text{100]  =  36 - 1  =  35}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{35}}} {\text{  =  5}}{\text{.916}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar {x}}}}}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{5}}{\text{.916}}}}{{{\text{51}}}}{{ \times 100  =  11}}{\text{.6}}$

शेयर Y के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {\left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)} }}{{\text{n}}}{\text{  =  105 + }}\dfrac{{\text{0}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  105}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}}{{[10 \times 40 - 0]  =  4}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {\text{4}} {\text{  =  2}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar {x}}}}}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{105}}}}{{ \times 100  =  1}}{\text{.9}}$

समूह X विचरण गुणांक समूह Y से ज्यादा है इसलिए समूह Y मे अंकों का स्थिरता अधिक है। 


3. एक कारखाने की दो फ़र्मों A और B के कर्मचारियों को दिए मासिक वेतन के विश्लेषण का निम्नलिखित परिणाम है 


फर्म A

फर्म B

वेतन पाने वाले कर्मचारियों की संख्या 

586 

648 

मासिक वेतनों का माध्य  

5253 

5253 

वेतनों के बंतानों का प्रसरण 

100 

121 

उत्तर: फर्म A के लिए 

A द्वारा दिया गया कुल वेतन = ${{5253 \times 586}}\;{\text{ = }}\,{\text{3078258}}$

मानक विचलन ${{\sigma }}\;{{ = }}\;\sqrt {{{100}}} \;{\text{ = }}\;{\text{10}}$

विचरण गुणांक $\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar {x}}}}}{{ \times 100}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{\text{10}}}}{{{\text{5253}}}}{{ \times 100}}\;{\text{ = }}\;{\text{0}}{\text{.19}}$

फर्म B के लिए 

A द्वारा दिया गया कुल वेतन = ${{5253 \times 648}}\;{\text{ = }}\,{\text{3403944}}$

मानक विचलन ${{\sigma }}\;{\text{ = }}\;\sqrt {{\text{121}}} \;{\text{ = }}\;{\text{11}}$

विचरण गुणांक $\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar{ x}}}}}{{ \times 100}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{{\text{11}}}}{{{\text{5253}}}}{{ \times 100}}\;{\text{ = }}\;{\text{0}}{\text{.21}}$


(i) A और B मे से कौन सी फर्म अपने कर्मचारियों को वेतन के रूप मे अधिक राशि देती है?

उत्तर: A द्वारा दिया गया कुल वेतन = ${{5253 \times 586}}\;{\text{ = }}\,{\text{3078258}}$

B द्वारा दिया गया कुल वेतन = ${{5253 \times 648}}\;{\text{ = }}\,{\text{3403944}}$


(ii) व्यक्तिगत वेतनों मे किस फर्म A या B मे अधिक विचरण है?

उत्तर: फार्म A के वेतन बंटन की विचरण गुणांक = ${\text{0}}{\text{.19}}$

फार्म B के वेतन बंटन की विचरण गुणांक = ${\text{0}}{\text{.21}}$

फार्म B के वेतन बंटन मे अधिक बिखराव है। 


4. टीम A द्वारा एक सत्र मे खेले गए फुटबॉल मैचो के आँकड़े नीचे दिए गए है: 

किये गए गोलो की संख्या 

मैचो की संख्या 

टीम B द्वारा खेले गए मैचो मे बनाए गए गोलो का माध्य दो प्रति मैच और गोलो का मानक विचलन ${\text{1}}{\text{.25}}$ था। किस टीम को अधिक संगत समझ जाना चाहिए?

उत्तर: 

किये गए गोलो की संख्या ( $\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}} )$

मैचो की संख्या 

($\mathbf{{{\text{y}}_{\text{i}}}}$ )

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{x}}_{\text{i}}}}$

$\mathbf{{{\text{x}}_{\text{i}}}^2}$

$\mathbf{{{\text{f}}_{\text{i}}}{{\text{x}}_{\text{i}}}^2}$

14 

28 

15 

45 

12 

16 

48 


25 

50 


130 

टीम A के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{50}}}}{{{\text{25}}}}{\text{  =  2}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sqrt {\left[ {{\text{N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{25}}}}\sqrt {{{[25 \times 130 - 50 \times 50]}}} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{5}}}{{{\text{25}}}}\sqrt {{\text{[130 - 100]}}} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{5}}}\sqrt {{\text{(30)}}} {\text{  =  1}}{\text{.095}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{1}}{\text{.095}}}}{{\text{2}}}{{ \times 100  =  54}}{\text{.75}}$

टीम B के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  2}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  15}}{\text{.62}}$ 

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{1}}{\text{.25}}}}{{\text{2}}}{{ \times 100  =  62}}{\text{.5}}$

टीम B विकर्ण गुणांक टीम A से ज्यादा है इसलिए समूह A मे अंकों की स्थिरता अधिक है। 


5. पचास वनस्पति उत्पादों की लंबाई ${\text{x }}$ (सेमी मे) और भार ${\text{y}}$ (ग्राम मे) के योग और वर्गों के नीचे दिए गए है: 

$\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  212}}$ , $\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  902}}{\text{.8}}$ , $\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{{\text{y}}_{\text{i}}}} {\text{  =  261}}$ , $\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  1457}}{\text{.6}}$

लंबाई या भार मे किसमे अधिक विचरण है। 

उत्तर: लंबाई के लिए 

$\begin{align}  {\text{n  =  50}} \hfill \\  \sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  212 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  902}}{\text{.8}} \hfill \\  \end{align} $

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  }}\dfrac{{{\text{212}}}}{{{\text{50}}}}{\text{  =  4}}{\text{.24}}$

${{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{n}}}\sqrt {\left[ {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}}\sqrt {{{50 \times 902}}{\text{.8 - 21}}{{\text{2}}^{\text{2}}}} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}}\sqrt {{\text{45140 - 44944}}} {\text{  =  0}}{\text{.28}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{0}}{\text{.28}}}}{{{\text{4}}{\text{.24}}}}{{ \times 100  =  6}}{\text{.60}}$

भार के लिए ${\text{n  =  50}}$

$\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{{\text{y}}_{\text{i}}}} {\text{  =  261 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  1457}}{\text{.6}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  }}\dfrac{{{\text{261}}}}{{{\text{50}}}}{\text{  =  5}}{\text{.22}}$

${{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{n}}}\sqrt {\left[ {{\text{n}}\sum {{\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}}\sqrt {{{50 \times 1457}}{\text{.6 - 26}}{{\text{1}}^{\text{2}}}} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}}\sqrt {{\text{72880 - 68121}}} {\text{  =  1}}{\text{.38}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{1}}{\text{.38}}}}{{{\text{5}}{\text{.22}}}}{{ \times 100  =  26}}{\text{.44}}$

भार का विचरण गुणांक, लंबाई के विचरण गुणांक से अधिक है इसलिए भार के बंटन मे अधिक विचरण होगा। 


प्रश्नावली A15

1. आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: ${\text{9 ,}}\;{\text{9}}{\text{.25}}$ है। यदि इनमे से छ: प्रेक्षण ${\text{6, 7, 10, 12, 12, 13}}$ है तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मान लीजिए वे दो संखयाए ${\text{x, y}}$ है। 

अतः संखयाए ${\text{6, 7, 10, 12, 12, 13, x, y}}$

माध्य ${{\bar{ x}  =  }}\dfrac{{{\text{6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + x + y}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  9}}$

${\text{60 + x + y  =  72}}$

${\text{x + y  =  12}}$ ........(1)

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]$

$\begin{align}  \dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{8}}}{\text{  =  9}} \hfill \\  {\text{9}}{\text{.25  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{64}}}}\left[ {{{8 \times }}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {\text{x}} {\text{i}}} \right)}^{\text{2}}}} \right] \hfill \\  \sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  72}} \hfill \\  {{8 \times }}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  9}}{\text{.25 \times 64 + 72 + 72}} \hfill \\  {\text{592 + 5184  =  5776}} \hfill \\  \sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  722  =  }}{{\text{6}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{7}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{0}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{3}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}} \hfill \\  {\text{722  =  36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  642 + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}} \hfill \\  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  722 - 642}} \hfill \\ \end{align} $

${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  80}}$ ........(2)

समीकरण (1) और (2) से 

$\begin{align}  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + (12 - x}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{  =  80}} \hfill \\  {\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 24x + 144  =  80}} \hfill \\  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 12x + 144  =  80}} \hfill \\  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 12x + 32  =  0}} \hfill \\  {\text{(x - 4)(x - 8)  =  0}} \hfill \\  {\text{x  =  4 , 8}} \hfill \\  {\text{y  =  8 , 4}} \hfill \\  \end{align} $

अतः वे शेष दो प्रेक्षण ${\text{4 , 8}}$ है। 


2. सात प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: ${\text{8, 16}}$ है। यदि इनमे से पाँच प्रेक्षण ${\text{2, 4, 10, 12, 14}}$ है तो दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मान लीजिए वे दो संखयाए ${\text{x, y}}$ है।

अतः संखयाए ${\text{2, 4, 10, 12, 14, x, y}}$

माध्य ${{\bar {x}  =  8  =  }}\dfrac{{{\text{2 + 4 + 10 + 12 + 14 + x + y}}}}{{\text{7}}}$

${\text{56  =  42 + x + y}}$

${\text{x + y  =  56 - 42  =  14}}$ ..........(1)

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{1}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]$

$\begin{align}  \left[ {{{\bar {x}  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}{\text{ , }}\therefore {\text{ }}\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {{  =  n\bar {x}  =  7 \times 8  =  56}}} \right] \hfill \\  {{{\sigma }}^{\text{2}}}{{  =  16  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{49}}}}\left[ {{{7 \times }}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - (56}}{{\text{)}}^{\text{2}}}} \right] \hfill \\  {\text{7}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {{  =  49 \times 16 + 56 \times 56}} \hfill \\  \sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {{  =  7 \times 16 + 8 \times 56  =  560}} \hfill \\  {{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{4}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{0}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{4}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  560}} \hfill \\  {\text{460 + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  560}} \hfill \\  \end{align} $

${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  560 - 460  =  100}}$ ........(2)

समीकरण (1) और (2) से 

$\begin{align}  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + (14 - x}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{  =  100}} \hfill \\  {\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 28x + 196 - 100  =  0}} \hfill \\  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 14x + 48  =  0}} \hfill \\  {\text{(x - 6)(x - 8)  =  0}} \hfill \\  {\text{x  =  6 , 8}} \hfill \\  {\text{y  =  8 , 6}} \hfill \\  \end{align} $

अतः वे शेष दो प्रेक्षण ${\text{6 , 8}}$ है। 


3. छ: परक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: ${\text{8, 4}}$ है यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: $\overline {\text{x}} {\text{  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}$

${{\text{x}}_{\text{i}}}$ को ${\text{3}}{{\text{x}}_{\text{i}}}$ से बदलने पर 

नया माध्य ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {\text{3}} {{\text{x}}_{\text{i}}}}}{{\text{n}}}$

$\dfrac{{{\text{3}}\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}{{  =  3\bar {x}}}$

${{ =  3 \times 8  =  24}}$

मानक विचलन $\sqrt {\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}} {\text{  =  4}}$

नए बटन मे ${{\text{x}}_{\text{i}}}$ को ${\text{3}}{{\text{x}}_{\text{i}}}$ और ${{\bar{ x}}}$ को ${{3\bar{ x}}}$ से बदलने पर 

नया मानक विचलन ${\text{ =  }}\sqrt {\dfrac{{\sum {{{\left( {{\text{3}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - 3\bar {x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}} $

$\begin{align}  {\text{ =  }}\sqrt {\dfrac{{{{\Sigma 9(}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}{{\text{)}}^2}}}{{\text{n}}}}  \hfill \\  {\text{ =  }}\sqrt {\dfrac{{{{9\Sigma (}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}}}{{\text{)}}^2}}}{{\text{n}}}}  \hfill \\  {\text{ =  3}}\sqrt {\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}}  \hfill \\  {{ =  3 \times 4  =  12}} \hfill \\  \end{align} $


4. यदि ${\text{n}}$ प्रेक्षणों ${{\text{x}}_{\text{1}}}{\text{,}}{{\text{x}}_{\text{2}}}{{, \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ,}}{{\text{x}}_{\text{n}}}$ का माध्य ${{\bar{ x}}}$ तथा प्रसरण ${{\text{\sigma }}^{\text{2}}}$ है तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों ${\text{a}}{{\text{x}}_{\text{1}}}{\text{,a}}{{\text{x}}_{\text{2}}}{{, \ldots  \ldots ,a}}{{\text{x}}_{\text{n}}}$ का माध्य और प्रसरण क्रमश: ${{a\bar{ x}}}$ तथा ${{\text{a}}^{\text{2}}}{{\text{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  (a}} \ne {\text{0)}}$ है। 

उत्तर: माध्य ${{\bar{ x}  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}$

${{\text{x}}_{\text{i}}}$ को ${\text{a}}{{\text{x}}_{\text{i}}}$ से बदलने पर 

नया बटन माध्य ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {\text{a}} {{\text{x}}_{\text{i}}}}}{{\text{n}}}$

${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{a}}\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}{{  =  a\bar{ x}}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{{\text{i - }}}}{{\bar {x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}$

${{\text{x}}_{\text{i}}}$ को ${\text{a}}{{\text{x}}_{\text{i}}}$ और ${{\bar {x}}}$ को ${{a\bar {x}}}$ से बदलने पर 

नया प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{\text{a}}{{\text{x}}_{{\text{i - }}}}\overline {{\text{ax}}} } \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}$

$\begin{align}  {\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{a}}^{\text{2}}}} {{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}}}} \right)}^{\text{2}}}}}{{\text{n}}} \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{{{\text{a}}^{\text{2}}}\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}} \hfill \\  {\text{ =  }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{{{\sigma }}^{\text{2}}} \hfill \\  \end{align} $


5. बीस प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: $10,\;2$ है। जाँच करने पर यह पाया गया की प्रेक्षण आठ गलत है। निम्र मे से प्रत्येक का सही माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: ${{\bar {x}  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}$

${\text{10  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{{\text{20}}}}$

$\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {{  =  10 \times 20  =  200}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{n}}}\sqrt {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} } {\text{ - }}\sqrt {{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} $

${\text{n\sigma   =  }}\sqrt {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{1}}^{\text{2}}} } {\text{ - }}\sqrt {{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} $

${\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  }}{{\text{n}}^{\text{2}}}{{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{ + }}{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)^{\text{2}}}$

$\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {{  =  }}\dfrac{{{{\text{n}}^{\text{2}}}{{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}}}{{\text{n}}}$

(i) गलत प्रेक्षण हत्या दिया जाए। 

उत्तर: (a) जब एक प्रेक्षण आठ को निकाल दिया। 

नए प्रेक्षणों का योग ${\text{ =  200 - 18  =  192}}$

नया माध्य ${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{192}}}}{{{\text{19}}}}{\text{  =  10}}{\text{.11}}$

(b) $\sum {{\text{x}}_{\text{1}}^{\text{2}}} {\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2}}{{\text{0}}^{\text{2}}}{{ \times 4 + }}\left( {{\text{20}}{{\text{0}}^{\text{2}}}} \right)}}{{{\text{20}}}}$

$\left[ {\because \;\;\sum {{\text{  =  }}} {\text{2 , }}\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  200}}} \right]$

${ =  80 + 10 \times 200  =  2080}$

नया $\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  2080 - }}{{\text{8}}^{\text{2}}}$

${\text{ =  2080 - 64  =  2016}}$

नया मानक विचलन 

$\begin{align}  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{19}}}}\sqrt {{{19 \times 2016 - (192}}{{\text{)}}^{\text{2}}}}  \hfill \\  {{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{19}}}}{{ \times }}\sqrt {{\text{38304 - 36864}}}  \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{19}}}}{{ \times }}\sqrt {{\text{1440}}} {\text{  =  1}}{\text{.997}} \hfill \\  \end{align} $

(ii) उसे बारह से बदल दिया जाए। 

उत्तर: नया $\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  200 - 8 + 12  =  204}}$

नया माध्य ${{ =  }}\dfrac{{{\text{204}}}}{{{\text{20}}}}{\text{  =  10}}{\text{.2}}$

$\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  2080}}$

नया $\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {{  =  2080 - 64 + 144  =  2160}}$

नया (ठीक) मानक विचलन 

$\begin{align}  {{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{20}}}}\sqrt {{{20 \times 2160 - (204}}{{\text{)}}^{\text{2}}}}  \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{20}}}}\sqrt {{\text{43200 - 41616}}}  \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{\sqrt {{\text{1584}}} }}{{{\text{20}}}} \hfill \\  {\text{ =  1}}{\text{.99}} \hfill \\  \end{align} $


6. एक कक्षा के पचास छात्रों द्वारा तीन विषयों गणित, भोतीक शस्त्र व रसयान शस्त्र मे प्राप्तांकों का माध्य तथा मानक विचलन नीचे दिए गए है। 

विषय रसयान 

गणित 

भोतीक 

माध्य 40.9 

42 

32 

मानक विचलन 20 

12 

15 

किस विषय मे सबसे अधिक विचलन है तथा किसमे सबसे कम विचलन है। 

उत्तर: गणित विषय मे मानक विचलन = ${\text{12}}$

भोतीक विषय मे मानक विचलन = ${\text{15}}$

रसायन विषय मे मानक विचलन = ${\text{20}}$

विचरण गुणाक = $\dfrac{{{\sigma }}}{{\text{x}}}{{ \times 100}}$

गणित विषय मे विचरण गुणाक = $\dfrac{{{\text{12}}}}{{{\text{42}}}}{{ \times 100  =  28}}{\text{.57}}$

भोतीक विषय मे विचरण गुणाक = $\dfrac{{{\text{15}}}}{{{\text{32}}}}{{ \times 100  =  46}}{\text{.875}}$

रसायन विषय मे विचरण गुणाक = $\dfrac{{{\text{20}}}}{{{\text{40}}{\text{.9}}}}{{ \times 100  =  48}}{\text{.9}}$

अतः रसायन विषय मे सबसे अधिक विचलन है तथा गणित विषय मे सबसे कम विचलन है। 


7.  $100$ प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमश: $20,\;3$ है। बाद मे यह पाया गया की तीन प्रेक्षण ${\text{21, 21, 18}}$ गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: ${{\bar {x}  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}$

$\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {{  =  n\bar{ x}}}$

${{ =  100 \times 20  =  2000}}$

नया $\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  2000 - 21 - 21 - 18  =  1940}}$

नया (ठीक) माध्य ${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{1940}}}}{{{\text{97}}}}{\text{  =  20}}$

$\begin{align}  {{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{n}}}\sqrt {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} } {\text{ - }}\sqrt {{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}}  \hfill \\  \sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{n}}^{\text{2}}}{{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}}}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{10}}{{\text{0}}^{\text{2}}}{{ \times 9 + (2000}}{{\text{)}}^{\text{2}}}}}{{{\text{100}}}} \hfill \\  {{ =  900 + 20 \times 2000  =  900 + 40000}} \hfill \\  {\text{ =  40900}} \hfill \\  \end{align} $

$\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} $ का ठीक मान 

$\begin{align}  {\text{ =  40900 - (21}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{ - (21}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{ - (81}}{{\text{)}}^{\text{2}}} \hfill \\  {\text{ =  40900 - 441 - 441 - 324}} \hfill \\  {\text{ =  39694}} \hfill \\  \end{align} $

ठीक मानक विचलन 

$\begin{align}  {{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{97}}}}\sqrt {{{97 \times 39634 - (1940}}{{\text{)}}^{\text{2}}}}  \hfill \\   {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{97}}}}\sqrt {{\text{3850318 - 3763600}}}  \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{97}}}}{{ \times }}\sqrt {{\text{86718}}}  \hfill \\  \end{align} $

नया (ठीक) मानक विचलन = ${\text{3}}{\text{.036}}$


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FAQs on NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 - In Hindi

1. Is Class 11 Maths Chapter 15 difficult to understand?

Chapter 15 is subjective and depends entirely on the concept grasping skills of students. Chapter 15 deals with the concept of statistics which is intriguing and easy to understand for most of the students. There is a possibility that these concepts might be difficult for you to grasp, NCERT solutions can help you overcome this obstacle in no time. NCERT solutions are recommended by the teachers to students for exam preparation as it provides you with the most complicated concepts in an easy language and structure.

2. What are the topics covered in the Chapter 15 of Class 11 Maths?

Chapter 15 walks you through many new concepts of Mathematics along with the basics of statistics.  Here are the topics that are discussed in the chapter in their correct NCERT sequence- Introduction To The Chapter, Methods Of Dispersion, Range, Mean Deviation, Variance And Standard Deviation, And Analysis Of Frequency Distribution. All these topics are covered in the NCERT book along with the fundamental features of statistics-mean, median, and mode.

3. How many questions are there in Chapter 15 of Class 11 Maths?

Each chapter in NCERT books consists of several exercises dedicated to a prominent topic in the chapter. A similar pattern is followed in Chapter 15 of NCERT as well. There are a total of 4 short exercises in the chapter for each topic and the questions combined of all exercises sum up to 35. It is advised for students to practice all of the 35 questions for the preparation of exams. NCERT questions are the basis for the annual as well as board examinations.

4. How can I solve NCERT exercises in less time for Chapter 15 of Class 11 Maths?

The questions in the NCERT  book are based on the concepts explained in the chapter. You can refer to the examples under each topic as they are well detailed and exercises are based on similar questions and concepts. This will help you to understand the concept of derivations and formulas of the chapter. It will be easy to solve questions in less time if you are well versed with the Formulas And Methods Of Derivation, Mean, Median, and Mode.

5. Where can I get the NCERT solutions for Chapter 15 of Class 11 Maths?

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