NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 - In Hindi

प्रश्नावली 15.1

प्रश्न 1 एवं 2 मे दिए गए आंकड़ों के लिए मध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए। 

1.  ${\mathbf{\text{4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17}}}$

उत्तर: 

डेटा के माध्य है $\bar{x}\dfrac{{{\text{4 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 + 13 + 17}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{80}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  10}}$

माध्य से संबंधित अवलोकनों का विचलन ${{\bar{ x} , }}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}  =   - 6,  - 3,  - 2,  - 1, 0, 2, 3, 7}}$

विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|{\text{  =  6, 3, 2, 1, 0, 2, 3, 7}}$

औसत माध्य के बारे मे आवश्यक विचलन 

${{MD(\bar{ x})  =  }}\dfrac{{(\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|} )}}{8}\; = \;\dfrac{{{\text{6 + 3 + 2 + 1 + 0 + 2 + 3 + 7}}}}{{\text{8}}}\; = \;\dfrac{{{\text{24}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  3}}$

2. ${\mathbf{\text{38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44}}}$

उत्तर: 

माध्य ${{\bar{ x}  =  }}\dfrac{{{\text{38 + 70 + 48 + 40 + 42 + 55 + 63 + 46 + 54 + 44}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{500}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  50}}$

माध्य से संबंधित अवलोकनों का विचलन ${{\bar{ x }, }}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}  =   - 12, 20,  - 2,  - 10,  - 8, 5, 13,  - 4, 4,  - 6}}$

विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|{\text{  =  12, 20, 2, 10, 8, 5, 13, 4, 4, 6}}$

औसत माध्य के बारे मे आवश्यक विचलन 

${{MD(\bar {x})  =  }}\dfrac{{(\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{10} {\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|} )}}{{10}}\; = \;\dfrac{{{\text{12 + 20 + 2 + 10 + 8 + 5 + 13 + 4 + 4 + 6}}}}{{10}}\; = \;\dfrac{{84}}{{10}}{\text{  =  8}}{\text{.4}}$

प्रश्न 3 एवं 4 के आंकड़ों के लिए माध्ययिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए। 

3. ${\mathbf{\text{13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17}}}$

उत्तर: 

यहा टिप्पणियों की संख्या $12$ है जो कि सम है 

आरोही क्रम मे व्यवस्था कर के हम प्राप्त करते है 

${\text{10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18}}$

$\begin{align} {\text{M  =  }}\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{\text{12}}}}{{\text{2}}}} \right)}^{{\text{th}}}}{\text{obsservation  + }}{{\left( {\dfrac{{{\text{12}}}}{{\text{2}}}{\text{ + 1}}} \right)}^{^{{\text{th}}}}}{\text{observation }}}}{{\text{2}}} \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{\left( {{{\text{6}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation  + }}{{\text{7}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation }}} \right)}}{{\text{2}}} \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{13 + 14}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{27}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  13}}{\text{.5}} \hfill \\ \end{align} $

माध्य से संबंधित अवलोकनों का विचलन ${{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M,  - 3}}{\text{.5,  - 2}}{\text{.5,  - 2}}{\text{.5,  - 1}}{\text{.5,  - 0}}{\text{.5,  - 0}}{\text{.5, 0}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 4}}{\text{.5}}$

विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  3}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 0}}{\text{.5, 0}}{\text{.5, 0}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 4}}{\text{.5}}$

माध्य के बारे मे आवश्यक माध्य विचलन ${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.  =   }}\left( {\dfrac{{\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{10}}} {\text{|}} {{xi - \bar {x}|}}}}{{{\text{12}}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{{\text{3}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 0}}{\text{.5 + 0}}{\text{.5 + 0}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 3}}{\text{.5 + 3}}{\text{.5 + 4}}{\text{.5}}}}{{{\text{12}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{28}}}}{{{\text{12}}}}{\text{  =  2}}{\text{.33}}$

4. ${\mathbf{\text{36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49}}}$

उत्तर: 

यहा टिप्पणियों की संख्या ${\text{10}}$ है जो की सम है 

आरोही क्रम मे व्यवस्था करते हुए हम प्राप्त करते है 

${\text{36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72}}$

$\begin{align} {\text{M  =  }}\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{\text{10}}}}{{\text{2}}}} \right)}^{{\text{th}}}}{\text{observation  + }}{{\left( {\dfrac{{{\text{10}}}}{{\text{2}}}{\text{ + 1}}} \right)}^{{\text{th}}}}{\text{observation}}}}{{\text{2}}}{\text{ observation}} \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{{{\text{5}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation  + }}{{\text{6}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation }}}}{{\text{2}}} \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{46 + 49}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{95}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  47}}{\text{.5}} \hfill \\ \end{align} $

माधायिका से संबंधित प्रेक्षणों का विचलन अर्थात ${{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M  =   - 11}}{\text{.5,  - 5}}{\text{.5,  - 2}}{\text{.5,  - 1}}{\text{.5,  - 1}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 5}}{\text{.5, 12}}{\text{.5, 24}}{\text{.5}}$

विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{ : 11}}{\text{.5, 5}}{\text{.5, 2}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 1}}{\text{.5, 3}}{\text{.5, 5}}{\text{.5, 12}}{\text{.5, 24}}{\text{.5}}$

इस प्रकार माधायिका के बारे मे आवश्यक माध्य ${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.    = }}\left( {\dfrac{{\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{10}}} {\text{|}} {\text{xi - M|}}}}{{{\text{10}}}}} \right)$

${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{11}}{\text{.5 + 5}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 1}}{\text{.5 + 3}}{\text{.5 + 5}}{\text{.5 + 12}}{\text{.5 + 24}}{\text{.5}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{70}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  7}}$

प्रश्न 5 एवं 6 के आंकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 

5. 

उत्तर: 

$\begin{align} {\text{N  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  25 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  350}} \hfill \\ {{\bar{ x}  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{25}}}} \times {\text{350  =  14}} \hfill \\ {{M}}{{.D \times (\bar {x})  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{25}}}} \times {\text{158  =  6}}{\text{.32}} \hfill \\  \end{align} $

6. 

उत्तर: 

$\begin{align} {\text{N  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  80 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  4000}} \hfill \\ {{\bar {x}  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{80}} \times 400{\text{0  =  50}} \hfill \\ {{M}}{{.D \times (\bar {x})  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{5}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{80}} \times 1280{\text{  =  16}} \hfill \\ \end{align} $

प्रश्न 7 एवं 8 के आंकड़ों के लिए माधायिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 

7. 

उत्तर: दिए गए अवलोकन पहले सेही बढ़ते क्रम मे है। दिए गए डेटा की संचयी आवर्तियों के अनुरोप कॉलम जोड़कर हम निम्र तालिका प्राप्त करते है 

यहा N = $26$ जोकि सम है। 

माधायिका $13$ वी और $14$ वी टिप्पणियों का माध्य है। 

ये दोनों अवलों कण संचयी आवर्ती $14$ मे निहित है, जिसके लिए संबंधित अवलोकन $7$ है 

माध्ययिक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{1}}{{\text{3}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation  + 1}}{{\text{4}}^{{\text{th }}}}{\text{ observation }}}}{{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{7 + 7}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  7}}$

मध्य से विचलन के पूर्ण मान $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|$

$\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{6}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  26 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{6}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  84}}$

${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.(M)  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{6}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{26}}}} \times {\text{84  =  3}}{\text{.23}}$

8. 

उत्तर: दिए गए अवलोकन पहले से ही बढ़ते क्रम मे है। दिए गए डेटा की संचयी आवर्तियों के अनुरूप कॉलम जोड़ने पर हम निम्नलिखित तालिका प्राप्त करते है। 

यहा N = $29$ जो विषम है 

माध्ययिक ${\text{ =  (}}\dfrac{{{\text{29 + 1}}}}{{\text{2}}}{{\text{)}}^{{\text{th}}}}{\text{observation  =  1}}{{\text{5}}^{{\text{th}}}}{\text{observation}}$

यह अवलोकन संचयी आवर्ती $21$ मे निहित है जिसके लिए संबंधित अवलोकन $30$ है। 

माध्य = $30$

माध्य से विचलन के पूर्ण मान है $\left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|$

$\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^5 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  29 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^5 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  148}}$

${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.(M)  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^5 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{29}}}} \times 148{\text{  =  5}}{\text{.1}}$

प्रश्न 9 एवं 10 के आंकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए: 

9. 

उत्तर: निम्न तालिका बनाई गई है 

$\begin{align} {\text{N  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}}{{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  50 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  17900}} \hfill \\ {{\bar x  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}} \times {\text{17900  =  358}} \hfill \\ {\text{M}}{\text{.D}}{{.(\bar x)  = }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar x}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}} \times {\text{7896  =  157}}{\text{.92}} \hfill \\  \end{align} $

10. 

उत्तर: निम्न तालिख बनाई गई है 

$\begin{align} {\text{N  =  }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^6 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{  =  100 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^6 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  12530}} \hfill \\ {{\bar {x}  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^6 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}} \times 12530{\text{  =  125}}{\text{.3}} \hfill \\ {\text{M}}{\text{.D}}{{.(\bar{x})  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^6 {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}} \times 1128.8{\text{  =  11}}{\text{.28}} \hfill \\ \end{align} $

11. निम्नलिखित आंकड़ों के लिए माधायिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:

उत्तर: निम्न तालिका बनाई गई है 

वेवग्रकों अंतरालया ${\text{20 - 30}}$ मे ${\left( {\dfrac{{\text{N}}}{{\text{2}}}} \right)^{{\text{th}}}}$ या ${\text{25}}$ वा आइटम है। 

इसलिए ${\text{20 - 30}}$ माधायिका वर्ग है। 

यह ज्ञात है कि 

माधायिका ${\text{ =  l + }}\dfrac{{\dfrac{{\text{N}}}{{\text{2}}}{\text{ - C}}}}{{\text{f}}} \times {\text{h}}$

यहा ${\text{l  =  20, C  =  14, f  =  14, h  =  10, N  =  50}}$

माध्ययिक ${\text{ =  20 + }}\dfrac{{{\text{25 - 14}}}}{{{\text{14}}}} \times {\text{10  =  20 + }}\dfrac{{{\text{110}}}}{{{\text{14}}}}{\text{  =  20 + 7}}{\text{.85  =  27}}{\text{.85}}$

इस प्रकार माध्य विचलन के बारे मे माधायिका 

${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.(M)  =  }}\dfrac{{\text{I}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{6}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}} \times {\text{517}}{\text{.1  =  10}}{\text{.34}}$

द्वारा दी गई है। 

12. नीचे दिए गए $100$ व्यक्तियों की आयु के बंटन की माधायिका आयु के सापेक्ष माध्य विचलन को गणना कीजिए: 

[संकेत प्रत्येक वर्ग की निम्र सीमा मे से $0.5$ घटाकरव उसकी उच्च सीमा मे $0.5$ जोड़कर दिए गए आंकड़ों को सतत बारंबारता बंटन मे बदलिए। 

उत्तर: दिया गया डेटा निरंतर नहीं है। इसलिए इसे निम्र आवर्ती से $0.5$ घटाकर और प्रत्येक वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा मे $0.5$ जोड़कर निरंतर आवर्ती वितरण मे परिवर्तित किया जाना है। तालिका निर्मानुसार बनाई गई है। 

वेवरगका अंतरालया ${\text{35}}{\text{.5 - 40}}{\text{.5}}$ मे ${\text{50}}$ वा आइटम है। 

इसलिए ${\text{35}}{\text{.5 - 40}}{\text{.5}}$ माधायिका वर्ग है। 

यह ज्ञात है की 

माधायिका ${\text{ =  l + }}\dfrac{{\dfrac{{\text{N}}}{{\text{2}}}{\text{ - c}}}}{{\text{f}}} \times {\text{h}}$

यहा ${\text{l  =  35}}{\text{.5, C  =  37, f  =  26, h  =  5, N  =  100}}$

माधायिका ${\text{ =  35}}{\text{.5 + }}\dfrac{{{\text{50 - 37}}}}{{{\text{26}}}} \times {\text{5  =  35}}{\text{.5 + }}\dfrac{{{\text{13}} \times {\text{5}}}}{{{\text{26}}}}{\text{  =  65}}{\text{.5 + 2}}{\text{.5  =  38}}$

इस प्रकार माध्य विचलन के बारे मे माध्ययिक 

${\text{M}}{\text{.D}}{\text{.(M)  =  }}\dfrac{{\text{I}}}{{\text{N}}}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{\text{8}} {{{\text{f}}_{\text{i}}}} \left| {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - M}}} \right|{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}} \times {\text{735  =  7}}{\text{.35}}$

द्वारा दी गई है। 

प्रश्नावली 15.2

प्रश्न 1 से 5 तक के आंकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए: 

1. $\mathbf{{\text{6,}}\;{\text{7,10, 12, 13, 4, 8, 12}}}$

उत्तर: हमलोग जानते है की 

माध्य ${{\bar {X}  =  }}\dfrac{{{\text{6 + 7 + 10 + 12 + 13 + 4 + 8 + 12}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{72}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  9}}$

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - }}\overline {\text{X}} } \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{74}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  9}}{\text{.25}}$

2. प्रथम ${\text{n}}$ प्रकरत संखयाए 

उत्तर: प्रथम ${\text{n}}$ प्रकरत संखयाए : ${{1, 2, 3, 4 \ldots }}..{\text{,n}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1 + 2 + 3 + }}......{\text{ + n}}}}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{n(n + 1)}}}}{{{\text{2n}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{(n + 1)}}}}{{\text{2}}}$

जानते है की प्रथम ${\text{n}}$ प्राकर्त संख्याओ का योग $\dfrac{{{\text{n(n + 1)}}}}{{\text{2}}}$ होता है। 

 प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - }}\overline {\text{x}} } \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]$

$\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  }}{{\text{1}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{3}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{4}}^{\text{2}}}{{ +  \ldots  \ldots  + }}{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{n(n + 1)(2n + 1)}}}}{{\text{6}}}$

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - }}\overline {\text{x}} } \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]$

$\begin{align}  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}{{ \times n \times }}\dfrac{{{\text{n(n + 1)(2n + 1)}}}}{{\text{6}}}{\text{ - }}\dfrac{{{{\text{n}}^{\text{2}}}{{{\text{(n + 1)}}}^{\text{2}}}}}{{\text{4}}} \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{12}}}}\left[ {{\text{2(n + 1)(2n + 1) - 3(n + 1}}{{\text{)}}^{\text{2}}}} \right] \hfill \\ \end{align} $

${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{n + 1}}}}{{{\text{12}}}}{\text{[2(2n + 1) - 3(n + 1)]}}$

$\begin{align}  {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{n + 1}}}}{{{\text{12}}}}{\text{[4n + 2 - 3n - 3]}} \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{(n + 1)(n - 1)}}}}{{{\text{12}}}} \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{ - 1}}}}{{{\text{12}}}} \hfill \\ \end{align} $

3. तीन के प्रथम ${\text{10}}$ गुणज 

उत्तर: तीन के प्रथम ${\text{10}}$ गुणज ${\text{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {\left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)} }}{{\text{n}}} \times {\text{h}}$

${\text{ =  15 + }}\dfrac{{\text{5}}}{{{\text{10}}}}{{ \times 3  =  15 + 1}}{\text{.5  =  16}}{\text{.5}}$

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{9}}}{{{\text{100}}}}{{[10 \times 85 - 25]  =  74}}{\text{.25}}$

4. 

उत्तर: 

माध्य ${{\bar {X}  =  }}\dfrac{{{\text{760}}}}{{{\text{40}}}}{\text{  =  19}}$

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {\text{f}} {\text{i}}{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}}}} \right)}^{\text{2}}}}}{{\text{N}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1736}}}}{{{\text{40}}}}{\text{  =  43}}{\text{.4}}$

5. 

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = $98$ है 

इसलिए ${{\text{y}}_{\text{i}}}\;{\text{ = }}\;{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 98}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  98 + }}\dfrac{{{\text{44}}}}{{{\text{22}}}}{\text{  =  98 + 2  =  100}}$

प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\;}}{{\text{N}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{2}}{{\text{2}}^{\text{2}}}}}{{[22 \times 728 - 44}} \times {\text{44]}}$

${\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{22}}}}{\text{[728 - 88]  =  }}\dfrac{{{\text{640}}}}{{{\text{22}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{320}}}}{{{\text{11}}}}{\text{  =  29}}{\text{.09}}$

6. लघु विधि द्वारा माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = ${\text{64}}$ है 

इसलिए ${{\text{y}}_{{i}}}\;{\text{ = }}\;{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 64}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  64 + 0  =  64}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\;}}{{\text{N}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{10}}{{\text{0}}^{\text{2}}}}}{{[100}} \times {\text{286 - 0]  =  }}\dfrac{{{\text{286}}}}{{{\text{100}}}}{\text{  =  2}}{\text{.86}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{2}}{\text{.86}}} {\text{  =  1}}{\text{.69}}$

प्रश्न 7 व 8 मे दिए गए बारंबारता बंटन के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए। 

7. 

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = ${\text{105}}$ है 

वर्ग अंतराल ${\text{ =  h  =  30}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 15}}}}{{\text{h}}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  105 + }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{30}}}}{{ \times 30  =  107}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{{30 \times 30}}}}{{{\text{30 \times 30}}}}{{[30 \times 76 - 2 \times 2]  =  2280 - 4  =  2276}}$

8. 

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = ${\text{25}}$ है 

वर्ग अंतराल ${\text{ =  h  =  10}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 25}}}}{{\text{h}}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  25 + }}\dfrac{{{\text{10}}}}{{{\text{50}}}}{{ \times 10  =  27}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{{10 \times 10}}}}{{{\text{50x50}}}}{\text{[50}} \times {\text{68 - 100]  =  }}\dfrac{{{\text{50}}}}{{{\text{25}}}}{\text{[68 - 2]  =  132}}$

9. लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए: 

उत्तर: माना की कल्पित माध्य A = $92.5$ है 

वर्ग अंतराल ${\text{ =  h  =  5}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 92}}{\text{.5}}}}{{\text{h}}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{{{\Sigma fi}}\left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  92}}{\text{.5 + }}\dfrac{{\text{6}}}{{{\text{60}}}}{{ \times 5  =  92}}{\text{.5 + 0}}{\text{.5  =  93}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{25}}}}{{{\text{3600}}}}{\text{[60}} \times {\text{254 - 3]  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{12}}}}{\text{[1270 - 3]  =  }}\dfrac{{{\text{1267}}}}{{{\text{12}}}}{\text{  =  105}}{\text{.58}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{105}}{\text{.58}}} {\text{  =  10}}{\text{.28}}$

10. एक डिजाइन मे बनाए गए व्रतों के व्यास (मिमी मे) नीचे दिए गए है: 

व्रतों के व्यासो का मानक विचलन व माध्य व्यास ज्ञात कीजिए: 

उत्तर: दिए गए असतत आंकड़ों को सतत बारंबारता बंटन मे बदलने के लिए वर्ग अंतराल इस प्रकार है ${\text{32}}{\text{.5 - 36}}{\text{.5 , 36}}{\text{.5 - 40}}{\text{.5 , 40}}{\text{.5 - 44}}{\text{.5 , 44}}{\text{.5 - 48}}{\text{.5 , 48}}{\text{.5 - 52}}{\text{.5}}$

माना की कल्पित माध्य A = ${\text{42}}{\text{.5}}$

वर्ग अंतराल ${\text{h  =  4}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 42}}{\text{.5}}}}{{\text{4}}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  42}}{\text{.5 + }}\dfrac{{{\text{25}}}}{{{\text{100}}}}{{ \times 4  =  42}}{\text{.5 + 1  =  43}}{\text{.5}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{16}}}}{{{\text{10000}}}}{\text{[100}} \times {\text{199 - 25]  =  }}\dfrac{{{\text{16x25}}}}{{{{100 \times 100}}}}{{[4 \times 99 - 25]  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{25}}}}{\text{(796 - 25)  =  30}}{\text{.84}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{30}}{\text{.84}}} {\text{  =  5}}{\text{.56}}$

प्रश्नावली 15.3

1. निम्नलिखित आंकड़ों से बताइए कि A या B मे से किस मे अधिक बिखराव है: 

उत्तर: दिए गए असतत आंकड़ों को सतत बारंबारता बंटन मे बदलने के लिए वर्ग अंतराल इस प्रकार है। 

माना की कल्पित माध्य A = ${\text{45}}$

वर्ग अंतराल ${\text{ =  h  =  10}}$

${{\text{y}}_{\text{i}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - A}}}}{{\text{h}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}_{\text{i}}}{\text{ - 45}}}}{{\text{h}}}$

समूह A के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  45 + }}\dfrac{{{\text{ - 6}}}}{{{\text{150}}}}{{ \times 10  =  45 + }}\dfrac{{{\text{ - 2}}}}{{\text{5}}}{\text{  =  44}}{\text{.6}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{100}}}}{{{\text{22500}}}}{{[150}} \times {\text{342 - 36]  =  }}\dfrac{{{\text{36}}}}{{{\text{225}}}}{{[25 \times 57 - 1]  =  }}\dfrac{{\text{4}}}{{{\text{25}}}}{\text{(1425 - 1)  =  227}}{\text{.84}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{227}}{\text{.84}}} {\text{  =  15}}{\text{.09}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar{ x}}}}}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{15}}{\text{.09}}}}{{{\text{44}}{\text{.6}}}}{{ \times 100  =  33}}{\text{.83}}$

समूह B के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  45 + }}\dfrac{{{\text{ - 6}}}}{{{\text{150}}}}{{ \times 10  =  45 + }}\dfrac{{{\text{ - 2}}}}{{\text{5}}}{\text{  =  44}}{\text{.6}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{h}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{{\;N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{100}}}}{{{\text{22500}}}}{\text{[150}} \times {\text{366 - 36]  =  }}\dfrac{{{\text{36}}}}{{{\text{225}}}}{\text{[25 \times 61 - 1]  =  }}\dfrac{{\text{4}}}{{{\text{25}}}}{\text{(1525 - 1)  =  243}}{\text{.84}}$

मानक विचरण ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{243}}{\text{.84}}} {\text{  =  15}}{\text{.62}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{15}}{\text{.62}}}}{{{\text{44}}{\text{.6}}}}{{ \times 100  =  35}}{\text{.02}}$

समूह B विचरण गुणांक समूह A से ज्यादा है इसलिए समूह B मे अंकों का बिखराव अधिक होगा। 

2. शेयरों X और Y के नीचे दिए गए मूल्यों से बताइए की किस के मूल्यों मे अधिक स्थिरता है ?

उत्तर: माना की शेयर X के आंकड़ों मे कल्पित माध्य ${\text{52}}$ है 

माना की शेयर Y के आंकड़ों मे कल्पित माध्य ${\text{105}}$ है 

शेयर X के लिए

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{{{\Sigma }}\left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{n}}}{\text{  =  52 + }}\dfrac{{{\text{ - 10}}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  52 - 1  =  51}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}}{{[10 \times 360}} \times {\text{100]  =  36 - 1  =  35}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {{\text{35}}} {\text{  =  5}}{\text{.916}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar {x}}}}}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{5}}{\text{.916}}}}{{{\text{51}}}}{{ \times 100  =  11}}{\text{.6}}$

शेयर Y के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  A + }}\dfrac{{\sum {\left( {{{\text{y}}_{\text{i}}}} \right)} }}{{\text{n}}}{\text{  =  105 + }}\dfrac{{\text{0}}}{{{\text{10}}}}{\text{  =  105}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}{{\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} }^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{100}}}}{{[10 \times 40 - 0]  =  4}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\sqrt {\text{4}} {\text{  =  2}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar {x}}}}}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{105}}}}{{ \times 100  =  1}}{\text{.9}}$

समूह X विचरण गुणांक समूह Y से ज्यादा है इसलिए समूह Y मे अंकों का स्थिरता अधिक है। 

3. एक कारखाने की दो फ़र्मों A और B के कर्मचारियों को दिए मासिक वेतन के विश्लेषण का निम्नलिखित परिणाम है 

उत्तर: फर्म A के लिए 

A द्वारा दिया गया कुल वेतन = ${{5253 \times 586}}\;{\text{ = }}\,{\text{3078258}}$

मानक विचलन ${{\sigma }}\;{{ = }}\;\sqrt {{{100}}} \;{\text{ = }}\;{\text{10}}$

विचरण गुणांक $\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar {x}}}}}{{ \times 100}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{\text{10}}}}{{{\text{5253}}}}{{ \times 100}}\;{\text{ = }}\;{\text{0}}{\text{.19}}$

फर्म B के लिए 

A द्वारा दिया गया कुल वेतन = ${{5253 \times 648}}\;{\text{ = }}\,{\text{3403944}}$

मानक विचलन ${{\sigma }}\;{\text{ = }}\;\sqrt {{\text{121}}} \;{\text{ = }}\;{\text{11}}$

विचरण गुणांक $\dfrac{{{\sigma }}}{{{{\bar{ x}}}}}{{ \times 100}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{{\text{11}}}}{{{\text{5253}}}}{{ \times 100}}\;{\text{ = }}\;{\text{0}}{\text{.21}}$

(i) A और B मे से कौन सी फर्म अपने कर्मचारियों को वेतन के रूप मे अधिक राशि देती है?

उत्तर: A द्वारा दिया गया कुल वेतन = ${{5253 \times 586}}\;{\text{ = }}\,{\text{3078258}}$

B द्वारा दिया गया कुल वेतन = ${{5253 \times 648}}\;{\text{ = }}\,{\text{3403944}}$

(ii) व्यक्तिगत वेतनों मे किस फर्म A या B मे अधिक विचरण है?

उत्तर: फार्म A के वेतन बंटन की विचरण गुणांक = ${\text{0}}{\text{.19}}$

फार्म B के वेतन बंटन की विचरण गुणांक = ${\text{0}}{\text{.21}}$

फार्म B के वेतन बंटन मे अधिक बिखराव है। 

4. टीम A द्वारा एक सत्र मे खेले गए फुटबॉल मैचो के आँकड़े नीचे दिए गए है: 

टीम B द्वारा खेले गए मैचो मे बनाए गए गोलो का माध्य दो प्रति मैच और गोलो का मानक विचलन ${\text{1}}{\text{.25}}$ था। किस टीम को अधिक संगत समझ जाना चाहिए?

उत्तर: 

टीम A के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  }}\dfrac{{\sum {{\text{fi}}} \left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}} \right)}}{{\text{N}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{50}}}}{{{\text{25}}}}{\text{  =  2}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{N}}}\sqrt {\left[ {{\text{N}}\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}{\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{f}}_{\text{i}}}} {{\text{x}}_{\text{i}}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{25}}}}\sqrt {{{[25 \times 130 - 50 \times 50]}}} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{5}}}{{{\text{25}}}}\sqrt {{\text{[130 - 100]}}} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{5}}}\sqrt {{\text{(30)}}} {\text{  =  1}}{\text{.095}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{1}}{\text{.095}}}}{{\text{2}}}{{ \times 100  =  54}}{\text{.75}}$

टीम B के लिए 

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  2}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  15}}{\text{.62}}$ 

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{1}}{\text{.25}}}}{{\text{2}}}{{ \times 100  =  62}}{\text{.5}}$

टीम B विकर्ण गुणांक टीम A से ज्यादा है इसलिए समूह A मे अंकों की स्थिरता अधिक है। 

5. पचास वनस्पति उत्पादों की लंबाई ${\text{x }}$ (सेमी मे) और भार ${\text{y}}$ (ग्राम मे) के योग और वर्गों के नीचे दिए गए है: 

$\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  212}}$ , $\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  902}}{\text{.8}}$ , $\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{{\text{y}}_{\text{i}}}} {\text{  =  261}}$ , $\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  1457}}{\text{.6}}$

लंबाई या भार मे किसमे अधिक विचरण है। 

उत्तर: लंबाई के लिए 

$\begin{align}  {\text{n  =  50}} \hfill \\  \sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  212 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  902}}{\text{.8}} \hfill \\  \end{align} $

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  }}\dfrac{{{\text{212}}}}{{{\text{50}}}}{\text{  =  4}}{\text{.24}}$

${{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{n}}}\sqrt {\left[ {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}}\sqrt {{{50 \times 902}}{\text{.8 - 21}}{{\text{2}}^{\text{2}}}} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}}\sqrt {{\text{45140 - 44944}}} {\text{  =  0}}{\text{.28}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{0}}{\text{.28}}}}{{{\text{4}}{\text{.24}}}}{{ \times 100  =  6}}{\text{.60}}$

भार के लिए ${\text{n  =  50}}$

$\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{{\text{y}}_{\text{i}}}} {\text{  =  261 , }}\sum\limits_{{\text{i = 1}}}^{{\text{50}}} {{\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  1457}}{\text{.6}}$

माध्य $\overline {\text{X}} {\text{  =  }}\dfrac{{{\text{261}}}}{{{\text{50}}}}{\text{  =  5}}{\text{.22}}$

${{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{n}}}\sqrt {\left[ {{\text{n}}\sum {{\text{y}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{y}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}}\sqrt {{{50 \times 1457}}{\text{.6 - 26}}{{\text{1}}^{\text{2}}}} {\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{50}}}}\sqrt {{\text{72880 - 68121}}} {\text{  =  1}}{\text{.38}}$

विचरण गुणांक ${\text{ =  }}\dfrac{{{\sigma }}}{{\overline {\text{x}} }}{{ \times 100  =  }}\dfrac{{{\text{1}}{\text{.38}}}}{{{\text{5}}{\text{.22}}}}{{ \times 100  =  26}}{\text{.44}}$

भार का विचरण गुणांक, लंबाई के विचरण गुणांक से अधिक है इसलिए भार के बंटन मे अधिक विचरण होगा। 

प्रश्नावली A15

1. आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: ${\text{9 ,}}\;{\text{9}}{\text{.25}}$ है। यदि इनमे से छ: प्रेक्षण ${\text{6, 7, 10, 12, 12, 13}}$ है तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मान लीजिए वे दो संखयाए ${\text{x, y}}$ है। 

अतः संखयाए ${\text{6, 7, 10, 12, 12, 13, x, y}}$

माध्य ${{\bar{ x}  =  }}\dfrac{{{\text{6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + x + y}}}}{{\text{8}}}{\text{  =  9}}$

${\text{60 + x + y  =  72}}$

${\text{x + y  =  12}}$ ........(1)

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]$

$\begin{align}  \dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{8}}}{\text{  =  9}} \hfill \\  {\text{9}}{\text{.25  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{64}}}}\left[ {{{8 \times }}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {\text{x}} {\text{i}}} \right)}^{\text{2}}}} \right] \hfill \\  \sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  72}} \hfill \\  {{8 \times }}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  9}}{\text{.25 \times 64 + 72 + 72}} \hfill \\  {\text{592 + 5184  =  5776}} \hfill \\  \sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  722  =  }}{{\text{6}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{7}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{0}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{3}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}} \hfill \\  {\text{722  =  36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  642 + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}} \hfill \\  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  722 - 642}} \hfill \\ \end{align} $

${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  80}}$ ........(2)

समीकरण (1) और (2) से 

$\begin{align}  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + (12 - x}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{  =  80}} \hfill \\  {\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 24x + 144  =  80}} \hfill \\  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 12x + 144  =  80}} \hfill \\  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 12x + 32  =  0}} \hfill \\  {\text{(x - 4)(x - 8)  =  0}} \hfill \\  {\text{x  =  4 , 8}} \hfill \\  {\text{y  =  8 , 4}} \hfill \\  \end{align} $

अतः वे शेष दो प्रेक्षण ${\text{4 , 8}}$ है। 

2. सात प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: ${\text{8, 16}}$ है। यदि इनमे से पाँच प्रेक्षण ${\text{2, 4, 10, 12, 14}}$ है तो दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मान लीजिए वे दो संखयाए ${\text{x, y}}$ है।

अतः संखयाए ${\text{2, 4, 10, 12, 14, x, y}}$

माध्य ${{\bar {x}  =  8  =  }}\dfrac{{{\text{2 + 4 + 10 + 12 + 14 + x + y}}}}{{\text{7}}}$

${\text{56  =  42 + x + y}}$

${\text{x + y  =  56 - 42  =  14}}$ ..........(1)

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{n}}^{\text{2}}}}}\left[ {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{1}}^{\text{2}}} {\text{ - }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} \right]$

$\begin{align}  \left[ {{{\bar {x}  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}{\text{ , }}\therefore {\text{ }}\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {{  =  n\bar {x}  =  7 \times 8  =  56}}} \right] \hfill \\  {{{\sigma }}^{\text{2}}}{{  =  16  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{49}}}}\left[ {{{7 \times }}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{ - (56}}{{\text{)}}^{\text{2}}}} \right] \hfill \\  {\text{7}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {{  =  49 \times 16 + 56 \times 56}} \hfill \\  \sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {{  =  7 \times 16 + 8 \times 56  =  560}} \hfill \\  {{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{4}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{0}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}{{\text{4}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  560}} \hfill \\  {\text{460 + }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  560}} \hfill \\  \end{align} $

${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  560 - 460  =  100}}$ ........(2)

समीकरण (1) और (2) से 

$\begin{align}  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + (14 - x}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{  =  100}} \hfill \\  {\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 28x + 196 - 100  =  0}} \hfill \\  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 14x + 48  =  0}} \hfill \\  {\text{(x - 6)(x - 8)  =  0}} \hfill \\  {\text{x  =  6 , 8}} \hfill \\  {\text{y  =  8 , 6}} \hfill \\  \end{align} $

अतः वे शेष दो प्रेक्षण ${\text{6 , 8}}$ है। 

3. छ: परक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: ${\text{8, 4}}$ है यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: $\overline {\text{x}} {\text{  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}$

${{\text{x}}_{\text{i}}}$ को ${\text{3}}{{\text{x}}_{\text{i}}}$ से बदलने पर 

नया माध्य ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {\text{3}} {{\text{x}}_{\text{i}}}}}{{\text{n}}}$

$\dfrac{{{\text{3}}\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}{{  =  3\bar {x}}}$

${{ =  3 \times 8  =  24}}$

मानक विचलन $\sqrt {\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}} {\text{  =  4}}$

नए बटन मे ${{\text{x}}_{\text{i}}}$ को ${\text{3}}{{\text{x}}_{\text{i}}}$ और ${{\bar{ x}}}$ को ${{3\bar{ x}}}$ से बदलने पर 

नया मानक विचलन ${\text{ =  }}\sqrt {\dfrac{{\sum {{{\left( {{\text{3}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - 3\bar {x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}} $

$\begin{align}  {\text{ =  }}\sqrt {\dfrac{{{{\Sigma 9(}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}{{\text{)}}^2}}}{{\text{n}}}}  \hfill \\  {\text{ =  }}\sqrt {\dfrac{{{{9\Sigma (}}{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}}}{{\text{)}}^2}}}{{\text{n}}}}  \hfill \\  {\text{ =  3}}\sqrt {\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}}  \hfill \\  {{ =  3 \times 4  =  12}} \hfill \\  \end{align} $

4. यदि ${\text{n}}$ प्रेक्षणों ${{\text{x}}_{\text{1}}}{\text{,}}{{\text{x}}_{\text{2}}}{{, \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ,}}{{\text{x}}_{\text{n}}}$ का माध्य ${{\bar{ x}}}$ तथा प्रसरण ${{\text{\sigma }}^{\text{2}}}$ है तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों ${\text{a}}{{\text{x}}_{\text{1}}}{\text{,a}}{{\text{x}}_{\text{2}}}{{, \ldots  \ldots ,a}}{{\text{x}}_{\text{n}}}$ का माध्य और प्रसरण क्रमश: ${{a\bar{ x}}}$ तथा ${{\text{a}}^{\text{2}}}{{\text{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  (a}} \ne {\text{0)}}$ है। 

उत्तर: माध्य ${{\bar{ x}  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}$

${{\text{x}}_{\text{i}}}$ को ${\text{a}}{{\text{x}}_{\text{i}}}$ से बदलने पर 

नया बटन माध्य ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {\text{a}} {{\text{x}}_{\text{i}}}}}{{\text{n}}}$

${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{a}}\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}{{  =  a\bar{ x}}}$

प्रसरण ${{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{{\text{i - }}}}{{\bar {x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}$

${{\text{x}}_{\text{i}}}$ को ${\text{a}}{{\text{x}}_{\text{i}}}$ और ${{\bar {x}}}$ को ${{a\bar {x}}}$ से बदलने पर 

नया प्रसरण ${\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\left( {{\text{a}}{{\text{x}}_{{\text{i - }}}}\overline {{\text{ax}}} } \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}}$

$\begin{align}  {\text{ =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{a}}^{\text{2}}}} {{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar {x}}}} \right)}^{\text{2}}}}}{{\text{n}}} \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{{{\text{a}}^{\text{2}}}\sum {{{\left( {{{\text{x}}_{\text{i}}}{{ - \bar{ x}}}} \right)}^{\text{2}}}} }}{{\text{n}}} \hfill \\  {\text{ =  }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{{{\sigma }}^{\text{2}}} \hfill \\  \end{align} $

5. बीस प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: $10,\;2$ है। जाँच करने पर यह पाया गया की प्रेक्षण आठ गलत है। निम्र मे से प्रत्येक का सही माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: ${{\bar {x}  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}$

${\text{10  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{{\text{20}}}}$

$\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {{  =  10 \times 20  =  200}}$

मानक विचलन ${{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{n}}}\sqrt {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} } {\text{ - }}\sqrt {{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} $

${\text{n\sigma   =  }}\sqrt {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{1}}^{\text{2}}} } {\text{ - }}\sqrt {{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}} $

${\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  }}{{\text{n}}^{\text{2}}}{{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{ + }}{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)^{\text{2}}}$

$\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {{  =  }}\dfrac{{{{\text{n}}^{\text{2}}}{{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}}}{{\text{n}}}$

(i) गलत प्रेक्षण हत्या दिया जाए। 

उत्तर: (a) जब एक प्रेक्षण आठ को निकाल दिया। 

नए प्रेक्षणों का योग ${\text{ =  200 - 18  =  192}}$

नया माध्य ${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{192}}}}{{{\text{19}}}}{\text{  =  10}}{\text{.11}}$

(b) $\sum {{\text{x}}_{\text{1}}^{\text{2}}} {\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2}}{{\text{0}}^{\text{2}}}{{ \times 4 + }}\left( {{\text{20}}{{\text{0}}^{\text{2}}}} \right)}}{{{\text{20}}}}$

$\left[ {\because \;\;\sum {{\text{  =  }}} {\text{2 , }}\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  200}}} \right]$

${ =  80 + 10 \times 200  =  2080}$

नया $\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  2080 - }}{{\text{8}}^{\text{2}}}$

${\text{ =  2080 - 64  =  2016}}$

नया मानक विचलन 

$\begin{align}  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{19}}}}\sqrt {{{19 \times 2016 - (192}}{{\text{)}}^{\text{2}}}}  \hfill \\  {{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{19}}}}{{ \times }}\sqrt {{\text{38304 - 36864}}}  \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{19}}}}{{ \times }}\sqrt {{\text{1440}}} {\text{  =  1}}{\text{.997}} \hfill \\  \end{align} $

(ii) उसे बारह से बदल दिया जाए। 

उत्तर: नया $\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  200 - 8 + 12  =  204}}$

नया माध्य ${{ =  }}\dfrac{{{\text{204}}}}{{{\text{20}}}}{\text{  =  10}}{\text{.2}}$

$\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  2080}}$

नया $\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {{  =  2080 - 64 + 144  =  2160}}$

नया (ठीक) मानक विचलन 

$\begin{align}  {{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{20}}}}\sqrt {{{20 \times 2160 - (204}}{{\text{)}}^{\text{2}}}}  \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{20}}}}\sqrt {{\text{43200 - 41616}}}  \hfill \\  {\text{ =  }}\dfrac{{\sqrt {{\text{1584}}} }}{{{\text{20}}}} \hfill \\  {\text{ =  1}}{\text{.99}} \hfill \\  \end{align} $

6. एक कक्षा के पचास छात्रों द्वारा तीन विषयों गणित, भोतीक शस्त्र व रसयान शस्त्र मे प्राप्तांकों का माध्य तथा मानक विचलन नीचे दिए गए है। 

किस विषय मे सबसे अधिक विचलन है तथा किसमे सबसे कम विचलन है। 

उत्तर: गणित विषय मे मानक विचलन = ${\text{12}}$

भोतीक विषय मे मानक विचलन = ${\text{15}}$

रसायन विषय मे मानक विचलन = ${\text{20}}$

विचरण गुणाक = $\dfrac{{{\sigma }}}{{\text{x}}}{{ \times 100}}$

गणित विषय मे विचरण गुणाक = $\dfrac{{{\text{12}}}}{{{\text{42}}}}{{ \times 100  =  28}}{\text{.57}}$

भोतीक विषय मे विचरण गुणाक = $\dfrac{{{\text{15}}}}{{{\text{32}}}}{{ \times 100  =  46}}{\text{.875}}$

रसायन विषय मे विचरण गुणाक = $\dfrac{{{\text{20}}}}{{{\text{40}}{\text{.9}}}}{{ \times 100  =  48}}{\text{.9}}$

अतः रसायन विषय मे सबसे अधिक विचलन है तथा गणित विषय मे सबसे कम विचलन है। 

7.  $100$ प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमश: $20,\;3$ है। बाद मे यह पाया गया की तीन प्रेक्षण ${\text{21, 21, 18}}$ गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: ${{\bar {x}  =  }}\dfrac{{\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} }}{{\text{n}}}$

$\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {{  =  n\bar{ x}}}$

${{ =  100 \times 20  =  2000}}$

नया $\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} {\text{  =  2000 - 21 - 21 - 18  =  1940}}$

नया (ठीक) माध्य ${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{1940}}}}{{{\text{97}}}}{\text{  =  20}}$

$\begin{align}  {{\sigma   =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{n}}}\sqrt {{\text{n}}\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} } {\text{ - }}\sqrt {{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}}  \hfill \\  \sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} {\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{n}}^{\text{2}}}{{{\sigma }}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\left( {\sum {{{\text{x}}_{\text{i}}}} } \right)}^{\text{2}}}}}{{\text{n}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{10}}{{\text{0}}^{\text{2}}}{{ \times 9 + (2000}}{{\text{)}}^{\text{2}}}}}{{{\text{100}}}} \hfill \\  {{ =  900 + 20 \times 2000  =  900 + 40000}} \hfill \\  {\text{ =  40900}} \hfill \\  \end{align} $

$\sum {{\text{x}}_{\text{i}}^{\text{2}}} $ का ठीक मान 

$\begin{align}  {\text{ =  40900 - (21}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{ - (21}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{ - (81}}{{\text{)}}^{\text{2}}} \hfill \\  {\text{ =  40900 - 441 - 441 - 324}} \hfill \\  {\text{ =  39694}} \hfill \\  \end{align} $

ठीक मानक विचलन 

$\begin{align}  {{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{97}}}}\sqrt {{{97 \times 39634 - (1940}}{{\text{)}}^{\text{2}}}}  \hfill \\   {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{97}}}}\sqrt {{\text{3850318 - 3763600}}}  \hfill \\ {\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{97}}}}{{ \times }}\sqrt {{\text{86718}}}  \hfill \\  \end{align} $

नया (ठीक) मानक विचलन = ${\text{3}}{\text{.036}}$

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