NCERT Solutions for Class 9 Maths In Hindi Chapter 6 Lines and Angles

प्रश्नावली 6.1

1. दी गई आकृति में रेखाएँ \[\mathbf{AB}\] और \[\mathbf{CD}\] बिंदु \[\mathbf{O}\] पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि \[\angle \mathbf{AOC}\text{ }+\angle \mathbf{BOE}\text{ }=\text{ }\mathbf{70}{}^\circ \]है और \[\angle \mathbf{BOD}\text{ }=\text{ }\mathbf{40}{}^\circ \]है, तो \[\angle \mathbf{BOE}\] और प्रतिवर्ती \[\angle \mathbf{COE}\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है \[\angle AOC\text{ }+\angle BOE\text{ }=\text{ }70{}^\circ \text{ }\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \text{ }\left( 1 \right)\]

और, \[\angle BOD\text{ }=\text{ }40{}^\circ \]

अब, ∠AOC = ∠BOD (सम्मुख कोण)

इसलिए\[,\angle AOC\text{ }=\text{ }40{}^\circ \text{ }\ldots \ldots \ldots \ldots \text{ }\left( 2 \right)\]अब, समीकरण (1) में समीकरण (2) का मान रखने पर,

\[\angle AOC\text{ }+\angle BOE\text{ }=\text{ }70{}^\circ \]

या, \[40{}^\circ \text{ }+\angle BOE\text{ }=\text{ }70{}^\circ \]

या, \[\angle BOE\text{ }=\text{ }70{}^\circ \text{ }-\text{ }40{}^\circ =\text{ }30{}^\circ \]

अब, \[\angle AOC\text{ }+\angle BOE\text{ }+\angle COE\text{ }=\text{ }180{}^\circ \] (एक रेखा के एक ही ओर बने कोणों का योग)

या, \[70{}^\circ \text{ }+\angle COE\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle COE\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }70{}^\circ \text{ }=\text{ }110{}^\circ \]

इसलिए, प्रतिवर्ती \[\angle COE\text{ }=\text{ }360{}^\circ \text{ }-\text{ }110{}^\circ \text{ }=\text{ }250\]°

इसलिए, \[\angle BOE\text{ }=\text{ }30{}^\circ \]और प्रतिवर्ती \[\angle COE\text{ }=\text{ }250{}^\circ \]

2. दी गई आकृति में रेखाएँ \[\mathbf{XY}\] और \[\mathbf{MN}\] बिंदु \[\mathbf{O}\] पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि \[\angle \mathbf{POY}\text{ }=\text{ }\mathbf{90}{}^\circ \]और \[\mathbf{a}\text{ }:\text{ }\mathbf{b}\text{ }=\text{ }\mathbf{2}\text{ }:\text{ }\mathbf{3}\]है, तो c ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है: \[\angle POY\text{ }=\text{ }90{}^\circ \]

और \[a\text{ }:\text{ }b\text{ }=\text{ }2\text{ }:\text{ }3\]

या, \[\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\]

या, \[a=\frac{2b}{3}\ldots \ldots \ldots \text{ }\left( 1 \right)\]

अब, \[\angle POX\text{ }+\angle POY\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle POX\text{ }+\text{ }90{}^\circ \text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle POX\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }90{}^\circ \text{ }=\text{ }90{}^\circ \]

या, \[a\text{ }+\text{ }b\text{ }=\text{ }90{}^\circ \] (क्योंकि \[\angle POX\text{ }=\text{ }a\text{ }+\text{ }b\])

या, \[\frac{2b}{3}+b=90{}^\circ \]

या, \[\frac{2b+3}{3}=90{}^\circ \]

या, \[5b\text{ }=\text{ }270{}^\circ \]

या, \[b=\frac{270{}^\circ }{5}=54{}^\circ \]

समीकरण \[(1)\]में \[b\] का मान रखने पर,

\[a=\frac{2}{3}b\]

या, \[a=\frac{2}{3}\times 54{}^\text{o}\]

या, \[a=2\times 18{}^\text{o}\]

या, \[a\text{ }=\text{ }36{}^\text{o}\]

अब, \[b\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }180{}^\text{o}\] (एक रेखा के एक ही ओर के कोणों का योग)

या, \[54{}^\text{o}\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }180{}^\text{o}\]

या, \[c\text{ }=\text{ }180{}^\text{o}-\text{ }54{}^\text{o}\]

या\[,\text{ }c\text{ }=\text{ }126{}^\text{o}\]

3. दी गई आकृति में यदि \[\angle \mathbf{PQR}\text{ }=\angle \mathbf{PRQ}\] है, तो सिद्ध कीजिए कि \[\angle \mathbf{PQS}\text{ }=\angle \mathbf{PRT}\] है।

उत्तर: दिया गया है: \[\angle PQR\text{ }=\text{ }\angle PRQ\]

सिद्ध करना है: \[\angle PQS\text{ }=\angle PRT\]

प्रमाण: \[\angle PQR\text{ }+\angle PQS\text{ }=\text{ }180{}^\circ \] (किसी रेखा के एक ओर बने कोण)

इसी तरह, \[\angle PRQ\text{ }+\angle PRT\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

ऊपर के समीकरणों से:

\[\angle PQR\text{ }+\angle PQS\text{ }=\angle PRQ\text{ }+\angle PRT\]

या, \[\angle PQR\text{ }+\angle PQS\text{ }=\angle PQR\text{ }+\angle PRT\] (क्योंकि \[\angle PQR\text{ }=\angle PRQ\] दिया गया है)

या, \[\angle PQR\text{ }+\text{ }\angle PQS\text{ }-\angle PQR\text{ }=\angle PRT\]

या, \[\angle PQS\text{ }=\angle PRT\] सिद्ध हुआ

4. दी गई आकृति में यदि \[x+y=w+z~\] है, तो सिद्ध कीजिए कि \[AOB\] एक रेखा है।

उत्तर: दिया गया है \[x\text{ }+\text{ }y\text{ }=\text{ }w\text{ }+\text{ }z\]

सिद्ध करना है: \[AOB\] एक सरल रेखा है

प्रमाण: \[x\text{ }+\text{ }y\text{ }=\text{ }w\text{ }+\text{ }z\text{ }\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\left( 1 \right)\] (दिया गया है)

लेकिन, \[x\text{ }+\text{ }y\text{ }+\text{ }w\text{ }+\text{ }z\text{ }=\text{ }360{}^\text{o}\] (एक बिंदु के चारों ओर के कोण)

या, \[\left( x\text{ }+\text{ }y \right)\text{ }+\text{ }\left( w\text{ }+\text{ }z \right)\text{ }=\text{ }360{}^\text{o}\]

या, \[\left( x\text{ }+\text{ }y \right)\text{ }+\text{ }\left( x\text{ }+\text{ }y \right)\text{ }=\text{ }360{}^\text{o}\] (समीकरण \[(1)\]से)

या, \[x\text{ }+\text{ }y\text{ }+\text{ }x\text{ }+\text{ }y\text{ }=\text{ }360{}^\text{o}\]

या, \[2x\text{ }+\text{ }2y\text{ }=\text{ }360{}^\text{o}\]

या, \[2\left( x\text{ }+\text{ }y \right)\text{ }=\text{ }360{}^\text{o}\]

या, \[x\text{ }+\text{ }y\text{ }=~\frac{360{}^\circ }{2}\]

या, \[x\text{ }+\text{ }y\text{ }=\text{ }180{}^\text{o}\]

यानि, \[x\] और \[y\] एक रेखा के एक ही ओर बने कोणों के जोड़े बनाते हैं।

इसलिए, \[AOB\] एक रेखा है, सिद्ध हुआ।

5. दी गई आकृति में \[\mathbf{POQ}\] एक रेखा है। किरण \[\mathbf{OR}\] रेखा \[\mathbf{PQ}\] पर लम्ब है। किरणों \[\mathbf{OP}\] और \[\mathbf{OR}\] के बीच में \[\mathbf{OS}\] एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए।

\[\angle \mathbf{ROS}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}(\angle \mathbf{QOS}-\angle \mathbf{POS})\]

उत्तर: दिया गया है: \[POQ\] एक रेखा है।

\[OR\bot PQ\]किरण \[OS\] रेखा \[PQ\] से बिंदु \[O\] पर मिलती है।

प्रमाण: \[\angle QOS\text{ }=\angle ROS\text{ }+\angle ROQ\text{ }\ldots \ldots \ldots \ldots ..\]समीकरण \[(1)\]

\[\angle POS\text{ }=\angle POR\text{ }-\angle ROS\ldots \ldots \ldots (2)\]

समीकरण \[(1)\]से समीकरण \[(2)\]को घटाने पर

\[\angle QOS\text{ }-\angle POS\text{ }=\text{ }(\angle ROS\text{ }+\angle ROQ)\text{ }\text{ }(\angle POR\text{ }-\angle ROS)\]

या, \[\angle QOS\text{ }-\angle POS\text{ }=\angle ROS\text{ }+\angle ROQ\text{ }-\angle POR\text{ }+\angle ROS\]

या, \[\angle QOS\text{ }-\angle POS\text{ }=\text{ }2\angle ROS\text{ }+\angle ROQ\text{ }-\angle POR\]

या, \[\angle QOS\text{ }-\angle POS\text{ }=\text{ }2\angle ROS\text{ }+\text{ }90{}^\circ \text{ }-\text{ }90{}^\circ \] (क्योंकि \[OR\] और \[PQ\] एक दूसरे पर लम्ब हैं)

या, \[\angle QOS\text{ }-\angle POS\text{ }=\text{ }2\angle ROS\]

या, \[\frac{1}{2}(\angle QOS\text{ }-\angle POS)\text{ }=\angle ROS\]

या\[,\angle ROS\text{ }=\text{ }\frac{1}{2}(\angle QOS\text{ }-\angle POS)\]सिद्ध हुआ

6. यह दिया है कि \[\angle \mathbf{XYZ}\text{ }=\text{ }\mathbf{64}{}^\circ \]है और \[\mathbf{XY}\] को बिंदु \[\mathbf{P}\] तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण \[\mathbf{YQ},\angle \mathbf{ZYP}\] को समद्विभाजित करती है, तो \[\angle \mathbf{XYQ}\] और प्रतिवर्ती \[\angle \mathbf{QYP}\] के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया ह ऐ: \[\angle XYZ\text{ }=\text{ }64{}^\circ \]

अब, \[\angle XYZ\text{ }+\angle ZYP\text{ }=\text{ }180{}^\circ \] (एक रेखा के एक ही ओर बने कोण)

या, \[64{}^\circ \text{ }+\angle ZYP\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle ZYP\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }64{}^\circ \text{ }=\text{ }116{}^\circ \]

चूँकि, \[\angle ZYP\] को \[YQ\] समद्विभाजित करता है

इसलिए, ∠ZYQ = ∠PYQ = ½ ∠ZYP = 116°/2 = 58°

इसलिए, \[\angle XYQ\text{ }=\angle XYZ\text{ }+\angle ZYQ\text{ }=\text{ }64{}^\circ +\text{ }58{}^\circ \text{ }=\text{ }122{}^\circ \]

अब, प्रतिवर्ती \[\angle QYP\text{ }=\text{ }360{}^\circ \text{ }-\text{ }58{}^\circ \text{ }=\text{ }302{}^\circ \]

प्रश्नावली 6.2

1. दी गई आकृति में x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB||CD है।

उत्तर: यह स्पष्ट है \[\angle x\text{ }+{{50}^{{}^\circ }}\text{ }=\text{ }{{180}^{{}^\circ }}\] (कोणों का रैखिक युग्म)

या, \[x\text{ }=\text{ }{{180}^{{}^\circ }}\text{ }-\text{ }{{50}^{{}^\circ }}\text{ }=\text{ }{{130}^{{}^\circ }}\text{ }\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\left( 1 \right)\]

अब,\[\text{y }={{130}^{{}^\circ }}\]

\[\text{x= y }={{130}^{{}^\circ }}\] (एकांतर कोण गुणधर्म से )

\[AB||CD\]

2. दी गई आकृति में यदि \[\mathbf{AB}\text{ }\left| \left| \text{ }\mathbf{CD},\text{ }\mathbf{CD}\text{ } \right| \right|\text{ }\mathbf{EF}\] और \[\mathbf{y}\text{ }:\text{ }\mathbf{z}\text{ }=\text{ }\mathbf{3}\text{ }:\text{ }\mathbf{7}\]है, तो \[\mathbf{x}\] का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \[AB||CD..............\left( 1 \right)\] (दिया है )

\[CD||EF...............(2)\](दिया है )

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि

\[AB||EF................(3)\]

\[\therefore x=z...............(4)\] (एकांतर कोण )

अब \[y=3k\] तथा \[z=7k\] माना

\[AB||CD\] (दिया है )

\[\therefore x+y={{180}^{{}^\circ }}\] (एक ही ओर के अंत कोनो का योग)

अथवा \[z+y={{180}^{{}^\circ }}\]

\[\Rightarrow 7k+3k={{180}^{{}^\circ }}\]

\[\Rightarrow 10k={{180}^{{}^\circ }}\]

\[\Rightarrow k={{18}^{{}^\circ }}\]

चूंकि\[x=z\] सामी0 (4) से

\[\therefore x=7k=7\times {{18}^{{}^\circ }}={{126}^{{}^\circ }}\]

3. दी गई आकृति में यदि \[AB\text{ }||\text{ }CD,\text{ }EF\bot CD\] और \[\angle GED\text{ }=\text{ }126{}^\circ \]है, तो \[\angle AGE,\]\[\angle GEF\] और \[\angle FGE\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \[\angle GEF\text{ }=\angle GED\text{ }-\angle FED\]

या, \[\angle GEF\text{ }=\text{ }126{}^\circ \text{ }-\text{ }90{}^\circ \text{ }=\text{ }36{}^\circ \]

चूँकि \[AB\text{ }||\text{ }CD,\]

इसलिए, \[\angle EFG\text{ }=\angle FED\text{ }=\text{ }90{}^\circ \]

या, \[\angle FGE\text{ }=\text{ }180{}^\circ -\text{ }\left( 90{}^\circ \text{ }+\text{ }36{}^\circ  \right)\text{ }=\text{ }54{}^\circ \]

अब, \[\angle AGE\text{ }+\angle FGE\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }(\]कोणों का रैखिक युग्म)

या, \[\angle AGE\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }54{}^\circ \text{ }=\text{ }126{}^\circ \]

4. दी गई आकृति में यदि \[\mathbf{PQ}\text{ }||\text{ }\mathbf{ST},\angle \mathbf{PQR}\text{ }=\text{ }\mathbf{110}{}^\circ \]और \[\angle \mathbf{RST}\text{ }=\text{ }\mathbf{130}{}^\circ \]है, तो \[\angle \mathbf{QRS}\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

 एक रेखा \[AB\] जो \[PQ\] और \[ST\] के समांतर है।

अब, \[\angle RST\text{ }+\angle BRS\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

और, \[\angle PQR\text{ }+\angle ARQ\text{ }=\text{ }180{}^\circ \] (तिर्यक रेखा के एक ओर के अंत:कोणों का योग)

इसलिए, \[\angle BRS\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }130{}^\circ \text{ }=\text{ }50{}^\circ \]

\[\angle ARQ\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }110{}^\circ \text{ }=\text{ }70{}^\circ \]

यह स्पष्ट है \[\angle ARQ\text{ }+\angle QRS\text{ }+\angle BRS\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[70{}^\circ \text{ }+\angle QRS\text{ }+\text{ }50{}^\circ \text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle QRS\text{ }=\text{ }60{}^\circ \]

5. दी गई आकृति में यदि \[\mathbf{AB}\text{ }||\mathbf{CD},\angle \mathbf{APQ}\text{ }=\text{ }\mathbf{50}{}^\circ \]और \[\angle \mathbf{PRD}\text{ }=\text{ }\mathbf{127}{}^\circ \]है, तो \[\mathbf{x}\] और \[\mathbf{y}\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \[\angle BPR\text{ }+\angle PRD\text{ }=\text{ }180{}^\circ \] (तिर्यक रेखा के एक ओर के अंत:कोणों का योग)

या, \[\angle BPR\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }127{}^\circ \text{ }=\text{ }53{}^\circ \]

रेखा \[CD\] पर, \[\angle PRD\text{ }+\angle PRQ\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle PRQ\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }127{}^\circ \text{ }=\text{ }53{}^\circ \]

रेखा \[AB\] पर, \[\angle APQ\text{ }+\angle QPR\text{ }+\angle BPR\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle QPR\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }\left( 50{}^\circ \text{ }+\text{ }53{}^\circ  \right)\text{ }=\text{ }77{}^\circ \]

\[\Delta PQR\] में, \[\angle PQR\text{ }+\angle QPR\text{ }+\angle PRQ\text{ }=\text{ }180{}^\circ \] (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)

या, \[\angle PQR\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }\left( 77{}^\circ \text{ }+\text{ }53{}^\circ  \right)\text{ }=\text{ }50{}^\circ \]

या, \[x\text{ }=\text{ }50{}^\circ \]या \[y\text{ }=\text{ }77{}^\circ \]

6. दी गई आकृति में \[\mathbf{PQ}\] और \[\mathbf{RS}\] दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर रखे गए हैं। एक आपतन किरण \[\mathbf{AB}\], दर्पण \[\mathbf{PQ}\] से \[\mathbf{B}\] पर टकराती है और परावर्तित किरण पथ \[\mathbf{BC}\] पर चलकर दर्पण \[\mathbf{RS}\] से \[\mathbf{C}\] पर टकराती है तथा पुन: \[\mathbf{CD}\] के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि \[\mathbf{AB}\text{ }||\text{ }\mathbf{CD}\] है।

उत्तर:

 दिया है- \[PQ||RS\] और AB एक आपतन किरण है ,CD एक परवर्तित किरण है ।

रचना :

\[BM\bot PQ\] और \[CN\bot RS\]

\[\therefore BM||CM\] और BC एक तिर्यक रेखा है ।

\[\therefore \angle 2=\angle 3\text{ }............\left( 1 \right)\] (एकांतर अंतः कोण )

जबकि हम जानते है कि-

आपतन कोण =परावर्तन कोण ,जहां BM और CN अभिलम्ब है।

\[\therefore \angle 1=\angle 2...............\left( 2 \right)\]इसी प्रकार

\[\therefore \angle 3=\angle 4...............\left( 3 \right)\]

समीo (1) और (2)और (3) से हम पाते है।

\[\angle 1=\angle 4\text{ }.............\left( 4 \right)\]

समीo (1)और (4) को जोड़ने पर,

\[\angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4\]

\[\angle ABC=\angle BCD\] (एकांतर अंतः कोण)

इसीलिए

\[AB||CD\] 

 सिद्ध हुआ।

प्रश्नावली 8.3

1. दी गई आकृति में \[\Delta PQR\] की भुजाओं \[QP\] और \[RQ\] को क्रमश: बिंदुओं \[S\] और \[T\] तक बढ़ाया गया है। यदि \[\angle SPR\text{ }=\text{ }135{}^\circ \]है और \[\angle PQT\text{ }=\text{ }110{}^\circ \]है, तो \[\angle PRQ\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रेखा \[QS\] पर:

\[\angle QPR\text{ }+\angle SPR\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle QPR\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }135{}^\circ \text{ }=\text{ }45{}^\circ \]

रेखा \[TR\] पर, \[\angle TQP\text{ }+\angle PQR\text{ }=\text{ }180\]°

या, \[\angle PQR\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }110{}^\circ \text{ }=\text{ }70{}^\circ \]

अब इन दो कोणों की मदद से तीसरे कोण का मान इस तरह निकाला जा सकता है।

\[\angle PRQ\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }\left( 70{}^\circ \text{ }+\text{ }45{}^\circ  \right)\text{ }=\text{ }65{}^\circ \]

2. दी गई आकृति में \[\angle \mathbf{X}\text{ }=\text{ }\mathbf{62}{}^\circ \]और \[\angle \mathbf{XYZ}\text{ }=\text{ }\mathbf{54}{}^\circ \] है। यदि \[\mathbf{YO}\] और \[\mathbf{ZO}\] क्रमश: \[\mathbf{\Delta XYZ}\] के \[\angle \mathbf{XYZ}\] और \[\angle \mathbf{XZY}\] के समद्विभाजक हैं, तो \[\angle \mathbf{OZY}\] और \[\angle \mathbf{YOZ}\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \[\Delta XYZ\] में

\[\angle XYZ\text{ }+\angle YXZ\text{ }+\angle XZY\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle XZY\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }\left( 62{}^\circ \text{ }+\text{ }54{}^\circ  \right)\text{ }=\text{ }64{}^\circ \]

प्रश्न के अनुसार, \[YO\] और \[ZO\] क्रमश: कोण \[\angle XYZ\] और \[\angle XZY\] के समद्विभाजक हैं

इसलिए, \[\angle OYZ\text{ }=\frac{\text{ }1}{2}\angle XYZ\text{ }=\text{ }\frac{54}{2}\text{ }=\text{ }27{}^\circ \]

और, \[\angle OZY\text{ }=\text{ }\frac{1}{2}\angle XZY\text{ }=\text{ }\frac{64}{2}\text{ }=\text{ }32{}^\circ \]

अब, \[\Delta OYZ\] में

\[\angle YOZ\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }(\angle OYZ\text{ }+\angle OZY)\]

\[=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }\left( 27{}^\circ \text{ }+\text{ }32{}^\circ  \right)\text{ }=\text{ }121{}^\circ \]

उत्तर(\[\mathbf{32}{}^\circ \]और \[\mathbf{121}{}^\circ \])

3. दी गई आकृति में यदि \[\mathbf{AB}\text{ }||\text{ }\mathbf{DE},\angle \mathbf{BAC}\text{ }=\text{ }\mathbf{35}{}^\circ \]और \[\angle \mathbf{CDE}\text{ }=\text{ }\mathbf{53}{}^\circ \]है तो \[\angle \mathbf{DCE}\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \[\angle BAC\text{ }=\angle CED\text{ }=\text{ }35{}^\circ \] (एकांतर कोण)

\[\Delta DCE\] में, \[\angle DCE\text{ }+\angle CDE\text{ }+\angle CED\text{ }=\text{ }180{}^\circ \] (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)

इसलिए, ∠ \[DCE\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }\left( 53{}^\circ \text{ }+\text{ }35{}^\circ  \right)\text{ }=\text{ }92{}^\circ \]

4. दी गई आकृति में यदि रेखाएँ \[\mathbf{PQ}\] और \[\mathbf{RS}\] बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि \[\angle \mathbf{PRT}\text{ }=\text{ }\mathbf{40}{}^\circ ,\angle \mathbf{RPT}\text{ }=\text{ }\mathbf{95}{}^\circ \]और \[\angle \mathbf{TSQ}\text{ }=\text{ }\mathbf{75}{}^\circ \]है, तो \[\angle \mathbf{SQT}\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर\[:~\Delta PRT\] में:

\[\angle PRT\text{ }+\angle RPT\text{ }+\angle PTR\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle PTR\text{ }=\text{ }180{}^\circ \text{ }-\text{ }\left( 95{}^\circ \text{ }+\text{ }40{}^\circ  \right)\text{ }=\text{ }45{}^\circ \]

चूँकि सम्मुख कोण बराबर होते हैं:

इसलिए, \[\angle PTR\text{ }=\angle STQ\text{ }=\text{ }45{}^\circ \]

अब \[~\Delta QST\] में,

\[\angle QST\text{ }+\angle STQ\text{ }+\angle SQT\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]

या, \[\angle SQT\text{ }=\text{ }180{}^\circ \]\[-\text{ }\left( 75{}^\circ \text{ }+\text{ }45{}^\circ  \right)\text{ }=\text{ }60{}^\circ \]

5. दी गई आकृति में यदि \[\mathbf{PQ}\bot \mathbf{PS},\text{ }\mathbf{PQ}\text{ }||\text{ }\mathbf{SR},\angle \mathbf{SQR}\text{ }=\text{ }\mathbf{28}{}^\circ \] और \[\angle \mathbf{QRT}\text{ }=\text{ }\mathbf{65}\]° है, तो \[\mathbf{x}\] और \[\mathbf{y}\] के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \[PQ\text{ }||\text{ }ST\] (दिया गया है)

इसलिए, \[\angle PQR\text{ }=\angle QRT\] (एकांतर कोण)

या, \[28{}^\circ +x=65{}^\circ \]

\[x=65{}^\circ -28{}^\circ =37{}^\circ \]

\[\Delta SPQ\] में:

\[\angle SPQ+x+y=180{}^\circ \]

या, \[90{}^\circ +37{}^\circ +y=180{}^\circ \]

या, 127°+y=180°

या, \[y=180{}^\circ -127{}^\circ =53{}^\circ \]

इसलिए, \[x=37{}^\circ ,~y=53{}^\circ \]

6. दी गई आकृति में\[,\text{ }\mathbf{\Delta PQR}\] की भुजा \[\mathbf{QR}\] को बिंदु \[\mathbf{S}\] तक बढ़ाया गया है। यदि \[\angle \mathbf{PQR}\] और \[\angle \mathbf{PRS}\] के समद्विभाजक बिंदु \[\mathbf{T}\] पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि \[\angle \mathbf{QTR}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\angle \mathbf{QPR}~\] है।

उत्तर: \[\Delta PQR\] में:

\[\angle SRP\text{ }=\angle QPR\text{ }+\angle PQR\]

या, \[\frac{1}{2}\angle SRP=\frac{1}{2}\angle QPR+\frac{1}{2}\angle PQR\]

या, \[\frac{1}{2}\angle QPR=\frac{1}{2}\angle SRP-\frac{1}{2}\angle PQR\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left( 1 \right)\]

\[\Delta TQR\] में:

\[\angle SRT\text{ }=\angle QTR\text{ }+\angle TQR\]

\[\frac{1}{2}\angle SRP= \angle QTR+\frac{1}{2}\angle PQR\]

या, \[\angle QTR=\frac{1}{2}\angle SRP-\frac{1}{2}\angle PQR\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\left( 2 \right)\]

दोनों समीकरणों के RHS एक समान हैं, इसलिए हम यह लिख सकते हैं:

\[\angle QTR=\frac{1}{2}\angle QPR\]

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