NCERT Solutions for Class 9 Maths In Hindi Chapter 10 Circles

प्रश्नावली 10.1

1. खाली स्थान भरिए:

(i) वृत्त का केंद्र वृत्त के____ में स्थित है(बहिर्भाग/अभ्यंतर)।

उत्तर: वृत्त का केंद्र वृत्त के अभ्यंतर में स्थित है।

(ii) एक बिंदु जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत् के ____में स्थित है (बहिर्भाग/अभ्यंतर)।

उत्तर: एक बिंदु जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के बहिर्भाग में स्थित है।

(iii) वृत्त के सबसे बड़ी जीवा वृत्त का ____ होता है।

उत्तर: वृत्त के सबसे बड़ी जीवा वृत्त का व्यास होता है।

(iv) एक चाप ____  होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।

उत्तर: एक चाप अधिवृत्त होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।

(v) वृत्तखंड एक चाप तथा _____के बीच का भाग होता है।

उत्तर: वृत्तखंड एक चाप तथा जीवा के बीच का भाग होता है।

(vi) एक वृत्त, जिस ताल पर स्थित होता है, उसे __ भागों में विभाजित करता है।

उत्तर: एक वृत्त, जिस ताल पर स्थित होता है, उसे तीन भागों में विभाजित करता है।

2. लिखिए सत्य या असत्य। अपने उत्तर का कारण दीजिए।

(i) केंद्र को वृत्त पर किसी बिंदु से मिलने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।

उत्तर: सत्य। यह सत्य है कि किसी केंद्र  को वृत्त पर मिलने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती हैं। 

(ii) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएँ होती हैं।  

उत्तर: असत्य। एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएं नहीं  होती है क्योंकि वृत्त की जीवाएँ किसी भी लंबाई की हो सकती है। यह सत्य नहीं है।

(iii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बांट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।

उत्तर: असत्य। क्योंकि यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापो में बांट दिया जाए तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप नहीं बना होता। वह लघु चाप बनाएगा क्योंकि प्रत्येक चाप केंद्र पर 120° का कोण बनाती है। 

(iv) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लंबाई त्रिज्या से दो गुनी हो, वृत्त का व्यास है। 

उत्तर: सत्य। यह सत्य है कि वृत्त की एक जीवा जिसकी लंबाई त्रिज्या से दोगुनी हो वह वृत्त का व्यास कहलाती है।

(v) त्रिज्याखंड जीवा एवं सांगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।

उत्तर: असत्य। क्योंकि  त्रिज्याखंड जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र नहीं जीवा एवं संगत त्रिज्या के बीच का क्षेत्र होता है

(vi) वृत्त का समतल आकृति है।

उत्तर: सत्य। वृत्त का समतल आकृति होती है यह सत्य है।

प्रश्नवाली 10.2

1. याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम है, यदि उनकी त्रिज्याएँ  बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तो की बराबर त्रिज्याएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

उत्तर: 

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\[BC=QR\] दिया है

\[C(A,r)\] और  \[C(P,r)\] दो वृत्त सर्वांगसम है। दिया है

\[C(P,r)\] दिया है

हमें यह सिद्ध करना है कि, \[\angle BAC=\angle QPR\]

\[\Delta ABC\] और  \[\Delta PQR\] में,

\[BC=QR\] [दिया है]

\[AB=PQ\] सर्वांगसम वृत्तो की त्रिज्याएँ

\[AC=PR\] सर्वांगसम वृत्तो की त्रिज्याएँ

जैसा कि दिया गया है दो सर्वांगसम वृत्त है। इन वृत्तों की त्रिज्या समान है।                      

\[\Delta ABC\cong \Delta PQR\] SSS सर्वांगसम से

 \[\angle BAC=\angle QPR\] सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं

2. सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर त्रिज्याएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण पर अंतरित करें, तो जीवाएँ  बराबर होती हैं।

उत्तर:

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\[AB=AC=PQ=QR\] [सर्वांगसम वृत्तों की बराबर त्रिज्याएँ होती हैं।

C(A,r) और C(P,r) दो वृत्त सर्वांगसम है। दिया है

\[\angle BAC=\angle QPR\] दिया है

हमें यह सिद्ध करना है की, BC=QR

प्रमाण:

\[\Delta ABC\] और \[\Delta PQR\]  में,  

AB=PQ सर्वांगसम वृत्तो की त्रिज्याएँ

AC=PR सर्वांगसम वृत्तो की त्रिज्याएँ 

\[\angle BAC=\angle QPR\] दिया है

\[\Delta ABC\cong \Delta PQR\] SSS सर्वांगसम से

BC=QR सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं

 प्रश्नावली 10.3

1. वृत्तों की कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिंदु उभयनिष्ठ हैं। उभयनिष्ठ बिंदुओं को अधिकतम संख्या है।

उत्तर:

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प्रत्येक जोड़े में \[0,1\]  या  \[2\] बिंदु उभयनिष्ठ है।

उभयनिष्ठ बिंदुओ की अधिकतम संख्या  \[2\]  है।

2. मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।

उत्तर:                                    

बिंदु \[P,Q\] और \[R\]  वृत्त \[C\left( O,r \right)\] पर स्थित है। दिया है

• \[PR\] और  \[QR\]  को मिलाए और इनके लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिंदु \[O\] पर काटते हैं।

• बिंदु \[O\] को केन्द्र  माने और तथा \[OP\] त्रिज्या लेकर वृत्त बनाएं।

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 यही अभीष्ट वृत्त  है।

3. यदि दो वृत्त परस्पर दो बिंदुओं पर प्रतिष्ठित करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।

उत्तर:

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\[AB\] दो वृत्त की समान चाप है। दिया है। 

\[C(P,r)\] और \[C\left( Q,r' \right)\] दो वृत्त परस्पर दो बिंदुओ \[A\] और \[B\] पर प्रतिच्छेद करते है। दिया है

हमें यह सिद्ध करना है कि, \[P\] और \[Q\] उभयनिष्ठ जीवा \[AB\] के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।

\[AB\] वृत्त \[C\left( P,r \right)\] की जीवा है और \[PM\] जीवा \[AB\] का समद्विभाजक है।

\[PM\bot AB\] केंद्र से होकर जाने वाली और जीवा को समद्विभाजक करने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।

अतः \[\angle PMA={{90}^{\circ }}\]

\[AB\]  वृत्त \[C\left( Q,r' \right)\] की जीवा है और  \[QM\] जीवा \[AB\] का समद्विभाजक है।

इसलिए, \[QM\bot AB\] केंद्र से होकर जाने वाली और जीवा को  समद्विभाजक करने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।

अतः \[\angle QMA={{90}^{\circ }}\]

अतः \[\angle PMA+\angle QMA={{90}^{\circ }}+{{90}^{\circ }}={{180}^{\circ }}\]

\[\angle PMA\] और \[\angle QMA\] रैखिक युग्म बनाते हैं।

अतः केंद्र \[P\] और \[Q\] उभयेनिष्ठ जीवा \[AB\] के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रश्नवाली 10.4

1. \[1.5cm\] तथा \[3cm\] त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केंद्रों के बीच की दूरी \[4cm\] है। उभ्यनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।                                   

उत्तर:

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AP=5cm

AQ = 3 cm

PQ = 4 cm

\[AB=?\]

प्रत्येक बिंदु Pऔर Q,5cmऔर 3cmरहे।

PAऔर QA को मिलाए। PM जीवा का समद्विभाजक खींचे।

प्रमाण:

\[AB\] वृत्त \[C\left( P,3 \right)\] की जीवा है और \[PM\]जीवा \[AB\] का समद्विभाजक हैं।

इसलिए \[PM\bot AB\,\]                                                                                                                                  केंद्र से होकर जाने वाली और जीवा को समद्विभाजक  करने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।

\[\,\angle PMA={{90}^{\circ }}\,\,\]

माना \[PM=x\,\,\,\]इसलिए \[QM=4-x\,\]

\[\Delta APM\] में पाइथागोरस प्रमेय से,

\[AM_{{}}^{2}=AP_{{}}^{2}-PM_{{}}^{2}.....\left( 1 \right)\]

\[\Delta AQM\] में, पाइथागोरस प्रमेय से,

\[AM_{{}}^{2}=AQ_{{}}^{2}-QM_{{}}^{2}.....\left( 2 \right)\]

समीकरण  (1) और (2) से,

\[AP_{{}}^{2}-PM_{{}}^{2}=AQ_{{}}^{2}-QM_{{}}^{2}\]

\[3_{{}}^{2}-x_{{}}^{2}=5_{{}}^{2}-\left( 4-x \right)_{{}}^{2}\]

\[9-x_{{}}^{2}=25-\left( 16+x_{{}}^{2}-8x \right)\]

\[9-9=8x\]

\[x=0\]

समीकरण (1) से, 

\[A{{M}^{2}}={{3}^{2}}-{{0}^{2}}=9\]                                                                                                                                                                                          

AM=3

AB = 6

2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद्द करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा  के संगत खंडों के बराबर है।

उत्तर:

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\[O\,\] केंद्र वाले वृत्त की दो बराबर जीवाएँ \[AB\] तथा \[CD\,\] है जो एक दुसरे को बिंदू \[P\] पर प्रतिच्छेद करती है।

सिद्ध करना है: 

AP=CP और DP=BP है                                                                                             

\[OP\] को मिलाएं तथा \[OM\bot AB\,\] और \[ON\bot CD\] बनाएं।

प्रमाण:

\[\Delta OMP\] और \[\Delta ONP\] में

\[\angle OMP=\angle ONP\] प्रत्येक \[{{90}^{\circ }}\]

AP=AP उभयनिष्ठ

OM=ON वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं

\[\Delta OMP\cong \Delta ONP\] [\[RHS\] सर्वांगसमता नियम

PM=PN सर्वांगसमता त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते है

AB=CD दिया है

\[\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD \]                                                                                                                           AM=CN......(3)

(1), (2) से,

AM= PM =CN+PN

AP = CP

(2), (4) से,

AB-AP=CD-CP

PB=PD

3. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद बिंदु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओ से बराबर कोण बनाती है।               

उत्तर:

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\[O\] केंद्र वाले वृत्त की दो बराबर जीवाएँ \[AB\] तथा \[CD\] वृत्त के अंदर बिंदू \[P\] पर प्रतिच्छेद करती है।

\[P\]  को केंद्र \[O\] मिलाएं

सिद्ध करना है:  \[\angle OPM=\angle OPN\] 

\[OP\] को मिलाए तथा \[OM\bot AB\] और \[ON\bot CD\] बनाए।

\[\Delta OMP\] और \[\Delta ONP\]में,

\[\angle OMP=\angle ONP\] प्रत्येक \[{{90}^{\circ }}\]

\[AP=AP\] उभयनिष्ठ

\[OM=ON\] वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं

RHS सर्वांगसमता नियम से

\[\Delta OMP\cong \Delta ONP\] 

\[\angle OPM=\angle OPN\] सर्वांगसमता त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते है

                                                                                                                                                                                          4. यदि एक रेखा दो सकेंद्री वृत्त को (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को, जिनका केंद्र \[O\] है,  \[AB=CD\] दिया (देखिए आकृति 10.25)।

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उत्तर:

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दो सकेंद्रीय वृत्त, जिसका केंद्र \[O\,\] है \[A,B,C\] और \[\,D\] पर प्रतिच्छेद करते हैं।

 सिद्ध करना है  AB=CD

\[OM\bot AD\] बनाए

BC अंतर्वृत के जीवा है तथा \[OM\bot BC\] है।

\[BM=CM\] …..(1)   केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करते हैं

\[AM=DM\]  ………(2)  केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करते हैं

समीकरण  (1) –(2) से,     

\[AM-BM=DM-CM\]

\[AB=CD\]                                                                                                                       

5. एक पार्क में बने \[5m\] त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियां रेशमा, सलमा एवं मानदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मानदीप के पास तथा मानदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मानदीप के बीच की प्रत्येक दूरी \[6m\] हो, तो रेशमा और मानदीप के बीच की दूरी क्या है?  

उत्तर:

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\[OR=OS=5cm\]                                                                                                                         \[OR,OS,RS,RM\]और \[OM\] को मिलाया

\[OL\bot RS\] बनाइए।

प्रमाण:

\[\Delta ORS\]                                                                                                                                            \[OS=OR\] और \[OL\bot RS\] [रचना से]

\[RL=LS=3\,cm\left[ RS=6\,cm \right]\]

\[\Delta OLS\] में पाइथोगोरस प्रमेय से,

\[OL_{{}}^{2}=OS_{{}}^{2}-SL_{{}}^{2}\]                                                                                                                 \[OL_{{}}^{2}=5_{{}}^{2}-3_{{}}^{2}=25-9=16\]                                                                                                          \[OL=4\]

\[\Delta ORK\]और \[\Delta OMK\] में,

\[OR=OM\] वृत्त की त्रिज्या

\[OR=OM\]

\[\Delta ROK=\Delta MOK\]

\[OK=OK\]                                                                                                                                  \[\Delta ORK\cong \Delta OMK\]

\[RK=MK\]                 

\[OK\bot RM\]

\[\Delta ORS\] का क्षेत्रफल \[=\frac{1}{2}RS\times OL\] ……(1)

\[\Delta ORS\] का क्षेत्रफल \[=\frac{1}{2}OS\times KR\] …..(2)

समीकरण (1) और (2) से,  

\[\frac{1}{2}RS\times OL=\frac{1}{2}OS\times KR\]

\[\Rightarrow RS\times OL=OS\times KR\]                                                                                                                             \[\Rightarrow 6\times 4=5\times KR\]

\[\Rightarrow KR=4.8\]

\[\Rightarrow RM=2\times KR\]

\[\Rightarrow RM=2\times 4.8\]                                                                                                                        \[\therefore RM=9.6\,cm\]  

6.  \[20m\] त्रिज्या का एक गोल पार्क एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में खिलौना टेलिफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए। 

उत्तर:

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अंकुर की  \[A\,\] सैय्यद की  \[S\] डेविड की  \[D\]  है।\[AS=SD=DA\] है।

\[AO=DO=SO=20cm\]

\[AP\bot SD\] का रचना कीजिए।

माना \[AS=SD=DA=2x\,cm\] है।

\[\Delta ASD\] में,

\[AS=AD\] और \[AP\bot SD\] [रचना से]

\[SP=PD=x\,cm\left[ SD=2x\,cm \right]\]

 \[\Delta OPD\] में पाइथोगोरस प्रमेय से,

\[O{{P}^{2}}=O{{D}^{2}}-P{{D}^{2}}\]

\[\Rightarrow O{{P}^{2}}={{20}^{2}}-{{x}^{2}}=400-{{x}^{2}}\]                                                                                                        \[\Rightarrow OP=\sqrt{400-{{x}^{2}}}\]

\[\Delta APD\] में पाइथोगोरस प्रमेय से,

\[A{{P}^{2}}+P{{D}^{2}}=A{{D}^{2}}\]

$\Rightarrow {{(AO+OP)}^{2}}+{{x}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}$

\[\Rightarrow {{\left( 20+\sqrt{\left( 400-{{x}^{2}} \right)} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\]

\[\Rightarrow 400+400-{{x}^{2}}+40\sqrt{400-{{x}^{2}}}+{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\]

\[\Rightarrow 800+40\sqrt{400-{{x}^{2}}}=4{{x}^{2}}\]

\[\Rightarrow 200+10\sqrt{400-{{x}^{2}}}={{x}^{2}}\]

\[\Rightarrow 10\sqrt{400-{{x}^{2}}}={{x}^{2}}-200\]

दोनों ओर वर्ग करने पर, 

\[\Rightarrow 100\left( 400-{{x}^{2}} \right)={{\left( {{x}^{2}}-200 \right)}^{2}}\]

\[\Rightarrow 40000-100{{x}^{2}}={{x}^{4}}+40000-400{{x}^{2}}\]

\[\Rightarrow {{x}^{4}}-300{{x}^{2}}=0\] 

\[\Rightarrow {{x}^{2}}=300\]                                                                                                                                                  \[\therefore x=10\sqrt{3}\]                                                                                                                                                            प्रत्येक फ़ोन की डोरी की लंबाई \[=2x=2\left( 10\sqrt{3} \right)=20\sqrt{2}m\].

प्रश्नवाली 10.5

1. आकृति 10.36 में, केंद्र $O$  वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु $A,B$ और $C$ इस प्रकार हैं कि $\angle BOC=30{}^\circ $  तथा $\angle AOB=60{}^\circ $ है| यदि चाप $ABC$ के अतिरिक्त वृत्त पर $D$ एक बिंदु है तो $\angle ADC$ ज्ञात कीजिए|

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उत्तर: दिया गया है $\angle BOC=30{}^\circ $ तथा $\angle AOB=60{}^\circ $

हम जानते है कि एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर आंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर आंतरित कोण का दुगुना होता है|

$\therefore \angle AOC=2\angle ADC$  

$\Rightarrow \angle AOB+\angle BOC=2\angle ADC$

$\Rightarrow 60{}^\circ +30{}^\circ =2\angle ADC$

$\Rightarrow 2\angle ADC=90{}^\circ $

$\Rightarrow \angle ADC=\frac{90{}^\circ }{2}$

$\therefore \angle ADC=45{}^\circ $

2. किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है| जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर आंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी आंतरित कोण ज्ञात कीजिए|

उत्तर: माना एक वृत्त है जिसका केंद्र $O$ तथा त्रिज्या $OA$ तथा $OB$ है| माना $AB$ वृत्त की जीवा है जो त्रिज्या $OA$ तथा $OB$ के बराबर है|

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अत: $\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज होगा|

हम जानते है समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान $60{}^\circ $ होता है|

अत: $\angle AOB=60{}^\circ $ 

हम जानते है कि एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर आंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर आंतरित कोण का दुगुना होता है|

$\therefore \angle AOB=2\angle APB$ 

$\Rightarrow 2\angle APB=60{}^\circ $

\[\Rightarrow \angle APB=\frac{60{}^\circ }{2}\]

$\Rightarrow \angle APB=30{}^\circ $
अत: जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर आंतरित कोण \[30{}^\circ \] है|

चूँकि $APBQ$ एक चक्रीय चतुर्भुज है और चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180{}^\circ $ होता है|

इसलिये 

\[\Rightarrow \angle APB+\angle AQB=180{}^\circ \]

\[\Rightarrow 30{}^\circ +\angle AQB=180{}^\circ \]

\[\Rightarrow \angle AQB=180{}^\circ -30{}^\circ \]

\[\Rightarrow \angle AQB=150{}^\circ \]

अत: जीवा द्वारा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर आंतरित कोण \[150{}^\circ \] है|

3. आकृति 10.37 में, $\angle PQR=100{}^\circ $ है, जहाँ $P,Q$ तथा $R$, केंद्र $O$ वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु है| $\angle OPR$ ज्ञात कीजिए|

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उत्तर: दिया है $\angle PQR=100{}^\circ $ 

हम जानते है कि एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर आंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर आंतरित कोण का दुगुना होता है|

$\therefore \angle POR=2\angle PQR$ 

$\Rightarrow \angle POR=2\times 100{}^\circ $

$\Rightarrow \angle POR=200{}^\circ $

हम जानते है कि वृत्त के सभी कोणों का योग $360{}^\circ $ होता है|

अत: $\angle POR=360{}^\circ -200{}^\circ $ 

$\Rightarrow \angle POR=160{}^\circ $

$\Delta POR$ में, 

$PO=RO$ (एक ही वृत्त की त्रिज्या) 

$\therefore \angle OPR=\angle ORP$ 

हम जानते है त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180{}^\circ $ होता है|

अत: $\angle OPR+\angle ORP+\angle POR=180{}^\circ $ 

$\Rightarrow \angle OPR+\angle OPR+160{}^\circ =180{}^\circ $

$\Rightarrow 2\angle OPR=180{}^\circ -160{}^\circ $

$\Rightarrow 2\angle OPR=20{}^\circ $

$\Rightarrow \angle OPR=\frac{20{}^\circ }{2}$

\[\therefore \angle OPR=10{}^\circ \]

4. आकृति 10.38 में, $\angle ABC=69{}^\circ $ और $\angle ACB=31{}^\circ $ हो, तो $\angle BDC$ ज्ञात कीजिए| 

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उत्तर: दिया गया है $\angle ABC=69{}^\circ $ और $\angle ACB=31{}^\circ $

$\Delta ABC$ में,

हम जानते है त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180{}^\circ $ होता है|

अत: $\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180{}^\circ $ 

$\Rightarrow 69{}^\circ +31{}^\circ +\angle BAC=180{}^\circ $

$\Rightarrow 100{}^\circ +\angle BAC=180{}^\circ $

$\Rightarrow \angle BAC=180{}^\circ -100{}^\circ $

\[\therefore \angle BAC=80{}^\circ \]

हम जानते है कि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते है 

इसलिये \[\angle BAC=\angle BDC\]

\[\therefore \angle BDC=80{}^\circ \]

5. आकृति 10.39 एक वृत्त पर तीन बिंदु $A,B,C$ और $D$ चार बिंदु हैं| $AC$ और $BD$ एक बिंदु $E$ पर इस प्रकार प्रतिछेद करते हैं कि \[\angle BEC=130{}^\circ \] तथा $\angle ECD=20{}^\circ $ है| $\angle BAC$ ज्ञात कीजिए|

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उत्तर: दिया है $\angle BEC=130{}^\circ $ और $\angle ECD=20{}^\circ $

चूँकि $BED$ एक सरल रेखा है और रैखिक युग्म कोणों का योग $180{}^\circ $ होता है|

अत: $\angle BEC+\angle CED=180{}^\circ $ 

$\Rightarrow 130{}^\circ +\angle CED=180{}^\circ $

$\Rightarrow \angle CED=180{}^\circ -130{}^\circ $

\[\therefore \angle CED=50{}^\circ \]

हम जानते है कि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते है|

इसलिये \[\angle BAC=\angle CED\]

\[\therefore \angle BAC=50{}^\circ \]

6. $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिंदु $E$ पर प्रतिछेद करते हैं| यदि $\angle DBC=70{}^\circ $ और $\angle BAC=30{}^\circ $ हो, तो $\angle BCD$ ज्ञात कीजिए| पुन: यदि $AB=BC$ हो, तो $\angle ECD$ ज्ञात कीजिए|

उत्तर: दिया है $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है|

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हम जानते है कि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते है|

अत: $\angle BAC=\angle BDC$ 

दिया है $\angle BAC=30{}^\circ $, $\angle DBC=70{}^\circ $  

इसलिये $\angle BDC=30{}^\circ $

$\Delta BDC$ में,

हम जानते है त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180{}^\circ $ होता है|

अत: $\angle BDC+\angle DBC+\angle BCD=180{}^\circ $ 

$\Rightarrow 30{}^\circ +70{}^\circ +\angle BCD=180{}^\circ $

$\Rightarrow 100{}^\circ +\angle BCD=180{}^\circ $

$\Rightarrow \angle BCD=180{}^\circ -100{}^\circ $

\[\therefore \angle BCD=80{}^\circ \]

$AB=BC$ [दिया है]

अत: $\angle BAC=\angle BCA$ 

$\angle BAC=30{}^\circ $ [दिया है]

$\therefore \angle BCA=30{}^\circ $ 

$\Rightarrow \angle ECB=30{}^\circ $ 

\[\therefore \angle BCD=80{}^\circ \]

$\Rightarrow \angle ECB+\angle ECD=80{}^\circ $

$\Rightarrow 30{}^\circ +\angle ECD=80{}^\circ $

$\Rightarrow \angle ECD=80{}^\circ -30{}^\circ $

$\therefore \angle ECD=50{}^\circ $

अत: $\angle ECD=50{}^\circ $ और \[\angle BCD=80{}^\circ \] है|

7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है|  

उत्तर: माना $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है| जिसके विकर्ण $AC$ तथा $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिछेद करते है|

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$\Delta AOB$ तथा $\Delta COD$ में,

$OA=OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याये)

$OB=OD$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याये)

$\angle AOB=\angle COD$ (शिर्शभिमुख कोण)  

अत: $\Delta AOB\cong \Delta COD$ (SAS सर्वांगसमता नियम से)

$\therefore AB=CD$ 

और $\angle BAO=\angle DCO$ 

अत: $AB\parallel CD$

अत: हम कह सकते है कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है|

$BD$ वृत्त का विकर्ण है और हम जानते है कि अर्धवृत्त में बना कोण $90{}^\circ $ होता है,

इसलिये $\angle A=90{}^\circ ,\angle C=90{}^\circ $ 

समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण समकोण हो आयत कहलाता है|

अत: $ABCD$ एक आयत है| 

8. यदि एक समलम्ब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है| 

उत्तर: माना $ABCD$ एक समलम्ब है जिसमें $AB\parallel CD$ और $AD=BC$ है|

(Image will be uploaded soon)

$\Delta ACD$ तथा $\Delta BDC$ में,

$AD=BC$ (दिया है)

$DC=DC$

$\angle DAC=\angle CBD$ (एक ही वृत्तखंड में बने कोण)  

अत: $\Delta ACD\cong \Delta BDC$ (SAS सर्वांगसमता नियम से)

$\therefore \angle D=\angle C$ 

दिया है $AB\parallel CD$

हम जानते है कि आसन्न कोणों का योग $180{}^\circ $ होता है|

अत: $\angle A+\angle D=180{}^\circ $

$\therefore \angle A+\angle C=180{}^\circ $

अत: $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है|

9.  दो वृत्त दो बिंदुओं $B$ और $C$ पर प्रतिछेद करते हैं| $B$ से जाने वाले दो रेखखंड $ABD$ और $PBQ$ वृत्तों को $A,D$ और $P,Q$ पर क्रमश: प्रतिछेद करते हुए खींचें गये हैं (देखिए आकृति 10.40)| सिद्ध कीजिए कि $\angle ACP=\angle QCD$ है| 

(Image will be uploaded soon)

उत्तर: हम जानते है कि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते है|

अत: $\angle ABP=\angle ACP$ …….(1)

$\angle ABP=\angle QBD$ ………(2) (शिर्शाभिमुख कोण)

समीकरण (1) तथा (2) से,

$\angle ACP=\angle QBD$ ….(3)

$\angle QCD=\angle QBD$ ……..(4) [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]

समीकरण (3) तथा (4) से,

$\therefore \angle ACP=\angle QCD$

10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचें जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिछेद बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित है| 

उत्तर: माना $ABC$ एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं $AB$ तथा $AC$ को व्यास मानकर दो वृत्त खींचें गये है| $AD$ उभयनिष्ठ जीवा है|

(Image will be uploaded soon)

$O$ केंद्र वाले वृत्त का व्यास $AB$ है|

हम जानते है कि अर्धवृत्त में बना कोण $90{}^\circ $ होता है,

इसलिये $\angle ADB=90{}^\circ $ ….(1)

$O'$ केंद्र वाले वृत्त का व्यास $AC$ है|

हम जानते है कि अर्धवृत्त में बना कोण $90{}^\circ $ होता है,

इसलिये $\angle ADC=90{}^\circ $ …….(2)

समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,

$\angle ADB+\angle ADC=90{}^\circ +90{}^\circ $

$\Rightarrow \angle ADB+\angle ADC=180{}^\circ $

अत: $BDC$ एक सरल रेखा है, जिसपर एक बिंदु $D$ स्थित है|

अत: सिद्ध होता है कि यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचें जाएँ, तो इन वृत्तों का प्रतिछेद बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित होता है|

11. उभयनिष्ठ कर्ण $AC$ वाले दो समकोण त्रिभुज $ABC$ और $ADC$ हैं| सिद्ध कीजिए कि $\angle CAD=\angle CBD$ है|

उत्तर: माना दो समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ तथा $\Delta ADC$ उभयनिष्ठ कर्ण $AC$ पर खींचें गये है| 

(Image will be uploaded soon)

अत: $\angle ADC=90{}^\circ $ और $\angle ABC=90{}^\circ $

हम जानते है कि अर्धवृत्त में बना कोण $90{}^\circ $ होता है| वृत्त का व्यास $AC$ है तथा एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते है|

अत: $\angle CAD=\angle CBD$ 

सिद्ध हुआ|

12. सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है| 

उत्तर: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है|

(Image will be uploaded soon)

$BD$ वृत्त का विकर्ण है और हम जानते है कि अर्धवृत्त में बना कोण $90{}^\circ $ होता है,

इसलिये $\angle A=90{}^\circ ,\angle C=90{}^\circ $ 

समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण समकोण हो आयत कहलाता है|

अत: $ABCD$ एक आयत है|

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