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NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 - In Hindi

Last updated date: 12th Jul 2024
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NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem in Hindi PDF Download

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Competitive Exams after 12th Science

Access NCERT Solutions for Mathematics Chapter ८:द्विपद प्रमेय

प्रश्नावली 8.1

1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार कीजिए। 

1. $\mathbf{(1-2 x)^{5}}$

उत्तर: $(1-2 x)^{5}$

$={ }^{5} C_{0}(1)^{5}-{ }^{5} C_{1}(1)^{4}(2 x)+{ }^{5} C_{2}(1)^{3}(2 x)^{2}-{ }^{5} C_{3}(1)^{2}(2 x)^{3}+{ }^{5} C_{4}(1)(2 x)^{4}-{ }^{5} C_{5}(2 x)^{5}$

$=1-5(2 x)+10\left(4 x^{2}\right)-10\left(8 x^{3}\right)+5\left(16 x^{4}\right)-32 x^{5}$

$=1-10 x+40 x^{2}-80 x^{3}+80 x^{4}-32 x^{5}$

2. $\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2}\right)^{5}$

उत्तर : $\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2}\right)^{5}$

$=^{5} C_{0}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{5}-{ }^{5} C_{1}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{4}\left(\dfrac{x}{2}\right)+{ }^{5} C_{2}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}-{ }^{5} C_{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{3}+{ }^{5} C_{4}\left(\dfrac{2}{x}\right)\left(\dfrac{x}{2}\right)^{4}-{ }^{5} C_{5}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{5}$


$=\dfrac{32}{x^{5}}-\dfrac{40}{x^{3}}+\dfrac{20}{x}-5 x+\dfrac{5}{8} x^{3}-\dfrac{x^{5}}{32}$

3. $\mathbf{(2 x-3)^{6}}$

उत्तर : $(2 x-3)^{6}$

$={ }^{6} C_{0}(2 x)^{6}-{ }^{6} C_{1}(2 x)^{5}(3)+{ }^{6} C_{2}(2 x)^{4}(3)^{2}-{ }^{6} C_{3}(2 x)^{3}(3)^{3}+{ }^{6} C_{4}(2 x)^{2}(3)^{4}-{ }^{6} C_{5}(2 x)(3)^{5}+{ }^{6} C_{6}(3)^{6}$

$=64 x^{6}-6\left(32 x^{5}\right)(3)+15\left(16 x^{4}\right)(9)-20\left(8 x^{3}\right)(27)+15\left(4 x^{2}\right)(81)-6(2 x)(243)+729$

$=64 x^{6}-576 x^{5}+2160 x^{4}-4230 x^{3}+4860 x^{2}-2916 x+729$

4. $\mathbf{\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x}\right)^{5}}$

उत्तर : $\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x}\right)^{5}$

$=C_{0}\left(\dfrac{x}{3}\right)^{5}+{ }^{5} C_{1}\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4}\left(\dfrac{1}{x}\right)+{ }^{5} C_{2}\left(\dfrac{x}{3}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}+{ }^{5} C_{3}\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{3}+n^{5} C_{4}\left(\dfrac{x}{3}\right)\left(\dfrac{1}{x}\right)^{4}+{ }^{5} C_{5}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{5}$


$=\dfrac{x^{5}}{243}+\dfrac{5 x^{2}}{81}+\dfrac{10}{27}+\dfrac{10}{9 x}+\dfrac{5}{3 x^{3}}+\dfrac{1}{x^{5}}$

5. $\mathbf{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{6}}$

उत्तर : $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{6}$

$={ }^{6} C_{0}(x)^{6}+{ }^{6} C_{1}(x)^{5}\left(\dfrac{1}{x}\right)+{ }^{6} C_{2}(x)^{4}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}+{ }^{6} C_{3}(x)^{3}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{3}+n^{6} C_{4}(x)^{2}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{4}+{ }^{6} C_{5}(x)\left(\dfrac{1}{x}\right)^{5}+{ }^{6} C_{6}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{6}$


$=x^{6}+6 x^{4}+15 x^{2}+20+\dfrac{15}{x^{2}}+\dfrac{6}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{6}}$

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्रलिखित का मान ज्ञात कीजिए।

6. $\mathbf{(96)^{3}}$

उत्तर : $(96)^{3}$


$=^{3} C_{0}(100)^{3}-{ }^{3} C_{1}(100)^{2}(4)+{ }^{3} C_{2}(100)(4)^{23} C_{3}(4)^{3}$




7. $\mathbf{(102)^{5}}$

उत्तर : $(102)^{5}$


$=^{5} C_{0}(100)^{5}+{ }^{5} C_{1}(100)^{4}(2)+{ }^{5} C_{2}(100)^{3}(2)^{2}+{ }^{5} C_{3}(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_{4}(100)(2)^{4}+{ }^{5} C_{5}(2)^{5}$




8. $\mathbf{(101)^{4}}$

उत्तर :  $(101)^{4}$


$={ }^{4} C_{0}(100)^{4}+{ }^{4} C_{1}(100)^{3}(1)+{ }^{4} C_{2}(100)^{2}(1)^{2}+{ }^{4} C_{3}(100)(1)^{3}+{ }^{4} C_{4}(1)^{4}$




9. $\mathbf{(99)^{5}}$

उत्तर : $(99)^{5}$


$={ }^{5} C_{0}(100)^{5}-{ }^{5} C_{1}(100)^{4}(1)+{ }^{5} C_{2}(100)^{3}(1)^{2}-{ }^{5} C_{3}(100)^{2}(1)^{3}+{ }^{5} C_{4}(100)(1)^{4}-{ }^{5} C_{5}(1)^{5}$





10. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है $(1.1)^{10000}$ या 1000 ।

उत्तर : $(1.1)^{10000}$


$=1^{10000}+{ }^{10000} C_{1}(1)^{9999}(0.1)^{1}$

$=1+10000(0.1)+\ldots \ldots$

$=1001+\ldots$ .

स्पष्ट है कि, $(1.1)^{10000}$ संख्या 1000 से बड़ी है।

11: $\mathbf{(a+b)^{4}-(a-b)^{4}}$ का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके $\mathbf{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{4}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर : $(a+b)^{4}-(a-b)^{4}$

$(a+b)^{4}={ }^{4} C_{0}(a)^{4}+{ }^{4} C_{1}(a)^{3}(b)+{ }^{4} C_{2}(a)^{2}(b)^{2}+{ }^{4} C_{3}(a)(b)^{3}+{ }^{4} C_{4}(b)^{4}$

$(a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}$

$(a-b)^{4}={ }^{4} C_{0}(a)^{4}-{ }^{4} C_{1}(a)^{3}(b)+{ }^{4} C_{2}(a)^{2}(b)^{2}-{ }^{4} C_{3}(a)(b)^{3}+{ }^{4} C_{4}(b)^{4}$

$(a-b)^{4}=a^{4}-4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}-4 a b^{3}+b^{4}$

$(a+b)^{4}-(a-b)^{4}=2\left(4 a^{3} b+4 a b^{3}\right)$

$=8 a b\left(a^{2}+b^{2}\right)$

$a=\sqrt{3} b=\sqrt{2}$





$=40 \sqrt{6}$

12: $\mathbf{(x+1)^{6}+(x-1)^{6}}$ का मान ज्ञात कीजिए । इसका प्रयोग करके या अन्यथा $\mathbf{(\sqrt{2}+1)^{6}-(\sqrt{2}-1)^{6}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर : $(x+1)^{6}+(x-1)^{6}(x+1)^{6}$

$={ }^{6} C_{0}(x)^{6}+{ }^{6} C_{1}(x)^{5}(1)+{ }^{6} C_{2}(x)^{4}(1)^{2}+{ }^{6} C_{3}(x)^{3}(1)^{3}+{ }^{6} C_{4}(x)^{2}(1)^{4}+{ }^{6} C_{5}(x)(1)^{5}+{ }^{6} C_{6}(1)^{6}(x+1)^{6}$

$=x^{6}+6 x^{5}+15 x^{4}+20 x^{3}+15 x^{2}+6 x+1(x-1)^{6}$

$={ }^{6} C_{0}(x)^{6}-{ }^{6} C_{1}(x)^{5}(1)+{ }^{6} C_{2}(x)^{4}(1)^{2}-{ }^{6} C_{3}(x)^{3}(1)^{3}+{ }^{6} C_{4}(x)^{2}(1)^{4}-{ }^{6} C_{5}(x)(1)^{5}+{ }^{6} C_{6}(1)^{6}(x-1)^{6}$

$=x^{6}-6 x^{5}+15 x^{4}-20 x^{3}+15 x^{2}-6 x+1(x+1)^{6}+(x-1)^{6}$

$=2\left(x^{6}+15 x^{4}+15 x^{2}+1\right) x$



$=2[8+15 \times 4+15 \times 2+1]$


$=2 \times 99$


13: दिखाइए कि $\mathbf{9^{(n+1)}-8 n-9,64}$ से विभाज्य है जहाँ $n$ एक धान पूर्णांक है। 

उत्तर: $(1+x)^{n+1}$

$=1+{ }^{n+1} C_{1} x+{ }^{n+1} C_{2} x^{2}+{ }^{n+1} C_{3} x^{3}+\ldots x$

$=8,9^{n+1}=1+(n+1) 8+{ }^{n+1} C_{2}(64)+{ }^{n+1} C_{3}(8)^{3}+\ldots .$

$=8 n+9+{ }^{n+1} C_{2}(64)+{ }^{n+1} C_{3}(8)^{3}+\ldots$

$9^{n+1}-8 n-9=64\left({ }^{n+1} C_{2}+{ }^{\mathrm{n}+1} C_{3}(8)+\ldots \ldots\right)$

अत: $9^{n+1}-8 n-9$, संख्या 64 से विभाजित है।

14: सिद्ध कीजिए कि $\mathbf{\sum_{r=0}^{n} 3^{r^{n}} C_{r}=4^{n}}$

उत्तर : $\sum_{r=0}^{n} 3^{r^{n}} C_{r}$

$=(3)^{0 n} C_{0}+(3)^{\ln } C_{1}+(3)^{2 n} C_{2}+\ldots \ldots+(3)^{\mathrm{m}} C_{n}$



प्रश्नावली $8.2$

1. $(x+3)^{8}$ में $x^{5}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर : $(x+3)^{8}$ के द्विपदीय विस्तार है ${ }_{r}^{8} C x^{(8-r)} 3^{r}$, इसलिये $x^{5}=x^{8-r}$

दोनों पक्षों को बराबर करना, $5=8-r$

$\therefore \mathrm{r}=3$

$x^{5}$ का गुणांक है ${ }_{r}^{8} C .3^{r}={ }_{3}^{8} C .3^{3}=\dfrac{8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times e} \times 27$

$=56 \times 27$


2. $(a-2 b)^{12}$ में $a^{5} b^{7}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $(a-2 b)^{12}$ के द्विपदीय विस्तार है ${ }_{r}^{2} C a^{12-r}(-2 b)^{r}$

$={ }_{r}^{12} C a^{12-r}(-1)^{r} 2^{r} b^{r}$

इसलिये $b^{7}=b^{r}$

$\therefore r=7$ $(\therefore r=7$ रखने पूर $)$ $={ }_{7}^{12} C a^{12-7}(-1)^{7} 2^{7} b^{7}$

$=a^{5} b^{712} C(-1)^{7} 2^{7}$

$a^{5} b^{7}$ का गुणांक है, ${ }_{7}^{12} C(-1)^{7} 2^{7}=-\dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} \times 128$ $=-101376$

3. $\mathbf{\left(x^{2}-y\right)^{6}}$ के द्विपद विस्तार में सामान्य शब्द लिखें| 

उत्तर: $\left(x^{2}-y\right)^{6}$ के द्विपदीय विस्तार है ${ }_{r}^{6} C\left(x^{2}\right)^{6-r}(-y)^{r}$

$={ }_{r}^{6} C x^{12-2 r}(-1)^{r}(y)^{r}$

4. $\mathbf{\left(x^{2}-x y\right)^{12}}$ के द्विपदीय विस्तार में सामान्य शब्द लिखें| 

उत्तर: $\left(x^{2}-x y\right)^{12}$ के द्विपदीय विस्तार है ${ }^{12} C\left(x^{2}\right)^{12-r}(-y x)^{r}$

$={ }_{r}^{12} C x^{24-2 r}(-1)^{r}(y)^{r}(x)^{r}$

$=^{12} C x^{24-r}(-1)^{r}(y)^{r}$

5. $\mathbf{(x-2 y)^{12}}$ का चौथा शब्द द्विपद विस्तार में लिखें| 

उत्तर : $(x-2 y)^{12}$ का चौथा शब्द है

$=T_{3+1}={ }_{3}^{12} C x^{12-3}(-2 y)^{3}$

$=\dfrac{12 \times 11 \times 10}{1 \times 2 \times 3} x^{9}(-1)^{3} 2^{3} y^{3}$

$=-220 \times 8 \times x^{9} y^{3}$

$=-1760 x^{9} y^{3}$

6. $\mathbf{\left(9 x-\dfrac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}}$ के द्विपद विस्तार में 13 वां शब्द लिखें| 

उत्तर : $\left(9 x-\dfrac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}$ का 13 वां शब्द है,

$T_{12+1}=_{12}^{18} C(9 x)^{18-12}\left(-\dfrac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{12}$

$={ }_{12}^{18} C 9^{6} x^{6} \dfrac{(-1)^{12}}{3^{12}(\sqrt{x})^{12}}$

$=\dfrac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6} \times \dfrac{3^{12} \cdot x^{6}}{3^{12} \cdot x^{6}}$


7. $\left(3-\dfrac{x^{3}}{6}\right)^{7}$ के द्विपदीय विस्तार में मध्य अवधि का पता लगाएं।

उत्तर : $\left(3-\dfrac{x^{3}}{6}\right)^{7}$ में $7+1=8$ पद है

पहला मध्य पद, $T_{4}=T_{3+1}=\dfrac{8}{2}=4$ वां पद है,

${ }_{3}^{7} C 3^{7-3}\left(-\dfrac{x^{3}}{6}\right)^{3}$

$=\dfrac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3} 3^{4}(-1)^{3} \dfrac{x^{9}}{6^{3}}$

$=-35 \dfrac{3^{4} x^{9}}{2^{3} 3^{3}}$

$=-\dfrac{35.3 \cdot x^{9}}{8}$

$=-\dfrac{105 x^{9}}{8}$

दूसरा मध्य पद, $T_{5}=T_{4+1}=(4+1)=5$ वां पद है,

${ }_{4}^{7} C 3^{7-4}\left(-\dfrac{x^{3}}{6}\right)^{4}$

$=\dfrac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3} 3^{3}(-1)^{4} \dfrac{x^{12}}{6^{4}}$

$=\dfrac{35 \cdot x^{12}}{16 x 3}$

$=\dfrac{35}{48} x^{12}$

8. $\mathbf{\left(\dfrac{x}{3}+9 y\right)^{10}}$ के द्विपदीय विस्तार में मध्य अवधि का पता लगाएं।

उत्तर : $\left(\dfrac{x}{3}+9 y\right)^{10}$ में $10+1=11$ पद है

मध्य पद $=\dfrac{11+1}{2}=6$ वां पद है,

$={ }_{5}^{0} C\left(\dfrac{x}{3}\right)^{5}(9 y)^{5}$

$=\dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} \times \dfrac{x^{5}}{3^{5}} 9^{5} y^{5}$

$=252 \times \dfrac{3^{10}}{3^{5}} x^{5} y^{5}$

$=252 \times 243 x^{5} y^{5}$

$=61236 x^{5} y^{5}$

9. $\mathbf{(1+a)^{m+n}}$ के विस्तार में, सिद्ध कीजिए कि $a^{m}$ और $a^{n}$ के गुणांक बराबर हैं।

उत्तर : $(1+a)^{m+n}$ का सामान्य विस्तार

$={ }^{m+n}{ }_{r} C l^{m+n-r} x^{r}={ }^{m+n} r C x^{r}$


$T_{m+1}={ }^{m+n}{ }_{m} C x^{m}, a^{m}$ का गुणांक है $=\dfrac{m+n}{m} C=\dfrac{(m+n) !}{m ! n !}$ 

$T_{n+1}={ }^{m+n}{ }_{n} C x^{n}, a^{n}$ का गुणांक है $=^{m+n} n C=\dfrac{(m+n) !}{m ! n !}$

अत: $a^{m}$ और $a^{n}$ के गुणांक बराबर हैं।

10. $(x+1)^{n}$ के प्रसार में $(r-1)$ वां, $r$ वां और $(r+1)$ वे पदों के गुणांक में $1: 3: 5$ का अनुपात हो तोह $n$ और $r$ के मान ज्ञात करें।

$T_{r+1}={ }_{r}^{n} C x^{n-r}$

उत्तर : $(x+1)^{n}$ का सामान्य विस्तार ${ }_{r}^{n} C x^{(n-r)} 1=_{r}^{n} C x^{(n-r)}$

$T_{r-1}={ }_{r-2}^{n} C x^{n-r+2}$

$(r-1)$ th का गुणांक है $r={ }^{n} C T_{r-1}=r-2^{n} C x^{n-r+2} \ldots(i)$

$r$ वां का गुणांक है, $r_{r-2}^{n} C T_{r}={ }_{r-1}^{n} C x^{n-r+1} \ldots(ii)$ $(r+1)$ का गुणांक है, $r_{r-1}^{n} C$...(iii)

$(i)$ और $(ii)$ से:

$\dfrac{r-2^{n} C}{r^{\prime}-1 C}=\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{n !}{\dfrac{(r-2) !(n-r+2) !}{n !}}{\dfrac{1}{3}}$

${\dfrac{(r-1) !(n-r+1) !}{}}{(r-2) !(n-r+2)(n-r+1) !}=\dfrac{1}{3}$

$(ii)$ और $(iii)$ से


$\Rightarrow>3 r-3=n-r+2$

$\Rightarrow n=4 r-5 \ldots(i v)$

$(iv)$ और $(v)$ से

$8 r=3(4 r-5)+3$

$8 r=12 r-5+3$


$\therefore n=4 \times 3-5=7$

11. सिद्ध कीजिये कि $(1+x)^{2} n$ के प्रसार में $x^{n}$ का गुणांक $(1+x)^{(2 n-1)}$ के प्रसार में $x^{n}$ का गुणांक का दोगुना है।

उत्तर : $(1+x)^{2} n$ लिखा जा सकता है ${ }_{r}^{2 n} C x^{r}$

$T_{n+1}={ }_{n}^{2 n} C x^{n}=\dfrac{(2 n) !}{n ! n !}=\dfrac{2 n(2 n-1) !}{n(n-1) n !}=2 \cdot \dfrac{(2 n-1) !}{(n-1) ! n !} \ldots(i)$

$(1+\mathrm{x})^{2 n-1}$ लिखा जा सकता है ${ }^{2 n-1}{ }_{r} C x^{r}$

$T_{n+1}=^{2 n-1} n C x^{n}=\dfrac{(2 n-1) !}{n !(n-1) !}=\dfrac{(2 n-1) !}{(n-1) ! n !} \ldots(ii)$

$(i)$ और $(ii)$ से

$x^{n}$ का गुणांक $(1+x)^{2} n$ के प्रसार में $(1+x)^{(2 n-1)}$ के प्रसार का दोगुना है।

12. $m$ का सकारात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(1+x)^{m}$ के विस्तार में $x^{2}$ का गुणांक 6 है।

उत्तर : $(1+x)^{m}$ लिखा जा सकता है ${ }_{r}^{m} C x^{r}$

$T_{3}=T_{2+1}={ }_{2}^{m} C x^{2}$

इसलिये $x^{2}$ का गुणांक है ${ }_{2} C=\dfrac{m !}{2 !(m-2) !}=\dfrac{m(m-1)}{2}$

प्रश्र के अनुसार $\dfrac{m(m-1)}{2}=6$



$m^{2}-4 m+3 m-12=0$



चंकि $m$ एक धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए $m \neq-3$

इसलिए $m=4$

प्रश्नावली $A 8$

1. यदि $(a+b)^{n}$ के प्रसार में प्रथम तौन पद क्रमश: 729,7290 तथा 30375 हों तो $a, b$ और $n$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर : यह ज्ञात है कि $(r+1)$ टर्म, $\left(T_{r+1}\right),(a+b)^{n}$ के द्विपद विस्तार के द्वारा

$\mathrm{T}_{\mathrm{r}+1}={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{r} \mathrm{a}^{\mathrm{n-t}} \mathrm{b}^{\mathrm{r}}$

पहले तीन पद क्रमशः 729,30375 और 7290 के रूप में दिए गए हैं। इसलिए हमने प्राप्त किया

$T_{2}={ }^{n} C_{2} a^{n-2} b^{2}=\dfrac{n(n-1)}{2} a^{n-2} b^{2}=30375 \ldots . .(3)$

(2) को (1) से विभाजित करके हमे प्राप्त हुआ

$\dfrac{n a^{n-1} b}{a^{n}}=\dfrac{7290}{729}$

$\Rightarrow \dfrac{n b}{a}=10 \ldots \ldots$

(3) को (2) से विभाजित करके हमे प्राप्त हुआ

$\Rightarrow \dfrac{n(n-1) a^{n-2} b^{2}}{2 n a^{n-1} b}=\dfrac{30375}{7290}$

$\Rightarrow \dfrac{n(n-1) b}{2 a}=\dfrac{30375}{7290}$

$\Rightarrow \dfrac{(n-1) b}{a}=\dfrac{30375 * 2}{7290}=\dfrac{25}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{n b}{a}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{23}{3}$

$\Rightarrow 10-\dfrac{b}{a}=\dfrac{25}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{b}{a}=10-\dfrac{25}{3}=\dfrac{5}{3}$

(4) और (5) हमे प्राप्त हुआ

$\dfrac{n 5}{3}=10$

$\Rightarrow n=6$

$n=6$ को (1) में रखकर हमे प्राप्त हुआ $a^{6}$

$=739$ $\Rightarrow a=\sqrt[6]{729}=3$

2. यदि $(3+a x)^{9}$ के प्रसार में $x^{3}$ तथा के गुणांक समान हों, $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर : यह ज्ञात है कि $(\mathrm{r}+1)^{\operatorname{th}}$ पद, $\left(T_{r+1}\right),(a+b)^{n}$ के द्विपद विस्तार के द्वारा दिया जाता है

$T_{r+1}={ }^{n} C_{r} d^{-\tau} b^{\prime}$

यह मानते हुए कि $x^{2},(r+1)^{\hbar},(3+c x)^{9}$ के विस्तार में होता है, हम प्राप्त करते हैं

$\mathrm{T}_{t+1}={ }^{n} \mathrm{C}_{r}(3)^{2 r}(\mathrm{ax})^{r}={ }^{n} \mathrm{C}_{r}(3)^{-1-1}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{T}} \mathrm{x}^{\prime}\right)$

$x^{2}$ और $\mathrm{T}_{\mathrm{r}+1}$ में हम $\mathrm{x}$ के सूचकांकों की तुलना करते हैं $\mathrm{r}=2$

इस प्रकार, $x^{2}$ का गुणांक है

${ }^{9} C_{2}(3)^{9-2} a^{2}=\dfrac{9 !}{2 ! 7 !}(3)^{7} a^{2}=36(3)^{7} a^{2}$

मान लें कि $(3+a x)^{9}$ के विस्तार में $x^{2},(k+1)^{\|}$ टर्म होता है, तो हम प्राप्त करते हैं

$T_{k+1}={ }^{n} C_{k}(3)^{9-k}(a x)^{k}={ }^{n} C_{k}(3)^{9-k}\left(d x^{\prime}\right)$

$x^{3}$ और $T_{k+1}$ में $x$ के सूचकांकों की तुलना में, हम $k=3$ प्राप्त करते हैं इस प्रकार, $x^{3}$ का गुणांक है

${ }^{9} C_{3}(3)^{n-3} a^{3}=\dfrac{9 !}{3 ! 6 !}(3)^{6} a^{3}=84(3)^{6} a^{3}$

यह दिया है कि $x^{2}$ और $x^{3}$ का गुणांक समान है

$84(3)^{6} a^{3}=36(3)^{7} a^{2}$

$\Rightarrow 84 a=36^{\prime} 3$

$\Rightarrow a=\dfrac{36^{*} 3}{84}=\dfrac{104}{84}$

$\Rightarrow a=\dfrac{9}{7}$

3. द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए गुणनफल $(1+2 x)^{6}(1-x)^{7}$ में $\mathrm{x}^{5}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर : द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए $(1+2 x)^{6}$ और $(1-x)^{7}$ अभिव्यक्ति का विस्तार किया जा सकता है:

$(1+2 x)^{6}={ }^{6} C_{0}+{ }^{6} C_{1} 2 x+{ }^{6} C_{2}(2 x)^{2}+{ }^{6} C_{3}(2 x)^{3}+{ }^{6} C_{4}(2 x)^{4}+{ }^{6} C_{5}(2 x)^{5}+{ }^{6} C_{6}(2 x)^{6}$

$\Rightarrow 1+6(2 x)+15(2 x)^{2}+20(2 x)^{3}+15(2 x)^{4}+6(2 x)^{5}+(2 x)^{6}$

$\Rightarrow 1+12 x^{2}+60 x^{2}+160 x^{2}+240 x^{2}+192 x^{2}+64 x^{2}$

$(1-x)^{7}=C_{0}-^{7} C_{1} x+^{7} C_{2}(x)^{2}-C_{3}(x)^{3}+^{7} C_{4}(x)^{4}-{ }^{7} C_{5}(x)^{5}+{ }^{7} C_{6}(x)^{6}-7 C_{7}(x)^{7}$

$\Rightarrow 1-7 x+21 x^{2}-35 x^{3}+35 x^{4}-21 x^{5}+7 x^{6}-x^{7}$

$\Rightarrow \therefore(1+2 x)^{6}(1-x)^{7}$

$\Rightarrow\left(1+12 x+60 x^{2}+160 x^{2}+240 x^{4}+192 x^{5}+64 x^{6}\right)\left(1-7 x+21 x^{2}-35 x^{3}+35 x^{4}-21 x^{5}+7 x^{6}-x^{7}\right)$

दो ब्रेकेट के पूर्ण गुणा को बाहर ले जाने की आवश्यकता नहीं है। केवल $x^{5}$ के टर्म, को शामिल करना आवश्यक है

$x^{5}$ वाले शब्द

$1\left(-21 x^{5}\right)+(12 x)\left(35 x^{4}\right)+\left(60 x^{2}\right)\left(-35 x^{3}\right)+\left(160 x^{3}\right)\left(21 x^{2}\right)+\left(240 x^{4}\right)(-7 x)+\left(192 x^{5}\right)(1)$

$=171 x^{5}$

इस प्रकार दिए गए उत्पाद में $x^{5}$ का गुणांक 171 है।

4. यदि $a$ और $b$ भित्न-भित्र पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि $\mathbf{\left(a^{n}-b^{n}\right)}$ का एक गुणनखंड $(a-b)$ है, जबकि $n$ एक धन पूर्णां है।

संकेत $a^{n}=(a-b+b)^{n}$ लिखकर प्रसार कीजिए।

उत्तर: यह साबित करने के लिए कि $(a-b)$ एक कारक है $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, यह साबित करना होगा कि $a^{n}-b^{n}=k(a-b)$, जहाँ $k$ कुछ प्राकृतिक संख्या है।

$\Rightarrow \therefore a^{n}=(a-b+b)^{n}=[(a-b)+b]^{n}$

$\Rightarrow\mathrm{n}_{\mathrm{C}_{0}}(a-b)^{\mathrm{n}}+\mathrm{n}_{\mathrm{c},}(a-b)^{n-1}+\ldots \ldots \ldots .+\mathrm{n}_{\mathrm{C}_{-1}}(a-b) b^{k-1}+\mathrm{n}_{c} b^{n}$

$\Rightarrow(a-b)^{n}+n_{C_{1}}(a-b)^{n-1} b+\ldots \ldots+n_{C_{M}}(a-b) b^{n-1}+b^{n}$

$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=(a-b)\left[(a-b)^{n-1}+\mathrm{n}_{c_{1}}(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{n-2} \mathrm{~b}+\ldots \ldots \ldots+\mathrm{n}_{\mathrm{C}} \mathrm{b}^{\mathrm{n}-1}\right.$

$\Rightarrow d^{r}-b^{n}=k(a-b)$

जहाँ $\mathrm{k}=\left[(a-b)^{n-1}+\mathrm{n}_{c_{c}}(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{\mathrm{n}-2} \mathrm{~b}+\ldots \ldots \ldots+\mathrm{n}_{c_{-1}} \mathrm{~b}^{\mathrm{n}-1}\right.$ एक प्राकृतिक संख्या है इससे पता चलता है कि $(a-b)$ एक कारक है $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, जहां $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है।

5. $\mathbf{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर : सबसे पहले, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके अभिव्यक्ति $(a+b)^{6}-(a b)^{6}$ को सरल किया जाता है। यह किया जा सकता है

$(a+b)^{6}={ }^{6} C_{0} d^{6}+{ }^{6} C_{1} a^{i} b+{ }^{6} C_{2} a^{4}(b)^{2}+{ }^{6} C_{3} a^{3}(b)^{3}+{ }^{6} C_{4} a^{2}(b)^{4}+{ }^{6} C_{5} a^{1}(b)^{5}+{ }^{6} C_{6}(b)^{6}$

$\Rightarrow d^{6}+6 a^{\prime} b+15 a^{4} b^{2}+20 a^{3} b^{3}+15 a^{2} b^{4}+6 a b^{5}+b^{5}$

$\Rightarrow a^{6}-6 a^{\prime} b+15 a^{4} b^{2}-20 a^{3} b^{3}+15 a^{2} b^{4}-6 a b^{5}+b^{5}(a-b)^{6}={ }^{6} C_{0} a^{6}-{ }^{6} C_{1} a^{i} b+{ }^{6} C_{2} a^{4}(b)^{2}$

$-{ }^{6} C_{3} a^{3}(b)^{3}+{ }^{6} C_{4} a^{2}(b)^{4}-{ }^{6} C_{5} d(b)^{5}+{ }^{6} C_{6}(b)^{6} $

$\Rightarrow(a+b)^{6}-(a-b)^{6}=2\left[6 a^{i} b+20 a^{3} b^{3}+6 a b^{5}\right]$

$a=\sqrt{3} ; b=\sqrt{2}$ हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}=2\left[6 \sqrt{3}^{5} \sqrt{2}+20 \sqrt{3} \sqrt{2}^{3}+6 \sqrt{3} \sqrt{2}^{5}\right]$

$\Rightarrow 2[54 \sqrt{6}+120 \sqrt{6}+24 \sqrt{6}]$

$\Rightarrow 2 \cdot 198 \sqrt{6}$

 $\Rightarrow 396 \sqrt{6}$

6.$\mathbf{\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर : सबसे पहले, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके अभिव्यक्ति $(x+y)^{4}-(x-y)^{4}$ को सरल किया जाता है। यह किया जा सकता है:

$(x+y)^{4}={ }^{4} C_{0} x^{4}+{ }^{4} C_{1} x^{3} y+{ }^{4} C_{2} x^{2}(y)^{2}+{ }^{4} C_{3} x^{1}(y)^{3}+{ }^{4} C_{4} x^{0}(y)^{4}$

$\Rightarrow x^{4}+4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}+4 x y^{3}+y^{4}(x-y)^{4}={ }^{4} C_{0} x^{4}-{ }^{4} C_{1} x^{3} y+{ }^{4} C_{2} x^{2}(y)^{2}-{ }^{4} C_{3} x^{1}(y)^{3}+{ }^{4} C_{4} x^{0}(y)^{4}$

$\Rightarrow x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}(x+y)^{4}+(x-y)^{4}=2\left[x^{4}+6 x^{2} y^{2}+y^{4}\right]$

$x=a^{2} \quad y=\sqrt{a^{2}-1}$ हम प्राप्त करते हैं


$\Rightarrow 2\left[a^{8}+6 a^{4}\left(a^{2}-1\right)+\left(a^{2}-1\right)^{2}\right]$

$\Rightarrow 2\left[a^{8}+6 a^{6}-6 a^{4}+a^{4}-2 a^{2}+1\right]$

$\Rightarrow 2\left[a^{8}+6 a^{6}-5 a^{4}-2 a^{2}+1\right]$

$\Rightarrow\left[2 a^{8}+12 a^{6}-10 a^{4}-4 a^{2}+2\right]$

7. $(0.99)^{5}$ के प्रसार के पहले तीन पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर : $0.99=1-0.01$

$\Rightarrow \therefore(0.99)^{5}=(1-0.01)^{5}$

$\Rightarrow^{5} C_{0} 1^{5}-{ }^{5} C_{1} 1^{4}(0.01)+^{5} C_{2} 1^{3}(0.01)^{2}$

$\Rightarrow 1-5(0.01)+10(0.01)^{2}$

$\Rightarrow 1-0.05+0.001$

$\Rightarrow 1.001-0.05$

$\Rightarrow 0.951$

इस प्रकार $(0.99)^{s}$ का मान लगभग $0.951$ है।

8. यदि $\left(\sqrt[4]{2}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n}$ के प्रसार में आरंभ से 5 वें और अंत से 5 वें पद का अनुपात $\sqrt{6}: 1$ हो तो $n$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर : विस्तार

$(a+b)^{n}=^{n} C_{0} d^{2}+{ }^{n} C_{1} d^{(n-1)} b+{ }^{n} C_{2} d^{n-2)}(b)^{2}+{ }^{n} C_{3} d^{(n-3)}(b)^{3}++^{n} C_{(n-1)} a(b)^{(n-2)}+{ }^{n} C_{n} b^{n}$ में शुरुआत से पांचवां कार्यकाल $={ }^{n} C_{4} a^{-4} b^{4}$

अंत से पांचवां कार्यकाल $={ }^{n} C_{4} a^{4} b^{n-4}$

इसलिए यह स्पष्ट है कि $\left(\sqrt[4]{2}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n}$ के विस्तार में शुरुआत से पांचवां शब्द है और अंत से पांचवां शब्द है,

$C_{n-4}(\sqrt[4]{2})^{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-4 n}$

$C_{4}(\sqrt[4]{2})^{n-4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{4}=^{n} C_{4}$ $\dfrac{(\sqrt[4]{2})^{n}}{(\sqrt[4]{2})^{4}}-\dfrac{1}{3}$

$=\dfrac{n !}{6.4 !(n-4) !}(\sqrt[4]{2})^{\pi} \ldots \ldots . . .(1)$

${ }^{n} C_{n-4}(\sqrt[4]{2})^{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-4}={ }^{n} C_{4} \dfrac{(\sqrt[4]{3})^{n}}{(\sqrt[4]{3})^{4}}={ }^{n} C_{n-4} \dfrac{23}{(\sqrt[4]{3})^{4}}=$

$\dfrac{6 n !}{(n-4) ! 4 ! !} \cdot \dfrac{1}{(\sqrt[4]{3})^{n}}$

यह दिया जाता है कि पांचवें शब्द का प्रारंभ से अंत तक पांचवें शब्द का अनुपात है $\sqrt{6}: 1$ इसलिए, (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं:

$\Rightarrow \dfrac{n !}{6.4 !(n-4) !}(\sqrt[4]{2})^{n}: \dfrac{6n!}{(n-4) ! 4 !} \cdot \dfrac{1}{(\sqrt[4]{3})^{n}}=\sqrt{6}: 1$

$\Rightarrow \dfrac{(\sqrt{2})^{n}}{6}: \dfrac{6}{(\sqrt[4]{3})^{n}}=\sqrt{6}: 1$

$\Rightarrow \dfrac{(\sqrt{4}{2})^{n}}{6} \times \dfrac{(\sqrt{3}{3})^{n}}{6}=\sqrt{6}$

$\Rightarrow(\sqrt[4]{6})^{n}=36 \sqrt{6}$

$\Rightarrow 6^{\dfrac{\pi}{4}}=6^{\dfrac{5}{2}} $

$\Rightarrow \dfrac{n}{4}=\dfrac{5}{2} $

$\Rightarrow n=\dfrac{4 x 5}{2}=10$

इस प्रकार, $n$ का मान 10 है।

9. $\left(1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\right)^{4} \mathrm{x} \neq 0$ का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।

उत्तर : $\left(1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\right)^{4} \mathrm{x} \neq 0$

$\Rightarrow ^{n} C_{0}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{0}+{ }^{n} C_{1}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{1}+{ }^{1} C_{2}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{2}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}+{ }^{n} C_{3}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{1}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{3}+{ }^{n} C_{n}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{0}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{4}$

$\Rightarrow \left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4}-4\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)+6\left(1+x+\dfrac{x^{2}}{4}\right)\left(\dfrac{4}{x^{2}}\right)-4\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\left(\dfrac{8}{x^{3}}\right)+\dfrac{16}{x^{4}}$

$\Rightarrow \left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4}-\dfrac{8}{x}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3}+\dfrac{24}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}-\dfrac{16}{x^{2}}+\dfrac{16}{x^{4}}$

$\Rightarrow \left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4}-\dfrac{8}{x}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3}+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}} \cdots \ldots \ldots(1)$

फिर से द्विपद प्रमेय का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

$\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4}={ }^{4} C_{0} 1^{4}+{ }^{4} C_{1} 1^{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)+{ }^{4} C_{2} 1^{2}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}+{ }^{4} C_{3} 1^{1}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{3}+{ }^{4} C_{4}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{4}$

$\Rightarrow 1+4 * \dfrac{x}{2}+6 * \dfrac{x^{2}}{4}+4 * \dfrac{x^{3}}{8}+\dfrac{x^{4}}{16} $

$\Rightarrow 1+2 x+\dfrac{3 x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16} \ldots \ldots . . .(2)$

$\Rightarrow \left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3}={ }^{3} C_{0} 1^{3}+{ }^{3} C_{1} 1^{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)+{ }^{3} C_{2} 1^{2}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}+{ }^{3} C_{3} 1^{1}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{3}$

$\Rightarrow 1+\dfrac{3 x}{2}+\dfrac{3 x^{2}}{4}+\dfrac{x^{3}}{8} \cdots \ldots . .(3)$

(1), (2) और (3) से हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \left(\left(1+\dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{2}{x}\right)^{4}$

$\Rightarrow 1+2x+\dfrac{3x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16}-\dfrac{8}{x}\left(1+\dfrac{3x}{2}+\dfrac{3x^{2}}{4}+\dfrac{x^{3}}{8}\right)+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}}$

$\Rightarrow 1+2x+\dfrac{3 x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16}-\dfrac{8}{x}-12-6 x-x^{2}+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}}$

$\Rightarrow \dfrac{16}{x}+\dfrac{8}{x^{2}}-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}}-4 x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16}-5$

10. $\left(3 \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{ax}+3 \mathrm{a}^{2}\right)^{3}$ का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।

उत्तर : द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, दी गई अभिव्यक्ति $\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$ को $\left[\left(3 x^{2}-2 a x\right)+3 a^{2}\right]^{3}$ रूप में विस्तारित किया जा सकता है

$\Rightarrow^{3} C_{0}\left(3 x^{2}-2 c x\right)^{3}+{ }^{3} C_{1}\left(3 x^{2}-2 a x\right)^{2}\left(3 a^{2}\right)+{ }^{3} C_{2}\left(3 x^{2}-2 c x\right)^{1}\left(3 a^{2}\right)^{2}+{ }^{3} C_{3}\left(3 a^{2}\right)^{3}$

$\Rightarrow \left(3 x^{2}-2 c x\right)^{3}+3\left(9 x^{4}-12 c x^{3}+4 a^{2} x^{2}\right)\left(3 a^{2}\right)+3\left(3 x^{2}-2 a x\right)\left(3 a^{2}\right)+27 a^{6}$

$\Rightarrow \left(3 x^{2}-2 c x\right)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+36 a^{4} x^{2}+81 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$

$\Rightarrow \left(3 x^{2}-2 c x\right)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$

फिर से द्विपद प्रमेय का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow ^{3} C_{0}\left(3 x^{2}\right)^{3}+{ }^{3} C_{1}\left(3 x^{2}\right)^{2}(2 a x)+{ }^{3} C_{2}\left(3 x^{2}\right)^{1}(2 c x)^{2}+{ }^{3} C_{3}(2 a x)^{3}$

$\Rightarrow 27 x^{6}-3\left(9 x^{4}\right)(2 c x)+3\left(3 x^{2}\right)\left(4 a^{2} x^{2}\right)-8 a^{3} x^{3}$

$\Rightarrow 27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3}$

1 और 2 से हम प्राप्त करते हैं

$\left(3 x^{2}-2 c x+3 a^{2}\right)^{3}$

$\Rightarrow 27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$

$\Rightarrow 27 x^{6}-54 a x^{5}+117 a^{2} x^{4}-116 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem in Hindi

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