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NCERT Solutions for Class 10 Maths In Hindi Chapter 1 Real Numbers

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers in Hindi PDF Download

Download the Class 10 Maths NCERT Solutions in Hindi medium and English medium as well offered by the leading e-learning platform Vedantu. If you are a student of Class 10, you have reached the right platform. The NCERT Solutions for Class 10 Maths in Hindi provided by us are designed in a simple, straightforward language, which are easy to memorise. You will also be able to download the PDF file for NCERT Solutions for Class 10 Maths in Hindi from our website at absolutely free of cost. Subjects like Science, Maths, English will become easy to study if you have access to NCERT Solution Class 10 Science, Maths solutions and solutions of other subjects.

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NCERT, which stands for The National Council of Educational Research and Training, is responsible for designing and publishing textbooks for all the classes and subjects. NCERT textbooks covered all the topics and are applicable to the Central Board of Secondary Education (CBSE) and various state boards.


Class:

NCERT Solutions for Class 10

Subject:

Class 10 Maths

Chapter Name:

Chapter 1 - Real Numbers

Content-Type:

Text, Videos, Images and PDF Format

Academic Year:

2024-25

Medium:

English and Hindi

Available Materials:

  • Chapter Wise

  • Exercise Wise

Other Materials

  • Important Questions

  • Revision Notes



We, at Vedantu, offer free NCERT Solutions in English medium and Hindi medium for all the classes as well. Created by subject matter experts, these NCERT Solutions in Hindi are very helpful to the students of all classes.

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NCERT Solutions for Class 10 Maths In Hindi Chapter 1 Real Numbers
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4 years ago

Access NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 – वास्तविक संख्याएँ

प्रश्नावली 1.1 

1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिये यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का प्रयोग कीजिए:  

(i). 135 और 225 

Ans: हमें यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का उपयोग करके 135 और 225 का HCF ज्ञात करना है।

माना a=225 और b=135.

 a>b 

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

a=bq+r

225=135×1+90 

b=135 

q=1 

r=90 

अभी r0

135=90×1+45 

b=90 

q=1 

r=45 

90=2×45+0 

यहां r=0 है इसलिये 135 और 225 का HCF 45 है |


(ii). 196 और 38220

Ans: हमें यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का उपयोग करके 196 और 38220 का HCF ज्ञात करना है।

माना a=38220 और b=196.

a>b 

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

a=bq+r

38220=196×195+0 

b=196 

q=195 

r=0 

यहां r=0 है इसलिये 196 और 38220 का HCF 196 है |


(iii). 867 और 255 

Ans: हमें यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का उपयोग करके 867 और 255 का HCF ज्ञात करना है।

माना a=867 और b=255.

a>b 

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

a=bq+r

867=255×3+102 

b=255 

q=3 

r=102 

255=102×2+51 

b=102 

q=2 

r=51 

102=51×2+0 

यहां r=0 है इसलिये 867 और 255 का HCF 51 है |


2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3, या 6q+5, के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|

Ans: माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है और b=6.

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

a=bq+r, जहाँ 0r<b.

यहाँ 0r<6.

मान रखने पर, 

a=6q+r

यदि r=0,

a=6q+0

a=6q

यदि r=1

a=6q+1

यदि r=2

a=6q+2 

इसलिये, a=6q या 6q+1 या 6q+2 or 6q+3 या 6q+4 या 6q+5.

6q+1=2×3q+1

6q+1=2k1+1 

जहाँ, k1 एक पूर्णांक है

6q+3=6q+2+1

6q+3=2(3q+1)+1 

6q+3=2k2+1 

जहाँ, k2 एक पूर्णांक है

6q+5=6q+4+1

6q+5=2(3q+2)+1 

6q+5=2k3+1  

जहाँ, k3 एक पूर्णांक है

अत: 6q+1,6q+3,6q+5 सभी 2k+1 रूप के है और 2 से विभाजित नहीं है|

साथ ही, ये सभी व्यंजक विषम संख्या के हैं।

कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3, या 6q+5, के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|


3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?

Ans: हमें उन स्तंभों की अधिकतम संख्या ज्ञात करना है जिसमें वे मार्च कर सकते हैं|

हमें कॉलमों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिये 616 और 32 का HCF ज्ञात करना होगा|

माना a=616 और b=32.

a>b 

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

a=bq+r

616=32×19+8 

b=32 

q=19 

r=8 

r0 

32=8×4+0 

यहाँ r=0

इसलिये 616 और 32 का HCF 8 है|

अत: 8 स्तंभों में वे मार्च कर सकते हैं|


4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m+1 के रूप का होता है|

[संकेत: यह मान लिजिए कि x कोई धनात्मक पूर्णांक है| तब यह 3q,3q+1 या 3q+2 के रूप में लिखा जा सकता है| इनमें से प्रत्येक का वर्ग किजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m+1 के रूप में लिखा जा सकता है|]

Ans: माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है और b=3.

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

a=bq+r, जहाँ 0r<b.

यहाँ 0r<3.

मान रखने पर, 

a=3q+r

यदि r=0, तब 

a=3q+0

a=3q

यदि r=1, तब 

a=3q+1

यदि r=2, तब 

a=3q+2

इसलिये, a=3q या 3q+1 या 3q+2.

प्रत्येक का वर्ग करने पर,  

a2=(3q)2 या (3q+1)2 या (3q+2)2

हम जानते है कि (a+b)2=a2+2ab+b2, तब 

a2=9q2 या 9q2+6q+1 या 9q2+12q+4

a2=3×3q2

a2=3m, यहाँ, m=3q2 

a2=3×3q2+3×2q+1

a2=3(3q2+2q)+1 

a2=3m+1, यहाँ m=3q2+2q 

a2=3×3q2+6×2q+3+1

a2=3(3q2+4q+1)+1 

a2=3m+1, यहाँ m=3q2+4q+1

इसलिये हम कह सकते है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m+1 के रूप का होता है|


5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है|

Ans: माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है और b=3.

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

a=bq+r, जहाँ 0r<b.

यहाँ 0r<3.

मान रखने पर, 

a=3q+r

यदि r=0, तब 

a=3q+0

a=3q

यदि r=1, तब 

a=3q+1

यदि r=2, तब 

a=3q+2

इसलिये, a=3q या 3q+1 या 3q+2.

प्रत्येक का घन करने पर,  

a3=(3q)3 

a3=27q3 

a3=9(3q3)

a3=9m, यहाँ m=3q3 

a3=(3q+1)3

हम जानते है कि (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, तब 

a3=27q3+27q2+9q+1

a3=9(3q3+3q2+q)+1

a3=9m+1, यहाँ m=3q3+3q2+q  

a3=(3q+2)3

हम जानते है कि (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, तब 

a3=27q3+54q2+36q+8

a3=9(3q3+6q2+4q)+8

a3=9m+8, यहाँ m=3q3+6q2+4q  

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है| 


प्रश्नावली 1.2

1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i). 140 

Ans: 

140=2×2×5×7 

140=22×5×7 

140 के अभाज्य गुणनखंड है 2,5,7


(ii). 156 

Ans: 

156=2×2×3×13 

156=22×3×13 

156 के अभाज्य गुणनखंड है 2,3,13.


(iii). 3825 

Ans: 

3825=3×3×5×5×17 

3825=32×52×17 

3825 के अभाज्य गुणनखंड है 3,5,17.


(iv). 5005 

Ans: 

5005=5×7×11×13 

5005=5×7×11×13 

5005 के अभाज्य गुणनखंड है 5,7,11,13.


(v). 7429 

Ans: 

7429=17×19×23 

7429=17×19×23 

7429 के अभाज्य गुणनखंड है 17,19,23


2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों का LCM और HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल =LCM×HCF है|

(i). 26 और 91 

Ans: 26 और 91 के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है

26=2×13 

91=7×13

26 और 91 का HCF 13 है

2×7×13=182 

26 और 91 का LCM 182 है 

दी गई संख्याओं का गुणनफल 

26×91=2366 

LCM और HCF का गुणनफल

13×182=2366

दो संख्याओं का गुणनफल =LCM×HCF

वांछित परिणाम सत्यापित किया गया है।


(ii). 510 और 92

Ans: 510 और 92 के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है

510=2×3×5×17 

92=2×2×23

510 और 92 का HCF 2 है 

2×2×3×5×17×23=23460 

510 और 92 का LCM 23460 है

दी गई संख्याओं का गुणनफल 

510×92=46920 

LCM और HCF का गुणनफल

2×23460=46920

दो संख्याओं का गुणनफल =LCM×HCF

वांछित परिणाम सत्यापित किया गया है।


(iii). 336 और 54

Ans: 336 और 54 के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है

336=2×2×2×2×3×7

54=2×3×3×3

336 और 54 का HCF 2×3=6 है 

2×2×2×2×3×3×3×7=3024 

 336 और 54 का LCM 3024 है 

दी गई संख्याओं का गुणनफल 

336×54=18144 

LCM और HCF का गुणनफल

6×3024=18144

दो संख्याओं का गुणनफल =LCM×HCF

वांछित परिणाम सत्यापित किया गया है।


3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए|

(i). 12,15 और 21

Ans: 12,15 और 21 के गुणनखंड निम्न है-

12=2×2×3 

15=3×5

21=3×7

अब, हम जानते हैं कि दो संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में से HCF सबसे बड़ा गुणनखंड है।

इसलिये 12,15 और 21 का HCF 3 होगा|

LCM (12,15 और 21

2×2×3×5×7=420 


(ii). 17,23 और 29

Ans: 17,23 और 29 के गुणनखंड निम्न है-

17=17×1 

23=23×1 

29=29×1

अब, हम जानते हैं कि दो संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में से HCF सबसे बड़ा गुणनखंड है।

इसलिये 17,23 और 29 का HCF 1 होगा|

LCM (17,23 और 29

17×23×29=11339 


(iii). 8,9 और 25 

Ans: 8,9 और 25 के गुणनखंड निम्न है-  

8=2×2×2 

9=3×3 और 

25=5×5

अब, हम जानते हैं कि दो संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में से HCF सबसे बड़ा गुणनखंड है। 

यहाँ कोई सर्व गुणनखंड नहीं है। इसलिये 8,9 और 25 का HCF 1 होगा|

LCM ( 8,9 और 25

2×2×2×3×3×5×5=1800 


4. दिया है HCF (306,657)=9, LCM (306,657) ज्ञात कीजिए|

Ans: दिया है HCF (306,657)=9.

ज्ञात करना है LCM (306,657).

हम जानते है दो संख्याओं का गुणनफल =LCM×HCF

मान रखने पर, 

LCM×9=306×657

LCM=306×6579 

LCM=22338 

अत: LCM (306,657)=22338.


5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है| 

Ans: विभाज्यता नियम से हम जानते हैं कि यदि कोई संख्या 0 अंक के साथ समाप्त होती है, तो वह 2 और 5 से विभाज्य होती है|

6n के गुणनखंड इस प्रकार है- 

6n=(2×3)n

हम कह सकते है कि, n के किसी भी मान के लिए 6n, 5 से विभाज्य नहीं है।

इसलिए, किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6n0 अंक के साथ समाप्त नहीं हो सकता है।


6. व्याख्या कीजिए कि 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्याएँ क्यों है|

Ans: दी गयी संख्याएँ 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5.

दी गयी संख्याओं को इस प्रकार लिखा जा सकता है - 

7×11×13+13=13×(7×11+1)

7×11×13+13=13×(77+1) 

7×11×13+13=13×78

7×11×13+13=13×13×6

और 

7×6×5×4×3×2×1+5=5×(7×6×4×3×2×1+1)

7×6×5×4×3×2×1+5=5×(1008+1)

7×6×5×4×3×2×1+5=5×1009

यहाँ, हम देख सकते हैं कि दी गई संख्याओं के अपने गुणनखंड और 1 के अलावा अन्य गुणनखंड है।

एक भाज्य संख्या में 1 और स्वयं संख्या के अलावा अन्य गुणनखंड होते हैं।

इसलिये 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्याएँ है|


7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके  एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

Ans: वृत्ताकार पथ के इस चक्कर को पूरा करने में लिया गया कुल समय सोनिया और रवि द्वारा क्रमशः वृत्ताकार पथ के चक्कर को समाप्त करने में लिए गए समय का LCM होगा, अर्थात LCM(18,12).

12=2×2×3  और 

18=2×3×3

LCM (12,18

2×2×3×3=36 

अत:  रवि और सोनिया 36 मिनटों के बाद पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे|


प्रश्नावली 1.3 

1. सिद्ध कीजिए कि 5 एक अपरिमेय संख्या है|

Ans: माना 5 एक परिमेय संख्या ab के रुप की है, जहाँ b0 

माना 5=ab

दोनों तरफ़ वर्ग करने पर,

(5)2=(ab)2

5=a2b2 

a2=5b2 …….(1)

यदि a2, 5 से विभाज्य है तो a भी 5 से विभाज्य होगा 

माना a=5k, जहाँ k कोई पूर्णान्क है  

दोनों तरफ़ वर्ग करने पर,

a2=(5k)2 

समीकरण (1) में मान रखने पर 

(5k)2=5b2

b2=5k2 …..(2)

यदि b2, 5 से विभाज्य है तो b भी 5 से विभाज्य होगा 

समीकरण (1) एवं (2) से हम कह सकते है कि a और b दोनों 5 से विभाज्य है  

यह हमारी धारणा के विपरीत है।

इसलिये हम कह सकते है कि 5 एक अपरिमेय संख्या है।


2. सिद्ध कीजिए कि 3+25 एक अपरिमेय संख्या है|

Ans: माना 3+25 एक परिमेय संख्या ab के रुप की है, जहाँ 

माना 3+25=ab

25=ab3 

5=12(ab3) ……..(1)

समीकरण (1) से हम कह सकते है कि यदि 12(ab3) एक परिमेय संख्या है तो 5 भी परिमेय संख्या होगी|

लेकिन हम जानते है कि 5 अपरिमेय संख्या है 

अत: हमारा अनुमान गलत है| 

इसलिये हम कह सकते है कि 3+25 एक अपरिमेय संख्या है|


3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं: 

(i). 12 

Ans: माना 12 एक परिमेय संख्या ab के रुप की है, जहाँ b0 

माना 12=ab

2=ba ………..(1)

समीकरण (1) से हम कह सकते है कि यदि ba एक परिमेय संख्या है तो 2 भी परिमेय संख्या होगी|

लेकिन हम जानते है कि 2 अपरिमेय संख्या है 

अत: हमारा अनुमान गलत है| 

इसलिये हम कह सकते है कि 12 एक अपरिमेय संख्या है|


(ii). 75 

Ans: माना 75 एक परिमेय संख्या ab के रुप की है, जहाँ b0

माना 75=ab

5=a7b ………..(1)

समीकरण (1) से हम कह सकते है कि यदि a7b एक परिमेय संख्या है तो 5 भी परिमेय संख्या होगी|

लेकिन हम जानते है कि 5 अपरिमेय संख्या है 

अत: हमारा अनुमान गलत है| 

इसलिये हम कह सकते है कि 75 एक अपरिमेय संख्या है|


(iii). 6+2 

Ans: माना 6+2 एक परिमेय संख्या ab के रुप की है, जहाँ b0

माना 6+2=ab

2=ab6 ………..(1)

समीकरण (1) से हम कह सकते है कि यदि ab6 एक परिमेय संख्या है तो 2 भी परिमेय संख्या होगी|

लेकिन हम जानते है कि 2 अपरिमेय संख्या है 

अत: हमारा अनुमान गलत है| 

इसलिये हम कह सकते है कि 6+2 एक अपरिमेय संख्या है|


प्रश्नावली 1.4 

1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत है:

(i). 133125

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 133125

दी गई संख्या का हर 3125 है|

3125 के गुणनखंड इस प्रकार है- 

3125=5×5×5×5×5 

3125=55

यहाँ, हर के गुणनखंड 5m रूप के हैं

इसलिये 133125 सांत दशमलव प्रसार है|


(ii). 178

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 178

दी गई संख्या का हर 8 है|

8 के गुणनखंड इस प्रकार है- 

8=2×2×2 

8=23

यहाँ, हर के गुणनखंड 2n रूप के हैं

इसलिये 178 सांत दशमलव प्रसार है|


(iii). 64455

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 64455

दी गई संख्या का हर 455 है|

455 के गुणनखंड इस प्रकार है- 

455=5×7×13 

यहाँ, हर के गुणनखंड 2n5m रूप के नहीं हैं|

इसलिये 64455 असांत दशमलव प्रसार है|


(iv). 151600

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 151600

दी गई संख्या का हर 1600 है|

1600 के गुणनखंड इस प्रकार है- 

1600=2×2×2×2×2×2×5×5 

1600=26×52

यहाँ, हर के गुणनखंड 2n5m रूप के हैं|

इसलिये 151600 सांत दशमलव प्रसार है|


(v). 29343

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 29343

दी गई संख्या का हर 343 है|

343 के गुणनखंड इस प्रकार है- 

343=7×7×7 

343=73

यहाँ, हर के गुणनखंड 2n5m रूप के नहीं हैं|

इसलिये 29343 असांत दशमलव प्रसार है|


(vi). 232352

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 232352

दी गई संख्या का हर 2352 है|

यहाँ, हर के गुणनखंड 2n5m रूप के हैं|

इसलिये 232352 सांत दशमलव प्रसार है|


(vii). 129225775

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 129225775

दी गई संख्या का हर 225775 है|

यहाँ, हर के गुणनखंड 2n5m रूप के नहीं हैं|

इसलिये 129225775 असांत दशमलव प्रसार है|


(viii). 615

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 615

दी गई संख्या का हर 15 है|

15 के गुणनखंड इस प्रकार है- 

15=3×5 

हम दी गई संख्या को निम्न प्रकार से लिख सकते है 

615=2×33×5=25 

यहाँ, हर के गुणनखंड 5m रूप के हैं|

इसलिये 615 सांत दशमलव प्रसार है|


(ix). 3550

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 3550.

दी गई संख्या का हर 50 है|

50 के गुणनखंड इस प्रकार है- 

50=10×5 

हम दी गई संख्या को निम्न प्रकार से लिख सकते है 

3550=7×510×5=710 

10=2×5

यहाँ, हर के गुणनखंड 2n5m रूप के हैं|

इसलिये 3550 सांत दशमलव प्रसार है|


(x). 77210 

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है 77210.

दी गई संख्या का हर 210 है|

210 के गुणनखंड इस प्रकार है- 

210=2×3×5×7 

यहाँ, हर के गुणनखंड 2n5m रूप के नहीं हैं|

इसलिये 77210 असांत दशमलव प्रसार है|


2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारो को लिखिए जो सांत हैं।

(i). 133125

Ans: 133125 का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

3125)13.000000130  01300012500 5000  3125 18750  18750  00.00416 

अत: 133125 का दशमलव प्रसार 0.00416 है| 


(ii). 178

Ans: 178 का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

8)1716 10  8 20  16 40  40 02.125 

अत: 178 का दशमलव प्रसार 2.125 है|  


(iii). 151600 

Ans: 151600 का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

1600)15.0000000150  01500015000 14400 6000  4800  12000 11200 8000 8000 00.009375 

अत: 151600 का दशमलव प्रसार 0.009375 है| 

 

(iv). 232352

Ans: 232352 का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

232352=23200

200)23.000023  0230 200 300  200 1000  1000  000.115 

अत: 232352 का दशमलव प्रसार 00.115 है|  


(v). 615

Ans: 615 का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

615=2×33×5=25 

5)2.0020 20 00.4 

अत: 615 का दशमलव प्रसार 0.4 है|  


(vi). 3550

Ans: 3550 का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

50)35.00350 350  00.7 

अत: 3550 का दशमलव प्रसार 0.7 है|  


3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए है। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और pq रूप की हैं  तो q के अभाज्य गुणनखंड के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

(i). 43.123456789 

Ans: दिया गया दशमलव प्रसार 43.123456789

दी गई संख्या का प्रसार सांत है, हम 43.123456789 को इस प्रकार लिख सकते है

431234567891000000000 जो pq के रूप में है।

इसलिये 43.123456789 एक परिमेय संख्या है|

चूंकि संख्या का दशमलव प्रसार सांत है, इसलिए q के गुणनखंडों का रूप 2n5m होना चाहिए।


(ii). 0.120120012000120000...... 

Ans: दिया गया दशमलव प्रसार 0.120120012000120000......

दी गई संख्या का प्रसार असांत है, हम 0.120120012000120000...... को हम pq के रूप में नहीं दर्शा सकते है।

इसलिये 0.120120012000120000...... एक अपरिमेय संख्या है|

चूंकि संख्या का दशमलव प्रसार सांत है, इसलिए q के गुणनखंडों का रूप 2n5m होना चाहिए।


(iii). 43.123456789 

Ans: दिया गया दशमलव प्रसार 43.123456789

दी गई संख्या का प्रसार असांत है लेकिन आवर्ती दशमलव प्रसार है। इसलिये हम 43.123456789 को हम pq के रूप में दर्शा सकते है।

इसलिये 43.123456789 एक परिमेय संख्या है ।

चूंकि संख्या का दशमलव प्रसार असांत है, इसलिए q के गुणनखंडों का रूप 2n5m नहीं होगा|


NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers in Hindi

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Important Topics Covered in Chapter 1 of Class 10 Maths NCERT Solutions 

The first chapter of Class 10 Maths NCERT Solutions is Real Numbers. Chapter 1 of Class 10 Maths NCERT Solutions is mainly based on all the essential concepts of real numbers. Real numbers can be classified into rational numbers and irrational numbers. Real numbers are usually denoted by the symbol "R" and they can be both positive and negative.


Below are the important concepts discussed in NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 1.

  • Euclid’s division lemma

  • Prime Numbers

  • Composite Numbers

  • Fundamental Theorem of Arithmetic

  • HCF

  • LCM by Prime Factorization Method

  • Revision of Rational Numbers and Irrational Numbers 

  • Determining whether a number is rational or irrational 

  • Decimal expansion (it explores when the decimal expansion of a rational number is terminating and when it is non-terminating)


In Chapter 1, the formulas related to the properties of real numbers and their theorems are discussed in detail. Students are advised to remember the below formulas and properties covered in this chapter.

  1. Commutative property: x + y = y + x

  2. Associative Property: x + (y + z) = (x + y) + z

  3. Euclid’s Division Lemma: [a=bq+r, 0 ≤ r < b]


Benefits of NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 1

Some of the key benefits of Chapter 1 of Class 10 Maths NCERT Solutions are listed below.

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FAQs on NCERT Solutions for Class 10 Maths In Hindi Chapter 1 Real Numbers

1. Where can I download CBSE Class 10 NCERT Mathematics PDF Solutions for Chapter 1?

CBSE Class 10 NCERT Mathematics Chapter 1 PDF Solutions in Hindi can be downloaded from Vedantu. In NCERT Solutions, the answers are explained in Hindi in a detailed and structured manner for students to understand and learn the concepts easily. The solutions are a chapter-wise account of all the important questions that are to be covered according to the CBSE syllabus.

2. How many exercises, questions, and examples are there in Class 10 Maths Chapter 1 Real numbers?

There are four exercises in Class 10 Maths Chapter 1 Real numbers. The first exercise has five questions. The second exercise has seven questions. The third and fourth exercises have three questions each. All the questions are followed by a detailed solution that eludes off any queries that one might have. There are a total of 11 examples as well in the Class 10 Maths Chapter 1.

3. Why are NCERT Solutions for Class 10 Maths important?

NCERT Solutions are important because the board exams are NCERT-based, and one must thoroughly practice all the NCERT questions and know their solutions. These questions are to be revised every day, and to score the maximum marks. One must know each of these solutions. The solutions available on the Vedantu website are free of cost and are also available on the Vedantu Mobile app.

4. What are the important topics covered in the NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1?

The important topics covered in the NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 are Euclid’s division algorithm, Euclid’s division lemma, Properties of HCF and LCM, Rational numbers and Irrational numbers. These topics are promptly explained in the NCERT Solutions. These solutions also cover the topics aptly following the pattern of board examinations. All these topics are covered on the Vedantu website as well.

5. Are there any Theorems or Algorithms in 10th Maths Chapter 1?

Yes, there are seven theorems and one algorithm in Class 10 Maths Chapter 1. These theorems are loosely based upon Euclid’s algorithms and rational numbers. They are very important, and all the students preparing for board exams must know the statements as well as applications of these theorems and algorithms because they are often asked as a direct question.