NCERT Solutions for Class 10 Maths In Hindi Chapter 1 Real Numbers

प्रश्नावली 1.1 

1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिये यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का प्रयोग कीजिए:  

(i). $135$ और $225$ 

Ans: हमें यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का उपयोग करके $135$ और $225$ का HCF ज्ञात करना है।

माना $a=225$ और $b=135$.

 $\because a>b$ 

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

$a=bq+r$

$\Rightarrow 225=135\times 1+90$ 

$\Rightarrow b=135$ 

$\Rightarrow q=1$ 

$\Rightarrow r=90$ 

अभी $r\ne 0$, 

$\Rightarrow 135=90\times 1+45$ 

$\Rightarrow b=90$ 

$\Rightarrow q=1$ 

$\Rightarrow r=45$ 

$\Rightarrow 90=2\times 45+0$ 

यहां $r=0$ है इसलिये $135$ और $225$ का HCF $45$ है |

(ii). $196$ और $38220$

Ans: हमें यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का उपयोग करके $196$ और $38220$ का HCF ज्ञात करना है।

माना $a=38220$ और $b=196$.

$\because a>b$ 

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

$a=bq+r$

$\Rightarrow 38220=196\times 195+0$ 

$\Rightarrow b=196$ 

$\Rightarrow q=195$ 

$\Rightarrow r=0$ 

यहां $r=0$ है इसलिये $196$ और $38220$ का HCF $196$ है |

(iii). $867$ और $255$ 

Ans: हमें यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम का उपयोग करके $867$ और $255$ का HCF ज्ञात करना है।

माना $a=867$ और $b=255$.

$\because a>b$ 

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

$a=bq+r$

\[\Rightarrow 867=255\times 3+102\] 

$\Rightarrow b=255$ 

$\Rightarrow q=3$ 

$\Rightarrow r=102$ 

$\Rightarrow 255=102\times 2+51$ 

$\Rightarrow b=102$ 

$\Rightarrow q=2$ 

$\Rightarrow r=51$ 

$\Rightarrow 102=51\times 2+0$ 

यहां $r=0$ है इसलिये $867$ और $255$ का HCF $51$ है |

2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1$ या $6q+3$, या $6q+5$, के रूप का होता है, जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है|

Ans: माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=6$.

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

$a=bq+r$, जहाँ $0\le r < b$.

यहाँ $0\le r<6$.

मान रखने पर, 

$\Rightarrow a=6q+r$

यदि $r=0$,

$\Rightarrow a=6q+0$

$\Rightarrow a=6q$

यदि $r=1$, 

$\Rightarrow a=6q+1$

यदि $r=2$, 

$\Rightarrow a=6q+2$ 

इसलिये, $a=6q$ या $6q+1$ या $6q+2$ or $6q+3$ या $6q+4$ या $6q+5$.

\[6q+1=2\times 3q+1\]

$\Rightarrow 6q+1=2{{k}_{1}}+1$ 

जहाँ, ${{k}_{1}}$ एक पूर्णांक है

\[6q+3=6q+2+1\]

$\Rightarrow 6q+3=2\left( 3q+1 \right)+1$ 

$\Rightarrow 6q+3=2{{k}_{2}}+1$ 

जहाँ, ${{k}_{2}}$ एक पूर्णांक है

\[6q+5=6q+4+1\]

$\Rightarrow 6q+5=2\left( 3q+2 \right)+1$ 

$\Rightarrow 6q+5=2{{k}_{3}}+1$  

जहाँ, ${{k}_{3}}$ एक पूर्णांक है

अत: $6q+1,6q+3,6q+5$ सभी $2k+1$ रूप के है और $2$ से विभाजित नहीं है|

साथ ही, ये सभी व्यंजक विषम संख्या के हैं।

कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1$ या $6q+3$, या $6q+5$, के रूप का होता है, जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है|

3. किसी परेड में $616$ सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को $32$ सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?

Ans: हमें उन स्तंभों की अधिकतम संख्या ज्ञात करना है जिसमें वे मार्च कर सकते हैं|

हमें कॉलमों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिये $616$ और $32$ का HCF ज्ञात करना होगा|

माना $a=616$ और $b=32$.

$\because a>b$ 

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

$a=bq+r$

\[\Rightarrow 616=32\times 19+8\] 

$\Rightarrow b=32$ 

$\Rightarrow q=19$ 

$\Rightarrow r=8$ 

$\because r\ne 0$ 

$\Rightarrow 32=8\times 4+0$ 

यहाँ $r=0$, 

इसलिये $616$ और $32$ का HCF $8$ है|

अत: $8$ स्तंभों में वे मार्च कर सकते हैं|

4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है|

[संकेत: यह मान लिजिए कि $x$ कोई धनात्मक पूर्णांक है| तब यह $3q,3q+1$ या $3q+2$ के रूप में लिखा जा सकता है| इनमें से प्रत्येक का वर्ग किजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को $3m$ या $3m+1$ के रूप में लिखा जा सकता है|]

Ans: माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=3$.

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

$a=bq+r$, जहाँ $0\le r<b$.

यहाँ $0\le r<3$.

मान रखने पर, 

$\Rightarrow a=3q+r$

यदि $r=0$, तब 

$\Rightarrow a=3q+0$

$\Rightarrow a=3q$

यदि $r=1$, तब 

$\Rightarrow a=3q+1$

यदि $r=2$, तब 

$\Rightarrow a=3q+2$

इसलिये, $a=3q$ या $3q+1$ या $3q+2$.

प्रत्येक का वर्ग करने पर,  

$\Rightarrow {{a}^{2}}={{\left( 3q \right)}^{2}}$ या ${{\left( 3q+1 \right)}^{2}}$ या ${{\left( 3q+2 \right)}^{2}}$

हम जानते है कि ${{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$, तब 

$\Rightarrow {{a}^{2}}=9{{q}^{2}}$ या $9{{q}^{2}}+6q+1$ या $9{{q}^{2}}+12q+4$

$\Rightarrow {{a}^{2}}=3\times 3{{q}^{2}}$

$\Rightarrow {{a}^{2}}=3m$, यहाँ, $m=3{{q}^{2}}$ 

${{a}^{2}}=3\times 3{{q}^{2}}+3\times 2q+1$

$\Rightarrow {{a}^{2}}=3\left( 3{{q}^{2}}+2q \right)+1$ 

$\Rightarrow {{a}^{2}}=3m+1$, यहाँ $m=3{{q}^{2}}+2q$ 

${{a}^{2}}=3\times 3{{q}^{2}}+6\times 2q+3+1$

$\Rightarrow {{a}^{2}}=3\left( 3{{q}^{2}}+4q+1 \right)+1$ 

$\Rightarrow {{a}^{2}}=3m+1$, यहाँ $m=3{{q}^{2}}+4q+1$

इसलिये हम कह सकते है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है|

5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m$, $9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है|

Ans: माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=3$.

यूक्लिड विभाजन अलगोरिथिम के अनुसार,

$a=bq+r$, जहाँ $0\le r<b$.

यहाँ $0\le r<3$.

मान रखने पर, 

$\Rightarrow a=3q+r$

यदि $r=0$, तब 

$\Rightarrow a=3q+0$

$\Rightarrow a=3q$

यदि $r=1$, तब 

$\Rightarrow a=3q+1$

यदि $r=2$, तब 

$\Rightarrow a=3q+2$

इसलिये, $a=3q$ या $3q+1$ या $3q+2$.

प्रत्येक का घन करने पर,  

$\Rightarrow {{a}^{3}}={{\left( 3q \right)}^{3}}$ 

$\Rightarrow {{a}^{3}}=27{{q}^{3}}$ 

$\Rightarrow {{a}^{3}}=9\left( 3{{q}^{3}} \right)$

$\Rightarrow {{a}^{3}}=9m$, यहाँ $m=3{{q}^{3}}$ 

$\Rightarrow {{a}^{3}}={{\left( 3q+1 \right)}^{3}}$

हम जानते है कि ${{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$, तब 

$\Rightarrow {{a}^{3}}=27{{q}^{3}}+27{{q}^{2}}+9q+1$

$\Rightarrow {{a}^{3}}=9\left( 3{{q}^{3}}+3{{q}^{2}}+q \right)+1$

$\Rightarrow {{a}^{3}}=9m+1$, यहाँ \[m=3{{q}^{3}}+3{{q}^{2}}+q\]  

$\Rightarrow {{a}^{3}}={{\left( 3q+2 \right)}^{3}}$

हम जानते है कि ${{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$, तब 

$\Rightarrow {{a}^{3}}=27{{q}^{3}}+54{{q}^{2}}+36q+8$

$\Rightarrow {{a}^{3}}=9\left( 3{{q}^{3}}+6{{q}^{2}}+4q \right)+8$

$\Rightarrow {{a}^{3}}=9m+8$, यहाँ \[m=3{{q}^{3}}+6{{q}^{2}}+4q\]  

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m$, $9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है| 

प्रश्नावली 1.2

1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i). $140$ 

Ans: 

$\Rightarrow 140=2\times 2\times 5\times 7$ 

$\therefore 140={{2}^{2}}\times 5\times 7$ 

$140$ के अभाज्य गुणनखंड है $2,5,7$।

(ii). $156$ 

Ans: 

$\Rightarrow 156=2\times 2\times 3\times 13$ 

$\therefore 156={{2}^{2}}\times 3\times 13$ 

$156$ के अभाज्य गुणनखंड है $2,3,13$.

(iii). $3825$ 

Ans: 

$\Rightarrow 3825=3\times 3\times 5\times 5\times 17$ 

$\therefore 3825={{3}^{2}}\times {{5}^{2}}\times 17$ 

$3825$ के अभाज्य गुणनखंड है $3,5,17$.

(iv). $5005$ 

Ans: 

$\Rightarrow 5005=5\times 7\times 11\times 13$ 

$\therefore 5005=5\times 7\times 11\times 13$ 

$5005$ के अभाज्य गुणनखंड है $5,7,11,13$.

(v). $7429$ 

Ans: 

$\Rightarrow 7429=17\times 19\times 23$ 

$\therefore 7429=17\times 19\times 23$ 

$7429$ के अभाज्य गुणनखंड है $17,19,23$।

2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों का LCM और HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल $=LCM\times HCF$ है|

(i). $26$ और $91$ 

Ans: $26$ और $91$ के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है

$\Rightarrow 26=2\times 13$ 

$\Rightarrow 91=7\times 13$

$26$ और $91$ का HCF $13$ है

$\Rightarrow 2\times 7\times 13=182$ 

$26$ और $91$ का LCM $182$ है 

दी गई संख्याओं का गुणनफल 

$\Rightarrow 26\times 91=2366$ 

LCM और HCF का गुणनफल

$\Rightarrow 13\times 182=2366$

दो संख्याओं का गुणनफल $=LCM\times HCF$

वांछित परिणाम सत्यापित किया गया है।

(ii). $510$ और $92$

Ans: $510$ और $92$ के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है

$\Rightarrow 510=2\times 3\times 5\times 17$ 

$\Rightarrow 92=2\times 2\times 23$

$510$ और $92$ का HCF $2$ है 

$\Rightarrow 2\times 2\times 3\times 5\times 17\times 23=23460$ 

$510$ और $92$ का LCM $23460$ है

दी गई संख्याओं का गुणनफल 

$\Rightarrow 510\times 92=46920$ 

LCM और HCF का गुणनफल

$\Rightarrow 2\times 23460=46920$

दो संख्याओं का गुणनफल $=LCM\times HCF$

वांछित परिणाम सत्यापित किया गया है।

(iii). $336$ और $54$

Ans: $336$ और $54$ के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है

\[\Rightarrow 336=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 7\]

$\Rightarrow 54=2\times 3\times 3\times 3$

$336$ और $54$ का HCF $2\times 3=6$ है 

$\Rightarrow 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 3\times 7=3024$ 

 $336$ और $54$ का LCM $3024$ है 

दी गई संख्याओं का गुणनफल 

$\Rightarrow 336\times 54=18144$ 

LCM और HCF का गुणनफल

$\Rightarrow 6\times 3024=18144$

दो संख्याओं का गुणनफल $=LCM\times HCF$

वांछित परिणाम सत्यापित किया गया है।

3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए|

(i). $12,15$ और $21$

Ans: $12,15$ और $21$ के गुणनखंड निम्न है-

\[\Rightarrow 12=2\times 2\times 3\] 

\[\Rightarrow 15=3\times 5\]

$\Rightarrow 21=3\times 7$

अब, हम जानते हैं कि दो संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में से HCF सबसे बड़ा गुणनखंड है।

इसलिये $12,15$ और $21$ का HCF $3$ होगा|

LCM ($12,15$ और $21$) 

$\Rightarrow 2\times 2\times 3\times 5\times 7=420$ 

(ii). $17,23$ और $29$

Ans: $17,23$ और $29$ के गुणनखंड निम्न है-

\[\Rightarrow 17=17\times 1\] 

\[\Rightarrow 23=23\times 1\] 

$\Rightarrow 29=29\times 1$

अब, हम जानते हैं कि दो संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में से HCF सबसे बड़ा गुणनखंड है।

इसलिये $17,23$ और $29$ का HCF $1$ होगा|

LCM ($17,23$ और $29$) 

$\Rightarrow 17\times 23\times 29=11339$ 

(iii). $8,9$ और $25$ 

Ans: $8,9$ और $25$ के गुणनखंड निम्न है-  

\[\Rightarrow 8=2\times 2\times 2\] 

\[\Rightarrow 9=3\times 3\] और 

$\Rightarrow 25=5\times 5$

अब, हम जानते हैं कि दो संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में से HCF सबसे बड़ा गुणनखंड है। 

यहाँ कोई सर्व गुणनखंड नहीं है। इसलिये $8,9$ और $25$ का HCF $1$ होगा|

LCM ( $8,9$ और $25$) 

$\Rightarrow 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5\times 5=1800$ 

4. दिया है HCF $\left( 306,657 \right)=9$, LCM $\left( 306,657 \right)$ ज्ञात कीजिए|

Ans: दिया है HCF $\left( 306,657 \right)=9$.

ज्ञात करना है LCM $\left( 306,657 \right)$.

हम जानते है दो संख्याओं का गुणनफल $=LCM\times HCF$

मान रखने पर, 

$LCM\times 9=306\times 657$

$\Rightarrow LCM=\dfrac{306\times 657}{9}$ 

$\therefore LCM=22338$ 

अत: LCM $\left( 306,657 \right)=22338$.

5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए, संख्या ${{6}^{n}}$ अंक $0$ पर समाप्त हो सकती है| 

Ans: विभाज्यता नियम से हम जानते हैं कि यदि कोई संख्या $0$ अंक के साथ समाप्त होती है, तो वह $2$ और $5$ से विभाज्य होती है|

${{6}^{n}}$ के गुणनखंड इस प्रकार है- 

$\Rightarrow {{6}^{n}}={{\left( 2\times 3 \right)}^{n}}$

हम कह सकते है कि, $n$ के किसी भी मान के लिए ${{6}^{n}}$, $5$ से विभाज्य नहीं है।

इसलिए, किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए ${{6}^{n}}$,  $0$ अंक के साथ समाप्त नहीं हो सकता है।

6. व्याख्या कीजिए कि $7\times 11\times 13+13$ और $7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1+5$ भाज्य संख्याएँ क्यों है|

Ans: दी गयी संख्याएँ $7\times 11\times 13+13$ और $7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1+5$.

दी गयी संख्याओं को इस प्रकार लिखा जा सकता है - 

$\Rightarrow 7\times 11\times 13+13=13\times \left( 7\times 11+1 \right)$

$\Rightarrow 7\times 11\times 13+13=13\times \left( 77+1 \right)$ 

$\Rightarrow 7\times 11\times 13+13=13\times 78$

$\Rightarrow 7\times 11\times 13+13=13\times 13\times 6$

और 

$\Rightarrow 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1+5=5\times \left( 7\times 6\times 4\times 3\times 2\times 1+1 \right)$

$\Rightarrow 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1+5=5\times \left( 1008+1 \right)$

$\Rightarrow 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1+5=5\times 1009$

यहाँ, हम देख सकते हैं कि दी गई संख्याओं के अपने गुणनखंड और $1$ के अलावा अन्य गुणनखंड है।

एक भाज्य संख्या में $1$ और स्वयं संख्या के अलावा अन्य गुणनखंड होते हैं।

इसलिये $7\times 11\times 13+13$ और $7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1+5$ भाज्य संख्याएँ है|

7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को $18$ मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को $12$ मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके  एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

Ans: वृत्ताकार पथ के इस चक्कर को पूरा करने में लिया गया कुल समय सोनिया और रवि द्वारा क्रमशः वृत्ताकार पथ के चक्कर को समाप्त करने में लिए गए समय का LCM होगा, अर्थात LCM(18,12).

\[\Rightarrow 12=2\times 2\times 3\]  और 

$\Rightarrow 18=2\times 3\times 3$

LCM ($12$,$18$) 

$\Rightarrow 2\times 2\times 3\times 3=36$ 

अत:  रवि और सोनिया $36$ मिनटों के बाद पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे|

प्रश्नावली 1.3 

1. सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है|

Ans: माना $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या $\dfrac{a}{b}$ के रुप की है, जहाँ $b\ne 0$ 

माना $\sqrt{5}=\dfrac{a}{b}$

दोनों तरफ़ वर्ग करने पर,

${{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{2}}$

\[\Rightarrow 5=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}\] 

$\Rightarrow {{a}^{2}}=5{{b}^{2}}$ …….(1)

यदि ${{a}^{2}}$, $5$ से विभाज्य है तो $a$ भी $5$ से विभाज्य होगा 

माना $a=5k$, जहाँ $k$ कोई पूर्णान्क है  

दोनों तरफ़ वर्ग करने पर,

\[\Rightarrow {{a}^{2}}={{\left( 5k \right)}^{2}}\] 

समीकरण (1) में मान रखने पर 

\[\Rightarrow {{\left( 5k \right)}^{2}}=5{{b}^{2}}\]

$\Rightarrow {{b}^{2}}=5{{k}^{2}}$ …..(2)

यदि ${{b}^{2}}$, $5$ से विभाज्य है तो $b$ भी $5$ से विभाज्य होगा 

समीकरण (1) एवं (2) से हम कह सकते है कि $a$ और $b$ दोनों $5$ से विभाज्य है  

यह हमारी धारणा के विपरीत है।

इसलिये हम कह सकते है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

2. सिद्ध कीजिए कि $3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है|

Ans: माना $3+2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या $\dfrac{a}{b}$ के रुप की है, जहाँ 

माना $3+2\sqrt{5}=\dfrac{a}{b}$

$\Rightarrow 2\sqrt{5}=\dfrac{a}{b}-3$ 

$\Rightarrow \sqrt{5}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{a}{b}-3 \right)$ ……..(1)

समीकरण (1) से हम कह सकते है कि यदि $\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{a}{b}-3 \right)$ एक परिमेय संख्या है तो $\sqrt{5}$ भी परिमेय संख्या होगी|

लेकिन हम जानते है कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय संख्या है 

अत: हमारा अनुमान गलत है| 

इसलिये हम कह सकते है कि $3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है|

3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं: 

(i). $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 

Ans: माना $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या $\dfrac{a}{b}$ के रुप की है, जहाँ $b\ne 0$ 

माना $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{b}$

$\Rightarrow \sqrt{2}=\dfrac{b}{a}$ ………..(1)

समीकरण (1) से हम कह सकते है कि यदि $\dfrac{b}{a}$ एक परिमेय संख्या है तो $\sqrt{2}$ भी परिमेय संख्या होगी|

लेकिन हम जानते है कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय संख्या है 

अत: हमारा अनुमान गलत है| 

इसलिये हम कह सकते है कि $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है|

(ii). $7\sqrt{5}$ 

Ans: माना $7\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या $\dfrac{a}{b}$ के रुप की है, जहाँ $b\ne 0$

माना $7\sqrt{5}=\dfrac{a}{b}$

$\Rightarrow \sqrt{5}=\dfrac{a}{7b}$ ………..(1)

समीकरण (1) से हम कह सकते है कि यदि $\dfrac{a}{7b}$ एक परिमेय संख्या है तो $\sqrt{5}$ भी परिमेय संख्या होगी|

लेकिन हम जानते है कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय संख्या है 

अत: हमारा अनुमान गलत है| 

इसलिये हम कह सकते है कि $7\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है|

(iii). $6+\sqrt{2}$ 

Ans: माना $6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या $\dfrac{a}{b}$ के रुप की है, जहाँ $b\ne 0$

माना $6+\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$

$\Rightarrow \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}-6$ ………..(1)

समीकरण (1) से हम कह सकते है कि यदि $\dfrac{a}{b}-6$ एक परिमेय संख्या है तो $\sqrt{2}$ भी परिमेय संख्या होगी|

लेकिन हम जानते है कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय संख्या है 

अत: हमारा अनुमान गलत है| 

इसलिये हम कह सकते है कि $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है|

प्रश्नावली 1.4 

1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत है:

(i). $\dfrac{13}{3125}$

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{13}{3125}$

दी गई संख्या का हर $3125$ है|

$3125$ के गुणनखंड इस प्रकार है- 

$\Rightarrow 3125=5\times 5\times 5\times 5\times 5$ 

$\Rightarrow 3125={{5}^{5}}$

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{5}^{m}}$ रूप के हैं

इसलिये $\dfrac{13}{3125}$ सांत दशमलव प्रसार है|

(ii). $\dfrac{17}{8}$

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{17}{8}$

दी गई संख्या का हर $8$ है|

$8$ के गुणनखंड इस प्रकार है- 

$\Rightarrow 8=2\times 2\times 2$ 

$\Rightarrow 8={{2}^{3}}$

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{2}^{n}}$ रूप के हैं

इसलिये $\dfrac{17}{8}$ सांत दशमलव प्रसार है|

(iii). $\dfrac{64}{455}$

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{64}{455}$

दी गई संख्या का हर $455$ है|

$455$ के गुणनखंड इस प्रकार है- 

$\Rightarrow 455=5\times 7\times 13$ 

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ रूप के नहीं हैं|

इसलिये $\dfrac{64}{455}$ असांत दशमलव प्रसार है|

(iv). $\dfrac{15}{1600}$

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{15}{1600}$

दी गई संख्या का हर $1600$ है|

$1600$ के गुणनखंड इस प्रकार है- 

$\Rightarrow 1600=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 5\times 5$ 

$\Rightarrow 1600={{2}^{6}}\times {{5}^{2}}$

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ रूप के हैं|

इसलिये $\dfrac{15}{1600}$ सांत दशमलव प्रसार है|

(v). $\dfrac{29}{343}$

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{29}{343}$

दी गई संख्या का हर $343$ है|

$343$ के गुणनखंड इस प्रकार है- 

$\Rightarrow 343=7\times 7\times 7$ 

$\Rightarrow 343={{7}^{3}}$

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ रूप के नहीं हैं|

इसलिये $\dfrac{29}{343}$ असांत दशमलव प्रसार है|

(vi). $\dfrac{23}{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}$

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{23}{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}$

दी गई संख्या का हर ${{2}^{3}}{{5}^{2}}$ है|

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ रूप के हैं|

इसलिये $\dfrac{23}{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}$ सांत दशमलव प्रसार है|

(vii). $\dfrac{129}{{{2}^{2}}{{5}^{7}}{{7}^{5}}}$

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{129}{{{2}^{2}}{{5}^{7}}{{7}^{5}}}$

दी गई संख्या का हर ${{2}^{2}}{{5}^{7}}{{7}^{5}}$ है|

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ रूप के नहीं हैं|

इसलिये $\dfrac{129}{{{2}^{2}}{{5}^{7}}{{7}^{5}}}$ असांत दशमलव प्रसार है|

(viii). $\dfrac{6}{15}$

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{6}{15}$

दी गई संख्या का हर $15$ है|

$15$ के गुणनखंड इस प्रकार है- 

$\Rightarrow 15=3\times 5$ 

हम दी गई संख्या को निम्न प्रकार से लिख सकते है 

$\dfrac{6}{15}=\dfrac{2\times 3}{3\times 5}=\dfrac{2}{5}$ 

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{5}^{m}}$ रूप के हैं|

इसलिये $\dfrac{6}{15}$ सांत दशमलव प्रसार है|

(ix). $\dfrac{35}{50}$

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{35}{50}$.

दी गई संख्या का हर $50$ है|

$50$ के गुणनखंड इस प्रकार है- 

$\Rightarrow 50=10\times 5$ 

हम दी गई संख्या को निम्न प्रकार से लिख सकते है 

$\dfrac{35}{50}=\dfrac{7\times 5}{10\times 5}=\dfrac{7}{10}$ 

$\Rightarrow 10=2\times 5$

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ रूप के हैं|

इसलिये $\dfrac{35}{50}$ सांत दशमलव प्रसार है|

(x). $\dfrac{77}{210}$ 

Ans: एक परिमेय संख्या दी गई है $\dfrac{77}{210}$.

दी गई संख्या का हर $210$ है|

$210$ के गुणनखंड इस प्रकार है- 

$\Rightarrow 210=2\times 3\times 5\times 7$ 

यहाँ, हर के गुणनखंड ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ रूप के नहीं हैं|

इसलिये $\dfrac{77}{210}$ असांत दशमलव प्रसार है|

2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारो को लिखिए जो सांत हैं।

(i). $\dfrac{13}{3125}$

Ans: $\dfrac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

$3125\overset{0.00416}{\overline{\left){\begin{align} & 13.00000 \\ & 0 \\ & \overline{130\text{ }} \\ & \text{ 0} \\ & \overline{\text{13000}} \\ & \text{12500} \\ & \overline{\text{ 5000 }} \\ & \text{ 3125} \\ & \overline{\text{ 18750 }} \\ & \underline{\text{ 18750 }} \\ & \text{ 0} \\ \end{align}}\right.}}$ 

अत: $\dfrac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार $0.00416$ है| 

(ii). $\dfrac{17}{8}$

Ans: $\dfrac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

\[8\overset{2.125}{\overline{\left){\begin{align} & 17 \\ & 16 \\ & \overline{\text{ 10 }} \\ & \text{ 8} \\ & \overline{\text{ 20 }} \\ & \text{ 16} \\ & \overline{\text{ 40 }} \\ & \text{ }\underline{\text{40}} \\ & \text{ 0} \\ \end{align}}\right.}}\] 

अत: $\dfrac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार $2.125$ है|  

(iii). $\dfrac{15}{1600}$ 

Ans: $\dfrac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

$1600\overset{0.009375}{\overline{\left){\begin{align} & 15.000000 \\ & 0 \\ & \overline{150\text{ }} \\ & \text{ 0} \\ & \overline{\text{1500}} \\ & \text{0} \\ & \overline{\text{15000 }} \\ & \text{14400} \\ & \overline{\text{ 6000 }} \\ & \underline{\text{ 4800 }} \\ & \text{ 12000} \\ & \underline{\text{ 11200}} \\ & \text{ 8000} \\ & \text{ }\underline{\text{8000}} \\ & \text{ 0} \\ \end{align}}\right.}}$ 

अत: $\dfrac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार $0.009375$ है| 

(iv). $\dfrac{23}{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}$

Ans: $\dfrac{23}{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

$\dfrac{23}{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}=\dfrac{23}{200}$

$200\overset{00.115}{\overline{\left){\begin{align} & 23.000 \\ & 0 \\ & \overline{23\text{ }} \\ & \text{ 0} \\ & \overline{\text{230 }} \\ & 200 \\ & \overline{\text{ 300 }} \\ & \text{ 200} \\ & \overline{\text{ 1000 }} \\ & \underline{\text{ 1000 }} \\ & \text{ 0} \\ \end{align}}\right.}}$ 

अत: $\dfrac{23}{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}$ का दशमलव प्रसार $00.115$ है|  

(v). $\dfrac{6}{15}$

Ans: $\dfrac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

$\dfrac{6}{15}=\dfrac{2\times 3}{3\times 5}=\dfrac{2}{5}$ 

$5\overset{0.4}{\overline{\left){\begin{align} & 2.0 \\ & 0 \\ & \overline{20\text{ }} \\ & \underline{20\text{ }} \\ & 0 \\ \end{align}}\right.}}$ 

अत: $\dfrac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार $0.4$ है|  

(vi). $\dfrac{35}{50}$

Ans: $\dfrac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके संख्या के अंश को हर से विभाजित करेंगे।

$50\overset{0.7}{\overline{\left){\begin{align} & 35.0 \\ & 0 \\ & \overline{\text{350 }} \\ & \underline{350\text{ }} \\ & \text{ 0} \\ \end{align}}\right.}}$ 

अत: $\dfrac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार $0.7$ है|  

3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए है। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और $\dfrac{p}{q}$ रूप की हैं  तो $q$ के अभाज्य गुणनखंड के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

(i). $43.123456789$ 

Ans: दिया गया दशमलव प्रसार $43.123456789$

दी गई संख्या का प्रसार सांत है, हम $43.123456789$ को इस प्रकार लिख सकते है

$\dfrac{43123456789}{1000000000}$ जो $\dfrac{p}{q}$ के रूप में है।

इसलिये $43.123456789$ एक परिमेय संख्या है|

चूंकि संख्या का दशमलव प्रसार सांत है, इसलिए $q$ के गुणनखंडों का रूप ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ होना चाहिए।

(ii). $0.120120012000120000......$ 

Ans: दिया गया दशमलव प्रसार $0.120120012000120000......$

दी गई संख्या का प्रसार असांत है, हम $0.120120012000120000......$ को हम $\dfrac{p}{q}$ के रूप में नहीं दर्शा सकते है।

इसलिये $0.120120012000120000......$ एक अपरिमेय संख्या है|

चूंकि संख्या का दशमलव प्रसार सांत है, इसलिए $q$ के गुणनखंडों का रूप ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ होना चाहिए।

(iii). $43.\overline{123456789}$ 

Ans: दिया गया दशमलव प्रसार $43.\overline{123456789}$

दी गई संख्या का प्रसार असांत है लेकिन आवर्ती दशमलव प्रसार है। इसलिये हम $43.\overline{123456789}$ को हम $\dfrac{p}{q}$ के रूप में दर्शा सकते है।

इसलिये $43.\overline{123456789}$ एक परिमेय संख्या है ।

चूंकि संख्या का दशमलव प्रसार असांत है, इसलिए $q$ के गुणनखंडों का रूप ${{2}^{n}}{{5}^{m}}$ नहीं होगा|

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Important Topics Covered in Chapter 1 of Class 10 Maths NCERT Solutions 

The first chapter of Class 10 Maths NCERT Solutions is Real Numbers. Chapter 1 of Class 10 Maths NCERT Solutions is mainly based on all the essential concepts of real numbers. Real numbers can be classified into rational numbers and irrational numbers. Real numbers are usually denoted by the symbol "R" and they can be both positive and negative.

Below are the important concepts discussed in NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 1.

• Euclid’s division lemma

• Prime Numbers

• Composite Numbers

• Fundamental Theorem of Arithmetic

• HCF

• LCM by Prime Factorization Method

• Revision of Rational Numbers and Irrational Numbers 

• Determining whether a number is rational or irrational 

• Decimal expansion (it explores when the decimal expansion of a rational number is terminating and when it is non-terminating)

In Chapter 1, the formulas related to the properties of real numbers and their theorems are discussed in detail. Students are advised to remember the below formulas and properties covered in this chapter.

1. Commutative property: x + y = y + x

2. Associative Property: x + (y + z) = (x + y) + z

3. Euclid’s Division Lemma: [a=bq+r, 0 ≤ r < b]

Benefits of NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 1

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