NCERT Solutions for Class 9 Maths In Hindi Chapter 12 Heron'S Formula

प्रश्नावली-12.1

1. एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

उत्तर: दिया हुआ है: परिमाप =180

इसलिए

$s=\dfrac{a+a+a}{2} $

$ s=\dfrac{180}{2}=90cm $

भुजा \[=\]परिमाप\[\times \dfrac{1}{3}\]\[=\dfrac{~180}{3}=60cm\]

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$   =\sqrt{90{{\left( 90-60 \right)}^{3}}}  $

$   =\sqrt{90\times {{30}^{3}}}  $

$   =\sqrt{{{30}^{4}}\times 3}  $

$={{30}^{2}}\sqrt{3} $

$ =900\sqrt{3}c{{m}^{2}} $

2. किसी फ्लाइओवर की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाईयाँ 122 मी, 22 मी और 120 मी हैं। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 रु प्रति वर्ग मी की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?

उत्तर: दिया हुआ है a = 122 m,b = 22 m और c = 120 m

दर =Rs. 5000 प्रति वर्ग मी प्रति वर्ष

 $ s=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{122+22+120}{2}  $

   $=\dfrac{264}{2}=132  $

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$  =\sqrt{132\left( 132-122 \right)\left( 132-22 \right)\left( 132-120 \right)} $ 

   $=\sqrt{132\times 10\times 110\times 12}  $

  $ =\sqrt{11\times 12\times 10\times 11\times 10\times 12}  $ $=\sqrt{{{11}^{2}}\times {{12}^{2}}\times {{10}^{2}}}  $

$   =11\times 12\times 10=1320{{m}^{2}}  $

3 महीने का विज्ञापन किराया \[=\]क्षेत्रफल \[\times \]मूल्य\[\times \]समय मूल्य

  $ =1320\times 5000\times \dfrac{3}{12}  $

$ =Rs.1,650,000  $

3. किसी पार्क में एक फिसल पट्टी बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है। यदि इस दीवार की विमाएँ 15  मी,11 मी और 6 मी हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया हुआ है a = 15, b = 11 और c = 6 

$ S=\dfrac{a+b+c}{2}  $

$ =\dfrac{15+11+6}{2} $ 

\[=\dfrac{32}{2}=16\]

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

\[=\sqrt{16\left( 16-15 \right)\left( 16-11 \right)\left( 16-6 \right)}\]

$=\sqrt{16\times 1\times 5\times 10} $

 $  =\sqrt{4\times 4\times 5\times 5\times 2}  $

$   =4\times 5\sqrt{2}=20\surd 2\text{ }{{m}^{2}} $

4. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 सेमी और 10 सेमी हैं तथा उसका परिमाप 42 सेमी है।

उत्तर: दिया हुआ है, परिमाप =42 cm, a = 18 cm, b = 10 cm और c = ?\]

परिमाप\[=a+b+c\]

\[42=18+10+c\]

\[c\] का मान = 42-18-10 

$ c = 42 - 28 = 14 cm  $

$ s=\dfrac{a+b+c}{2}  $

$   s=\dfrac{42}{2}=21$  

क्षेत्रफल\[~=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$ =\sqrt{21\left( 21-18 \right)\left( 21-14 \right)\left( 21-10 \right)}  $

$ =\sqrt{21\times 3\times 7\times 11}  $

 $ =\sqrt{{{3}^{2}}\times {{7}^{2}}\times 11}=21\sqrt{11}c{{m}^{2}}  $

5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12:17:25 है और उसका परिमाप 540 सेमी है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया हुआ है, परिमाप = 540 cm और a : b : c = 12 : 17 : 25

भुजाओं का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

\[12x+17x+25x=540\]

या, \[54x=540\]

या\[,~x=10\]

इसलिए, \[a=120,b=170\]और\[c=250\]

अब,

$s=\dfrac{a+b+c}{2}  $

$ s=\dfrac{540}{2}=270$  

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

\[=\sqrt{270\left( 270-120 \right)\left( 270-170 \right)\left( 270-250 \right)}\]

$ =\sqrt{270\times 150\times 100\times 20}  $

$   =\sqrt{10\times 27\times 10\times 15\times 10\times 2}  $

$   =\sqrt{{{10}^{4}}\times {{3}^{4}}}={{10}^{2}}\times {{3}^{2}}=900c{{m}^{2}}$

6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप  30 सेमी है और उसकी बराबर भुजाएँ 12  सेमी लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया हुआ है, परिमाप =30 cm,a = 12, b = 12 और c = ?

\[C\] का मान =30- 12 - 12 = 30 - 24 = 6 cm

$s=\dfrac{a+b+c}{2}  $

$S=\dfrac{30}{2}=15  $

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$ =\sqrt{15\left( 15-12 \right)\left( 15-12 \right)\left( 15-6 \right)}  $

 $  =\sqrt{15\times 3\times 3\times 9}=9\sqrt{15}c{{m}^{2}}  $

प्रश्नावली -12.2

1.  एक पार्क चतुर्भुज ABCD  के आकार का है, जिसमें $\angle C =90 ^\circ$ , AB = 9 m  BC = 12 m , CD = 5 m  और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है?

उत्तर: इस आकृति के अनुसार AB =9 m,BC = 12m,CD = 5 m और AD = 8 m. \[\angle C\text{ }=\text{ }90{}^\circ \]

\[\Delta BDC\] में:

\[B{{D}^{2}}~=\text{ }B{{C}^{2}}~+\text{ }D{{C}^{2}}\]

\[=\text{ }{{12}^{2}}~+\text{ }{{5}^{2}}\]

\[=\text{ }144\text{ }+\text{ }25\text{ }=\text{ }169\]

या, \[BD\text{ }=\text{ }13\text{ }cm\]

\[\Delta BCD\] का क्षेत्रफल \[=\dfrac{1}{2}\times BC\times CD\]

\[=\dfrac{1}{2}\times 12\times 5=30c{{m}^{2}}\]

\[\Delta ABD\] में: a = 9 m, b = 13 m, और c = 8 m

अब  

$s=\dfrac{a+b+c}{2}$  

$s=\dfrac{9+13+8}{2}=15  $

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$ =\sqrt{15\left( 15-9 \right)\left( 15-13 \right)\left( 15-8 \right)}  $

$=\sqrt{15\times 6\times 2\times 7}=6\sqrt{35}=6\times 5.91  $

$ =35.49{{m}^{2}}  $

कुल क्षेत्रफल =30 + 36 = 66 sq m (लगभग)

2. एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm है।

उत्तर:क्षेत्रफल: \[\Delta ABC\] में \[s=\dfrac{3+4+5}{2}=6\]

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$ =\sqrt{6\left( 6-3 \right)\left( 6-4 \right)\left( 6-5 \right)} $ 

$ =\sqrt{6\times 3\times 2\times 1}=6\text{ }c{{m}^{2}}  $

\[\Delta \text{ }ADC\] में

$ s=\dfrac{a+b+c}{2}  $

$ s=\dfrac{5+5+4}{2}=7  $

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$ =\sqrt{7\left( 7-5 \right)\left( 7-5 \right)\left( 7-4 \right)}  $

$=\sqrt{7\times 2\times 2\times 3}  $

$=2\surd 21=2\times 4.583  $

 $ =9~.166c{{m}^{2}}  $

$ =9c{{m}^{2}}  $

कुल क्षेत्रफल =6 + 9 = 15 $c{{m}^{2}}$ (लगभग)

3. राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाईजहाज का चित्र बनाया, जैसा कि इस आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भाग -1

(एक समद्विबाहु त्रिभुज): \[a\text{ }=\text{ }5\text{ }cm,\text{ }b\text{ }=\text{ }5\text{ }cm\] और c = 1 cm इसलिए, \[s=\dfrac{5+5+1}{2}=5.5\]

क्षेत्रफल\[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$ =\sqrt{5.5\left( 5.5-5 \right)\left( 5.5-5 \right)\left( 5.5-1 \right)}  $

$   =\sqrt{5.5\times 0.5\times 0.5\times 4.5} $ 

$ =0.75\sqrt 11=2.488 c{{m}^{2}} $

(लगभग)

Part II  (चतुर्भुज): लम्बाई 6.5 cm और चौड़ाई =1 cm

क्षेत्रफल =\[6.5\times 1=6.5c{{m}^{2}}\]

Part III (समलम्ब): यह तीन समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बना है जिनकी भुजा =1 cm

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \[=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \]भुजा \[\times \] भुजा

\[=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times {{1}^{2}}\]

इसलिए भाग -3 का क्षेत्रफल \[=3\dfrac{\sqrt{3}}{4}=1.3c{{m}^{2}}\] (लगभग)

Part IV और V (त्रिभुज\[):~b\text{ }=\text{ }6\text{ }cm\] और h = 1.5 cm त्रिभुज का क्षेत्रफल \[=\dfrac{1}{2}\times h\times b\]

\[=\dfrac{1}{2}\times 1.5\times 6=4.5~c{{m}^{2}}\]

भाग -4+ भाग -5 का क्षेत्रफल $=9c{{m}^{2}}$

कुल क्षेत्रफल =2.488 + 6.5+ 1.3 + 9 = 19.3 $c{{m}^{2}}$

4. एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 सेमी के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया हुआ है; \[a\text{ }=\text{ }26\text{ }cm,\text{ }b\text{ }=\text{ }28\text{ }cm\] और c = 30 cm, और समांतर चतुर्भुज का आधार 28 cm

त्रिभुज के लिए\[:~s=\dfrac{26+28+30}{2}=\dfrac{84}{2}=42\]

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$ =\sqrt{42\left( 42-26 \right)\left( 42-28 \right)\left( 42-30 \right)}  $

$   =\sqrt{42\times 16\times 14\times 12}  $

$   =\sqrt{7\times 2\times 3\times 4\times 4\times 2\times 7\times 2\times 2\times 3}  $

$   =\sqrt{{{7}^{2}}\times {{3}^{2}}\times {{16}^{2}}}  $

$   =7\times 3\times 16=336c{{m}^{2}}  $

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल=आधार \[\times \] ऊँचाई

या, \[336\text{ }=\text{ }28\text{ }\times \]ऊँचाई

या, ऊँचाई \[=\dfrac{336}{28}=12~cm\]

5. एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 मी है और बड़ा विकर्ण 48 मी है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा।

उत्तर: दिया गया है\[;\text{ }AB\text{ }=\text{ }BC\text{ }=\text{ }CD\text{ }=\text{ }AD\text{ }=\text{ }30\text{ }cm\] और BD = 48 m

इसलिए, \[AO\text{ }=\text{ }24\text{ }m\]

\[\Delta AOB\] में\[:~A{{O}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{O}^{2}}\]

$ ={{30}^{2}}-{{24}^{2}}  $

$ = 900 - 576 = 324 $

या\[,~AO=18\]

इसलिए समचतुर्भुज का दूसरा विकर्ण \[ AC =18\times 2=36~m\]

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \[=\dfrac{1}{2}\times {{d}_{1}}\times {{d}_{2}}\]

\[=12\times 48\times 36=864{{m}^{2}}\]

इसलिए प्रति गाय क्षेत्रफल \[=\dfrac{864}{18}=48\text{ }{{m}^{2}}\]

6. दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 सेमी, 50 सेमी और 50 सेमी है। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?

उत्तर: \[a\text{ }=\text{ }20\text{ }cm,\text{ }b\text{ }=\text{ }50\text{ }cm,\text{ }c=\text{ }50\text{ }cm\]

इसलिए\[,~s=\dfrac{20+50+50}{2}=60\]

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$ =\sqrt{60\left( 60-50 \right)\left( 60-50 \right)\left( 60-20 \right)} $

$ =\sqrt{60\times 10\times 10\times 40}$  

$   =\sqrt{{{10}^{4}}\times {{2}^{2}}\times 6}=200\sqrt{6}~c{{m}^{2}} $

हर रंग के कपड़े का क्षेत्रफल \[=5\times 200\sqrt{6}c{{m}^{2}}\]

हर रंग के कपड़े का क्षेत्रफल \[=1000\sqrt{6}c{{m}^{2}}\]

7.  एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों के कागजों से बनी है। इन्हें इस आकृति में I, II और III  से दिखाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 सेमी विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 सेमी, 6  सेमी और 8  सेमी भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल \[=\dfrac{1}{2}\times 32\times 32=512c{{m}^{2}}\]

(जब विकर्ण दिये हुए हों तो वर्ग का क्षेत्रफल वैसे ही निकाला जा सकता है, जैसे समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालते हैं)

इसलिए आकृति \[I\] का क्षेत्रफल = आकृति \[~II\]

\[=\dfrac{512}{2}=256c{{m}^{2}}\]

अब त्रिभुजाकार आकृति के लिए: a = 6 cm, b = 6 cm, c = 8 cm इस आकृति के लिए \[s=\dfrac{6+6+8}{2}=10\]

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$=\sqrt{10\left( 10-6 \right)\left( 10-6 \right)\left( 10-8 \right)} $

$=\sqrt{10\times 4\times 4\times 2}=8\sqrt{5}c{{m}^{2}}  $

8. फर्श पर एक फूलों का डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 सेमी, 28 सेमी और 35  सेमी हैं। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति वर्ग सेमी की दर से पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है, \[a\text{ }=\text{ }9\text{ }cm,\text{ }b\text{ }=\text{ }28\text{ }cm\] और c = 35 cm

इसलिए\[,~s=\dfrac{9+28+35}{2}=36\]

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

\[=\sqrt{36\left( 36-35 \right)\left( 36-28 \right)\left( 36-9 \right)}\]

$ =\sqrt{36\times 1\times 8\times 27}  $

$=\sqrt{{{6}^{2}}\times {{2}^{2}}\times {{3}^{2}}\times 6}=36\sqrt{6}c{{m}^{2}} $

खर्च =\[16\times 36\sqrt{6}\times 0.50=Rs.288\surd 6\]

9. एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25  मी और 10 मी हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14  मी और 13 मी हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \[ABCD\] एक समलंब है जिसमें AB = 10 cm, DC = 25 cm, BC = 14 cm और AD = 13 cm

\[BE||AD\] खींचिए

\[\Delta BEC\] में, \[a\text{ }=\text{ }13\text{ }cm,\text{ }b\text{ }=\text{ }14\text{ }cm\] और c = 15 cm

इसलिए,\[,~s=\dfrac{13+14+15}{2}=21\]

क्षेत्रफल \[=\sqrt{s\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}\]

$ =\sqrt{21\left( 21-13 \right)\left( 21-14 \right)\left( 21-15 \right)} $ 

$   =\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}  $

 $  =\sqrt{7\times 2\times 2\times 2\times 2\times 7\times 3\times 3}=84c{{m}^{2}} $

अब ऊँचाई \[BM\] का मान इस तरह निकाल सकते हैं

त्रिभुज का क्षेत्रफल \[=\dfrac{1}{2}\times Base\times Height\]

\[=\dfrac{1}{2}\times EC\times BM\]

या, \[84=\dfrac{1}{2}\times 15\times BM\]

या, \[BM=\dfrac{84\times 2}{15}=11.2m\]

समलम्ब का क्षेत्रफल \[=\dfrac{1}{2} \times \] ऊँचाई \[\times \] (समांतर भुजाओं का योग)

\[=\dfrac{1}{2}\times 11.2\times \left( 10+25 \right)=5.6\times 35=196\text{ }{{m}^{2}}\]

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 Heron's Formula In Hindi

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