NCERT Solutions for Class 11 Maths In Hindi Chapter 16 Probability

प्रश्नावली – 16.1

निम्नलिखितप्रश्नों1से7मेंप्रत्येकनिर्दिष्टपरीक्षणकाप्रतिदर्शसमष्टिज्ञातकीजिए।

1. एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है।

उत्तर: एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है । 

 अतः प्रतिदर्श समष्टि, 

\[{\text{S}} = \{ {\text{HHH}},{\text{TTT}},{\text{HHT}},{\text{HTT}},{\text{HTH}},{\text{TTH}},{\text{THH}},{\text{THT}}\} \]

2.एक पाँसा दो बार फेंका गया है।

उत्तर: एक पाँसा दो बार फेंका गया है।

अतः प्रतिदर्श समष्टि, 

$\begin{align} S = \{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), \hfill \\ (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), \hfill \\ (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \hfill \\ (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), \hfill \\ (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), \hfill \\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}  \hfill \\  \end{align} $

3. एक सिक्का चार बार उछाला गया है।

उत्तर: एक सिक्का चार बार उछाला गया है।

अतः प्रतिदर्श समष्टि, 

\[\begin{align} {\text{S}} = \left\{ {{\text{HHHH}},{\text{HHHT}},{\text{HHTH}},{\text{HTHH}},{\text{THHH}}{\text{HHTT}},{\text{HTHT,}}} \right. \hfill \\ {\text{HTTH, THHT, THTH, TTHH, HTTT, THTT, TTHT, TTTH, TTTT\} }} \hfill \\  \end{align} \]

4.एक सिक्का उछाला गया है और एक पाँसा फेंका गया है।

उत्तर:  एक सिक्का उछाला गया है और एक पाँसा फेंका गया है।

अतः प्रतिदर्श समष्टि, 

\[{\text{S = \{ H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\} }}\]

5. एक सिक्का उछाला गया है और केवल उस दशा में, जब सिक्के में चित्त प्रकट होता है एक पाँसा  फेंका जाता है।

उत्तर:  एक सिक्का उछाला गया है और केवल उस दशा में, जब सिक्के में चित्त प्रकट होता है एक पाँसा  फेंका जाता है।

 अतः प्रतिदर्श समष्टि, 

\[{\text{S = \{ H1, H2, H3, H4, H5, H6\} }}\]

6. X कमरे में 2  लड़के तथा 2 लड़कियाँ हैं तथा Y  कमरे में 1 लड़का और 3 लड़कियाँ हैं।उस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए जिसमें पहले एक कमरा चुना जाता है फिर एक बच्चा चुना जाता है।

उत्तर:  मान लेते हैं कि कमरे मे लड़के और लड़कियां  = \[{\text{B1, B2, G1, G2,}}\]

और Y  कमरे में  लड़के और लड़कियां =\[{\text{B3, G3, G4, G5}}\]

अतः प्रतिदर्श समष्टि, 

\[{\text{S = \{ XB1, XB2, XG1, XG2, YB3, YG3, YG4, YG5\} }}\]

7. एक पासा लाल रंग का, एक सफ़ेद रंग का एक अन्य पासा नीले रंग का एक थैले मे रखे हैं। एक पासा याहच्छया चुना गया और उसे फेंका गया है। प्रतिदर्श समिष्ट का वर्णन कीजिए।

उत्तर:  मान लेते हैं लाल रंग का थैला = R,

सफ़ेद रंग का थैला = \[{\text{W}}\]

नीले रंग का थैला = \[{\text{B}}\]

 अतः प्रतिदर्श समष्टि, 

\[{\text{S = \{ R1, R2, R3, R4, R5, R6, W1, W2, W3, W4, W5, W6, B1, B2, B3, B4, B5, B6\} }}\]

8. एक परिक्षण में 2 बच्चों वाले परिवारों में से प्रत्येक में लड़के लड़कियों की संख्याओं को लिखा जाता  है।

(I) यदि हमारी रूचि इस बात को जानने में है कि जन्म के क्रम मे बच्चा लड़का या लड़की है तो प्रतिदर्श समिष्ट क्या होगी?

उत्तर : परिवारमे 2 बच्चेहैं।

अतः प्रतिदर्श समष्टि, 

\[{\text{S = }}\left\{ {{\text{BB, GG, BG, GB}}} \right\}\]

(II) यदि हमारी रूचि किसी परिवार में लड़कियों की संख्या जानने में है तो प्रतिदर्श समिष्ट क्या होगी?

उत्तर: यदि हमारी रूचि किसी परिवार में लड़कियों की संख्या जानने में है तो प्रतिदर्श समिष, \[S = \{ GG,BG,GB\} \] 

9. एक बॉक्स में 1 लाल और 3 समान सफेद बॉल्स होते हैं। प्रतिस्थापन के बिना उत्तराधिकार में याहच्छिक रूप से दो गेंदें खींची जाती हैं। इस प्रयोग के लिए नमूना स्थान लिखें

उत्तर:  यह दिया गया है कि बॉक्स में 1 लाल गेंद और 3 समान सफेद गेंदें हैं। आइए हम $R$ के साथ लाल गेंदों और डब्लू के साथ सफेद गेंद को निरूपित करते हैं। जब प्रतिस्थापन के बिना उत्तराधिकार में याहच्छिक रूप से दो गेंदें खींची जाती हैं, तो नमूना स्थान \[S = \left\{ {RW,{\text{ }}WR,{\text{ }}WW} \right\}\] द्वारा दिया जाता है।

10. एक प्रयोग में एक सिक्का उछाला जाता है और फिर एक सिर होने पर दूसरी बार फेंक दिया जाता है। यदि पहली टॉस पर पूंछ होती है, तो एक बार एक मर जाता है। नमूना स्थान खोजें

उत्तर:  एक सिक्के के दो चेहरे हैं: सिर (एच) और पूंछ (टी) एक डाई में ऐसे चेहरे होते हैं जिनकी संख्या 1 से 6 तक होती है, प्रत्येक चेहरे पर एक नंबर होता है।

इस प्रकार, दिए गए प्रयोग में, नमूना स्थान द्वारा दिया गया है \[S = \{ H{\text{ }}H,{\text{ }}HAT,{\text{ }}T1,{\text{ }}T2,{\text{ }}T3,{\text{ }}T4,{\text{ }}TS,{\text{ }}T6\} \] 

 11. मान लीजिए कि 3 बल्ब बहुत से याद्चचिक पर चुने गए हैं। प्रत्येक बल्ब को दोषपूर्ण (D) या गैर-दोषपूर्ण (N) के रूप में परीक्षण और वर्गीकृत किया जाता है। इस प्रयोग का नमूना स्थान लिखें

उत्तर: 3 बल्ब बहुत से याहच्छिक पर चुने जाने हैं। बहुत में प्रत्येक बल्ब को दोषपूर्ण (D) और गैर-दोषपूर्ण (N) के रूप में परीक्षण और वर्गीकृत किया जाता है।

इस प्रयोग का नमूना स्थान द्वारा दिया गया है \[S = \left\{ {D{\text{ }}D{\text{ }}D,{\text{ }}D{\text{ }}D{\text{ }}N,{\text{ }}D{\text{ }}N{\text{ }}N,{\text{ }}D{\text{ }}N{\text{ }}D,{\text{ }}NND,{\text{ }}NDD,NDN,{\text{ }}NNN} \right\}\] 

 12. एक सिक्का उछाला जाता है। यदि परिणाम सिर है, तो एक फेंक दिया जाता है। यदि मृत्यु एक सम संख्या दिखाती है, तो मृत्यु को फिर से फेंक दिया जाता है। प्रयोग के लिए नमूना स्थान क्या है?

उत्तर:  जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम सिर (H पूंछ (T) होते हैं। जब एक डाई फेंकी जाती है, तो संभावित परिए $1,2,3,4,5$ या \[6\] होते हैं।

इस प्रकार, इस प्रयोग का नमूना स्थान द्वारा दिया गया है

\[\begin{align} {\text{S =  \{ T, H1, H3, H5, H21, H22, H23, H24, H25, H26, H41, H42, H43, H44, H45, H46, H61,}} \hfill \\ {\text{H62, H63, H64, H6S, H66\} }} \hfill \\  \end{align} \]

13. संख्या \[{\mathbf{1}},{\mathbf{2}},{\mathbf{3}},\] और \[{\mathbf{4}}\] कागज की चार पर्चियों पर अलग से लिखे गए हैं। पर्ची को एक बॉक्स में रखा जाता है और अच्छी तरह मिलाया जाता है। एक व्यक्ति बॉक्स से दो पर्ची निकालता है, एक के बाद एक, बिना प्रतिस्थापन के। प्रयोग के लिए नमूना स्थान का वर्णन करें

उत्तर:  

यदि पहली ड्रा की गई पर्ची पर 1 दिखाई देता है, तो दूसरी खींची गई पर्ची पर नंबर दिखाई देने वाली संभावनाएं 2,3 या 4 हैं। इसी तरह, यदि

पहली ड्रा की गई पर्ची पर 2 दिखाई देती है, तो संभावना यह है कि नंबर दूसरे ड्रा पर दिखाई देता है। पर्ची 1,3 या 4 है। वही शेष संख्याओं के लिए भी सही है

इस प्रकार इस प्रयोग का नमूना स्थान \[S = \{ (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)\} \]

14. एक प्रयोग में एक डाई को रोल करना और एक बार सिक्के को उछालना शामिल है यदि मरने पर संख्या सम है। यदि मरने पर संख्या विषम है, तो सिक्का दो बार उछाला जाता है। इस प्रयोग को नमूना स्थान को लिखें।

उत्तर: एक डाई में छह चेहरे होते हैं जिनकी संख्या 1 से 6 तक होती है, प्रत्येक चेहरे पर एक नंबर होता है। इन संख्याओं में से 2,4 और 6 सम संख्याएँ हैं, जबकि 1,3 और 5 विषम संख्याएँ हैं।

एक सिक्के के दो चेहरे हैं: सिर $(\mathrm{H})$ और पूंछ (T)।

इसलिए इस प्रयोग का नमूना स्थान निम्न द्वारा दिया गया है:

\[{\text{S = \{ 2H,2T,4H,4T,}}\;{\text{6H,6T,1HH, 1HT, 1TH, 1TT, 3HH, 3HT,3TH,3TT,5HH,5HT,5TH,5TT\} }}\]

15. एक सिक्का उछाला जाता है। यदि यह एक पूंछ दिखाता है, तो हम एक बॉक्स से एक गेंद खींचते हैं जिसमें 2 लाल और 3 काली गेंदें होती हैं। अगर यह सिर दिखाता है, तो हम मर जाते हैं। इस प्रयोग के लिए नमूना स्थान खोजें।

उत्तर: बॉक्स में 2 लाल गेंदें और 3 काली गेंदें हैं। आइए हम 2 लाल गेंदों को ${\text{R1}},{\text{R}}2$ और 3 काली गेंदों को ${\text{B}}1,\;{\text{B}}2$  और ${\text{B}}3$ के रूप में निरूपित करें।

इस अनुभवी के नमूने स्थान द्वारा दिया गया है

\[{\text{S  = \{ TR1, TR2, TB1, TB2, TB3, H1, H2, H3, H4, H5, H6 \} }}\]

16. एक मरने के लिए बार-बार फेंका जाता है जब तक कि कोई छक्का न आ जाए। इस प्रयोग के लिए नमूना स्थान क्या है?

उत्तर:  इस अनुभव में, छह पहले थ्रो पर, दूसरा थ्रो, तीसरा थ्रो और इतने पर टिल सिक्स प्राप्त हो सकता है।

इसलिए इस अनुभव के नमूने का स्थान इसके द्वारा दिया गया है

\[\begin{align} = \{ 6,(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(1,1,6),(1,2,6), \hfill \\ \ldots  \ldots ,(1,5,6),(2,1,6),(2,2,6), \ldots  \ldots ,(2,5,6), \ldots ,(5,1,6),(5,2,6), \ldots ...\}  \hfill \\  \end{align} \]

प्रश्नावली 16.2 

1. एक पासा फेंका जाता है। मन लीजिए घटना $E$ पासे पर संख्या 4 दर्शाता' है और घटना $F$ पासे पर सम संख्या दर्शाता' है। क्या $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी हैं?

उत्तर: पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि \[ = \{ 1,2,3,4,5,6\} \]

\[{\text{E}}\] (संख्या 4 दर्शाता है) \[ = \{ 4\} \]

\[{\text{F}}\] (सम संख्या)\[ = \{ 2,4,6\} \]

\[{\text{E}} \cap {\text{F}} = \{ 4\}  \cap \{ 2,4,6\}  = \{ 4\} \]

अतः \[{\text{E}}\]और\[{\text{F}}\] परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

2. एक पासा फेंका जाता है।निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:

(i) \[{\mathbf{\text{A}}}\]: संख्या\[\mathbf{{\text{7}}}\]से कम है।

उत्तर: \[{\text{A}}\]: संख्या\[{\text{7}}\]सेकमहै\[ = \{ 1,2,3,4,5,6\} \]

(ii) \[\mathbf{{\text{B}}}\]: संख्या\[\mathbf{{\text{7}}}\]से बड़ी है।

उत्तर:B: संख्या 7 सेबड़ीहै = पासे में कोई संख्या 7 से बड़ी नहीं है।  

(iii) \[\mathbf{{\text{C}}}\]: संख्या 3 का गुणज है।

उत्तर: C: संख्या 3 कागुणजहै\[ = \{ 3,6\} \]

(iv) \[\mathbf{{\text{D}}}\] : संख्या\[{\mathbf{\text{4}}}\]से कम है।

उत्तर: D: संख्या 4 सेकमहै\[ = \{ 1,2,3\} \]

(v) \[\mathbf{{\text{E}}}\]: \[\mathbf{{\text{4}}}\]से बड़ी सम संख्या है।

उत्तर:\[{\text{E}}\]: \[{\text{4}}\]सेबड़ीसमसंख्याहै\[ = \{ 6\} \]

(vi) \[{\mathbf{\text{F}}}\] : संख्या 3 से कम नहीं है।

उत्तर: \[{\text{F}}\] : संख्या\[3\]से कम नहीं है\[ = \{ 3,4,5,6\} \]

\[{\text{A}} \cup {\text{B}},\;{\text{A}} \cap {\text{B}},\;{\text{B}} \cup {\text{C}},\,\;{\text{E}} \cap {\text{F}},\;{\text{D}} \cap {\text{E}},\;{\text{A}} - {\text{C}},\;{\text{D}} - {\text{E}},\;{\text{E}} \cap {{\text{F}}^\prime },{{\text{F}}^\prime }\]भी ज्ञात कीजिए।

\[\begin{align} A \cup B = \{ 1,2,3,4,5,6\}  \cup \phi  = \{ 1,2,3,4,5,6\}  \hfill \\ A \cap B = \{ 1,2,3,4,5,6\}  \cap \phi  = \phi  \hfill \\ B \cup C = \phi  \cup \{ 3,6\}  = \{ 3,6\}  \hfill \\ E \cap F = \{ 6\}  \cap \{ 3,4,5,6\}  = \{ 6\}  \hfill \\ D \cap E = \{ 1,2,3\}  \cap \{ 6\}  = \phi  \hfill \\ A - C = \{ 1,2,3,4,5,6\}  - \{ 3,6\}  = \{ 1,2,4,5\}  \hfill \\ D - E = \{ 1,2,3\}  - \{ 6\}  = \{ 1,2,3\}  \hfill \\ E \cap {F^\prime } = \{ 6\}  - \{ 1,2\}  = \phi  \hfill \\ {F^\prime } = \{ 1,2\}  \hfill \\  \end{align} \]

3.एक परीक्षण में पासें के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं।निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:

\[\mathbf{{\text{A}}}\]: प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।

\[\mathbf{{\text{B}}}\]: दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है।

\[\mathbf{{\text{C}}}\]: प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।

इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं ?

उत्तर:  जब दो पासे फेंके जाता हैं, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या  = \[6 \times 6 = 36\]

\[{\text{A}}\]: प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।

\[{\text{A}} = \{ (3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)\} \]

\[{\text{B}}\]कम से कम एक पासे पर संख्या 2 प्रकट होती है।

\[{\text{B}} = \{ (1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\} \]

\[{\text{C}}\]= प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।

\[{\text{C}} = \{ (3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)\} \]

${\text{A}} \cap {\text{C}}={(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)}  \cap { (3,6),(4,5),(6,3),(5,4),(6,6)}$

$= { (3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(6,6)}$  

${\text{A}} \cap {\text{B}} = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)} \cap {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} = \phi$ 

${\text{B}} \cap {\text{C}} = {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}  \cap { (3,6),(4,5),(6,3),(5,4),(6,6)}  = \phi$

${\text{A}} \cap {\text{B}} = \phi$  

${\text{ B}} \cap {\text{C}} = \phi$

अतः \[{\text{A}}\], \[{\text{B}}\], तथा \[{\text{C}}\]परस्पर अपवर्जी हैं । 

4. तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। मान लीजिये कि घटना तीन चित्त दिखाना' को $A$ से, घटना दो चित्त और एक पट् दिखना' को $B$ से, घटना तीन पट् दिखना' को $C$ और घटना 'पहले सिक्के पर चित्त दिखना' को ${\text{D}}$ से निरूपित किया गया है।जबतीनसिक्केउछालतेहैंतोप्रतिदर्शसमष्टि

उत्तर: \[{\text{S}} = \{ {\text{HHH}},{\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{HTT}},{\text{THH}},{\text{THT}},{\text{TTH}},{\text{TTT}}\} \]

\[{\text{A}}\]: तीन चित्त दिखना\[ = \{ {\text{HHH}}\} \]

\[{\text{B}}\]: दो चित्त और एक पट्दिखना\[ = \{ {\text{HHT}},{\text{HTH, THH}}\} \]

\[{\text{C}}\]: तीन पट्दिखना\[ = \{ {\text{TTT}}\} \]

\[{\text{D}}\]: पहले सिक्के पर चित्त दिखना\[ = \{ {\text{HHH}},{\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{HTT}}\} \]

बताइए कि इन में से कौन सी घटनाएँ

(i) परस्पर अपवर्जी हैं?

उत्तर: 

\[\begin{align} A \cap {\text{B}} = \{ {\text{HHH}}\}  \cap \{ {\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{THH}}\}  = \phi  \hfill \\ A \cap {\text{C}} = \{ {\text{HHH}}\}  \cap \{ {\text{TTT}}\}  = \phi  \hfill \\  \end{align} \]

\[\begin{align} A \cap {\text{D}} = \{ {\text{HHH}}\}  \cap \{ {\text{HHH}},{\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{HTT}}\}  = \{ {\text{HHH}}\}  \hfill \\ B \cap {\text{C}} = \left\{ {{\text{HHT}},{\text{HT}}{{\text{H}}_t}{\text{THH}}} \right\} \cap \{ {\text{TTT}}\}  = \phi  \hfill \\ B \cap {\text{D}} = \{ {\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{THH}}\}  \cap \{ {\text{HHH}},{\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{HTT}}\}  = \{ {\text{HHT}},{\text{HTH}}\}  \hfill \\ C \cap {\text{D}} = \{ {\text{TTT}}\}  \cap \{ {\text{HHH}},{\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{HTT}}\}  = \phi  \hfill \\ A \cap B \cap {\text{C}} = \{ {\text{HHH}}\}  \cap \{ {\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{THH}}\}  \cap \{ {\text{TTT}}\}  \hfill \\ \end{align} \]

(ii) सरल हैं?

उत्तर: सरलघटनाएँ : \[{\text{A}}\]और\[{\text{C}}\]

 (iii) मिश्र हैं

उत्तर: मिश्रघटनाएँ : \[{\text{B}}\]और\[{\text{D}}\]

5. तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं।वर्णन कीजिए।

(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं।

उत्तर:दो घटनाएँ जो परस्परअपवर्जीहैं।

\[{\text{A}}\]: कम से कम दो चित्त प्राप्त करना\[ = \{ {\text{HHH}},{\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{THH}}\} \]

\[{\text{B:}}\left\{ {{\text{TTT, THT, TTH, HTT}}} \right\}\]

(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और नि:शेष हैं।

उत्तर: तीन घटनाएँ जो परस्परअपवर्जीऔरनिःशेषहैं।

\[{\text{A}}\]: अधिकसेअधिकएकचित्तप्राप्तकरना = \[{\text{\{ TTT,TTH,THT,HTT\} }}\]

\[{\text{B}}\]: दो चित्त प्राप्त करना\[ = \{ {\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{THH}}\} \]

\[{\text{C}}\]: तीन चित्त प्राप्त करना\[ = \{ {\text{HHH}}\} \]

(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

उत्तर:दो घटनाएँ जो परस्परअपवर्जीनहींहैं।

\[{\text{A}}\]: अधिकतम 2 पट प्राप्त करना\[ = \{ {\text{HHH}},{\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{THH}},{\text{TTH}},{\text{THT}},{\text{HTT}}\} \]

\[{\text{B}}\]: दो चित्त प्राप्त करना

\[\begin{align} {\text{ = \{ HHT,HTH,THH\} }} \hfill \\ {\text{A}} \cap {\text{B}} = \{ {\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{THH}}\}  \hfill \\  \end{align} \]

(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किंतु निःशेष नहीं हैं।

उत्तर: दो घटनाएँ जो परस्परअपवर्जी हैंकितुनिःशेषनहींहैं।

\[{\text{A}}\]: एक चित्त प्राप्त करना = \[\{ {\text{TTH}},{\text{THT}},{\text{HTT}}\} \]

\[{\text{B}}\]: दो चित्त प्राप्त करना\[ = \{ {\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{THH}}\} \]

(v)तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं कि तुनिःशेष नहीं हैं।

उत्तर:\[{\text{A}}\]: एक पटप्राप्त करना\[ = \{ {\text{HHT}},{\text{THT}},{\text{THH}}\} \]

\[{\text{B}}\]: दो पट प्राप्त करना\[{\text{ = \{ TTH,THT,HTT\} }}\]

\[{\text{C}}\]: तीन पट प्राप्त करना\[{\text{ = }}\left\{ {{\text{T T}}} \right\}\]

6. दो पासे फेंके जाते हैं।घटनाएँ\[{\text{A}}\],\[{\text{B}}\]और\[{\text{C}}\]निम्नलिखित प्रकार से हैं: 

\[{\text{A}}\]: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना

\[{\text{B}}\]: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना

\[{\text{C}}\]: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग\[ \leqslant 5\]होना

उत्तर: 

\[\begin{align} {\text{S}} = \{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \hfill \\  (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,6), \hfill \\ (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}  \hfill \\ \end{align} \]

\[{\text{A}}\]: पहलेपासापरसमसंख्याप्राप्तहोना

\[\begin{align} = \{ (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), \hfill \\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}  \hfill \\  \end{align} \]

B: पहलेपासापरविषमसंख्याप्राप्तहोना

\[ {\text{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}} \]

C: पासोंपरप्राप्तसंख्याओंकायोग \[ \leqslant 5 = \{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)\} \]

निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:

(i) \[\mathbf{{{\text{A}}^\prime }}\]

उत्तर: 

\[\begin{align} {{\text{A}}^\prime } = \{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \hfill \\ (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\}  = {\text{B}} \hfill \\  \end{align} \]

(ii) \[\mathbf{{\text{B}} -} \]नहीं

उत्तर: 

\[\begin{align} {{\text{B}}^\prime } = \{ (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), \hfill \\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}  = {\text{A}} \hfill \\  \end{align} \]

(iii)  Aया B

उत्तर: 

\[\begin{align} {\text{A}} \cup {\text{B = }}\{ ({\text{1}},{\text{1}}),({\text{1}},{\text{2}}),({\text{1}},{\text{3}}),({\text{1}},{\text{4}}),({\text{1}},{\text{5}}),({\text{1}},{\text{6}}),({\text{3}},{\text{1}}),({\text{3}},{\text{2}}),({\text{3}},{\text{3}}),(3,4),(3,5),(3,6), \hfill \\ (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,6), \hfill \\ (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}  = {\text{S}} \hfill \\  \end{align} \]

(iv)  A और B

उत्तर: \[{\text{A}} \cap {\text{B}} = \phi \]

(v)  \[\mathbf{{\text{A}}}\]किंतु\[\mathbf{{\text{C}}}\]नहीं

उत्तर: \[{\text{A}} - {\text{C}} = \{ (2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \]

(vi)  \[{\text{A}}\]या\[{\text{C}}\]

उत्तर: 

\[\begin{align} {\text{B}} \cup {\text{C}} = \{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3), \hfill \\ (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\}  \hfill \\  \end{align} \]

(vii) B और C

उत्तर: \[B \cap C = \{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2)\} \]

(viii)\[\mathbf{{\text{A}} \cap {{\text{B}}^\prime } \cap {{\text{C}}^\prime }}\]

उत्तर: 

\[\begin{align} A \cap {B^\prime } \cap {C^\prime } = \{ (2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,3),(4,4), \hfill \\ (4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}  \hfill \\  \end{align} \]

7. उपर्युक्त प्रश्न 6 को देखिए और निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):

(i) \[\mathbf{{\text{A}}}\]और\[\mathbf{{\text{B}}}\]परस्पर अपवर्जी हैं।

उत्तर: सत्य|

A: पहले पासे पर सम संख्या का होना, B: पहले पासे पर विषम संख्या होना और A,B परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं|

(ii) \[\mathbf{{\text{A}}}\]और\[\mathbf{{\text{B}}}\]परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।

सत्य| 

A: पहले पासे पर सम संख्या का होना, B: पहले पासे पर विषम संख्या होना। दुसरे पासे पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या हो सकती है। इसलिए A और B परस्पर अपवर्जी और नि:शेष घटनाएँ हैं।

(iii) \[\mathbf{{\text{A}} = {{\text{B}}^\prime }}\]

सत्य।

B': पहले पासे पर विषम संख्या न होना=A 

(iv) \[\mathbf{{\text{A}}}\]और\[\mathbf{{\text{C}}}\]परस्पर अपवर्जी हैं।

असत्य ।

$A \cap C \ne \emptyset $ अतः $A$ और $C$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं। (v) A और\[{B^\prime }\]परस्पर अपवर्जी हैं।

(v)$\mathbf{{\text{A}}}$और $\mathbf{{\text{B}}}$ परस्पर अपवर्जी हैं। 

असत्य|

$A \cap {B^\prime } \ne \emptyset {\text{ }}$ अतः $A$  और ${\text{B}}$  ' परस्पर अपवर्जी नहीं है। 

(vi) \[\mathbf{{{\text{A}}^\prime },{{\text{B}}^\prime },{\text{C}}}\]अपवर्जी और नि:शेषघटनाएँ हैं।

सत्य।

क्यूंकि , ${A^\prime } = B$ और  ${B^\prime } = A$ 

प्रश्नावली 16.3

1.निम्नलिखित में से कौन सा नमूना स्थान के परिणामों के लिए संभाव्यता का मान्य असाइनमेंट नहीं हो सकता है ${\mathbf{\text{S}}}$ 

\[ = \left\{ {{\omega _1},{\omega _2},{\omega _3},{\omega _4},{\omega _5},{\omega _6},{\omega _7}} \right\}\] 

उत्तर: 

1. यहाँ, प्रत्येक संख्या $p(\omega i)$ सकारात्मक है और 1 से कम है|

संभावनाओ का योग 

$\begin{align} = p\left( {{\omega_1}} \right) + p(\omega_2) + p(\omega_3) + p(\omega_4) + p(\omega_5) + p(\omega_6) + p(\omega_7) \hfill \\ = 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{align} $ 

इसी प्रकार, असाइनमेंट मान्य है |

2. यहां, प्रत्येक संख्या $p(\omega_i)$ सकारात्मक है और 1 से कम है। 

सम्भावनाओं का योग

$= p(\omega_1) + p(\omega_2) + p(\omega_3) + p(\omega_4) + p(\omega_5) + p(\omega_6) + p(\omega_7) $

$= \left( {\dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7}} \right) $

$= 7 \times (1/7) $

$= 1 $

3. यहां, प्रत्येक संख्या $p(\omega i)$ सकारात्मक है और 1 से कम है। 

सम्भावनाओं का योग

$= p(\omega_1) + p(\omega_2) + p(\omega_3) + p(\omega_4) + p(\omega_5) + p(\omega_6) + p(\omega_7) $

$= 01 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 $

$= 2.8 $

$2.81$  के बराबर नहीं हैं|

4. इसी प्रकार, असाइनमेंट मान्य नहीं है |

यहाँ, $p(\omega _)$ और $p(\omega_5)$  ऋणात्मक हैं|

इसलिए असाइनमेंट मान्य नहीं है।

5. यहाँ, \[(a)p(\omega_7) = \left( {\dfrac{{15}}{{14}}} \right) > 1\] 

इसलिए, असाइनमेंट मान्य नहीं है।

2. एक सिक्का दो बार उछाला जाता है, क्या संभावना है कि कम से कम एक पूंछ होती है?

उत्तर: 

जब एक सिक्का दो बार उछाला जाता है, तो नमूना स्थान द्वारा दिया जाता है

${\text{S}} = \{ {\text{HH}},{\text{HT}},{\text{TH}},{\text{TT}}\} $ 

चलो $A$ कम से कम एक पूंछ की घटना की घटना हो।

तदनुसार, ${\text{A}} = \{ {\text{HT}},{\text{TH}},{\text{TT}}\} ,$ 

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{A}}) = ({\text{A}}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[\begin{align} = \dfrac{{n(A)}}{{n(S)}} \hfill \\ = \left( {\dfrac{3}{4}} \right) \hfill \\  \end{align} \] 

3. एक डाई फेंक दी जाती है, निम्नलिखित घटनाओं की संभावना दूंढें:

(i). एक अभाज्य संख्या दिखाई देगी,

उत्तर:  दिए गए प्रयोग का नमूना स्थान दिया गया है

$S = \{ 1,2,3,4,5,6\} $ 

तदनुसार, $A = \{ 2,3,5\} $ 

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{A}}) = (A$  के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[ = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{{\text{ }}n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{3}{6}} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}} \right)\] 

(ii). 3 से अधिक या उसके बराबर एक संख्या दिखाई देगी,

उत्तर:  आज्ञा देना बी की घटना होने की संख्या 3 से अधिक या उसके बराबर है.

तदनुसार, $B = \{ 3,4,5,6\} $ 

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{B}}) = ({\text{B}}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[ = \dfrac{{n\left( B \right)}}{{n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{4}{6}} \right) = \left( {\dfrac{2}{3}} \right)\] 

(ii). एक से कम या एक के बराबर संख्या दिखाई देगी,

उत्तर: बता दें कि $C$ एक से कम या एक से अधिक की संख्या की घटना है। तदनुसार, $C = \{ 1\} $ 

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{C}}) = ({\text{C}}$के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[ = \dfrac{{n\left( C \right)}}{{n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{1}{6}} \right)\] 

(iv). 6 से अधिक संख्या दिखाई देगी,

उत्तर: बता दें कि D 6 से अधिक की संख्या की घटना है। 

तदनुसार, $D = \Phi ,$

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{D}}) = ({\text{D}}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[ = \dfrac{{n\left( D \right)}}{{n\left( S \right)}} = \dfrac{0}{6} = 0\]

(iv). 6 से कम संख्या दिखाई देगी।

उत्तर:  बता दें कि $E6$ से कम की संख्या की घटना है।

तदनुसार\[,{\text{ }}E = \{ 1,2,3,4,5\} \] 

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{E}}) = ({\text{E}}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[\begin{array}{*{20}{l}} { = \dfrac{{n\left( E \right)}}{{n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{5}{6}} \right)} \\  {}  \end{array}\] 

4. 52 कार्ड के एक पैकेट से एक कार्ड का चयन किया जाता है।

1. नमूना स्थान में कितने बिंदु हैं?

उत्तर: जब कोई कार्ड 52 कार्डों के पैक से चुना जाता है, संभावित परिणामों की संख्या 52 है i.e.., नमूना स्थान में 52 तत्व शामिल हैं।

इसलिए नमूना स्थान में 52 अंक हैं।

2. इस संभावना की गणना करें कि कार्ड हुकुम का इक्का है।

उत्तर: (b) बता दें ${\text{A}}$ ऐसी घटना है जिसमें तेयार किया गया कार्ड हुकुम का इक्का है।

तदनुसार, $n(\;{\text{A}}) = 1$

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{A}}) = ({\text{A}}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[ = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{1}{{52}}} \right)\] 

3. इस संभावना की गणना करें कि कार्ड क्या है (i) एक इक्का (ii) काला कार्ड

उत्तर:  

(i). बता दें $E$ ऐसी घटना है जिसमें तैयार किया गया कार्ड एक इक्का है।

चूंकि 52 कार्ड के पैक में 4 इक्के होते हैं\[,\;n\left( E \right) = 4\] 

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{E}}) = ({\text{E}}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[\begin{array}{*{20}{l}} { = \dfrac{{n\left( E \right)}}{{n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{4}{{52}}} \right) = \left( {\dfrac{1}{{13}}} \right)} \\  {} \end{array}\]

(ii). बता दें कि $F$ वह घटना है जिसमें तैयार किया गया कार्ड काला है। चूंकि 52 कार्डों के पैक में 26 काले कार्ड है, $n(F) = 26$ 

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{F}}) = ({\text{F}}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्य)

\[{\text{ = }}\dfrac{{{\text{n(F)}}}}{{{\text{n(S)}}}}{\text{ = }}\left( {\dfrac{{26}}{{52}}} \right){\text{ = }}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\] 

5. 1 के साथ एक उचित सिक्का एक चेहरे पर 6 और दूसरे पर एक निष्पक्ष मर दोनों हैं फेंक दिया। इस संभावना को दूंढें कि संख्याओ का योग कितना है (i) 3 (ii) 12

उत्तर:  चूँकि मेले के सिक्के पर 1 अंकित है और दूसरे पर 6 अंकित है, और मरने वाले के छह चेहरे हैं जिनकी संख्या $1,2,3,4,5$ और \[6\]  है, नमूना स्थान दिया गया है $S = \{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} $ 

तदनुसार\[,\;n\left( S \right) = 12\] 

(i). बता दें कि ${\text{A}}$ वह घटना है जिसमें संख्याओं का योग 3 है,

तदनुसार, $A = \{ (1,2)\} $ 

$ \Rightarrow P(A) = (A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[ = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{1}{{12}}} \right)\] 

(ii). बता दें कि $B$ वह घटना है जिसमें संख्याओं का योग 12 होता है। 

तदनुसार, $B = \{ (6,6)\} $ 

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{B}}) = ({\text{B}}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[ = \dfrac{{n\left( B \right)}}{{n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{1}{{12}}} \right)\] 

6. नगर परिषद में चार पुरुष और छह महिलाए हैं। यदि एक परिषद का सदस्य है याद्टच्छिक पर एक समिति के लिए चयनित, यह कितनी संभावना है कि यह एक महिला है?

उत्तर: नगर परिषद में चार पुरुष और छह महिलाएं हैं। 

जैसा कि एक परिषद सदस्य को याद्चिक पर एक समिति के लिए चुना जाना है, नमूना स्थान में $10(4 + 6)$  तत्व शामिल हैं।

बता दें $A$ वह घटना है जिसमें चयनित परिषद सदस्य एक महिला है|

तदनुसार, $n(\;{\text{A}}) = 6$ 

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{A}}) = ({\text{A}}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[ = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{6}{{10}}} \right) = \left( {\dfrac{3}{5}} \right)\] 

7. एक निष्पक्ष सिक्का चार बार उछाला जाता है, और एक व्यक्ति प्रत्येक सिर के लिए री 1 जीतता है और हार जाता है। प्रत्येक पूंछ के लिए $1.50$ रुपये जो बदल जाता है। नमूना स्थान से गणना करें कि आपके पास कितने अलग-अलग पैसे हो सकते है|

उत्तर: चूंकि सिक्का चार बार उछाला जाता है, इसलिए अधिकतम 4 सिर या पूंछ हो सकते हैं।

जब 4 सिर मुड़ते हैं, रु1+ रु1+रु1+ रु1=रु4 लाभ है.

जब 3 सिर और 1 पूंछ ऊपर उठती है, रु1+ रु1+रु 1+रु 1.50= रुपये 3 - रुपये 1.50= रुपये 1.50 लाभ है।

जब 2 सिर और 2 पूंछ मुड़ती हैं, रु 1+ रु 1 - रु 1.50 - रु 1.50=- रुपये 1, i.e., रुपये 1 नुकसान है।

जब 1 सिर और 3 पूंछ मुड़ते हैं, रुपये 1 - रुपये 1.50 - रुपये 1.50 रुपये 1.50=- रुपये 3.50, i.e., रुपये 3.50 नुकसान है।

जब 4 पूंछ पलट जाती हैं, - रुपये $1.50$ - रुपये $1.50$ - रुपये $1.50$ रुपये $1.50$= - रुपये \[6.00,\] i.e., रुपये $6.00$ नुकसान है।

नमूना स्थान $S$ में ${2^4} = 16$  तत्व हैं, जो निम्न द्वारा दिया गया है: ${\text{S}} = \{ {\text{HHHH}},{\text{HHHT}},{\text{HHTH}},{\text{HTHH}},{\text{THHH}},{\text{HHTT}},{\text{HTTH}},TTHH, HTHT,THTH, THHT, HTTT, THTT,TTHT ,TTTH, TTTT\} $$\therefore $\[\;n\left( S \right) = 16\] 

व्यक्ति $4.00$ रु। जीतता है जब 4 सिर मुड़ते हैं, अर्थात, जब घटना $\{ {\text{HHHH}}\} $ होती है।

$\therefore $ संभाव्यता (रुपये जीतने की \[4.00) = \dfrac{1}{{16}}\] 

3 सिर और एक पूंछ के मुड़ने पर व्यक्ति $1.50$ रु जीतता है, अर्थात, जब घटना \[\{ {\text{HHHT}},{\text{HHTH}},{\text{HTHH}},{\text{THHH}},\} \]होती है।

$\therefore $ संभाव्यता (रुपये जीतने की \[1.50) = \left( {\dfrac{4}{{16}}} \right) = \left( {\dfrac{1}{4}} \right)\] 

जब व्यक्ति 2 हेड्स और 2 टेल्स को ऊपर उठाता है, तो रुपये $1.00$ खो देता है, यानी, जब इवेंट \[\left\{ {HHTT,{\text{ }}HTTH,{\text{ }}TTHH,{\text{ }}HTHT,{\text{ }}THTH,{\text{ }}THHT} \right\}\] होता है।

$\therefore $ प्रायिकता ( की हानि $1.00{)^{ - \dfrac{6}{{16}}}}^{ - \dfrac{3}{8}}$ 

1 सिर और 3 पूंछ मुड़ने पर व्यक्ति $3.50$ रुपये खो देता है, i.e., जब घटना \[(HTTT,{\text{ }}THTT,{\text{ }}TTHT,{\text{ }}TTTH\} \] होती है।

$\therefore $ प्रायिकता (की हानि \[3.50) = \left( {\dfrac{4}{{16}}} \right) = \left( {\dfrac{1}{4}} \right).\] 

जब व्यक्ति 4 पूंछों को मोड़ता है, तो वह $6.00$ रुपये खो देता है, i.e.. जब घटना \[(TTT)\] होती है।

संभाव्यता $(6.00$ रु खोने का) \[ = \left( {\dfrac{1}{{16}}} \right).\] 

8. एक बार में तीन सिक्के उछाले जाते हैं। प्राप्त करने की संभावना का पता लगाएं

उत्तर: जब तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं, तो नमूना स्थान द्वारा दिया जाता है

${\text{S}} = \{ {\text{HHH}},{\text{HHT}},{\text{HTH}},{\text{THH}},{\text{HTT}},{\text{THT}},{\text{TTH}},{\text{TTT}}\} $ 

$\therefore $ तदनुसार, $n(\;{\text{S}}) = 8$ 

यह ज्ञात है कि एक घटना $A$ की संभावना द्वारा दी गई है

$ \Rightarrow P(A) = (A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) / संभावित परिणामों की कुल संख्या)

\[ = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}}\] 

1. 3 सिर

उत्तर:  बता दें B 3 सिर की घटना की घटना है| तदनुसार, \[B{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {HHH} \right\}\] $\therefore {\text{P}}({\text{B}}) = \dfrac{{{\text{n}}({\text{B}})}}{{{\text{n}}({\text{S}})}} = \left( {\dfrac{1}{8}} \right)$ 

2. 2 सिर

उत्तर:  बता दें कि $C2$ हेड्स की घटना है। तदनुसार, $C = \{ HHT,HTH,THH\} $ 

 \[\therefore \dfrac{{P\left( C \right) = n\left( C \right)}}{{n\left( S \right)}} = \left( {\dfrac{3}{8}} \right)\] 

3. कम से कम 2 सिर

उत्तर: बता दें  \[D\]   कम से कम  2 प्रमुखों के होने की घटना है। 

तदनुसार, $ D = HHH, HHT, HTH ,THH $ 

\[\therefore {\text{P}}({\text{D}}) = \dfrac{{{\text{n}}({\text{D}})}}{{{\text{n}}({\text{S}})}} = \left( {\dfrac{1}{2}} \right)\] 

4. अधिकतम 2 सिर

उत्तर:  बता दें कि $E$ सबसे अधिक 2 सिर होने की घटना है। 

तदनुसार, \[E = \{ H{\text{ }}H{\text{ }}T,{\text{ }}H{\text{ }}T{\text{ }}H,{\text{ }}THH,{\text{ }}HTT,{\text{ }}THT,{\text{ }}TTH,{\text{ }}TTT\] 

$\therefore {\text{P}}({\text{E}}) = \dfrac{{{\text{n}}({\text{E)}}}}{{{\text{n}}({\text{S}})}} = \left( {\dfrac{7}{8}} \right)$ 

5. सिर नहीं,

उत्तर:  बता दें ${\text{F}}$ बिना सिर की घटना के होने की।

तदनुसार, 

$  F = { TT} $

$\therefore P(F) = \dfrac{{n(F)}}{{n(S)}} = \left( {\dfrac{1}{8}} \right)$

6. 3 पूंछ

उत्तर:  बता दें कि ${\text{G}}3$ पूंछ की घटना है।

तदनुसार\[,{\text{ }}G = \left\{ {T{\text{ }}T} \right\}\] 

$\therefore P(G) = \dfrac{{n(G)}}{{n(S)}} = \left( {\dfrac{1}{8}} \right)$ 

7. बिल्कुल दो पूंछ

उत्तर:  बता दें कि ${\text{H}}$ बिल्कुल 2 पूंछों की घटना है।

तदनुसार, 

H = HTT, THT, TTH

$  \therefore {\text{P}}({\text{H}}) = \dfrac{{{\text{n}}({\text{H)}}}}{{{\text{n}}({\text{S}})}} = \left( {\dfrac{3}{8}} \right) $

8. पूँछ नहीं है

उत्तर: आज्ञा देना। घटना की घटना की कोई पूंछ नहीं है।

तदनुसार, I  = HHH 

\[\therefore {\text{P}}({\text{l}}) = \left( {\dfrac{{{\text{n}}({\text{l}})}}{{{\text{n}}({\text{S}})}}} \right) = \left( {\dfrac{1}{8}} \right)\] 

9. अधिकतम दो पूंछ

उत्तर: बता दें कि । सबसे अधिक 2 पूंछों के होने की घटना है। तदनुसार, 

$J = HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH$

$  \therefore {\text{P}}(J) = \dfrac{{{\text{n}}({\text{J}})}}{{{\text{n}}({\text{S}})}} = \left( {\dfrac{7}{8}} \right) $

9. यदि (2/11) किसी घटना की संभावना है, तो घटना की संभावना क्या है 'ए' नहीं।

उत्तर: यह दिया गया है कि $P(A) = \left( {\dfrac{2}{{11}}} \right)$ 

तदनुसार, $P$ (नहीं$A$) $ = 1 - P(A) = 1 - \left( {\dfrac{2}{{11}}} \right) = \left( {\dfrac{9}{{11}}} \right)$ 

10. शब्द से याहचिक पर एक पत्र चुना जाता है 'ASSASSINATION'. खोजो।संभावना है कि पत्र है

उत्तर:  शब्द में 13  अक्षर हैं ASSASSINATION. 

$\therefore {\text{ }}$ अत\[,{\text{ }}n\left( S \right) = 13\] 

1. एक स्वर 

उत्तर:  दिए गए शब्द में 6 स्वर हैं।

$\therefore $ संभाव्यता (स्वर) $ = \left( {\dfrac{6}{{13}}} \right)$ 

2.  एक व्यंजन

उत्तर:  दिए गए शब्द में 7 व्यंजन हैं।

$\therefore Probability(consonant) = \left( {\dfrac{7}{{13}}} \right)$ 

11. लॉटरी में, एक व्यक्ति 1 से 20 तक याहचिक पर छह अलगअलग प्राकृतिक संख्याओं को काटता है, और अगर ये छह नंबर लॉटरी द्वारा पहले से तय छह नंबरों के साथ मेल खाते हैं पुरस्कार जीतती है। में पुरस्कार जीतने की संभावना क्या है खेल? (संकेत: संख्याओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है).

उत्तर:  कुल तरीकों में से कोई एक 1 से 20 तक छह अलग-अलग संख्याएं चुन सकता है।

${ = ^{31}}{{\text{C}}_6} = \dfrac{{\mid 20}}{{6[20 - 6]}} = \dfrac{{120}}{{[6]4}}$ 

$\begin{align} = \dfrac{{(20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15)}}{{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6)}} \hfill \\ = 38760 \hfill \\ \end{align} $ 

इसलिए, 6 संख्याओं के 38760 संयोजन हैं।

इन संयोजनों में से, एक संयोजन पहले से ही लॉटरी समिति द्वारा तय किया गया है.

$\therefore $ खेल में पुरस्कार जीतने की आवश्यक संभावना $ = \left( {\dfrac{1}{{38760}}} \right)$ 

12. जांच कीजिए कि निम्न प्रायिकताए० ${\text{P}}({\text{A}})$और ${\text{P}}({\text{B}})$ युक्ति संगत परिभाषित की गई है:

1. $P(A) = 0.5,P(B) = 0.7,P(A \cap B) = 0.6$ 

उत्तर:  

$\begin{align} P(A) = 0.5,P(B) = 0.7 \hfill \\ P(A \cap B) = 0.6 \hfill \\ P(A \cap B) > P(A) \hfill \\  \end{align} $ 

 युक्ति संगत परिभाषित नहीं है। 

2. $P(A) = 0.5,P(B) = 0.4,P(A \cup B) = 0.8$ 

उत्तर:  

$\begin{align} P(A) = 0.5,P(B) = 0.4 \hfill \\ P(A \cup B) = 0.8 \hfill \\ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \hfill \\ 0.8 = 0.5 + 0.4 + P(A \cap B) \hfill \\ P(A \cap B) = 0.1 \hfill \\ \therefore P(A \cap B) < P(A),P(A \cap B) < P(B) \hfill \\  \end{align} $ 

युक्ति संगत परिभाषित है। 

13. निम्नलिखित सारणी में खाली स्थान भरिए:

$\begin{array}{*{20}{l}} {P(A)}&{P(B)\quad P(A \cap B)}  \end{array}P(AUB)$ 

1. $\dfrac{1}{3}$    $\dfrac{1}{5}$         $\dfrac{1}{{15}}$ ....

उत्तर:

 $\begin{align} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \hfill \\ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{15}} + P(A \cap B) \hfill \\ P(A \cap B) = \dfrac{7}{{15}} \hfill \\  \end{align} $ 

2. 0.35... 0.25 ....

उत्तर: 

$\begin{align} {\text{P}}({\text{AUB}}) = {\text{P}}({\text{A}}) + {\text{P}}({\text{B}}) - {\text{P}}({\text{A}} \cap {\text{B}})\quad  \hfill \\ 0.35 = {\text{P}}({\text{A}}) + 0.25 + 0.6 \hfill \\ {\text{P}}({\text{A}}) = 0.5 \hfill \\ \end{align} $ 

3. 0.5 0.35 ....... 0.7

उत्तर:  

$\begin{align} {\text{P}}({\text{AUB}}) = {\text{P}}({\text{A}}) + {\text{P}}({\text{B}}) - {\text{P}}({\text{A}} \cap {\text{B}}) \hfill \\ 0.5 = 0.35 + {\text{P}}({\text{B}}) + 0.7 \hfill \\ {\text{P}}({\text{B}}) = 0.15 \hfill \\ \end{align} $ 

14. ${\text{P}}({\text{A}}) = \dfrac{3}{5}$और ${\text{P}}({\text{B}}) = \dfrac{1}{5},$ दिया गया है। यदि ${\text{A}}$ और ${\text{B}}$ परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं, तो $P(A$ या \[{\mathbf{B}}),\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर:  

${\text{P}}({\text{A}}) = \dfrac{3}{5},{\text{P}}({\text{B}}) = \dfrac{1}{5}$ 

${\text{P}}({\text{A}}$ या \[B\]) ${\text{ = P}}({\text{A}}) + {\text{P}}({\text{B}})$

\[\begin{align} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} \hfill \\ = \dfrac{4}{5} \hfill \\ \end{align} \] 

15. यदि $E$ और $F$ घटनाए० इस प्रकार है कि, \[\mathbf{P(E) = \dfrac{1}{4},{\text{ P(F) = }}\dfrac{1}{2}}\] और $\mathbf{P(E}$ और \[\mathbf{F) = \dfrac{1}{8}}\] तो ज्ञात कीजिए

1. \[\mathbf{P(E)}\] या \[\mathbf{{\text{F)}}}\]

2. $\mathbf{{\text{P}}({\text{E}} -} $ नहीं और\[\mathbf{\;F}\] -नहीं)

उत्तर:   ${\text{P}}({\text{E}}) = \dfrac{1}{4},{\text{P}}({\text{F}}) = \dfrac{1}{2},{\text{P}}({\text{E}} \cap {\text{F}}) = \dfrac{1}{8}$ 

$P(EUF) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) $

1.    $ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8} $

               $ = \dfrac{5}{8}$

2. ${\text{P}}({\text{E}} - $ नहीं और\[\;F\] -नहीं)

$\begin{align} = 1 - P(EUF) \hfill \\ = 1 - \dfrac{5}{8} \hfill \\ = \dfrac{3}{8} \hfill \\  \end{align} $ 

16. घटनाएं E और F इस प्रकार है कि P(E-नहीं और F-नहीं) = 0.25, बताइए की E और F परस्पर अपवर्जी हैं या नहीं।

उत्तर:  

${\text{P}}({\text{E}} - $ नहीं और\[\;F\] -नहीं)$ = 0.25$ 

${\text{P}}({\text{E}} - $ नहीं और\[\;F\] -नहीं)$ = 1 - P(E \cup F)$ 

$\begin{align} 0.25 = 1 - {\text{P}}({\text{EUF}}) \hfill \\ {\text{P}}({\text{EUF}}) = 1 - 0.25 \hfill \\ = 0.75 \ne 0 \hfill \\  \end{align} $ 

$E$ और$F$ अपवर्जी नहीं हैं|

17. घटनाएं A और B इस प्रकार है कि P(A) = 0.42,P(B) = 0.48 और P(A और $B) = 0.16$ ज्ञात कीजिए:

1.  $\mathbf{{\text{P}}({\text{A}} -} $नहीं)

2.  ${\mathbf{\text{P}}({\text{B}}}$ -नहीं)

3. $\mathbf{P(A}$ या B)

उत्तर:  

$P(A) = 0.42,P(B) = 0.48,P(A \cap B) = 0.6$ 

1. ${\text{P}}({\text{A}} - $नहीं)

 $\begin{align} {\text{ =  1 -  P(A) }} \hfill \\ = 1 - 0.42 = 0.58 \hfill \\ \end{align} $ 

2. ${\text{P}}({\text{B}}$ -नहीं)

 $\begin{align} = 1 - P(B) \hfill \\ = 1 - 0.48 = 0.52 \hfill \\  \end{align}$ 

3. $P(A$ या $B)$

$\begin{align} {\text{P}}({\text{A}}) + {\text{P}}({\text{B}}) - {\text{P}}({\text{A}} \cap {\text{B}}) \hfill \\ = 0.42 + 0.48 - 0.6 = 0.74 \hfill \\  \end{align} $ 

18. एक पाठशाला की कक्षा $XI$ के $40\% $ विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं और $30\% $ जीव विज्ञान पढ़ते हैं। कक्षा के $10\% $ विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं। यदि कक्षा का एक विद्यार्थी यादच्छया चुना जाता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह गणित या जीव विज्ञान पड़ता होगा।

उत्तर:  

मान लीजिए $A = $ गणित पढ़ने वाले विद्यार्थी

${\text{B}} = $ जीव विज्ञान पढ़ने वाले विद्यार्थी

$(A \cap B) = $ गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ने वाले विद्यार्थी

\[\begin{align} {\text{P}}({\text{A}}) = \dfrac{{40}}{{100}} = \dfrac{2}{5} \hfill \\ {\text{P}}({\text{B}}) = \dfrac{{30}}{{100}} = \dfrac{3}{{10}} \hfill \\ {\text{P}}({\text{A}} \cap {\text{B}}) = \dfrac{{10}}{{100}} = \dfrac{1}{{10}}\hfill \\ \therefore {\text{P}}({\text{AUB}}) = {\text{P}}({\text{A}}) + {\text{P}}({\text{B}}) - {\text{P}}({\text{A}} \cap {\text{B}}) \hfill \\ = \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{{10}} \hfill \\ = \dfrac{6}{{10}} = 0.6 \hfill \\  \end{align} \] 

19. एक प्रवेश परीक्षा को दो परीक्षणों के आधार पर श्रेणीवद्ध किया जाता है। किसी याहच्छया चुने गए विद्यार्थी के पहले परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $0.8$ है और दूसरे परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $0.7$  हैं। दोनों में से कम से कम एक परीक्षण उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.95$ हैं। दोनों परीक्षणों को उत्तरण करने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: 

 मान लीजिए $A = $ पहली परीक्षण में उत्तीर्ण होना

${\text{B}} = $ दूसरी परीक्षण में उत्तीर्ण होना

$({\text{A}} \cup {\text{B}}) = $ दोनों में से कम से कम एक परीक्षण में उत्तीर्ण होना

$\begin{align} {\text{P}}({\text{A}}) = 0.8,{\text{P}}({\text{B}}) = 0.7,{\text{P}}({\text{A}} \cup {\text{B}}) = 0.95 \hfill \\ \therefore {\text{P}}({\text{A}} \cup {\text{B}}) = {\text{P}}({\text{A}}) + {\text{P}}({\text{B}}) - {\text{P}}({\text{A}} \cap {\text{B}}) \hfill \\ 0.95 = 0.8 + 0.7 - {\text{P}}({\text{A}} \cap {\text{B}}) \hfill \\ {\text{P}}({\text{A}} \cap {\text{B}}) = 1.5 - 0.95 \hfill \\ = 0.55 \hfill \\  \end{align} $ 

20. एक विद्यार्थी के अंतिम परीक्षा के अंग्रेजी और हिंदी दोनों विषयों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.5$ है और दोनों में से कोई भी विषय उत्तीर्ण न करने की प्रायिकता $0.1$ है। यदि अंग्रेजी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.75$ हो तो हिंदी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: 

 मान लीजिए $A = $ अंग्रेजी की परीक्षा में उत्तीर्ण होना

\[B = \] हिंदी की परीक्षा में उत्तीर्ण होना

$\begin{align} {\text{P}}({\text{A}}) = 0.75,{\text{P}}({\text{A}} \cap {\text{B}}) = 0.5,{\text{P}}\left( {{{\text{A}}^\prime } \cap {{\text{B}}^\prime }} \right) = 0.1 \hfill \\ {\text{P}}\left( {{{\text{A}}^\prime } \cap {{\text{B}}^\prime }} \right) = 1 - {\text{P}}({\text{AUB}}) \hfill \\ 0.1 = 1 - {\text{P}}({\text{A}} \cup {\text{B}}) \hfill \\ {\text{P}}({\text{A}} \cup {\text{B}}) = 0.9 \hfill \\ \therefore {\text{P}}({\text{AUB}}) = {\text{P}}({\text{A}}) + {\text{P}}({\text{B}}) - {\text{P}}(A \cap {\text{B}}) \hfill \\ 0.9 = 0.75 + {\text{P}}({\text{B}}) - 0.9{\text{P}}({\text{B}}) = 0.9 - 0.25 \hfill \\ = 0.65 \hfill \\  \end{align} $

21. एक कक्षा के 60 विद्यार्थियों में से 30 ने एन. सी. सी. (NCC), 32 ने एन. एस. एस. (NSS) और 24 ने दोनों को चुना है। यदि इनमें से एक विद्यार्थी यहच्छया चुना गया है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

1. विद्यार्थी ने एन. सी. सी. और एन. एस. एस. को चुना है।

2.  विद्यार्थी ने न तो एन. सी. सी. और न ही एन. एस. एस. को चुना है। 

3. विद्यार्थी ने एन. एस. एस. को चुना है कितु एन. सी. सी. को नहीं चुना है।

उत्तर:  मान लीजिए $A = $ एन. सी. सी. के विद्यार्थी 

${\text{B}} = $ एन. एस. एस. के विद्यार्थी

\[\begin{align} n(S) = 60,n(A) = 30,n(B) = 32,n(A \cap B) = 24 \hfill \\ P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(S)}} = \dfrac{{30}}{{60}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ P(B) = \dfrac{{n(B)}}{{n(S)}} = \dfrac{{32}}{{60}} = \dfrac{8}{{15}} \hfill \\ P(A \cap B) = \dfrac{{n(A \cap B)}}{{n(S)}} = \dfrac{{24}}{{60}} = \dfrac{2}{5} \hfill \\ \end{align} \] 

1. $\begin{align} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \hfill \\ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{8}{{15}} - \dfrac{2}{5} \hfill \\ = \dfrac{{19}}{{30}} \hfill \\  \end{align} $

2. $\begin{align} P\left( {{A^\prime } \cap {B^\prime }} \right) = 1 - P(A \cup B) \hfill \\ = \dfrac{{1 - 19}}{{30}} \hfill \\ = \dfrac{{11}}{{30}} \hfill \\  \end{align} $ 

3.  विद्यार्थी जिसने एन. एस. एस. को चुना है किंतु एन. सी. सी. नहीं $ = 32 - 24 = 8$ 

प्रायिकता 

$\begin{align} = \dfrac{8}{{60}} \hfill \\ = \dfrac{2}{{15}} \hfill \\ \end{align} $ 

प्रश्नावली A16

1. एक डिब्बे मे 10 लाल, 20 नीली व 30 हरी गोलियाँ रखी हैं। डिब्बे से 5 गोलियाँ याद्छच्छया

निकाली जाती हैं। प्रायिकता क्या है कि

1. सभी गोलियाँ नीली हैं? 

उत्तर:  

गोलियाँ कि कुल संख्या$ = 10 + 20 + 30 = 60$

$60$ गोलियाँ से $5{\text{ }}$गोलियाँ निकालने के तरीकों की संख्या $ = 60{\text{C}}5$ 

सारी निकाली गई गोलियाँ नीले होंगी यदि हम 20 नीले गोलियाँ में से 5 गोलियाँ खींचते हैं।

5 नीले गोलियाँ को $20{\text{C}}5$ तरीकों से 20 नीले गोलियाँ से निकाला जा सकता है।

प्रायिकता कि सभी पत्थर नीले हों = $\dfrac{{20{\text{C}}5}}{{60{\text{C}}5}}$ 

2. कम से कम एक गोली हरी है। 

उत्तर:  उन तरीकों की संख्या जिनमें निकाली गई गोलियाँ हरे नहीं हैं :

$(20 + 10)C5 = 30C5$ 

प्रायिकता कि कोई भी गोलि हरी नहीं हो $ = \dfrac{{30C5}}{{60C5}}$ 

2. ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गड़ी से 4 पत्ते निकाले जाते हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाले गए पत्तों में 3 ईट और एक हुकुम का पत्ता है?

उत्तर:  

52 पत्तों में से 4 पत्ते निकालने के तरीकों की संख्या \[ = {\text{ }}52C4\] 

एक गाड़ी में \[13\]  हीरे और \[13\] हुकुम हैं|

\[3\] हीरे और एक हुकुम निकालने के तरीकों की संख्या= $13C3 \times 13C1$ 

इस प्रकार, 3 हीरे और एक कुदाल प्राप्त करने की प्रायिकता \[ = \dfrac{{(13C3 \times 13C1)}}{{52C4}}\] 

3. एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या 1 ' अंकित है. तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या '2' पकित है और एक फलक पर संख्या '3' आँकित है। यदि पासा एक बार फेंका जाता है, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) ${\text{P}}(2)$ 

उत्तर:  नंबर \[2\]  के साथ फलों की संख्या= \[3\] 

$\therefore P(2) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ 

(ii)${\text{P}}({\text{l}}$ या \[{\mathbf{3}}{\text{ }})\] 

उत्तर:  $P(1$या $3) = $ $P(2$ नही० $\square ) = 1 - P(2) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ 

(iii)\[{\mathbf{P}}({\mathbf{3}} - \]नहीं)

उत्तर:  $3$ नंबर के साथ फलों की संख्या$ = 1$ 

$\therefore P(3) = \dfrac{1}{6}$ 

$P(2{\text{ }}$नही $^\circ \square ) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

4. लाटरी में 10000 टिकट बेचेगए जिनमें दस समान इनाम दिए जाने हैं कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप

1.  एक टिकेट खरीदतें हैं

उत्तर:  बिकी टिकटों की कुल संख्या$ = 10.000$ 

पुरुस्कार की संख्या$ = 10$ 

अगर हम एक टिकेट खरीदतें हैं तो, 

$P$ (पुरुस्कार प्राप्त करना )$ = \dfrac{{10}}{{10000}} = \dfrac{1}{{1000}}$ 

$P$ (पुरुस्कार नहीं मिल रहा है)$ = 1 - \dfrac{1}{{1000}} = \dfrac{{999}}{{1000}}$ 

2.  दो टिकेट खरीदतें हैं

उत्तर:  अगर हम दो टिकेट खरीदतें हैं तो, 

$P$ (पुरुस्कार नहीं मिल रहा है)$ = \dfrac{{9990{\text{C}}2}}{{10000{\text{C}}2}}$ 

3.  10 टिकेट खरीदतें हैं

उत्तर:  अगर हम दस टिकेट खरीदतें हैं तो, 

$P$ (पुरुस्कार नहीं मिल रहा है)$ = \dfrac{{9990{\text{C}}10}}{{10000{\text{C}}10}}$ 

5. 100 विद्यार्थियों में से 40 और 60 विद्यार्थियों के दो वर्ग बनाए गए हैं। यदि आप और एक मित्र 100 विद्यार्थियों में हैं तो प्रायिकता क्या है कि

1.  आप दोनों एक हो वर्ग में हों?

उत्तर:  मेरे दोस्त और में 100 छात्रों में से हैं।

100 छात्रों में से 2 छात्रों के चयन के तरीकों की कुल संख्या $ = 100{\text{C}}2$ 

 हम दोनों एक ही अनुभाग में प्रवेश करेंगे यदि हम 40 छात्रों में से हैं या 60 में से हैं

उन तरीकों की संख्या जिसमें हम दोनों एक ही अनुभाग दर्ज करते हैं $ = 40{\text{C}}2 + 60{\text{C}}2$ प्रायिकता कि हम दोनों एक ही अनुभाग में प्रवेश करते हैं

$ = \dfrac{{(40C2 + 60C2)}}{{100C2}} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{40!}}{{2!38}} + \dfrac{{60!}}{{2!58}}} \right)}}{{\dfrac{{100}}{{2!29!}}}} = \dfrac{{(39 \times 40) + (59 \times 60)}}{{99 \times 100}} = \dfrac{{17}}{{33}}$ 

2.  आप दोनों अलग-अलग वर्गों में हों?

उत्तर:  $P$(हम अलग- अलग अनुभाग दर्ज करतें हैं)

$ = 1 - P$ (हम एक ही अनुभाग में प्रवेश करतें हैं)

$ = 1 - \dfrac{{17}}{{33}} = \dfrac{{16}}{{33}}$ 

6. तीन व्यक्तियों के लिए तीन पत्र लिखवाए गए हैं और प्रत्येक के लिए एक लिफाफा हैं। पत्रों को लिफाफों में याद्छचा इस प्रकार डाला गया कि प्रत्येक लिफाफे में एक ही पत्र है। प्रायिकता ज्ञात कोजिए, कि कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में डाला गया है।

उत्तर:  

${L_1},{L_2},{L_3}$ के तीन चिट्ठियाँ और ${E_{,E}}{E_2}$  और ${E_3}$ ,क्रमशः उनके संगत लिफाफे हों$3$ लिफाफे में 3 अक्षर डालने के $6$तरीकें हैं |

ये इस प्रकार हैं

 $\begin{align} L1E1,L2E3,L3E2....1 \hfill \\ L2E2,L1E3,L3E1....2 \hfill \\ L3E3,L1E2,L2E1....3 \hfill \\ L1E1,L2E3,L3E3....4 \hfill \\ \hfill \\ L1E2,L2E3,L2E1 \hfill \\ L1E3,L2E1,L3E2 \hfill \\  \end{align} $ 

$4$तरीकें हैं जिनमें उहित लिफाफे में कम से कम एक चिट्ठी डाली जाती है|

इस प्रकार, आवश्यक प्रायिकता है 

$\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ 

7. $A$ और $B$ दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(A) = 0.54,P(B) = 0.69$ और $P(A \cap B) = 0.35.$  ज्ञात कीजिए: 

$(i)P(A \cup B)(ii)P\left( {{A^\prime } \cap {B^\prime }} \right)(iii)P\left( {A \cap {B^\prime }} \right)(iv)P\left( {B \cap {A^\prime }} \right)$ 

उत्तर:  दिया गया है की और 

1. हम जानतें हैं की

$\begin{align} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \hfill \\ \therefore P(A \cup B) = 0.54 + 0.64 - 0.35 = 0.88 \hfill \\  \end{align} $ 

2. $\left( {{A^\prime } \cap {B^\prime }} \right) = {(A \cup B)^\prime }$ डी मॉर्गन के नियम द्वारा

$\therefore P\left( {{A^\prime } \cap {B^\prime }} \right) = P{(A \cup B)^\prime } = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.88 = 0.12$ 

$\begin{align} {\text{ }}P\left( {A \cap {B^\prime }} \right) = P(A) - P(A \cap B) \hfill \\ = 0.54 - 0.35 \hfill \\ = 0.19 \hfill \\  \end{align} $ 

4. हम जानतें हैं की 

$\begin{align} \left( {B \cap {A^\prime }} \right) = n(B) - n(A \cap B) =  > \dfrac{{n\left( {B \cap {A^\prime }} \right)}}{{n(S)}} = \dfrac{{n(B)}}{{n(S)}} = \dfrac{{n(A \cap B)}}{{n(S)}} \hfill \\ \therefore P\left( {B \cap {A^\prime }} \right) = P(B) - P(A \cap B)\therefore P\left( {B \cap {A^\prime }} \right) = 0.69 - 0.35 = 0.34 \hfill \\ \end{align} $ 

8. एक संस्था के कर्मचारियों में से 5 कर्मचारियों का चयन प्रबंध समिति के लिए किया गया है। पाँच कर्मचारियों का ब्योरा निम्नलिख्वित है: इस समूह से प्रवक्ता पद के लिए याहच्छया एक व्यक्ति का चयन किया गया। प्रवक्ता के पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होने की क्या प्रायिकता है?

उत्तर:  

बता दें कि $E$ वह घटना है जिसमें प्रवक्ता पुरुष होगा और $F$ वह इवेंट होगा जिसमें प्रवक्ता की आयु 35 वर्ष से अधिक होगी

तदनुसार $P(E) = \dfrac{3}{5}P(F) = \dfrac{2}{5}$ 

चूँकि 35 वर्ष से अधिक आयु का केवल एक पुरुष है,

$P(E \cap F) = \dfrac{1}{5}$ 

हम जानतें हैं कि  $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$ 

$\therefore P(E \cup F) = \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$ 

इस प्रकार, प्रायिकता की प्रवक्ता y अतो एक पुरुष होगा या 35 वर्ष से अधिक आयु का होगा $\dfrac{4}{5}$ है|

9. यदि $0,1,3,5$ और $7$ अंकों द्वारा 5000 से बड़ी चार अंकों की संख्या का याहच्छया निर्माण

किया गया हो तो पाँच से भाज्य संस्या के निर्माण की क्या प्रायिकता हैजब.

1. अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए? 

उत्तर:  जब अंकों को दोहराया जाता है चूँकि$500$  से अधिक चार-अंकीय संख्याएँ बनती हैं, बाईं ओर का $7$ अंक$5$  या है|

शेष $3$ स्थानों को किसी भी अंक $0,1,3,5$ या $7$ में से भरा जा सकता है म्योंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है।

$500$ से अधिक $4 - $अंकीय संख्या की कुल संख्या

 $\begin{align} = 2 \times 5 \times 5 \times 5 - 1 \hfill \\ = 250 - 1 = 249 \hfill \\  \end{align} $  

(इस मामले में, 5000 की गिनती नहीं की जा सकती; इसलिए 1 घटाया जाता है )

एक संख्या 5 से विभाज्य है यदि इसकी इकाइयों के स्थान पर अंक 0 या 5 है

5 से विभाज्य 5000 से अधिक 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $ = 2 \times 5 \times 5 \times 2 - 1 - 100 - 1 = 99$ 

इस प्रकार, अंक दोहराए जाने पर 5 द्वारा एक संख्या विभाज्य बनाने की प्रायिकता $ = \dfrac{{99}}{{249}} = \dfrac{{33}}{{83}}$ 

2. अंकों की पुनरावृत्ति की जाए?

उत्तर:  जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है हजारों स्थान दोनों में से किसी भी अंक 5 या 7 से भरे जा सकते हैं

शेष 3 स्थानों को शेष 4 अंकों में से किसी से भरा जा सकता है।

4-अंकीय संख्या की कुल संख्या $ = 2X4 \times 2 \times 3 = 48$ 

यह संख्या 5000 से अधिक है जब हजारों स्थान पर अंक 5 होता है,

तो इकाइयों और दहाई की जगह केवल 0 से भरी जा सकती है और सैकड़ों स्थानों को शेष 3 अंकों में से किसी दो से भरा जा सकता है।

: यहां, 5 से शुरू होने वाले 4 अंकीय संख्या की संख्या और 5 से विभाज्य है

$ =  > 3 \times 2 = 6$ 

हजारों स्थान पर अंक 7 होता है, तो इकाइयों को दो तरीकों से भरा जा सकता है (0 या 5) और शेष 3 अंकों में से किसी दो के साथ दहाई और सैकड़ों स्थान भरे जा सकते हैं।

यहां 4- अंकीय संख्या की संख्या जो 7 से शुरू होती है और विभाज्य 5 से होती है $ -  = 1 \times 2 \times 3 \times 2 = 12$

4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या जो 5000 से अधिक और विभाज्य 5 से होती है $ = 6 + 12 = 18$ 

इस प्रकार, अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होने पर 5 से विभाज्य संख्या बनाने की प्रायिकता है 

{{18}}{{48}} = {3}{8} 

10. किसी अटैची के ताले में चार चक्र लगे हैं जिनमें प्रत्येक पर 0 से 9 तक 10 अंक ऑकित हैं। ताला चार अंकों के एक विशेष क्रम (अंकों की पुनरावृत्ति नहीं ) द्वारा ही खुलता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई व्यक्ति अटेची खोलने के लिए सही क्रम का पता लगा ले?

उत्तर:  संख्या लॉक में 4 पहिए होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में दस अंक होते हैं। 0 से 9 तक।

10 अंकों में से 4 विभिन्र अंकों के चयन के तरीकों की संख्या ${ = ^{10}}{{\text{C}}_4}$ 

अब, 4 अलग-अलग अंकों के प्रत्येक संयोजन को $4 !$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है 

: बिना किसी पुनरावृत्ति वाले चार अंकों की संख्या= \[10{\text{C}}4{\text{X}}4! = \dfrac{{10!}}{{4!6!}}X4! = 7 \times 8 \times 9X10 = 5040\] 

केवल एक संख्या है जो सूटकेस खोल सकती है। 

इस प्रकार, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{1}{{5040}}$ 

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