NCERT Solutions for Class 11 Maths In Hindi Chapter 12 Introduction To Three Dimensional Geometry

प्रश्नावली 12.1

1. एक बिन्दु \[x\,\,\, - \,\]अक्ष पर स्थित है। इस के \[y\,\,\, - \,\] निर्देशांक तथा \[z\,\,\, - \,\] निर्देशांक क्या है ?

उत्तर: \[x\,\,\, - \,\] अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक $\left({\,\,x\,\,,\,\,0\,\,,\,\,0\,\,} \right)$ होते हैं जिसमें $y\,\, = \,\,0\,\,,\,\,z\,\, = \,\,0\,\,.$

2. एक बिन्दु $x$ तल में है। इसके $y\,\, - $ निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

उत्तर: $x\,\,z$ तल $y\,\, - $ निर्देशांक $0$ होता है। इस तल का बिन्दु $\left( {\,x\,\,,\,\,0\,\,,\,\,z\,} \right)$ के रूप में होता है।

3. अष्टाशों के नाम बताइए, जिनमें निम्नलिखित बिन्दु स्थित हैं:

$\mathbf{(\,\,1\,\,,\,\,2\,\,,\,\,3\,\,)\,\,,\,\,(\,\,4\,\,,\,\, - \,\,2\,\,,\,\,3\,\,)\,\,,\,\,(\,\,4\,\,,\,\, - \,\,2\,\,,\,\, - \,\,5\,\,)\,\,,\,\,(\,\,4\,\,,\,\,2\,\,,\,\, - \,\,5\,\,)\,\,,\,\,(\, - \,\,4\,\,,\,\,2\,\,,\,\, - \,\,5\,\,)\,\,,\,\,(\,\, - \,\,4\,\,,\,\,2\,\,,\,\,5\,\,)\,\,,\,\,}$

$\,athbf{(\,\, - \,\,3\,\,,\,\, - \,\,1\,\,,\,\,6\,\,)\,\,,\,\,(\,\,2\,\,,\,\, - \,\,4\,\,,\,\, - \,\,7\,\,)}$

उत्तर: दिए गए बिंदुओं के अंश है :

\[(i)\,\,\,\,(1,2,3)\,\, - \,\,XOYZ\,\, - \]  पहला 

\[(ii)\,\,\,\,(4, - 2,3)\,\, - \,\,{\text{XOYZ}}\,\, - \]  चौथा 

\[(iii)\,\,\,\,(4,2, - 5)\,\, - \,XOY'Z'\,\, - \]  आठवाँ 

\[(iv)\,\,\,\,(4,2, - 5)\,\, - \,\,XOYZ'\,\, - \]   पाचवाँ 

\[(v)\,\,\,\,\,( - 4,2, - 5)\,\, - \,\,XOYZ'\,\, - \]   छठा 

\[(vi)\,\,\,\,( - 4,2,5)\,\, - \,\,(XOYZ)\,\, - \]   दूसरा 

\[(vii)\,\,\,\,( - 3, - 1,6)\,\, - \,\,(XOY'Z)\,\, - \]  तीसरा 

\[(viii)\,\,\,(2, - 4. - 7)\,\, - \,\,(XOY'Z')\,\, - \]  आठवाँ 

4. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

(i)$x\,\, - $ अक्ष और $y\,\, - \,$ अक्ष दोनों एक साथ मिल कर एक तल बनाते हैं, उस तल को......कहते हैं।

उत्तर :  $X\,\,Y\,\, - $ तल  |

(ii). $X\,\,Y\,\, - $तल में एक बिन्दु के निर्देशांक........ रूप के होते हैं।

उत्तर :  $x\,\,,\,\,y\,\,,\,\,o$

(iii). निर्देशांक तल अंतरिक्ष को......... अष्टांश में विभाजित करते हैं।

उत्तर :  $8$

प्रश्नावली 12.2

1. निम्लिखित बिंदु -युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:

(i). $\mathbf{\left( {\,\,2\,\,,\,\,3\,\,,\,\,5\,\,} \right)}$  और $\mathbf{\left( {\,4\,,\,\,3\,\,,\,\,1\,} \right)}$

उत्तर: $\left( {\,\,2\,\,,\,\,3\,\,,\,\,5\,\,} \right)$  और $\left( {\,4\,,\,\,3\,\,,\,\,1\,} \right)$

दो बिन्दु $\left( {\,{x_1},{y_1},{z_1}\,} \right)$ और  $\left( {\,{x_2},{y_2},{z_2}\,} \right)$ के बीच की दूरी 

$\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} $

बिन्दु $\left( {\,\,2\,\,,\,\,3\,\,,\,\,5\,\,} \right)$ और  $\left( {\,4\,,\,\,3\,\,,\,\,1\,} \right)$ के बीच की दूरी

$= \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(3 - 3)}^2} + {{(1 - 5)}^2}}$

$= \sqrt {{2^2} + {0^2} + {4^2}}$

$= \sqrt {4 + 16}$

$= \sqrt {20}$

$= 2\sqrt 5$ 

(ii). $\mathbf{\left( {\,\, - \,\,3\,\,,\,\,7\,\,,\,\,2\,\,} \right)}$ और $\mathbf{\left( {\,\,2\,\,,\,\,4\,\,,\,\, - \,\,1\,} \right)}$

उत्तर:   $\left( {\,\, - \,\,3\,\,,\,\,7\,\,,\,\,2\,\,} \right)$ और $\left( {\,\,2\,\,,\,\,4\,\,,\,\, - \,\,1\,} \right)$

दो बिन्दु $\left( {\,{x_1},{y_1},{z_1}\,} \right)$ और  $\left( {\,{x_2},{y_2},{z_2}\,} \right)$ के बीच की दूरी 

$\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} $

बिन्दु $\left( {\,\, - \,\,3\,\,,\,\,7\,\,,\,\,2\,\,} \right)$ और $\left( {\,\,2\,\,,\,\,4\,\,,\,\, - \,\,1\,} \right)$ के बीच की दूरी

$= \sqrt {{{(2 + 3)}^2} + {{(4 - 7)}^2} + {{(-1 - 2)}^2}}$

$= \sqrt {25 + 9 + 9}$

$= \sqrt {43}$ 

(iii). $\mathbf{\left( {\,\, - \,\,1\,\,,\,\,3\,\,,\,\, - \,4\,\,} \right)$ और $\left( {\,\,1\,\,,\,\, - \,3\,\,,\,\,4\,} \right)}$

उत्तर:  $\left( {\,\, - \,\,1\,\,,\,\,3\,\,,\,\, - \,4\,\,} \right)$ और  $\left( {\,\,1\,\,,\,\, - \,3\,\,,\,\,4\,} \right)$

दो बिन्दु $\left( {\,{x_1},{y_1},{z_1}\,} \right)$ और  $\left( {\,{x_2},{y_2},{z_2}\,} \right)$ के बीच की दूरी 

$\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} $

बिन्दु $\left( {\,\, - \,\,1\,\,,\,\,3\,\,,\,\, - \,4\,\,} \right)$ और $\left( {\,\,1\,\,,\,\, - \,3\,\,,\,\,4\,} \right)$ के बीच की दूरी

$= \,\,\sqrt {\,\,{{(\,\,1\,\, + \,\,1\,\,\,)}^2}\,\, + \,\,\,{{(\,\, - \,\,3\,\, - \,\,3\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,4\, + \,4\,)}^2}}$

$= \,\,\sqrt {\,4\,\, + \,\,36\,\, + \,\,64}$

$= \,\,\sqrt {\,\,104}$

$= \,\,2\,\,\sqrt {\,\,26}$ 

(iv). $\mathbf{\left( {\,\,2\,\,,\,\, - \,\,1\,\,,\,\,3\,\,} \right)}$ और $\mathbf{\left( {\,\, - \,\,2\,\,,\,\,1\,\,,\,3\,\,} \right)}$

उत्तर: $\left( {\,\,2\,\,,\,\, - \,\,1\,\,,\,\,3\,\,} \right)$ और $\left( {\,\, - \,\,2\,\,,\,\,1\,\,,\,3\,\,} \right)$

दो बिन्दु $\left( {\,{x_1},{y_1},{z_1}\,} \right)$ और  $\left( {\,{x_2},{y_2},{z_2}\,} \right)$ के बीच की दूरी 

$\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} $

बिन्दु $\left( {\,\,2\,\,,\,\, - \,\,1\,\,,\,\,3\,\,} \right)$ और $\left( {\,\, - \,\,2\,\,,\,\,1\,\,,\,3\,\,} \right)$ के बीच की दूरी

$= \,\,\,\sqrt {\,{{(\, - 2 - 2\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,1 + 1\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,3 - 3\,)}^2}}$

$= \,\,\,\sqrt {\,16\,\, + \,\,4\,\, + \,\,0}$

$= \,\,\,\sqrt {\,20}$

$= \,\,\,2\,\sqrt {\,5}$ 

2. दर्शाइए कि \[\mathbf{{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{5}}\,\,{\text{)}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{)}}}\] बिंदु और \[{\text{(}}\,\,{\text{7}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{)}}\] संरेख हैं। 

उत्तर: मान लीजिए बिन्दु  \[{\text{A}}\,\,{\text{ = }}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{5}}\,\,{\text{)}}\,\] और  \[B\,\, = \,\,\,{\text{(}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{)}}\] के बीच की दूरी 

$A\,\,B\,\, = \,\,\sqrt {\,\,{{(\,\,1\,\, + \,\,2\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,\,2\,\, - \,\,3\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,\,3\,\, - \,\,5\,\,)}^2}}$

$= \,\,\sqrt {\,\,9\,\, + \,\,1\,\, + \,\,4}$

$= \,\,\sqrt {\,\,14}$ 

बिन्दु   \[B\,\, = \,\,\,{\text{(}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{)}}\] और  \[{\text{C}}\,\,{\text{ = }}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{7}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{)}}\]  के बीच की दूरी

$B\,\,C\,\, = \,\,\sqrt {\,\,{{(\,\,1\,\, + \,\,2\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,\,2\,\, - \,\,3\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,\,3\,\, - \,\,5\,\,)}^2}}$

$= \,\,\sqrt {\,36\,\, + \,\,4\,\, + \,\,16}$

$= \,\,\sqrt {\,56}$

$= \,\,2\,\,\sqrt {\,14}$ 

बिन्दु   \[{\text{A}}\,\,{\text{ = }}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{5}}\,\,{\text{)}}\,\] और  \[{\text{C}}\,\,{\text{ = }}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{7}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{)}}\]  के बीच की दूरी

$A\,\,C\,\, = \,\,\sqrt {\,\,{{(\,7 + 2\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,0 - 3\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\, - 1 - 5\,)}^2}} $

$ = \,\,\sqrt {\,\,81\,\, + \,\,9\,\, + \,\,36} $

$ = \,\,\sqrt {\,\,126} $

$ = \,\,3\,\,\sqrt {\,\,14} $

अब $A\,B\,\, + \,\,B\,C$ को जोड़ने के बाद 

$A\,B\,\, + \,\,B\,C\,\, = \,\,\sqrt {\,\,14} \,\, + \,\,2\,\,\sqrt {\,\,14}$

 $= \,\,3\,\,\sqrt {\,\,14}$ 

जैसा हमें पता है कि ${\text{A}}\,\,{\text{C}}\,\,{\text{ = }}\,\,{\text{3}}\,\,\sqrt {\,\,14} $

यहाँ $A\,B\,\, + \,\,B\,C\,\, = \,\,A\,\,C$

अत: बिन्दु ${\text{A}}\,\,{\text{.}}\,\,{\text{B}}\,\,{\text{.}}\,\,{\text{C}}$संरेख हैं |

3. निम्लिखित को सत्यपति कीजिए:

(i). \[\mathbf{{\text{(}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{7}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{10}}\,\,{\text{)}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{)}}\,\]और \[\,{\text{(}}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{9}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{)}}}\] एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उत्तर: माना त्रिभुज $A\,\,B\,\,C$ के शीर्ष \[{\text{(}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{7}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{10}}\,\,{\text{)}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{)}}\,\]और\[\,{\text{(}}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{9}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{)}}\] हैं |

अब , 

$A\,\,B\,\, = \,\,\sqrt {\,\,{{(\,1\,\, - \,\,0\,)}^{2\,}}\,\, + \,\,{{(\,6\,\, - \,\,7\,)}^2}\, + \,\,{{(\, - \,\,6\,\, + \,\,10\,)}^2}}$

$= \sqrt {\,\,1\,\, + \,\,1\,\, + \,\,16}$

$= \,\,\sqrt {\,\,18}$

$= \,\,3\,\,\sqrt {\,2} \,$ 

अब ,

$B\,\,C\,\, = \sqrt {\,{{(\,4\,\, - \,\,1\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,9\,\, - \,\,6\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\, - \,\,6\,\, + \,\,6\,\,)}^2}}$

$= \,\,\sqrt {\,\,9\,\, + \,\,9}$

$= \,\,\sqrt {\,\,18}$

$= \,\,3\,\,\sqrt {\,2}$ 

हमें पता चला कि यहाँ ${\text{A}}\,\,{\text{B}}\,\,{\text{ = }}\,\,{\text{B}}\,\,{\text{C}}$ हैं |

अत: दिए गए शीर्ष समद्विबाहु त्रिभुज के हैं |

(ii). \[\mathbf{{\text{ (}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{7}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{10}}\,\,{\text{)}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{)}}\,\]और \[\,{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{9}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{)}}}\] एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उत्तर : माना त्रिभुज $P\,\,Q\,\,R$ के शीर्ष \[{\text{ (}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{7}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{10}}\,\,{\text{)}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{)}}\,\]और\[\,{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{9}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{6}}\,\,{\text{)}}\] हैं|

अब , 

$P\,\,{Q^2}\,\, = \,\,{(\, - 1\, - 1\,)^2}\,\, + \,\,{(\,6\, - \,7\,)^2}\,\, + \,\,{(\,6 - 10\,)^2} $

$= \,\,1\,\, + \,\,1\,\, + \,\,16 $

$= 1\,\,8 $ 

अब ,

$Q\,\,{R^2}\,\, = \,\,{(\, - 4\,\, + \,\,1\,)^2}\,\, + \,\,{(\,9\,\, - \,\,6\,)^2}\,\, + \,\,{(\,6\,\, - \,\,6\,)^2}$

$= \,\,9\,\, + \,\,9\,\, + \,\,0\,\, = \,\,18$ 

यहाँ , 

$P\,\,{R^2}\,\, + \,\,Q\,\,{R^2}\,\, = \,\,18\,\, + \,\,18\,\,\, = \,\,36 $

$\therefore \,\,P\,\,R\,{\,^{2\,}}\,\, = \,\,36 $

 $P\,\,{Q^2}\,\, + \,\,Q\,\,{R^2}\,\, = \,\,P{R^2} $ 

अत: दिए गए शीर्ष समकोण त्रिभुज के हैं।

(iii).\[\mathbf{{\text{(}}\,\,{\text{-}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{)}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{5}}\,\,{\text{)}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{7}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{8}}\,\,{\text{)}}\,}\]और \[\mathbf{\,{\text{(}}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{)}}}\] एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

उत्तर :  माना त्रिभुज $A\,\,B\,\,C\,\,D$ के शीर्ष \[{\text{A}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{)}}\,\,{\text{,}}\,B\,\,{\text{(}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{5}}\,\,{\text{)}}\,\,{\text{,}}\,C\,\,{\text{(}}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{7}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{8}}\,\,{\text{)}}\,\]और \[D\,\,\,{\text{(}}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{)}}\] हैं | अब ,

$A\,\,B{\,^2}\,\, = \,\,{(\,\,1\,\, + \,\,1\,\,)^2}\,\, + \,\,{(\,\, - \,\,2\,\, - \,\,2\,\,)^2}\,\, + \,\,{(\,\,5\,\, - \,\,1\,\,)^2} $

$= \,\,4\,\, + \,\,16\,\, + \,\,16\,\, $

$= \,\,36 $ 

अब ,

$B\,\,{C^2}\,\, = \,\,{(\,\,4\,\, - \,\,1\,\,)^2}\,\, + \,\,{(\,\, - \,\,2\,\, + \,\,2\,\,)^2}\,\, + \,\,{(\,\,8\,\, - \,\,5\,\,)^2} $

$= \,\,9\,\, + \,\,25\,\, + \,\,9 $

$= \,\,43 $ 

अब ,

$C\,\,{D^2}\,\, = \,\,{(\,\,2\,\, - \,\,4\,\,)^2}\,\, + \,\,{(\,\, - \,\,3\,\, + \,\,7\,\,)^2}\,\, + \,\,{(\,\,4\,\, - \,\,8\,\,)^2} $

$= \,\,4\,\, + \,\,16\,\, + \,\,16 $

$= \,\,36 $ 

अब ,

$A\,\,{D^2}\,\, = \,\,{(\,\,2\,\, + \,\,1\,\,)^2}\,\, + \,\,{(\,\, - \,\,3\,\, - \,\,2\,\,)^2}\,\, + \,\,{(\,\,4\,\, - \,\,1\,\,)^2} $

$= \,\,9\,\, + \,\,25\,\, + \,\,9 $

$= \,\,43 $ 

जैसा हमें पता चला कि 

$A\,\,{B^2} = \,\,C\,\,{D^2}$ और     $B\,\,{C^2}\,\, = \,\,A{D^2}$

$A\,\,B\,\, = \,\,C\,\,D$  और  $B\,\,C\,\, = \,\,AD$

अत: दिए गए बिन्दु एक समांतर चतुर्भुज के हैं |

4. ऐसे बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो \[\mathbf{{\text{(}}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{)}}\,\,}\] और \[\mathbf{{\text{(}}\,\,{\text{3}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{2}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{1}}\,\,{\text{)}}}\] बिंदु से समदूरस्थ हैं।

उत्तर : माना बिन्दु बिन्दु और बिन्दु से समान दूरी पर है |

अत: \[P\,\,A\,\, = \,\,P\,\,B\]

अब , \[P\,\,{A^2}\,\, = \,\,P\,\,{B^2}\]

${(\,x - 1\,)^2} + {(\,y - 2\,)^2} + {(\,z - 3\,)^2}\,\, = \,\,{(\,x - 3\,)^2} + {(\,y - 2\,)^2} + {(\,z + 1\,)^2} $

$\Rightarrow \,\,\,\left( {\,{x^2} - 2x + 1\,} \right) + \left( {\,{z^2} - 6z + 9\,} \right)\,\, = \,\,\left( {\,{x^2} - 6x + 9\,} \right) + \left( {\,{z^2} + } \right.2z + 1\,) $

$\Rightarrow \,\,\, - 2x + 6x - 6z - 2z + 10 - 10\,\, = \,\,0 $

$\Rightarrow \,\,\,4x - 8z\,\, = \,\,0 $ 

अत: अभीष्ट समीकरण \[x\,\, - \,\,2\,\,z\,\, = \,\,0\]

5. बिंदुओं च् से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिंदुओं से \[\mathbf{{\text{A}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{)}}\] और  \[{\text{B}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{)}}\]दूरियों का योगफल \[{\text{10}}}\] है।

उत्तर: दिए गए बिन्दु \[{\text{A}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{)}}\] और \[{\text{B}}\,\,{\text{(}}\,\,{\text{ - }}\,\,{\text{4}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{,}}\,\,{\text{0}}\,\,{\text{)}}\] इस प्रकार है कि 

$P\,\,A\,\, + \,\,P\,\,B\,\, = \,\,10$

$\sqrt {{{(x - 4)}^2} + {{(y - 0)}^2} + {{(z - 0)}^2}} \,\,\, + \,\,\sqrt {{{(x + 4)}^2} + {{(y - 0)}^2} + {{(z - 0)}^2}} \,\,\,\, = \,\,\,\,\,10 $

 $\Rightarrow \,\,\sqrt {{x^2} + {y^2} + {y^2} - 8x + 16} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,10 - \sqrt {{x^2} + {y^2} + {y^2} + 8x + 16}$ 

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ,

$\Rightarrow \,\,\,{x^2} + {y^2} + {y^2} - 8x + 16\,\,\, = \,\,\,100 + \left( {{x^2} + {y^2} + {y^2} - 8x + } \right.{\text{16) }} - 20\sqrt {{x^2} + {y^2} + {y^2} - 8x + 16}$

 $\Rightarrow \,\,\, - 16x - 100\,\,\, = \,\,\, - 20\sqrt {{x^2} + {y^2} + {y^2} + 8x + 16}$

 $\Rightarrow \,\,\,4x + 25\,\,\, = \,\,\,5\sqrt {{x^2} + {y^2} + {y^2} + 8x + 16}$ 

अत:  फिर से दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ,

${(4x + 25)^2}\,\,\, = \,\,\,25\left( {{x^2} + {y^2} + {y^2} + 8x + 16} \right) $

 $\Rightarrow \,\,\,16{x^2} + 200x + 625\,\,\, = \,\,\,25{x^2} + 25{y^2} + 25{y^2} + 200x + 400 $

 $\Rightarrow \,\,\,9{x^2} + 25{y^2} + 25{z^2}\,\,\, = \,\,\,625 - 400 = 225 $ 

अत:  अभीष्ट समीकरण $9\,\,{x^2}\,\, + \,\,25\,\,{y^2}\,\, + \,\,25\,\,{z^2}\,\,\, = \,\,\,225$

प्रश्नावली 12.3

1. बिंदुओं $\mathbf{\left( {\,\, - \,\,2\,\,,\,\,3\,\,,\,\,5\,\,} \right)}$ और $\mathbf{\left( {\,\,1\,\,,\,\, - \,\,4\,\,,\,\,6\,\,} \right)}$ को मिलाने से बने रेखा खंड को अनुपात (i)  $\mathbf{2\,\,:\,\,3}$ में अंत: (ii) $\mathbf{2\,\,:\,\,3}$ में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर : (i) माना बिन्दुओं $A\,\,\left( {\,\, - \,\,2\,\,,\,\,3\,\,,\,\,5\,\,} \right)$ और $B\,\,\left( {\,\,1\,\,,\,\, - \,\,4\,\,,\,\,6\,\,} \right)$ को मिलाने से बने रेखाखण्ड $A\,\,B$ को $P\,\,\left( {\,\,X\,\,,\,\,Y\,\,,\,\,Z\,\,} \right)$ अनुपात $2\,\,:\,\,3$$$ में अंत विभाजित करता हो, तब बिन्दु  के निर्देशांक इस प्रकार-

$X = \,\,\,\dfrac{{(\,2 \times 1 + 3x\,\,(\, - 2\,)\,)}}{{2 + 3}}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\dfrac{{(\,2 - 6\,)}}{5}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\dfrac{{ - 4}}{5} $

$Y\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{(\,2x\,\,(\, - 4\,\,) + 3 \times 3\,)}}{{2 + 3}}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\dfrac{{(\, - 8 + 9\,)}}{5}\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{5} $

 $Z\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{(\,2 \times 6 + 3 \times 5\,)}}{{2 + 3\,}}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\dfrac{{(\,12 + 15\,)}}{5}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\dfrac{{27}}{5} $ 

अत: बिन्दु ${\text{P}}$ के निर्देशांक $\left( {\,\,\dfrac{{ - 4}}{5}\,\,,\,\,\dfrac{1}{5}\,\,,\,\,\dfrac{{27}}{5}\,\,} \right)$ हैं |

(ii)  जब बिन्दु $P\,\,\left( {\,\,X\,\,,\,\,Y\,\,,\,\,Z\,\,} \right)$ रेखाखण्ड $A\,\,B$ के बाह्यतः ; विभाजित करता हो , तो निर्देशांक इस प्रकार होगे

$X\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{(\,2 \times 1 - 3x\,(\, - 2\,)\,)}}{{2 - 3}}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\dfrac{{(\,2 + 6\,)}}{{ - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 8 $

  $Y\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{(\,2x\,(\, - 4\,) - 3 \times 3\,)}}{{2 - 3}}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\dfrac{{(\, - 8 - 9\,)}}{{ - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\, = 17 $

  $Z\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{(\,2 \times 6 - 3 \times 5\,)}}{{2 - 3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\dfrac{{(\,12 - 15\,)}}{{ - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 $ 

अत: बिन्दु ${\text{P}}$ के निर्देशांक $\left( {\,\, - 8\,\,,\,\,17\,\,,\,\,3\,\,} \right)$ हैं |

2. दिया गया है कि बिंदु $\mathbf{P\,\,\left( {\,\,3\,\,,\,\,2\,\,,\,\, - \,\,4\,\,} \right)\,\,,\,\,Q\,\,\left( {\,\,5\,\,,\,\,4\,\,,\,\, - \,\,6\,\,} \right)}$और $\mathbf{R\,\,\left( {\,\,9\,\,,\,\,8\,\,,\,\, - \,\,10\,\,} \right)\,}$ संरेख है। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें को विभाजित करता है।

उत्तर : $x$ निर्देशांक , 

${\text{5}}\,\,\,{\text{ = }}\,\,\,\dfrac{{\left( {\,\,k\,\,*\,\,9\,\, + \,\,1\,\,*\,\,3\,\,} \right)}}{{k\,\, + \,\,1}}$

$\Rightarrow \,\,\,5\,\,(\,k + 1\,)\,\, = \,\,9\,k + 3 $

$\Rightarrow \,\,\,4\,k\,\, = \,\,5 - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,k\,\, = \,\,\dfrac{2}{4}\, $

 $\Rightarrow \,\,\,k\,\, = \,\,\dfrac{1}{2} $ 

इसी प्रकार $y\,\, - $ निर्देशांक 

\[4\,\,\, = \,\,\dfrac{{(\,8\,k\, + \,2\,)}}{{k + \,1}}\]

$\Rightarrow \,\,\,\,4\,\,k\,\, + \,\,4\,\,\, = \,\,\,8\,\,k\,\, + \,\,2 $

$\Rightarrow \,\,\,\,8\,\,k\,\, - \,\,4\,\,k\,\,\, = \,\,\,4\,\,\, - \,\,2 $

$\Rightarrow \,\,\,\,4\,\,{\text{k}}\,\, = \,\,2 $

$\Rightarrow \,\,\,\,{\text{k}}\,\, = \,\,\dfrac{1}{2} $ 

अब इसी प्रकार $z\,\, - $ निर्देशांक

$- \,6\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{(\, - 10\,\,k - 4\,)}}{{k + \,\,1}} $

$\Rightarrow \,\,\,6\,\,k\,\, + \,\,6\,\,\, = \,\,10\,\,k\,\, + \,\,4 $

$\Rightarrow \,\,\,10\,\,k\,\, - \,\,6\,\,k\,\,  = \,\,6\,\,\,- \,\,4 $

$\Rightarrow \,\,\,4\,\,k\,\, = \,\, \,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 

$\Rightarrow \,\,\,k\,\, = \,\,\dfrac{1}{2} $ 

अत: बिन्दु $P\,\,,\,\,Q\,\,,\,\,R$ संरेख हैं और $Q\,\,,\,\,P\,\,,\,\,R$  को  $1\,\,:\,\,2$ के अनुपात में विभाजित करता है |

3. बिंदुओं $\mathbf{\left( {\,\, - \,\,2\,\,,\,\,4\,\,,\,\,7\,\,} \right)}$और $\mathbf{\left( {\,\,3\,\,,\,\, - \,\,5\,\,,\,\,8\,\,} \right)}$ को मिलाने वाली रेखा खंड, $\mathbf{Y\,\,2\,\, -} $ तल द्वारा किस अनुपात में विभक्त होता है, उसे ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए बिन्दु $P$  पर तल $Y\,\,Z$ रेखाखण्ड $A\,\,B$ को $k\,\,:\,\,1$ के अनुपात में प्रतिच्छेद करता है, तब $Y\,\,Z\,\, - $ तल पर प्रत्येक बिन्दु $\left( {\,\,o\,,\,\,y\,,\,\,z\,\,} \right)$के रूप में होगा।

$A\,,\,B$ के निर्देशांक क्रमश:  $\left( {\,\, - \,\,2\,\,,\,\,4\,\,,\,\,7\,\,} \right)$ और  $\left( {\,\,3\,\,,\,\, - \,\,5\,\,,\,\,8\,\,} \right)$है |

$0\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{\left[ {\,k\,{\,^ \star }\,\,3\,\, + \,\,1\,{\,^{*\,\,}}(\,\, - \,\,2\,\,)\,} \right]\,}}{{k + 1}}\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{(\,\,3\,\,k\,\, - \,\,2\,\,)}}{{k + 1}} $

$\Rightarrow \,\,\,\,3\,\,k\,\, - \,\,2\,\, = \,\,0{\text{ }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,k\,\, = \dfrac{2}{3} $ 

अत: $A\,\,B$ को $Y\,\,Z\,\, - $ तल $2\,\,:\,\,0$ के अनुपात में विभक्त करता है |

4. विभाजन सूत्र का प्रयोग करके दिखाइए कि बिंदु $\mathbf{{\text{A}}\,\,(\,\,2\,,\, - 3\,,\,\,4\,\,)\,\,,\,\,{\text{B}}\,\,(\, - 1\,,\,\,2\,\,,\,\,1\,\,)\,}$ तथा $\mathbf{C\,\,(\,\,\,0\,,\,\,1/3\,\,,\,\,2\,\,\,)}$ संरेख है।

उत्तर : माना  $A\,\,,\,\,B\,\,,\,\,C\,\,,$  सरेख हैं $B$, रेखाखण्ड $A\,\,C$को $k\,\,:\,\,1$ में विभाजित करता है। 

$- 1\,\, = \,\,\,\dfrac{{\left( {\,{k^ \star }0 + {1^*}2\,} \right)}}{{k + 1}} $

$\Rightarrow \,\,\,\, - k - 1\,\, = \,\,2 $

$ \Rightarrow \,\,\,\,k\,\, = \,\, - 3 $

$\bullet \,\,\,2 = \dfrac{{\left[ {{k^*}1/3 + {1^*}( - 3)} \right]}}{{k + 1}} $

$\Rightarrow \,\,\,\,2k + 2 = \dfrac{k}{{3 - 3}} $

$\Rightarrow \,\,\,\dfrac{{\,2k - k}}{3} =  - 3 - 2 $

$\Rightarrow \,\,\,\,\dfrac{5}{{3k}} =  - 5 $

$\Rightarrow \,\,\,\,k\,\, = \,\, - 3 $ 

और 

अत: $A\,\,,\,\,B\,\,,\,\,C\,\,,$ बिन्दु संरेख हैं |

5. \[\mathbf{{\text{P}}\,\,{\text{( 4 , 2 ,  -  6 )}}}\] और \[\mathbf{{\text{Q  (  10 ,  -  16 , 6 )}}}\]  के मिलाने वाली रेखा खंड \[\mathbf{{\text{P Q}}}\] को सम त्रि-माजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

उत्तर :

माना बिन्दु \[A\,\,,\,\,B\] रेखाखण्ड $P\,\,Q$ को $3$ समान भागों में विभाजित करती है।

बिन्दु $A$ , रेखाखण्ड $P\,\,Q$ को $1\,\,:\,\,2$ के अनुपात में विभाजित करता है। 

${\text{A}}\,\, = \,\,\left[ {\,\dfrac{{(\,1 \times 10 + 2 \times 4\,)}}{{1 + 2}}\,\,,\,\,\dfrac{{(\,1 \times (\, - 16\,) + 2 \times 2\,)}}{{1 + 2}}\,\,,\,\,\dfrac{{(\,1 \times 6 + 2{\text{x}}(\, - 6\,)\,)}}{{1 + 2}}\,} \right]\,\,\,$

$ \Rightarrow {\text{A}}\,\,\, = \,\,\left( {\,\dfrac{{18}}{3}\,,\, - \dfrac{{12}}{3}\,,\, - \dfrac{6}{3}\,} \right)$        या        $ \Rightarrow {\text{A}}\,(6, - 4, - 2)$

बिन्दु $B$ , रेखाखण्ड $P\,\,Q$ को $2\,\,:\,\,1$ के अनुपात में विभाजित करता है। 

$B$ के निर्देशांक

$B\,\,\left[ {\,\dfrac{{(\,2 \times 10 + 1 \times 4\,)}}{{2 + 1}},\dfrac{{(\,2x\,(\, - 16\,) + 1 \times 2\,)}}{{2 + 1}},\dfrac{{(\,2 \times 6 + 1x\,(\, - 6\,)\,)}}{{2 + 1}}\,} \right] $

$ = B\,\,(\,\,8\,, - 10\,,2\,\,) $ 

अत: $4$ तथा $B$ के निर्देशांक क्रमश: $\left( {\,6\,\,,\,\, - 4\,\,,\,\, - 2\,} \right)$ और  $\left( {\,\,8\,\,,\,\, - \,\,10\,\,,\,\,2\,\,} \right)$ हैं |

प्रश्नावली A1.2

1. समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष \[\mathbf{A\,\,\left( {\,\,3\,\,,\,\, - 1\,\,,\,\,2\,\,} \right)\,\,,{\text{ }}B\,\,\left( {\,\,1\,\,,\,\,2\,\,,\,\, - 4\,} \right)\] व  \[C{\text{ }}\left( {\, - \,1\,\,,\,\,1\,\,,\,\,2\,\,} \right)}\] है। चौथे शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।

उत्तर: शीर्ष ${\text{A}}$ और $C$ क्रमश: \[\left( {\,\,3\,\,,\,\, - 1\,\,,\,\,2\,\,} \right)\,\,,\] \[\left( {\, - \,1\,\,,\,\,1\,\,,\,\,2\,\,} \right)\]  है |

${\text{A}}$ और $C$ मध्य बिन्दु के निर्देशांक $ = \,\,\,\left( {\,\dfrac{{3 - 1}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{ - 1 + 1}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{2 + 2}}{2}\,\,} \right)$

$ = \,\,\left( {\,\,1\,\,,\,\,0\,\,,\,\,2\,\,} \right)$

माना बिन्दु $D$ के निर्देशांक $\left( {\,\,x\,\,,\,\,y\,\,,\,\,z\,\,} \right)$ और बिन्दु $B$ के निर्देशांक $\left( {\,\,1\,\,,\,\,2\,\,,\,\, - \,\,4\,\,} \right)$ है |

$\therefore \,\,D\,B$ का मध्य बिन्दु $\left( {\,\,\dfrac{{x + 1}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{y + 2}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{z - 4}}{2}\,\,} \right)$

समांतर चतुर्भुज के विकरण एक दूसरे के $2$ समान भागों में बांटते है 

इसलिए 

$\left( {\,\,\dfrac{{x + 1}}{2} = 1\,\,,\,\,\dfrac{{y + 2}}{2} = 0\,\,,\,\,\dfrac{{z - 4}}{2} = 2\,} \right) $

$x\,\, = \,\,1\,\,,\,\,y\,\, = \,\, - 2\,\,,\,\,z\,\, = \,\,8 $ 

अत: बिन्दु के निर्देशांक $\left( {\,\,1\,\,,\,\, - 2\,\,,\,\,8\,\,} \right)$ है |

2. एक त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशां क्रमशः \[\mathbf{A\,\,\left( {\,\,0,0,6\,\,} \right),B\,\,\left( {\,\,0,4,0\,\,} \right)}\] तथा \[\mathbf{C\,\,\left( {\,\,6,0,0\,\,} \right)}\]हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए ।

उत्तर :

बिन्दु $B\,\,\left( {\,\,0\,\,,\,\,4\,\,,\,\,0\,} \right)$ और $C\,\,\,\left( {\,\,6\,\,,\,\,0\,\,,\,\,0\,\,} \right)$ को मिलाने वाला रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु $D\,\,\left( {\,\,\dfrac{{0 + 6}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{4 + 0}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{0 + 0}}{2}\,\,} \right)$ है 

बिन्दु के $A$ निर्देशांक $\left( {\,\,0\,\,,\,\,0\,\,,\,\,6\,\,} \right)$ है 

त्रिभुज $A\,\,B\,\,$ के माध्यिका $A\,\,D$ की लम्बाई 

$ = \,\,\sqrt {\,\,{{(\,\,3 - 0\,\,)}^2}\,\, + \,\,\,{{(\,\,2 - 0\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,\,0 - 6\,\,)}^2}} $

$= \,\,\sqrt {\,\,9\,\, + \,\,4\,\, + \,\,36}$

$= \,\,\,\sqrt {\,\,49}$

$= \,\,7 $ 

$C$  और  $A$ के निर्देशांक $\left( {\,\,6\,\,,\,\,0\,\,,\,\,0\,} \right)$ और  \[\left( {\,\,0,0,6\,\,} \right)\] हैं |

$A\,\,C$ का मध्य बिन्दु $E$ \[\,\left( {\,\,\dfrac{{0 + 6}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{0 + 0}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{0 + 6}}{2}\,\,} \right)\]

$E\,\,\,\, = \,\,\,\,(\,\,3\,\,,\,\,0\,\,,\,\,3\,\,) $

$B\,\,\,\, = \,\,\,\,(\,\,0\,\,,\,\,4\,\,,\,\,0\,\,) $ 

त्रिभुज $A\,\,B\,\,C$ के माध्यिका $B\,\,E$ की लंबाई 

$= \,\,\,\sqrt {\,\,{{(\,\,3\,\, - \,\,0\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,\,0\,\, - \,\,4\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,\,3\,\, - \,\,0\,\,)}^2}}$

$= \,\,\,\sqrt {\,\,9\,\, + \,\,16\,\, + \,\,9}$

$= \,\,\,\sqrt {\,\,34}$ 

$A$  और  $B$ के निर्देशांक $\left( {\,\,0\,\,,\,\,0\,\,,\,\,6\,} \right)$ और  \[\left( {\,\,0,4,0\,\,} \right)\] है |

${\text{A}}\,\,{\text{B}}$ का मध्य बिन्दु $\left( {\,\,\dfrac{{0 + 0}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{0 + 4}}{2}\,\,,\,\,\dfrac{{6 + 0}}{2}\,\,} \right)$ है 

त्रिभुज $A\,\,B\,\,C$ के माध्यिका $C\,\,F$ की लंबाई 

$= \,\,\,\sqrt {\,\,{{(\,\,6\,\, - \,\,0\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,\,0\,\, - \,\,2\,\,)}^2}\,\, + \,\,{{(\,\,0\,\, - \,3\,\,)}^2}}$

$= \,\,\,\sqrt {\,\,36\,\, + \,\,4\,\, + \,\,9}$

$= \,\,\,\sqrt {\,\,49}$

$= \,\,\,7 $ 

3. यदि त्रिभुज का केंद्रक मूल बिंदु है और शीर्ष \[\mathbf{P\,\,\left( {2{\text{ }}a,{\text{ }}2,6} \right)}\] \[\mathbf{,\,Q\left( { - 4,3{\text{ }}B - 10} \right)}\] और \[\mathbf{R\left( {8,14,2{\text{ }}c} \right)\]हैं \[a,{\text{ }}b}\] तो और $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:  त्रिभुज $P\,Q\,R$ के शीर्षों \[P\,\,(\,\,2{\text{ }}a\,\,,{\text{ }}2\,\,,\,\,6\,\,)\,\,,{\text{ }}Q\,\,(\,\, - \,\,4\,\,,\,\,3{\text{ }}b,\,\, - 10\,\,)\,\,,{\text{ }}R\,\,(\,\,8\,\,,\,\,14\,\,,\,\,2{\text{ }}c\,\,)\] 

$\Delta \,\,P\,\,Q\,\,R$ का केन्द्रक  $\left( {\,\,\dfrac{{{x_1}\,\, + \,\,{x_2}\,\, + \,\,{x_3}}}{3}\,\,,\,\,\dfrac{{{y_1}\,\, + \,\,{y_2}\,\, + \,\,{y_3}}}{3}\,\,,\,\,\dfrac{{{z_1}\,\, + \,\,{z_2}\,\, + \,\,{z_3}}}{3}\,\,} \right)$

4. $y$ अक्ष पर उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसकी बिंदु \[\mathbf{P\,\,\left( {\,3\,, - 2\,,\,5\,} \right)}\]से दूर $\mathbf{5\,\sqrt {\,2} }$ है।

उत्तर:  $y\,\, - $अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक $A\,\,\left( {\,\,0\,\,,\,\,{y_1}\,\,,\,\,0\,\,} \right)$  है। $A$ से \[P\,\,\left( {\,\,3\,\,,\,\, - 2\,\,,\,\,5\,\,} \right)\]के बीच की दूरी $ = \,\,\,5\,\,\sqrt {\,\,2} $

$A{P^2}\,\, = \,\,{(\,\,3 - 0\,\,)^2}\,\, + \,\,{\left( {\,\, - 2 - {y_1}\,} \right)^2} + \,\,\,{(\,\,5 - 0\,\,)^2} $

$= \,\,9 + {\left( {\,\, - 2 - {y_1}\,\,} \right)^2} + \,\,25 $

$= \,\,{\left( {\,\,{y_1}\,\, + \,\,2\,\,} \right)^2}\,\, + \,\,34 $ 

$AP\,\, = \,\,\sqrt {\,{{\left( {\,\,{y_1} + 2\,\,} \right)}^2}\,\, + \,\,34}  = 5\,\,\sqrt {\,\,2}$

$\therefore \,\,\,\,{\left( {\,{y_1} + 2\,} \right)^2} + 34\,\, = \,\,50 $

${\left( {\,\,{y_1} + 2\,\,} \right)^2}\,\, = \,\,50 - 34\,\, = \,\,16 $

${y_1} + 2\,\,\, = \,\,\, \pm 4 $ 

$ + \,\,v\,\,e$  चिन्ह लेने पर  ${y_1}\,\,\, = \,\,4\,\, - \,\,2\,\,\,\,\,\, = \,\,2$

$ - \,\,v\,\,e$  चिन्ह लेने पर  ${y_1}\,\,\, = \,\, - \,\,4\,\, - \,\,2\,\,\,\,\,\, = \,\, - \,\,6$

$y$ अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु $\left( {\,\,0\,\,,\,\,2\,\,,\,\,0\,\,} \right)$ और $\left( {\,\,0\,\,,\,\, - \,\,6\,\,,\,\,0\,\,} \right)$ है |

5. \[P\left( {2, - 3,4} \right)\] और \[Q\,\,\left( {\,8,0,10\,} \right)\]को मिलाने वाली रेखा खंड पर स्थित एक बिंदु $R$ को $x$ निर्देशांक $4$  है। बिंदु $R$ के निर्देशांक ज्ञात काजिए | (संकेत मान लीजिए को \[k:{\text{ }}1\] में विभाजित करता है। बिंदु $R$ के निर्देशांक $\left( {\,\dfrac{{8k + 1}}{{k + 1}}\,\,,\,\,\dfrac{{ - 3}}{{k + 1}}\,\,,\,\,\dfrac{{10k + 4}}{{k + 1}}\,} \right)$ है ।)

उत्तर: माना $R\,\,,\,\,P\,\,,\,\,Q$ बिन्दु को $k\,\,:\,\,1$ में विभाजित करता है जबकि $P$ और $Q$ के निर्देशांक $P\,\,(\,\,2\,\,, - 3\,\,,\,\,4\,\,)$ और $Q\,\,(\,\,8\,\,,\,\,0\,\,,\,\,10\,\,)$ है |

बिन्दु $R$ के बिन्दु के निर्देशांक $\left( {\,\,\dfrac{{8\,\,k + 2}}{{k + 1}}\,\,\,,\,\,\,\dfrac{{ - 3}}{{\,\,k + 1}}\,\,\,,\,\,\dfrac{{10\,\,k + 4}}{{k + 1}}\,\,} \right)$

परंतु $x$ बिन्दु के निर्देशांक $4$ के समान है |

$\dfrac{{8k + 2}}{{k + 1}}\,\,\,\, = \,\,4\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,8\,\,k\,\, + \,\,2\,\,\,\,\, = \,\,4\,\,k\,\, + \,\,4 $

$4\,\,k\,\, = \,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,k\,\, = \,\,\dfrac{2}{4}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,k = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, = \,\,1\,\,:\,\,2 $ 

$y\,\, - $ निर्देशांक $\dfrac{{ - 3}}{{k + 1}}\,\,\,\,\, = \,\,\dfrac{{ - 3}}{{\dfrac{1}{2} + 1}}\,\,\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{ - 3 \times 2}}{3}\,\,\,\,\,\, = \,\,\dfrac{{ - 6}}{3}\,\,\,\,\,\,\, = \,\, - 2$

$z\,\, - $ निर्देशांक  $ = \,\,\dfrac{{10k + 4}}{{k + 1}}\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{10 \times \dfrac{1}{2} + 4}}{{\dfrac{1}{2} + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{5 + 4}}{{\dfrac{3}{3}}}\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\dfrac{{9 \times 2}}{3}\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\dfrac{{18}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,6$

अत:  $R$ के निर्देशांक  $\left( {\,\,4\,\,,\,\, - 2\,\,,\,\,6\,\,} \right)$ है |

6. यदि बिंदु $A$और $B$ क्रमश: \[\mathbf{\left( {3,4,5} \right)}\] तथा \[\mathbf{\left( { - 1,3, - 7} \right)}\]  हैं। चर बिंदु $P$  द्वारा निर्मित समुच्चय से संबिधत समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ $\mathbf{P{A^2}\,\, + \,\,P{B^2}\,\, = \,\,{k^2}}$ अचर है।

उत्तर:  माना बिन्दु ${\text{P}}$ के निर्देशांक $\left( {\,\,x\,\,,\,\,y\,\,,\,\,z\,\,} \right)$

बिन्दु $A\,\,\left( {\,\,3\,\,,\,\,4\,\,,\,\,5\,\,} \right)$ 

$P{A^2}\,\, = \,\,{(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 5)^2}$

बिन्दु $B\,\,\left( {\,\, - \,\,1\,\,,\,\,3\,\,,\,\,7\,\,} \right)$

$P{B^2}\,\, = \,\,{(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 7)^2}$

दिया है 

$P{A^2} + P{B^2} = {k^2} $

$\left[ {\,\,{{(x - 3)}^2} + {{(y - 4)}^2} + {{(z - 5)}^2}\,\,} \right]\,\,\, + \,\,\,\left[ {\,\,{{(x + 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} + } \right.\left. {{{(z + 7)}^2}\,\,} \right]\,\, = \,\,{k^2} $

$\Rightarrow \,\,\,\,\left( {\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - \,8y - 10z + 9 + 16 + 25\,\,} \right)\,\, + \,\,\left( {\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 14z + 1 + 9 + 49\,\,} \right)\,\, = \,\,{k^2} $

$\Rightarrow \,\,\,\,\,2\,\,\left( {\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2}\,\,} \right)\,\, - \,\,4x - 14y + 4z + 50 + 59 - {k^2}\,\, = \,\,0 $

$\Rightarrow \,\,\,\,2\,\,\left( {\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2}\,\,} \right)\,\, - \,\,4x - 14y + 4z + 109 - {k^2}\,\, = \,\,0 $

$\Rightarrow \,\,\,\,\,\,2\,\,\left( {\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2}\,\,} \right)\,\, - \,\,4x - 14y + 4z = {k^2} - 109 $

$\Rightarrow \,\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 7y + 2z\,\,\,\, = \,\,\,\,\dfrac{{{k^2} - 109}}{2} $ 

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 Introduction to Three Dimensional Geometry in Hindi

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