NCERT Solutions for Class 11 Maths In Hindi Chapter 1 Sets

प्रश्नावली 1.1

1. निम्ननिखित में कौन से समुच्चय हैं? अपिे उत्तर का ओचित्य बताइए।

(i) j अक्षर से होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह। 

उत्तर: j से शुरू होने वाले महीने का नाम है: जनवरी, जून, जुलाई। अतः यह संग्रह एक सेट है। 

(ii) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।

उत्तर: प्रतिभाशाली एक लेखक को परिभाषित नहीं किया जा सकता। अतः यह संग्रह नहीं है।

(iii) विश्व सर्वक्षरेसठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह।

उत्तर: सर्वक्षरेसठ बल्लेबाज को परिभाषित नहीं कर सकते। अतः यह संग्रह नहीं है।

(iv) आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह। 

उत्तर: कक्षा के सभी विधीयर्थी के संख्यों निश्चियत होते है। अतः यह संग्रह है।

(v) सों से कम सभी प्राकर्त संख्याओ का संग्रह। 

उत्तर: सों से कम प्रकरत संख्या है। अतः यह संग्रह है।

(vi) लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह। 

उत्तर: लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह गबन, गोडाउन आदि द्वारा परिभाषित है। अतः यह संग्रह है।

(vii) सभी संपूर्णको का संग्रह। 

उत्तर: संपूर्णको है। अतः यह एक संग्रह है।

(viii) इस अध्याय मे आने वाले प्रश्नों का संग्रह। 

उत्तर: इस अध्याय के प्रशन प्रभाषित है। अतः यह एक संग्रह है।

(ix) विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह। 

उत्तर: संसार के सबसे अधिक खतरनाक पशुओ के संग्रह को परिभाषित नहीं किया जा सकता। अतः यह एक संग्रह है।

2. मान लीजिए A = $$\{1,2,3,4,5,6\}$$ रिक्त स्थानों मे उपउक्त प्रतीक $$\in ,\notin$$ भरिए। 

(i) $$5$$ ______A

उत्तर: $$5$$ $$\in$$ A

(ii) $$8$$ ______A

उत्तर: $$8$$ $$\notin$$ A

(iii) $$0$$ ______A

उत्तर: $$0$$ $$\notin$$ A

(iv) $$4$$ ______A

उत्तर: $$4$$ $$\in$$ A

(v) $$2$$ ______A

उत्तर: $$2$$ $$\in$$ A

(vi) $$10$$ ______A

उत्तर: $$10$$ $$\notin$$ A

3. निमानलिखित समुच्चयों को रास्टर रूप मे लिखिए:

(i) A = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक पूर्णक है और $$\text{ - 3 < x < 7}$$ }

उत्तर: A = $$\{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6\}$$

(ii) B = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ संखयश $$\text{6}$$ से काम एक प्राकरत संख्या है }

उत्तर: B = $$\{1,2,3,4,5\}$$

(iii) C = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ दो अंकों की ऐसी प्राकरत है जिसके अंकों का योगफल आठ है }

उत्तर: C = $$\{17,26,35,44,53,62,71,80\}$$

(iv) D = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक अभाग्य संखयश है जो $$\text{60}$$ की भाजक है }

उत्तर: D = $$\{2,3,5\}$$

(v) E = TRIGNOMETRY शब्द के सभी के सभी अक्षरों का समुच्चय। 

उत्तर: E = {T,R,I,G,O,N,M,E,Y}

(vi) F = BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय। 

उत्तर: F = {B,E,T,E}

4. निमानलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप मे वयकेत कीजिए:

(i) $$\text{{ 3,6,9,12} }$$ 

उत्तर: $$\{\text{x}\text{:}\text{x}\text{ = }\text{3}\text{n},1⩽\text{n}⩽4\}$$

(ii) $$\text{{ 2,4,8,16,32} }$$ 

उत्तर: $$\{\text{x}\text{:}\text{x}\text{ = }{2}^n,1⩽\text{n}⩽5\}$$

(iii) $$\text{{ 5,25,125,625} }$$ 

उत्तर: $$\{\text{x}\text{:}\text{x}\text{ = }{5}^n,,1⩽\text{n}⩽4\}$$

(iv) $$\text{{ 2,4,6,}...\text{} }$$ 

उत्तर: { $$\text{x}\text{:}\text{x}$$ एक सम प्रकरत संख्या है }

(v) $$\text{{ 1,4,9,}...\text{,100} }$$ 

उत्तर: $$\{\text{x}\text{:}\text{x}\text{ = }{n}^2,,1⩽\text{n}⩽10\}$$

5. निमानलिखित समुच्चय के सभी आवाजय ओकासा को सूचीबद्ध कीजिए:

(i) A = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक विषम लिए प्राकर्त संखयश है}

उत्तर: A = $$\text{{ 1,3,5,7} }$$

(ii) B = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक पुणक है $$\text{ - 1/2 < x < 9/2}$$ }

उत्तर: B = $$\text{{ 0,1,2,3,4} }$$

(iii) C = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक पुणक है $${\text{x}}^{\text{2}}⩽4$$ }

उत्तर: C = $$\text{{ - 2, - 1,0,1,2} }$$

(iv) D = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ लॉइअल शब्द का एक अक्षर है }

उत्तर: D = {L,O,Y,A}

(v) E = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ वर्ष का एक ऐसा महिना है, जिसमे $$31$$ दिन नहीं होते है}  

उत्तर: E = { फरवरी, अप्रैल, जून, सितंबर, नवंबर}

(vi) F = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ अंग्रेजी वर्णमाला का एक व्यंजन है, जो के: से पहले आता है}

उत्तर: F = {b,c,d,f,g,h,j}

6. बाई और रास्टर रूप मे लिखित और दाई और समुच्चय निर्माण रूप वदत समुच्चयों का सही मिलन कीजिए:

(i) $$\{1,2,3,6\}$$            (a) { $$\text{x}$$  : $$\text{x}$$  एक अभाजय संख्या है और छ: की भाजक है}

(ii) $$\{2,3\}$$            (b) { $$\text{x}$$  : $$\text{x}$$  संख्या $$10$$ से कम एक विषम प्राकरत संखयश है}

(iii) {M,A,T,H,E,I,C,S}    (c) { $$\text{x}$$  : $$\text{x}$$  एक प्राकरत संख्या है और छ: की भाजक है}

(iv) $$\{2,3\}$$                (d) { $$\text{x}$$  : $$\text{x}$$  MATHEMATICS शब्द का एक अक्षर है}

उत्तर : (i) – (c) , (ii) – (a) , (iii) – (d) , (iv) – (b)

प्रश्नावली 1.2 

1. निमानलिखित मे से कौन से रिक्त समुच्चय के उदारण है?

(i) दो से भाज्य विषम प्रकरत संख्याओ का समुच्चयए 

उत्तर: दो से भाज्य कोई भी विषम प्राकर्त संखयाए नहीं है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।

(ii) सम आभाजी संख्याओ का समुच्चय

उत्तर: सम अभाजय संख्याओ का समुच्चय $$\text{{ 2} }$$ है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय नहीं है।

(iii) { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है, $$\text{x}\text{ < }\text{5}$$ और साथ ही साथ $$\text{x}\text{ < }7$$ }

उत्तर: $$\text{x}\text{ < }\text{5}$$ और साथ ही साथ $$\text{x}\text{ < }7$$ कोई प्रकरत संख्या नहीं है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।

(iv) { $$\text{y}$$ : $$\text{y}$$ किन्ही भी दो समांतर रेखाओ का उबयनिष्ट बिन्दु है}

उत्तर: समांतर रेखाए कही भी नहीं मिलती है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।

2. निमानलिखित समुच्चयों मे से कौन परिमित और कौन अपरिमित है 

(i) वर्ष महीनों का समुच्चय 

उत्तर: बर्ष मे बारह महीने होते है। अतः यह एक परिमिति समुच्चय है।

(ii) $$\text{{ 1,2,3,}...\text{} }$$

उत्तर: समुच्चय $$\text{{ 1,2,3,}...\text{} }$$ मे अनंत अवयव है। अतः यह एक अपरिमिति समुच्चय है।

(iii) $$\text{{ 1,2,3,}...\text{,100} }$$

उत्तर: समुच्चय$$\text{{ 1,2,3,}...\text{,100} }$$ मे कुल सों अवयव हा। अतः यह एक परिमिति समुच्चय है।

(iv) सों से बड़ी धन पूर्णको का समुच्चय 

उत्तर: सों से बड़ा पूर्णको का समुच्चय $$\text{{ 101,102,103,}...\text{} }$$ है, जिसमे अनंत अवयव है। अतः यह एक अपरिमिति समुच्चय है।

(v) $$\text{99}$$ से छोटे अभाजय पूर्णको का समुच्चय 

उत्तर: $$\text{99}$$ से छोटे अभाज्य पूर्णको समुच्चय $$\text{{ 2,3,5,7,}...\text{,97} }$$ है, जिसमे अवयव की संख्या निश्चित है। अतः यह एक अप्रीमिति समुच्चय है।

3. निमानलिखित समुच्चयों मे से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमिति है और कौन अपरिमिति है 

(i) x- अक्ष के समांतर रेखाओ का समुच्चय 

उत्तर: x- अक्ष के समांतर अनंत रेखाओ खींची जा सकती है। अतः यह एक अपरिमिति समुच्चय है।

(ii) अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय 

उत्तर: अंग्रेजी वर्णमाला मे कुल $$\text{26}$$ अक्षर होते है। इन अक्षरों से बनने वाला समुच्चय परिमिति होगा।

(iii) उन संख्याओ का समुच्चय जो पाँच के गुणज है 

उत्तर: पाँच से विभाजित होने वाली संख्याओ का समुच्चय $$\text{{ 5,10,15,20,}...\text{} }$$ है, जिसमे अनंत अवयव है। अतः यह एक अपरिमिति समुच्चय है। 

(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय 

उत्तर: पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय परिमिति होगा। 

(v) मूल बिन्दु $$\text{(0,0)}$$ से होकर जाने वाले वृतों का समुच्चय 

उत्तर: मूल बिन्दु को केंद्र मानकर अनंत वृत से जा सकता है। अतः यह एक अपरिमिति होगा।

4. निमानलिखित मे बतलाइए कि A = B है अथवा नहीं है 

(i) A = {a,b,c,d} B= {a,c,b,d}

उत्तर: A और b दोनों समुच्चयों के अवयव a,b,c,d है। अतः A = B

(ii) A = $$\text{{ 4,8,12,16} }$$ , B = $$\text{{ 8,4,16,18} }$$

उत्तर: A मे अवयव बारह है परंतु B मे बही है। अतः A, B के बराबर नहीं है। 

(iii) A = $$\text{{ 2,4,6,8,10} }$$ , B = { $$\text{x}$$: $$\text{x}$$ सम धन पूर्णक है और $$\text{x}\text{ < }\text{10}$$}

उत्तर: A और B दोनों समुच्चयों के अवयव $$\text{2,4,6,8,10}$$ है। अतः A = B

(iv) A = { $$\text{x}$$: $$\text{x}$$ संख्याओ दस का गुरणज है }, B = $$\text{{ 10,15,20,25,30,}...\text{} }$$

उत्तर: A = $$\text{{ 10,20,30,40,}...\text{} }$$ , B = $$\text{{ 10,15,25,30,}...\text{} }$$ , दस के गुरणजों मे $$\text{5,15,25}$$ नहीं आता है। अतः A, B के बराबर नहीं है।

5. क्या लेखित समुच्चय युगम समान है? कारण सहित बताइए। 

(i) A = $$\text{{ 2,3} }$$ , B = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ समीकरण $${\text{x}}^{\text{2}}\text{ + 5x + 6}\text{ = }\text{0}$$ का एक हल है }

उत्तर: A = $$\text{{ 2,3} }$$ , B = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ समीकरण $${\text{x}}^{\text{2}}\text{ + 5x + 6}\text{ = }\text{0}$$ } = $$\text{{ - 2, - 3} }$$ , अतः A और B के अवयव भिन्न है। अतः A, B के बराबर नहीं है।

(ii) A = {$$\text{k}$$: $$\text{x}$$ शब्द FOLLOW का एक अक्षर है } , B = { $$\text{y}$$: $$\text{y}$$ शब्द WOLF का एक अक्षर है }

उत्तर: A = {F,O,L,W}, B = {W,O,L,F}, A और B के अवयव समान है। अतः A = B

6. नीचे दिए हुए समुच्चय मे से समान समुच्चयों का चयन कीजिए:

A = $$\text{{ 2,4,8,12} }$$

B = $$\text{{ 1,2,3,4} }$$

C = $$\text{{ 4,8,12,14} }$$

D = $$\text{{ 3,1,4,2} }$$

E = $$\text{{ - 1,1} }$$

F = $$\text{{ 0,a} }$$

G = $$\text{{ 1, - 1} }$$

H = $$\text{{ 0,1} }$$

उत्तर: यह समुच्चय B और D के अवयव $$\text{1,2,3,4}$$ है B = D, तथा समुच्चय E और G मे अवयव $$\text{ - 1,1}$$ समान है। अतः E = G

प्रश्नावली 1.3

1. रिक्त स्थानों मे प्रतक $$\subset$$ या $$\not\subset$$ को भर कर सही कथं बनाइये:

(i) $$\{2,3,4\}$$______ $$\{1,2,3,4,5\}$$

उत्तर: $$\{2,3,4\}$$___$$\subset$$ ___ $$\{1,2,3,4,5\}$$

(ii) $$\text{{ a,b,c} }$$______ $$\text{{ b,c,d} }$$

उत्तर: $$\text{{ a,b,c} }$$___$$\not\subset$$___ $$\text{{ b,c,d} }$$

(iii) {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है}

उत्तर: {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है}____$$\subset$$ 

(iv) {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी समतल मे स्थित एक वृत है}____{$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक समान समतल मे वृत है जिसका त्रिज्या एक इकाई है}

उत्तर: {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी समतल मे स्थित एक वृत है}__$$\not\subset$$ __{$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक समान समतल मे वृत है जिसका त्रिज्या एक इकाई है}

(v) {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी समतल मे स्थित एक त्रिभुज है}____{$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी संतक मे स्थित एक आयात है}

उत्तर: {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी समतल मे स्थित एक त्रिभुज है}__$$\not\subset$$ __{$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी संतक मे स्थित एक आयात है}

(vi) {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी समतल मे स्थित एक समबाहु त्रिभुज है}____{$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी समतल मे स्थित एक त्रिभुज है}

उत्तर: {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी समतल मे स्थित एक समबाहु त्रिभुज है}__$$\subset$$ __{$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ किसी समतल मे स्थित एक त्रिभुज है}

(vii) {$$\text{x}$$  : $$\text{x}$$  एक सम प्राकरत संख्या है}____{$$\text{x}$$  : $$\text{x}$$  एक पूर्णक है}

उत्तर: {$$\text{x}$$  : $$\text{x}$$  एक सम प्राकरत संख्या है}__$$\subset$$ __{$$\text{x}$$  : $$\text{x}$$  एक पूर्णक है}

2. जाँचिए कि निमानलिखित कथन सत्य है अथवा असत्य है 

(i) $$\text{{ a,b} }\not\subset \text{{ b,c,a} }$$

उत्तर: A = $$\text{{ a,b} }$$ , B = $$\text{{ b,c,a} }$$

यहा, सेट A का प्रत्येक तत्व सेट B का एक तत्व है 

A $$\subset$$ B

इसलिए, बयान गलत है।

(ii) $$\text{{ a,e} }$$ $$\subset$$ {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}

उत्तर: A = $$\text{{ a,e} }$$ और B = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ अंग्रेजी वर्णमाला मे एक स्वर है} = $$\text{{ a,e,i,o,u} }$$ 

यहा, सेट A का प्रत्येक तत्व सेट सेट B का एक तत्व है। 

A $$\subset$$ B

इसलिए, कथन सत्य है।

(iii) $$\{1,2,3\}\subset \{1,3,5\}$$

उत्तर: A = $$\text{{ 1,2,3} }$$ और B = $$\text{{ 1,3,5} }$$

यहा, $$\text{2}\in$$A लेकिन $$\text{2}\notin$$B

A $$\not\subset$$ B

इसलिए, बयान गलत है।

(iv) $$\text{{ a} }\subset \text{{ a,b,c} }$$

उत्तर: A = $$\text{{ a,b} }$$ और B = $$\text{{ a,b,c} }$$

यहा, सेट A का प्रत्येक तत्व B का एक तत्व है। 

A $$\subset$$ B

इसलिए, कथन सत्य है।

(v) $$\text{{ a,b} }\in \text{{ a,b,c} }$$

उत्तर:  A = $$\text{{ a,b} }$$  और B = $$\text{{ a,b,c} }$$

यहा, $$\text{{ a} }\notin$$ B

इसलिए, बयान गलत है। 

(vi) {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ संख्या $$6$$ से कम एक सम प्रकरत संख्या है} $$\subset$$ {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है, जो संख्या $$36$$ को विभाजित करती है}

उत्तर: A = {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक समान प्रकरतिक संख्या है जो $$6$$} = $$\{2,4\}$$ से कम है। 

B = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्राकर्तिक संख्या है जो $$36$$ } = $$\{1,2,3,4,6,12,18,36\}$$ को विभाजित करती है। 

यहा, सेट A का प्रत्येक तत्व सेट  B का एक तत्व है। 

A $$\subset$$ B

इसलिए, कथन सत्य है।

3. मान लीजिए कि A = $$\{1,2,\{3,4\},5\}$$ निमानलिखित मे से कौन स कथं सही नहीं है और क्यों 

(i) $$\{3,4\}$$ $$\subset$$ A

उत्तर: $$\{3,4\}$$ सेट  A का सदस्य है। 

$$\{3,4\}$$ $$\in$$ A 

इसलिए, $$\{3,4\}$$ $$\subset$$ A  सही नहीं है।

(ii) $$\{3,4\}$$ $$\in$$ A

उत्तर: $$\{3,4\}$$ सेट A के एक सदस्य इसलिए, $$\{3,4\}\in$$ A गलत है।

(iii) $$\{\{3,4\}\}$$ $$\subset$$ A

उत्तर: $$\{3,4\}$$ सेट A के एक सदस्य है। 

$$\{\{3,4\}\}$$ एक सेट है। 

इसलीये, $$\{\{3,4\}\}$$ $$\subset$$ A सही नहीं है।

(iv) $$1$$ $$\in$$ A

उत्तर: एक सेट A के एक सदस्य इसलिए  $$1$$ $$\in$$ A सही है।

(v) $$1$$ $$\subset$$ A

उत्तर: एक सेट, यह इसलिए सेट A के एक सदस्य है नहीं है,  $$1$$ $$\subset$$ A सही नहीं है।

(vi) $$\{1,2,5\}$$ $$\subset$$ A

उत्तर: $$\{1,2,5\}$$  सेट A के सदस्य है। 

$$\{1,2,5\}$$  सेट A का एक सब्सेट है।  

इसलिए, $$\{1,2,5\}$$ $$\subset$$ A सही है।

(vii) $$\{1,2,5\}$$ $$\in$$ A 

उत्तर: $$\{1,2,5\}$$ सेट A  के सदस्य है। 

$$\{1,2,5\}$$  सेट A का सब्सेट है। 

इसलिए, $$\{1,2,5\}$$$$\in$$  A गलत है।

(viii) $$\{1,2,3\}$$ $$\subset$$ A

उत्तर: $$3$$ सेट A  का सदस्य नहीं है। 

$$\{1,2,3\}$$  सेट A का सब्सेट नहीं है। 

इसलिए, $$\{1,2,3\}$$$$\subset$$  A सही नहीं है।

(ix) $$\mathrm{\varnothing }$$ $$\in$$ A

उत्तर: $$\mathrm{\varnothing }$$  सेट A के एक सदस्य इसलिए $$\mathrm{\varnothing }$$ $$\in$$ A सही है नहीं है।

(x) $$\mathrm{\varnothing }$$ $$\subset$$ A 

उत्तर: $$\mathrm{\varnothing }$$ सेट A का सदस्य नहीं है इसलिए $$\mathrm{\varnothing }$$ $$\subset$$ A गलत है।

4. निमानलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए: 

(i) $$\text{{ a} }$$

उत्तर: दिए गए सेट मे तत्वों की संख्या = $$1$$

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = $$2^1=2$$

इसलिए दिए गए सेट के सब्स्क्रिप्शन है = $$\mathrm{\varnothing },\text{{ a} }$$

(ii) $$\text{{ a,b} }$$

उत्तर: दिए गए सेट मे तत्वों की संख्या = $$2$$

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = $$2^2=4$$

इसलिए दिए गए सेट के सब्स्क्रिप्शन है = $$\mathrm{\varnothing },\text{{ a} ,}\text{{ b} ,}\text{{ a,b} }$$

(iii) $$\text{{ 1,2,3} }$$

उत्तर: दिए गए सेट मे तत्वों की संख्या = $$3$$

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = $$2^3=8$$

इसलिए दिए गए सेट के सब्स्क्रिप्शन है = $$\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{2\},\{3\},\{3,2\},\{3,1\}$$

(iv) $$\mathrm{\varnothing }$$ 

उत्तर: दिए गए सेट मे तत्वों की संख्या = $$0$$

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = $$2^0=1$$

इसलिए दिए गए सेट के सब्स्क्रिप्शन है = $$\mathrm{\varnothing }$$

5. P(A) के कितने अवयव है, यदि A = $$\text{0}$$

उत्तर: सेट A = $$0$$ मे तत्वों की संख्या 

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = $$2^0=1$$

इसलिए, P(A) के तत्वों की संख्या एक है।

6. निमानलिखित को अंतराल रूप मे लिखिए: 

(i) $$\text{{ x:x}\in \text{R, - 4 < x}⩽\text{6} }$$

उत्तर: A = $$\text{{ x:x}\in \text{R, - 4 < x}⩽\text{6} }$$

इसे अंतराल के रूप मे लिखा जा सकता है $$(-4,6]$$

(ii) $$\text{{ x:x}\in \text{R, - 12 < x}⩽-10\text{} }$$

उत्तर: A = $$\text{{ x:x}\in \text{R, - 12 < x}⩽-10\text{} }$$

इसे अंतराल के रूप मे लिखा जा सकता है $$(-12,-10)$$

(iii) $$\text{{ x:x}\in \text{R,0 < x}⩽7\text{} }$$

उत्तर: A = $$\text{{ x:x}\in \text{R,0 < x}⩽7\text{} }$$

इसे अंतराल के रूप मे लिखा जा सकता है $$[0,7)$$

(iv) $$\text{{ x:x}\in \text{R,3 < x}⩽4\text{} }$$

उत्तर: A = $$\text{{ x:x}\in \text{R,3 < x}⩽4\text{} }$$

इसे अंतराल के रूप मे लिखा जा सकता है $$[3,4]$$

7. निमानलिखित अंतरालों को समुच्चय निर्माण रूप मे लिखिए

(i) $$(-3,0)$$

उत्तर: $$\text{{ x:x}\in \text{R, - 3 < x < 0} }$$

(ii) $$[6,12]$$

उत्तर: $$\text{{ x:x}\in \text{R,6}⩽\text{x}⩽12\text{} }$$

(iii) $$(6,12]$$

उत्तर: $$\text{{ x:x}\in \text{R,6 < x}⩽12\text{} }$$

(iv) $$[-23,5)$$

उत्तर: $$\text{{ x:x}\in \text{R,12}⩽\text{x}<5\text{} }$$

8. निमानलिखित मे से प्रत्येक के लिए आप कौन- सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे 

(i) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय 

उत्तर: समकोण त्रिभुज एक प्रकार का त्रिभुज है। इसलिए, त्रिकोण के सेट मे सभी प्रकार के त्रिकोण होते है। 

U = {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ विमान मे एक त्रिकोण है}

(ii) संदिवबहु त्रिभुजों का समुच्चय 

उत्तर: संदिवबहु त्रिभुज का एक प्रकार है। इसलिए त्रिकोण के सेट मे सभी प्रकार के त्रिकोण होते है। 

U = {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ विमान मे एक त्रिकोण है}

9. समुच्चय A = $$\{1,3,5\}$$ , B = $$\{2,4,6\}$$ , C = $$\{0,2,4,6,8\}$$ प्रदत है। इन तीनों समुच्चय A,B,C के लिए निमानलिखित मे से कौन से सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते है 

(i) $$\{0,1,2,3,4,5,6\}$$

उत्तर: $$\{0,1,2,3,4,5,6\}$$ है नहीं करने के लिए ए, बी, सी, क्योंकि $$8\notin$$ C लेकिन $$\{0,1,2,3,4,5,6\}$$ का सदस्य नहीं है एक सारवबहोमिक सेट।

(ii) $$\mathrm{\varnothing }$$

उत्तर: $$\mathrm{\varnothing }$$ एक ऐसा समुच्चय है जिसमे कोई तत्व नहीं होता है। इसलिए, यह A,B,C के लिए एक सारवबहोमिक सेट नहीं है।

(iii) $$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$

उत्तर: $$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$ A,B,C के लिए एक सारवबहोमिक सेट है क्योंकि A,B,C के सभी सदस्य {$$0$$ मे मोजूद है, $$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$$ }

(iv) $$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$

उत्तर: $$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$ A,B,C के लिए एक सारवबहोमिक सेट नहीं है क्योंकि $$0$$ C, $$0$$ { $$1,2,3,4,4$$ का सदस्य नहीं है $$5,6,7,8$$ }

प्रश्नावली 1.4 

1. निमानलिखित मे से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए 

(i) X = $$\{1,3,5\}$$ , Y = $$\{1,2,3\}$$

उत्तर: X $$\cup$$ Y = $$\text{{ 1,2,3,5} }$$

(ii) A = $$\text{{ a,e,i,o,u} }$$ , B = $$\text{{ a,b,c} }$$

उत्तर: X $$\cup$$ Y = $$\text{{ a,e,i,o,u,b,c} }$$

(iii) A = {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है और $$\text{3}$$ का गुणज है}, B = {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ संख्या $$\text{6}$$ से कम एक प्रकरत संख्या है}

उत्तर: X $$\cup$$ Y = $$\text{{ 1,2,3,4,5,6,9,12,15,}...\text{} }$$

(iv) A = {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है और $$\text{1 < x}⩽\text{6}$$ }, B = {$$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है और $$6<\text{x}<10$$ }

उत्तर: X $$\cup$$ Y = $$\text{{ 2,3,4,5,6,7,8,9} }$$

(v) A = $$\{1,2,3\}$$ , B = $$\mathrm{\varnothing }$$

उत्तर: X $$\cup$$ Y = $$\text{{ 1,2,3} }$$

2. मान लीजिए कि A = $$\text{{ a,b} }$$ , B = $$\text{{ a,b,c} }$$ , क्या A $$\subset$$ B? A $$\cup$$ B ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया: A = $$\text{{ a,b} }$$ और B = $$\text{{ a,b,c} }$$

यह सेट A के सभी तत्व सेट B मे मोजूद है। 

A, B और A $$\cup$$ B = $$\text{{ a,b,c} }$$ = B

3. यदि A और B दो ऐसे समुच्चय है कि A $$\subset$$ B तो A $$\cup$$ B क्या है? 

उत्तर: दिया गया: A और B दो सेट है जैसे A $$\subset$$ B 

A = $$\{1,2\}$$ , B = $$\{1,2,3\}$$ 

फिर A $$\cup$$ B = $$\{1,2,3\}$$ = B

4. यदि A = $$\{1,2,3,4\}$$ , B = $$\{3,4,5,6\}$$ , C = $$\{5,6,7,8\}$$ और D = $$\{15,17\}$$ तो निमानलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A $$\cup$$ B

उत्तर: $$\{1,2,3,4,5,6\}$$

(ii) A $$\cup$$ C

उत्तर: $$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$

(iii) B $$\cup$$ C

उत्तर: $$\{3,4,5,6,7,8\}$$

(iv) B $$\cup$$ D

उत्तर: $$\{3,4,5,6,7,8,9,10\}$$

(v) A $$\cup$$ B $$\cup$$ C

उत्तर: $$\{1,2,3,4\}\cup \{3,4,5,6\}\cup \{5,6,7,8\}$$

= $$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$

(vi) A $$\cup$$ B $$\cup$$ D 

उत्तर: $$\{1,2,3,4\}\cup \{5,6,7,8\}\cup \{7,8,9,10\}$$

= $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$

(vii) B $$\cup$$ C $$\cup$$ D 

उत्तर: $$\{3,4,5,6\}\cup \{5,6,7,8\}\cup \{7,8,9,10\}$$

= $$\{3,4,5,6,7,8,9,10\}$$

5. प्रशन एक मे दिए गए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ट समुच्चय ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: (i) X $$\cap$$ Y = $$\{1,3\}$$

(ii) A $$\cap$$ B = $$\text{{ a} }$$

(iii) A $$\cap$$ B = $$\text{{ 3,6,9,12,}...\text{} }$$

(iv) A $$\cap$$ B = $$\mathrm{\varnothing }$$

(v) A $$\cap$$ B = $$\mathrm{\varnothing }$$

6. यदि A = $$\{3,5,7,9,11\}$$, B = $$\{7,9,11,13\}$$, C = $$\{11,13,15\}$$, D = $$\{15,17\}$$ तो निमानलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A $$\cap$$ B

उत्तर: $$\{7,9,11\}$$

(ii) B $$\cap$$ C

उत्तर: $$\{11,13\}$$

(iii) A $$\cap$$ C $$\cap$$ D

उत्तर: $$\{15\}$$

(iv) A $$\cap$$ C 

उत्तर: $$\{11\}$$

(v) B $$\cap$$ D

उत्तर: $$\mathrm{\varnothing }$$

(vi) A $$\cap$$ (B $$\cup$$ C)

उत्तर: $$\{7,9,11\}$$

(vii) A $$\cap$$ C

उत्तर: $$\mathrm{\varnothing }$$

(viii) A $$\cap$$ (B $$\cup$$ D)

उत्तर: $$\{7,9,11\}$$

(ix) (A $$\cap$$ B) $$\cap$$ (B $$\cup$$ C) 

उत्तर: $$\{7,9,11\}$$

(x) (A $$\cup$$ D) (B $$\cup$$ C)

उत्तर: $$\{7,9,11,15\}$$

7. यदि A = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है}, B = {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक सम प्रकरत संख्या है}, C = {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक विषम प्रकरत संख्या है}, D = {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक अभाज्य संख्या है}, तो निमानलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A $$\cap$$ B

उत्तर: A $$\cap$$  B = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है} $$\cap$$  {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक सम प्रकरत संख्या है} = B

(ii) A $$\cap$$ C

उत्तर: A $$\cap$$ C = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है} $$\cap$$  {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक विषम प्रकरत संख्या है} = C

(iii) A $$\cap$$ D

उत्तर: A $$\cap$$ D = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है}  $$\cap$$  {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक अभाज्य संख्या है} = D

(iv) B $$\cap$$ C 

उत्तर: B $$\cap$$ C = {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक सम प्रकरत संख्या है} $$\cap$$   {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक विषम प्रकरत संख्या है} = $$\mathrm{\varnothing }$$

(v) B $$\cap$$ D

उत्तर: B $$\cap$$ D = {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक सम प्रकरत संख्या है}  $$\cap$$  {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक अभाज्य संख्या है}  = $$\{2\}$$

(vi) C $$\cap$$ D

उत्तर: C $$\cap$$ D = {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक विषम प्रकरत संख्या है} $$\cap$$   {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक अभाज्य संख्या है}      = {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक विषम अभाज्य संख्या है}

8. निमानलिखित समुच्चय युग्मों मे से कौन से युग्म असंयुक्त है?

(i) $$\{1,2,3,4\}$$ तथा { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है और $$4⩽\text{x}⩽6$$ }

उत्तर: A = $$\{1,2,3,4\}$$  , B = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत संख्या है और}  = $$\{4,5,6\}$$

A $$\cap$$ B = $$\{4\}$$

इसलिए A और B असन्तुष्ट है।

(ii) $$\text{{ a,e,i,o,u} }$$ तथा $$\text{{ c,d,e,f} }$$ 

उत्तर: A = $$\text{{ a,e,i,o,u} }$$ , B = $$\text{{ c,d,e,f} }$$

A $$\cap$$ B = $$\mathrm{\varnothing }$$

इसलिए A और B असन्तुष्ट है।

(iii) {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक सम पूर्णक है} और {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक विषम पूर्णक है} 

उत्तर: A = {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक सम पूर्णक है} और B = {  $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक विषम पूर्णक है}

A $$\cap$$ B = $$\mathrm{\varnothing }$$

इसलिए A और B असन्तुष्ट है।

9. यदि A = $$\text{{ 3,6,9,12,15,18,21} }$$ , B = $$\text{{ 4,8,12,16,20} }$$ , C = $$\text{{ 2,4,6,8,10,12,14,16} }$$ , D = $$\text{{ 5,10,15,20} }$$ , तो निमानलिखित को ज्ञात कीजिए:

(i) A-B

उत्तर: $$\{3,6,9,15,18,21\}$$

(ii) A-C

उत्तर: $$\{3,9,15,18,21\}$$

(iii) A-D

उत्तर: $$\{3,6,9,15,18,21\}$$

(iv) B-A

उत्तर: $$\{4,8,16,20\}$$

(v) C-A

उत्तर: $$\{2,4,8,14,16\}$$

(vi) D-A

उत्तर: $$\{5,10,20\}$$

(vii) B-C

उत्तर: $$\{20\}$$

(viii) B-D

उत्तर: $$\{4,8,12,16\}$$

(ix) C-B

उत्तर: $$\{2,6,10,14\}$$

(x) D-B

उत्तर: $$\{5,10,15\}$$

(xi) C-D

उत्तर: $$\{2,4,6,8,12,14,16\}$$

(xii) D-C

उत्तर: $$\{5,15,20\}$$

10. यदि X = $$\text{{ a,b,c,d} }$$ और Y = $$\text{{ f,b,d,g} }$$ , तो निमानलिखित को ज्ञात कीजिए: 

(i) X-Y

उत्तर: $$\text{{ a,c} }$$

(ii) Y-X

उत्तर: $$\text{{ f,g} }$$

(iii) X $$\cap$$ Y

उत्तर: $$\text{{ b,d} }$$

11. यदि R वास्तविक संख्याओ और क परिमय संख्याओ के समुच्चय है, तो R-Q क्या होगा?

उत्तर: हम जानते है कि वास्तविक संख्याओ के सेट मे तर्कसंगत और अपरिमय संखयाए होती है। 

इसलिए, = R-Q अपरिमय संख्याओ का सेट।

12. बताइए कि निमानलिखित कथनों मे से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का ओचित्य भी बताइए: 

(i) $$\{2,3,4,5\}$$ तथा $$\{3,6\}$$ संयुक्त समुच्चय है 

उत्तर: A = $$\{2,3,4,5\}$$ , B = $$\{3,6\}$$

A $$\cap$$ B = $$\text{{ 3} }$$

A और B असन्तुष्ट नहीं है इसलिए बयान गलत है।

(ii) $$\text{{ a,e,i,o,u} }$$ तथा $$\text{{ a,b,c,d} }$$ असंयुक्त समुच्चय है 

उत्तर: A = $$\text{{ a,e,i,o,u} }$$ , B = $$\text{{ a,b,c,d} }$$

A $$\cap$$ B = $$\text{{ a} }$$

A और B असन्तुष्ट नहीं है इसलिए बयान गलत है।

(iii) $$\text{{ 2,6,10,14} }$$ तथा $$\text{{ 3,7,11,15} }$$ असंयुक्त समुच्चय है 

उत्तर: A = $$\text{{ 2,6,10,14} }$$ , B = $$\text{{ 3,7,11,15} }$$

A $$\cap$$ B = $$\mathrm{\varnothing }$$

A और B असन्तुष्ट है इसलिए बयान सत्य है।

(iv) $$\text{{ 2,6,10} }$$ तथा $$\text{{ 3,7,11} }$$ असंयुक्त समुच्चय है 

उत्तर: A = $$\text{{ 2,6,10} }$$ , B = $$\text{{ 3,7,11} }$$

A $$\cap$$ B = $$\mathrm{\varnothing }$$

A और B असन्तुष्ट है इसलिए बयान सत्य है।

प्रश्नावली 1.5  

1. मान लीजिए की U = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$ , A = $$\{1,2,3,4\}$$ , B = $$\{2,4,6,8\}$$ , C = $$\{3,4,5,6\}$$ तो निमानलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A’

उत्तर: A’ = U – A = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$ - $$\{1,2,3,4\}$$ = $$\{5,6,7,8,9\}$$

(ii) B’

उत्तर: B’ = U – B = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$ - $$\{2,4,6,8\}$$ = $$\{5,6,7,8,9\}$$

(iii) (A $$\cup$$ C)’

उत्तर: U – (A $$\cup$$ C) = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$ - $$\{1,2,3,4,5,6\}$$ = $$\{7,8,9\}$$

(iv) (A $$\cup$$ B)’

उत्तर: U – (A $$\cup$$ B) = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$ - $$\{1,2,3,4,5,6,8\}$$ = $$\{5,7,9\}$$

(v) (A’)’

उत्तर: U-A = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}-\{1,2,3,4\}$$( A’) = $$\{5,6,7,8,9\}$$ ( A’)

U – A’ = $$\{1,2,3,4\}$$

(vi) (B-C)’

उत्तर: U - (B-C) = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,\}-\{2,8\}=\{1,3,4,5,6,7,9\}$$

2. अगर U = $$\text{{ a,b,c,d,e,f,g,h} }$$ तो निमनलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए 

(i) A = $$\text{{ a,b,c} }$$

उत्तर: A’ = U – A = $$\text{{ a,b,c,d,e,f,g,h} - { a,b,c} }$$ = $$\text{{ d,e,f,g,h} }$$

(ii) B = $$\text{{ d,e,f,g} }$$

उत्तर: B’ = U – B = $$\text{{ a,b,c,d,e,f,g,h} - { d,e,f,g} }$$ = $$\text{{ a,b,c,h} }$$

(iii) C = $$\text{{ a,c,e,g} }$$

उत्तर: C’ = U – C = $$\text{{ a,b,c,d,e,f,g,h} - { a,c,e,g} }$$ = $$\text{{ b,d,g,h} }$$

(iv) D = $$\text{{ f,g,h,a} }$$

उत्तर: D’ = U – D = $$\text{{ a,b,c,d,e,f,g,h} - { f,g,h,a} }$$ = $$\text{{ b,c,d,e} }$$

3. प्रकरत संख्याओ के समुच्चय को सारवित्रीक समुच्चय मानते हुए निमनलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए:

(i) { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत सम संख्या है}

उत्तर: { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक विषम प्रकरत संख्या है}

(ii) { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक प्रकरत विषम संख्या है}

उत्तर: { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक सम संख्या है}

(iii) { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ संख्या तीन का एक धन गुणज है}

उत्तर: { $$\text{x}$$ : $$\text{x }\in \mathbb{N}$$ संख्या तीन का एक धन गुणज नहीं है}

(iv) { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक अभाजय संख्या है}

उत्तर: { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक धन भाजय संख्या है}

(v) { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ संख्या तीन और पाँच से विभाजित होने वाली संख्या है}

उत्तर: { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ संख्या तीन और पाँच से विभाजित नहीं होने वाली संख्या है}

(vi) { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है}

उत्तर: { $$\text{x}$$ : $$\text{x }\in \mathbb{N}$$ तथा $$\text{x}$$ एक पूर्ण वर्ग धन संख्या नहीं है}

(vii) { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक पूर्ण धन संख्या है}

उत्तर: { $$\text{x}$$ : $$\text{x }\in \mathbb{N}$$ तथा $$\text{x}$$ एक पूर्ण वर्ग धन संख्या नहीं है}

(viii) $$\text{{ x : x + 5 = 8} }$$

उत्तर: $$\{\text{x}\text{:}\text{x}\in \mathbb{N},\text{x}\ne 3\}$$

(ix) $$\text{{ x : 2x + 5 = 9} }$$

उत्तर: $$\{\text{x}\text{:}\text{x}\in \mathbb{N},\text{x}\ne 2\}$$

(x) $$\text{{ x : x }⩾\text{ 7} }$$

उत्तर: $$\{\text{x}\text{:}\text{x}\in \mathbb{N},\text{x}<7\}$$

(xi) $$\text{{ x : x}\in \mathbb{N}\text{, 2x + 7 > 10} }$$

उत्तर: $$\{\text{x}\text{:}\text{x}\in \mathbb{N},\text{x}<{\displaystyle \frac{9}{2}}\}$$

4. यदि U = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$ , A = $$\{2,4,6,8\}$$ , B = $$\{2,3,5,7\}$$ तो सत्यापित कीजिए कि

(i) (A $$\cup$$ B)’ = A’ $$\cap$$ B’

उत्तर: A $$\cup$$ B = $$\{2,4,6,8\}-\{2,3,5,7\}=\{2,3,4,5,6,7,8\}$$

LHS = (A $$\cup$$ B)’ = U - A $$\cup$$ B = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}-\{2,3,4,5,6,7,8\}=\{1,9\}$$

A’ = U – A = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}-\{2,4,6,8\}=\{1,3,5,7,9\}$$

B’ = U – B = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}-\{2,3,5,7\}=\{1,4,6,8,9\}$$

RHS = A’ $$\cap$$ B’ = $$\{1,3,5,7,9\}\cap \{1,4,6,8,9\}=\{1,9\}$$

LHS = RHS

(ii) (A $$\cap$$ B)’ = A’ $$\cup$$ B’

उत्तर: LHS = (A $$\cap$$ B)’ = $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}-\{2\}=\{1,3,4,5,6,7,8,9\}$$

RHS = A’ $$\cup$$ B’ = $$\{1,3,5,7,9\}\cup \{1,4,6,8,9\}=\{1,3,4,5,6,7,8,9\}$$

LHS = RHS

5. निमनलिखित मे प्रत्येक उपयुक्त वेन आरेख खिचिए 

(i) (A $$\cup$$ B)’

उत्तर: 

(ii) A’ $$\cap$$ B’ 

उत्तर:

(iii) (A $$\cap$$ B)’ 

उत्तर:

(iv) A’ $$\cup$$ B’ 

उत्तर:

6. मान लीजिए की किसी समतल मे स्थित सभी त्रिभुजों का समुचकी सार्वत्रिक समुच्चय U है। यदि A उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय है जिनमे कम से कम एक कोण $${60}^{\circ }$$ से भिन्न है तो A’ क्या है। 

उत्तर: U = { $$\text{x}$$ : समतल मे एक त्रिभुज है}

A = { $$\text{x}$$ : $$\text{x}$$ एक त्रिभुजों जिसका कम से कम एक कोण $${60}^{\circ }$$ का नहीं हो}

A’ = { सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय है}

7. निमनलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों को भरिए:

(i) (A $$\cup$$ A)’ =.........

उत्तर: U

(ii) $$\mathrm{\varnothing }\cap$$ A

उत्तर: U $$\cup$$ A = A

(iii) A $$\cap$$ A’

उत्तर: $$\mathrm{\varnothing }$$

(iv) U’ $$\cap$$ A

उत्तर: $$\mathrm{\varnothing }\cap$$A = $$\mathrm{\varnothing }$$

प्रश्नावली 1.6

1. यदि X और Y दो ऐसे सानुच्चय हु कि n(X) = $$17$$ , n(Y) = $$23$$ तथा n(X $$\cup$$ Y) = $$38$$ तो 

n(X $$\cap$$ Y) ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है,

n(X) = $$17$$ , n(Y) = $$23$$ तथा n(X $$\cup$$ Y) = $$38$$

n(X $$\cup$$ Y) = n(X) + n(Y) - n(X $$\cap$$ Y)

$$38$$ = $$17$$ + $$23$$ - n(X $$\cap$$ Y) = $$40$$ - n(X $$\cap$$ Y)

n(X $$\cap$$ Y) = $$40$$ - $$38$$ = $$2$$

2. यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय है कि X $$\cup$$ Y मे $$18$$ , X मे $$8$$ और Y मे $$15$$ अवयव है तो X $$\cap$$ Y मे कितने अवयव होंगे। 

उत्तर: दिया गया है,

n(X) = $$8$$ , n(Y) = $$15$$ तथा n(X $$\cup$$ Y) = $$18$$

n(X $$\cup$$ Y) = n(X) + n(Y) - n(X $$\cap$$ Y)

$$18$$ = $$8$$ + $$15$$ - n(X $$\cap$$ Y) = $$23$$ - n(X $$\cap$$ Y)

n(X $$\cap$$ Y) = $$23$$ - $$18$$ = $$5$$

3. $$400$$ व्यक्तियों के समूह मे $$250$$ हिन्दी तथा $$200$$ अंग्रेजी बोल सकते है। कितने व्यक्ति हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनों बोल सकते है? 

उत्तर: मान लीजिए की H और E क्रमश: हिन्दी व् अंग्रेजी बोलने वाले लोगों की समुच्चय हो तब 

n(H) = $$250$$ , n(E) = $$200$$ तथा n(H $$\cup$$ E) = $$400$$

n(H $$\cup$$ E) = n(H) + n(E) - n(H $$\cap$$ E)

$$400$$ = $$250$$ + $$200$$ - n(H $$\cap$$ E) = $$450$$ - n(H $$\cap$$ E)

n(H $$\cap$$ E) = $$450$$ - $$400$$ = $$50$$

4. यदि S और T दो ऐसे समुच्चय है कि S मे $$21$$ , T मे $$32$$ और  S $$\cap$$ T मे $$11$$ अवयव है तो S $$\cup$$ T मे कितने अवयव होंगे।

उत्तर: दिया गया है,

n(S) = $$21$$ , n(T) = $$32$$ तथा n(S $$\cap$$ T) = $$11$$

n(S $$\cup$$ T) = n(S) + n(T) - n(S $$\cap$$ T)

= $$21$$ + $$32$$ - $$11$$ = $$42$$

5. यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय है कि X $$\cup$$ Y मे $$60$$ , X मे $$40$$ और X $$\cap$$ Y मे $$10$$ अवयव है तो Y मे कितने अवयव होंगे। 

उत्तर: दिया गया है,

n(X) = $$40$$ , n(X $$\cap$$ Y) = $$10$$ तथा n(X $$\cup$$ Y) = $$60$$

n(X $$\cup$$ Y) = n(X) + n(Y) - n(X $$\cap$$ Y)

$$60$$ = $$40$$ + n(Y) - $$10$$ = $$30$$ + n(Y)

n(Y) = $$30$$

6. $$70$$ व्यक्तियों के समूह मे $$37$$ कॉफी, $$52$$ चाय पसंद करते है और प्रत्येक व्यक्ति दोनों मे से कम से कम एक पेय पसंद करता है तो कितने व्यक्ति कॉफी और चाय दोनों को पसंद करते है। 

उत्तर: मान लीजिए की C और T क्रमश: कॉफी व् चाय पीने वाले लोगों की समुच्चय हो तब 

n(C) = $$37$$ , n(T) = $$52$$ तथा n(C $$\cup$$ T) = $$70$$

n(C $$\cup$$ T) = n(C) + n(T) - n(C $$\cap$$ T)

$$70$$ = $$37$$ + $$52$$ - n(C $$\cap$$ T) = $$89$$ - n(C $$\cap$$ T)

n(C $$\cap$$ T) = $$89$$ - $$70$$ = $$19$$

7. $$65$$ व्यक्तियों के समूह मे $$40$$ व्यक्ति क्रिकेट और $$10$$ व्यक्ति क्रिकेट तथा टेनिस दोनों को पसंद करते है तो कितने व्यक्ति केवल टेनिस को पसंद करते होंगे किन्तु क्रिकेट को नहीं? कितने व्यक्ति टेनिस को पसंद करते है। 

उत्तर: मान लीजिए की C और T क्रमश: क्रिकेट व् टेनिस पीने वाले लोगों की समुच्चय हो तब 

n(C) = $$40$$ , n(C $$\cap$$ T) = $$10$$ तथा n(C $$\cup$$ T) = $$65$$

n(C $$\cup$$ T) = n(C) + n(T) - n(C $$\cap$$ T)

$$65$$ = $$40$$ + n(T) - $$10$$ = $$30$$ + n(T)

n(C $$\cap$$ T) = $$65$$ - $$30$$ = $$35$$

केवल टेनिस को पसंद करने वाले = n(T) - n(C $$\cap$$ T) = $$35$$ - $$10$$ = $$25$$

8. एक कमेटी मे $$50$$ व्यक्ति फ्रेंच, $$20$$ व्यक्ति स्पैनिश और $$10$$ व्यक्ति स्पैनिश और फ्रेंच दोनों भाषाओ को बोल सकते है। कितने व्यक्ति इन दोनों ही भाषाओ मे से कम से कम एक भाषा बोल सकते है। 

उत्तर: मान लीजिए की F और S क्रमश: फ्रेंच व् स्पैनिश बोलने वाले लोगों की समुच्चय हो तब 

n(F) = $$50$$ , n(S) = $$20$$ तथा n(F $$\cap$$ S) = $$10$$

n(F $$\cup$$ S) = n(F) + n(S) - n(F $$\cap$$ S)

= $$50$$ + $$20$$ - $$10$$ = $$70$$ - $$10$$ = $$60$$ = कम से कम एक भाषा बोलने वाले

प्रश्नावली A1 

1. निमनलिखित समुच्चयों मे से कौन किसका उपसमुच्चय हैमिस्क निर्णय कीजिए:

A = { $$\text{x}\text{:}\text{x}\in \mathbb{R},{\text{x}}^{\text{2}}\text{ - 8x + 12}=0$$ को संतुष्ट करने वाली वास्तविक संखयाए $$\text{x}$$ }, B = $$\text{{ 2,4,6} }$$ , C = $$\text{{ 2,4,6,8,}..\text{} }$$ , D = $$\text{{ 6} }$$