NCERT Solutions for Class 11 Maths In Hindi Chapter 4 Principle of Mathematical Induction

प्रश्नावली 4.1

सभी केलिए गलितीय प्रेरि केलसद्धांत कध उपयोग करके n ∈ N, लिम्नलिखित सधलित करें:

1. $1+3+3^{2}+\ldots+3 n-1=\frac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

\[{\text{P(n): 1  +  3  +  }}{{\text{3}}^2}{\text{  + }}...{\text{ + }}{{\text{3}}^{n - 1}}{\text{ = }}\dfrac{{({3^n} - 1)}}{2}\]

$n = 1$ के लिए, हमारे पास है

\[{\text{P(1):  =  }}\dfrac{{{\text{(}}{{\text{3}}^1}{\text{ -  1)}}}}{2} = \dfrac{{(3 - 1)}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\] जो कि सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात्

$1 + 3 + {3^2} + ... + \dfrac{{({3^k} - 1)}}{2}$

अब हम यह सिद्ध करेंगे P(k+1) भी सत्य है,

विचार करें

$1 + 3 + {3^2} + ... + {3^{k - 1}} + {3^{(k + 1) - 1}}$

$ = (1 + 3 + {3^2} + ... + {3^{k - 1}}) + {3^k}$

$ = \dfrac{{({3^k} - 1)}}{2} + {3^k}$

$ = \dfrac{{({3^k} - 1) + {{2.3}^k}}}{2}$

$ = \dfrac{{({{3.3}^k} - 1)}}{2}$

$\dfrac{{({{3.3}^{k + 1}} - 1)}}{2}$

जब कभी भी P(k) सत्य होता है, P (k+1) भी सत्य होता है

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

2.$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+\mathbf{n}^{3}=\left[\frac{\mathbf{n}(\mathbf{n}+\mathbf{1})}{2}\right]^{2}$  

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

$P(n)$:

n=1 के लिए, हमारे पास है

\[{\text{P(1): }}{{\text{1}}^3}{\text{  =  }}{\left[ {\dfrac{{{\text{1(1 + 1)}}}}{2}} \right]^2}{\text{ = }}\left[ {\dfrac{{{{(1.2)}^2}}}{{{2^2}}}} \right]{\text{  = 1}}\] जो कि सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात्

${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = {\left[ {\dfrac{{k(k + 1)}}{2}} \right]^2}$

अब हम यह सिद्ध करेंगे P(k+1) भी सत्य है,

विचार करें

${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = {(k + 1)^3}$

$ = ({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3}) + {(k + 1)^3}$

$ = {\left[ {\dfrac{{k(k + 1)}}{2}} \right]^2} + {(k + 1)^3}$

$ = \dfrac{{{{(k+ 1)}^2}({k^2} + 4(k + 1))}}{4}$

$ = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}$

$ = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 1 + 1)}^2}}}{4}$

जब कभी भी P(k) सत्य होता है, P (k+1) भी सत्य होता है

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

3. $1 + \dfrac{1}{{(1 + 2)}} + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3)}} + ... + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3 + ...n)}} = \dfrac{{2n}}{{(n + 1)}}$

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

${\text{P}}(n):1 + \dfrac{1}{{(1 + 2)}} + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3)}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3 +  \ldots {\text{n}})}} = \dfrac{{2{\text{n}}}}{{({\text{n}} + 1)}}$

n=1 के लिए, हमारे पास है

\[{\text{P(1): 1  = }}\dfrac{{{\text{2}}{\text{.1}}}}{{1 + 1}}{\text{ = }}\dfrac{{\text{2}}}{2}{\text{  = 1}}\] जो कि सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात्

\[1 + \dfrac{1}{{(1 + 2)}} + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3)}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3 +  \ldots k)}} = \dfrac{{2(k)}}{{(k + 1)}}\]

अब हम यह सिद्ध करेंगे P(k+1) भी सत्य है,

विचार करें

\[1 + \dfrac{1}{{(1 + 2)}} + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3)}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3 +  \ldots k + k + 1)}} = \dfrac{{2(k + 1)}}{{(k + 1 + 1)}}\]

\[ = 1 + \dfrac{1}{{(1 + 2)}} + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3)}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3 +  \ldots k)}} + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3 +  \ldots k + k + 1)}} + \]

\[ = \dfrac{{2k}}{{(k + 1)}} + \dfrac{1}{{(1 + 2 + 3 +  \ldots k + k + 1)}}\]

\[ = \dfrac{{2k}}{{(k + 1)}} + \dfrac{1}{{[(k + 1)(k + 1 + 1)/2]}}\]

\[ = \dfrac{{2k}}{{(k + 1)}} + \dfrac{{2}}{{(k + 1)(k + 2)}}\]

\[ = \dfrac{2}{{(k + 1)}}\left\{ {k + \dfrac{1}{{(k + 2)}}} \right\}\]

\[ = \dfrac{2}{{(k + 1)}}\left\{ {\dfrac{{k(k + 2) + 1}}{{k + 2}}} \right\}\]

\[ = \dfrac{2}{{(k + 1)}}\left\{ {\dfrac{{{{(k + 1)}^2}}}{{k + 2}}} \right\}\]

\[ = \dfrac{{2(k + 1)}}{{(k + 2)}}\]

जब कभी भी P(k) सत्य होता है, P (k+1) भी सत्य होता है

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

4. \[{\mathbf{1}}.{\mathbf{2}}.{\mathbf{3}}{\text{ }} + {\text{ }}{\mathbf{2}}.{\mathbf{3}}.{\mathbf{4}}{\text{ }} + {\text{ }} \ldots {\text{ }} + {\text{ }}{\mathbf{n}}\left( {{\mathbf{n}}{\text{ }} + {\text{ }}{\mathbf{1}}} \right){\text{ }}\left( {{\mathbf{n}}{\text{ }} + {\text{ }}{\mathbf{2}}} \right){\text{ }} = \dfrac{{{\mathbf{n}}\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{1}}} \right)\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{2}}} \right)\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{3}}} \right)}}{4}\]

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

$P(n):1.2 \cdot 3 + 2.3.4 +  \ldots  + n(n + 1)(n + 2) = \dfrac{{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}}{4}$

n=1 के लिए, हमारे पास है

\[{\text{P(1): 1}}{\text{.2}}{\text{.3  =  6  =  }}\dfrac{{{\text{1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3)}}}}{4}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1}}{\text{.2}}{\text{.3}}{\text{.4}}}}{4}{\text{  =  6}}\] जो कि सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात्

\[1.2 \cdot 3 + 2.3.4 +  \ldots  + k(k + 1)(k + 2) = \dfrac{{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{4}\]

अब हम यह सिद्ध करेंगे P(k+1) भी सत्य है,

विचार करें

\[ = \{ 1.2 \cdot 3 + 2.3.4 +  \ldots  + k(k + 1)(k + 2)\}  + (k + 1)(k + 2)(k + 3)\]

\[ = \dfrac{{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{4} + (k + 1)(k + 2)(k + 3)\]

\[ = (k + 1)(k + 2)(k + 3)\left\{ {\dfrac{k+4}{{4}}} \right\}\]

$ = \dfrac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)}}{4}$

$ = \dfrac{{(k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)(k + 1 + 3)}}{4}$

जब कभी भी P(k) सत्य होता है, P (k+1) भी सत्य होता है

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

5. $1.3+2.3^{2}+3.3^{3}+\ldots+n \cdot 3^{n}=\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}$

उत्तर:                                     

मान लो की $\text{P(k)}$ सच हो कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिये (k), अर्थात्.,

P(n):$1.3+2.3^{2}+3.3^{3}+\ldots+n \cdot 3^{n}=\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}$ के लिये n=1 हमारे पास है:

$P(1)=\frac{(2.1-1){{3}^{1+1}}+3}{4}=\frac{{{1.3}^{2}}+3}{4}=\frac{9+3}{12}=\frac{12}{4}=3$

 यह सच है

मान लो की $\text{P}(\text{k})$ सच हो  कुछ सकारात्मक पूर्णांक k  के लिए अर्थात्.

$P(k):1.3+{{2.3}^{2}}+{{3.3}^{3}}+\ldots +k\cdot {{3}^{k}}=\frac{(2k-1){{3}^{k+1}}+3}{4}$

अब हम यह साबित करेंगे P(k+1) सच हैं

विचार  करें

$P(k+1):1.3+{{2.3}^{2}}+{{3.3}^{3}}+\ldots +k{{.3}^{k}}+(k+1){{.3}^{k+1}}$

$=\frac{(2k-1){{3}^{k+1}}+3}{4}+(k+1){{3}^{k+1}}$

 $=\frac{(2k-1){{3}^{k+1}}+3+4(k+1){{3}^{k+1}}}{4}$

$ =\frac{\left( 2k\left( {{3}^{k+1}} \right)-{{3}^{k+1}} \right)+3+4(k){{3}^{k+1}}+4\left( {{3}^{k+1}} \right)}{4} $

$ =\frac{2k\left( {{3}^{k+1}} \right)+4(k){{3}^{k+1}}-{{3}^{k+1}}+4\left( {{3}^{k+1}} \right)+3}{4} $

$ =\frac{6k\left( {{3}^{k+1}} \right)+3\left( {{3}^{k+1}} \right)+3}{4} $

 $ =\frac{\left( {{3}^{k+1}} \right)(6k+3)+3}{4} $

 $ =\frac{\left( {{3}^{k+1}} \right)3(2k+1)+3}{4} $

$=\frac{\left( {{3}^{k+2}} \right)(2k+1)+3}{4}$

अतः  $1.3+{{2.3}^{2}}+{{3.3}^{3}}+\ldots ..+k{{3}^{k}}+(k+1){{3}^{k+1}}=\frac{(2k+1){{3}^{k+2}}+3}{4}$

जब भी P(k)  सच्ची होती है  P(k+1) सच होता है

अत, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत द्वारा, बयान \[P(n)\] सभी प्राकृतिक संख्याएँ \[n\] के लिये सच हैं।

6. \[{\mathbf{1}}.{\mathbf{2}} + {\mathbf{2}}.{\mathbf{3}} + {\mathbf{3}}.{\mathbf{4}} +  \ldots  + {\mathbf{n}}\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{1}}} \right) = \left[ {\dfrac{{{\mathbf{n}}\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{1}}} \right)\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{2}}} \right)}}{3}} \right]\]

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

$P(n):1.2 + 2 \cdot 3 + 3.4 +  \ldots  + n(n + 1) = \left[ {\dfrac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}} \right]$

n=1 के लिए, हमारे पास है

\[{\text{P(1):1}}{\text{.2 = 2 = }}\dfrac{{{\text{1(1 + 1)(1 + 2)}}}}{3}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{1}}{\text{.2}}{\text{.3}}}}{3}{\text{ = 2}}\] जो कि सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात्

$1.2 + 2.3 + 3.4 +  \ldots  + k(k + 1) = \left[ {\dfrac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3}} \right]$ 

अब हम यह सिद्ध करेंगे P(k+1) भी सत्य है,

विचार करें

$1.2 + 2.3 + 3.4 +  \ldots  + k \cdot (k + 1) + (k + 1) \cdot (k + 2)$

$ = [1.2 + 2.3 + 3.4 +  \ldots  + k \cdot (k + 1)] + (k + 1) \cdot (k + 2)$

$ = \left[ {\dfrac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3}} \right] + (k + 1) \cdot (k + 2)$

$ = (k + 1)(k + 2)\left( {\dfrac{k+3}{{3}}} \right)$

$ = \dfrac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}$

$ = \dfrac{{(k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)}}{3}$

जब कभी भी P(k) सत्य होता है, P (k+1) भी सत्य होता है

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

7. $1.3+3.5+5.7+\ldots+(2 n-1)(2 n+1)=\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}$

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

यदि $n=1$, बायाँ पक्ष $=1.3=3$

दायाँ पक्ष $=\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}$

$=\frac{1 .\left(4.1^{2}+6.1-1\right)}{3}$

$=\frac{4+6-1}{3}=\frac{9}{3}=3$

$\therefore P(n), n=1$ के लिए सत्य है।

$\therefore 1.3+3.5+5.7+\ldots+(2 k-1)(2 k+1)=\frac{k\left(4 k^{2}+6 k-1\right)}{3}$

$(k+1)$ वौ पद $=[2(k+1)-1][2(k+1)+1]=(2 k+1)(2 k+3)$ को दोर्नों पक्षों में जोड़ने पर,

$1.3+3.5+5.7+\ldots .+(2 k-1)(2 k+1)+(2 k+1)(2 k+3)$

$=\frac{k\left(4 k^{2}+6 k-1\right)}{3}+(2 k+1)(2 k+3)$

$=\frac{4 k^{3}+6 k^{2}-k+3(2 k+1)(2 k+3)}{3}$

$=\frac{4 k^{3}+6 k^{2}-k+3\left(4 k^{2}+8 k+3\right)}{3}$

$=\frac{4 k^{3}+18 k^{2}+23 k+9}{3}$

$=\frac{(k+1)\left[4(k+1)^{2}+6(k+1)-1\right]}{3}$

$\Rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ के लिए सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार (n), $n \in N, n$ के सभी मानों के लिए सत्य है।

8. $1.2+2.2^{2}+3.2^{2}+\ldots+n \cdot 2^{n}=(n-1) 2^{n+1}+2$

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

$P(n): 1.2+2.2^{2}+3.2^{3}+\ldots \ldots \ldots+n .2^{n}=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2$

यदि n=1, बायाँ पक्ष $=1.2=2$

दायाँ पक्ष $=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2=0+2=2$

$\therefore P(n), n=1$ के लिए सत्य है।

मान लीजिए $P(n), n=k$ के लिए सत्य है।

$\therefore 1.2+2.2^{2}+3.2^{3}+\ldots \ldots \ldots+k \cdot 2^{k}=(k-1) \cdot 2^{k+1}+2$

$(\mathrm{k}+1)$ वॉ पद $=(\mathrm{k}+1) \cdot 2^{\mathrm{k}+1}$ को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,

$1.2+2.2^{2}+3.2^{3}+\ldots \ldots \ldots .+\mathrm{k} \cdot 2^{\mathrm{k}}+(\mathrm{k}+1) \cdot 2^{\mathrm{k}+1}=(\mathrm{k}-1) \cdot 2^{\mathrm{k}+1}+2+(\mathrm{k}+1) \cdot 2^{\mathrm{k}+1}$

$=(\mathrm{k}-1+\mathrm{k}+1) \cdot 2^{\mathrm{k}+1}+2$

$=2 \mathrm{k} \cdot 2^{\mathrm{k}+1}+2=\mathrm{k} \cdot 2^{\mathrm{k}+2}+2$

$=(k+1-1), 2^{k+1}+1+2$

$\Rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ के लिए सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, $\mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{n}$ के सभी मानों के लिए सत्य है।

9. \[\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\mathbf{1}}}{8} +  \ldots  + \dfrac{{\mathbf{1}}}{{{2^n}}} = 1 - \dfrac{{\mathbf{1}}}{{{2^n}}}\]

उत्तर: माना $P(n): \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots . .+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$ यदि $n=1$, बायाँ पक्ष $=\frac{1}{2}$ दायाँ पक्ष $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$\therefore P(n), n=1$ के लिए सत्य है।

मान लिया $P(n), n=k$ के लिए सत्य है।

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots \ldots+\frac{1}{2^{k}}=1-\frac{1}{2^{k}}$

$(k+1)$ वाँ पद $=\frac{1}{2^{k}+1}$ दोनों पक्षों में जोड़ने पर

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}} =1-\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}$

$=1-\frac{1}{2^{k}}\left(1-\frac{1}{2}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ के लिए भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार $\mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{n}$ के सभी मानों के लिए सत्य है।

10. \[\;\dfrac{1}{{{\mathbf{2}}.{\mathbf{5}}}} + \dfrac{1}{{{\mathbf{5}}.{\mathbf{8}}}} + \dfrac{1}{{{\mathbf{8}}.{\mathbf{11}}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{\left( {{\mathbf{3n}} - {\mathbf{1}}} \right)\left( {{\mathbf{3n}} + {\mathbf{2}}} \right)}}{\text{ }} = \dfrac{n}{{\left( {{\mathbf{6n}}{\text{ }} + {\text{ }}{\mathbf{4}}} \right)}}\]

उत्तर: माना

$P(n): \frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+\ldots+\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{n}{6 n+4}$

यदि $n=1, \quad$ बायाँ पक्ष $=\frac{1}{2.5}=\frac{1}{10}$

दायाँ पक्ष $=\frac{n}{6 n+4}=\frac{1}{6+4}=\frac{1}{10}$

$\Rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n}=1$ के लिए सत्य है।

मान लीजिए $P(n), n=k$ के लिए सत्य है ।

$\therefore \frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+\ldots+\frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}=\frac{k}{6 k+4}$

$(k+1)$ वाँ पद $=\frac{k}{[3(k+1)-1][3(k+1)+2]}=\frac{k}{(3 k+2)(3 k+5)}$ 

दोनों पक्षों में जोड़ने पर 

$\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+\ldots+\frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}+\frac{1}{(3 k+2)(3 k+5)}$

$=\frac{k}{6 k+4}+\frac{1}{(3 k+2)(3 k+5)}$

$=\frac{k(3 k+5)+2}{2(3 k+2)(3 k+5)}$

$=\frac{3 k^{2}+5 k+2}{2(3 k+2)(3 k+5)}$

$=\frac{(3 k+2)(k+1)}{2(3 k+2)(3 k+5)}$

$=\frac{k+1}{6 k+10}$

$=\frac{k+1}{6(k+1)+4}$

$\Rightarrow P(n), n=k+1$ के लिए सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार $P(n), n \in N, n$ के सभी मानों के लिए सत्य है।

11. \[\dfrac{1}{{{\mathbf{1}}.{\mathbf{2}}.{\mathbf{3}}}} + \dfrac{1}{{{\mathbf{2}}.{\mathbf{3}}.{\mathbf{4}}}} + \dfrac{1}{{{\mathbf{3}}.{\mathbf{4}}.{\mathbf{5}}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{\mathbf{n}}\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{1}}} \right)\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{2}}} \right)}} = \dfrac{{{\mathbf{n}}\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{3}}} \right)}}{{{\mathbf{4}}\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{1}}} \right)\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{2}}} \right)}}\]

उत्तर: माना

$P(n): \frac{1}{1.2 .3}+\frac{1}{2.3 .4}+\frac{1}{3.4 .5}+\ldots .+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

$n=1$ के लिए बायाँ पक्ष $=\frac{1}{1.2 .3}=\frac{1}{6}$

दायाँ पक्ष $=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

$=\frac{1.4}{4.2 .3}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n}=1$ के लिए सत्य है।

मान लीजिए $P(n), n=k$ के लिए सत्य है।

$\therefore \frac{1}{1.2 .3}+\frac{1}{2.3 .4}+\frac{1}{3.4 .5}+\ldots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}$

$(k+1)$ वाँ पद $=\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$ 

दोनों पक्षों में जोड़ने पर,

$\frac{1}{1.2 .3}+\frac{1}{2.3 .4}+\frac{1}{3.4 .5}+\ldots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$

$=\frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$

$=\frac{1}{(k+1)(k+2)}\left[\frac{k(k+3)}{4}+\frac{1}{k+3}\right]$

$=\frac{k(k+3)^{2}+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

$=\frac{k\left(k^{2}+6 k+9\right)+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

$=\frac{k^{3}+6 k^{2}+9 k+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

$=\frac{(k+1)\left(k^{2}+5 k+4\right)}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

$=\frac{(k+4)(k+1)}{4(k+2)(k+3)}$

$=\frac{(k+1)(\overline{k+1}+3)}{4(\overline{k+1}+1)(\overline{k+1}+2)}$

$\Rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ के लिए सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार $\mathrm{P}(\mathrm{n}), \mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{n}$ के सभी मानों के लिए सत्य है।

12. \[{\mathbf{a}} + {\mathbf{ar}} + {\mathbf{a}}{r^2} +  \cdots  + a{r^{n - 1}} = \dfrac{{a({r^n} - 1)}}{{r - 1}}\]

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

${\text{P}}({\text{n}}) = {\text{a}} + {\text{ar}} + {\text{a}}{r^2} + {\text{a}}{{\text{r}}^{n - 1}} = \dfrac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}$

n=1 के लिए बायां पक्ष = a

दायां पक्ष $ = \dfrac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}} = a$

⇒P(n), n=1 के लिए सत्य है।

 मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

$\therefore \quad a + ar + a{r^2} +  \ldots  + a{r^{k - 1}} = \dfrac{{a\left( {1 - {r^k}} \right)}}{{1 - r}}$

 (k+1) वा पद $ = a{r^k}$ दोनों पक्षों में जोड़ने पर

\[{\text{a}} + {\text{ar}} + {\text{a}}{{\text{r}}^2} +  \ldots  + {\text{a}}{{\text{r}}^{k - 1}}\]\[ = \dfrac{{a\left( {1 - {r^k}} \right)}}{{1 - r}} + {\text{a}}{{\text{r}}^k}\]

\[ = {\text{a}}\left[ {\dfrac{{1 - {r^k}}}{{1 - r}} + {r^k}} \right]\]

\[ = {\text{a}}\left[ {\dfrac{{1 - {r^k} + {r^k} - {r^{k + 1}}}}{{1 - r}}} \right]\]

\[ = \dfrac{{a\left( {1 - {r^{k + 1}}} \right)}}{{1 - r}}\]

 ⇒P(n), n=k+1 के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है

13.$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots\left(1+\frac{(2 n+1)}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2}$

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

$P(n):\left( {1 + \dfrac{3}{1}} \right)\left( {1 + \dfrac{5}{4}} \right)\left( {1 + \dfrac{7}{9}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}}} \right) = {(n + 1)^2}$

n=1 के लिए बायां पक्ष$ = 1 + \dfrac{3}{1} = 1 + 3 = 4$

दायां पक्ष$ = {(n + 1)^2}$

$ = {(1 + 1)^2} = {2^2} = 4$

⇒P(n), n=1 के लिए सत्य है।

मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

\[\therefore \left( {1 + \dfrac{3}{1}} \right)\left( {1 + \dfrac{5}{4}} \right)\left( {1 + \dfrac{7}{9}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{{2k + 1}}{{{k^2}}}} \right) = {(k + 1)^2}\]

 (k+1) वा पद\[ = \left[ {1 + \dfrac{{2k + 3}}{{{{(k + 1)}^2}}}} \right]\]  दोनों पक्षों में जोड़ने पर

\[\left( {1 + \dfrac{3}{1}} \right)\left( {1 + \dfrac{5}{4}} \right)\left( {1 + \dfrac{7}{9}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{{2k + 1}}{{{k^2}}}} \right)\left[ {1 + \dfrac{{2k + 3}}{{{{(k + 1)}^2}}}} \right]\]

\[ = {(k + 1)^2}\left[ {1 + \dfrac{{2k + 3}}{{{{(k + 1)}^2}}}} \right]\]

\[ = {(k + 1)^2}\left[ {\dfrac{{{{(k + 1)}^2} + 2k + 3}}{{{{(k + 1)}^2}}}} \right]\]

\[ = \left( {{k^2} + 2k + 1 + 2k + 3} \right)\]

\[ = {k^2} + 4k + 4\]

\[ = {(k + 2)^2}\]

\[ = {(\overline {k + 1}  + 1)^2}\]

⇒P(n), n=k+1 के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

14. \[\left( {{\mathbf{1}} + \dfrac{{\mathbf{1}}}{1}} \right)\left( {{\mathbf{1}} + \dfrac{{\mathbf{1}}}{2}} \right)\left( {{\mathbf{1}} + \dfrac{{\mathbf{1}}}{3}} \right) \ldots \left( {{\mathbf{1}} + \dfrac{1}{n}} \right) = \left( {{\mathbf{n}} + 1} \right)\]

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

$P(n):\left( {1 + \dfrac{1}{1}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{3}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) = n + 1$

n=1 के लिए बायां पक्ष $ = 1 + \dfrac{1}{1} = 2$

दायां पक्ष \[{\text{ = n + 1 = 1 + 1 = 2}}\]

⇒P(n), n=1 के लिए सत्य है।

 मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

$\therefore \left( {1 + \dfrac{1}{1}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{3}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{1}{k}} \right) = k + 1$

(k+1) वा पद $ = 1 + \dfrac{1}{{k + 1}}$ दोनों पक्षों में जोड़ने पर

$\therefore \quad \left( {1 + \dfrac{1}{1}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{3}} \right) \ldots \left( {1 + \dfrac{1}{k}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)$

$ = (k + 1)\left( {1 + \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)$

$ = (k + 1)\left( {\dfrac{{k + 1 + 1}}{{k + 1}}} \right)$

$ = k + 2$

$ = \overline {k + 1}  + 1$

⇒P(n), n=k+1 के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

15. $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}$

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात

$P(n):{1^2} + {3^2} + {5^2} +  \ldots  + {(2n - 1)^2} = \dfrac{{n(2n - 1)(2n + 1)}}{3}$

n=1 के लिए बायां पक्ष $ = {1^1} = 1$

दायां पक्ष $ = \dfrac{{n(2n - 1)(2n + 1)}}{3} = \dfrac{{1 \cdot 1 3}}{3} = 1$

⇒P(n), n=1 के लिए सत्य है।

 मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

$\therefore {1^2} + {3^2} + {5^2} +  \cdots  + {(2k - 1)^2} = \dfrac{{k(2k - 1)(2k + 1)}}{3}$

 (k+1) वा पद $ = {(2k + 1)^2}$ दोनों पक्षों में जोड़ने पर

${1^2} + {3^2} + {5^2} +  \cdots  + {(2k - 1)^2} + {(2k + 1)^2} = \dfrac{{k(2k - 1)(2k + 1)}}{3} + {(2k + 1)^2}$

$ = (2k + 1)\left[ {\dfrac{{k(2k - 1)}}{3} + (2k + 1)} \right]$

$ = (2k + 1)\left[ {\dfrac{{k(2k - 1) + 3(2k + 1)}}{3}} \right]$

$ = \dfrac{{(2k + 1)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)}}{3}$

$ = \dfrac{{(2k + 1)(k + 1)(2k + 3)}}{3}$

$ = \dfrac{{(k + 1)[2\overline {k + 1}  - 1][2(\overline {k + 1})  + 1]}}{3}$

⇒P(n), n=k+1 के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

16. \[\dfrac{{\mathbf{1}}}{{{\mathbf{1}}.{\mathbf{4}}}} + \dfrac{{\mathbf{1}}}{{{\mathbf{4}}.{\mathbf{7}}}} + \dfrac{{\mathbf{1}}}{{{\mathbf{7}}.{\mathbf{10}}}} +  \ldots  + \dfrac{{\mathbf{1}}}{{(3n - 2)(3n + 1)}} = \dfrac{n}{{(3n + 1)}}\]

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

$P(n):\dfrac{1}{{1 \cdot 4}} + \dfrac{1}{{4 \cdot 7}} + \dfrac{1}{{7 \cdot 10}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{(3n - 2)(3n + 1)}} = \dfrac{n}{{3n + 1}}$

n=1 के लिए बायां पक्ष$ = \dfrac{1}{{1\times 4}} = \dfrac{1}{4}$

दायां पक्ष$ = \dfrac{n}{{3n + 1}} = \dfrac{1}{{3 + 1}} = \dfrac{1}{4}$

⇒P(n), n=1 के लिए सत्य है।

मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

$\therefore \quad \dfrac{1}{{1 \cdot 4}} + \dfrac{1}{{4.7}} + \dfrac{1}{{7 \cdot 10}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{(3k - 2)(3k + 1)}} = \dfrac{k}{{3k + 1}}$

 (k+1) वा पद$ = \dfrac{1}{{[3(k + 1) - 2][3(k + 1) + 1]}} = \dfrac{1}{{(3k + 1)(3k + 4)}}$  दोनों पक्षों में जोड़ने पर

$\therefore \dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{4.7}} + \dfrac{1}{{7 \cdot 10}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{(3k - 2)(3k + 1)}} + \dfrac{1}{{(3k + 1)(3k + 4)}}$

$ = \dfrac{k}{{3k + 1}} + \dfrac{1}{{(3k + 1)(3k + 4)}}$

$ = \dfrac{1}{{3k + 1}}\left[ {k + \dfrac{1}{{3k + 4}}} \right]$

$ = \dfrac{{k(3k + 4) + 1}}{{(3k + 1)(3k + 4)}}$

$ = \dfrac{{3{k^2} + 4k + 1}}{{(3k + 1)(3k + 4)}}$

$ = \dfrac{{(3k + 1)(k + 1)}}{{(3k + 1)(3k + 4)}}$

$ = \dfrac{{k + 1}}{{3k + 4}}$

$ = \dfrac{{\overline {k + 1} }}{{3(k + 1) + 1}}$

⇒P(n), n=k+1 के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

17. \[\]\[\dfrac{{\mathbf{1}}}{{3.5}} + \dfrac{{\mathbf{1}}}{{5.{\mathbf{7}}}} + \dfrac{{\mathbf{1}}}{{{\mathbf{7}}.9}} +  \ldots  + \dfrac{{\mathbf{1}}}{{(2n + 1)(2n + 3)}} = \dfrac{n}{{3(2n + 3)}}\]

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

$P(n):\dfrac{1}{{3 \cdot 5}} + \dfrac{1}{{5 \cdot 7}} + \dfrac{1}{{7 \cdot 9}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \dfrac{n}{{3(2n + 3)}}$

n=1 के लिए बायां पक्ष$ = \dfrac{1}{{3.5}} = \dfrac{1}{{15}}$

दायां पक्ष$ = \dfrac{n}{{3(2n + 3)}} = \dfrac{1}{{3 \cdot 5}} = \dfrac{1}{{15}}$

⇒P(n), n=1 के लिए सत्य है।

मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

$\therefore \dfrac{1}{{3 \cdot 5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + \dfrac{1}{{7 \cdot 9}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \dfrac{k}{{3(2k + 3)}}$

 (k+1) वा पद$ = \dfrac{1}{{[2(k + 1) + 1][2(k + 1) + 3]}} = \dfrac{1}{{(2k + 3)(2k + 5)}}$  दोनों पक्षों में जोड़ने पर

$\dfrac{1}{{3 \cdot 5}} + \dfrac{1}{{5 \cdot 7}} + \dfrac{1}{{7 - 9}} +  \cdots  + \dfrac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}} + \dfrac{1}{{(2k + 3)(2k + 5)}}$

$ = \dfrac{k}{{3(2k + 3)}} + \dfrac{1}{{(2k + 3)(2k + 5)}}$

$ = \dfrac{1}{{(2k + 3)}}\left[ {\dfrac{{k(2k + 5) + 3}}{{3(2k + 5)}}} \right]$

$ = \dfrac{{(k + 1)(2k + 3)}}{{3(2k + 3)(2k + 5)}}$

$ = \dfrac{{k + 1}}{{3(2k + 5)}}$

$ = \dfrac{{k + 1}}{{3[2(k + 1) + 3]}}$

⇒P(n), n=k+1 के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

18. $1+2+3+\ldots+\mathbf{n}<\frac{1}{8}(2 n+1)^{2}$

उत्तर: मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,

$P(n):1 + 2 + 3 +  \ldots  + n < \dfrac{1}{8}{(2n + 1)^2}$

n=1 के लिए बायां पक्ष$ = \dfrac{1}{8}{(2n + 1)^2}$

दायां पक्ष$ = \dfrac{1}{8} \times {3^2} = \dfrac{9}{8}$

$1 < \dfrac{9}{8}$

⇒P(n), n=1 के लिए सत्य है।

 मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

$\therefore \quad 1 + 2 + 3 +  \ldots  + k < \dfrac{1}{8}{(2k + 1)^2}$

 (k+1) वा पद =k+1  दोनों पक्षों में जोड़ने पर

बायां पक्ष $ = 1 + 2 + 3 +  \ldots  + k(k + 1)$

$\dfrac{1}{8}{(2k + 1)^2} + (k + 1) = \dfrac{1}{8}\left[ {{{(2k + 1)}^2} + 8(k + 1)} \right]$

$ = \dfrac{1}{8}\left[ {4{k^2} + 4k + 1 + 8k + 8} \right]$

$ = \dfrac{1}{8}\left[ {4{k^2} + 12{\text{k}} + 9} \right]$

$ = \dfrac{1}{8}{[2k + 3]^2}$

$ = \dfrac{1}{8}{[2(k + 1) + 1]^2}$

$\therefore 1 + 2 + 3 +  \ldots  + (k + 1) < \dfrac{1}{8}{[2(k + 1) + 1]^2}$

⇒P(n), n=k+1 के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

19. \[{\mathbf{n}}\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{1}}} \right)\left( {{\mathbf{n}} + {\mathbf{5}}} \right)\] संख्या 3 का एक गुणज है।

उत्तर:  मान  लिजिए P(n) : n(n+1)(n+5) संख्या 3 का गुणज है |

n=1 के लिए $n(n + 1)(n + 5) = 1 \cdot 2 \cdot 6 = 12$ जो 3 का गुणज है |

P(n), n=1 के लिए सत्य है |

 मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

\[{\text{k(k + 1)(k + 5) = 3 m}}\]

या ${k^3} + 6{k^2} + 5k = 3m$

K के स्थान पर k+1 रखने पर

${k^3} + 6{k^2} + 5(k + 1) = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1} \right) + 6\left( {{k^2} + 2k + } \right.1) + 5k + 5 + 6{k^2} + 20k + 12$

$ = \left( {{k^3} + {k^2} + 5k} \right) + \left( {3{k^2} + 15k + 12} \right)$

$ = 3m + 3\left( {{k^2} + 5k + 4} \right)$ जो 3 का एक गुणज  है |

$ \Rightarrow {\text{P}}({\text{n}}),{\text{n}} = {\text{k}} + 1$ के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

20. \[{\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{2n - 1}} + {\mathbf{1}}\]संख्या 11 से भाज्य है।

उत्तर: मान  $P(n):{10^{2n - 1}} + 1$, संख्या 11 से भाज्य होता  है |

n=1 के लिए ${10^{2n - 1}} + 1 = {10^{2 - 1}} + 1 = 11$

P(n), n=1 के लिए सत्य है।

मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

$\therefore {10^{2k - 1}} + 1$, संख्या 11 से भाज्य होता  है |

या ${10^{2k - 1}} + 1 = 11\;{\text{m}}$

k को k+1 से बदलने पर

${10^{2(k + 1) - 1}} + 1 = {10^{2k + 1}} + 1$

$ = {10^2} \cdot {10^{2k - 1}} + 1$

$ = {10^2}\left( {{{10}^{2k - 1}} + 1} \right) - 100 + 1$

$ = 100 \cdot 11\;{\text{m}} - 99$

$ = 11(100\;{\text{m}} - 9)$

इससे सिद्ध हुआ की  ${10^{2k + 1}} + 1$ भी 11 से भाज्य होता है |

⇒P(n), n=k+1 के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

21. \[{x^{2n}} - {y^{2n}},{\text{ }}\left( {x + y} \right)\] से भाज्य है।

उत्तर: मान  लिजिए  $P(n):{x^{2n}} - {y^{2n}},x + y$ से भाज्य होता है |

n=1 के लिए  ${x^2} - {y^2} = (x - y)(x + y)$ जो x+y से भाज्य होता है |

$ \Rightarrow P(n)$, n=1 के लिए सत्य है।

$\therefore {x^{2k}} - {y^{2k}}_\prime x + y$ से भाज्य होता है |

या  ${x^{2k}} - {y^{2k}} = m(x + y)$

या  ${x^{2k}} = m(x + y) + {y^{2k}}$ ...(1)

K के स्थान पर k+1 रखने पर, सिद्ध करना है की ${x^{2(k + 1)}}$-${y^{2(k + 1)}},x + y$ से भाज्य होता है |

${x^{2(k + 1)}} - {y^{2(k + 1)}} = {x^2} \cdot {x^{2k}} - {y^{2k + 1}}$

$ = {x^2}\left[ {m(x + y) + {y^{2k}}} \right] - {y^{2k + 2}}$

(1) से ${x^{2k}}$ का मान रखने पर,

$ = m(x + y){x^2} + {x^2}{y^{2k}} - {y^{2k + 2}}$

$ = m(x + y){x^2} + {y^{2k}}\left( {{x^2} - {y^2}} \right)$

$ = (x + y)\left[ {m{x^2} + {y^{2k}}(x - y)} \right]$

इससे सिद्ध हुआ की  ${x^{2(k + 1)}} - {y^{2(k + 1)}},x + y$  से भाज्य होता है |

$ \Rightarrow P(n),n = k + 1$ के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

22. \[{{\mathbf{3}}^{2n + 2}} - {\mathbf{8}}n - {\mathbf{9}}\]संख्या 8 से भाज्य है।

उत्तर: मान  लिजिए $P(n):{3^{2n + 2}} - 8n - 9$ संख्या 8 से भाज्य है |

n=1 के लिए

${3^{2n + 2}} - 8n - 9 = {3^{2 + 2}} - 8 \cdot 1 - 9$

$ = {3^4} - 8 - 9$

=81-17

\[{\text{ = 64}}\]

जो 8 से भाज्य है |

$ \Rightarrow P(n),n = 1$  के लिए सत्य है।

मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है, अर्थात्

${3^{2k + 2}} - 8k - 9$,  संख्या 8 से भाज्य है |

या  ${3^{2k + 2}} - 8k - 9 = 8m$

$\therefore \quad {3^{2k + 2}} = 8m + 8k + 9$

k को k+1 से बदलने पर

${3^{2(k + 1) + 2}} - 8(k + 1) - 9 = {3^2} \cdot {3^{2k + 2}} - 8(k + 1) - 9$

\[{\text{ = 9(8 m + 8 k + 9) - 8 k - 17}}\]

\[{\text{ = 9(8 m + 8 k) + 81 - 8 k - 17}}\]

\[{\text{ = 72 m + 64 k + 64}}\]

=8(9m+8 k+8)

यह भी 8 से भाज्य है |

$ \Rightarrow P(n),n = k + 1$ के लिए सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

23. \[{\mathbf{4}}{{\mathbf{1}}^n} - {\mathbf{1}}{{\mathbf{4}}^n}\], संख्या 27 का एक गुणज है।

उत्तर: मान  लिजिए $P(n):{41^n} - {14^n}$ संख्या 27 का गुणज है |

n=1 के लिए

${41^n} - 14$

\[{\text{ = 41 - 14}}\]

\[{\text{ = 27}}\]

$ \Rightarrow P(n),n = 1$ के लिए सत्य है।

 मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

$ \Rightarrow {41^k} - {14^k} = 27m$

$ \Rightarrow {41^k} = 27m + {14^k}$

k को k+1 से बदलने पर

${41^{k + 1}} - {14^{k + 1}} = 41 \cdot {41^k} - {14^{k + 1}}$

$ = 41\left[ {27\;{\text{m}} + {{14}^k}} \right] - {14^{k + 1}}$ $\left[ {{{41}^k} = 27m + {{14}^k}} \right.$ रखने से]

$ = 27 \cdot 41\;{\text{m}} + 41 \cdot {14^k} - {14^{k + 1}}$

$ = 27 \cdot 41\;{\text{m}} + {14^k} \cdot 27$

$ = 27\left[ {41\;{\text{m}} + {{14}^k}} \right]$

यह भी 27 से गुणज होता है |

$ \Rightarrow P(n),n = k + 1$  के लिए सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

24. $(2 n+7)<(n+3)^{2}$

उत्तर: मान लिजिए  $P(n) = (2n + 7) < {(n + 3)^2}$

n=1 के लिए बायां पक्ष $ = 2 \times 1 + 7 = 9$

दायां पक्ष $ = {(n + 3)^2}$

$ = {(1 + 3)^2}$

$ = {4^2}$

\[{\text{ = 16}}\]

\[{\text{9 < 16}}\]

$ \Rightarrow P(n),n = 1$ के लिए सत्य है।

मान  लिजिए P(n), n=k के लिए सत्य है |

$\therefore 2{\text{k}} + 7 < {(k + 3)^2}$

$2(k + 1) + 7 < {(k + 3)^2} + 2$[दोनों पक्षों में 2 जोड़ने से]

$2(k + 1) + 7 < {k^2} + 6k + 11$ ...(1)

अब हम यह सिद्ध करेंगे P(k+1) भी सत्य है

$2(k + 1) + 7 < {(k + 1 + 3)^2}$

या $2k + 9 < {(k + 4)^4}$

(1) मै दाई पक्ष मे 2k+5 जोड़ने पर

$2(k + 1) + 7 < {k^2} + 6k + 11 + 2k + 5 < {k^2} + 8k + 16$

या  $2k + 9 < {(k + 4)^2}$

$ \Rightarrow P(n),n = k + 1$ के लिए सत्य है |

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए कथन P(n) सत्य है।

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 4 Principle of Mathematical Induction in Hindi

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