NCERT Solutions for Class 7 Maths In Hindi Chapter 1 Integers

1. किसी विशिष्ट दिन विभिन्न स्थानों के तापमानों को डिग्री सेल्सियस \[({}^\circ \mathbf{C}\text{ })\]में निम्नलिखित संख्या रेखा द्वारा दर्शाया गया है:

(image will be uploaded soon)

(a): इस संख्या रेखा को देखिए और इस पर अंकित स्थानों के तापमान लिखिए।

उत्तर: अंकित स्थानों के तापमान निम्नलिखित है:

(b): उपर्युक्त स्थानों में से सबसे गर्म और सबसे ठंडे स्थानों के तापमानों में क्या अंतर है?

उत्तर: सबसे गर्म स्थान बैंगलोर का तापमान \[=22{}^\circ C\]

सबसे ठंडा स्थान लाहुलस्पीती का तापमान \[=\text{ }-8{}^\circ C\]

दोनों स्थानों के तापमान का अंतर \[=22{}^\circ C-\left( -8{}^\circ C \right)=\text{ }22{}^\circ C\text{ }+\text{ }8{}^\circ C\text{ }=\text{ }30{}^\circ C\]

(c) लाहुलस्पिती एवं श्रीनगर के तापमानों में क्या अंतर है?

उत्तर:  लाहुलस्पीती का तापमान\[=\text{ }-8{}^\circ C\]

श्रीनगर का तापमान \[=\text{ }-2{}^\circ C\]

दोनों स्थानों के तापमान का अंतर \[=\text{ }-2{}^\circ C-\left( -8{}^\circ C \right)=\text{ }6{}^\circ C\]

(d): क्या हम कह सकते हैं कि शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग शिमला के तापमान से कम है? क्या ये दोनों स्थानों की तापमानों का योग श्रीनगर के तापमान से भी कम है?

उत्तर:  शिमला का तापमान \[=5{}^\circ C\]

श्रीनगर का तापमान \[=\text{ }-2{}^\circ C\]

दोनों के तापमानों का योग \[=5{}^\circ C\text{ }+\text{ }\left( -2{}^\circ C \right)\text{ }=\text{ }3{}^\circ C\]

चूकि\[,\text{ }3{}^\circ C\text{ }<\text{ }5{}^\circ C\]

इस तरह, शिमला और श्रीनगर के तापामानों का योग शिमला के तापमान से कम है।

चूकि, \[-2{}^\circ C\text{ }<\text{ }3{}^\circ C\]

अतः, शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग श्रीनगर के तापमान से कम नहीं है।

3. किसी प्रश्नोत्तरी में सही उत्तर के लिए धनात्मक अंक दिए जाते हैं और गलत उत्तर के लिए ऋणात्मक अंक दिए जाते हैं। यदि पाँच उत्तरोतर चक्करों (rounds) में जैक द्वारा प्राप्त किए गए अंक \[\mathbf{25},\text{ }-\mathbf{5},\text{ }-\mathbf{10},\text{ }\mathbf{15}\]और \[\mathbf{10}\] थे, तो बताइए अंत में उसके अंकों का कुल योग कितना था।

उत्तर:  पाँच उत्तरोतर चक्करों में जैक द्वारा प्राप्त किए गए अंक \[25,\text{ }-5,\text{ }-10,\text{ }15\]और \[10\] है।

इस तरह, जैक द्वारा प्राप्त अंकों का कुल योग 

$ = \ 25\text{ }+\text{ }\left( -5 \right)\text{ }+\text{ }\left( -10 \right)\text{ }+\text{ }15\text{ }+\text{ }10  \\ $

$=\text{ }25\text{ }-\text{ }5\text{ }-\text{ }10\text{ }+\text{ }15\text{ }+\text{ }10  \\ $

$= \ \text{ }50\text{ }-\text{ }15\text{ }=\text{ }35  \\ $

4. सोमवार को श्रीनगर का तापमान \[-\mathbf{5}{}^\circ \mathbf{C}\] था और मंगलवार को तापमान \[\mathbf{2}{}^\circ \mathbf{C}\] कम हो गया। मंगलवार को श्रीनगर का तापमान क्या था? बुधवार को तापमान \[\mathbf{4}{}^\circ \mathbf{C}\] बढ़ गया। बुधवार को तापमान कितना था?

उत्तर: प्रश्ननुसार,

सोमवार को श्रीनगर का तापमान \[=\text{ }-5{}^\circ C\]

चूकि, मंगलवार को श्रीनगर का तापमान \[2{}^\circ C\] कम हो गया।

इसलिए, मंगलवार को श्रीनगर का तापमान \[=\text{ }-5{}^\circ C-2{}^\circ C\text{ }=\text{ }-7{}^\circ C\]

चूँकि, बुधवार को श्रीनगर का तापमान \[4{}^\circ C\] बढ़ गया।

इसलिए, बुधवार का तापमान \[=\text{ }-7{}^\circ C\text{ }+\text{ }4{}^\circ C\text{ }=\text{ }-3{}^\circ C\]

अतः, श्रीनगर का तापमान मंगलवार को \[-7{}^\circ C\] और बुधवार को \[-3{}^\circ C\] था।

5. एक हवाई जहाज समुद्र तल से \[\mathbf{5000}\]मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। एक विशिष्ट बिंदु पर यह हवाई जहाज समुद्रतल से \[\mathbf{1200}\] मीटर नीचे तैरती हुई पनडुब्बी के ठीक ऊपर है। पनडुब्बी और ह्वाई जहाज के बीच की उर्ध्वाधर दूरी कितनी है?

उत्तर:

 प्रश्ननुसार, समुद्र तल से हवाई जहाज की ऊँचाई \[=5000\]मीटर

और, समुद्र तल से नीचे तैरती हुई पनडुब्बी की गहराई \[=1200\]मीटर

इसलिए, पनडुब्बी और हवाई जहाज के बीच की उर्ध्वाधर दूरी

\[=5000\]मीटर + 1200 मीटर

\[=\text{ }6200\]मीटर

6. मोहन अपने बैंक खाते में ₨.\[\mathbf{2000}\] जमा करता है और अगले दिन इनमें से ₨.\[\mathbf{1642}\]निकाल लेता है। यदि खाते में से निकाली गई राशि को ऋणात्मक संख्या से निरूपित किया जाता है, तो खाते में जमा की गई राशि को आप कैसे निरूपित करोगे? निकासी के बाद मोहन के खाते में शेष राशि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: खाते में जमा की गई राशि को धनात्मक रूप से निरूपित करेंगे।

से , मोहन के बैंक खाते में जमा राशि \[=Rs.2000\]

और, उसके खाते से निकाली गई राशि \[=Rs.1642\]

इसलिए, उसके खाते में शेष राशि \[=Rs.2000\text{ }-\text{ }Rs.1642\text{ }=\text{ }Rs.358\]

7. रीता बिंदु \[\mathbf{A}\] से पूर्व की ओर बिंदु \[\mathbf{B}\text{ }\mathbf{20}\]किमी की दूरी तय करती है। उसी सड़क के अनुदिश बिंदु \[\mathbf{B}\] से वह \[\mathbf{30}\] किमी की पश्चिम की ओर तय करती है। यदि पूर्व की ओर तय की गई दूरी को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है, तो पश्चिम की ओर तय की गई दूरी को आप कैसे निरूपित करोगे? बिंदु \[\mathbf{A}\] से उसकी अंतिम स्थिति को किस पूर्णांक से निरूपित करोगे?

चित्र: बिंदु A और B की स्थिति

उत्तर: पश्चिम की ओर तय की गई दूरी को ऋणात्मक रूप से निरूपित करेंगे।

बिंदू \[\mathbf{A}\] से पूर्व की ओर बिंदु \[B\] तक तय की गई दूरी \[=20\]किमी

बिंदु \[B\] से पश्चिम की ओर तय की गई दूरी \[=\text{ }-30\]किमी

इसलिए \[A\] से पश्चिम की ओर तय की गई दूरी \[=20\text{ }\text{ }30\text{ }=\text{ }-10\]किमी

8. किसी मायावी वर्ग में प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तम्भ एवम्‌ प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग समान होता है। बताइए निम्नलिखित में से कौन सा वर्ग एक मायावी वर्ग है?

(i)

उत्तर:

(a)प्रत्येक पंक्तियों की संख्याओं का योग

पहली पंक्ति का योग \[=5\text{ }+\text{ }\left( -1 \right)\text{ }+\text{ }\left( -4 \right)\text{ }=\text{ }5-5\text{ }=\text{ }0\]

दूसरी पंक्ति का योग \[=\text{ }(-5)\text{ }+\text{ }\left( -2 \right)\text{ }+\text{ }7\text{ }=\text{ }7-7\text{ }=\text{ }0\]

तीसरी पंक्ति का योग \[=0\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }\left( -3 \right)\text{ }=\text{ }3-3\text{ }=\text{ }0\]

(b) प्रत्येक स्तम्भों के संख्याओं का योग

पहला स्तम्भ के संख्याओं का योग \[=5\text{ }+\text{ }\left( -5 \right)\text{ }+\text{ }0\text{ }=\text{ }5-5\text{ }=\text{ }0\]

दूसरा स्तम्भ के संख्याओं का योग \[=\text{ }(-1)\text{ }+\text{ }\left( -2 \right)\text{ }+\text{ }3\text{ }=\text{ }3-3\text{ }=\text{ }0\]

तीसरा स्तम्भ के संख्याओं का योग \[=\text{ }(-4)\text{ }+\text{ }7\text{ }+\text{ }\left( -3 \right)\text{ }=\text{ }7-7\text{ }=\text{ }0\]

(c) प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग

पहला विकर्ण की संख्याओं का योग \[=5\text{ }+\text{ }\left( -2 \right)\text{ }+\text{ }\left( -3 \right)\text{ }=\text{ }5-5\text{ }=\text{ }0\]

दूसरा विकर्ण की संख्याओं का योग \[0\text{ }+\text{ }\left( -2 \right)\text{ }+\text{ }\left( -4 \right)\text{ }=\text{ }0-6\text{ }=\text{ }-6\]

चूंकि कि इस वर्ग में पंक्तियों और स्तम्भों की संख्याओं का योग तो समान है, परंतु विकर्णों की संख्याओं का योग समान नहीं है, इसलिए यह एक मायावी वर्ग नहीं है|

(ii)

उत्तर: 

(a) प्रत्येक पंक्तियों की संख्याओं का योग

पहली पंक्ति का योग \[=1\text{ }+\text{ }\left( -10 \right)\text{ }+\text{ }0\text{ }=\text{ }1\text{ }-\text{ }10\text{ }=\text{ }-9\]

दूसरी पंक्ति का योग \[=(-4)+\left( -3 \right)+\left( -2 \right)=-9\]

तीसरी पंक्ति का योग \[=(-6)+4\text{ }+\left( -7 \right)=-2-7=-9\] 

(b)प्रत्येक स्तम्भों के संख्याओं का योग

पहला स्तम्भ के संख्याओं का योग = \[1\text{ }+\text{ }\left( -4 \right)\text{ }+\text{ }\left( -6 \right)\text{ }=\text{ }1-10\text{ }=\text{ }-9\]

दूसरा स्तम्भ के संख्याओं का योग \[=(-10)+\left( -3 \right)+\text{ }4=-13\text{ }+\text{ }4\text{ }=-9\]

तीसरा स्तम्भ के संख्याओं का योग \[=0+\left( -2 \right)+\left( -7 \right)\text{ }=0-9=-9\]

(c)प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग

पहला विकर्ण की संख्याओं का योग \[=1+\left( -3 \right)+\left( -7 \right)=1-10\text{ }=-9\]

दूसरा विकर्ण की संख्याओं का योग \[=0+\text{ }\left( -3 \right)+\left( -6 \right)=0-9=-9\]

चूकि इस वर्ग में पंक्तियों और स्तम्भों की संख्याओं का योग के साथ विकर्णों की संख्याओं का योग भी समान है, इसलिए यह एक मायावी वर्ग है|

9. \[\mathbf{a}\] और \[\mathbf{b}\] के निम्नलिखित मानों के लिए \[\mathbf{a}-\left( -\mathbf{b} \right)=\mathbf{a}+\mathbf{b}\] का सत्यापन ज्ञात कीजिए:

(a) \[\mathbf{a}\text{ }=\text{ }\mathbf{21},\text{ }\mathbf{b}\text{ }=\text{ }\mathbf{18}\]

उत्तर: 

\[a-\left( -b \right)=a\text{ }+\text{ }b\]

दिए हुए मान के अनुसार,

$ LHS \ \text{ }=21-\left( -18 \right)= \ 21 \ + \ 18 \ = 39  \\ $

$ RHS \ \text{ }= \ 21 \ + \ 18 \ = 39  \\ $

इस तरह, \[LHS\text{ }=\text{ }RHS\] सत्यापित है

(b) \[\mathbf{a}=\mathbf{118},\text{ }\mathbf{b}=\mathbf{125}\]

उत्तर:

 \[a-\left( -b \right)=a+b\]

दिए हुए मान के अनुसार,

$LHS \ \text{ }= \ 118-\left( -125 \right)= \ 118 \ + \ 125 \ = \ 243  \\ $

$RHS \ \text{ }=118\text{ }+ \ 125 \ = \ 243  \\ $

इस तरह, \[LHS\text{ }=\text{ }RHS\] सत्यापित है|

(c) \[\mathbf{a}=\mathbf{75},\text{ }\mathbf{b}=\mathbf{84}\]

उत्तर: 

\[a-\left( -b \right)=a+b\]

दिए हुए मान के अनुसार,

$LHS\text{ }=75-\left( -84 \right)=75\text{ }+ \ 84 \ = \ 159  \\ $

$RHS\text{ }=75\text{ }+\text{ } \ 84 \ = \ 159  \\ $

इस तरह, \[LHS\text{ }=\text{ }RHS\] सत्यापित है|

(d) \[\mathbf{a}=\text{ }\mathbf{28},\mathbf{b}\text{ }=\text{ }\mathbf{11}\]

उत्तर:

\[a-\left( -b \right)=a+b\]

दिए हुए मान के अनुसार,

$LHS\text{ }= \ 28 \ - \ 11 \ = \ 28 \ + \ 11 \ = \39  \\ $

$RHS\text{ }= \ 28\text{ }+ \ 11 \ = \ 39  \\ $

इस तरह, \[LHS\text{ }=\text{ }RHS\] सत्यापित है|

10. निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए, बॉक्स में संकेत \[<,\text{ }>\]अथवा \[=\] का उपयोग कीजिए:

\[\left( a \right)\left( -8 \right)+\left( -4 \right)\left( -8 \right)-\left( -4 \right)\]

उत्तर: 

$LHS\text{ }= \ - \ 8\text{ }-\text{ }4\text{ }= \ - \ 12  \\ $

$RHS\text{ }=\text{ }-8\text{ }+\text{ }4 \ = \ - \ 4  \\ $

$- \ 12 \ < \ - \ 4  \\ $

\[\left( \mathbf{b} \right)\text{ }\left( -\mathbf{3} \right)+\mathbf{7}-\left( \mathbf{19} \right)\mathbf{15}-\text{ }\mathbf{8}+\left( -\mathbf{9} \right)\]

उत्तर: 

$LHS\text{ }= \ - \ 3\text{ }+\text{ }7 \ - \ 19 \ = \ - \ 15  \\ $

$RHS\text{ }= \ 15 \ - \ 8 \ -\text{ }9 \ = \ - \ 2  \\ $

$- \ 15 \ < \ - \ 2  \\ $

\[\left( \mathbf{c} \right)\text{ }\mathbf{23}-\mathbf{41}+\mathbf{11}\mathbf{23}-\mathbf{41}-\mathbf{11}\]

उत्तर:

$LHS\text{ }= \ 23 \ - \ 41 \ + \ 11 \ = \ - \ 7  \\ $

$RHS= \ 23 \ - \ 41 \ - \ 11 \ = \ - \ 29  \\ $

\[-7\text{ }>\text{ }-29\] 

\[\left( \mathbf{d} \right)\text{ }\mathbf{39}+\left( -\mathbf{24} \right)-\left( \mathbf{15} \right)\mathbf{36}+\left( -\mathbf{52} \right)-\left( -\mathbf{36} \right)\]

उत्तर:

$LHS\text{ }= \ 39\text{ } \ - \ 24 \ - \ 15 \ = \ 39 \ - \ 39 \ = \ 0  \\ $

$RHS \ \text{ }= \ 36 \ - \ 52 \ + \ 36\text{ }= \ 72 \ - \ 52 \ = \ 20  \\ $

\[0\text{ }<\text{ }20\] 

\[\left( \mathbf{e} \right)\mathbf{231}+\mathbf{79}+\mathbf{51}-\mathbf{399}+\mathbf{159}+\mathbf{81}\]

उत्तर:

$~LHS\text{ }= \ - \ 231 \ + \ 130 \ = \ 101  \\ $

$RHS\text{ }= \ - \ 399 \ + \ 240 \ = \ 159  \\ $

$101\text{ }< \ 159  \\ $

11. पानी के एक तालाब में अंदर की ओर सीढ़ियाँ हैं। एक बंदर सबसे ऊपरी वाली सीढ़ी (यानी पहली वाली सीढ़ी) पर बैठा हुआ है। पानी नौवीं सीढ़ी पर है।

(i)वह एक छ्लांग में तीन सीढ़ियाँ नीचे की ओर और अगली छलांग में दो सीढ़ियाँ ऊपर की ओर जाता है। कितनी छ्लांगों में वह पानी के स्तर तक पहुँच पाएगा?

उत्तर: माना की बंदर द्वारा नीचे की ओर लगाए छ्लांग धनात्मक पूर्णांक है और ऊपर की ओर लगाए छलांग ऋणात्मक पूर्णांक हैं|

प्रारम्भ में बंदर पहली सीढ़ी \[(1)\]पर बैठा है|

उसके बाद,

1. पहली छलांग में बंदर की स्थिति \[=1\text{ }+\text{ }3\text{ }=\text{ }4\] वीं सीढ़ी पर होगी

2. दूसरी छलांग में बंदर की स्थिति \[=4+\left( -2 \right)=2\]सरी सीढ़ी पर होगी

3. तीसरी छलांग में बंदर की स्थिति \[=2+3=5\]वीं सीढ़ी पर होगी

4. चौथी छलांग में बंदर की स्थिति \[=5+\left( -2 \right)=3\]सरी सीढ़ी पर होगी

5. पाँचवी छलांग में बंदर की स्थिति \[=3\text{ }+\text{ }3\text{ }=\text{ }6\]ठी सीढ़ी पर होगी

6. छठी छलांग में बंदर की स्थिति \[=6\text{ }+\text{ }\left( -2 \right)\text{ }=\text{ }4\]थी सीढ़ी पर होगी

7. सातवी छलांग में बंदर की स्थिति \[=4\text{ }+\text{ }3\text{ }=\text{ }7\]वीं सीढ़ी पर होगी

8. आठवीं छलांग में बंदर की स्थिति \[=7\text{ }+\text{ }\left( -2 \right)\text{ }=\text{ }5\]वीं सीढ़ी पर होगी

9. नौवीं छलांग में बंदर की स्थिति \[=5\text{ }+\text{ }3\text{ }=\text{ }8\]वीं सीढ़ी पर होगी

10.  दसवीं छलांग में बंदर की स्थिति \[=8\text{ }+\text{ }\left( -2 \right)\text{ }=\text{ }6\]ठी सीढ़ी पर होगी

11.  ग्यारहवीं छलांग में बंदर की स्थिति \[=6\text{ }+\text{ }3\text{ }=\text{ }9\]वीं सीढ़ी पर होगी

ग्यारहवीं छलांगों के बाद बंदर जलस्तर तक पहुंचेगा|

(ii) पानी पीने के पश्चात वह वापस जाना चाहता है। इस कार्य में वह एक छलांग में \[\mathbf{4}\] सीढ़ियाँ ऊपर की ओर और अगली छलांग में \[\mathbf{2}\] सीढ़ियाँ नीचे की ओर जाता है। कितनी छलांगों में वह वापस सबसे ऊपर वाली सीढी पर पहुँच पाएगा?

उत्तर:

 प्रारम्भ में बंदर \[9\]वीं सीढ़ी पर बैठा था

1. पहली छलांग में बंदर की स्थिति \[=9\text{ }+\text{ }\left( -4 \right)\text{ }=\text{ }5\]वीं सीढ़ी पर होगी

2. दूसरी छलांग में बंदर की स्थिति \[=5\text{ }+2\text{ }=\text{ }7\] वीं सीढ़ी पर होगी

3. तीसरी छलांग में बंदर की स्थिति \[=7\text{ }+\text{ }\left( -4 \right)\text{ }=\text{ }3\]सरी सीढ़ी पर होगी

4. चौथी छलांग में बंदर की स्थिति \[=3\text{ }+\text{ }2\text{ }=\text{ }5\]वीं सीढ़ी पर होगी

5. पाँचवीं छलांग में बंदर की स्थिति \[=5\text{ }+\text{ }\left( -4 \right)\text{ }=\text{ }1\]ली सीढ़ी पर होगी

इस तरह बंदर पाँच छलांग में सबसे ऊपर वाला सीढ़ी पर पहुँच पाएगा|

(iii) यदि नीचे की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है और ऊपर की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है, तो निम्नलिखित को पूरा करते हुए भाग \[(\mathbf{i})\]और \[(\mathbf{ii})\]में उसकी गति को निरूपित कीजिए:

(a\[\text{ }3\text{ }+\text{ }2-\ldots \ldots =\text{ }-8\]सीढ़िया नीचे जाने के 

उत्तर: चूकि बंदर द्वारा नीचे की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक से निरूपित किया गया है और ऊपर की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया गया है , तो यहाँ उसकी गति का विवरण इस प्रकार है

\[\text{ }3\text{ }+\text{ }2-\ldots \ldots =\text{ }-8\]

$- \ 3\text{ }+\text{ }2\text{ }-\text{ }3\text{ }+\text{ }2\text{ }-\text{ }3\text{ }+\text{ }2\text{ }-\text{ }3\text{ }+\text{ }2\text{ }-\text{ }3\text{ }+\text{ }2\text{ }-\text{ }3\text{ }=\text{ }- \ 8  \\ $

$- \ 18\text{ }+\text{ }10\text{ }=\text{ }- \ 8  \\ $

यहाँ बंदर\[8\] कदम नीचे जाता है

\[\left( \mathbf{b} \right)\mathbf{4}-\mathbf{2}\text{ }+\cdots =\mathbf{8}\]

उत्तर: 

$4 \ - \ 2 \ + \ 4 \ - \ 2 \ + \ 4 \ - \ 2 \ + \ 4 \ - \ 2 \ = \ 8  \\ $

$16 \ - \ 8 \ = \ 8  \\ $

यहाँ बंदर\[~8\]कदम ऊपर जाता है

(c)यदि योग \[(\text{ }\mathbf{8})\]आठ सीढ़ियाँ नीचे जाने को निरूपित करता है, तो योग 8 किसको निरूपित करेगा?

उत्तर: ऊपर जाने को ।

अभ्यास 1.2

1. ऐसा पूर्णांक युग्म लिखिए जिसका

(a) योग \[\mathbf{7}\] है

उत्तर:

$~- \ 2 \ + \ \left( - \ 5 \right)  \\ $

$= \ - \ 2 \ - \ 5\text{ }= \ - \ 7  \\ $

(b) अंतर \[\mathbf{10}\]है

उत्तर: 

$- \ 15 \ -\left( - \ 5 \right)  \\ $

$= \ - \ 15\text{ } \ + \text{ }5\text{ }= \ - \ 10  \\ $

(c) योग\[\mathbf{0}\] है

उत्तर:

$ ~2 \ + \left( - \ 2 \right)  \\ $

$= \ 2 \ - \ 2 \ = \ 0  \\ $

2. (a) एक ऐसा ऋणात्मक पूर्णांक युग्म लिखिए जिसका अंतर \[\mathbf{8}\] है।

उत्तर: \[-15-\left( -23 \right)=-15\text{ }+\text{ }23\text{ }=\text{ }8\]

(b) एक ऋणात्मक पूर्णांक और एक धनात्मक पूर्णांक लिखिए जिसका योग \[-\mathbf{5}\] है।

उत्तर: \[-12\text{ }+\text{ }7=\text{ }-5\] 

(c) एक ऋणात्मक पूर्णांक और एक धनात्मक पूर्णांक लिखिए जिसका अंतर \[-\mathbf{3}\]है।

उत्तर: \[-2-\left( 1 \right)=\text{ }-2-1\text{ }=\text{ }-3\]

3. किसी प्रश्नोत्तरी के तीन उत्तरोतर चक्करों (rounds) में टीम A द्वारा प्राप्त किए गए अंक \[-\mathbf{40},\text{ }\mathbf{10}\]और \[\mathbf{0}\] थे और टीम \[\mathbf{B}\] द्वारा प्राप्त किए गए अंक \[\mathbf{10},\text{ }\mathbf{0}\]और \[-\mathbf{40}\]थे। किस टीम ने अधिक अंक प्राप्त किए? क्या हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है?

उत्तर: प्रश्ननुसार,

टीम \[A\] द्वारा प्राप्त किए गए अंक \[-40,\text{ }10\]और \[0\] है

और टीम \[B\] द्वारा प्राप्त किए गए अंक \[10,\text{ }0\]और \[-40\]है

इस तरह, टीम A द्वारा कुल प्राप्त किए गए कुल अंक \[=-40+10+0=-30\]

टीम \[B\] द्वारा प्राप्त किए गए कुल अंक\[=10+0+\left( -40 \right)=-30\]

चूकि दोनों टीमों के कुल अंकों का योग बराबर है

इस तरह हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है।

4. निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

\[\left( \mathbf{a} \right)\mathbf{5}\text{ }+\left( -\mathbf{8} \right)\text{ }=\left( -\mathbf{8}\text{ } \right)+\left( \ldots \ldots  \right)\]

उत्तर: माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक \[x\] है|

अब, 

$\text{ }5\text{ }+\left( - \ 8 \right)\text{ }=\left( -8\text{ } \right)+\left( x \right)  \\ $

$- \ 5 \ - \ 8 \ = \ - \ 8 \ + \ x  \\ $

$- \ 13\text{ }= \ - \ 8 \text{ }+\text{ }x \\ $

$- \ 13\text{ }+\text{ }8\text{ }=\text{ }x  \\ $

$~x\text{ }=\text{ }- \ 5  \\ $

(b) \[\text{ }\mathbf{53}+\ldots \ldots \text{ }=\text{ }-\mathbf{53}\]

उत्तर: 

माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

$53\text{ }+\text{ }x\text{ }= \ - \ 53  \\ $

$x\text{ }=- \ 53\text{ }+\text{ }53  \\ $

$x\text{ }=\text{ }0  \\ $

\[\left( \mathbf{c} \right)\text{ }\mathbf{17}\text{ }+\cdots =\mathbf{0}\]

उत्तर:  माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक \[x\] है

$17\text{ }+\text{ }x \ = \ 0  \\ $

$x\text{ }= \ 0 \ - \ 17  \\ $

$x\text{ }= \ - \ 17  \\ $

\[(d)\left[ \mathbf{13}\text{ }+\left( -\mathbf{12} \right) \right]\text{ }+\left( \ldots \ldots  \right)=\mathbf{13}\text{ }+\left[ \left( -\mathbf{12} \right)+\left( -\mathbf{7} \right) \right]\]

उत्तर:  माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

$\left[ 13\text{ }+\text{ }\left( -12 \right) \right]\text{ }+\text{ }\left( x \right)\text{ }=\text{ }13+\left[ \left( -12 \right)\text{ }+\text{ }\left( -7 \right) \right]  \\ $

$\left[ 13-12 \right]\text{ }+\text{ }\left( x \right)\text{ }=\text{ }13\text{ }+\text{ }\left[ -12-7 \right]  \\ $

$1\text{ }+\text{ }\left( x \right)\text{ }=\text{ }13\text{ }+\text{ }\left[ -19 \right]  \\ $

$1\text{ }+\text{ }\left( x \right)\text{ }=\text{ }13-19  \\ $

$1+\text{ }\left( x \right)\text{ }=\text{ }-6  \\ $

$\text{ }x\text{ }=\text{ }-6-1  \\ $

$x\text{ }=\text{ }-7  \\ $

\[\left( \mathbf{e} \right)\left( \mathbf{4} \right)+\left[ \mathbf{15}+\left( -\mathbf{3} \right) \right]=\left[ -\mathbf{4}\text{ }+\text{ }\mathbf{15} \right]+\text{ }\ldots \]

उत्तर: …

माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक \[x\] है

$ \left( 4 \right)+\left[ 15\text{ }+\text{ }\left( -3 \right) \right]=\left[ -4\text{ }+\text{ }15 \right]+\text{ }x  \\ $

$ \left( -4 \right)+\left[ 15-3 \right]=\left[ -4\text{ }+\text{ }15 \right]+\text{ }x  \\ $

$ \left( -4 \right)\text{ }+\text{ }\left[ 12 \right]\text{ }=\text{ }\left[ 11 \right]+x  \\ $

$-4\text{ }+12=11+x  \\ $

$-4+12-11=x  \\ $

$x=-\text{ }3  \\ $

अभ्यास 1.3

1. निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात कीजिए:

\[\left( \mathbf{a} \right)\text{ }\mathbf{3}\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{1} \right)\]

उत्तर: \[3\text{ }\times \text{ }\left( -1 \right)\text{ }=\text{ }-3\]

\[\left( \mathbf{b} \right)\text{ }\left( -\mathbf{1} \right)\text{ }\times \text{ }\mathbf{225}\]

उत्तर: \[\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }225\text{ }=\text{ }-225\]

\[\left( \mathbf{c} \right)\text{ }\left( \mathbf{21} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{30} \right)\]

उत्तर: \[\left( -21 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -30 \right)\text{ }=\text{ }630\]

\[\left( \mathbf{d} \right)\text{ }\left( -\mathbf{316} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{1} \right)\]

उत्तर: \[\left( -316 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -1 \right)\text{ }=\text{ }316\]

\[\left( \mathbf{e} \right)\text{ }\left( -\mathbf{15} \right)\times \text{ }\mathbf{0}\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{18} \right)\]

उत्तर: \[\left( -15 \right)\text{ }\times \text{ }0\text{ }\times \text{ }\left( -18 \right)\text{ }=\text{ }0\text{ }\times \text{ }\left( -18 \right)=0\]

(\[\mathbf{f})\text{ }\left( -\mathbf{12} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{11} \right)\text{ }\times \text{ }\left( \mathbf{10} \right)\]

उत्तर: \[\left( -12 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -11 \right)\text{ }\times \text{ }\left( 10 \right)\text{ }=\text{ }132\text{ }\times \text{ }10\text{ }=\text{ }1320\]

\[\left( \mathbf{g} \right)\text{ }\mathbf{9}\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{3} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{6} \right)\]

उत्तर: \[9\text{ }\times \text{ }\left( -3 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -6 \right)\text{ }=\text{ }9\text{ }\times \text{ }18\text{ }=\text{ }162\]

\[\left( \mathbf{h} \right)\text{ }\left( -\mathbf{18} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{5} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{4} \right)\]

उत्तर: \[:~\left( -18 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -5 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -4 \right)\text{ }=\text{ }\left( -18 \right)\text{ }\times \text{ }20\text{ }=\text{ }-360\]

\[\left( \mathbf{i} \right)\text{ }\left( -\mathbf{1} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{2} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{3} \right)\text{ }\times 4\]

उत्तर: \[\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -2 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -3 \right)\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }\left( -3 \right)\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }-6\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }-24\]

\[\left( \mathbf{j} \right)\text{ }\left( -\mathbf{3} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{6} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{2} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{1} \right)\]

उत्तर: \[\left( -3 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -6 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -2 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -1 \right)\]

\[=\text{ }18\text{ }\times \text{ }\left( -2 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -1 \right)\text{ }=\text{ }\left( -36 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -1 \right)\text{ }=\text{ }36\]

2. निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए:

(a) 18 × [7+(-3) ] = [18 × 7]+ [18× (-3)]

उत्तर: 

$18\text{ }\times \text{ }\left[ 7+\left( -3 \right)\text{ } \right]\text{ }=\text{ }\left[ 18\text{ }\times \text{ }7 \right]+\text{ }\left[ 18\text{ }\times \text{ }\left( -3 \right) \right]  \\ $

 $18\text{ }\times \text{ }\left[ 7-3 \right]\text{ }=\text{ }\left[ 18\text{ }\times \text{ }7 \right]+\text{ }\left[ -54 \right]  \\ $

 $18\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }126-54  \\ $

 $72\text{ }=\text{ }72  \\ $

\[LHS\text{ }=\text{ }RHS\] सत्यापित है

\[\left( \mathbf{b} \right)\text{ }\left( -\mathbf{21} \right)\text{ }\times \text{ }\left[ \left( -\mathbf{4} \right)+\text{ }\left( -\mathbf{6} \right)\text{ } \right]\]

उत्तर: 

$\left( -21 \right)\text{ }\times \text{ }\left[ \left( -4 \right)\text{ }+\text{ }\left( -6 \right)\text{ } \right]=\left[ \left( -21 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -4 \right)\text{ } \right]\text{ }+\text{ }\left[ \left( -21 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -6 \right)\text{ } \right]  \\ $

$\left( -21 \right)\text{ }\times \text{ }\left[ -4-6 \right]\text{ }=\text{ }\left[ 84 \right]\text{ }+\text{ }\left[ 126 \right]  \\ $

$=-21\text{ }\times \left[ -10 \right]\text{ }=\text{ }210  \\ $

$ 210\text{ }=\text{ }210  \\ $

\[LHS\text{ }=\text{ }RHS\] सत्यापित है

3.  \[\left( \mathbf{i} \right)\]किसी भी पूर्णांक \[\mathbf{a}\] के लिए, \[\left( -\mathbf{1} \right)\text{ }\times \text{ }\mathbf{a}\] किसके समान है?

उत्तर:  \[\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }a=\text{ }-a\]

(ii)वह पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिसका \[(-1)\]के साथ गुणनफल है:

\[\left( a \right)\text{ }-22\text{ }\left( b \right)\text{ }37\text{ }\left( c \right)\text{ }0\]

उत्तर: \[\left( c \right)\text{ }0\text{ }\times \text{ }\left( -1 \right)=0\]

4. \[\left( -\mathbf{1} \right)\text{ }\times \text{ }\mathbf{5}\]से आरम्भ करके विभिन्न गुणनफलों द्वारा कोई पैटर्न दर्शाते हुए \[(-\mathbf{1})\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{1} \right)\text{ }=\text{ }\mathbf{1}\]को निरूपित कीजिए।

उत्तर:

$~\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }-5  \\ $

$\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }-4\text{ }=\text{ }-5\text{ }+\text{ }1  \\ $

$\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }-3\text{ }=\text{ }-4\text{ }+\text{ }1  \\ $

$\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }-2\text{ }=\text{ }-3\text{ }+\text{ }1  \\ $

$\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }1\text{ }=\text{ }-1\text{ }=\text{ }-2\text{ }+\text{ }1  \\ $

$\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }0\text{ }=\text{ }0\text{ }=\text{ }-1\text{ }+\text{ }1  \\ $

$\left( -1 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -1 \right)\text{ }=\text{ }1\text{ }=\text{ }0\text{ }+\text{ }1  \\ $

5. उचित गुणों का प्रयोग करते हुए, गुणनफल ज्ञात कीजिए

\[\left( \mathbf{a} \right)\text{ }\mathbf{26}\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{48} \right)\text{ }+\text{ }\left( -\mathbf{48} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{36} \right)\]

उत्तर: 

$26\text{ }\times \text{ }\left( -48 \right)\text{ }+\text{ }\left( -48 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -36 \right)  \\ $

$=\text{ }-48\text{ }\left[ 26\text{ }+\text{ }\left( -36 \right) \right]  \\ $

$=\text{ }-48\left[ 26-36 \right]  \\ $

$=\text{ }-48\text{ }\times \text{ }-10\text{ }=\text{ }480  \\ $

\[\left( \mathbf{b} \right)\text{ }\mathbf{8}\text{ }\times \text{ }\mathbf{53}\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{125} \right)\]

उत्तर: 

$8\text{ }\times \text{ }53\text{ }\times \text{ }\left( -125 \right)  \\ $

$=\text{ }53\text{ }\times \text{ }\left[ 8\text{ }\times \text{ }\left( -125 \right) \right]  \\ $

$=\text{ }53\text{ }\times \text{ }\left[ 8\text{ }\times \text{ }-125 \right]  \\ $

$=\text{ }53\text{ }\times \text{ }\left[ -1000 \right]  \\ $

$=\text{ }-53000  \\ $

\[\left( \mathbf{c} \right)\text{ }\mathbf{15}\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{25} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{4} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{10} \right)\]

उत्तर: 

$15\text{ }\times \text{ }\left( -25 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -4 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -10 \right)  \\ $

$=\text{ }\left[ 15\text{ }\times \text{ }\left( -10 \right) \right]\text{ }\times \text{ }\left[ \left( -25 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -4 \right) \right]  \\ $

$=\text{ }\left[ -150 \right]\text{ }\times \text{ }\left[ 100 \right]  \\ $

$=\text{ }-15000  \\ $

\[\left( \mathbf{d} \right)\text{ }\left( -\mathbf{41} \right)\text{ }\times \text{ }\mathbf{102}\]

उत्तर: 

$\left( -41 \right)\text{ }\times \text{ }102  \\ $

$=\text{ }\left( -41 \right)\text{ }\times \text{ }\left[ 100\text{ }+\text{ }2 \right]  \\ $

$=\text{ }\left( -41 \right)\text{ }\times \text{ }100\text{ }+\text{ }\left( -41 \right)\text{ }\times \text{ }2  \\ $

$=\text{ }-4100\text{ }-\text{ }82  \\ $

$=\text{ }-4182  \\ $

\[\left( \mathbf{e} \right)\text{ }\mathbf{625}\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{35} \right)\text{ }+\text{ }\left( -\mathbf{625} \right)\text{ }\times \text{ }\mathbf{65}\]

उत्तर:

$~625\text{ }\times \text{ }\left( -35 \right)\text{ }+\text{ }\left( -625 \right)\text{ }\times \text{ }65  \\ $

$=\text{ }625\left[ \left( -35 \right)\text{ }+\text{ }\left( -65 \right) \right]  \\ $

$=\text{ }625\left[ -35-65 \right]  \\ $

$=\text{ }625\left[ -100 \right]  \\ $

$=\text{ }-62500  \\ $

\[\left( \mathbf{f} \right)\text{ }\mathbf{7}\text{ }\times \text{ }\left( \mathbf{50}-\mathbf{2} \right)\]

उत्तर:

\[~7\text{ }\times \text{ }\left( 50-2 \right)\]\[=\text{ }\left( 7\text{ }\times \text{ }50 \right)-\left( 7\text{ }\times \text{ }2 \right)\]

\[=\text{ }350-14\text{ }=336\] 

\[\left( \mathbf{g} \right)\text{ }\left( -\mathbf{17} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{29} \right)\]

उत्तर: 

$\left( -17 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -29 \right)  \\ $

$=\text{ }\left( -17 \right)\text{ }\times \text{ }\left[ \left( -30 \right)\text{ }+\text{ }1 \right]  \\ $

$=\text{ }\left[ \left( -17 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -30 \right) \right]\text{ }+\text{ }\left[ \left( -17 \right)\text{ }\times \text{ }1 \right]  \\ $

$=\text{ }\left[ 510 \right]\text{ }+\text{ }\left[ -17 \right]  \\ $

$=\text{ }510-17\text{ }=\text{ }493  \\ $

\[\left( \mathbf{h} \right)\text{ }\left( -\mathbf{57} \right)\text{ }\times \text{ }\left( -\mathbf{19} \right)\text{ }+\text{ }\mathbf{57}\]

उत्तर: 

$\left( -57 \right)\text{ }\times \text{ }\left( -19 \right)\text{ }+\text{ }57  \\ $4 =\text{ }1083\text{ }+\text{ }57  \\ $

$=\text{ }1140  \\ $

6. किसी हिमीकरण(ठंढा) प्रक्रिया में, कमरे के तापमान को \[\mathbf{40}{}^\circ \mathbf{C}\] से, \[\mathbf{5}{}^\circ \mathbf{C}\] प्रति घंटे की दर से कम करने की आवश्यकता है। इस प्रक्रिया के शुरू होने के 10 घंटे के बाद, कमरे का तापमान क्या होगा?

उत्तर: 

शुरू में कमरे का तापमान \[=40{}^\circ C\]

\[1\] घंटे बाद कमरे का तापमान \[=40{}^\circ \text{ }-\text{ }1\text{ }\times \text{ }5{}^\circ C\text{ }=\text{ }40{}^\circ C\text{ }-\text{ }5{}^\circ C\]

\[10\] घंटे बाद कमरे का तापमान \[=40{}^\circ C\text{ }-\text{ }10\text{ }\times \text{ }5{}^\circ C\text{ }=\text{ }40{}^\circ C\text{ }-\text{ }50{}^\circ C\text{ }=\text{ }-10{}^\circ C\]

7. दस प्रश्नों वाले एक कक्षा टेस्ट में प्रत्येक सही उत्तर के लिए \[\mathbf{5}\] अंक दिए जाते हैं और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए \[(-\mathbf{2})\]अंक दिए जाते हैं एवम्‌ प्रयत्न नहीं किए गए प्रश्नों के लिए शून्य दिया जाता है।

(a) मोहन चार प्रश्नों का सही और चार प्रश्नों का गलत उत्तर देता है। उसके द्वारा प्राप्त अंक कितने हैं?

उत्तर: मोहन द्वारा प्राप्त सही उत्तरों के अंक \[=4\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }20\]

उसके द्वारा प्राप्त गलत उत्तरों के अंक \[=4\text{ }\times \text{ }\left( -2 \right)\text{ }=\text{ }-8\]

इसतरह मोहन द्वारा प्राप्त कुल अंक \[=20+\left( -8 \right)\text{ }=\text{ }12\]

(b) रेशमा के पाँच उत्तर सही है और पाँच उत्तर गलत है। उसके द्वारा प्राप्त अंक कितने हैं?

उत्तर: 

रेशमा द्वारा प्राप्त सही उत्तरों के अंक \[=5\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }25\]

रेशमा द्वारा प्राप्त गलत उत्तरों के अंक \[=5\text{ }\times \text{ }\left( -2 \right)\text{ }=\text{ }-10\]

इसतरह रेशमा द्वारा प्राप्त कुल अंक \[=25\text{ }+\text{ }\left( -10 \right)\text{ }=\text{ }15\]

(c) हीना ने कुल सात किए हैं उनमें से दो का उत्तर सही है और पाँच का उत्तर गलत है। तो उसे कितने प्राप्त होते हैं?

उत्तर: हीना द्वारा प्राप्त सही उत्तरों के अंक \[=2\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }10\]

हीना द्वारा प्राप्त गलत उत्तरों के अंक \[=5\text{ }\times \text{ }\left( -2 \right)\text{ }=\text{ }-10\]

हीना द्वारा छोड़े गए प्रश्नों के अंक \[=3\text{ }\times \text{ }0\text{ }=\text{ }0\]

हीना द्वारा प्राप्त किए गए कुल अंक \[=10\text{ }+\text{ }\left( -10 \right)\text{ }+\text{ }0=0\]

8. एक सीमेंट कम्पनी को सफेद सीमेंट बेचने पर ₨.\[\mathbf{8}\] प्रति बोरी की दर से लाभ होता है और स्लेटी (grey) रंग की सीमेंट बेचने पर ₨.\[\mathbf{5}\] प्रति बोरी की दर से हानि होती है।

(a) किसी महीने में वह कम्पनी \[\mathbf{3000}\]बोरियाँ सफ़ेद सीमेंट की और \[\mathbf{5000}\] बोरियाँ स्लेटी सीमेंट की बेचती है। उसका लाभ अथवा हानि क्या है?

उत्तर: 

प्रति बोरी सफेद सीमेंट बेचने पर लाभ \[=\] ₨.8

और प्रति बोरी स्लेटी सीमेंट बेचने पर हानि \[=\] ₨.\[5\]

इसतरह \[3000\]बोरियाँ सफेद सीमेंट बेचने पर लाभ \[=\] \[Rs.\left( 3000\text{ }\times \text{ }8 \right)\text{ }=\text{ Rs}.\]\[24000\]

और \[5000\] बोरियाँ स्लेटी सीमेंट बेचने पर हानि \[~\text{Rs}..\left( 5000\text{ }\times \text{ }-5 \right)\text{ }=\text{ }-\text{Rs}..25000\]

कुल हानि \[=\] \[-\text{Rs}..25000\text{ }+\text{ Rs}..24000\text{ }=-\text{Rs}..1000\]

(b) यदि बेची गई स्लेटी सीमेंट की बोरियों की संख्या \[\mathbf{6400}\] है, तो कम्पनी को सफेद सीमेंट कि कितनी बोरियाँ बेचनी चाहिए, ताकि उसे ना तो लाभ हो और ना ही हानि?

उत्तर:

 चूकि \[1\] बोरी स्लेटी सीमेंट बेचने पर घाटा \[=\text{ }-\text{Rs}..5\]

इसलिए, \[~6400\]बोरियाँ स्लेटी सीमेंट बेचने पर कुल घाटा \[=\text{Rs}.\left( -5\text{ }\times \text{ }6400 \right)=\text{ }-\text{Rs}.32000\]

माना की सफ़ेद सीमेंट की \[x\] बोरियाँ बेची गई

चूकि \[1\] बोरी सफ़ेद सीमेंट बेचने पर लाभ \[=\text{Rs}.8\]

इसलिए \[x\] बोरी सफ़ेद सीमेंट बेचने पर लाभ \[=\text{Rs}.8\text{ }\times \text{ }\left( x \right)=\text{ Rs}.8x\]

ना तो लाभ और न हानि की स्थिति में,

लाभ \[+\] हानि \[=0\] होता है

इसतरह, 

$\left( 8x \right)\text{ }+\text{ }\left( -32000 \right)\text{ }=\text{ }0  \\ $.        $

   8x\text{ }=\text{ }0\text{ }+\text{ }32000  \\ $        

$x=\dfrac{32000}{8}=4000  \\ $

इसतरह, कंपनी को \[4000\] सफेद सीमेंट की बोरियों को बेचना चाहिए|

9. निम्नलिखित को सत्य कथन में परिवर्तित करने के लिए, रिक्त स्थान को एक पूर्णांक से प्रतिस्थापित कीजिए:

\[\left( \mathbf{a} \right)\text{ }\left( -\mathbf{3} \right)\text{ }\times =\text{ }\mathbf{27}\]

उत्तर:माना, \[=x\]

$~\left( -3 \right)\text{ }\times =27  \\ $.        

$\left( -3 \right)\text{ }\times \text{ }x\text{ }=\text{ }27  \\ $.        

$-3x\text{ }=\text{ }27  \\ $.        

$x=\dfrac{27}{-3}=-9  \\ $.     

\[\left( \mathbf{b} \right)\text{ }\mathbf{5}\text{ }\times =\text{ }-\mathbf{35}\]

उत्तर: माना, \[=x\]

$5\text{ }\times =-35  \\ $.        

$5\text{ }\times \text{ }x\text{ }=-35  \\ $.        

$5x\text{ }=\text{ }-35  \\ $.        

$x=-\dfrac{35}{5}=-7  \\ $.    

\[\left( \mathbf{c} \right)\times \text{ }\left( -\mathbf{8} \right)=\text{ }-\mathbf{56}\]

उत्तर: माना, \[=x\]

$\times \text{ }\left( -8 \right)=\text{ }-56  \\ $.        

$x\times \left( -8 \right)=-56x  \\ $.        

$-8x=-56  \\ $.        

$x=\dfrac{-56}{-8}=7  \\ $.

\[\left( \mathbf{d} \right)\times \text{ }\left( -\mathbf{12} \right)\text{ }=\text{ }\mathbf{132}\]

उत्तर: माना, \[=x\]

$\times \text{ }\left( -12 \right)\text{ }=\text{ }132  \\ $.        

$x\text{ }\times \left( -12 \right)\text{ }=\text{ }132  \\ $.        

$-12x\text{ }=\text{ }132  \\ $.        

$x=\dfrac{132}{-12}=-11  \\ $.        

अभ्यास 1.4

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:

\[\left( \mathbf{a} \right)\text{ }-\mathbf{30}\text{ }\div \mathbf{10}\]

उत्तर: \[-3\]

\[\left( \mathbf{b} \right)\text{ }\mathbf{50}\div \left( -\mathbf{5} \right)\]

उत्तर: \[-10\]

\[\left( \mathbf{c} \right)\text{ }\left( -\mathbf{36} \right)\div \left( -\mathbf{9} \right)\]

उत्तर: 4

\[\left( \mathbf{d} \right)\text{ }\left( -\mathbf{49} \right)\div \left( \mathbf{49} \right)\]

उत्तर: \[-1\]

\[\left( \mathbf{e} \right)\text{ }\mathbf{13}\text{ }\div \text{ }\left[ \left( -\mathbf{2} \right)\text{ }+\text{ }\mathbf{1} \right]\]

उत्तर: 

$13\text{ }\div \text{ }\left[ \left( -2 \right)\text{ }+\text{ }1 \right]  \\ $

$=\text{  }\dfrac{13}{-1}\text{  } \\ $

$=\text{ }-13 \\ $

 \[\left( \mathbf{f} \right)\text{ }\mathbf{0}\text{ }\div \text{ }\left( -\mathbf{12} \right)\]

उत्तर: \[~0\text{ }\div \text{ }\left( -12 \right)\text{ }=0\]

 \[\left( \mathbf{g} \right)\text{ }\left( -\mathbf{31} \right)\text{ }\div \text{ }\left[ \left( -\mathbf{30} \right)\text{ }+\text{ }\left( -\mathbf{1} \right) \right]\]

उत्तर:

$   ~(-31)\text{ }\div \text{ }\left[ \left( -30 \right)\text{ }+\text{ }\left( -1 \right) \right]  \\ $. 

$   =\text{ }\left( -31 \right)\text{ }\div \text{ }\left[ -30-1 \right]  \\ $.       

$   =\text{ }-31\text{ }\div \text{ }-31\text{ }=\text{ }1  \\ $.        

\[\left( \mathbf{h} \right)\text{ }\left[ \left( -\mathbf{36} \right)\text{ }\div \text{ }\mathbf{12} \right]\text{ }\div \text{ }\mathbf{3}\]

उत्तर: $(-36)\text{ }\div \text{ }12]\text{ }\div \text{ }3  \\ $.        

 $  =\text{ }\left[ -3 \right]\text{ }\div \text{ }3\text{ }=\text{ }-1  \\ $.        

\[\left( \mathbf{i} \right)\text{ }\left[ \left( -\mathbf{6} \right)\text{ }+\text{ }\mathbf{5} \right]\text{ }\div \text{ }\left[ \left( -\mathbf{2} \right)\text{ }+\text{ }\mathbf{1} \right]\]

उत्तर: \[[(-6)\text{ }+\text{ }5\left] \text{ }\div \text{ } \right[\left( -2 \right)\text{ }+\text{ }1]\]

\[=\text{ }\left[ -1 \right]\text{ }\div \text{ }\left[ -1 \right]\text{ }=\text{ }1\]

2. a,b और c के निम्नलिखित मानों में से प्रत्येक के लिए, \[\mathbf{a}\div \left( \mathbf{b}+\mathbf{c} \right)\ne \left( \mathbf{a}\div \mathbf{b} \right)+\left( \mathbf{a}\div \mathbf{c} \right)~\] को सत्यापित कीजिए।

\[\left( \mathbf{a} \right)~\mathbf{a}=\mathbf{12},~\mathbf{b}=-\mathbf{4},~\mathbf{c}=\mathbf{2}\]

उत्तर: के अनुसार, \[a\div \left( b+c \right)\ne \left( a\div b \right)+\left( a\div c \right)\]

दिए हुए मान, \[a=12,~b=-4,~c=2\]

बाईं तरफ मान डालने पर, \[a\div \left( b+c \right)\]

\[=\text{ }12\div \left( -4+2 \right)\]

\[=\text{ }12\text{ }\div \text{ }\left( -2 \right)\]

\[=\text{ }12\text{ }\div \text{ }-2\text{ }=\text{ }-6\]

उसी तरह दाईं तरफ मान डालने पर, \[\left( a\div b \right)+\left( a\div c \right)\]

\[=\text{ }\left( 12\text{ }\div \text{ }-4 \right)\text{ }+\text{ }\left( 12\text{ }\div \text{ }2 \right)\]

\[=\text{ }\left( -3 \right)+\left( 6 \right)\text{ }=\text{ }3\]

चूकि LHS = RHS नही है

इसलिए\[,~a\div \left( b+c \right)\ne \left( a\div b \right)+\left( a\div c \right)~\]सत्यापित है

\[\left( \mathbf{b} \right)~\mathbf{a}=\left( -\mathbf{10} \right),~\mathbf{b}=\mathbf{1}~,~\mathbf{c}=\mathbf{1}\]

उत्तर: के अनुसार, \[a\div \left( b+c \right)\ne \left( a\div b \right)+\left( a\div c \right)\]

दिए हुए मान \[a=\left( -10 \right),~b=1,~c=1\]

बाईं तरफ मान डालने पर, \[a\div \left( b+c \right)\]

\[=\left( -10 \right)\text{ }\div \text{ }\left( 1\text{ }+\text{ }1 \right)\]

\[=\left( -10 \right)\text{ }\div \text{ }2\text{ }=\text{ }-5\]

उसी तरह दाईं तरफ मान डालने पर, \[\left( a\div b \right)+\left( a\div c \right)\]

\[=\left( -10\text{ }\div \text{ }1 \right)\text{ }+\text{ }\left( -10\text{ }\div \text{ }1 \right)\]

\[=\left( -10 \right)\text{ }+\text{ }\left( -10 \right)\text{ }=\text{ }20\]

चूकि LHS = RHS नही है

इसलिए, \[a\div \left( b+c \right)\ne \left( a\div b \right)+\left( a\div c \right)\] सत्यापित है।

3. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

\[\left( \mathbf{a} \right)\text{ }\mathbf{369}\text{ }\div =\text{ }\mathbf{369}\]

उत्तर: \[369\text{ }\div =\text{ }369\]

माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

\[369\div x=369\]

\[x=\dfrac{369}{369}=1\]

\[\left( \mathbf{b} \right)\text{ }-\mathbf{75}\div =\text{ }-\mathbf{1}\]

उत्तर: \[-75\div =\text{ }-1\]

माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

\[-75\div x=-1\]

\[x=\dfrac{-75}{-1}=75\]

\[\left( \mathbf{c} \right)\text{ }\left( -\mathbf{206} \right)\div =\text{ }\mathbf{1}\]

उत्तर: \[\left( -206 \right)\div =\text{ }1\]

माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

\[\left( -206 \right)\div x=1\]

\[x=\dfrac{-206}{1}=-206\]

\[\left( \mathbf{d} \right)\text{ }\left( -\mathbf{87} \right)\div =\mathbf{87}\]

उत्तर: \[\left( -87 \right)\div =87\]

माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

\[\left( -87 \right)\div x=87\]

\[x=-\dfrac{87}{87}=-1\]

 \[\left( \mathbf{e} \right)\div \mathbf{1}=\text{ }-\mathbf{87}\]

उत्तर: \[\div 1=\text{ }-87\]

माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

\[x\div 1=-87\]

\[x=-87\times 1=-87\]

 \[\left( \mathbf{f} \right)\div \mathbf{48}=-\mathbf{1}\]

उत्तर: \[\div 48=-1\]

माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

\[=x\div 48=-1\]

\[=x=-1\times 48=-48\]

\[~\left( \mathbf{g} \right)\text{ }\mathbf{20}\div \text{ }=\text{ }-\mathbf{2}\]

उत्तर: माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

\[20\div x=-2\]

\[x=20-2=-10\]

\[\left( \mathbf{h} \right)\div \mathbf{4}=\text{ }-\mathbf{3}\]

उत्तर: \[\div 4=\text{ }-3\]

माना कि रिक्त स्थानों का पूर्णांक x है

\[=x\div 4=-3\]

\[x=-3\times 4=-12\]

4. पाँच ऐसे पूर्णांक युग्म \[(\mathbf{a},\mathbf{b})\]लिखिए, ताकि \[\mathbf{a}\div \mathbf{b}=\text{ }-\mathbf{3}\]हो, ऐसा एक युग्म \[(\mathbf{6},\text{ }-\mathbf{2})\]है, क्योंकि \[\mathbf{6}\div \left( -\mathbf{2} \right)=\left( -\mathbf{3} \right)\]है।

उत्तर: के अनुसार,

\[a\div b=\text{ }-3\]

इसतरह, इसके पाँच पूर्णांक युग्म क्रमश: निम्नलिखित है|

\[\left( 9,\text{ }-3 \right)\]चूँकि, \[9\div -3=\text{ }-3\]

\[\left( -9,3 \right)\]चूँकि, \[-9\div 3=\text{ }-3\]

\[\left( 15,\text{ }-5 \right)\]चूँकि\[,\text{ }15\div -5=\text{ }-3\]

\[\left( 18,\text{ }-6 \right)\]चूँकि\[,\text{ }18\div -6=\text{ }-3\]

\[\left( 21,\text{ }-7 \right)\]चूँकि, \[21\div -7=\text{ }-3\]

5. दोपहर 12 बजे तापमान शून्य से 10°C ऊपर था। यदि यह आधी रात तक 2°C प्रति घंटे की दर से कम होता है, तो किस समय तापमान शून्य से 8°C नीचे होगा? आधी रात को तापमान क्या होगा?

उत्तर: के अनुसार,

दोपहर 12 बजे तापमान = 10°C

आधी रात तक तापमान 2°C प्रति घंटे की दर से कम होता है

अतः आधी रात का तापमान \[=\text{ }-12\text{ }\times \text{ }2\text{ }+\text{ }10\text{ }=\text{ }-24\text{ }+\text{ }10\text{ }=\text{ }-14{}^\circ C\]

\[+10{}^\circ C\] से \[-8{}^\circ C\] तक कुल तापमान \[=18{}^\circ C\]

चूकि 2°C तापमान में कमी 1 घंटे में होती है

इसलिए 1°C तापमान में कमी \[\dfrac{1}{2}\] घंटे में होती है

इसलिए 18°C तापमान में कमी \[\dfrac{18}{2}=9~\]घंटे में होती है

अतः दोपहर 12 बजे के बाद के 9 घंटे बाद अर्थात रात 9 बजे तापमान 8°C से कम होगा

6. किसी हिमीकरण(ठंढा) प्रक्रिया में, कमरे के तापमान को 40°C से, 5°C प्रति घंटे की दर से कम करने की आवश्यकता है। इस प्रक्रिया के शुरू होने के 10 घंटे के बाद, कमरे का तापमान क्या होगा?

उत्तर: शुरू में कमरे का तापमान \[=40{}^\circ C\]

1 घंटे बाद कमरे का तापमान \[=40{}^\circ \text{ }-1\text{ }\times \text{ }5{}^\circ C\text{ }=\text{ }40{}^\circ C\text{ }-\text{ }5{}^\circ C\]

10 घंटे बाद कमरे का तापमान \[=40{}^\circ C\text{ }-\text{ }10\text{ }\times \text{ }5{}^\circ C\text{ }=\text{ }40{}^\circ C\text{ }-\text{ }50{}^\circ C\text{ }=\text{ }-10{}^\circ C\]

7. एक कक्षा टेस्ट में प्रत्येक सही उत्तर के लिए (+3) अंक दिए जाते हैं और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए (-2) अंक दिए जाते हैं और किसी को हल करने का प्रयत्न नहीं करने पर कोई अंक नहीं दिया जाता है।

(a) राधिका ने 20 अंक प्राप्त किए। यदि उसके 12 उत्तर सही पाए जाते हैं, तो उसने कितने प्रश्नों का उत्तर गलत दिया है?

उत्तर: एक सही उत्तर के लिए दिए गए अंक = 3

अतः 12 सही उत्तरों के लिए दिए गए अंक \[=3\text{ }\times \text{ }12\text{ }=\text{ }36\]

राधिका द्वारा प्राप्त किए गए अंक \[=20\]

गलत उत्तरों के लिए प्राप्त किए गए अंक \[=20\text{ }\text{ }36\text{ }=\text{ }-16\]

एक गलत उत्तर के लिए दिए गए अंक \[=\text{ }-2\]

इसलिए, गलत उत्तरों की संख्या \[=\text{ }(-16)\text{ }\div \text{ }\left( -2 \right)\text{ }=\text{ }8\]

(b) मोहिनी टेस्ट में (-5) अंक प्राप्त करती है, जबकि उसके 7 उत्तर सही पाए जाते हैं। उसने कितने प्रश्नों का उत्तर गलत दिया है?

उत्तर: 7 सही उत्तर के लिए दिए गए अंक \[=7\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }21\]

मोहिनी द्वारा प्राप्त किए गए अंक \[=(-5)\]

गलत उत्तरों के लिए प्राप्त किए गए अंक \[=\text{ }-5-21\text{ }=\text{ }-26\]

इसलिए गलत उत्तरों की संख्या \[=\text{ }(-26)\text{ }\div \text{ }\left( -2 \right)\text{ }=\text{ }13\]

8. एक उत्थापक किसी खान कूपक में 6 m प्रति मिनट की दर से नीचे जाता है। यदि नीचे जाना भूमि तल से 10 m ऊपर से शुरू होता है, तो -350 m पहुँचने में कितना समय लगेगा?

उत्तर: के अनुसार,

प्रारम्भ में खान कूपक भूमि तल से 10 m ऊपर से चलना शुरू करता है

खान कूपक द्वारा तय की गई आखिरी गहराई \[=\text{ }-350\text{ }m\] (चूँकि उत्थापक नीचे की ओर जा रहा है इसलिए उसके द्वारा तय की गई दूरी को – पूर्णांक में दर्शाया गया है)

खान कूपक द्वारा कुल तय की गई दूरी \[=\text{ }(-350m)\text{ }+\text{ }\left( -10m \right)\text{ }=\text{ }-360m\]

चूकि, खान कूपक -6 m नीचे 1 मिनट में जाता है

इसलिए, खान कूपक -1 m नीचे \[\dfrac{1}{-6}\]मिनट में जाता है

इसलिए खान कूपक \[-360\text{ }m\] नीचे -\[\dfrac{360\text{ }}{\text{ }-6\text{ }}=\text{ }60\]मिनट में \[=1\]घंटा

NCERT Solutions for Class 7 Maths Chapter 1 Integers In Hindi

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