NCERT Solutions for Class 10 Maths In Hindi Chapter 15 Probability

प्रश्नावली 15.1

1. निमनलिखित कथनों को पूरा कीजिए :

(i) घटना ‘E’  की प्रायिकता + घटना ‘E’ नहीं की प्रायिकता ______ है।

उत्तर: घटना ‘E’  की प्रायिकता + घटना ‘E’ नहीं की प्रायिकता __\[1\]__ है। 

(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती _______ है। ऐसी घटना ______ कहलाती है। 

उत्तर: उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है __ \[0\]__ है। ऐसी घटना __असंभव घटना__ कहलाती है। 

(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है_______है। ऐसी घटना ______ कहलाती है। 

उत्तर: उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है__\[1\]__है। ऐसी घटना __निश्चित घटना__ कहलाती है। 

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओ की प्रायिकता का योग ______ है। 

उत्तर: किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओ की प्रायिकता का योग __\[1\]__ है। 

(v) किसी घटना की प्रायकता _______से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा _______ से व्हॉटई या उसके बराबर होती है। 

उत्तर: किसी घटना की प्रायकता __\[0\]__से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा __\[1\]__ से व्हॉटई या उसके बराबर होती है।  

2. निमानलिखित प्रयोगों मे से किन - किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक है ? स्पष्ट कीजिए। 

(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है। 

उत्तर: प्रयोग मे, “एक ड्राइवर एक कार शुरू करने का प्रयास करता है। कार शुरू होती है या शुरू नहीं होती है”, हमे यह मानने के लिए उचित नहीं है कि प्रत्येक परिणाम दूसरे के रूप मे होने की संभावना है। इस प्रकार, प्रयोग कि कोई समान संभावना नहीं है। 

(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबाल को बास्केट मे डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट मे बॉल डाल पट्टी है या नहीं डाल पट्टी है। 

उत्तर: प्रयोग मे, “एक खिलाड़ी बास्केटबाल शूट करने का प्रयास करता है। वह गोली चलती है या चूक जाती है”, हम यह मानने के लिए उचित नहीं है कि प्रत्येक परिणाम दूसरे के रूप मे होने की संभावना है। इस प्रकार, प्रयोग की कोई समान संभावना नहीं है। 

(iii) एक सत्य – असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा। 

उत्तर: प्रयोग मे “ सच्चे-झूठे सवाल का जवाब देने के लिए एक परीक्षण किया जाता है। उत्तर सही या गलत है। “हम पहले से जानते है, कि परिणाम दो संभावित तरीकों मे से एक का नेत्रत्व कर सकता है- या तो सही या गलत। हम यथोचित रूप से मान सकते है कि प्रत्येक परिणाम, सही या गलत, अन्य के रूप मे होने की संभावना है। इस प्रकार, सही या गलत परिणाम समान रूप से होने की संभावना है। 

(iv) एक बच्चे का जनम होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है। 

उत्तर: प्रयोग मे, “ एक बच्चा पैदा हुआ है, यह एक लड़का है या लड़की है”। हम जानते है, अग्रिम मे कि परिणाम दो संभावित परिणामों मे से एक मे नेत्रत्व कर सकता है- या तो लड़का या लड़की। हमे यह मानने के लिए उचित है कि प्रत्येक परिणाम, लड़का या लड़की, अन्य के रूप मे होने की संभावना है। इस प्रकार, परिणाम लड़के या लड़की समान रूप से होने की संभावना है। 

3. फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णह लेने के लिए की कौन – सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?

उत्तर: सिक्के को उछालना एक उचित तरीका माना जाता है जो यह तय करता है कि किस टीम को फुटबॉल खेल की शुरुआत मे गेंद मिलनी चैये क्योंकि हम जानते है कि सिक्के का उछाल केवल दो संभावित तरीकों मे से एक मे आता है- या तो सिर ऊपर या पुंछ। यूपी। यह यथोचित रूप से माना जा सकता है कि प्रत्येक परिणाम, सिर या पुंछ, अन्य के रूप मे होने की संभावना है, अर्थात, परिणाम सिर और पुंछ समान रूप से होने की संभावना है। तो एक सिक्के के उछलने का परिणाम पूरी तरह से अप्रत्याशित है। 

4. निमानलिखित मे से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?

(a) \[\dfrac{{\text{2}}}{{\text{3}}}\]

(b) \[{\text{ - 1}}{\text{.5}}\]

(c) \[{\text{15% }}\]

(d) \[{\text{0}}{\text{.7 }}\]

उत्तर: (b) \[{\text{ - 1}}{\text{.5}}\]

5. यदि P(E) = \[{\text{0}}{\text{.05 }}\]है, तो ‘E’ नहीं की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: क्योंकि \[{\text{P(E) + P(E')  =  1}}\]

\[\therefore {\text{ P(E')  =  1 - P(E)  =  1 - 0}}{\text{.05  =  0}}{\text{.95}}\]

6. एक थेले मे केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलिया है। मालिनी बिना थेले मे झाँके उसमे से एक गोली निकलती है। इसकी क्या प्रायिकता है की वह निकाली गई गोली :

(i) संतरे की महक वाली है?

उत्तर: केवल नींबू के स्वाद वाली कैन्डी वाले बैग से एक नारंगी स्वाद वाली कैन्डी से बाहर निकालने के प्रयोग से संबंधित घटना पर विचार करे। चूंकि कोई परिणाम नारंगी स्वाद वाली कैन्डी नहीं देता है, इसलिए यह एक असंभव घटना है इसलिए इसकी संभावना \[0\] है। 

(ii) नीबू की महक वाली है? 

उत्तर: केवल नींबू के स्वाद वाली कैन्डी वाले बैग से नींबू के स्वाद वाली कैन्डी लेने की घटना पर विचार करे। यह घटना एक निश्चित घटना है इसलिए इसकी संभावना \[1\] है। 

7. यह दिया हुआ है की \[{\text{3 }}\]विद्यार्थियों के एक समूह मे से \[2\] विद्यार्थियों के जनांदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता \[{\text{0}}{\text{.992}}\] है। इसकी क्या प्रायिकता है की इन \[2\] विद्यार्थियों का जनांदिन एक ही दिन हो?

उत्तर: बता दे कि एक ही दिन जनांदिन है। 

\[ \Rightarrow \;{\text{P(E)}}\;{\text{ = }}\;{\text{0}}{\text{.992}}\]

लेकिन \[{\text{P(E) + P(E)}}\;{\text{ = }}\;1\]

\[{\text{P( E)}}\;{\text{ = }}\;1 - {\text{P(E)}}\;{\text{ = }}\;{\text{1 - 0}}{\text{.992}}\;{\text{ = }}\;{\text{0}}{\text{.008}}\]

8. एक थेले मे \[{\text{3 }}\]लाल और \[5\] काली गेंदे है। इस थेले मे से एक गेंद यदूचछया निकली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद

(i) लाल हो 

उत्तर: एक बैग मे \[3 + 5\; = \;8\] बॉल है। इन \[8\] गेंदों मे से, एक को \[8\]तरीकों से चुना जा सकता है। 

प्राथमिक घटना की कुल संख्या = \[8\]

चूंकि बैग मे \[3\] लाल गेंदे है, इसलिए एक लाल गेंद को \[3\] तरीकों से खींच जा सकता है। 

प्राथमिक घटना की अनुकूल संख्या = \[3\]

इसलिए P(एक लाल गेंद हो रही है) = \[\dfrac{3}{8}\]

(ii) लाल नहीं हो 

उत्तर: चूंकि बैग मे \[3\] लाल गेंदों के साथ \[5\]काली गेंदे होती है, इसलिए एक काली (लाल नहीं) गेंद को \[5\] तरीकों से खींच जा सकता है। 

प्राथमिक घटना की अनुकूल संख्या = \[5\]

इसलिए P(एक काली गेंद हो रही है) = \[\dfrac{5}{8}\]

9. एक डब्बे मे \[{\text{5}}\]लाल कंचे, \[{\text{8}}\] सफेद कंचे और \[4\]हरे कंचे है। इस डिब्बे मे से एक कंचा यदहच्छया निकाल जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाल गया कंचा 

(i) लाल है 

उत्तर: बॉक्स मे कुल संख्या = \[5 + 8 + 4\; = \;17\]

प्राथमिक घटनाओ की कुल संख्या = \[17\]

बॉक्स मे \[{\text{5}}\] लाल पत्थर है। 

प्राथमिक घटनाओ की अनुकूल संख्या = \[{\text{5}}\]

P(एक लाल संगमरमर प्राप्त करना) = \[\dfrac{5}{{17}}\]

(ii) सफेद है 

उत्तर: बॉक्स मे \[{\text{8}}\] सफेद पत्थर है। 

प्राथमिक घटनाओ की अनुकूल संख्या = \[{\text{8}}\]

P(एक सफेद संगमरमर हो रही है) = \[\dfrac{8}{{17}}\]

(iii) हरा नहीं है 

उत्तर: बॉक्स मे \[13\] पत्थर है, जो हरे नहीं है। 

प्राथमिक घटनाओ की अनुकूल संख्या = \[13\]

P(हरा संगमरमर नहीं मिल रहा है) = \[\dfrac{{13}}{{17}}\]

10. एक पिग्गी बैंक मे \[{\text{50}}\] पैसे के सों सिक्के है। \[{\text{1}}\]रु के पचास सिक्के है, \[2\]रु के बीस सिक्के और \[5\]रु के दस सिक्के है। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उलट करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है की वह गिर हुआ सिक्का 

(i) \[50\] पैसे का होगा 

उत्तर: गुल्लक मे सिक्कों की कुल संख्या = \[100 + 50 + 20 + 10\; = \;180\]

प्राथमिक घटनाओ की कुल संख्या = \[180\]

गुल्लक मे \[50\] पैसे के सों सिक्के है। 

प्राथमिक घटनाओ की अनुकूल संख्या = \[100\]

P(एक पैसे सिक्का से बाहर) = \[\dfrac{{{\text{100}}}}{{{\text{180}}}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{\text{5}}}{{\text{9}}}\]

(ii) \[5\] रु का नहीं होगा 

उत्तर: \[100 + 50 + 20\; = \;170\] रुपए के अलावा अन्य सिक्के है। \[5\] का सिक्का। 

प्राथमिक घटनाओ की कुल संख्या = \[170\]

P(\[5\] रुपए के अलावा एक सिक्के से बाहर आना) = \[\dfrac{{170}}{{180}}\; = \;\dfrac{{17}}{{18}}\]

11. गोपी अपने जल जीव कुंड के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमे \[{\text{5}}\] नर मछली और \[8\] मादा मछली है, मे से एक मछली यदयच्चाय उसे देने के लिए निकलती है। इसकी क्या प्रायिकता है की निकली गई मछली नर मछली है?

उत्तर: टैंक मे मछली की कुल संख्या = \[5 + 8\; = \;13\]

प्राथमिक घटनाओ की कुल संख्या = \[13\]

टैंक मे \[{\text{5}}\] नर मचलिया है। 

प्राथमिक घटनाओ की अनुकूल संख्या = \[{\text{5}}\] 

इसलिए, P(एक नर मछली को बाहर निकालना) = \[\dfrac{5}{{13}}\]

12. संयोग के एक खेल मे एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम मे आने के बाद संख्याओ \[{\text{2,3,4,5,6,7}}\]और \[{\text{8}}\] मे से किसी एक संख्या को इंगित करता है। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित 

(i) \[{\text{8}}\] को करेगा 

उत्तर: \[{\text{8}}\] संख्याओ मे से, एक तीर \[{\text{8}}\] संख्याओ मे से किसी भी संख्या को इंगित कर सकता है। 

अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[{\text{8}}\]

परिणामों की अनुकूल संख्या = \[1\]

इसलिए, P(तीर अंक \[{\text{8}}\] पर) = \[\dfrac{1}{8}\]

(ii) एक विषम संख्या को करेगा 

उत्तर: परिणामों की अनुकूल संख्या = \[4\]

इसलिए, P(अल विषम संख्या मे तीर बिन्दु) = \[\dfrac{4}{8}\; = \;12\]

(iii) \[{\text{2}}\] से बड़ी संख्या को करेगा 

उत्तर: परिणामों की अनुकूल संख्या = \[6\]

इसलिए, P(एक संख्या पर तीर अंक > \[2\]) = \[\dfrac{6}{8}\; = \;\dfrac{3}{4}\]

(iv) \[9\] से चोटी संख्या को करेगा 

उत्तर: परिणामों की अनुकूल संख्या = \[8\]

इसलिए, P(एक संख्या पर तीर बिन्दु > \[2\]) = \[\dfrac{8}{8}\; = \;1\]

13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निमानलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

(i) एक अभाज्य संख्या 

उत्तर: पासा फेंकने के अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[6\]

एक पासा पर, अभाज्य संखयाए \[2,3,5\] है। 

इसलिए, अनुकूल परिणाम = \[3\]

इसलिए P(एक अभाज्य संख्या प्राप्त) = \[\dfrac{3}{6}\; = \;\dfrac{1}{2}\]

(ii) \[2\]और\[6\] के बीच स्थित कोई संख्या 

उत्तर: एक पास पर \[2\]और\[6\] के बीच की संख्या \[3,4,5\] है। 

इसलिए, अनुकूल परिणाम = \[3\]

इसलिए P(\[2\]और\[6\] के बीच एक संख्या प्राप्त करना) = \[\dfrac{3}{6}\; = \;\dfrac{1}{2}\]

(iii) एक विषम संख्या 

उत्तर: एक पासा पर, विषम संख्या \[1,3,5\] है। 

इसलिए, अनुकूल परिणाम = \[3\]

इसलिए P(एक विषम संख्या प्राप्त) = \[\dfrac{3}{6}\; = \;\dfrac{1}{2}\]

14. \[{\text{52}}\] पत्तों की याची प्रकार से फेटी गई एक गड्डी मे से एक पत्ता निकाल जाता है। निमानलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) लाल रंग का बादशाह 

उत्तर: अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[52\]

लाल कार्ड के दो सूट है, अर्थात हीरा और हृदय। प्रत्येक सूट मे एक राज्य होता है। 

अनुकूल परिणाम = \[2\]

इसलिए P(लाल रंग का एक राजा) = \[\dfrac{2}{{52}}\; = \;\dfrac{1}{{26}}\]

(ii) एक फैस कार्ड अर्थात तस्वीर वाला पत्ता 

उत्तर: एक पैक मे \[12\] फैस कार्ड होते है। 

अनुकूल परिणाम = \[12\]

इसलिए P(एक फैस कार्ड) = \[\dfrac{{12}}{{52}}\; = \;\dfrac{3}{{13}}\]

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता 

उत्तर: लाल कार्ड के दो सूट है, अर्थात हीरा और हृदय। प्रत्येक सूट मे \[3\] फैस कार्ड होते है। 

अनुकूल परिणाम = \[2 \times 3\; = \;6\]

इसलिए P(एक लाल चेहरा कार्ड) = \[\dfrac{6}{{52}}\; = \;\dfrac{3}{{26}}\]

(iv) पान का गुलाम 

उत्तर: दिल के केवल अल जैक है। 

अनुकूल परिणाम = \[1\]

इसलिए P(दिलों का जैक) = \[\dfrac{1}{{52}}\]

(v) हुकूम का पत्ता 

उत्तर: कुदाल के \[13\] पत्ते है 

अनुकूल परिणाम = \[13\] 

इसलिए P(एक कुदाल) = \[\dfrac{{13}}{{52}}\; = \;\dfrac{1}{4}\]

(vi) एक ईट की बेगम 

उत्तर: हीरे के केवल एक रानी है। 

अनुकूल परिणाम = \[1\]

इसलिए P(हीरे की रानी) = \[\dfrac{1}{{52}}\]

15. ताश के पाँच पत्तों ईट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है। फिर इनमे से यदच्छया एक पत्ता निकाल जाता है। 

(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है 

उत्तर: अनुकूल परिणामों की संख्या = \[5\]

केवल एक रानी है। 

अनुकूल परिणाम = \[1\]

इसलिए P(रानी) = \[\dfrac{1}{5}\]

(ii) यदि बेगम निकाल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाल गया पत्

(a). एक इक्का है 

उत्तर: इस स्थिति मे, अनुमुल परिणामों की कुल संख्या = \[4\]

अनुकूल परिणाम = \[1\]

इसलिए P(एक इक्का) =  \[\dfrac{1}{4}\]

(b). एक बेगम है 

उत्तर: रानी के रूप मे कोई कार्ड नहीं है। 

अनुकूल परिणाम = \[0\]

इसलिए P(रानी) = \[0\]

16. किसी कारण \[{\text{12}}\] खराब पेन \[{\text{132}}\] अच्छे पेनों मे मिल गए है। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण मे से, एक पेन यदच्छया निकाल जाता है। निकले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[132 + 12\; = \;144\]

अनुकूल परिणामों की संख्या = \[132\]

इसलिए P(एक अच्छी कलम प्राप्त करना) = \[\dfrac{{132}}{{144}}\; = \;\dfrac{{11}}{{12}}\]

17. (i) \[{\text{20}}\] बल्बों के एक समूह मे \[{\text{4}}\] बल्ब खराब है। इस समूह मे से एक बल्ब यदच्छया निकाल जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?

उत्तर: अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[20\]

अनुकूल परिणामों की संख्या = \[4\]

इसलिए P(एक दोषपूर्ण बल्ब प्राप्त करना) = \[\dfrac{4}{{20}}\; = \;\dfrac{1}{5}\]

(ii) मान लीजिए (i) मे निकाल गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों मे से एक बल्ब यदच्छया निकाल जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?

उत्तर: अब अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[20 - 1\; = \;19\]

फावऔरबले परिणामों की संख्या = \[19 - 4\; = \;15\]

इसलिए P(एक गैर-दोषपूर्ण बल्ब प्राप्त करना) = \[\dfrac{{15}}{{19}}\] 

18. एक पेटी मे \[{\text{90}}\] डिस्क है, जिन पर \[{\text{1}}\] से \[{\text{90}}\] तक संखयाए अंकित है। यदि इस पेटी मे से एक डिस्क यदच्छया निकली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी 

(i) दो अंकों की एक संख्या 

उत्तर: अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[90\]

\[{\text{1}}\] से \[{\text{90}}\] तक दो- अंकीय संख्याओ की संख्या \[90 - 9\; = \;81\] है 

अनुकूल परिणाम = \[81\]

इसलिए P(दो अंकों की संख्या वाला एक डिस्क प्राप्त कर रहा है) = \[\dfrac{{81}}{{90}}\]

(ii) एक पूर्ण व संख्या 

उत्तर: \[{\text{1}}\] से \[{\text{90}}\] तक, पूर्ण वर्ग \[1,4,9,16,25,36,49,64,81\] है 

अनुकूल परिणाम = \[9\]

इसलिए P(एक पूर्ण वर्ग प्राप्त) = \[\dfrac{9}{{90}}\; = \;\dfrac{1}{{10}}\]

(iii) \[5\] से विभाज्य एक संख्या 

उत्तर: \[{\text{1}}\] से \[{\text{90}}\] से संख्या विभाज्य \[5\] से \[18\] कर रहे है 

अनुकूल परिणाम = \[18\]

इसलिए P( से विभाज्य संख्या प्राप्त करना) = \[\dfrac{{18}}{{90}}\; = \;\dfrac{1}{5}\]

19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निमानलिखित अक्षर अंकित है: A B C D E इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) A  प्राप्त हो 

उत्तर: अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[6\]

अनुकूल परिणाम की संख्या = \[2\]

इसलिए P(एक पत्र A प्राप्त करना) = \[\dfrac{2}{6}\; = \;\dfrac{1}{3}\]

(ii) D प्राप्त हो 

उत्तर: अनुकूल परिणाम की संख्या = \[1\]

इसलिए P(पत्र D प्राप्त करना) = \[\dfrac{1}{6}\]

20. मान लीजिए आप एक पासे को आकर्ति \[15.6\] मे दर्शाये आयताकार छेत्र मे यदच्छया रूप से गिराते है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा \[{\text{1m}}\] व्यास वाले वृत के अंदर गिरेगा ?

उत्तर: दिए गए आँकड़े का कुल छेत्रफल = 3 × 2= 6 m²

और सर्कल का छेत्र = \[{\text{π }}{{\text{r}}^{\text{2}}}\;{\text{ = }}\;{\text{π (}}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{\text{π }}}{{\text{4}}}\;{{\text{m}}^{\text{2}}}\]

इसलिए P(सर्कल के अंदर उतारने के लिए मारना) = \[\dfrac{{{\text{π /4}}}}{{\text{6}}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{\text{π }}}{{{\text{24}}}}\]

21. \[{\text{144}}\] बॉल पेनों के एक समूह मे \[{\text{20}}\]बॉल पेन खराब है और शेष अच्छे है। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परंतु खरं पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि 

(i) आप वह पेन खरीदेंगे 

उत्तर: अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[144\]

गैर- दोषपूर्ण पेन की संख्या = \[144 - 20\; = \;124\]

अनुकूल परिणामों की संख्या = \[124\]

इसलिए P(वह खरीदेगा) = P(एक गैर- दोषपूर्ण कलम) = \[\dfrac{{124}}{{144}}\; = \;\dfrac{{31}}{{36}}\]

(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे 

उत्तर: अनुकूल परिणामों की संख्या = \[20\]

इसलिए P(वह खरीदेगा) = P(एक दोषपूर्ण कलम) = \[\dfrac{{20}}{{144}}\; = \;\dfrac{5}{{36}}\]

22. उदाहरण 3 को देखिए। 

(i) निमानलिखित सारणी को पूरा कीजिए 

उत्तर: \[3\; = \;2\] के रूप मे प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम 

इसलिए P(\[3\] के रूप मे राशि प्राप्त करना) = \[\dfrac{2}{{36}}\; = \;\dfrac{1}{{18}}\]

\[4\; = \;3\] के रूप मे प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम 

इसलिए P(\[4\] के रूप मे राशि प्राप्त करना) = \[\dfrac{3}{{36}}\; = \;\dfrac{1}{{12}}\]

\[5\; = \;4\] के रूप मे प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम 

इसलिए P(\[5\] के रूप मे योग प्राप्त करना) = \[\dfrac{4}{{26}}\; = \;\dfrac{1}{9}\]

\[6\; = \;5\] के रूप मे प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम 

इसलिए P(\[6\] के रूप मे योग प्राप्त करना) = \[\dfrac{5}{{36}}\]

\[7\; = \;6\] के रूप मे प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम 

इसलिए P(\[7\] के रूप मे योग प्राप्त करना) = \[\dfrac{6}{{36}}\; = \;\dfrac{1}{6}\]

\[9\; = \;4\] के रूप मे प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम 

इसलिए P(\[9\] के रूप मे योग प्राप्त करना) = \[\dfrac{4}{{36}}\; = \;\dfrac{1}{9}\]

\[10\; = \;3\] के रूप मे प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम 

इसलिए P(\[10\] के रूप मे राशि प्राप्त करना) = \[\dfrac{3}{{36}}\; = \;\dfrac{1}{{12}}\]

\[11\; = \;2\] के रूप मे प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम 

इसलिए P(\[11\] के रूप मे राशि प्राप्त करना) = \[\dfrac{2}{{36}}\; = \;\dfrac{1}{{18}}\]

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि यह कुल परिणाम \[{\text{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}}\] और \[{\text{12}}\] है। अतः प्रत्येक की प्रायिकता पाता है। क्या आप इस तर्क से सहमत है? सकारण उत्तर दीजिए। 

उत्तर: दो पासा फेंकने के कुल अनुकूल परिणाम है 

\[(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\]

\[(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\]

\[(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\]

\[(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\]

\[(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\]

\[(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\]

अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[36\]

23. एक खेल मे एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिय जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ़ खेल मे जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ़ के खेल मे हार जाने की प्रायकता परिकलित कीजिए। 

उत्तर: प्रयोग से जुड़े परिणाम एकसिक्का तीन बार उछाल जाता है 

HHH, HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT, TTT

इसलिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[8\]

अनुकूल परिणामों की संख्या = \[6\]

इसलिए आवश्यक संभावना = \[\dfrac{6}{8}\; = \;\dfrac{3}{4}\]

24. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि 

(i) \[{\text{5}}\] किसी भी बार मे नहीं आएगा 

उत्तर: एक पासा फेंके जाने वाले प्रयोग से जुड़े परिणाम दो बार है 

\[(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\]

\[(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\]

\[(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\]

\[(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\]

\[(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\]

\[(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\]

इसलिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या = \[36\]

अब निमानलिखित घटनाओ पर विचार करे 

A = पहला थ्रो \[5\]दिखाता है और B = दूसरा थ्रो \[5\]

इसलिए प्रत्येक मामले मे अनुकूल परिणामों की संख्या = \[6\]

\[{\text{P(A)}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{\text{6}}}{{{\text{36}}}}\;{\text{,}}\;{\text{P( B)}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{\text{6}}}{{{\text{36}}}}\]

\[{\text{P( A)}}\;{\text{ = }}\;1 - \dfrac{{\text{6}}}{{{\text{36}}}}\; = \;\dfrac{{30}}{{36}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{5}{6}{\text{,}}\;{\text{P( B)}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{5}{{\text{6}}}\]

आवश्यक संभावना =  \[\dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6}\; = \;\dfrac{{25}}{{36}}\]

(ii) \[{\text{5}}\] कम से कम एक बार आएगा 

[संकेत: एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासो को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है।]

उत्तर: दो बार डाई फेंकने के यदच्छिक प्रयोग से जुड़ा नमूना स्थान है। 

फिर, N(S) = \[36\]

AB = पहला और दूसरा थ्रो शू \[5\] , यानी प्रत्येक थ्रो मे \[5\] प्राप्त करना। 

हमारे पास A = \[(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\]

और B = \[(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)\]

\[{\text{P(A)}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{\text{6}}}{{{\text{36}}}}{\text{,}}\;{\text{P(B)}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{\text{6}}}{{{\text{36}}}}{\text{,}}\;{\text{P(A}} \cap {\text{B)}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{36}}}}\]

आवश्यक संभावना = संभावना है कि दो मे से कम से कम एक फेंकता \[5\] दिखाता है

\[{\text{P(A}} \cup {\text{B)}}\;{\text{ = }}\;{\text{P(A)}} + {\text{P(B) - P(A}} \cap {\text{B)}}\;\]

\[{\text{P(A}} \cup {\text{B)}}\;{\text{ = }}\;\dfrac{6}{{36}} + \dfrac{6}{{36}} - \dfrac{1}{{36}}\; = \;\dfrac{{11}}{{36}}\]

25. निमानलिखित मे से कौन से तर्क सत्य है और कौन से तर्क असत्य है? सकारण उत्तर दीजिए। 

(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम- दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमे से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \[\dfrac{1}{3}\] है। 

उत्तर: गलत: हम परिणामों को इस तरह वर्गीकर्त कर सकते है लेकिन वे तब भी नहीं है, ‘समान रूप से’। इसका कारण यह है कि प्रत्येक का एक दो तरह से हो सकता है- पहला सिक्के पर एक पुंछ से और दूसरा सिक्का पर पुंछ या दूसरे सिक्के पर एक ऑउनच से और दूसरा सिक्का पर। यह दो सिर (या दो पुंछ) मे दो बार संभावना बनाता है। 

(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम- एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \[\dfrac{1}{2}\] है।  

उत्तर: सही: प्रश्न मे जिन दो परिणामों पर विचार किया गया है, वे समान रूप से संभावित है। 

प्रश्नावली 15.2  

1. दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह मे जा रहे है (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य किन जाने के परिणाम समप्रायिक है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर 

उत्तर: 

मंगलवार से शनिवार तक कुल पाँच दिन है। इसलिए एकता और श्याम इन पाँच दिनों मे दुकान पर जा सकते है। अतः उनके दुकान पर जाने के कुल पचीस तरीके होंगे। 

(i) एक ही दिन जाएंगे 

उत्तर: एक ही दिन जाने के कुल पाँच तरीके निमानलिखित होंगे:

(मं, मं), (बु, बु), (गु, गु), (शु, शु), (श, श)

P(दोनों एक ही दिन जाएंगे) = \[\dfrac{5}{{25}}\; = \;\dfrac{1}{5}\]

(ii) कर्मागत दिनों मे जाएंगे 

उत्तर: क्रमागत दिनों मे जाने के कुल आठ तरीके निमानलिखित होंगे:

(मं, बु), (बु, गु), (गु, शु), (शु, श), (बु, मं), (गु, बु), (शु, गु), (शु, शु)

इसलिए P(क्रमागत दिनों मे जाएंगे) = \[\dfrac{8}{{25}}\]

(iii) भिन्न- भिन्न दिनों मे जाएंगे 

उत्तर: P(दोनों एक ही दिन जाएंगे = \[\dfrac{1}{5}\]

P(दोनों भिन्न- भिन्न दिनों मे जाएंगे) = \[1 - \dfrac{1}{5}\; = \;\dfrac{4}{5}\]

2. एक पासे के फलकों पर संखयाए \[1,2,3,4,5,6\] लिखी हुई है। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संखयाए के योग लिख लिए जाते है। दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ संभावित मान निमानलिखित सारणी मे दिए गए है इस सारणी को पूरा कीजिए। 

(i) इसकी क्या प्रायिकता है की कुल योग एक सम संख्या होगा? 

उत्तर: दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त कुछ संभावित तरीके = 

कुल तरीके जब कुल योग एक सं संख्या है = \[18\]

P(कुल योग एक सं संख्या है) = \[\dfrac{{18}}{{36}}\; = \;\dfrac{1}{2}\]

(ii) \[6\] क्या है 

उत्तर: कुल तरीके जब कुल योग = \[4\]

P(कुल योग \[6\] है) = \[\dfrac{4}{{36}}\; = \;\dfrac{1}{9}\]

(iii) कम से कम \[6\] क्या है 

उत्तर: कुल तरीके जब कुल योग कम से कम \[6\] है = \[15\]

P(कुल योग कम से कम \[6\] है) = \[\dfrac{{15}}{{36}}\; = \;\dfrac{5}{{12}}\]

3. एक थैले मे \[5\] लाल गेंद और कुछ नीली गेंद है यदि इस थैले मे से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगनी गई, तो थैले मे नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: माना नीली गेंदों की कुल संख्या = \[{\text{x}}\]

लाल गेंदों की कुल संख्या =  \[5\]

कुल गेंदे = \[{\text{x + 5}}\]

P(लाल गेंदे) = \[\dfrac{{\text{5}}}{{{\text{5 + x}}}}\]

P(नीली गेंदे) = \[\dfrac{{\text{x}}}{{{\text{5 + x}}}}\]

दिया है, 

\[{\text{2(5/5 + x) = x/5 + x = 10(x + 5) = x × x + 5x = x × x - 5x - 50 = 0}}\]

\[{\text{x × x - 10x + 5x - 50 = 0}}\]

\[{\text{x(x - 10) + 5(x - 10) = 0}}\]

\[{\text{(x - 10)(x + 5) = 0}}\]

\[{\text{x}}\;{\text{ = }}\;{\text{10,}}\;{\text{x}}\;{\text{ = }}\;{\text{ - 5}}\]

क्योंकि गेंदों की संख्या ऋणातमक नहीं हो सकती, अतः नीली गेंदों की कुल संख्या दस है। 

4. एक पेटी मे \[12\] गेंदे है, जिसमे से \[{\text{x}}\] गेंद काली है। यदि इसमे से अल गेंद यदच्छया निकली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है। यदि इस पेटी मे \[{\text{6}}\] काली गेंद और डाल दी जाए, तो काली फेन्ड निकालने की प्रायिकता पहले प्रायिकता की दुगनी हो जाती है। \[{\text{x}}\] का मान ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: कुल गेंदे = \[12\]

काली गेंदे = \[{\text{x}}\] 

P(काली गेंदे) = \[\dfrac{{\text{x}}}{{{\text{12}}}}\]

यदि इस पेटी मे \[{\text{6}}\] काली गेंदे और डाल दी जाए तो 

कुल गेंदे = \[{\text{12 + 6}}\;{\text{ = }}\;{\text{18}}\]

कुल काली गेंदे = \[{\text{x + 6}}\]

P(काली गेंदे) = \[\dfrac{{{\text{x + 6}}}}{{18}}\]

प्प्रशन के अनुसार, \[{\text{2(x/12) = x + 6/18}}\]

\[{\text{3x}}\;{\text{ = }}\;{\text{x + 6}}\]

\[{\text{2x}}\;{\text{ = }}\;{\text{6}}\; \Rightarrow \;{\text{x}}\;{\text{ = }}\;{\text{3}}\]

5. एक जार मे \[{\text{24}}\] कंचे है जिनमे कुछ हरे है और शेष नीले है। यदि इस जार मे से यदच्छया एक कंचा निकाला जाता इस कंचे के हर होने की प्रायिकता है। जार मे निकले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: कुल कंचे = \[{\text{24}}\] 

माना हर कंचों की कुल संख्या = \[{\text{x}}\]

अतः नीले कंचों की कुल संख्या = \[{\text{24 - x}}\]

P(हरे कंचे) = \[\dfrac{{\text{x}}}{{{\text{24}}}}\]

प्रशन के अनुसार, \[\dfrac{{\text{x}}}{{{\text{24}}}}\; = \;\dfrac{2}{3}\; \Rightarrow \;{\text{x}}\;{\text{ = }}\;{\text{16}}\]

इसलिए हरे कंचों की कुल संख्या = \[{\text{16}}\]

अतः, नीले कंचों की कुल संख्या = \[{\text{24 - x}}\;{\text{ = }}\;{\text{24 - 16}}\;{\text{ = }}\;{\text{38}}\]

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