NCERT Solutions for Class 7 Maths Chapter 6 The Triangle and Its Properties In Hindi PDF Download
अभ्यास 6.1
1. \[\Delta \mathbf{PQR}\] में भुजा रेखा \[\overline{\mathbf{QR}}\] का मध्य बिंदु \[\mathbf{D}\] है।
(i) \[\overline{PM}\] _______है।
(ii) \[PD\] _______है।
(iii) क्या \[QM\text{ }=\text{ }MR?\]
उत्तर:
(i) \[\overline{PM}\] -ऊँचाई है।
(ii) \[PD\] माध्यिका है।
(iii) नहीं
2. निम्न के लिए अनुमान से आकृति खींचिए।
(a) त्रिभुज \[\mathbf{ABC}\] में, \[\mathbf{BE}\] एक माध्यिका है।
उत्तर:
(b) \[\Delta \mathbf{PQR}\] में, \[\mathbf{PQ}\] और \[\mathbf{PR}\] त्रिभुज के शीर्ष लम्ब हैं।
उत्तर:
(c) \[\Delta \mathbf{XYZ}\] में, \[\mathbf{YL}\] एक शीर्ष लम्ब उसके बहिर्भाग में है।
उत्तर:
3. आकृति खींचकर पुष्टि कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्षलम्ब और माध्यिका एक ही रेखाखंड हो सकता है।
उत्तर: हम जानते है, कि समद्विबाहु त्रिभुज मे दो भुजाए समान होती है।नीचे दिये गए त्रिभुज \[ABC\] मे \[AB=AC\] है। इसड्की शीर्षलंब व मध्यिका दोनों खिचते है।दोनों एक कि बिन्दु पर मिलते है।
त्रिभुज ABC और त्रिभुज \[ACD\] मे,
\[AB=AC\] (समबाहु त्रिभुज है)
\[BD=DC\] (\[AD\] माध्यिका \[BC\] को बराबर भागो मे बांटती है)
\[AD=AD~\] (दोनों त्रिभुज उभयनिष्ठ है)
त्रिभुज \[ABD=\]त्रिभुज \[ACD\] (भुजा –भुजा –भुजा प्रतिबंध से )
कोण \[ADB=\]कोण\[ADC\] (सर्वांगसम नियम से )
माना , कोण\[ADC=x\]
$ x+x={{180}^{0}} $
$ x={{90}^{0}}$
अतः , \[AD\] त्रिभुज कि शीर्षलंब व मध्यिका दोनों है।
अभ्यास 6.2
1. निम्न आकृतियों में अज्ञात बाह्य कोण \[\mathbf{X}\] का मान ज्ञात कीजिए।
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
उत्तर: हम जानते है,कि बाह्य कोण \[=\]अन्तः सम्मुख कोण का योग
(i) $ \text{ x =5}{{\text{0}}^{0}}\text{+7}{{\text{0}}^{0}}\text{=12}{{\text{0}}^{0}}$
(ii) $ \text{x =6}{{\text{5}}^{0}}\text{+4}{{\text{5}}^{0}}\text{=11}{{\text{0}}^{0}}$
(iii) $ \text{x =4}{{\text{0}}^{0}}\text{+3}{{\text{0}}^{0}}\text{=7}{{\text{0}}^{0}} $
(iv) $ \text{x =6}{{\text{0}}^{0}}\text{+6}{{\text{0}}^{0}}\text{=12}{{\text{0}}^{0}} $
(v) $ \text{x =5}{{\text{0}}^{0}}\text{+5}{{\text{0}}^{0}}\text{=10}{{\text{0}}^{0}} $
(vi) $\text{x =3}{{\text{0}}^{0}}\text{+6}{{\text{0}}^{0}}\text{=9}{{\text{0}}^{0}}$
2. निम्न आकृतियों में अज्ञात अंत:कोण \[\mathbf{x}\] का मान ज्ञात कीजिए।
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
उत्तर: हम जानते है,कि बाह्य कोण \[=\]अन्तः सम्मुख कोण का योग
(i) $ \text{ x =11}{{\text{5}}^{0}}\text{-5}{{\text{0}}^{0}}\text{=6}{{\text{5}}^{0}} $
(ii) $ \text{x =10}{{\text{0}}^{0}}-{{70}^{0}}\text{=3}{{\text{0}}^{0}} $
(iii) $ \text{x =12}{{\text{5}}^{0}}\text{+9}{{\text{0}}^{0}}\text{=3}{{\text{5}}^{0}} $
(iv) $ \text{x =12}{{\text{0}}^{0}}\text{-6}{{\text{0}}^{0}}\text{=6}{{\text{0}}^{0}} $
(v) $ \text{x =8}{{\text{0}}^{0}}\text{-3}{{\text{0}}^{0}}\text{=5}{{\text{0}}^{0}} $
(vi) $ \text{x =7}{{\text{5}}^{0}}\text{-3}{{\text{5}}^{0}}\text{=4}{{\text{0}}^{0}} $
अभ्यास 6.3
1. निम्नाकित आकृतियों में अज्ञात x का मान ज्ञात कीजिए।
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
उत्तर: (संकेत:त्रिभुज के तीनों कोणो का योग 180 डिग्री के बराबर होता है।)
इसप्रकार
(i) $ \text{ 5}{{\text{0}}^{o}}\text{+6}{{\text{0}}^{o}}\text{+x=18}{{\text{0}}^{o}} $
$\text{x=18}{{\text{0}}^{o}}\text{-5}{{\text{0}}^{o}}\text{-6}{{\text{0}}^{o}} =70{}^\circ $
(ii) $\text{ 3}{{\text{0}}^{0}}+{{90}^{0}}+x=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$x=\text{18}{{\text{0}}^{o}}-3{{\text{0}}^{o}}-{{90}^{0}} =60{}^\circ $
(iii) $\text{ }3{{\text{0}}^{o}}+\text{11}{{\text{0}}^{o}}+x=\text{18}{{\text{0}}^{o}}$
$x=\text{18}{{\text{0}}^{o}}-\text{11}{{\text{0}}^{o}}-3{{\text{0}}^{o}} =40{}^\circ$
(iv) $\text{ x+x+5}{{\text{0}}^{o}}=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$2x={{130}^{o}}$
$ x=65{}^\circ $
(v) $ \text{ x+x+x=18}{{\text{0}}^{o}} $
$3x=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$ x=60{}^\circ $
(vi) $\text{ 2x+x+9}{{\text{0}}^{o}}=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$3x={{90}^{0}} $
$ x=30{}^\circ $
2. निम्नाकित आकृतियों में अज्ञात \[\mathbf{x}\] और \[\mathbf{y}\] का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: \[(i){{50}^{0}}+x+y=\text{18}{{\text{0}}^{o}}.............(1)\]
दी गई आकृति से ,
$ {{120}^{0}}+y=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$ y=\text{18}{{\text{0}}^{o}}-\text{12}{{\text{0}}^{o}} $
$ y=\text{6}{{\text{0}}^{o}} $
समीकरण 1 मे मान रखने पर,
$ {{50}^{0}}+x+\text{6}{{\text{0}}^{o}}=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$x=\text{18}{{\text{0}}^{o}}-\text{6}{{\text{0}}^{o}}-{{50}^{0}} =7{{\text{0}}^{o}}$
(ii)
\[{{50}^{0}}+x+y=\text{18}{{\text{0}}^{o}}\]
दी गई आकृति से ,
\[y={{80}^{o}}\]
$ {{50}^{0}}+x+\text{8}{{\text{0}}^{o}}=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$ x=\text{18}{{\text{0}}^{o}}-8{{\text{0}}^{o}}-{{50}^{0}} = 5{{\text{0}}^{o}} $
(iii)
$ {{50}^{0}}+y+6{{\text{0}}^{o}}=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$ y=\text{18}{{\text{0}}^{o}}-6{{\text{0}}^{o}}-{{50}^{0}} = 7{{\text{0}}^{o}} $
आकृति से ,
$ x+y=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$ x+7{{\text{0}}^{o}}=\text{18}{{\text{0}}^{o}}$
$ x=\text{18}{{\text{0}}^{o}}-{{70}^{0}} ={{110}^{0}} $
(iv)
$ {{30}^{0}}+y+x=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
क्योकि, $ x=\text{6}{{\text{0}}^{o}}$
इस प्रकार,
$ {{30}^{0}}+y+\text{6}{{\text{0}}^{o}}=\text{18}{{\text{0}}^{o}} = 9{{\text{0}}^{o}} $
(v)
$ x+y+x=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$ 2x+y=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
क्योकि $ y=9{{\text{0}}^{o}} $
इस प्रकार $ 2x+9{{\text{0}}^{o}}=\text{18}{{\text{0}}^{o}} $
$ 2x=9{{\text{0}}^{o}} $
$ x={{45}^{0}} $
(vi)
उत्तर:आकृति से \[x=y=\text{6}{{\text{0}}^{o}}\]
अभ्यास 6.4
1. निम्न दी हुई भुजाओं की मापों से क्या कोई त्रिभुज संभव है?
उत्तर: त्रिभुज तभी संभव है जब किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक है।
(i) $\text{ }2\text{ }cm,\text{ }3\text{ }cm\text{ }5\text{ }cm $
$ 2+3=5 $
$ 2+5 > 3 $
$ 5+3 > 2 $
संभव नहीं है।
$\left( ii \right)\text{ }3\text{ }cm,\text{ }6\text{ }cm,\text{ }7\text{ }cm $
$ 3+6>7 $
$ 6+7>3 $
$ 3+7>6 $
संभव है।
(iii) $\text{ }6\text{ }cm,\text{ }3\text{ }cm,\text{ }2\text{ }cm $
$ 6+3 > 2 $
$ 3+2 < 6 $
$ 6+2 > 3 $
संभव नहीं है।
2. त्रिभुज \[\mathbf{PQR}\] के अभ्यंतर में कोई बिंदु \[\mathbf{O}\] लीजिए। क्या यह सही है कि
(i). \[OP\text{ }+\text{ }OQ\text{ }>\text{ }PQ?\]
(ii). \[OQ\text{ }+\text{ }OR\text{ }>\text{ }QR?\]
(iii). \[~~OR\text{ }+\text{ }OP\text{ }>\text{ }RP?\]
उत्तर: तीनों विकल्पों में दी गई भुजाएँ त्रिभुज की भुजाएँ हैं। त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है। इसलिए तीनों विकल्प सही हैं।
प्रश्न 3: त्रिभुज \[\mathbf{ABC}\] की एक माध्यिका \[\mathbf{AM}\] है। बताइए कि क्या \[\mathbf{AB}\text{ }+\mathbf{BC}+\mathbf{CA}>\mathbf{2}\text{ }\mathbf{AM}?\]
(संकेत: \[ \Delta ABM\] तथा \[\Delta AMC\] की भुजाओं पर विचार कीजिए।)
उत्तर: \[\Delta ABM\] में,
\[AB\text{ }+\text{ }BM>AM\]
\[\Delta AMC\] में,
\[AC\text{ }+\text{ }MC\text{ }>\text{ }AM\]
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर
\[AB\text{ }+\text{ }BM\text{ }+\text{ }MC\text{ }+\text{ }AC\text{ }>\text{ }AM\text{ }+\text{ }AM\]
या, \[AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }+\text{ }AC\text{ }>\text{ }2AM\]
4. \[\mathbf{ABCD}\] एक चतुर्भुज है। क्या \[\mathbf{AB}\text{ }+\text{ }\mathbf{BC}\text{ }+\text{ }\mathbf{CD}\text{ }+\text{ }\mathbf{DA}\text{ }>\text{ }\mathbf{AC}\text{ }+\text{ }\mathbf{BD}?\]
उत्तर: \[\Delta ABC\]
\[AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }>\text{ }AC\]
\[\Delta ADC\]
$ AD\text{ }+\text{ }DC\text{ }>\text{ }AC $
$ \Delta DAB $
$ DA\text{ }+\text{ }AB\text{ }>\text{ }DB $
$ \Delta DCB $
$ DC\text{ }+\text{ }BC\text{ }>\text{ }DB $
$ AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }+\text{ }AD\text{ }+\text{ }DC\text{ }+\text{ }DA\text{ }+\text{ }AB\text{ }+\text{ }DC\text{ }+\text{ }BC\text{ }>\text{ }2\left( AC\text{ }+\text{ }DB \right) $
$ 2\left( AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }+\text{ }CD\text{ }+\text{ }AD \right)\text{ }>\text{ }2\left( AC\text{ }+\text{ }DB \right) $
$ AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }+\text{ }CD\text{ }+\text{ }AD\text{ }>\text{ }AC\text{ }+\text{ }BD $
इस प्रकार, दी हुई असमिका सही है|
5. \[\mathbf{ABCD}\] एक चतुर्भुज है। क्या \[\mathbf{AB}\text{ }+\text{ }\mathbf{BC}\text{ }+\text{ }\mathbf{CD}\text{ }+\text{ }\mathbf{DA}\text{ }<\text{ }\mathbf{2}\left( \mathbf{AC}\text{ }+\text{ }\mathbf{BD} \right)\]?
उत्तर: पिछले प्रश्न से,
$ 2\left( AB+BC+CD+AD \right)>2\left( AC\text{ }+DB \right) $
$ AB+BC+CD+AD>AC+BD $
दोनों समीकरणों से यह सिद्ध होता है कि
\[AB\text{ }+\text{ }BC\text{ }+\text{ }CD\text{ }+\text{ }DA\text{ }<\text{ }2\left( AC\text{ }+\text{ }BD \right)\]
इस प्रकार, दी हुई असमिका सही है|
6. एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप \[\mathbf{12cm}\] तथा \[\mathbf{15cm}\]है। इसकी तीसरी भुजा की माप किन दो मापों के बीच होनी चाहिए?
उत्तर: \[12\text{ }+\text{ }15\text{ }=\text{ }27\]
इसलिए तीसरी भुजा की माप \[27\] सेमी से कम होनी चाहिए
\[12\] में कम से कम \[3\] जोड़ने से योगफल \[15\] होता है। इसलिए तीसरी भुजा की माप \[3\]से लेकर \[26\] तक कोई भी संख्या हो सकती है।
NCERT Solutions for Class 7 Maths Chapter 6 The Triangle and Its Properties In Hindi
Topics Covered in Chapter 6 of Class 7 Maths NCERT Solutions
NCERT Solutions Class 7 Maths Chapter 6 The Triangle and its Properties are mainly based on the followings topics:
Triangles and their different elements
The classification of triangles based on their side lengths
The angle measurements
Medians of a triangle
Altitudes of a triangle
The exterior angle of a triangle and its property
Angle sum property of a triangle
Two special triangles: Equilateral and Isosceles
Sum of the lengths of two sides of a triangle
Right-angled triangles and the Pythagoras theorem
On the basis of different measurements of the sides of the triangles, triangles are categorized as isosceles, scalene, and equilateral. Based on the angles, triangles are classified as acute-angled triangles, right-angled triangles, and obtuse-angled triangles. These concepts are discussed with practical examples in this chapter.
The major takeaways from this chapter are the properties that the triangles possess and also how they are differentiated. Below are the key learnings from this chapter.
The total sum of the angles of any given triangle is equal to 180 degrees.
Angle Sum Property: X + Y + Z = 180 degrees, where X, Y, and Z are the respective angles of the triangle.
Pythagoras theorem formula states that the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the base and the perpendicular of the right-angled triangle.
Pythagoras Theorem Formula : Perpendicular2 + Base2 = Hypotenuse2
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