NCERT Solutions for Class 11 Maths In Hindi Chapter 7 Permutations and Combinations

प्रश्नावली 7.1

1. अंक $1,2,3,4$ और ${\mathbf{5}}$ कितनी ${\mathbf{3}}$ अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि

(i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो ?

(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो ?

उत्तर: ${\mathbf{3}}$अंकीय संख्याओं में तीन स्थान होते हैं - इकाई, दहाई और सैकडा

(i) पाँचों अंकों मे से कोई भी अंक इकाई के स्थान पर भरा जा सकता है अतः इकाई के स्थान को भरने के ${\mathbf{5}}$ तरीके हैं।

चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है तो दहाई के स्थान को भरने के  ${\mathbf{5}}$ तरीके हैं।

इसी प्रकार सैकडे के स्थान को भरने के ${\mathbf{5}}$ तरीके हैं।

अतः ${\mathbf{3}}$ अंकीय संख्याओं की संख्या $ = 5 \times 5 \times 5 = 125$

(ii) पाँचों अंकों मे से कोई भी अंक इकाई के स्थान पर भरा जा सकता है अतः इकाई के स्थान को भरने के ${\mathbf{5}}$ तरीके हैं।

चंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है तो दहाई के स्थान को भरने के $4$ तरीके हैं क्योंकि ${\mathbf{5}}$ मे से एक अंक का चयन पहले ही कर लिया जाएगा ।

इसी प्रकार सैकडे के स्थान को भरने के व ${\mathbf{3}}$ तरीके हैं क्योंकि बची हुई $4$ संख्याओं मे से एक अंक का चयन पहले ही कर लिया जाएगा ।

अतः ${\mathbf{3}}$ अंकीय संख्याओं की संख्या $ = 5 \times 4 \times 3 = 60$अंकीय संख्याओं में तीन स्थान होते हैं

2. अंक $1,2,3,4,5,6$ कितनी $3$ अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती हो ?

उत्तर: सम संख्याएँ बनाने के लिए इकाई के स्थान को ${\mathbf{2}},{\mathbf{4}}$या $6$ से भरना होगा । अतः इकाई को भरने के $3$ तरीके हैं।

चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है तो दहाई और सैकडे के स्थान को भरने के $6$ तरीके हैं।

अतः $3$ अंकीय सम संख्याओं की संख्या $6 \times 6 \times 3$

3. अंग्रेज़ी वर्णमाला के प्रथम ${\mathbf{10}}$ अक्षरों से कितने $4$ अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है?

उत्तर: $4$ अक्षर के कोड में चार स्थान हैं और हमें $10$ अक्षरों से $4$ अक्षर का कोड बनाना है अतः प्रथम स्थान को भरने के $10$ तरीके है।$7$

चूंकि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है तो दूसरे स्थान को भरने के $9$ तरीके हैं।

इसी तरह तीसरे स्थान को भरने के $8$ और चौथे स्थान को भरने के $7$ तरीके हैं।

अतः $4$ अक्षर के कोड की संख्या $ = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

4. ${\mathbf{0}}$से $9$ तक के अंकों का प्रयोग का करके कितने ${\mathbf{5}}$ अंकीय टेलीफोन नंबर बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक नंबर ${\mathbf{67}}$ से प्रारंभ होता है और कोई अंक एक बार से अधिक नहीं आता है ?

उत्तर: पाँच अंकीय नंबर मे ${\mathbf{5}}$ स्थान हैं। पहले और दूसरे स्थान पर $6$ और $7$ को रखा है। अतः पहले और दूसरे स्थान को एक तरीके से भरा जा सकता है ।

बकी के तीन स्थानों को $8$ संख्याओं से भरा जा सकता है। तीसरे स्थान को $8$ तरीकों से भरा जा सकता है ।

चूंकि एक अंक एक ही बार आ सकता है इसलिए चौथे स्थान को  और पाँचवे स्थान को $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।

$ \Rightarrow  5$ अंकीय टेलीफोन नंबरों की संख्या $ = 1 \times 1 \times 8 \times 7 \times 6 = 336$

5. एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है और परिणाम अंकित कर लिए जाते हैं। परिणामों की संभव संख्या क्या है 

उत्तर: एक बार सिक्का उछालने पर चित्त $({\mathbf{H}})$या पट $({\mathbf{T}})$दोनों मे से एक परिणाम आने की संभावना है।

एक बार सिक्का उछालने से आने वाले परिणाम $ =   2$

$ \Rightarrow $ तीन बार सिक्का उछालने से आने वाले परिणाम $ =  2 \times 2 \times 2  =  8$

सिक्का उछालने पर आने वाले परिणाम कुछ इस प्रकार हैं|

${\text{TTT, TTH, THH, THT, HHH, HHT, HTT,}} {\text{HTH}}$

6. भित्र-भिन्न रंगों के झंडे दिए हुए हैं। इनसे कितने विभित्न संकेत बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक संकेत में ${\mathbf{2}}$ झंडों, एक के नीचे दूसरे, के प्रयोग की आवश्यकता पडती है ?

उत्तर:  झंडे से नीचे का स्थान भरने के तरीके $ = 5$

चूंकि एक झंडे का प्रयोग हो चुका है तो ऊपर के स्थान को भरने के लिए $4$ झंडे शेष हैं।

अतः, झंडे से नीचे का स्थान भरने के तरीके $4$

कुल संकेतों की संख्या $ =  5 \times 4  =   20$

प्रश्नावली 7.2

1. मान निकालिए :

(i) $8!$

(ii) $4! - 3!$

(i) उत्तर:

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 $

(ii) उत्तर:

$4!  -  3!  =  (4 \times 3 \times 2 \times 1) - (3 \times 2 \times 1) = 24 - 6  =  18$

2. क्या ${\text{3!  +  4!  =  7! ?}}$

उत्तर: $3!  =  3  \times  2  \times  1  =  6$

$4!  =  4  \times  3  \times  2  \times  1  =  24 $

$ 7!  =  7  \times  6  \times  5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1  =  5040 $

$  {\text{3!  +  4!  =  6  +  24  =  30}} \ne {\text{5040}} $

$  {\text{3!  +  4!}} \ne {\text{7!}} $

3. $\dfrac{{8!}}{{6!  \times  2!}}$ का परिकलन कीजिए ।

उत्तर: $\dfrac{{8!}}{{6!  \times  2!}}  =  \dfrac{8  \times  7  \times  6!}{{6!  \times  2!}}$

$ =  \dfrac{8  \times  7}{{2}}$

$ =  4  \times  7  =  28$

4:  यदि $\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{6!}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{7!}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{x}}}{{{\text{8!}}}}{\text{,  x}}$का मान ज्ञात कीजिए ।

उत्तर: दिया है $\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{6!}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{7!}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{x}}}{{{\text{8!}}}}$

$  \therefore  \dfrac{1}{{6!}} +\dfrac{1}{{7  \times  6!}} =  \dfrac{x}{{8  \times  7  \times  6!}}$

$  \dfrac{7  +  1}{{7  \times  6!}} =  \dfrac{x}{{8  \times  7  \times  6!}}$

$   \Rightarrow \dfrac{8}{{7  \times  6!}}  =  \dfrac{x}{{8  \times  7  \times  6!}}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{{8}} =  8$

$ \Rightarrow x  =  64 $

5. $\dfrac{{{\text{n!}}}}{{{\text{(n  -  r)!}}}}$का मान निकालिए जब

(i) ${\text{n  =  6, r  =  2}}$

(ii) ${\text{n  =  9, r  =  5}}$

(i) उत्तर:

${\text{n  =  6, r  =  2}}$

$  \dfrac{{{\text{n!}}}}{{{\text{(n  -  r)!}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{6!}}}}{{{\text{(6  -  2)!}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{6!}}}}{{{\text{4!}}}} $

$ = \dfrac{6  \times  5  \times  4!}{{4!}} =  6  \times  5  =  30 $

(ii) उत्तर:

${\text{n  =  9, r  =  5}}$

$  \dfrac{{{\text{n!}}}}{{{\text{(n  -  r)!}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{9!}}}}{{{\text{(9  -  5)!}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{9!}}}}{{{\text{4!}}}} $

$   =  \dfrac{9  \times  8  \times  7  \times  6  \times  5  \times  4!}{{4!}}  =  9  \times  8  \times  7  \times  6  \times  5  =  15120$

प्रश्नावली 7.3

1. $1$ से $9$ तक के अंकों को प्रयोग करके कितनी 3 अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?

उत्तर: $3$ अंकीय संख्या में तीन स्थान होते हैं: इकाई, दहाई और सैकड़ा।इकाई के स्थान को $9$ तरीकों से, दहाई के स्थान को $8$ तरीकों से और सैकड़े के स्थान को $7$ तरीकों से भरा जा सकता है।

$3$ अंकीय संख्याओं की संख्या $ =  9 \times 8 \times 7  =   504$

2. किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी $4$ अंकीय संख्याएँ होती हैं?

उत्तर: $0$ से ${\text{9}}$ तक कुल $10$ अंक हैं। $10$ में से  $4$अंक लेकर संख्याओं की संख्या

$ = { ^{10}}{{\text{P}}_4} =  10*9*8*7  =  5640$

इनमें वे संख्याएं सम्मिलित हैं जिनमें हजार के स्थान पर $0$ है। 

$0$ को हजार के स्थान पर रखने पर और शेष स्थानों पर कोई तीन अंक रखने पर कुल संख्याओं की संख्या

$  {\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{9}}}{{\text{P}}_{\text{3}}} $

$  {{ =  9  \times  8  \times  7  =  504}} $

चार अंकीय संख्याओं की संख्या

$ =  5040 - 504  =  4536$

3. अंक $1,2,3,4,6,7$को प्रयुक्त करने से कितनी $3$ अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?

उत्तर: $2,4,6$में से किसी एक को इकाई के स्थान पर रखने से सम संख्या बनती है।

इकाई का स्थान $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।दहाई के स्थान को $5$ तरीकों से और सैकड़े के स्थान को $4$ तरीकों से भरा जा सकता है। $3$ अंकीय सम संख्याओं की संख्या $ =  3 \times 5 \times 4  =  60$

4. अंक $1,2,3,4,5$के उपयोग द्वारा कितनी $4$ अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं। यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें से कितनी समा

संख्याएँ होंगी?

उत्तर: $5$ में से $4$ अंक लेकर संख्याओं की संख्या 

$ = { ^5}{{\text{P}}_4} = 5 \times 4 \times 3 \times 2  =  120$

इकाई के स्थान पर $2$ या $4$ रखने से संख्या सम बनती है।

इस प्रकार इकाई का स्थान $2$ तरीकों से, दहाई का स्थान $4$ तरीकों से, सैकड़े का स्थान $3$ तरीकों से और हजार का स्थान $2$ तरीकों से भरा जा सकता है।

$4$ अंकीय सम संख्याओं की संख्या $ =  2 \times 4 \times 3 \times 2  =  48$

5. ${\mathbf{8}}$व्यक्तियों की समिति में, हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक सें अधिक पद पर नहीं रह सकता है?

उत्तर: ${\mathbf{8}}$ व्यक्तियों में से एक को अध्यक्ष चुनने के तरीके $ =  {\mathbf{8}}$

अध्यक्ष चुनने के बाद $7$ व्यक्तियों में से एक उपाध्यक्ष चुना जाना है।

उपाध्यक्ष चुनने के तरीके $ =  7$

एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष को $8 \times 7  =  56$तरीकों से चुना जा सकता है।

6. यदि $^{{\text{n - 1}}}{{\text{p}}_{\text{3}}}^{\text{n}}{{\text{P}}_{\text{4}}}{\text{  =  1 : 9 }}$तो ${\text{n}}$खोजो ?

उत्तर:  हम जानते हैं कि $^{\text{n}}{{\text{P}}_{\text{r}}}  =  n (n  -  1) (n  -  r  +  1)$

$^{{\text{n - 1}}}{{\text{P}}_{\text{3}}}{\text{  =  (n  -  1)(n  -  2)(n  -  3)}} $

$  ^{\text{n}}{{\text{P}}_{\text{4}}}{\text{  =  n(n  -  1)(n  -  2)(n  -  3)}} $

$  ^{{\text{n - 1}}}{{\text{p}}_{\text{3}}}{\text{ }}{{\text{/}}^{{\text{ n}}}}{{\text{P}}_{\text{4}}}{\text{  =  1 : 9}} $

$  {\text{(n  -  1)(n  -  2)(n  -  3) / n(n  -  1)(n  -  2)(n  -  3)  =  1 : 9}} $

$  {\text{1/n  =  1 / 9n}} $

$  {\text{n  =  9}} $

7: ${\text{r}}$ का पता लगाएं

I: $^{\text{5}}{{\text{P}}_{\text{r}}}{\text{  =  2}}{{\text{.}}^{\text{6}}}{{\text{P}}_{{\text{r - 1}}}}$

2 $^{\text{5}}{{\text{P}}_{\text{r}}}{\text{  = }}{{\text{ }}^{\text{6}}}{{\text{P}}_{{\text{r - 1}}}}$ 

उत्तर: 

i. $ { ^{\text{n}}}{{\text{P}}_{\text{r}}}{\text{  =  n!/ (n  -  r)!}} $

${\text{ }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{P}}_{\text{r}}}{\text{  =  5! / (5  -  r)!}} $

$  {\text{ }}{{\text{ }}^{\text{6}}}{{\text{P}}_{{\text{r - 1}}}}{\text{  =  6!/(7  -  r)!}} $

$  {\text{ }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{P}}_{\text{r}}}{\text{  =  2}}{{\text{.}}^{\text{6}}}{{\text{P}}_{{\text{r - 1}}}} $

$  {\text{5! /(5  -  r)!  =  2}}{\text{.6!/(7  -  r)!}} $

$  {\text{5!/(5  -  r)!  =  2}}{\text{.6}}{\text{.5! / (7  -  r)(6  -  r)(5  -  r)!}} $

$  {\text{1  =  2 }}{\text{. 6/(7  -  r)(6  -  r)}} $

$  {\text{(7  -  r)(6  -  r)  =  12}} $

$  {{\text{r}}^{\text{2}}}{\text{  -  13r  +  42  -  12  =  0}} $

$  {{\text{r}}^{\text{2}}}{\text{  -  13r  +  30  =  0}} $

$  {\text{(r  -  10)(r  -  3)  =  0}} $

$  {\text{r  =  10, 3}} $

$7$ बड़ा नहीं हो सकता है $10$ से

इसलिए

${\text{r  = }} {\text{3 }}$

(ii) ${ ^{\text{n}}}{{\text{P}}_{\text{r}}}{\text{  =  n! / (n  -  r)!}}$

${\text{ }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{P}}_{\text{r}}}{\text{  =  5! / (5  -  r)!}}$

${\text{ }}{{\text{ }}^{\text{6}}}{{\text{P}}_{{\text{r - 1}}}}{\text{  =  6!/ (7  -  r)!}} $

$ {\text{ }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{P}}_{\text{r}}}{\text{  = }}{{\text{ }}^{\text{6}}}{{\text{P}}_{{\text{r - 1}}}} $

${\text{5! / (5  -  r)!  =  6!/(7  -  r)!}} $

${\text{5! / (5  -  r)!  =  6}}{\text{.5! / (7  -  r)(6  -  r)(5  -  r)!}}$

${\text{1  =  6/ (7  -  r)(6  -  r)}}$

${\text{(7  -  r)(6  -  r)  =  6}}$

${{\text{r}}^{\text{2}}}{\text{  -  13r  +  42  =  6}} $

${{\text{r}}^{\text{2}}}{\text{  -  13r  +  42  -  6  =  0}}$

${{\text{r}}^{\text{2}}}{\text{  -  13r  +  36  =  0}}$

${{\text{r}}^{\text{2}}}{\text{ -  9r  -  4r  +  36  =  0}} $ 

${\text{(r  -  9)(r  -  4)  =  0}} $

${\text{r  =  9, 4}}$

${\text{9}}$ बड़ा नहीं हो सकता है $5$ से

इसलिए

${\mathbf{r}}  =  {\mathbf{4}}$

8. ${\text{EQUATION}}$शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?

उत्तर: शब्द ${\text{EQUATION}}$ में कुल${\text{ 8}}$ अक्षर हैं।

इन अक्षरों से बनने वाले शब्दों ( जो अर्थपूर्ण या अर्थहीन हैं) की संख्या ${\text{  = }}$

${\text{8!/(8  -  8)!  =  8!}}$

${{ =  8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1  =  40320}} $

9. ${\text{MONDAY}}$शब्द के अक्षरों से कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है

(i) एक समय में $4$ अक्षर लिए जाते हैं?

(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं?

(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किन्तु प्रथम अक्षर एक स्वर है?

उत्तर: (i) ${\text{MONDAY}}$ शब्द में कुल ${\text{6}}$ अक्षर हैं।

${\text{6}}$ अक्षरों में से $4$ अक्षर एक समय पर लेकर कुल शब्दों की संख्या ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{6}}}{{\text{P}}_{\text{4}}}{\text{  =  }}{{\text{6}}^{\text{*}}}{{\text{5}}^{\text{*}}}{{\text{4}}^{\text{*}}}{\text{3  =  360}}$

जबकि शब्द अर्थपूर्ण या अर्थहीन हो सकते हैं।

(ii) सभी अक्षरों को एक साथ लेकर शब्दों की संख्या ${{ =  6!  =  6  \times  5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1  =  720}}$

(iii) पहले स्थान पर ${\text{A}}$ या ${\text{O}}$ रखना है। यह दो तरीकों से हो सकता है। शेष ${\text{ 5}}$ स्थान $5!  =  120$तरीकों से भरे जा सकते हैं।

उन शब्दों की संख्या जो स्वर से प्रारम्भ होते हैं ${{ =  2  \times  120  =  240}}$

10. ${\text{MISSISSIPPI}}$शब्द के अक्षरों से बने भित्न-भित्र क्रमचयों में से कितनों में चारों। एक साथ नहीं आते हैं?

उत्तर: शब्द ${\text{MISSISSIPPI}}$ में कुल 11 अक्षर हैं जिसमें ${\text{M}}$ एक बार; । चार बार; ${\text{S}}$ चार बार, तथा ${\text{P}}$ दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं।

${\text{MISSISSIPPI}}$ के कुल शब्दों की संख्या ${\text{ = 11! / 4! 4! 2!}}$

शब्दों की संख्या जब ${\text{MISSISSIPPI}}$ ${\text{4 i}}$ एक साथ हैं ${\text{ =  8! / 4! 2!}}$

हटाने के बाद छोड़ दिए गए शब्द ज${\text{MISSISSIPPI}}$ ${\text{4 i}}$ एक साथ हैं 

${\text{11! / 4! 4! 2!  -  8! / 4! 2! }}$

 $ {\text{ =  8! / 4! 2![11}}{\text{.10}}{\text{.9 / 4!  -  1]}} $

 $ {\text{ =  8! / 4! 2![990  -  24 / 24]}}$

$  {\text{ =  8! / 4! 2!*966 / 24}}$

$  {\text{ =  33,810}}$

11.${\text{PERMUTATIONS}}$शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि

(i) चयनित शब्द का प्रारंभ ${\text{P}}$से तथा अंत ${\text{S}}$से होता है।

(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं।

(iii) चयनित शब्द में ${\text{P}}$ तथा ${\text{S}}$ के मध्य सदैव ${\text{4}}$ अक्षर हों?

उत्तर: ${\text{PERMUTATIONS}}$ शब्द में कुल ${\mathbf{12}}$ अक्षर हैं जिनमें ${\text{T  -  2}}$ है, शेष सब भित्र हैं।

(i) ${\text{P}}$ और ${\text{9}}$ के स्थान स्थिर कर दिए गए हैं।

शेष अ६ से बने शब्दों की संख्या ${\text{ =  10 ! / 2 !  =  1814400}}$

(ii) सभी स्वरों को एक साथ कर दिया गया है।

$\left( {{\text{EUAIO}}} \right){\text{PRMTTNS}}$जिनमें 2${\text{T}}$ हैं।

उन शब्दों की सं${\text{9}}$ ख्या जब स्वर एक साथ है।

$ {\text{ =  8!/2!*5!}} $

$  {\text{ =  40320*12 / 120}} $

$  {\text{ =  2419200}}$

(iii) ${\text{P}}$ तथा 5 के बीच चार अक्षर होने चाहिए।

मान लीजिए ${\text{12}}$ अक्षरों के स्थानों का नाम ${\text{1,2,3,  }}..{\text{12}}$ रख दिया है। ${\text{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12}}$

इस प्रकार ${\text{P}}$ को स्थान $1,2,3,4,5,6,7$पर रखा जा सकता है तो ${\text{S}}$ को स्थान $6,7,8,9,10,11,12$ पर रखा जा सकता है।

${\text{P}}$ और ${\text{S}}$ को ${\text{7}}$ स्थानों पर रखा जा सकता है।

इसी प्रकार ${\text{S}}$ और ${\text{P}}$ को ${\text{7}}$ स्थानों पर रखा जा सकता है।

${\text{P}}$ और ${\text{S}}$ या ${\text{S}}$ और ${\text{P}}$ को $7 + 7 = 14$ तरीकों से रखा जा सकता शेष $10!/2!$अक्षरों को 10 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। उन शब्दों की संख्या जब ${\text{P}}$ और ${\text{S}}$ के बीच में 4 अक्षर हों

${\text{ =  10! / 2!*14  =  10!*7}} $

$  {\text{ =  25401600}} $

प्रश्नावली 7.4

1. यदि $^{\text{n}}{{\text{C}}_{\text{8}}}{\text{  = }}{{\text{ }}^{\text{n}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}$तो $^{\text{n}}{{\text{C}}_{\text{2}}}$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $^{\text{n}}{{\text{C}}_{\text{8}}}{\text{  = }}{{\text{ }}^{\text{n}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{  = }}{{\text{ }}^{\text{n}}}{{\text{C}}_{{\text{n - 2}}}}$

${\text{8  =  n  -  2}}$

${\text{n  =  10}}$

$^{\text{n}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{  = }}{{\text{ }}^{{\text{10}}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{10  \times  9}}}}{{{{1  \times  2}}}}{\text{  =  45}}$

2. ${\text{n}}$ का मान निकालिए, यदि

(i)$^{{\text{2n}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{ :}}{{\text{ }}^{\text{n}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{  =  12 : 1}}$ 

(ii) $^{{\text{2n}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{\text{ :}}{{\text{ }}^{\text{n}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{\text{  =  11 : 1}}$

उत्तर: (i) $^{{\text{2n}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{ :}}{{\text{ }}^{\text{n}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{  =  12 : 1}}$

$\dfrac{{{\text{2n(2n  -  1)(2n  -  2)}}}}{{{\text{1}}{\text{.2}}{\text{.3}}}}{\text{ : }}\dfrac{{{\text{n(n  -  1)}}}}{{{\text{1}}{\text{.2}}}}{\text{  =  12 : 1}}$

$\dfrac{{{\text{2n(2n  -  1)2(2n  -  1)}}}}{{\text{6}}}{{  \times  }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{n(n  -  1)}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{12}}}}{{\text{1}}}$

$\dfrac{{{\text{4(2n  -  1)}}}}{{\text{3}}}{\text{  =  12}}$

$\dfrac{{{{12  \times  3}}}}{{\text{4}}}{\text{  =  2n  -  1}}$ 

${\text{2n  -  1  =  9}}$

${\text{2n  =  10}}$

${\text{n  =  5}} $

(ii) $^{{\text{2n}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{\text{ :}}{{\text{ }}^{\text{n}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{\text{  =  11 : 1}}$

$\dfrac{{{\text{2n(2n  -  1)(2n  -  2)}}}}{{{\text{1}}{\text{.2}}{\text{.3}}}}{\text{ : }}\dfrac{{{\text{n(n  -  1)(n  -  2)}}}}{{{\text{1}}{\text{.2}}{\text{.3}}}}{\text{  =  11 : 1}} $

$\dfrac{{{\text{4n(2n  -  1)(n  -  1)}}}}{{{\text{n(n  -  1)(n  -  2)}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{11}}}}{{\text{1}}}$

${\text{4(2n  -  1)  =  11(n  -  2)}}$

${\text{8n  -  4  =  11n  -  22}}$

${\text{3n  =  22  -  4  =  18}} $

${\text{n  =  6}}$

3. किसी वृत्त पर स्थित ${\text{21}}$ बिन्दुओं से होकर जाने वाली कितनी जीनाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: ${\text{21}}$ बिन्दुओं में कोई ${\text{2}}$ बिन्दु मिलाने से एक जीवा प्राप्त होती है। जीवाओं की संख्या ${\text{ = }}{{\text{ }}^{{\text{21}}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{21  \times  20}}}}{{{{1  \times  2}}}}{\text{  =  210}}$

4. $5$ लड़के और $4$ लडकियों में से ${\text{3}}$ लड़के और ${\text{3}}$ लड़कियों की टीमें बनाने के कितने तरीके हैं?

उत्तर: $5$ लड़कों में से ${\text{3}}$ लड़कों के चुनने के तरीके ${ = ^5}{{\text{C}}_3}$

$4$ लड़कियों में से ${\text{3}}$ लड़कियाँ चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}$

$5$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से ${\text{3}}$ लड़के और ${\text{3}}$ लड़कियों की टीमों की संख्या

${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{\text{  = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{1}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{5}}{\text{.4}}}}{{{\text{1}}{\text{.2}}}}{{  \times  }}\dfrac{{\text{4}}}{{\text{1}}}{{  =  10  \times  4  =  40}}$

5. ${\text{6}}$ लाल रंग की, $5$ सफेद रंग की और $5$ नीले रंग की गेंदों में से ${\text{9}}$ गेंदों के चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, यादि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक $3$ रंग की गेंदें हैं।

उत्तर: ${\text{6}}$ लाल रंग की गेंदों में से ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}$ गेंदें चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{6}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}$

$5$ सफेद रंग की गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}$

$5$ नीले रंग की गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}$

इस प्रकार ${\text{6}}$ लाल, $5$ सफेद तथा $5$ नीले रंग की गेंदों में से प्रत्येक रंग की $3$ गेंदों के चुनने के तरीके

 ${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{6}}{\text{.5}}{\text{.4}}{\text{.3}}{\text{.2}}{\text{.1}}}}{{{\text{(3}}{\text{.2}}{\text{.1)(3}}{\text{.2}}{\text{.1)}}}}{{  \times  }}\dfrac{{{\text{5}}{\text{.4}}{\text{.3}}{\text{.2}}{\text{.1}}}}{{{\text{(1}}{\text{.2}}{\text{.3)(2}}{\text{.1)}}}}{{  \times  }}\dfrac{{{\text{5}}{\text{.4}}{\text{.3}}{\text{.2}}{\text{.1}}}}{{{\text{(1}}{\text{.2}}{\text{.3)(2}}{\text{.1)}}}}{{ =  20  \times  10  \times  10  = }}$

$2000$

6. $52$ पत्तों की एक गड्डी में से ${\text{5}}$ पत्तों को लेकर बनने वाले संचयों की संख्या निर्धीरित कीजिए, यदि प्रत्येक संचय में तथ्यतः एक इक्का हो।

उत्तर:  ताश की गड्डी में $4$ इक्के होते हैं।

$4$ में से ${\text{1}}$ इक्का चुत्रे के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{1}}}$

इक्का छोड़कर शेष पत्ते ${\text{ =  52  -  4  =  48}}$

$48$ पत्तों में से कोई $4$ अन्य पत्ते युनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{{\text{48}}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}$

ताश की गड्डी में $1$ इक्का और $4$ अन्य पत्ते चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{1}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{{\text{48}}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}$

${\text{ =  }}\dfrac{{\text{4}}}{{\text{1}}}{{  \times  }}\dfrac{{{{48  \times  47  \times  46  \times  45  \times  44!}}}}{{{\text{1}}{\text{.2}}{\text{.3}}{\text{.4(44!)}}}}{\text{  =  778320}}$

7. ${\text{17}}$ खिलाडियों में से, जिनमें केवल $5$ गेंदबाजी कर सकते हैं, एक क्रिकेट टीम के ${\text{11}}$ खिलाडियों का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि प्रत्येक टीम में तथ्यतः ${\text{4}}$गेंदबाज हैं?

उत्तर: $5$ गेंदबाज में ${\text{4}}$ गेंदबाज चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}$

शेष खिलाड़ी ${\text{ =  17  -  5  =  12}}$

शेष चुने जाने वाले खिलाड़ी $ = 11 - 4 = 7$

${\text{12}}$ खिलाड़ियों में से $7$ खिलाड़ी चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{{\text{12}}}}{{\text{C}}_{\text{7}}}$

कुल टीमों की संख्या ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{{\text{12}}}}{{\text{C}}_{\text{7}}}$

$ =  \dfrac{{5.4!}}{{4!}} \times \dfrac{{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}}{{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 7!}}  =  3960$

8. एक थैली में $5$ काली तथा $6$ लाल गेंदें हैं। ${\text{2}}$ काली तथा $3$ लाल गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या निर्धारित कीजिए।

उत्तर: $5$ काली गेंदों में से ${\text{2}}$ गेंदें चुनने के तरीके $ = { ^5}{{\text{C}}_2}$

$6$ लाल गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{6}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}$

$5$ काली व $6$ लाल गेंदों में से ${\text{2}}$ काली और $3$ लाल गेंदें चुनने के कुल तरीके

${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{6}}}{{\text{C}}_{\text{3}}} $

${\text{ = }}\dfrac{{{\text{5}}{\text{.4}}{\text{.3!}}}}{{{\text{1}}{\text{.2}}{\text{.3!}}}}{{  \times  }}\dfrac{{{\text{6}}{\text{.5}}{\text{.4}}{\text{.3!}}}}{{{\text{3}}{\text{.2}}{\text{.1}}{\text{.3!}}}}{\text{  =  200}}$

9. $9$ उपलश्ध पाठ्यक्रमों में से, एक विद्यार्थी $5$पाठयक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है, यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए $2$ विशिष्ट पाठ्यक्रमों अनिवार्य है?

उत्तर: $2$ पाठ्यक्रम अनिवार्य हों, तब शेष पाठ्यक्रम $ = 9 - 2 = 7$

${\text{7}}$ पाठयक्रमों में से $3$ पाठयक्रम चुनने के तरीके ${ = ^7}{{\text{C}}_3}$

अतः $9$ में से $5$ पाठयक्रम चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{7}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{7}}{\text{.6}}{\text{.5}}{\text{.4!}}}}{{{\text{3}}{\text{.2}}{\text{.1}}{\text{.4!}}}}{\text{  =  35}}$

प्रश्नावली A7

1. ${\text{ DAUGHTER}}$ शब्द के अक्षरों से, कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि प्रत्येक शब्द में ${\text{2}}$ स्वर तथा $3$ व्यंजन हों?

उत्तर: ${\text{ DAUGHTER}}$ शब्द में कुल $8$ अक्षर हैं जिसमें $3$ स्वर और ${\text{ 5}}$ व्यंजन हैं

$3$ स्वर में से ${\text{2}}$ स्वर चुनने के तरीके ${ = ^3}{C_2} = 3$

$5$ व्यंजनों में से $3$ व्यंजन चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}$

${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{5!}}}}{{{\text{3!}} \times {\text{2!}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{5}} \times {\text{4}}}}{{{{1  \times  2}}}}{\text{  =  10}}$

एक साथ ${\text{2}}$ स्वर और $3$ व्यंजन चुनने के तरीके $ = 3 \times 10 = 30$

प्रत्येक संचय में ${\text{ 5}}$ अक्षर हैं।

उनके क्रमसंचयों की संख्या ${\text{ =  5 !  =  120}}$

${\text{ DAUGHTER}}$ शब्द के ${\text{2}}$ स्वर और $3$ व्यंजन से बनने वाली शब्दों की संख्या $ = 30 \times 120 = 3600$

2. ${\text{EQUATION}}$शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि स्वर तथा व्यंजन एक साथ रहते है?

उत्तर:  ${\text{EQUATION}}$ शब्द में कुल $8$ अक्षर हैं जिनमें $5$ स्वर और $3$ व्यंजन है।

स्वर अक्षरों का क्रमसंचय $ = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

व्यंजन अक्षरों का क्रमसंचय $ = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

स्वरो और व्यंजनों के एक साथ रखने से अक्षरों को $2$ तरीकों से लिखा जा सकता है, पहले स्वर ले या व्यंजन लें।

${\text{EQUATION}}$ शब्द के अक्षरों से बनने वाले शब्द जब स्वर तथा व्यंजन एक साथ आएँ $ = 120 \times 6 \times 2 = 1440$

3. ${\text{9}}$ लड़के और $4$ लड़कियों से ${\text{7}}$ सदस्यों की एक समिति बनानी है, यह कितने प्रकार से किया सकता है, जबकि समिति में (i) तथ्यत: ${\text{3}}$ लड़कियाँ हैं? (ii) न्यूनतम ${\text{3}}$ लड़कियाँ हैं? (iii) अधिकतम ${\text{3}}$ लड़कियाँ हैं?

उत्तर: ${\text{9}}$ लड़के और $4$ लड़कियों से ${\text{7}}$ सदस्यों की एक समिति बनानी है।

(i) जब उस समिति में ${\text{3}}$ लड़कियाँ हों तो उस समिति में $4$ लड़के होंगे।

${\text{3}}$ लड़कियाँ और $4$ लड़के चुनने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{9}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}{{  =  4  \times  }}\dfrac{{{\text{9}} \times {{8  \times  7  \times  6}}}}{{{{1  \times  2  \times  3  \times  4}}}}{\text{  =  504}}$

(ii) समिति में कम से कम ${\text{3}}$ लड़कियाँ है तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेंगी:

(a)3 लड़कियाँ $4$ लड़के

इस तरह से समितियों को बनाने के कुल तरीके $^{\text{4}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{9}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}{{  =  4  \times  }}\dfrac{{{{9  \times  8  \times  7  \times  6}}}}{{{\text{1}} \times {{2  \times  3}} \times {\text{4}}}}{\text{  =  504}}$

(b) $4$ लड़कियाँ ${\text{3}}$ लड़के

इस तरह से समितियों को बनाने के कुल तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{9}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{\text{  =  1 x }}\dfrac{{{\text{9}} \times {\text{8}} \times {\text{7}}}}{{{{1  \times  2  \times  3}}}}{\text{  =  84}}$

कम से कम तीन लडकियां हो ऐसी कुल समितियां ${\text{ =  504  +  84  =   588}}$

(iii)यदि समिति में अधिकतम ${\text{3}}$ लड़कियाँ लेनी हैं तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेगी:

(a) कोई लड़की नहीं और ${\text{7}}$ लड़के (b) $1$ लड़की और $6$ लड़के

(c) ${\text{2}}$ लड़की और ${\text{5}}$ लड़के (a) ${\text{3}}$ लड़की और $4$ लड़के

अतः बनी कुल समितियाँ ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{0}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{9}}}{{\text{C}}_{\text{7}}}{\text{  + }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{1}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{9}}}{{\text{C}}_{\text{6}}}{\text{  + }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{9}}}{{\text{C}}_{\text{5}}}$

${\text{ + }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{9}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}$

${{1  \times  }}\dfrac{{{\text{9}} \times {\text{8}}}}{{{\text{1}} \times {\text{2}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{4}}}{{\text{1}}}{{  \times  }}\dfrac{{{\text{9}} \times {\text{8 }} \times {\text{ 7}}}}{{{{1 \times 2 \times 3}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{{\text{4}} \times {\text{3}}}}{{{\text{1}} \times {\text{2}}}}{{  \times  }}\dfrac{{{{9  \times  8  \times  7  \times  6}}}}{{{{1  \times  2  \times  3  \times  4}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{4}}}{{\text{1}}}{{  \times  }}\dfrac{{{{9  \times  8  \times  7  \times  6}}}}{{{{1  \times  2  \times  3}} \times {\text{4}}}}$

${{1  \times  36  +  4  \times  84  +  6  \times  126  +  4  \times  126  =  36  +  336  +  126  \times  (6  +  4)}} $

${\text{372  +  1260  =  1632}}$

4. यदि शब्द ${\text{EXAMINATION}}$के सभी अक्षरों से बने विभित्न क्रमचयों को शब्द कोष की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो ${\text{E}}$ से प्रारम्भ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं?

उत्तर: ${\text{A}}$ से प्रारंभ होने वाले शब्दों में ${\text{21,2N}}$और शेष भिन्र अक्षर हैं ऐसे कुल शब्दों की संख्या ${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{10!}}}}{{{\text{2!}} \times {\text{2!}}}}$

$ = \dfrac{{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{1 \times 2 \times 1 \times 2}} = 907200$

जब शब्द कोष के अक्षरों की तरह इन अक्षरों को क्रमबद्ध करेंगे तो अगला अक्षर ${\text{E}}$ होगा।

इसलिए ${\text{E}}$ से पहले बने शब्दों की संख्या ${\text{ =  907200}}$

5. ${\text{0,1,3,5,7}}$ तथा ${\text{9}}$ अंकों से, ${\text{10}}$ से विभाजित होने वाली और बिना पुनरावृत्ति किए कितनी $6$ अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती है

उत्तर: ${\text{10}}$ से विभाजित होने वाली के लिए इकाई के स्थान पर 0 होना चाहिए

अब हमें $6$ अंकीय संख्याएँ बनाने के लिए शेष ${\text{5}}$ स्थान और भरने हैं।

${\text{5}}$ स्थानों को भरने का क्रमसंचय $ = 5! = 120$

इसलिए $6$ अंकीय संख्याएं जो ${\text{10}}$ से विभाजित हो जाएँ उनकी संख्या ${\text{  =  120}}$

6. अंग्रेजी वर्णमाला में ${\text{5}}$ स्वर तथा $21$ व्यंजन हैं। इस वर्णमाला में $2$ भिन्र स्वरों और $2$ भित्न व्यंजनों वाले कितने शब्दों की रचना की जा सकती है?

उत्तर: ${\text{5 }}$ स्वरों में से $2$ स्वर लेकर संचयों की संख्या ${\text{ = }}{ ^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}$

$21$ व्यंजनों में से $2$व्यंजन लेकर संचयों की संख्या ${\text{ = }}{{\text{ }}^{{\text{21}}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}$

$2$ स्वरों और $2$ व्यंजन को चयन करने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{ x}}{{\text{ }}^{{\text{21}}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}$

$2$ स्वरों और $2$ व्यंजनों का क्रमसंचय ${\text{ =  4!}}$

$2$ स्वर और $2$ व्यंजन से बनने वाले शब्दों की संख्या ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{ x}}{{\text{ }}^{{\text{21}}}}{{\text{C}}_{\text{2}}}{\text{ x  =  4!}}$

${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{5}} \times {\text{4}}}}{{{\text{1}} \times {\text{2}}}}{{  \times  }}\dfrac{{{\text{21}} \times {\text{20}}}}{{{\text{1}} \times {\text{2}}}}{{  \times  24  =  10  \times  210  \times  24  =  50400}}$

7. किसी परीक्षा के एक प्रश्न पत्र में ${\text{12}}$ प्रश्न हैं जो क्रमशः ${\text{5 }}$ तथा $7$  प्रश्नों वाले दो खण्डों में विभक्त हैं अर्थात खंड | और खण्ड , एक विद्यार्थी का प्रत्येक खंड से न्यूनतम $3$ प्रश्नों का चयन करते हुए कुल $8$ प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है 

उत्तर:  एक विद्यार्थी को कुल $8$ प्रश्न हल करने हैं।

प्रत्येक खण्ड से कम से कम $3$ प्रश्न करने हैं।

भाग। और , से प्रश्रों को इस प्रकार चुनाव करने हैं।

(i) भाग |से $3$ तथा भाग II से ${\text{5}}$

(ii) भाग | से ${\text{4}}$ तथा भाग , से ${\text{4}}$

(iii) भाग | से ${\text{5}}$ तथा भाग , से $3$

इन प्रश्रों को चयन करने के कुल तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}{\text{ x}}{{\text{ }}^{\text{7}}}{{\text{C}}_{{\text{5 }}}}{\text{ + }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}{ \times ^{\text{7}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}{\text{  + }}{{\text{ }}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{5}}}{{  \times }}{{\text{ }}^{\text{7}}}{{\text{C}}_{\text{3}}}$

${\text{ =  }}\dfrac{{{{5  \times  4}}}}{{{{1  \times  2}}}}{{  \times  }}\dfrac{{{{7  \times  6}}}}{{{{1  \times  2}}}}{\text{ + }}\dfrac{{\text{5}}}{{\text{1}}}{{  \times  }}\dfrac{{{{7  \times  6  \times  5}}}}{{{{1  \times  2  \times  3}}}}{{  +  1  \times  }}\dfrac{{{{7  \times  6  \times  5}}}}{{{{1  \times  2  \times  3}}}} $

${{ =  10  \times  21  +  5  \times  35  +  35  =  420}}$

8. ${\text{52}}$ पत्तों की एक गड्डी में से ${\text{5}}$ पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि ${\text{5}}$ पत्तों के प्रत्येक चयन (संचय) में तथ्यतः एक बादशाह है।

उत्तर:  बादशाह वाले पत्तों की कुल संख्या ${\text{ =  4}}$

इनमें से एक पत्ता चयन करने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{1}}}{\text{  =  4}}$

अब शेष ${\text{48}}$ पत्तों में से ${\text{4}}$ पत्ते चयन करने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{{\text{48}}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}$

${\text{ = }}\dfrac{{{{48 x 47  \times  46 x 45}}}}{{{{1  \times  2  \times  3  \times  4}}}}{\text{  =  194580}}$

इस प्रकार ${\text{52}}$ पत्तों में से ${\text{5}}$ पत्ते लेकर (जिनमें से ${\text{1}}$ बादशाह है) संचयों की संख्या $^{\text{4}}{{\text{C}}_{\text{1}}}{\text{ x}}{{\text{ }}^{{\text{48}}}}{{\text{C}}_{\text{4}}}{{  =  4  \times  194580  =  778320}}$

9. $5$पुरुषों और $4$ महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाया जाता है कि महिलाएँ सम स्थानों पर बैठती हैं। इस प्रकार कितने विन्यास संभव है?

उत्तर: $4$ महिलाओं का $4$ सम स्थानों पर बेठाने के विन्यास $ = 4! = 24$

$5$पुरुषों को $5$ विषम स्थानों पर बैठाना के तरीके $ = 5! = 120$

$4$ महिलाओं को सम स्थानों पर और $5$ परुषों को विषम स्थानों पर बैठाने के विन्यास $ = 4!  \times  5! = 24 \times 120 = 2880$

10. $25$ विद्यार्थियों की एक कक्षा से $10$ का चयन एक भ्रमण दल के लिए किया जाता है। तीन विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?

उत्तर: $25$विद्यार्थियों में से $10$ विद्यार्थियों को भ्रमण दल में शामिल करना है। परन्तु $10$ विद्यार्थियों में से $3$ ऐसे हैं

(i) जब तीनों भ्रमण दल में शामिल होते हैं या (ii) तीनों नहीं होते है। 

(i) जब तीनों विद्यार्थी टीम में शामिल होते हैं तो भ्रमण दल का 

चयन करने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{{\text{22}}}}{{\text{C}}_{\text{7}}}$

(ii) जब तीनों विद्यार्थी भ्रमण दल में शामिल नहीं होते हैं तो चयन करने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{{\text{22}}}}{{\text{C}}_{{\text{10}}}}$ 

दोनो दशाओं में भ्रमण दल का चयन करने के तरीके ${\text{ = }}{{\text{ }}^{{\text{22}}}}{{\text{C}}_{\text{7}}}{\text{  + }}{{\text{ }}^{{\text{22}}}}{{\text{C}}_{{\text{10}}}}$

11. ${\text{ASSASSINATION}}$शब्द के अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं जबकि सभी 5एक साथ रहें?

उत्तर: ${\text{ASSASSINATION}}$ में कुल  अक्षर हैं जिसमें ${\text{A}}$ तीन बार, ${\text{S}}$ चार बार, ${\text{I}}$ दो बार तथा ${\text{N}}$ दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं।

${\text{4  -  S}}$को एक साथ रहना है। अतः उसे एक अक्षर मान लिया।

इस प्रकार इसमें ${\text{10}}$ अक्षर रह गए जिसमें ${\text{3  -  A, 2  -  I}}$और $2 - {\text{N}}$समान हैं।

इस शब्द के अक्षरों का विन्यास जब ${\text{S}}$ एक साथ हो

$\dfrac{{{{10  \times  9 \times 8}} \times {{7 \times 6 \times 5}} \times {\text{4}} \times {{3  \times  2  \times  1}}}}{{{{(3 \times 2 \times 1) }} \times {{(2}} \times {\text{1)(2}} \times {\text{1)}}}}{\text{  =  1512}}$

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 Permutations and Combinations in Hindi

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