NCERT Solutions for Class 11 Maths In Hindi Chapter 11 Conic Sections

प्रश्नावली $11.1$

निम्ननिखित प्रेश्न 1 से 5 तक प्र्रेक मे वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए।

1 केंद्र $(0,2)$ और त्रिज्या 2 इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $(0,2)$ और त्रिज्या 2 इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

अत: वृत का समीकरण

$(x-0{)}^2+(y-2{)}^2=2^2=x^2+y^2-4y=0$

2 केंद्र $(-2,3)$ और त्रिज्या 4 इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $(-2,3)$ और त्रिज्या 4 इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

अतः वृत का समीकरण

$[x-(-2){]}^2+(y-3{)}^2=4^2=x^2+4x+4+y^2-6y+9=16$

$=x^2+4x+y^2-6y-3=0$

3 केंद्र $(1,1)$ और त्रिज्या 1 इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$ और त्रिज्या ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

अत: वृत का समीकरण

${\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{(y-1{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{1^2}{12}}=x^2-x+{\displaystyle \frac{1}{4}}+y^2-{\displaystyle \frac{y}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{1^2}{144}}$

$144x^2-144x+36+144y^2-72y+9-1=0$

$144x^2-144x+144y^2-72y+44=0$

$4(36x^2-36x+36y^2-2y+11)=0$

$36x^2-36x+36y^2-2y+11=0$

4 केंद्र $(1,1)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $(1,1)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

अत:

वृत का समीकरण

$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2={\sqrt{2}}^2=x^2-2x+1+y^2-2y+1=2$

$x^2-2x+y^2-2y=0$

5. केंद्र $(-\mathrm{a},-\mathrm{b})$ और त्रिज्या ${\sqrt{\mathrm{a}}}^2-{\mathbf{b}}^2$ इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $(-a,-b)$ और त्रिज्या $\sqrt{a^2-b^2}$ इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

अत: वृत का समीकरण

$[x-(-a){]}^2+[y-(-b){]}^2={(\sqrt{a^2}-b^2)}^2=x^2+y^2+2ax+2by+2b^2=0$

निम्ननिखित प्रेश्न ${}_6$ से 9 तक प्र्तेक मे वृत का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

6.$\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{6}$

उत्तर: दिया गया है:

$(x+5{)}^2+(y-3{)}^2=36$

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

तुलना करने पर

$h=-5,k=3,r=6$

 अत: केंद्र $(-5,3)$ और त्रिज्या 6 इकाई

7. ${\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{45}\mathbf{=}\mathbf{0}$

उत्तर: दिया गया है:

$x^2+y^2-4x-8y-45=0$

$(x^2-4x)+(y^2-8y)=45$

$x^2$ समीकरण मे $2^2$ और $y^2$ में $4^2$ जोड़ने और घटाने पर $(x^2-4x+2^2)+(y^2-8y+4^2)=45$

हि करि पर

$\Rightarrow (x-2{)}^2+(y-4{)}^2=65$

$\Rightarrow (x-2)+(y-4)=\sqrt{65}$

वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

तुलना करने पर

$h=2,k=4,r=\sqrt{65}$

केंद्र $(2,4)$ और त्रिज्या $\sqrt{65}$ इकाई

8. ${\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{=}\mathbf{0}$

उत्तर: दिया गया है:

$x^2+y^2-8x+10y-12=0$

$(x^2-8x)+(y^2-10y)=12$

$x^2$ समीकरण मे $4^2$ और $y^2$ में $5^2$ जोड़ने और घटाने पर

$(x^2-4x+4^2)+(y^2+10y+5^2)-16-25=12$

हल करने पर

$\Rightarrow (x-4{)}^2+(y+5{)}^2=53$

$\Rightarrow (x-4)+(y+5)=\sqrt{53}$

वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

तुलना करने पर

$h=4,k=5,r=\sqrt{53}$

केंद्र $(4,5)$ और त्रिज्या $\sqrt{53}$ इकाई

9. $\mathbf{2}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}$

उत्तर: दिया गया है: $2x^2+2y^2-x=0$

$2x^2-x+2y^2=0$

हल करने पर

$x^2-2x1/4+1^2/4+y^2-1^2/4=0$

${(x-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2+(y-0{)}^2={\displaystyle \frac{1^2}{4}}$

वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

तुलना करने पर

$h={\displaystyle \frac{1}{4}},k=0,r={\displaystyle \frac{1}{4}}$

10. बिंदुओं $(4,1)$ और $(6,5)$ से जाने वाले वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $4x+y=16$ पर स्थित है।

उत्तर: बिंदु $(4,1)$ और $(6,5)$, केंद्र रेखा $4x+y=16$,

माना वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

वृत गुजरता है बिंदु $(4,1)$ और $(6,5)$

अतः समीकरण 1

$(4-h{)}^2+(1-k{)}^2=r^2$

समीकरण 2

$(6-h{)}^2+(5-k{)}^2=r^2$

केंद्र रेखा $4x+y=16$

अत: समीकरण 3 .

$4h+k=16$

समीकरण 1 और 2 की तुलना करने पर

$(4-h{)}^2+(1-k{)}^2=(6-h{)}^2+(5-k{)}^2$ 

$=16-8h+h^2+1-2k=36-12h+h^2+25-10k+k^2$ 

$=h+2k=11...$ समीकरण 4

समीकरण 4 को 4 से गुणा करने के बाद ${}_3$ में से घटाने पर

h=3, k=4

समीकरण 1 में मान रखने पर

$(4-3{)}^2+(1-4{)}^2=r^2$

हल करने पर

$r=\sqrt{5}$

अत: वृत का समीकरण

$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=5$

11. बिंदुओं $(2,3)$ और $(-1,1)$ से जाने वाले वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $x-3y-11=0$ पर स्थित है।

उत्तर:दिया गया है:

बिंदु $(2,3)$ और $(-1,1)$, केंद्र रेखा $x-3y-11=0$

माना वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

वृत गुजरता है बिंदु $(4,1)$ और $(6,5)$

अत: समीकरण 1

$(2-h{)}^2+(3-k{)}^2=r^2$

समीकरण 2

$(-1-h{)}^2+(1-k{)}^2=r^2$

केंद्र रेखा $x-3y-11=0$

अतः समीकरण 3 .

$h-3k=11$

समीकरण 1 और 2 की तुलना करने पर

$(2-h{)}^2+(3-k{)}^2=(-1-h{)}^2+(1-k{)}^2$

$=4-4h+h^2+9-6k=1+2h+h^2+1-2k+k^2$

$=6h+4k=11$

समीकरण 4

समीकरण ${}_3$ को ${}_6$ से गुणा करने के बाद ${}_3$ में से को घटाने पर

$h={\displaystyle \frac{7}{2}},k={\displaystyle \frac{-5}{2}}$

समीकरण 1 में मान रखने पर

${(2-{\displaystyle \frac{7}{2}})}^2+{(3+{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2=r^2$

हल करने पर

$r={\displaystyle \frac{130}{4}}$

अत:

वृत का समीकरण

${(x-{\displaystyle \frac{7}{2}})}^2+{(y+{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2={\displaystyle \frac{{130}^2}{16}}$

12. त्रिज्या 5 के उस वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र$\mathrm{x}$-अक्ष पर हो और जो बिंदु $(2,3)$ से जाता है।

उत्तर:दिया गया है: त्रिज्या 5

केंद्र $x$-अक्ष पर और बिंदु $(2,3)$ से गुजरता हो

माना वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

वृत गुजरता है बिंदु $(2,3)$ और त्रिज्या 5

समीकरण 1

$(2-h{)}^2+(3-k{)}^2=25$

वृत का केंद्र $x$-अक्ष पर अत: $k=0$

$(2-h{)}^2+(3{)}^2=25$

हल करने पर

h=-2, h=6

जब $h=-2$ तब वृत का समीकरण

$(x+2{)}^2+(y{)}^2=25$

जब $h=6$ तब वृत का समीकरण

$(x+6{)}^2+(y{)}^2=25$

13. $(0,0)$ से जाने वाले वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक पर ${}_{\mathrm{a}}$ और ${}_{\mathrm{b}}$ अतः खण्ड बताना है।

उत्तर: दिया गया है: बिंदु $(0,0)$, निर्देशांक पर $a$ और $b$ अंत: खण्ड बनाता है

माना वृत का समीकरण केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

वृत गुजरता है बिंदु $(0,0)$

अत:

$(0-h{)}^2+(0-k{)}^2=r^2$

$h^2+k^2=r^2$

वृत निदेशिंक पर $a$ और $b$ अंत: खण्ड बनाता है

तो वृत गुजरता है $(a,0)$ और $(0,b)$

समीकरण 1

$(a-h{)}^2+(-k{)}^2=r^2$

हल करने पर

$a^2-2ah=0;h={\displaystyle \frac{a}{2}}$

समीकरण 2

$(-h{)}^2+(b-k{)}^2=r^2$

हल करने पर

$b^2-2bk=0;k={\displaystyle \frac{b}{2}}$ अत:

वृत का समीकरण

${(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{b}{2}})}^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{b^2}{4}}$

14. उस वृत का समीकरण ज्ञात कीनिए जिसका केंद्र $(2,2)$ हो तथा बिंदु $(4,5)$ से जाता है।

उत्तर: दिया गया है:

केंद्र $(2,2)$, वृत गुजरता है $(4,5)$

ज्ञात है त्रिज्या $r$ दूरी होती है केंद्र और गुजरने वाले बिंदु से अतः

$r^2=(2-4{)}^2+(2-5{)}^2=13$ $r=\sqrt{13}$ अत: वृत का समीकरण $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=13$

15. क्या बिंदु $(-2.5,3.5)$ वृत $x^2+y^2=25$ के अंदर, बाहर या वृत

पर स्थित है।

उत्तर: दिया गया है:

वृत का समीकरण $x^2+y^2=25$

यहां $h=0,k=0,r=5$.

दिया गया बिंदु $(-2.5,3.5)$

बिंदु और केंद्र की दूरी

$=V(-2.5-0{)}^2+(3.5-0{)}^2$

यहाँ दूरी त्रिज्या से कम होने पर पता लगता है कि बिंदु वृत के अंदर आता है

प्रश्नावली $11.2$

निम्ननिखित प्रश्न 1 से ${}_6$ तक प्रत्येक में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए:

1. ${\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{x}$

उत्तर:दिए गए परवलय $y^2=12x$ का समीकरण

$y^2=4ax$ के रूप का है। प्रमाणिक

समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$4a=12$

$\Rightarrow a={\displaystyle \frac{12}{4}}=3$

अब , जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(a,0)$, जो की यहां पर हैं $(3,0)$

• परवलय का अक्ष है $x$-अक्ष, यानि की $y=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $x=-a$, जो की यहां है $x=-3$

• चूंनक किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4a$,

इसनिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4\times 3$ यानि की 12 इकाई

2. ${\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{y}$

उत्तर:दिए गए परवलय $x^2=6y$ का समीकरण $x^2$ $=4ay$ के रूप का है। प्रामाणिक समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$\Rightarrow a={\displaystyle \frac{6}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

अ, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि $4a=6$ के निर्देशांक होंगे $(0,a)$, जो की यहां पर हैं $(0,{\displaystyle \frac{3}{2}})$

• परविय का अक्ष है $y$-अक्ष, यानि की $x=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $y=-a$, जो की यहां है

$y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{y}^2=8x^{4\times }{\displaystyle \frac{3}{2}}$

• चूंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4a$,

इसनिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है यानि की ${}_6$ इकाई

3. ${\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{x}$

उत्तर: दिए गए परवलय का

समीकरण $y^2=-4ax$ के रूप का

है। प्रमाणिक समीकरण से इसकी

तुलना हारने से हम पाएंगे की यहां:

$4a=8$

$\Rightarrow a={\displaystyle \frac{8}{4}}=2$

अब, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(-a,0)$, जो की यहां पर हैं $(-2,0)$

• परवलय का अक्ष है $x$-अक्ष, यानि की $y=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $x=a$, जो की यहां है: $x=2$

• चूंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4a$,

इसलिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4\times 2$ यानि

की 8 इकाई

4. ${\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{16}\mathbf{y}$

उत्तर:दिए गए परवलय $x^2=-16y$ का समीकरण $x^2=-4ay$ के रूप का है। प्रामाणिक समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$4a=16$

$\Rightarrow a={\displaystyle \frac{16}{4}}=4$

अब, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(a,0)$, जो की यहां पर हैं $(4,0)$

• परवलय का अक्ष है $y$-अक्ष, यानि की $x=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $y=a$, जो की यहां है: $y=4$

• चूंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4a$, इसलिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4\times 4$ यानि की 16 इकाई

5. ${\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{x}$

उत्तर: दिए गए परवलय $y^2=10x$ का समीकरण $y^2=4ax$ के रूप का है। प्रामाणिक समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$4a=10$

$\Rightarrow a={\displaystyle \frac{10}{4}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$

अब, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(a,0)$, जो की यहां पर हैं: $({\displaystyle \frac{5}{2}},0)$

• परवलय का अक्ष है $x$-अक्ष, यानि की $y=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $x=-a$, जो की यहां है: $x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$

• - चंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है: $4a$,

इसलिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4\times {\displaystyle \frac{5}{2}}$ यानि की ${}_{10}$ इकाई

6. ${\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{y}$

उत्तर: दिए गए परवलय $x^2=-9y$ का समीकरण $x^2=-4ay$ के रूप का है। प्रमानणक समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$4a=9$

$\Rightarrow a={\displaystyle \frac{9}{4}}$

अब, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(0,-a)$, जो की यहां पर हैं $(0,-{\displaystyle \frac{9}{4}})$

• परवलय का अक्ष है $y$-अक्ष, यानि की $x=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $y=a$, जो की यहां है: $y={\displaystyle \frac{9}{4}}$

• चंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4a$,

इसनिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4\times {\displaystyle \frac{9}{4}}$ यानि की 9 इकाई।

निम्ननिखित प्रश्न 7 से 12 तक प्रत्येक में परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंध को सिंतुष्ट करता है:

7. नाभि $(6,0)$, नियता $x=-6$

उत्तर: हमें यह पता है की इस परवलय के नाभि

के निर्देशांक हैं $(6,0)$ और इसकी नियता है: $x=-6$

हम यह भी जानते हैं की इस परवलय की

अक्ष $(6,0)$ से गुजरती है और $x=-6$ रेखा के लंबवत है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं की इस परवलय की अक्ष है $x$

-अक्ष यानि $y=0$

इसके अलावा, एक परवलय का शीर्ष उसकी नाभि और उसके नियता का मध्य-बिंदु होता है। इसलिए, इस परवलय का सिर्फ $(0,0)$ है।

इससे यह पता चलता है की इस परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ के रूप

का है और $a=6$

इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$Y^2=4(6)x$

$\Rightarrow Y^2=24x$

8. नाभि $(0,-3)$, नियता $y=3$

उत्तर: हमें यह पता है की इस परवलय के नाभि के निर्देशांक हैं $(0,-3)$ और इसकी नियता है $y=3$

हम यह भी जानते हैं की इस परवलय की अक्ष $(0,-3)$ से गुजरती है और

$y=3$ रेखा के लंबवत है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं की इस परवलय की अक्ष है $y$-अक्ष यानि $x=0$ इसके अलावा, एक परवलय का शीर्ष उसकी नाभि और उसके नियता का मध्य-बिंदु होता है। इसलिए, इस परवलय का सिर्ष $(0,0)$ है।

इससे यह पता चलता है की इस परवलय का समीकरण $x^2=-4ax$ के रूप का है जहां, $a=3$ इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$x^2=-4(3)x$

$\Rightarrow x^2=-12x$

9. शीर्ष $(0,0)$, नाभि $(3,0)$

उत्तर: चूंकि एक परवलय की अक्ष उसकी नाभि और शीर्ष, दोनों से गुजरती है,

इसलिए इस परवलय का अक्ष है $x$-अक्षा।

साथ ही, हुमें यह भी पता है की इसका शीर्ष $(0,0)$ है और इसकी नाभि $y$-अक्ष की दाईं ओर है। इसलिए यह परवलय अवश्य ही $y^2=4ax$ के रूप का होगा।

इस परवलय की नाभि $(3,0)$ की तुलना प्रामाणिक परवलय की नाभि $(a,0)$

से करने पर हम पाएंगे की $a=3$

इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$Y^2=4(3)x$

$\Rightarrow Y^2=12x$

10. शीर्ष $(0,0)$, नाभि $(2,0)$

उत्तर: चूंकि एक परवलय की अक्ष उसकी नाभि और शीर्ष, दोनों से गुजरती है,

इसलिए इस परवलय का अक्ष है $x$-अक्षा।

साथ ही, हुमें यह भी पता है की इसका शीर्ष $(0,0)$ है और इसकी नाभि $y$-अक्ष की बाईं ओर है। इसनिए यह परवलय अवश्य ही $y^2=-4ax$ के रूप का होगा।

इस परवलय की नाभि $(-2,0)$ की तुलना प्रामाणिक परवलय की नाभि $(-a,0)$ से करने पर हम पाएंगे की $a=2$

इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$y^2=-4(2)x$

$\Rightarrow y^2=-8x$

11. शीर्ष $(0,0),(2,3)$ से जाता है और अक्ष, $x$-अक्ष के अनुदिश है। 

उत्तर: एक परवलय जिसका शीर्ष $(0,0)$ तथा अक्ष $x$-अक्ष हो, उसका समीकरण $y^2=4ax$ और $y^2=-4ax$, दोनों में से किसी भी रूप का हो सकता है।

पर चूंकि हमें यह पता हैं की यह परवल $(2,3)$ से गुजरती है, हम यह कह सकते हैं की यह परवलय $y^2=4ax$ के रूप का ही है।

साथ ही, यह बिंदु $(2,3)$ इस समीकरण को अवश्य ही संतुष्ट करेगा।

इसलिए, $y^2=4ax$

$\Rightarrow 3^2=4a(2)$

$\Rightarrow 9=8a$

$\Rightarrow a={\displaystyle \frac{9}{8}}$

इसनिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$\Rightarrow y^2={\displaystyle \frac{9}{2x}}$

12. शीर्ष $(0,0),(5,2)$ से जाता है और $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। 

उत्तर: एक परवलय जिसका शीर्ष $(0,0)$ तथा जो $y$-अक्ष के सापेक्ष सम्मित हो, उसका समीकरण $x^2=4ay$ और $x^2=-4ay$, दोनों में से किसी भी रूप का हो सकता है। लेकिन चूंकि हमें यह पता हैं की यह परवलय $(5,2)$ से गुजरता है, हम यह कह सकते हैं की यह परवलय $x^2=4ay$ के रूप का ही है। साथ ही, यह बिंदु $(5,2)$ इस समीकरण को अवश्य ही संतुष्ट करेगा।

इसलिए, $x^2=4ay$

$\Rightarrow 5^2=4a(2)$

$\Rightarrow 25=8a$

$\Rightarrow a={\displaystyle \frac{25}{8}}$

इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{25}{8y}}$

प्रश्नावली $11.3$

निम्ननिखित प्रेश्नो 1 से ${}^9$ तक प्रतेक दीघ्रवृत मे नाभियों और शिर्षों के निदेशांक ,दीघ और लघु कक्ष की लंबाईया,उतकेंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाईया ज्ञात कीजिएः

1. ${\displaystyle \frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{36}}}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{16}}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण ${\displaystyle \frac{x^2}{36}}+{\displaystyle \frac{y^2}{16}}=1$

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$a^2=36,b^2=16$

$a=\pm 6$

$b=\pm 4$

$c^2=a^2-b^2$

$c^2=36-16$

$c=\sqrt{36-16}$

$c=\sqrt{20}$

$c=\pm 2\sqrt{5}$

अतः

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c,0)$

$(\pm 2\sqrt{5},0)$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a,0)=(\pm 6,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2a=2\times 6=12$

लघु अक्ष की लंबाई $=2b=2\times 4=8$

उत्केंद्ता $=e={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$

नाभिलंब जीवा $={\displaystyle \frac{2b^2}{a}}={\displaystyle \frac{16}{3}}$

2. ${\displaystyle \frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{25}}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण ${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{25}}=1$

यहाँ, $y^2$ का भाजक बड़ा होने के कारण दीर्घ अक्ष $y$ अक्ष पर तथा 25 लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा

अतः

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$b^2=4,a^2=25$

$b=\pm 2$

$a=\pm 5$

$c^2=a^2-b^2$

$c^2=25-4$

$c=\sqrt{21}$

$c=\pm \sqrt{21}$

अतः

नाभियों के निर्देशांक $(0,\pm c)$

$(0,\pm \sqrt{21})$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a,0)=(\pm 5,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2a=2\times 5=10$

लघु अक्ष की लंबाई $=2b=2\times 2=4$

उत्केंद्त्ता $=e={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}}$

नाभिलंब जीवा $={\displaystyle \frac{2b^2}{a}}={\displaystyle \frac{2\times 4}{5}}={\displaystyle \frac{8}{5}}$

3. ${\displaystyle \frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{16}}}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{9}}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण ${\displaystyle \frac{x^2}{16}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है:

$a^2=16,b^2=9$

$a=\pm 4$

$b=\pm 3$

$c^2=a^2-b^2$

$c^2=16-9$

$c=\sqrt{7}$

$c=\pm \sqrt{7}$

$\text{ अत: }$

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c,0)$

$(\pm \sqrt{7},0)$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a,0)=(\pm 4,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2a=2\times 4=8$

लघु अक्ष की लंबाई $=2b=2\times 3=6$

$\text{ उत्केंद्त्ता }=e={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}$

नाभिलंब जीवा $={\displaystyle \frac{2b^2}{a}}={\displaystyle \frac{2\times 9}{4}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

4. ${\displaystyle \frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{25}}}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{100}}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण ${\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{100}}=1$

यहाँ, ${\displaystyle \frac{y^2}{100}}$ का भाजक बड़ा होने के कारण दीर्घ अक्षा $y$ अक्ष पर तथा

लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा

अतः

${\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है:

$a^2=100,b^2=25$

$a=\pm 10$

$b=\pm 5$

$c^2=b^2-a^2$

$c^2=100-25$

$c=\sqrt{75}$

$c=\pm 5\sqrt{3}$

नाभियों के निर्देशांक $(0,\pm c)=(0,\pm 5\sqrt{3})$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a,0)=(\pm 10,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2a=2\times 10=20$

लघु अक्ष की लंबाई $=2b=2\times 5=10$

उत्केंद्ता $=e={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{10}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

नाभिलंब जीवा $={\displaystyle \frac{2b^2}{a}}={\displaystyle \frac{2\times 25}{10}}=5$

5. ${\displaystyle \frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{49}}}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{36}}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

उत्तर.दिया गया समीकरण ${\displaystyle \frac{x^2}{49}}+{\displaystyle \frac{y^2}{36}}=1$

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$x^2={\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=$

$a^2=49,b^2=36$

$a=\pm 7$

$b=\pm 6$

अतः $c^2=a^2-b^2$

$c^2=49-36$

$c=\sqrt{13}$

$c=\pm \sqrt{13}$

$\text{. }\text{ नन. }$

अतः

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c,0)$

$(\pm \sqrt{1}3,0)$

शीर्षों के निर्देशांक $(0,\pm a)=(0,\pm 7)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2a=2\times 7=14$

लघु अक्ष की लंबाई $=2b=2\times 6=36$

उत्केंद्ता $=e={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{7}}$

नाभिलंब जीवा $={\displaystyle \frac{2b^2}{a}}={\displaystyle \frac{2\times 36}{7}}={\displaystyle \frac{72}{7}}$

6. ${\displaystyle \frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{100}}}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{400}}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण ${\displaystyle \frac{x^2}{100}}+{\displaystyle \frac{y^2}{400}}=1$

यहाँ, ${\displaystyle \frac{y^2}{400}}$ का भाजक बड़ा होने के कारण दीर्घ अक्ष $y$ अक्ष पर तथा लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा अतः

${\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$a^2=400,b^2=100$

$a=\pm 20$

$b=\pm 10$

$c^2=a^2-b^2$

$c^2=400-100$

$c=\sqrt{3}00$

$c=10\sqrt{3}$

नाभियों के निर्देशांक $(0,\pm c)$

$(0,\pm 10\sqrt{3})$

शीर्षों के निर्देशांक $(0,\pm a)=(0\pm 20)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2a=2\times 20=40$

लघु अक्ष की लंबाई $=2b=2\times 10=20$

उत्केंद्ता $=e={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{20}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

नाभिलंब जीवा $={\displaystyle \frac{2b^2}{a}}={\displaystyle \frac{2\times 100}{20}}=10$

7. $\mathbf{36}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{4}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{144}$

उत्तर:दिया गया समीकरण

$36x^2+4y^2=144$

दिए समीकरण को मानक समीकरण में बदलने पर

${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{36}}=1$

यहां, ${\displaystyle \frac{y^2}{36}}$

का भाजक बड़ा होने के कारण दीर्घ अक्ष $y$ अक्ष पर तथा लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा समीकरण को ${\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$a^2=36,b^2=4$

$a=\pm 6$

$b=\pm 2$

$c^2=a^2-b^2$

$c^2=36-4$

$c=\sqrt{32}$

$c=4\sqrt{2}$

नाभियों के निर्देशांक $(0,\pm c)$

$(0,\pm 4\sqrt{2})$

शीर्षों के निर्देशांक $(0,\pm a)=(0,\pm 6)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2a=2\times 6=12$

लघु अक्ष की लंबाई $=2b=2\times 2=4$,

उत्केंद्ता $=e={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{6}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$

नाभिलंब जीवा $={\displaystyle \frac{2b^2}{a}}={\displaystyle \frac{2\times 4}{6}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

8. $\mathbf{16}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{16}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $16x^2+y^2=16$

${\displaystyle \frac{x^2}{1}}+{\displaystyle \frac{y^2}{16}}=1$

यहां, ${\displaystyle \frac{y^2}{16}}$ का भाजक बड़ा होने के कारण दिर्ष अक्ष $y$ अक्ष पर तथा लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा अतः

${\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$a^2=16,b^2=1$

$a=\pm 4$

$b=\pm 1$

$c^2=a^2-b^2$

$c^2=16-1$

$c=\sqrt{15}$

$c=\sqrt{15}$

नाभियों के निर्देशांक $(0,\pm c)$

$(0,\pm \sqrt{1}5)$

शीर्षों के निर्देशांक $(0,\pm a)=(0,\pm 4)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2a=2\times 4=8$

लघु अक्ष की लंबाई $=2b=2\times 1=2$

उत्केंद्तता $=e={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}$

नाभिलंब जीवा $={\displaystyle \frac{2b^2}{a}}={\displaystyle \frac{2\times 1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

9. $\mathbf{4}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{9}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{36}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $4x^2+9y^2=36$

दिए समीकरण को मानक समीकरण में बदलने पर

${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है:

$a^2=9,b^2=4$

$a=\pm 3$

$b=\pm 2$

$c^2=a^2-b^2$

$c^2=9-4$

$c=\sqrt{5}$

$c=\sqrt{5}$

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c,0)$

$(\pm \sqrt{5},0)$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a,0)=(\pm 3,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2a=2\times 3=6$

लघु अक्ष की लंबाई $=2b=2\times 2=4$

उत्केंद्ता $=e={\displaystyle \frac{c}{a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$